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Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 8
25 de janeiro de 2013
Aula 5 Fundamentos de Matemática 1
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O Problema dos Peixes Voadores
Aula 5 Fundamentos de Matemática 2
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Problema formulado originalmente porJohn Conway.
Adaptação do contexto sugerida porCarlos Tomei.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 3
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Colocando um peixe no nível 1
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Colocando um peixe no nível 1
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Colocando um peixe no nível 1
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Colocando um peixe no nível 2
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Aula 5 Fundamentos de Matemática 29
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Colocando um peixe no nível 5: não é possível!
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Como provar?
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Aula 5 Fundamentos de Matemática 45
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x11 x10 x8 x9x9 x11x10
Aula 5 Fundamentos de Matemática 46
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Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
Aula 5 Fundamentos de Matemática 47
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Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
Aula 5 Fundamentos de Matemática 48
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Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Aula 5 Fundamentos de Matemática 49
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A energia deste peixe é x5
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Aula 5 Fundamentos de Matemática 50
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A energia deste cardume é x5 + x6 + x7
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Aula 5 Fundamentos de Matemática 51
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Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 52
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Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1
xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 53
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Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 54
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Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn
xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 55
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Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 56
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Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1
xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 57
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Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 58
![Page 59: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/59.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 59
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Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 60
![Page 61: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/61.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 61
![Page 62: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/62.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 62
![Page 63: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/63.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 63
![Page 64: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/64.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 64
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Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1− x − x2 = 0 ⇒ x =−1−
√5
2ou x =
−1 +√
52
.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 65
![Page 66: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/66.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
x =−1 +
√5
2é > 0 e < 1.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 66
![Page 67: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/67.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(1− x − x2) = 0
Aula 5 Fundamentos de Matemática 67
![Page 68: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/68.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
−xn < 0
Aula 5 Fundamentos de Matemática 68
![Page 69: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/69.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(x2 − x − 1)= xn(1− x − x − 1)= −2 xn+1 < 0
Aula 5 Fundamentos de Matemática 69
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Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(x2 − x − 1)= xn(1− x − x − 1)= −2 xn+1 < 0
Aula 5 Fundamentos de Matemática 70
![Page 71: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/71.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(x2 − x − 1)= xn(1− x − x − 1)= −2 xn+1 < 0
Aula 5 Fundamentos de Matemática 71
![Page 72: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/72.jpg)
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1− x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
Moral: em cada jogada, a energia de um cardume nunca aumenta!
Aula 5 Fundamentos de Matemática 72
![Page 73: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/73.jpg)
Qual é a energia de todo o oceano?
0
1
2
3
4
5
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Aula 5 Fundamentos de Matemática 73
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Qual é a energia de todo o oceano?
x5 + x6 + x7 + · · ·
+
2 ·(
x6 + x7 + x8 + · · ·)
+
2 ·(
x7 + x8 + x9 + · · ·)
+
...
Aula 5 Fundamentos de Matemática 74
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Qual é a energia de todo o oceano?
x5 ·(
1 + x + x2 + · · ·)
+
2 x6 ·(
1 + x + x2 + · · ·)
+
2 x7 ·(
1 + x + x2 + · · ·)
+
...
Aula 5 Fundamentos de Matemática 75
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Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x+
2 x6 · 11− x+
2 x7 · 11− x+
...
Aula 5 Fundamentos de Matemática 76
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Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x
+ 2 x6 · 11− x
+ 2 x7 · 11− x
+ · · ·
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· 1
1− x
=x5
x2 +2 x6
x2 ·1x2
=
x3 + 2 x2
Aula 5 Fundamentos de Matemática 77
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Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x
+ 2 x6 · 11− x
+ 2 x7 · 11− x
+ · · ·
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· 1
1− x
=x5
x2 +2 x6
x2 ·1x2
=
x3 + 2 x2
Aula 5 Fundamentos de Matemática 78
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Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x
+ 2 x6 · 11− x
+ 2 x7 · 11− x
+ · · ·
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· 1
1− x
=x5
x2 +2 x6
x2 ·1x2
=
x3 + 2 x2
Aula 5 Fundamentos de Matemática 79
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Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x
+ 2 x6 · 11− x
+ 2 x7 · 11− x
+ · · ·
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· 1
1− x
=x5
x2 +2 x6
x2 ·1x2
=
x3 + 2 x2
Aula 5 Fundamentos de Matemática 80
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Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11− x
+ 2 x6 · 11− x
+ 2 x7 · 11− x
+ · · ·
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1− x+
2 x6
1− x· 1
1− x
=x5
x2 +2 x6
x2 ·1x2
=
x3 + 2 x2
Aula 5 Fundamentos de Matemática 81
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Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 5 Fundamentos de Matemática 82
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Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 5 Fundamentos de Matemática 83
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Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 5 Fundamentos de Matemática 84
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Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 5 Fundamentos de Matemática 85
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Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 5 Fundamentos de Matemática 86
![Page 87: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/87.jpg)
Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 5 Fundamentos de Matemática 87
![Page 88: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/88.jpg)
Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1− x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=x + x2
=
x + 1− x
=
1
Aula 5 Fundamentos de Matemática 88
![Page 89: Fundamentos de Matemática - professores.im-uff.mat.br · Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 8 25 de janeiro de 2013 Aula 5 Fundamentos de Matemática](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060807/608c1ce95aeb5f252811d880/html5/thumbnails/89.jpg)
Não é possível colocar um peixe no nível 5!
0
1
2
3
4
5x0
Aula 5 Fundamentos de Matemática 89
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Referência:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/checker.shtml
Aula 5 Fundamentos de Matemática 90
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Seção de Exercícios
Aula 5 Fundamentos de Matemática 91