Funciones de Bessel de Primera Clase

7/21/2019 Funciones de Bessel de Primera Clase

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Universidad de Guanajuato. Carreño, Meneses, Cristian Andres. FB.

Resumen —En este informe se presentarán losconceptos más importantes ue se tienen de lasfunciones de Bessel, junto con al!unas de susaplicaciones ue "an resaltado en el trascurso de lostiempos en diversas aplicaciones en el ám#itocient$fico e in!enieril.

Índice de Términos— Funciones especialesincertidum#re de %eidel#er!, ecuacionesdiferenciales, &erie Maclaurin, 'eumann.

1. Introducción.

A trav(s de los tiempos el "om#re se "aenfrentado a una serie de retos matemáticos alos cuales "a dado soluci)n mediante funcioneselementales tales como senos, e*ponenciales,entre otras. 'o o#stante el pro#lema más !randees auellos fen)menos en donde se posee unasimetr$a cil$ndrica o esf(rica, es au$ dondeaparecen las funciones especiales, siendo lasfunciones de Bessel las ue #rinda soluci)n a

pro#lemas de contornos de diferentes!eometr$as, dependiendo del fen)meno ue seest( anali+ando. A continuaci)n se mostraranal!unas de los resultados más importantes de lafunci)n de Bessel junto con al!unas de sus

propiedades.

2. Funciones de Bessel de Primera Clase

as funciones de Bessel se #asan de la ecuaci)ncan)nica ue se muestra a continuaci)n-

x2 d

2 y

d x2+ x

dy

dx+( x2−∝2 ) y=0(1)

or otro lado, las funciones de Bessel son de!ran utilidad para las ecuaciones diferenciales,

pero se "ace necesario conocer de d)nde partetodas esas formas de soluci)n, es por ello ue se"a#la de funci)n !eneradora, la cual tiene comoventaja el enfoue ue le da a sus propiasfunciones / no a las ecuaciones diferencialesso#re las cuales se !enera o satisface. aradefinir la funci)n !eneradora, supon!amos uetenemos una funci)n de dos varia#les tal como-

g ( x , t )=e( x2)( t −1

t )(2)

En donde su representaci)n en series secomporta de la si!uiente manera-

e( x2)( t −1

t )=∑

n=−∞

∞

J n ( x ) t n(3)

0e donde J n ( x ) es el coeficiente de t

n

,dando como resultado ue esta sumatoria seaconsiderada la funci)n de Bessel de primeraclase con orden inte!ral n.

&i se desarrolla la parte i+uierda de la ecuaci)nmediante el producto de la serie de Maclaurin

123 entre xt

2 /

x

2 t se o#tiene ue el

coeficiente se comporte de la si!uiente manera-

J n ( x )=∑s=0

∞ (−1 )s

s ! (n+s ) ( x2 )

n+2

s(4)

a amplitud de J n ( x ) disminu/easint)ticamente a medida ue va variando n talcomo se muestra en la Fi!ura 2.

Fig. 1. Representación del coeficiente a medida

que varía n.

a funci)n !eneratri+ no solamente proporcionalas definiciones de las funciones de Bessel sino

ue tam#i(n las relaciones entre ellas, llamadasrelaciones de recurrencia, las cuales sedescri#en a continuaci)n-

Funciones de BesselCristian Andres Carreño Meneses.

Universidad 0e Guanajuato 4 Campus &alamanca5 6rapuato




J n−1( x )+J n+1

( x )=2n

x J n ( x )(5)

J n−1( x )−J n+1 ( x )=2J n

' ( x )(6)

2.1 Eemplo! "ifracción de Fraun#ofer$

a%ertura circular.

En esta a#ertura se encuentra la si!uienteinte!ral

Φ→∫0

α

∫0

2 π

e−ibrsenθ

dθrdr(7)

0onde Φ es la amplitud de la ondadifractada, θ es un an!ulo acimutal en el

plano de la a#ertura circular de radio a / α

es el án!ulo ue está definido desde en la pantalla a#ajo de la a#ertura circular conrelaci)n a la normal tal como se o#serva en laFi!ura 7.

Fig. 2. "ifracción de Fraun#ofer$ a%ertura

circular.

En donde la funci)n de Bessel / sus primerasderivadas darán ori!en a los ceros planteados enla ta#la 22.2 referenciada en 173, donde-

sen α =3.8317 λ

2πa

(8)

8 dependiendo de la lon!itud de onda de la lu+emitida se o#tiene un án!ulo de difracci)n.

&. Funciones de 'eumann

as funciones de 'eumann son llamadastam#i(n funciones de se!unda especie / seencar!a de solucionar la ecuaci)n diferencial deBessel, cu/a caracter$stica es ue las funciones

diver!en en el ori!en. as funciones se definenmediante la si!uiente formula-

Y ∝

( x )=J ∝

( x )cos (∝π )−J −∝ ( x )

sin (∝π ) (9)

Una caracter$stica importante es ue tantoJ ∝

( x ) como Y ∝

( x ) son funcionesanal$ticas de *. Cuando se "ace variar ∝ se

o#tiene el comportamiento de Y ∝ ( x ) en la!ráfica 9.

