Funciones de Probabilidad

Simulación de Sistemas(Introducción a la Simulación de Sistemas)

Dr. Juan Martín Preciado Rodríguezhttps://www.facebook.com/martin.preciado.792

Preliminares

III. Preliminares Matemáticos.i. Experimentos aleatorios.

ii. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad.

iii. Distribuciones de probabilidad discretas más importantes.

iv. Distribuciones de probabilidad continuas más importantes.

v. Funciones de variables aleatorias y transformaciones.

vi. Teoremas límites.

vii. Cadenas de Markov.

viii. Pruebas asociadas a parámetros y pruebas de bondad-ajuste.

SS: Funciones de probabilidad¿Qué es una función?

Es una relación entre dos conjuntos, uno de X llamado dominio (variable independiente X) y uno f(x) llamado codominio (variable dependiente Y).

x1

x2

x3

x4

x5

xi

...

f(x1)f(x2)

f(x3)

f(x4)

f(x5)

f(xi)

...

X f(x)

x1 x2 x3 x4 x5 xi

f(x1)

f(x2)

f(x3)

f(x4)

f(x5)

f(xi)

f(x)

x

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

SS: Funciones de probabilidad¿Qué es una función?

En el caso de las probabilidades

Es una relación entre dos conjuntos, uno de X llamado dominio (evento X) y uno P(x) llamado codominio (probabilidad de ocurrencia del evento X).

x1

x2

x3

x4

x5

xi

...

P(x1)P(x2)

P(x3)

P(x4)

P(x5)

P(xi)

...

X P(x)P(x)

x

SS: Funciones de probabilidadEventos numéricos y variables aleatorias

Los eventos de mayor interés para el científico, el ingeniero u hombre de negocios son los identificados por los números, llamados eventos numéricos.

Ejemplos: 1) El médico investigador está interesado en el evento de que diez de cada diez pacientes tratados sobrevivan a una enfermedad;

2) El hombre de negocios está interesado en el evento de que sus ventas en el año próximo lleguen a 5 millones de dólares.

Denote con Y una variable a ser medida en un experimento.

Como el valor de Y varía dependiendo del resultado del experimento, se denomina variable aleatoria.

A cada punto del espacio muestral le asignaremos un número real que denote el valor de la variable Y. El valor asignado a Y varía de un punto muestral a otro, pero a algunos puntos se les puede asignar el mismo valor numérico

SS: Funciones de probabilidad¿Qué es una función de probabilidad?

Variable aleatoria: es una función de valor real para la cual el dominio es un espacio muestral.

Las variables aleatorias cuantitativas pueden ser:

• Discretas: función de probabilidad discreta (función de masa).

• Continuas: función de densidad (densidad).

Una función de probabilidad tiene como propósito el asociar cada X correspondiente a un espacio muestral con su probabilidad de ocurrencia en este espacio.

∑𝑖=1

𝑛

𝑃𝑖=1

𝑥𝑖→𝑃 (𝑥 𝑖 )=𝑃 𝑖

SS: Funciones de probabilidad¿Cómo se distribuye en el espacio muestral?

No sólo es importante analizar el tipo de probabilidades que hay. Esto es que cada X se encuentre dentro de ese espacio muestral o pueda ocurrir.

Se debe analizar la manera en la que se distribuyen las probabilidades en el espacio muestral, a partir de tres características:

1. Continuidad2. Frecuencia 3. Asimetría

Función de distribución: permite describir cuáles son las características de los eventos que se están analizando.

Permite evaluar la probabilidad con una distribución a lo largo de un determinado espacio, mostrando cuales son sol eventos menos y más probables.

SS: Funciones de probabilidadforma gráfica

SS: Funciones de probabilidad¿Funciones de acuerdo al tipo de variable aleatoria?

