fungsi05

Transcript of fungsi05

Fungsi Variabel Banyak Bernilai RealTurunan Order Tinggi

Wono Setya Budhi

KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 15
Turunan Parsial Order Tinggi


Misalkan diketahui fungsi z = f (x , y)

Kita sudah mempelajari tentang

z

xdan

z

y

masing-masing menyatakan turunan z terhadap x dan y , denganmenganggap variabel y dan x tetap.

Sekarang, kita akan mempelajari turunan order dua, yaitu

2z

x2,2z

xy,2z

yx,2z

y2

Khususnya 2z

xy menyatakan turunan terhadap y yaituzy , kemudian

diturunkan lagi terhadap x dengan menganggap bahwa y konstan.

Tentu 2z

xy berbeda dengan2zyx





z

xdan

z

y



2z

x2,2z

xy,2z

yx,2z

y2

Khususnya 2z



Tentu 2z






z

xdan

z

y



2z

x2,2z

xy,2z

yx,2z

y2

Khususnya 2z



Tentu 2z






z

xdan

z

y



2z

x2,2z

xy,2z

yx,2z

y2

Khususnya 2z



Tentu 2z






z

xdan

z

y



2z

x2,2z

xy,2z

yx,2z

y2

Khususnya 2z



Tentu 2z




Selain dengan notasi zx danzy dikenal pula notasi D1z dan D2z

Untuk turunan kedua,

2z

x2,2z

xy,2z

yx,2z

y2

masing-masing ditulis sebagai

D211z ,D212z ,D

221z ,D

222z

Example

Hitung 2zx2

, 2z

xy ,2zyx ,

2zy2

jika z = xmyn dengan m, n bilangan bulat

Solution

Pertama,z

x= mxm1yn dan

z

y= nxmyn1





2z

x2,2z

xy,2z

yx,2z

y2


D211z ,D212z ,D

221z ,D

222z

Example

Hitung 2zx2

, 2z

xy ,2zyx ,

2zy2


Solution

Pertama,z

x= mxm1yn dan

z

y= nxmyn1





2z

x2,2z

xy,2z

yx,2z

y2


D211z ,D212z ,D

221z ,D

222z

Example

Hitung 2zx2

, 2z

xy ,2zyx ,

2zy2


Solution

Pertama,z

x= mxm1yn dan

z

y= nxmyn1



Example

Hitung 2zx2

, 2z

xy ,2zyx ,

2zy2


Solution

Pertama,z

x= mxm1yn dan

z

y= nxmyn1

Selanjutnya2z

x2= m (m 1) xm2yn

2z

xy= mnxm1yn1

2z

yx= mnxm1yn1



Example

Hitung 2zx2

, 2z

xy ,2zyx ,

2zy2


Solution

Pertama,z

x= mxm1yn dan

z

y= nxmyn1

Selanjutnya2z

x2= m (m 1) xm2yn

2z

xy= mnxm1yn1

2z

yx= mnxm1yn1



Example

Hitung 2zx2

, 2z

xy ,2zyx ,

2zy2


Solution

Pertama,z

x= mxm1yn dan

z

y= nxmyn1

Selanjutnya2z

x2= m (m 1) xm2yn

2z

xy= mnxm1yn1

2z

yx= mnxm1yn1



Theorem

Jika fungsi z = f (x , y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di(a, b), maka

2z

xy(a, b) =

2z

yx(a, b)

Solution

Perhatikan

S (x ,y) = f (a+ x , b+ y) f (a+ x , b) f (a, b+ y) + f (a, b)

Tuliskan g (x) = f (x , b+ y) f (x , b), makaS (x ,y) = g (a+ x) g (a)Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 15


Theorem

Jika fungsi z = f (x , y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di(a, b), maka

2z

xy(a, b) =

2z

yx(a, b)

Solution

Perhatikan

S (x ,y) = f (a+ x , b+ y) f (a+ x , b) f (a, b+ y) + f (a, b)

Tuliskan g (x) = f (x , b+ y) f (x , b), makaS (x ,y) = g (a+ x) g (a)Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 15


Solution

S (x ,y) =f (a+ x , b+ y) f (a+ x , b) f (a, b+ y) + f (a, b)Tuliskan g (x) = f (x , b+ y) f (x , b), makaS (x ,y) = g (a+ x) g (a)Berdasarkan teorema nilai rata-rata diperoleh

S (x ,y) = g (a+ 1x)x

g (x) = f (x , b+ y) f (x , b) = fy

(x , b+ 2y)y

maka

S (x ,y) =

x

(f

y

)(a+ 1x , b+ 2y)xy

=2f

xy(a+ 1x , b+ 2y)xy



Solution


S (x ,y) = g (a+ 1x)x

g (x) = f (x , b+ y) f (x , b) = fy

(x , b+ 2y)y

maka

S (x ,y) =

x

(f

y

)(a+ 1x , b+ 2y)xy

=2f

xy(a+ 1x , b+ 2y)xy



Solution


S (x ,y) = g (a+ 1x)x

g (x) = f (x , b+ y) f (x , b) = fy

(x , b+ 2y)y

maka

S (x ,y) =

x

(f

y

)(a+ 1x , b+ 2y)xy

=2f

xy(a+ 1x , b+ 2y)xy



Solution


S (x ,y) = g (a+ 1x)x

g (x) = f (x , b+ y) f (x , b) = fy

(x , b+ 2y)y

maka

S (x ,y) =

x

(f

y

)(a+ 1x , b+ 2y)xy

=2f

xy(a+ 1x , b+ 2y)xy



Solution

S (x ,y) =

x

(f

y

)(a+ 1x , b+ 2y)xy

=2f

xy(a+ 1x , b+ 2y)xy

Dengan demikian, karena 2f

xy kontinu di (a, b) maka

2f

xy(a, b) = lim

(x ,y )(0,0)1

xyS (x ,y)



