Fundamentos matemáticos: Grupo 3
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Universidad Técnica Particular de Loja
Fundamentos MatemáticosCónicas
Grupo N° 3Integrantes
- Max Granda- José Sánchez- Digar Cueva
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Línea Recta Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos
diferentes cualesquiera y de la recta numérica. Su Ecuación General dada : Ax + By + C = 0
Una ecuación de una recta es representada como una ecuación de primer grado Su ecuación ordinaria es: y = mx + b m; pendiente
b; ordenada ( indica donde corta al eje de las coordenadas (eje Y) El valor de la pendiente m es calculado mediante la fórmula
Ecuación de la Recta que pasa por uno y dos puntos y tiene una pendiente dada
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PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.
Características: Vértice. Es el punto donde la parábola corta a su eje focal. Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra
del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz. Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la
parábola. Directriz. Es el eje focal de la parábola. Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz. Parámetro p. Distancia del foco al vértice.
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PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma .
Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo.
Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas
que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz.
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Parábola Parábolas con Vértice (0, 0) • Ecuación estándar • Abre Hacia arriba o Hacia hacia abajo derecha
abajo o hacia la izquierda • Foco (0, p) (p, 0) • Directriz y =-p x =-p • Eje eje y eje x • Longitud focal p p • Ancho focal │4p│ │4p│
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Parábola Parábolas con Vértice (h, k) • Ecuación estándar • Abre Hacia arriba o Hacia hacia abajo derecha
abajo o hacia la izquierda • Foco (h, k+p) (h+p, k) • Directriz y =k-p x =h-p • Eje x=h y=k • Longitud focal p p • Ancho focal │4p│ │4p│
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Circunferencia
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• Algebraicamente las secciones cónicas se pueden definir en términos de la ecuación general de segundo grado.
• La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica.
• Conjunto de todos los puntos (x,y) que son equidistantes de un punto fijo (h,k).
• Forma canónica o estándar de la circunferencia.
022 FEyDxCyBxyAx
Circunferencia
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x2 + y2 = r2
Con centro en (h, k)
Con centro en el origen (0, 0)
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Hipérbole
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Es el conjunto de todos los puntos (x,y) para los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento de recta que une a los vértices es el eje transversal, y el punto medio del eje transversal es el centro de la hipérbola . Tiene dos ramas separadas.
Hipérbole
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El valor absoluto de la diferencia entre las distancias es constante Los elementos de una hipérbola son:
- F y F’, focos. - VV’, eje transverso- V y V’, vértices. - C, centro- L, eje focal. - L’, eje normal- AA’, eje conjugado - CF, lado recto
Hipérbole
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•Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación es de la forma
• Sus focos son (h,k+c) y (h,k -c) y • Sus vértices son (h-a,k ) y (h+a,k ).
1)()(2
2
2
2
bhx
aky
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Las intersecciones con el eje X, que también son los vértices son x=± a, y no hay intersecciones con el eje Y. Haga x=0 y despeje Y.
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•Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:
• Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:
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Asíntotas de hipérbola con centro (0,0)
La hipérbola se acerca a estas rectas asíntotas, en tanto un punto P(x,y) sobre la hipérbola se mueve hacia afuera del origen. Una forma fácil de dibujar las asíntotas es primero dibujar el rectángulo y luego trazar las diagonales de este rectángulo.
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• Los vértices se encuentran a unidades del centro, y los focos se encuentran a c unidades del centro con:
• La excentricidad de la hipérbola está dada por el cociente.
• En la hipérbola c>a, entonces resulta que e>1. Si la excentricidad es grande las ramas de la hipérbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas son más puntiagudas
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ELIPSE Elementos:
Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a
los focos: PF y PF'. Distancia focal: Es el segmento FF de longitud 2c, c es el valor de la
semidistancia focal. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y
B'. Eje mayor: Es el segmento AA de longitud 2 a, a es el valor del semieje mayor. Eje menor:Es el segmento BB de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de
intersección de los ejes de simetría.
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Elípse
Elipses con centro (0,0) Ecuación estándar Eje focal Eje x Eje y Focos Vértices Semieje mayor a a Semieje menor b b Relación pitagórica
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Gráficas de una Elipse (0,0)
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Elípse Elipses con centro (h, k)
Ecuación estándar Eje focal y=k x=h Focos Vértices Semieje mayor a a Semieje menor b b
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Gráficas de una Elipse (h,k)