Discreta:

Binomial – binomial negativa

Poisson

Geométrica-hipergeométrica

Bernoilli

Redemacher

Uniforme discreta

Continua:T de studentJi cuadrada (X2)ExponencialGammaBetaFWeibulParetoUniforme continua

f(x) = P(X ≤ x)

f(x) = f(i)x

i=-∞

f(x) = P(X≤x)

f(x) = f(t)dtx

i=-∞

SS: Modelos de distribuciones discretas

Para describir las variables aleatorias discretas asociadas a determinados experimentos basta con proporcionar la distribución de probabilidad.

SS: Modelos de distribuciones discretasDistribución de Bernoulli (Jakob Bernoulli)

Experimentos dicotómicos: sólo se obtiene dos tipos de resultados.

Ejemplo de espacios muestrales:

Éxito o Fracaso, Cara o Cruz, 0 ó 1.

X = 1 (éxito, con probabilidad p)

X = 0 (fracaso, con probabilidad q = 1-p)


Lanzar una moneda:

Lanzar un dado:

Preguntas “Si” o “No”:

Aceptación o rechazo:

cara o cruz

número específico

presencia de algún síntoma

si el lote cumple con los estándares de calidad

Si nuestro experimento busca analizar el número de éxitos que se obtienen, la variable de interés dependerá de lo que se considere éxito.

Ejemplos de ensayos o experimentos de Bernoulli


Consideraciones dentro del ámbito de la probabilidad

Sea

x: variable de interés, que tiene que ver con el número de éxitos

p: probabilidad de éxito

q: probabilidad de fracaso -(x)

(x)p+q =1 q= 1-p

Función de probabilidad ( x B(p) )

f(x) = px (1-p)1-x, x={0,1}

Valores: si x= 1 f(x,p) = p, si x= 0 f(x,p) = q y si x= a f(x,p) = 0

SS: Modelos de distribuciones discretasDistribución de Binomial

Binomio: expresión de dos componentes (dos componentes de análisis)

Distribución binominal: repetición de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con probabilidad fija de éxito.

Distribución de Bernoulli para n datos

Si tenemos dos experimentos de interés

Experimento Bernoulli Binomial

Dado Se obtiene un número específico en un lanzamiento

Busca determinar el número de veces que se obtiene un número específico en m lanzamientos.

Moneda Se obtiene cara en un lanzamiento

En cuántos lanzamientos de un número de m de veces se obtuvieron las cruces.


x B(n, p) f(n,p) = px(1-p)n-x( )nx

( )nx = n!/(x!(n-x)!)

n = {0,1,2,…,n}

q

Combinaciones de n en x


Ejercicio 1. De un grupo de 50 esquizofrénicos, 12 padecen alteraciones cerebrales. Seleccionados 5 de ellos, calcule la probabilidad de que padezcan tal alteración :

1. 3 de ellos 2. al menos uno.

X: persona seleccionada padece tal alteración.

Solución: X B(n, p) f(n,p) = nCx px(1-p)n-x

La proporción de esquizofrénicos con alteración cerebral es : p = 12/50 = 0.24. X B(5, 0.24)

1 P(X=3) = 5C3 0.243(1-0.24)5-3 = 0.07985

2 P(X1) = 1-P(X=0) = 1- 5C0 0.240(1-0.24)5-0 = 0.7464


Ejercicio 2. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?2. ¿Y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas?3. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?

Solución:Sea xi una variable aleatoria que representa el estado de una unidad terminada en la línea de ensamblaje en el momento i, siendo xi = 1 si la unidad es defectuosa y xi =0 en caso contrario.