Fig.&. Funciones de Bessel de segunda especie

para órdenes ()*$ 1$ 2.

+. Funciones de ,an-el

a funci)n %an:el es auella funci)n especialue se encuentra directamente relacionada conlas funciones de Bessel so#re un planocomplejo. as funciones %an:el se representancomo-

H n(1 ) ( x )=J n ( x )+iY n ( x ) (10)

H n(2 ) ( x )=J n ( x )+iY n ( x )(11)

0onde estas dos ecuaciones se encuentrancom#inadas linealmente. El s;per $ndice decada una indica primera especie / se!undaespecie. a ma/or utilidad de estas ecuacioneses en la soluci)n de ondas entrantes en simetr$as

esf(ricas.

. Funciones de Bessel Esf/ricas.

E*iste una clase especifica de funciones deBessel ue se encar!an de los pro#lemas desimetr$a esf(rica, tal como lo es ejemplo del

po+o de potencial esf(rico en la mecánicacuántica. as ecuaciones ue descri#en estafunci)n son las si!uientes-

jo (kr )=sin krkr

(11)




j1 (kr )=

sin kr

(kr)2 −

cos kr

kr (12)

j2 (kr )=

3sin kr

(kr )3 −

3coskr

(kr )2 −

sin kr

kr (13)

Cuando se necesiten las formas de ordensuperior se !eneran a partir de la si!uienterelaci)n-

jl (kr )=(−r

k )l

(1rd

dr )l

jo (kr )(14)

.1 Eemplo! Po0o de potencial esf/rico.

os potenciales de los po+os de dimensionescuadradas en tres dimensiones / a la ve+ los deuna dimensi)n de paredes infinitas ideales, se

pueden resolver mediante la ecuaci)n de&c"r<din!er, el cual proporciona niveles deener!$a cuanti+adas. as ecuaciones de&c"r<din!er se pueden separar en la forma!eneral Y (r , q , f )= (r ) (q ) " ( f ) dondeestán descritas por las si!uientes ecuaciones.

0onde las ecuaciones * / * dan como soluci)n

un conjunto estándar de funciones llamadasarm)nicas esf(ricas 193. 0onde la ecuaci)nradial esta dad por-

ℏ

2# (d2

dr2 +

2d

rd r )+($ (r )−l(l+1)

2#r2 ) = %(15)

a soluci)n a esta ecuaci)n se puede e*presar en t(rminos de las funciones de Bessel esf(ricasdando como resultado ue-

%= π

2ℏ

2

2#r2(16)

0onde r es el radio de la esfera / ℏ laconstante de lanc: normali+ada. Este resultadotiene como resultado ue para cualuier esferafinita la part$cula tendrá ener!$a de punto cero o

positiva, la cual da paso al principio deincertidum%re de ,eidel%erg se!;n el cual sees imposi#le la medici)n simultánea con

precisi)n del valor de la posici)n / la cantidadde movimiento de la part$cula, dic"o de otramanera, será casi imposi#le medir las

propiedades de los o#jetos microsc)picos.

. Funciones de Bessel modificadas! I($ (.

Estas funciones son ;nicamente válidas paravalores complejos =*,/> en donde el ar!umentoes ;nicamente ima!inario. as ecuaciones se

#asan a partir de la ecuaci)n 2. 8 tiene dossoluciones independientes & a / a lascuales son-

& a ( x )=∑k =0

∞1

k ! ( (k +α +1) ( x

2 )2k +α

(17)

' a ( x )=π

2

& −a ( x )− & a ( x )

sin (απ ) (18)

Un ejemplo claro de las funciones de Besselmodificadas se encuentra en la teor$a de ladifusi)n neutr)nica 1?3.

3. Conclusiones

• a ecuaci)n de Bessel siempre aparecerácuando se uiera dar soluci)n a laecuaci)n de aplace o ecuaci)n de%elm"olt+ siempre ue est( encoordenadas cil$ndricas o esf(ricas.

• a ma/or utilidad de las funciones deBessel e*iste en los pro#lemas de

propa!aci)n de ondaselectroma!n(ticas, ener!$as o cualuier otro fen)meno ue se descri#a por lasecuaciones de aplace.

4. Referencias

516 G. B. Arf:en, Metodos matematicos parafisicos, 0iana, 2@2.

526 . M. . MartDne+, fimee.u!to.m*, 1Enl$nea3.Availa#le-"ttp-HHH.fimee.u!to.m*prof esoresc"emadocumentosIi#racionesJ7KMecJC9JA2nicas&eriesdeMcaurin.pdf. 1Lltimoacceso- 72 K 7K2?3.

5&6 . M. B. Marina, 6ntroducci)n a la teor$a delas funciones arm)nicas esf(ricas, =Madrid,España>- 6nstituto Geo!rafico 'acional, 2@@K.




5+6 . Iá+ue+ odr$!ue+, Neor$a de difusi)nde neutrones lineal e*tendida para sistemasener!(ticos nucleares, 7K2K. 1En l$nea3.

Availa#le-"ttp-297.7?.O7.2KK-KK*mlui"andle297.

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