Fungsi Logaritmik, Eksponensial, Hiperbolik

Bilangan Natural

Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e

Bilangan e ini, seperti halnya bilangan , adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah

e = 2,7182818284

1ln e

aeaea lnln

Kurva y = ln x

Fungsi Logaritma Natural

Definisi ln x

x

ln x

t0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

y

1/t

luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x

x

dtt

x1

1ln

1 2 3 4x

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0

yy = ln x

1ln e

e = 2,7182818284…..

e

Sifat-Sifat

1 untuk negatif bernilai ln

ln

1ln

lnln

;lnlnln

lnlnln

xx

xe

e

xnx

axa

x

xaax

x

n

Fungsi Eksponensial

Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma

yx ln

Fungsi Eksponensial

xey

Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif

0 ; )( xxuey ax

Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0

Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0

Kurva Fungsi Eksponensial

x0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

ye x

e2x

Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun

mendekati sumbu-x

axey

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a

Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya

Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah

)()( / tuAetuAey tat

yang dituliskan dengan singkat /tat AeAey

= 1/a disebut konstanta waktu

makin kecil , makin cepat fungsi eksponensial menurun

Pada saat t = 5, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A

fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5

Gabungan Fungsi Eksponensial

1/1

tAey 2/

2tAey

21 // tt eeAy

t/

A

0 1 2 3 4 5

Fungsi Hiperbolik

Definisi Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk

fungsi hiperbolik, seperti

cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)

2sinh ;

2cosh

xxxx eex

eex

Fungsi hiperbolik yang lain

xx

xx

xx

xx

ee

ee

x

xx

ee

ee

x

xx

sinh

coshcoth ;

cosh

sinhtanh

xxxx eexx

eexx

2

sinh

1csch ;

2

cosh

1sech

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik

xey2

11

xey 2

12

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

2sinh

xx eexy

xy sinh

y

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

2cosh

xx eex

xey2

11

xy cosh

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

y

x

xxy

cosh

1sech

xy sinh

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy csch

xxy

sinh

1csch

xy coth

x

y

0

0

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2 -1 1 2

x

xxy

cosh

sinhtanh

x

xxy

sinh

coshcoth

untuk sinh x dan cosh x terdapat hubungan

14

4

4

2

4

2 sinhcosh

222222

xxxx eeeexx

1sincos 22 xx

Jika untuk sin x dan cos x kita kenal hubungan:

Identitas

Beberapa Identitas: 1sinhcosh 22 vv

vv 22 sechtanh1

vv 22 csch1coth

vevv sinhcosh

vevv sinhcosh

CourseWare

Fungsi Logaritmik, Exponensial, Hiperbolik

Sudaryatno Sudirham