1. x B(n, p) f(n,p) = nCx px(1-p)n-x = P(B(10,0.05),x=2)=0.0746

2. P(B(10,0.05),x2)= P(B(10,0.05), x=0, x=1, x=2)=0.9884

3. P(B(10,0.05),x1)= 1-P(B(10,0.05), x=0) = 0.4013

,),(1

n

iixpnf

La variable X sigue una distribución Bernoulli con parámetro p=0.05, de acuerdo con el dato inicial del problema. Además, nótese que un conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, por lo que el número de unidades defectuosas de un total de n unidades terminadas (x1, x2, .., xn), esto es,

sigue una distribución Binomial de parámetros n y p=0.05. Hechas estas consideraciones iniciales, procedemos a resolver el problema:

SS: Modelos de distribuciones discretasDistribución de Binomial (Solución en R)

Ejercicio 1

dbinom(4, size=12, prob=0.2)

Res_1 <- dbinom(3,size =5, prob=0.24)

Res_2 <- 1- dbinom(0, size=5,prob=0.24)

Res_1 <- dbinom(3,5,0.24)

Res_2 <- 1- dbinom(0,5,0.24)

SS: Modelos de distribuciones discretasDistribución Geométrica

El ensayo de Bernoulli es de carácter dicotómico (sólo permite dos posibles resultados, -éxito o fracaso).

El ensayo de Bernoulli es la base para el estudio de todas las funciones discretas.

A partir del ensayo de Bernoulli podemos analizar:

1. Se puede analizar la distribución de probabilidades de un número x de ensayos de Bernoulli necesarios para obtener éxito, en la variable de interés definida, que depende de la pregunta de análisis.

2. La distribución de probabilidad de un número ‘y’ determinado, el cual es definido como y=x-1, que corresponde al número necesario de fallos en los ensayos para que se presente el primer éxito

Los datos se distribuyen a través de una progresión geométrica


Sea

p: probabilidad de éxitoq = 1-p: probabilidad de fracaso

Si se analiza el número de ensayos requeridos para obtener un primer éxito, asumiendo que se requieren x ensayos para obtener ese éxito.

P(X=x) = p(1-p)x-1

x= 1,2,3,…, ∞ x

Si se analiza el número de fallos necesarios para obtener el primer éxito.

P(Y=x) = p(1-p)x

x= 0,1,2,3,…, ∞ x D+

Fallos previos al éxito

Ensayos anteriores al primer éxito

Función de probabilidad


Ejemplo

En un salón de clases el 60% de los alumnos son hombres, calcular probabilidad de extraer el 1er hombre a la cuarta ocasión que extraemos un alumno. q = 1-p: probabilidad de fracaso.

Éxito: Que el alumno seleccionado sea hombre (X)

X= 4p= 0.6q= 1- 0.6 = 0.4

X Geo(p) X Geo(0.6)

P(X=x) = p(1-p)x-1


Ejemplo

Calcular la probabilidad de que salga el No. 5 a la tercera vez que lanzamos un dado.

Éxito: Que salga el número 5 (X)

X= 3p= 1/6 =0.166q= 1- 0.166 = 0.833

X Geo(p) X Geo(0.166)

P(X=x) = p(1-p)x-1


Ejemplo

Una máquina detecta fallas en los productos que elabora una fábrica. Si los productos tienen una probabilidad de falla del 5%, calcular la probabilidad de que la máquina encuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasión que selecciona un producto para su inspección.

Éxito: Que el producto seleccionado salga defectuoso (X)

X= 8p= 0.05q= 1- 0.05 = 0.95

X Geo(p) X Geo(0.05)

P(X=x) = p(1-p)x-1

dgeom(x, prob, log = F)

x: Vector que representa el número de fallos antes del primer éxito.

prob: Probabilidad de éxito en cada ensayo.


SS: Modelos de distribuciones discretasDistribución Binomial Negativa

La distribución Bin. Negativa es a la Geométrica lo que la Binomial es a la Bernouli

Si en una sucesión infinita de ensayos Bernoulli la variable aleatoria X cuenta el número de fracasos antes de obtener el r-ésimo éxito, entonces decimos que X tiene una distribución binomial negativa con parámetros r y p, y escribimos X ∼BN(r, p).

Sucesión de ensayos Bernoulli no concluye sino hasta obtener r éxitos.

