Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]
-
Upload
nguyencong -
Category
Documents
-
view
246 -
download
3
Transcript of Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]
Fungsi Khusus
Lanjutan (PDB)
MATEMATIKA FISIKA II MATEMATIKA FISIKA II
JURDIK FISIKA FPMIPA UPI
Bandung
Fungsi Khusus dalam bentuk PDB
terdiri atas :
� Polinomial Legendre dalam berbagai jenis
� Fungsi Bessel dalam berbagai bentuk
� Polinomial Hermite
� Polinomial Laguarre� Polinomial Laguarre
� Semua point di atas diperoleh dari solusi-solusi Persamaan Differensial (PD) Laguarre, PD Bessel, dst
Diperlukan pengetahuan tentang metode-
metode untuk mencari solusi PD :
� Telah dipelajari metode analitik untuk mencari solusi PDB orde I dengan PDB orde II dikenal :
� Metode pemisahan variable
� Metode linier orde I
� Metode PD homogen
� Metode Bernoulli
� Metode reduksi orde
� Metode Variasi parameter
� Metode aproksimasi dengan deret pangkat
PDB ORDE I
PDB ORDE II
Mencari Solusi PDB dengan metode
deret pangkat
� Solusi PDB = hubungan eksplisit antara variabel terikat dan variabel bebas yang jika kita substitusikan ke PDB yang bersangkutan akan menghasilkan suatu identitas.
� Dengan metode deret pangkat kita misalkan :� Dengan metode deret pangkat kita misalkan :
n
nn
o
n
nxaxaxaxaxaaxay ++++∑ ++==
∝
=...4
4
3
3
2
021
13
4
2
321...4320' −++++++= n
nxnaxaxaxaay
22
432)1(...126200'' −−++++++= n
nxannxaxaay
Sudah dibahas dalam deret pangkat
Persamaan Diferensial Legendre
0)1('2'')1( 2 =++−− yxyyx ll → ∑==
1
0n
n
nxay
...)3)(2()1()1(
1 42
−+−++++−= xxay
llllll
metode deret pangkat
Solusi :
......!5
)4)(3)(2()1(
!3
)2)(1(
...!4!2
1
53
1
0
+
−−−++++−−−+
−+−=
xxxa
xxay
llllll
12 <x
12 =x
Dengan menggunakan tes rasio maka deret ini memiliki selang konvergensi dan tidak konvergensi untuk
Polinomial Legendre
l → suatu konstanta sebarang
+=⇒=0
0 ayl1
aderet pangkat dengan koefisien
+=⇒= xay1
1l0
aderet pangkat dengan koefisien
+−=⇒= )31(2 2
0xayl
1aderet pangkat dengan koefisien
+−=⇒= )3
5(3 3
1xxayl
0aderet pangkat dengan koefisien
Secara umum setiap nilai , l
12 =x0
a1
a
dihasilkan suatu deret pangkat dan lainnya suatu polinomialdimana deret pangkat yang dihasilkan bersifat divergen pada nilai
. Selanjutnya jika nilai-nilai dan
Pada setiap polinomial dipilih sedemikian rupa sehingga nilai
1=y 12 =x
)(xPl
Pada setiap polinomial dipilih sedemikian rupa sehingga nilai
untuk
Maka akan dihasilkan suatu polinomial yang disebut polynomial legendre ditulis dengan
00 ay =⇒=l
1,1 == xy
1100
=⇒= aa
∴Polynomial Legendre
1)(0
=xP
xay1
1 =⇒=l1,1 == xy
11111=⇒⋅= aa
xxP =)(1
∴
∴ )31(2 2
0xay −=⇒=l
1,1 == xy
( )2
0)1(311 −= a
)2(10
−= a
2
10
−=a
∴ )3
5(3 3
1xxay −=⇒=l
1,1 == xy
−=35
111
a
2
31
−=a
)31(2
1)( 2
2xxP −−=
)13(2
1)( 2
2−= xxP
−=2
1
2
3)( 2
2xxP
2
−−= 3
3 35
23
)( xxxP
−= xxxP 3
3 3
5
2
3)(
−= xxxP2
3
2
5)( 3
3
Formula Rodriguez :
( )ll
l
ll
l1
!2
1)( 2 −= x
dx
dxP
( )02
0
0
001
!02
1)( −= x
dx
dxP 1= 1)(
0=⇒ xP
( ) )2(2
11
!12
1)(
12
1
1
11xx
dx
dxP =−= xxP =⇒ )(
1
( ) ( )( )( ) ( )( )
−=
−=−= 148
1212
8
11
!22
1)( 2222
2
2
22xx
dx
dxx
dx
dx
dx
dxP
( ) ( )( ) ( ) ( )41281
84481
241481
)( 2222
2−=+−=+−= xxxxxxxxP
2
1
2
3)( 2
2−=⇒ xxP
Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre
( ) ( ) 1,21, 2
12 <+−= −
hhxhhxφ
Fungsi pembangkit polinomial legendre dirumuskan sebagai berikut :
Disebut pungsi pembangkit polinomial legendre karena dari fungsi
yhxh =− 22
( ) ( ) 2
1
1 −−= yyφ ( )px+1
Disebut pungsi pembangkit polinomial legendre karena dari fungsiini dapat dibangkitkan polinomial legendre.
