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Profesor: Mg. ALBITRES INFANTES, Jhonny
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FUNCIONES
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FUNCIONES
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FUNCIÓN Definición:
Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es unarelación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno ysolo un elemento y del conjunto B.
Se expresa como: f: A B x f( x) = y
Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es lapre-imagen de f( x) = y
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FUNCIÓN Conceptos:
Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cualesestá definida la función y se denotaDom f.
Rango :es el conjunto de todos los valores que toma lavariable dependiente(Y),y se denotaRan f.
Función Creciente:es aquella que al aumentar la variableindependiente, también aumenta la variabledependiente.
Función Decreciente:es aquella que al aumentar la variable
independiente, la variable dependiente disminuye.
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FUNCIÓN
Conceptos Fundamentales:
Si tenemos una relación fentre dos conjuntos A y B, fse diráfunciónsi a cada valor del conjunto de partida A le
corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B.
f(x)
A B f
a
x
b = f(a)
f(x)
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Conceptos Fundamentales: La variable xcorresponde a la variable independiente y lavariable cuyo valor viene determinado por el que toma x, sellama variable independiente. Se designa generalmente por yo
f(x) [se lee “ f de x”]. Decir que “ y” es función de “ x” equivale adecir que “ y” depende de “ x”.
A B f
a
x
b = f(a)
f(x)
FUNCIÓN
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o
Conceptos Fundamentales
Se dirá: f : A B
b € Bes la imagen dea € Abajo la función f y se denota por
b= f(a)
Dom f =A Si ( x, y) € f^ ( x, z) € f y = z(Unívoca)
Toda función es relación, pero no toda relación
es función.
FUNCIÓN
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Rango o Recorrido de f:Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos suselementos son imagen de alguna preimagen del dominio oconjunto de partida. Se denota porRec f.
12345
67
Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo unaimagen en B.
a
b
c
d
e
12345
67
A B
f
FUNCIÓN
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Luego para la función f denotada:
Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e} Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}
a
b
c
d
e
123456
7
A B f
Los elementos {5, 6} no son imagen de ningunapreimagen en A,luego no pertenecen al rango de f .
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FUNCIÓN
La Respuesta correcta es B
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FUNCIÓN
La Respuesta correcta es D
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Conjunto
de seres
humanos
A cada ser humano
se le asocia su
padre biológico
•Todo elemento del dominio tiene asociado un único
elemento del contradominio. Todo ser humano tiene unúnico padre biológico•No todo elemento del contradominio tiene asociado un
elemento del dominio. No todo ser humano es un padre
biológico
Conjunto
de seres
humanos
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Sean y dos conjuntos arbitrarios.Una función de en es una asociación entre elementos
de y donde a todos y cada uno de los elementos de
se les asocia un único elemento de .
El conjunto
A B A B
A B A
B
A∗ se llama de la función.
Al conjunto
dominio
codominiose le cdenomina ontradom io .nio B∗
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( )
Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.También se le llama imagen del dominio bajo la función.
ada la función ! el rango de " es el conjunto
#ango de ! para
f A B f
f x B x f a
→
= ∈ ={ }
Evidentemente el rango de es un subconunto del
contradominio!
El rango de #ango de $ont
alguna
radomini deo
a
f f
A
f
∈
∗
⊂
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ab
cd
e
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ab
cd
e
Dominio
-
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ab
cd
e
DominioCodominio
-
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ab
c
de
DominioCodominio
Rango
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A la calabaza se le asocian dos
elementos en el contradominio
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∂
∇
∃
J
A
parcial
nabla
raiz
existe
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∂
∇
∃
J
Aparcial
nabla
raiz
existe
El elemento en no tiene ningún elemento
asociado en
A
B
J
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De!inimos una !unción de x en y como
toda aplicación "regla# criterio
per!ectamente de!inido$# %ue a un
número x "&ariable independiente$# le
hace corresponder un número y "' solo
uno llamado &ariable dependiente$.
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I. FUNCIÓN LINEAL
Es de la forma f( x) =mx +n
con m : Pendiente
n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y elejeY (coeficiente de posición).
Ejemplo:
La función f( x) = 5 x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al ejeY enla ordenada -3.
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I. FUNCIÓN LINEAL Análisis de la Pendiente
Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debeanalizar el signo de la pendiente.
• Sim < 0, entonces la función es decreciente.• Sim = 0, entonces la función es constante.• Sim > 0, entonces la función es creciente.
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I. FUNCIÓN LINEAL
I) II)
X
Y
n
m > 0n > 0
X
Y
n m < 0n > 0
X
Y
n
m> 0
n< 0
X
Y
n
m
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I. FUNCIÓN LINEAL Tipos de funciones especiales:
a) La función de forma f( x) = x, se reconoce como funciónidentidad y su gráfica es:
1
2
f( x)
x1 2-1
-1
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I. FUNCIÓN LINEAL Tipos de funciones especiales:
b) La función de la forma f( x) =c, conc: Constante Real, seconoce como función constante y su gráfica es:
f( x)
x
●c
conc > 0 f( x)
x
●c
conc < 0
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I. FUNCIÓN LINEAL Propiedades:
El dominio de la función lineal son todos los números IR.
Las rectas que tienen la mismam serán paralelas.
Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es-1serán perpendiculares.
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I. FUNCIÓN LINEAL Evaluación de una función lineal:
Dada la función f( x) =mx +n, si se busca el valor de la funciónpara un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, asícomo también si se busca el valor de x conociendo el valor de lafunción.
Ejemplo
La función que representa el valor a pagar en un taxi, después derecorridos 200m es:
f( x) = 0.8 x + 250 con x: cantidad de metros recorridos
f( x): costo en pesos3 km = 3000 m
Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es:
f(3000) = 0.8·3000 + 250 = 2650Por 3 kilómetros se pagan $2650.
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I. FUNCIÓN LINEAL
Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó$2.250, se debe resolver la siguiente ecuación:
2250 = 0.8 x + 250 / -250
2000 = 0.8 x / :0.8 2500 = x
Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5
kilómetros.
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I. FUNCIÓN LINEAL
Construcción de una Función Lineal conocidos valores de ella:
Para construir una función lineal se deben conocer dosrelaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de lafunción, es decir:
( x , f( x )) y ( x , f( x ))O bien si a f( x) le llamamos y, entonces los pares quedan:( x , y ) y ( x , y )
Donde la función buscada será:
1 1 2 2
1 1 2 2
1121 x2 - x1
2 1
y – y 1= y2 - y 1 ( x – x 1)
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I. FUNCIÓN LINEAL Ejemplo
Si se sabe que el agua se congela a 32º F ó 0º C y hierve a212º F ó 100º C, ¿cómo se puede expresar los ºF como funciónlineal de los ºC?
Solución:
Se tiene la siguiente información:
y
Cº : variable independiente ( x)
ºF : variable dependiente ( y)
(0, 32) (100, 212)
x y1 1
x y22
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I. FUNCIÓN LINEAL
Reemplazando en:
Se tiene:
Donde la función que representa los ºF respecto de ºC es.
1121
x - x2 1 y – y = y - y ( x – x )
y –32 = 212 – 32 ( x – 0)100 – 0
y –32 = 180 . x100
y = 1.8· x + 32
f(x) = 1.8· x + 32
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I. FUNCIÓN LINEAL
Se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyostérminos aumentan en una misma cantidad constantellamada diferencia. Este crecimiento aritmético
gráficamente está representado por una recta con pendientepositiva. Si la pendiente es negativa se habla de un
decrecimiento aritmético.
Ejemplo: f ( x) = 2 x + 1 f (0) = 2· 0 + 1 = 1
f(1) = 2· 1 + 1 = 3
f(2) = 2· 2 + 1 = 5
f(3) = 2· 3 + 1 = 7
+2
+2
+2
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I. FUNCIÓN LINEAL Gráficamente
1 2
3
5
1
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Son de la forma:
Gráfica:
Siempre es una parábola, dependiendo su forma yla ubicación de sus coeficientesa, byc.
f( x) =ax² + bx + c
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Concavidad:Elcoeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola esabierta hacia arriba o hacia abajo.
x
y
0 x0
y
a> 0, Abierta hacia arriba a
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Eje de simetría y vértice:
Eleje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasapor el vértice de la parábola.
El vértice está dado por:
Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b² 2a 2a 2a 4a
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Además, la recta x = , corresponde alEje de simetría.-b2a
_b² - 4ac 4a
x
y
·
-b2a
x0
y
·_b² - 4ac 4a
-b2a
a > 0 a < 0
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Intersección con los ejes
Intersección con el ejeYEl coeficientec nos da el punto en el cual la parábola corta alejeY.
Sus coordenadas son (0,c)
0
c·
y
x
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Intersección con el eje X
para determinar el o los puntos donde la parábola corta aleje X, es necesario conocer el valor deldiscriminante de lafunción cuadrática.
Se define el discriminante como:
D =b² -4ac
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X.
0 ·
Y
X
a > 0
( x = x ,0)1 2
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X
0 ·
Y
X
a > 0
·
( x,0) y ( x ,0)1 2
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X.
0
Y
X
a > 0
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado
Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamadaEcuación de2º gradoen su forma general.
Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo serreales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión:
x = -b ±√b²- 4ac 2a
x = -b ±√b²- 4ac 2a
1
x = -b ±√b²- 4ac
2a
2
Estassoluciones, raíces o ceros de la ecuacióncorresponden gráficamente a los puntos donde la función f( x)= ax² +bx +c cortaal eje X. Estos puntos tienen comocoordenadas
( x
,0) y ( x ,
0)1 2
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Tipos de soluciones
Dependen del valor del Discriminante
a)Si D = 0, 2soluciones reales iguales
b)Si D > 0, 2soluciones reales distintas( x y x € C, con x ≠ x )
c)Si D < 0, 2soluciones imaginarias distintas( x y x € C, con x ≠ x )
D =b² -4ac
(x = y)1 1
1 12 2
1 12 2
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II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Ejemplo:
Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones deesta ecuación?
Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por
En este caso a = 1 b = 2 c = -15Luego,
Luego,
x = 3 x = -5
x = -b ±√b²- 4ac 2a
x = - 2 ±√ 2²- 4·1·(-15) 2·1 x = - 2 ±√4- 60 2 x = - 2 ±√64
2 x = - 2 ±8 2
x = - 2 + 8 21
x = - 2 - 8 22
1 2
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III. FUNCIÓN PARTE ENTERA Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y sedesigna por [x]. Ésta se escribe:
Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor
entero que es menor o igual a x, es decir:
Ejemplos:
[2,9] = 2 ;[-7/2] = -4 ;[5] = 5 ;[√2] = 1
f( x) = [ x]
[ x] ≤ x < [ x+1]
Todo número real está comprendido entre dos númerosenteros, la parte entera de un número es el menor de
los números enteros entre los que está comprendido.
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III. FUNCIÓN PARTE ENTERA
Obsérvese que esta función es constante en los intervalossemiabiertos (semicerrados) de la forma [n,n + 1[ conn € Z.Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus
extremos izquierdos, pero no los derechos
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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número x € IR, denotado por | x|, essiempre un númeroreal no negativoque se define:
Ejemplo:
|-3| = 3 |12| = 12 |-18| = 18 |-5,3| = 5,3
f( x) = | x| =
x si x ≥ 0
- x si x < 0
Si los números reales están representadosgeométricamente en el eje real, el número | x| se
llamadistancia de x al origen.
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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.
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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.
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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Propiedades:
a. Si | x| ≤a entonces -a ≤ x a; cona ≥ 0
b. Si | x| ≥a entonces x ≥a ó - x ≥a
c. |xy| = |x| · |y|
d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)
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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues,cuando, se generaliza a vectores indica que la longitud de cadalado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudesde los otros dos.
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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Ejercicios:
Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación:
a. |x – 3| ≤ 2
Aplicando la primera propiedad:
-2 ≤ x – 3 ≤ 2 -2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3
1 ≤ x ≤ 5 x € [1, 5]
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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
La Respuesta correcta es B
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IV. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
La Respuesta correcta es D
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V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Es la función inversa del logaritmo natural y se denotaequivalentemente como:x êx o x exp(x)
La función exponencial fcon basease define como
f( x) =a Sia > 0 ̂a ≠ 1, x € IRx
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V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Propiedades:
El dominio de la función exponencial está dado por losnúmeros IR.
El recorrido de la función exponencial está dado por los IR*.
El punto de intersección de la función con el ejeY es (0, 1).
La función no intercepta el eje X.
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V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Crecimiento y decrecimiento exponencial:
Sia > 1, f( x) escreciente en todo IR.
Mientras más grande el número de la base, la línea
estará más cerca del ejeY.
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V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Crecimiento y decrecimiento exponencial:
Si0
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V. FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio:
Determinar la función que representa en número de bacterias que hay enuna población después de x horas si se sabe que inicialmente había 10.000bacterias y que la población se triplica cada una hora.
Solución:
Cantidad inicial = 10.000Después de una hora = 10.000 · 3 = 30.000Después de dos horas = 10.000 · 3 · 3 = 90.000… Después de x horas = 10.000· 3
Por lo tanto, siendo x el número de horas que pasan desde el inicio del
estudio, la cantidad de bacterias se representa por la función:
f(x) = 10.000 · 3
x
x
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V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA La inversa de una función exponencial de basea se llamafunción logarítmica de base ay se representa porlog .
Está dada por la siguiente ecuación:
a
y = log x si x = a y
a
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V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Propiedades
El dominio de la función logarítmica está dado por los númerosIR, la función no está definida para x ≤ 0.
El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0).
La función no intercepta el ejeY.
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V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:
Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0.a
-
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V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:
Si0 0.a
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V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Ejercicios: Dado los valores:log 2 = 0.3010 ylog3 = 0.4771. Entonces, en la función f( x) =log x, determine f(6).
Solución: f(6) =log (6)
Dondelog 6 =log (2 · 3)
Por Propiedadlog (2 · 3) =log 2+ log3
= 0.3010 + 0.4771 = 0.7781
Por lo tanto:Si f( x) =log x, entonces f(6) = 0.7781
-
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V. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
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