Funciones reales de varias variables
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Funciones reales Funciones reales dede varias variablesvarias variables
Tema:Tema:
UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS
UPC
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http://www.math.umn.edu/~rogness/quadrics/index.shtml
Gráficas de algunas superficies
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Funciones reales de dos
variables Sea D contenido en R2.
Una función f:D R (x,y) z=f(x,y)es una correspondencia que asocia a cada par (x,y) un único número real denotado por z=f(x,y)
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Curvas de Nivel: Son aquellas curvas que se generan al hacer z = k, cte. real
Gráfica de una función:Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D}
DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) parael cual tiene sentido la regla que define a f.
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http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/levelcurve/
Curvas de nivel
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),( yx
hyxf x
y)f(x,-y)h,f(x lim ),(
0h
DERIVADA PARCIAL RESPECTO X
Y
X
Z
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http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/partialderivs.shtml
Interpretación geométrica de
derivada parcial
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Ejemplo: Si 222 34x ),( yyxyxf
Entonces:
yxyxf
xyxyxf
y
x
23),(
68),(2
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Otras notaciones z = f(x,y)
fff x x11 D D f x
z
x
f
fff y y22 D D f y
z
y
f
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Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)
x
v
x
x )
u
vua
x
vu
x
u v
x
(uv) )
b
2x
uv
x
)v
x
vu
v
uc
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x
u un
x ) 1-n
nud
xu
e x
) u
uee
xu
1
un x
)
ulf
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Ejemplo: hallar fx y fy si
ln(xy) e ),( xyxf
y
eyxf
x
exyeyxf
x
y
xx
x
),(
)ln(),(
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Derivadas parciales de segundo orden
2
2
2
2
11xxf x
z
x
f
x
f
xff xx
xy
z
xy
f
x
f
yff yx
22
12xyf
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Derivadas parciales de segundo orden
yx
z
yx
f
y
f
xff
xy
22
21yxf
2
2
2
2
22yyf y
z
y
f
y
f
yff
yy
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Ejemplo hallar
Si32 3 x ),( xyyyxf
. f ,f , yxxy yyxx fyf
292),( , 2),( yxyxfyyxf xyxx
292),( , 18),( yxyxfxyyxf yxyy
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Teorema de Clairaut
Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .
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DERIVADAS DIRECCIONALES
),( yxx
y
z
u
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http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/dirderiv.shtml
Interpretación geométrica de
derivada direccional
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Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por:
h
y)f(x, - ) huy ,hu x( f lim y)f(x, 21
0h
u
D
si el límite existe.
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Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:
2y1x u y)(x, f u y)(x, f y)f(x, u
D
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Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del vector v = (1,2).
5
2
)2,1(5
1)1,2(),(
y
xyxyxfDu
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GRADIENTE
jyxfiyxfyxf yx ),(),(),(
x),( yx
),( yxf
y
z
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del sen término direccional Derivada
uyxfyxfDu
),(),(
Q(3,2) a P(2,2)
dedirección laen )2,2( b)Halle
mente.geométrica
lorepreséntey )2,2( ea)Encuentr
),( Sea :Ejemplo 22
fD
f
yxyxf
u
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Teorema
a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0).
b) La tasa máxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.
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Corolario
a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0)
b) La tasa mínima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .