Funciones especiales

ESCUELA SUPERIOR DE FSICA Y MATEMTICAS

MTODOS MATEMTICOS I CASAS MARTNEZ EDUARDO

1

0

0

0

15

Problema:

Sea una placa de longitud () y altura (); a una cierta temperatura aislada por 3 de las paredes, de acuerdo al esquema

que se presenta a continuacin:

Por tanto, se determinan las Boundary

Conditions:

Entonces las soluciones se expresan como un conjunto base de funciones (, ); donde:

(, ) = [ sinh (

) + cosh (

)] [ sin (

) + cos (

)] (*)

Para dar solucin al problema anterior, se propone analizar el comportamiento de 15 arreglos tomando en cuenta la

solucin anterior; es decir, se propondrn valores fijos para los coeficientes , , , de la ecuacin diferencial (*) en los

diferentes casos; adems de plantear valores para los parmetros , , y , inscritos en los argumentos de las

funciones , , .

( = 0; ) = 0

( = ; ) = 15

(; = 0) = 0(; = ) = 0

}

De donde resulta que los Eigenvalores, estn

dados por: =



2

Ejercicio No.1

Para este caso se han tomado una suma parcial para 1(, ); 2(, ); 3(, ),

donde los valores de los coeficientes y parmetros propuestos se establecen como:

Por tanto la suma obtenida se presenta a continuacin:

Al graficar la solucin mostrada en sumas

parciales para 1(, ); 2(, ); 3(, ), se

observa en la cara frontal de la placa metlica una

distribucin grfica; la cual se puede asemejar a

una forma sinusoidal. En este sentido es

importante sealar que el anlisis descrito toma

como referencia la cara no aislada de la placa.

Aplicando una rotacin de 180, ahora es

posible observar el comportamiento de la

solucin para la cara trasera (aislada), donde

hay una ligera perturbacin.

Hay que resaltar que en el anlisis expuesto se

encuentra muy cerca de la regin donde la

pared no presenta aislamiento.



3

Ejercicio No.2

Para el segundo ejercicio, se tomaron cuatro sumas parciales de la solucin general de la ecuacin del problema, es

decir: 1(, ); 2(, ); 3(, ), 4(, ). Adems de proponer una regin entre 0 0.2 ; 0 2 , para

desarrollar el anlisis correspondiente.

Los parmetros y coeficientes propuestos, estn dados como:

Donde las sumas parciales, se presentan a continuacin:

Los grficos obtenidos de la suma parcial; particularmente para la regin definida por: 0 0.2 ; 0 2,

nicamente muestran una ligera sbana, la cual considero un tanto difcil de interpretar ya que no es posible observar a

detalle el comportamiento de las soluciones en las paredes aisladas de la placa.



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Ejercicio No.3

A continuacin, presentamos un arreglo para la suma parcial de dos soluciones

1(, ); 2(, ), donde los valores propuestos tanto para los coeficientes como los

parmetros, se establecen como:

Por tanto, la suma parcial, est dada por:

Nuevamente es claro observar un comportamiento semejante a una funcin seno en la cara frontal de la placa; adems

de una distribucin relativamente plana en la cara trasera, comparada con la distribucin presentada en el ejercicio No.

1.



5

Ejercicio No.4

Al inicio del trabajo, inmediatamente presentamos el comportamiento respecto a la suma parcial de tres soluciones de

la ecuacin general. En este ejercicio ahora enfocaremos nuestra atencin en una nica solucin, particularmente para

1(, ).

Proponemos los siguientes valores paramtricos y de coeficientes, para la solucin, donde:

De acuerdo al planteamiento de la solucin, en la grfica se observa que el parmetro = 10, est vinculado

directamente con la presencia de mximos y mnimos en la frontera de la cara frontal de la placa.



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Ejercicio No. 5

En el ejercicio No. 2, encontramos una restriccin respecto a la interpretacin de la grfica presentada, en este sentido

la limitacin establecida se deriv a partir de la regin donde se propuso hacer el anlisis, la cual estaba acotada por los

parmetros: 0 0.2 ; 0 2.

Retomaremos la solucin en sumas parciales para:

1(, ); 2(, ); 3(, ), 4(, ), donde la parametrizacin est

dada por:

Al proponer una nueva parametrizacin para la suma

parcial, y establecer nuevas fronteras de acotamiento;

0 0.008 ; 0 0.5, para el anlisis de la

regin, especficamente para regiones cercanas a la

cara no aislada de la placa; es claro encontrar una

distribucin un tanto compleja de la difusin de calor.