Solution

S (x ,y) =

x

(f

y

)(a+ 1x , b+ 2y)xy

=2f

xy(a+ 1x , b+ 2y)xy



2f

xy(a, b) = lim

(x ,y )(0,0)1

xyS (x ,y)



Solution



2f

xy(a, b) = lim

(x ,y )(0,0)1

xyS (x ,y)

Dengan cara serupa S (x ,y) =f (a+ x , b+ y) f (a+ x , b) f (a, b+ y) + f (a, b) ditulissebagai

S (x ,y) = f (a+ x , b+ y) f (a, b+ y) f (a+ x , b)+ f (a, b)

dan akan diperoleh

2f

yx(a, b) = lim

(x ,y )(0,0)1

xyS (x ,y)



Solution



2f

xy(a, b) = lim

(x ,y )(0,0)1

xyS (x ,y)



dan akan diperoleh

2f

yx(a, b) = lim

(x ,y )(0,0)1

xyS (x ,y)



Solution



2f

xy(a, b) = lim

(x ,y )(0,0)1

xyS (x ,y)



dan akan diperoleh

2f

yx(a, b) = lim

(x ,y )(0,0)1

xyS (x ,y)


Persamaan Diferensial Parsial

Ada tiga persamaan dasar yang melibatkan turunan parsial yaitu

persamaan Laplace atau persamaan potensial 2d

2f

x2+

2f

y2= 0

persamaan panas 2du

t=

2f

x2+

2f

y2

Solution

persamaan gelombang 2d

2u

t2=

2f

x2+

2f

y2





2f

x2+

2f

y2= 0

persamaan panas 2du

t=

2f

x2+

2f

y2

Solution


2u

t2=

2f

x2+

2f

y2





2f

x2+

2f

y2= 0

persamaan panas 2du

t=

2f

x2+

2f

y2

Solution


2u

t2=

2f

x2+

2f

y2





2f

x2+

2f

y2= 0

persamaan panas 2du

t=

2f

x2+

2f

y2

Solution


2u

t2=

2f

x2+

2f

y2



Persamaan Gelombang 1d mempunyai bentuk

2u

t2=

2f

x2

SphericalSeismicWaves



Persamaan Panas 1d mempunyai bentuk

u

t=

2f

x2

Solution

HeatTransferAlongARod



Persamaan Panas 1d mempunyai bentuk

u

t=

2f

x2

Solution

HeatTransferAlongARod



Persamaan Laplace 2d 2fx2

+ 2fy2

= 0

Dengan syarat bahwa pada pinggir lingkaran p () = sin (m)

LaplacesEquationonACircle



Persamaan Laplace 2d 2fx2

+ 2fy2

= 0

Dengan syarat bahwa pada pinggir lingkaran p () = sin (m)

LaplacesEquationonACircle



Example

Diketahui fungsi yang mempunyai turunan kedua kontinu dan memenuhi2fxy = 0. Tentukan bentuk umum fungsi tersebut.

Solution

Misalkan g (x , y) = fy , maka berdasarkan2fxy = 0, berlaku

g

x= 0

Ini berarti bahwa g tidak bergantung pada x. Jadi

g (x , y) = p (y)

Karena g (x , y) = fy , maka

f

y= p (y)

Dengan demikianf (x , y) = P (y) +Q (x)

dengan Py = p (y) danQy = 0.



Example


Solution


g

x= 0


g (x , y) = p (y)


f

y= p (y)





Example


Solution


g

x= 0


g (x , y) = p (y)


f

y= p (y)





Example


Solution


g

x= 0


g (x , y) = p (y)


f

y= p (y)





Solution

Ini berarti bahwa g tidak bergantung pada x. Jadi g (x , y) = p (y)


f

y= p (y)





Solution



f

y= p (y)





Solution



f

y= p (y)





Example

Periksalah, apakah ada fungsi f : R2 R2 sehingga turunannya adalah[xy xy

]Solution

Misalkan ada fungsi f (x , y) mempunyai turunan di atas ataufx = xy dan

fy = xy

Dengan demikian turunan keduanya adalah

2f

yx= x dan

2f

xy= y

Karena turunannya berbentuk polinom, maka kontinu mereka harussama.

Mereka sama hanya pada titik (x , y) dengan x = y.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 15 / 15


Example


]Solution


fy = xy


2f

yx= x dan

2f

xy= y




Example


]Solution


fy = xy


2f

yx= x dan

2f

xy= y




Example


]Solution


fy = xy


2f

yx= x dan

2f

xy= y

fungsi05

Documents

Transcript of fungsi05