En este caso tenemos que X puede tomar los valores 0, 1, 2, . . . con probabilidades como se indica a continuación:

Número variable de fracasosDiferentes formas en que

los r éxitos pueden aparecer en los r+x−1 ensayos realizados antes del último quenecesariamente fue un éxito.


Ejemplo

Se lanza repetidas veces una moneda honesta, cuyos dos resultados son cara y cruz. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la tercera cruz en el quinto lanzamiento?

Éxito: número de caras (fracasos) antes de obtener la primera cruz (X)

X= 5p = 0.5q = 1- 0.5 = 0.5r = 3

X BN(r,p) X BN(3, 0.5)

P(X=x) = ( )nx = n!/(x!(n-x)!)


Ejemplo

Para el jugador de baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que falle 5 tiros libres antes de conseguir 7 puntos?, si tiene una efectividad del 80 %.

Éxito: número de canastas falladas antes del 7º acierto.

X= 7p = 0.80q = 1- 0.8 = 0.2r = 5

X BN(r,p) X BN(5, 0.5)

P(X=x) = ( )nx = n!/(x!(n-x)!)


Ejemplo

La probabilidad que un alumno que no entienda binomial negativa repruebe el examen es de 75% si se pide seleccionar 5 alumnos reprobados al azar. Calcular la probabilidad de haber tomado 3 alumnos aprobados antes de los 5 reprobados.

Éxito: alumnos aprobados antes del quinto reprobado.

X= 5p = 0.75q = 1- 0.75 = 0.25r = 3

X BN(r,p) X BN(3, 0.75)

P(X=x) = ( )nx = n!/(x!(n-x)!)


Ejemplo

Supongamos que necesita encontrar 10 personas que dispongan de excelentes reflejos y sabe que la probabilidad de que un candidato tenga esta cualidad es 0.3. Calcular la probabilidad de que entrevistará un número determinado de candidatos no calificados antes de encontrar los 10 candidatos buscados.

Éxito: Candidatos no calificados antes de los 10 buscados.

X= ?p = 0.30q = 1- 0.3 = 0.7r = 10

X BN(r,p) X BN(10, 0.3)

P(X=x) = ( )n

x = n!/(x!(n-x)!)

dnbinom(x, size, prob, mu, log = F)

Ej. Imaginemos el siguiente problema: Suponga que el 90% de los motores armados no están defectuosos. Encuentre la probabilidad de localizar el tercer motor sin defecto:

a) En el quinto ensayo.

b) En el quinto ensayo o antes.

Sea la variable aleatoria discreta X, motores armados que no están defectuosos.

Dicha variable aleatoria, sigue una distribución Binomial Negativa con parámetros:

· r = 3. Tercer motor sin defecto.· P(X) = 0.9

Apartado a)

Para resolver este apartado, necesitamos resolver: P( X = 5), por lo tanto, sólo necesitamos el valor que toma X en el punto 5 de la función de densidad:

> dnbinom(5-3, 3, 0.9)[1] 0.04374


Distribución PoissonVariable aleatoria tipo conteo

La variable aleatoria estudia el número de eventos de interés independientes que ocurren a velocidad constante en un intervalo de tiempo o espacio. El intervalo puede ser cualquier longitud, como un minuto, un día, una semana, un m2, m3, una hectárea, etc.

Ejemplos que pueden ser modelados como Poisson:

• Número de bacterias en un litro de agua.• Número de robos en casa habitación por día.• Número de carros fabricados por día en una fabrica.• Cantidad de CO2 emitido por día en una ciudad• Número de carros que cruzan un punto específico cada 15 minutos• Número de accidentes en una mina• Número de mensajes recibidos por un servidor.

Una variable aleatoria X tiene una distribución Poisson si y sólo su función de densidad es:

donde e es la base de los logaritmos naturales y el promedio de la distribución, la cual debe ser mayor que cero

Se indica que X tiene distribución de Poisson con parámetro λ, con la siguiente notación: X~Poisson(λ).