Maka gunakan uraian deret binomial
Misalkan :
( ) ...8
3
2
11 2 +++= yyyφ
22 hxhy −=
( ) ( ) ...28
3
2
11,
222 +−+−+= hxhhxhhxφ
( ) ( ) ...44431
1, ++−+−+= hxhhxhxhhxφ
Substitusi kembali:
( ) ( ) ...4448
3
2
11, 43222 ++−+−+= hxhhxhxhhxφ
( ) ...2
1
2
31, 22 +
−++= xhxhhxφ
( ) ...)()()(,2
2
10+++= xPhxhPxPhxφ
Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre berguna
untuk mencari hubungan-hubungan rekursif
polinomial legendre:
( ) ( ) )(1)(12)( 21 xPxxPxP −− −−−=lll
lll
)()(')('1
xPxPxxPlll
l=− −
a)
b)
)()(')('11
xPxxPxP −− =−lll
l
( ) )()()('11
2 xxPxPxPxlll
ll −=− −
( ) )(')(')(1211
xPxPxP −+ −=+lll
le)
d)
c)
Buktikan hubungan rekursif a)
( ) 2
1221
−+−= hxhφ( ) ( )hxhxh
h2221
2
12
32 +−+−−=
∂∂ −φ
h 2∂
( ) ( )φφhx
hhxh −=
∂∂+− 221
∑=∞
=0)(
ll
l xPhφTetapi
( ) ( )∑−=∑∂∂+−
∞
=
∞
= 00
2 )()(21l
l
l
ll
l xPhhxxPhh
hxh
( ) ( )∑−=∑+−∞
=
∞
=
−
00
12 )()(21l
l
l
ll
l
l xPhhxxPhhxh
Maka:
)()()()(2)( 1211 xPhhxPxhxPhhxPhxhxPhl
l
l
l
l
l
l
l
l
l
lll −=+− −−−
)()()()(2)( 111 xPhxPxhxPhxPhxxPhl
l
l
l
l
l
l
l
l
l
lll++− −=+−
( ) ( ) )()()(2)(12)(2
1
1
1
2
1
1
11 xPhxPxhxPhxPhxxPh −−
−−
−−
−−− −=−+−−
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
lll
( ) ( ) )()()(2)(12)(2121
xPxxPxPxPxxP −−−− −=−+−−lllll
lll
Atau:
( ) ( ) )(1)(12)( 21 xPxxPxP −− −−−=lll
lll
1)(0
=xP
2=l → ( ) )()1()(122)(2012
xPxxPxP −−⋅=012
13)(22
−⋅= xxxP
21
23
)( 2
2−= xxP
xxP =)(1
3xx −
xxPxxxPxxx5
3)(
5
2
5
3)(
5
233
3 −−=
+−=−
xxxP2
3
2
5)( 3
3 −=
Nyatakan dalam kombinasi linier polinomial-polinomial
legendre!