7

Ejercicio No. 6

Otra propuesta, retomada del ejercicio No. 1 para la suma parcial de tres

soluciones; 1(, ); 2(, ); 3(, ), considerando los valores de los

coeficientes, adems de los parmetros:

La suma parcial se establece como:

Un rasgo importante, observable en la grfica es la

presencia de una superficie corrugada en los mximos

y mnimos absolutos, adems de las pequeas

perturbaciones mostradas, aproximadamente cada

dos mximos y mnimos.



8

Ejercicio No.7

En ejercicios anteriores se ha mostrado el comportamiento de las soluciones en sumas

parciales de la ecuacin diferencial para coeficientes enteros; en este caso particular, se

presenta una parametrizacin donde se consideran coeficientes racionales para una solucin

determinada por: 1(, ).



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Ejercicio No. 8

Para el ejercicio que a continuacin se presenta, tomaremos una suma

parcial de cinco trminos, es decir:

1(, ); 2(, ); 3(, ); 4(, ); 5(, ). Donde los coeficientes

de las soluciones son racionales.

El elemento caracterstico presente en la grfica, aparece en forma de dos cadenas rugosas las cuales conservan cierta

simetra respecto a la regin central de la placa metlica. Donde a diferencia de las grficas construidas a partir de las

parametrizaciones considerando coeficientes enteros, resulta an ms interesante analizar el comportamiento de la

suma parcial en trminos de coeficientes racionales.



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Ejercicio No. 9

El siguiente ejercicio, muestra la suma parcial para la ecuacin diferencial,

acoplando cuatro trminos de la sumatoria, es decir:

1(, ); 2(, ); 3(, ); 4(, ).

La parametrizacin para la suma parcial propuesta, est dada por:

Por tanto la suma parcial, se expresa como sigue:

La regin de inters (regin cercana a la pared no aislada de la placa), muestra una interesante forma grfica; la cual

podemos inferir est determinada por la presencia de coeficientes racionales en la suma parcial correspondiente a las

soluciones de la ecuacin diferencial.



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Ejercicio No. 10

Retomando los resultados obtenidos en la formulacin del ejercicio

anterior; en esta ocasin el anlisis propuesto estar determinado para

la suma parcial considerando tres elementos; por tanto:

1(, ); 2(, ); 3(, ), tienen la siguiente parametrizacin, donde

los coeficientes de la solucin son nmeros racionales.

La suma parcial est dada por:

Resulta sumamente interesante la forma que presenta la grfica, al analizar la difusin en la cara central de la placa; ya

que esta se asemeja evidentemente al grfico obtenido en la suma parcial de tres soluciones con coeficientes enteros.



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Ejercicio No. 11

Despus de presentar una serie de ejercicios, donde

consideramos parametrizaciones con coeficientes

racionales. Finalizaremos el anlisis, en el presente

ejercicio, proponiendo una suma parcial para dos

soluciones, es decir:

Nuevamente es evidente la semejanza particular con una funcin sinusoidal, tal como se muestra en ejercicios

posteriores; esencialmente la similitud con la suma parcial de dos soluciones donde se propusieron parametrizaciones

enteras.



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Ejercicio No. 12

En el presente ejercicio se propone una

suma parcial para dos soluciones,

donde la variacin de parmetros y

coeficientes, ahora se plantea para

nmeros decimales. Por tanto:

Entonces la suma parcial, se establece a continuacin:



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Ejercicio No. 13

A continuacin proponemos una

parametrizacin para coeficientes en

forma decimal; referente a la suma

parcial de 4 soluciones de la

ecuacin diferencial, por tanto:

De donde se obtiene la siguiente ecuacin expresada en sumas parciales 1(, ); 2(, ); 3(, ); 4(, ):

Resulta interesante que al considerar coeficientes decimales en la parametrizacin de las soluciones, para observar

resultados al construir la grfica, se tuvieron que extender las coordenadas (, ) en gran magnitud, respecto a los

ejercicios presentados anteriormente.



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Ejercicio No. 14

En el presente ejercicio analizaremos el comportamiento de la solucin 1(, ), aplicando una

parametrizacin con nmeros decimales; donde la solucin est dada por:

A diferencia del ejercicio anterior, no fue necesario ampliar considerablemente los lmites de los ejes coordenados (, )

para poder observar una solucin numrica representada en las grficas mostradas previamente.



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Ejercicio No. 15

Finalmente para presentar el ltimo ejercicio propuesto en este trabajo,

aplicaremos una parametrizacin con nmeros decimales a la suma

parcial de tres soluciones 1(, ); 2(, ); 3(, ), donde la suma

parcial estar conformada como se muestra a continuacin:

Al construir el grfico, mediante la informacin proporcionada a partir de la solucin propuesta resulta interesante el

comportamiento de la solucin en suma parcial respecto a la cara frontal de la placa metlica, ya que para un cierto

periodo se observa un comportamiento aproximado a una superposicin de funciones en los mximos absolutos.

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