Distribución Poisson

Ejercicio 1

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba:

a) cuatro cheques sin fondo en un día dado.b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución: a)

x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc.

= 6 cheques sin fondo por díae = 2.718

13392.0

24)00248.0)(1296(

!4718.2)6(

)6,4(64

xp


Ejercicio 1

Solución : b)

x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos

Nota: siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

!1)718.2()12(

)12,10(1210

xp


En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto.

Determine las probabilidades de identificar

a) Una imperfección en 3 minutos.b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos.c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.

Solución: a)

x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

= 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

Ejercicio 2

329307.0!1

)718.2()6.0()6.0,1(

6.01

xp


Ejercicio 2

b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos

x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc.

= 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

!1)718.2)(1(

!0)718.2()1(

1)1,1,0(1)1...,3,2(110

xpetcxp

0.26416 0.367918)(0.367918-1


Ejercicio 2

c) Cuando más una imperfección en 15 minutos.

x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc.

= 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

0.1992106 0.149408 0.0498026

!1

)718.2()3(

!0

)718.2()3()3,1()3,0()3,1,0(

3130

xpxpxp


Dado un conjunto finito de elementos (sin pérdida de generalidad supondremos el conjunto ) la distribución uniforme discreta en dicho conjunto (o equiparable sobre dicho conjunto) es la definida por , para

Se denotará a los posibles valores que pueda tomar una variable aleatoria discreta como . En aquellos casos en que la variable aleatoria en estudio puede tomar sólo valores con igual probabilidad cada uno de ellos, se dice que la variable aleatoria tiene distribución uniforme discreta. Con ello se quiere decir que la función de densidad de la variable aleatoria considerada es uniforme (constante).

Definida por:

Distribución Uniforme DiscretaLa distribución más sencilla

)

Distribución Multinomial

Septiembre-2013

Esta distribución puede ser vista como una generalización de la distribución binomial, donde el interés es calcular la probabilidad de obtener en categorías en una muestra de tamaño conociendo que la probabilidad de ocurrencia de cada categoría en la población . Se dice entonces que una variable tiene distribución multinomial y se denota como , cuando su función de densidad está dada por:

Si representan las ocurrencias de las categorías en la población entonces decimos que () tiene distribución Multinomial si su densidad es la siguiente:

Distribución Multinomial

En un cultivo el ataque de una enfermedad puede ser calificado como severo, moderado o sin ataque. Supóngase que la probabilidad de ataque severo es de 0.05 y de moderado de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar sobre un total de 10 plantas observadas, 2 con ataque severo, 2 con ataque moderado y 6 sanas?

Solución:

0224.075.0*20.0*05.0*!6!2!2

!10)6,2,2( 622

111 XXXP

Ejercicio

dmultinom(c(2,2,6), prob = c(0.05,0.20,0.75))

Distribución Hipergeométrica

Esta distribución está ligada a situaciones de muestreo sin reposición, es decir situaciones en que al azar se elige un elemento de una población y así sucesivamente hasta completar la muestra, sin restituir los elementos extraídos.

Para inducir la fórmula de esta distribución, análoga a la binomial, considérese como población a un conjunto de N elementos de los cuales k poseen uno de dos estados posibles (éxito) y N-k que presentan el otro (fracaso).

Al igual que en la binomial, el problema de interés es “hallar la probabilidad de obtener X éxitos, pero en este caso, cuando se seleccionan sin reposición n elementos de un conjunto de N ”.