xxPx5
3)(
5
23
3 +=
xxPxxxPxxx5
)(55
)(5 33
( ))()(5
231 xPxP −=
)(5
2
5
23 xPx −=
Ortogonalitas Polinomial Legendre:
090cosBABA =•
Dua buah vektor dikatakan ortogonal jika keduanya saling tegak lurusmengapit sudut 90o . Menurut perkalian titik (dot product) dua vektoryang ortogonal memenuhi :
0=• BA
kAjAiAA ˆˆˆ321
++=0
332211=++=⋅ BABABABA
DBAi
ii30
3
1→=∑
=
Karena
Maka atau
01
11=∑
=iBA
)(xA )(xB
),( ba
0)()( =∫ dxxBxAb
Secara umum dua buah vektor yang saling tegak lurus memenuhi
Analogi dengan itu jika kita memiliki dua fungsi kontinu yaitu
dan maka kedua fungsi tersebut akan saling ortogonal
jika memenuhi: dalam selang
0)()( =∫ dxxBxAa
)(xA )(xB )(xA)(xB
0)()( =∫∗ dxxBxA
b
a
→∗ )(xA
Jika merupakan fungsi kompleks maka syarat dan orthogonal ditulis sebagai berikut :
kompleks berkonjugat dengan )(xA
)(xAn dstn ,...,3,2,1=
nm ≠;0
Jika kita memiliki himpunan fungsi dimana
=∫ dxxAxAb
amn
)()(
)(xAn
0≠nm =konstanta jika
maka fungsi-fungsi disebut himpunan fungsi ortogonal
Contoh :
∫ =−
π
πmxdxnxsinsin
nm ≠;0
0; ≠= nmπnxsin
( )ππ ,−
Maka merupakan himpunan fungsi-fungsi yang ortogonal
dalam selang ( )ππ ,−
∫ =−
1
1
0)()( dxxPxPml
m=l
)(1
xP )(2
xP
)(0
xP )(3
xP
)(2
xP )(5
xP
kecuali untuk
Pertanyaan apakah?
ortogonal dengan
ortogonal dengan
ortogonal dengan
dalam selang
Bukti:
( ) ( ) 01'2''1 2 =++−− yxyyx ll
)(xPyl
=⇒
( ) ( ) 0)(1)('2)(''1 2 =+−−− xPxxPxPxlll
ll
( )[ ] ( ) 0)(1)('1 2 =++−⊗ xPxPxd
ll
PD Legendre
atau( )[ ] ( ) 0)(1)('1 2 =++−⊗ xPxPxdx
dll
ll
( )[ ] ( ) 0)(1)('1 2 =++−⊗⊗ xPmmxPxdx
dmm
( )[ ] ( ) 0)(1)('1)( 2 =
++−⊗ xPxPx
dx
dxP
m llll
( ) ( ) 0)(1)('1)( 2 =
++
−⊗⊗ xPmmxPxdx
dxP mml
atau
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)('1)()('1)( 22 =+−++−−− xPxPmmxPxdx
dxPxPx
dx
dxP
mmm lllll
⊗⊗⊗
( )( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)(')()(')(1 2 =+−++−− xPxPmmxPxPxPxPxd
ll
⊗ ⊗⊗ ⊗⊗⊗Selanjutnya dikurangi didapat :
dua suku pertama menjadi :
( )( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)(')()(')(1 =+−++−− xPxPmmxPxPxPxPxdx mmm lll
ll
⊗⊗⊗ )1,1(−
( )( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)(')()(')(11
1
2 =∫
+−++−−
−dxxPxPmmxPxPxPxPx
dx
dmmm lll
ll
Kemudian lakukan integrasi untuk selang
Suku I Suku II
( )( )[ ]dxxPxPxPxPxdx
dmm∫ −−=
−
1
1
2 )(')()(')(1ll
( )( )[ ] 0)(')()(')(11
1
2 =−−= −xPxPxPxPxmm ll
( ) ( )[ ] dxxPxPmm )()(111
∫+−+= ll
Suku I
Suku II ( ) ( )[ ] dxxPxPmmm
)()(111∫+−+=−
lll
( ) ( )[ ] 0)()(1101
1
=∫+−++−
dxxPxPmmml
ll
( ) ( )[ ] 011
0)()(
1
1
=+−+
=∫− mm
dxxPxPm
lll
Suku II
Suku I + Suku II = 0
0)()(1
1
=∫−
dxxPxPml
0)()(1
1
=∫−
dxxPxPml
13
)(1 = xxP
Polinomial-polinomial legendre merupakan
fungsi-fungsi yang saling ortogonal:
1−
2
1
2
3)( 2
2 −= xxP
04
1
8
3
4
1
8
3
4
1
8
3
2
1
2
3
2
1
2
31
1
241
1
31
1
2 =
−−
−=
−=∫
−=∫
−−−−
xxdxxxdxxx
3
2
3
1
3
1
3
1)()(
1
1
31
1
21
111
=
−−=
=∫=∫−−−
xdxxdxxPxP
Normalisasi polinomial legendre
A
Au r
r) = →Vektor satuan
disebut proses normalisasi
Besarnya satu satuan
22
)()()( NdxxAdxxAxAb
a
b
a
=∫=∫
)(xA ),( baBerapa normalisasi dalam selang ?
