FUNGSI DAN LIMIT -...
Transcript of FUNGSI DAN LIMIT -...
FUNGSI DAN LIMIT
2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Fungsi
Sebuah fungsi ๐ adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek ๐ฅ dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik ๐(๐ฅ) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut.
Notasi Fungsi
Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti ๐ (atau ๐น). Maka ๐(๐ฅ) yang dibaca โ๐ dari ๐ฅโ atau โ๐ pada ๐ฅโ, menunjukkan nilai yang diberikan oleh ๐ kepada ๐ฅ.
Jadi, jika ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 โ 4.
๐ 2 = 23 โ 4 = 4
๐ โ1 = (โ1)3โ4 = โ5
๐ ๐ = ๐3 โ 4
๐ ๐ + ๐ = (๐ + ๐)3โ4 = ๐3 + 3๐2๐ + 3๐๐2 + ๐3 โ 4
Daerah Asal dan Daerah Hasil
Daerah Asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai.
Daerah Hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.
Contoh :
Cari daerah asal mula (natural) ๐ ๐ฅ = 1/(๐ฅ โ 3)
Solusi :
Daerah asal mula untuk ๐ adalah ๐ฅ โ โ . Ini dibaca โhimpunan ๐ฅ dalam โ (bilangan riil) sedemikian sehingga ๐ฅ tidak sama dengan 3โ. Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.
Grafik Fungsi
Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, maka kita dapat menggambarkan grafiknya pada bidang koordinat. Grafik fungsi ๐ adalah grafik dari persamaan ๐ฆ = ๐ ๐ฅ . Contoh :
Buatlah sketsa grafik dari ๐ ๐ฅ = 2/(๐ฅ โ 1). Solusi :
Jika ๐ฅ mendekati, nilai-nilai ๐ ๐ฅ membesar tanpa batas (misalnya, ๐ 0,99 = โ200 dan ๐ 1,001 = 2000).
Garis tegak putus-putus disebut asimtot, pada ๐ฅ = 1 dan pada sumbu ๐ฅ. (Garis asimtot pada grafik tersebut bukan merupakan bagian dari grafik). Daerah asal fungsi *๐ฅ โ โ โถ ๐ฅ โ 1+, daerah hasil *๐ฆ โ โ โถ ๐ฆ โ 0+.
Fungsi Genap dan Ganjil
Digunakan untuk memperkirakan kesimetrian
grafik dan fungsi.
Jika ๐ โ๐ฅ = ๐ ๐ฅ Simetri thd sumbu ๐ฆ
(Fungsi Genap)
Jika ๐ โ๐ฅ = โ๐ ๐ฅ Simetri thd titik asal
(Fungsi Ganjil)
Dua Fungsi Khusus
a. Fungsi Nilai Mutlak
๐ฅ = ๐ฅ ๐๐๐๐ ๐ฅ โฅ 0โ๐ฅ ๐๐๐๐ ๐ฅ < 0
b. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar
๐ฅ = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
atau sama dengan ๐ฅ
Jadi, โ3,1 = 3,1 = 3,1, sedangkan
โ3,1 = โ4 dan 3,1 = 3
2.2 Operasi pada Fungsi
Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi,
Pangkat. Misal fungsi-fungsi ๐ dan ๐
dengan rumus-rumus
๐ ๐ฅ =๐ฅ โ 3
2, ๐ ๐ฅ = ๐ฅ
Komposisi Fungsi Jika ๐ bekerja pada ๐ฅ untuk menghasilkan ๐(๐ฅ) dan kemudian ๐ bekerja pada
๐(๐ฅ) untuk menghasilkan ๐(๐ ๐ฅ ), dikatakan bahwa kita telah menyusun ๐
dengan ๐. Fungsi yang dihasilkan disebut komposit ๐ dengan ๐, dinyatakan
oleh
๐ โ ๐ ๐ฅ = ๐(๐(๐ฅ))
Contoh :
Translasi (Penggeseran)
Contoh :
Katalog Sebagian dari Fungsi
a. Fungsi Konstan
Fungsi berbentuk ๐ ๐ฅ = ๐, dengan ๐ konstanta (bilangan riil).
b. Fungsi Identitas
Fungsi berbentuk ๐ ๐ฅ = ๐ฅ.
c. Fungsi Polinom
Fungsi yang diperoleh dari fungsi konstan dan dan fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Fungsi ini berbentuk
๐ ๐ฅ = ๐๐๐ฅ๐ + ๐๐โ1๐ฅ
๐โ1 + โฏ+ ๐1๐ฅ + ๐0
d. Fungsi Linear
Fungsi berderajat satu. Fungsi ini berbentuk
๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ + ๐
e. Fungsi Kuadrat
Fungsi berderajat dua. Fungsi ini berbentuk
๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐
f. Fungsi Rasional
Fungsi yang diperoleh dari hasil bagi fungsi-fungsi polinom. Fungsi ini berbentuk
๐ ๐ฅ =๐๐๐ฅ๐+๐๐โ1๐ฅ
๐โ1+โฏ+๐1๐ฅ+๐0
๐๐๐ฅ๐+๐๐โ1๐ฅ๐โ1+โฏ+๐1๐ฅ+๐0
g. Fungsi Aljabar Eksplisit
Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui lima operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar.
Contohnya : ๐ ๐ฅ =๐ฅ+2 ๐ฅ
๐ฅ3+ ๐ฅ2โ13
2.3 Fungsi Trigonometri
Kesamaan-Kesamaan Penting
2.4 Pendahuluan Limit Pemahaman Secara Intuisi
Pandang Fungsi yang ditentukan oleh rumus
๐ ๐ฅ =๐ฅ3 โ 1
๐ฅ โ 1
Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada ๐ฅ = 1 karena di titik ini ๐(๐ฅ) berbentuk
0
0 , yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang
terjadi pada ๐(๐ฅ) bilamana ๐ฅ mendekati 1.
Kesimpulannya :
๐(๐ฅ) mendekati 3
bilamana ๐ฅ
mendekati 1. Kita
tuliskan,
lim๐ฅโ1
๐ฅ3 โ 1
๐ฅ โ 1= 3
Dibaca :
โlimit dari ๐ฅ3 โ 1 /๐ฅ โ 1 untuk ๐ฅ
mendekati 1 adalah
3.
Definisi Limit
(Pengertian limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa
lim๐ฅโ๐
๐ ๐ฅ = ๐ฟ berarti bahwa bilamana ๐ฅ dekat tetapi berlainan dari ๐,
maka ๐(๐ฅ) dekat ke ๐ฟ.
Limit-Limit Sepihak
2.5 Pengkajian Mendalam Tentang
Limit Definisi Limit
(Pengertian persis tentang limit). Mengatakan bahwa
lim๐ฅโ๐
๐ ๐ฅ = ๐ฟ berarti bahwa untuk tiap > 0 yang diberikan (betapapun
kecilnya), terdapat ๐ฟ > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ โ ๐ฟ < asalkan bahwa 0 < ๐ฅ โ ๐ < ๐ฟ; yakni,
0 < ๐ฅ โ ๐ < ๐ฟ โ ๐ ๐ฅ โ ๐ฟ <
Contoh Bukti Limit
Limit-Limit Satu Pihak
2.6 Teorema Limit
2.7 Limit melibatkan Fungsi
Trigonometri
2.8 Limit-limit pada Tak
Berhingga, Limit-limit Tak Hingga
2.9 Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan Fungsi yang Banyak
Dikenal
Kekontinuan Fungsi yang Banyak
Dikenal