Como se recordará, el concepto frecuencial de probabilidad está asociado al cociente:

número de casos favorablesnúmero de casos posibles

En este problema el número de casos totales viene dado por el número de combinaciones posibles que se puede obtener a partir de N elementos tomados de a grupos de n. Esto es:

Número de casos totales =

El número de casos favorables vendrá dado por el número de formas posibles de elegir x éxitos y n-x fracasos del conjunto de N elementos en los que hay k éxitos y N-k fracasos, por lo que este número será el siguiente producto:

Número de casos favorables =


donde indica el numero de formas posibles en las que se pueden

escoger “x” éxitos de un conjunto de “k” éxitos y análogamente

indica el número de formas posibles en las que se pueden escoger “n-

x” fracasos de un total de “N-k” fracasos.

Luego para cada forma de elegir un conjunto de “x” éxitos existen

formas de obtener “n-x” fracasos y de allí el producto.

Distribución HipergeométricaDefinición

Una variable aleatoria X tiene distribución Hipergeométrica si y sólo si su función de densidad es:

Nota: De forma análoga que en las otras distribuciones, esta función de densidad posee tres parámetros: n, N, k.

Se denotará a las variables hipergeométricas con parámetros n, N, k con la siguiente expresión: X~Hiper(n,N,k)

Distribución HipergeométricaEjemplo 1

Cuando la semilla de maíz viene contaminada con chamico, el precio de esta semilla es inferior. Para determinar el precio que debe pagar por un determinado lote, un Ingeniero Agrónomo decide examinar 20 de 500 bolsas de semillas de maíz. Si el 10% de las bolsas (50) contienen semillas de chamico, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas esté incluida en la muestra?

Solución: Tomando x=0, n=20, N=500 y k=50 en la función hipergeométrica, se tiene:

Vale decir que de cada 100 veces que el ingeniero realiza esta prueba, que consiste en tomar una muestra de 20 bolsas de un total de 500 donde al menos 50 están contaminadas, en el 88% de las veces (al menos) encontrará bolsas con chamico.

Septiembre-2013


En oportunidad de presentar la distribución binomial había quedado planteado el hecho de que cuando N es grande, el considerar si el muestreo es con o sin reposición puede ser insignificante.

Considérese el siguiente ejemplo:

Entre 120 cámaras de germinación, 80 están bien calibradas. Si se toma una muestra aleatoria de 5 cámaras, hallar la probabilidad de que solamente 2 de las 5 estén bien calibradas en base a:

La distribución hipergeométrica

Tomando x=2, n=5, N=120 y k=80, se tiene:


La distribución binomial

Tomando x=2, n=5, p = 80/120 = 2/3 en la fórmula de la binomial

dhyper(x, m, n, k, log = F)

Los argumentos que podemos pasar a las funciones expuestas en la anterior tabla, son:x, q: Vector de cuantiles. Corresponde al número de particulares en la muestra.• m: Selección aleatoria particular.• n: El número total de la población menos la selección aleatoria particular. n = N - m.• n: El número de la selección a evaluar.• prob: Probabilidad.• nn: Número de observaciones.• log, log.p: Parámetro booleano, si es TRUE, las probabilidades p son devueltas como log

(p).• lower.tail: Parámetro booleano, si es TRUE (por defecto), las probabilidades son P[X ≤ x],

de lo contrario, P [X > x].


De un grupo de 20 ingenieros con doctorado, se eligen 10 aleatoriamente con el fin de contratarlos.¿Cuál es la probabilidad de que entre los 10 seleccionados, estén los 5 mejores del grupo de 20?

Sea la variable aleatoria discreta X, mejores ingenieros de un grupo.

Dicha variable aleatoria, sigue una distribución Hipergeométrica con parámetros:

· N = 20. Número total de ingenieros.· n = 10. Muestra aleatoria de la población total de ingenieros (20 ingenieros).· r = 5. Conjunto de 5 ingenieros estén los 5 mejores.

Para resolver este apartado, necesitamos resolver: P( X = 5), por lo tanto, sólo necesitamos el valor que toma X en el punto 5 de la función de densidad:

> dhyper(5,10,20-10,5)[1] 0.01625387


Funciones de Probabilidad

Documents

Transcript of Funciones de Probabilidad