disebut proses normalisasi tinjau untuk fungsi
)(xA ),( ba
)(xAN
1
Jadi jika dinormalisasi dalam selang maka
dikali dengan setelah dinormalisasi N
1)( =nilainya
N
xA
N
1
setelah dinormalisasi
disebut faktor normalisasi
( )∫−
==π
π
ππ2
sinsin nxdxnx
nxsin π=NNormalisasifungsi ?
Contoh:
nxsin π=N
π11 =
N
1sin1 =nxπ
Normalisasifungsi ?
Faktor normalisasi fungsi nxsin ?
)(xPl
Berapa normalisasi untuk ?
)()(')('1
xPxPxxPlll
l=− −
⊗ )(xPl
⊗⊗−= − )(')()(')()()(1
xPxPxPxxPxPxPllllll
l
Hubungan Rekursif Polinomial Legendre b)
Kalikan dengan
⊗⊗ )1,1(−
dxxPxPdxxPxxPdxxPxP )(')()(')()()(1
1
1
1
1
1
1−
−−−∫−∫=∫ llllll
l
0dxxPxxPdxxPxP )(')()()(
1
1
1
1llll
l ∫=∫−−
∫udv
integrasikan untuk selang
bypart
( )
( )2)(
21
)()()(')(
xPv
xPdxPdxxPxPdv
dxduxu
l
llll
=
===→=
( ) − 11
11
Ruas kanan dengan integral bypart:
( ) ∫−
−−
1
11
2 )()(21
)(21
dxxPxPxPxlll
( ) ∫−
=∫−−−
1
1
1
1
21
1
)()(2
1)(
2
1)()( dxxPxPxPxdxxPxP
llllll
( ) ( )221
1
)1(2
1)1(
2
1)()(
2
1 −+=∫
+−
lllll PPdxxPxP
dengan demikian:
21
1)()(
1
1 +=∫
−l
lldxxPxP
122
212
1)()(
1
1 +=+=∫
− llll
dxxPxP
Jadi
)(xPl
12
2
+=
lN
2121 += l
N
Berapa normalisasi untuk ?
Faktor normalisasi ?
Fungsi Legendre yang Diasosiasikan
( ) 01
12'')1(2
2
2 =
−−++−− y
x
mxyyx ll
22l≤m
PDB yang mirip dengan Legendre
dengan
)()1( 22 xPdx
dxy
m
mm
l−=
( ) )(1)( 22 xPdx
dxxP
m
mmm
ll−=
PDB ini memiliki solusi :
Solusi ini disebut fungsi legendre yang diasosiasikan yang ditulis sebagai :
( ) ( )ll
l
ll
l11
!21
)( 222 −−=+
+
xdx
dxxP
m
mmm
mUntuk negatif fungsi legendre asosiasi dapat ditentukan
Formula Rodriguez untuk mencari
fungsi legendre yang diasosiasikan :
dengan formula sebagai berikut :
( ) ( )( ) )(
!
!1)( xP
m
mxP mmm
ll
l
l
+−−=−
)(xPm
lm
)1,1(−
ndxxPxP mn
m ≠=∫−
ll
,0)()(1
1
Fungsi untuk setiap merupakan himpunan fungsi-
sehingga :
dengan formula sebagai berikut :
fungsi yang orthogonal pada selang
( )( )!
!
12
2)()(
1
1 m
mdxxPxP m
m −+
+=∫
− l
l
ll
l
PDB legendre diasosiasikan sering juga ditulis dalam bentuk
Normalisasi fungsi Legendre yang
diasosiasikan adalah :
sebagai berikut :
( ) 0sin
1sinsin
12
2
2=
−++
ym
d
dy
d
d
θθθ
θθll
θcos=x
?)(cos1
1θP
Fungsi ini diperoleh dengan mengganti
sebagai berikut :
?)(cos1
1θP
( ) )(1)(1
2
121
1xP
dx
dxxP −=
( ) )(1)( 2
121 x
dxxP −=
( )xxP 211 cos1)( −=
( )xxP 21
1sin)( =( ) )(1)( 221
1x
dx
dxxP −=
( ) 11)( 2
121
1⋅−= xxP
( )21
11)( xxP −=
( )1
xxP sin)(11 =
PDB Bessel
( ) 0''' 222 =−++ ypxxyyx
P adalah konstan, tidak perlu bilangan bulat, disebut orde fungsi Bessel. Dengan menggunakan metode deret pangkat, PDB bessel dapat dicari solusinya.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
+Γ−
+Γ+
+Γ−
+Γ+Γ= ...
24!3
1
23!2
1
22
1
1
11
642
0
x
p
x
p
x
pppxay p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
+ΓΓ−
+ΓΓ+
+ΓΓ−
+ΓΓ+Γ
= ...24)4(
123)3(
122)2(
11)1(1
12
2642
0
x
p
x
p
x
ppp
xay
p
p
PDB bessel dapat dicari solusinya.
atau
Solusi pertama yang memenuhi PDB bessel adalah
( )pay
p +Γ==
12
10
!2
100 P
a =
y
)(xJp
atau Maka:
Jenispertamayangditulis sebagai
Jika dipilih
disebut sebagai Fungsi Bessel
)(xJp
( ) ( ) ( )( )
( )pn
n
nppp
p
x
pnn
x
p
x
p
x
pxJ
+∞
=
++
++Γ+Γ−=+
+ΓΓ+
+ΓΓ−
+ΓΓ= ∑
2
0
62
21)1(
1...
23)3(
1
22)2(
1
21)1(
1)(
( )( )
pn
n
n
p
x
pnnxJ
−∞
=−
∑
+−Γ+Γ−=
2
0 21)1(
1)(
Jenispertamayangditulis sebagai
Dengan demikian :
Solusi kedua yang memenuhi PDB Bessel menghasilkan fungsibessel jenis kedua sebagai berikut :
)(xJp
)(xJp−
( ) )(1)( xJxJp
p
p−=→ −
0=→ p
dan
Hubungan
( ) ( ) ( )
...3664644
1
...23)3(
122)2(
121)1(
1)(
0
642
420
0
+⋅
−+−=
−
ΓΓ+
ΓΓ−
ΓΓ=
=→
xxx
xxxxJ
p
[ ] )()(1
xJxxJxdx
dp
p
p
p
−=
[ ] )()(1
xJxxJxdx
dp
p
p
p
+−− −=
Hubungan Rekursif Fungsi Bessel :
a)
b) [ ]1dx pp +
c) )(2
)()(11
xJx
pxJxJ
ppp=+ +−
)('2)()(11
xJxJxJppp
=− +−
)()()()()('11
xJxJx
pxJxJ
x
pxJ
ppppp +− −=+−=
d)
e)
( ) 0'21
''2
22221 =
−++−+ − yx
cpabcxy
x
ay c
( )c
p
a bxJxy =11
Solusinya
PDB umum yang solusinya mengandung
fungsi bessel
)2( xxJy =0
14'
1''
2=
++− yx
yx
y
220 −= cxx
1
22
121
==
−=−
a
a
a
2
4)1(
42
22
±===
b
b
cb
1
22
022
==
=−
c
c
c
0
0
1)1()1(
1
2
222
222
==
=−=−
p
p
p
cpa
)2(0
xxJy =
Jenis-jenis lain fungsi bessel:
)()()(
)()()()2(
)1(
xiNxJxH
xiNxJxH
ppp
ppp
−=
+=xixe ix sincos ±=±
a) Fungsi Bessel jenis ketiga disebut fungsi Henkel
Bandingkan dengan
( )( )p
xJxJpxYxN pp
pp ππ
sin
)()(cos)()( −−
==di sini
b) Fungsi Bessel Hiperbolik
)(2
)(
)()(
)1(1 ixHixK
ixJpixI
pp
p
pp
+
−
=
=
π
−== + x
x
dx
d
xxxJ
xxJ
n
n
nn
sin1)(
2)(
2
)12(
π
c) Fungsi Bessel Sperik
−−==
+ x
x
dx
d
xxxY
xxY
n
n
nn
cos1)(
2)(
2
)12(
π
)()()(
)()()()2(
)1(
xiYxJxh
xiYxJxh
pnp
pnp
−=+=
Ortogonalitas Fungsi Bessel
badxbxJaxJxpp
≠=∫ ;0)()(1
0
a b )(xJp
xxJ sin2
)( =
dan pembuat nol
Diketahui xx
xJ sin2
)(2
1 π=
)(2
3xJ )(),(
10xJxJ
?)(2
3 =xJ
Diketahui
Dengan menggunakan hubungan rekursif Fungsi Bessel.Cari
kemudian cari
=)(2
3xJ
)()(2
32
1
2
12
1
xJxxJxdx
d −−−=
)(sin2
32
1
2
1
xJxxx
xdx
d −−−=
π
−−=−
2
2
1
2
3
sincos2)(
x
xxxxxJ
π
−= xx
x
xxJ cos
sin2)(
3 π2
3xdx
π
)(sin2
2
32
1
2
1
2
1
xJxxxxdx
d −−−−=
π
)(sin2
2
32
1
xJx
x
dx
dx =
−−
π
−= xxx
xJ cos)(2
3 π
x
xx
xxxJ
xxJ
sinsin
2
2)(
2)(
2
10===
πππ
2
sincossincos2
2)(
2)(
2
2
1
2
31
xxx
x
xxxx
xxJ
xxJ
−=
−⋅==π
ππ
Fungsi Hermite
( ) 3,2,1,0;12'' 2 =+−=− nynyxynnn
2
2
2 x
n
nx
ne
dx
dey −=
2
Persamaan Differensial untuk fungsi hermite :
Solusi PDB ini adalah disebut sebagai fungsi Hermitedx
( ) 2
2
1x
ne−
( ) 2
2
21)( x
n
nxn
ne
dx
dexH −−=
Jika fungsi hermite ini dikalikan dengan
akan didapat polinomial hermite
,...2,1,0=n
24)(
2)(
1)(
2
2
1
0
−===
xxH
xxH
xH
Untuk didapat
02'2'' =+− nyxyyn
0;0)()(2
=≠=∫∞
∞−
− mndxxHxHe mnx
Polinomial hermite memenuhi persamaan differensial hermite
Ortogonalitas polinomial hermite
mnndxxHxHe n
mn
x ==∫∞
∞−
− ;!2)()(2 π
∑==∞
− )(),(2
nhxHehxφ
Fungsi pembangkit polinomial hermite
Normalisasi polinomial hermite
∑==∞
=
−
0
2
!)(),(
2
nn
hxh
n
hxHehxφ
)(2)('1
xnHxHnn −=
)(2)(2)(11
xnHxxHxHnnn −+ −=
242)2(2)( 2
2−=−= xxxxH
Hubungan rekursif polinomial hermite :
a)
b)
Fungsi Laguarre
0')1('' =+−+ nyyxxy
( )nd= 1
Polinomial laguarre merupakan solusi dari PDB :
Dapat dicari dengan formula Rodriguez sebagai berikut :
( )xn
n
x
nex
dx
de
nxL −=
!
1)(
,...2,1,0=n
221)(
1)(
1)(
2
2
1
0
xxxL
xxL
xL
+−=
−==
Untuk didapat:
Ortogonalitas polinomial laguarre
∫ ≠=∞
−
0
;0)()( kndxxLxLekn
x
∫∞
−
Normalisasi polinomial laguarre
∫− ==
0
;1)()( kndxxLxLe knx
∑∞
=
−−
=−
=0
)1(
)(1
),(n
nn
h
xh
hxLh
ehxφ
Fungsi pembangkit polinomial laguarre
Hubungan rekursif polinomial laguarre :
0)()(')('1
=+−+ xLxLxLnnn
( ) 0)()(12)()1( =+−+−+ xnLxLxnxLn
a)
b) ( ) 0)()(12)()1(11
=+−+−+ −+ xnLxLxnxLnnnn
0)()()('1
=+− − xnLxnLxxLnnn
b)
c)
HAVE FINISHED…
Go to the next concept…Go to the next concept…