Función Identidad,Cuadratica,Raiz Cuadrada
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Tipos de Función
Recapitulemos sobre el tema Funciones:
Intuitivamente, la palabra función se refiere a una correspondencia de un conjunto con otro. Por ejemplo:
Considera un conjunto de estudiantes (X) y un conjunto de edades (Y), en que a cada estudiante le
corresponde un número que es su edad en años.
Estudiante (Conjunto X)
Origen
Edad (Conjunto Y)
Imagen f(x)
José 19
María 18
Manuel 21
Soledad 18
Alberto 20
En la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. A ese tipo de asociación se le
llama función.
Recordemos la definición:
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto
de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único
elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito).
De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor
de la primera corresponde un único valor de la segunda.
En el ejemplo anterior el dominio es {José, María, Manuel, Soledad, Alberto} y el recorrido es {18, 19, 20,
21}.
La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los
elementos de los dos conjuntos.
Nota: Si x es un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el recorrido que f asocia
con x se denota simbólicamente f(x), y se llama la imagen de x bajo la función f. En el ejemplo anterior
f(Soledad) = 18, f(Manuel) = 21. También se conoce la imagen como el valor de la función f en x.
Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla de valores (como el ejemplo
anterior), mediante unaexpresión algebraica o, como veremos luego, mediante una gráfica.
Función cuadrática
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce
como una función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a >
0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:
Ver: Función cuadrática y su representación gráfica
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.
Ejemplo:
f(x) = x2
representa una
parábola que abre
hacia arriba con
vértice en (0,0).
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 18_2006
Función racional
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si
para todo x en el dominio, se tiene:
para los polinomios f(x) y g(x).
Ejemplos:
Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función
racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la
división por cero no está definida).
Función de potencia
Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real.
Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia
Ver, además Función raíz cuadrada
Ejercicios y ejemplos con funciones en general:
Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:
a) Su cuádruplo.
La función es: f (x) = 4x.
b) Un número 2 unidades mayor.
La función es: f (x) = x + 2.
c) Su mitad menos 1.
La función es: f (x) = x/2 − 1.
d) El cuadrado del número que es una unidad menor.
La función es: f (x) = (x − 1)2
Veamos algunos otros ejemplos de funciones:
1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada
por la ley de Boyle-Mariotte:
donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas y c es una constante de
proporcionalidad.
Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del
volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor
del volumen.
2) El área A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:
Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.
3) Dada la función f(x) = 5x2 + 2
Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.
Para calcular la imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la
variable, así para x = 2
f(2) = 5(2)2 + 2
f(2) = 22
por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f(2) = 22.
Un problema resuelto
El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido.
a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.
b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?
c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?
Veamos:
a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x.
b) x = 50 entonces
f (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25
Hay que pagar 25 dólares.
c) f (x) = 53 entonces
15 + 0,2x = 53 entonces x = 190
Se han recorrido 190 km.
Función cuadráticaFunción cuadrática
Gráfica de Función cuadrática
Definición
Tipo Curva parabólica
Dominio
Imagen
Cálculo infinitesimal
Derivada
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:
con a ≠ 0.1
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la
forma: donde a, b y c son números reales cualquiera y a distinto de cero, de otro modo resultaría una de primer grado que algunos llaman función lineal; otros,función afín.2 Este tipo de funciones tiene como característica que cuando a>0 el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, es un mínimo; y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo.
La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se
abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida una una familia de funciones cúbicas.3
Función cuadrática
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser
mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la
ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la
ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación
es incompleta.
Representación gráfica de una función cuadrática
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función
cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.
Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de
una función cuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo
de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Parábola del
puente, una
función
cuadrática.
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola
cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o
brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores
que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos
f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los
cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.
Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término
constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la
fórmula:
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la
parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X
Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones
cuadráticas.
Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Ver: PSU: Matemática;
Pregunta 34_2010
Pregunta 18_2006
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las
ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Veamos:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3
Representar la función f(x) = x² − 4x − 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3
Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje
de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir,
intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad
de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de
intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas
La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor
máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde
el discriminante)
Funciones cuadráticas
Si hay un tema que podemos llamar "muy importante" en todos los cursos de matemática, es este.
DEFINICIÓN: Llamaremos función cuadrática a las funciones polinómicas de segundo grado, de dominio real y codominio real.
y= f(x) = ax²+bx+c con a 0.
Tal como lo vimos en el tema funciones y en función lineal, si no se dice lo contrario, suponemos, o convenimos, que estamos trabajando con todos los números reales.
En lenguaje matemático, nuestro dominio es el conjunto de los números reales.
Ejemplos de funciones cuadráticas:
A(x) = 3x²+5x-8 P(x) = -2x²-7x+1 C(x) = x²-1 D(x) = -x² miles de ejemplos
Gráfica:
Cada punto tiene dos componentes, (x,y). A la x la
llamamos abscisa; a la y la llamamos ordenada. ¿Cómo se ubica un punto en un par de ejes perpendiculares (tambien llamados ortogonales) ?
A cada valor de los elementos del dominio, llamados x, le
corresponde un único valor en el codominio, y. La
pareja (x,y) es el punto que colocamos en el gráfico. Los
valores de y=f(x) los obtenemos como resultado de hacer las operaciones en la función cuadrática.
Por ejemplo,si nuestra función cuadrática es A(x) = 3x²+5x-8, entonces cual es el correspondiente del -4 ? Al -4 le corresponde A(-4).
A(-4) = 3(-4)²+5(-4) -8
A(-4) = 3(16) -20 -8
A(-4) = 48 -20 -8 = 20
Entonces, en resumen, al -4 le corresponde el 20. El punto es el (-4,20).
Para hacer la gráfica, podemos empezar haciendo una tabla de valores y vamos colocando los puntos obtenidos en el gráfico. Ahora lo veremos un poco más abajo.
Este será nuestro primer método para hacer la representación gráfica. La forma obtenida se llama Parábola.
La representación gráfica de funciones polinómicas de segundo grado
son parábolas.
Es importante revisar las operaciones, las cuentas. Hay que tener cuidado con los paréntesis.
Por supuesto que sólo podemos representar en el gráfico unos pocos puntos. Aunque hagamos 975 puntos, igual serán unos pocos puntos, considerando losinfinitos puntos que tiene la parábola, función de dominio real y codominio real.
Los números reales son infinitos. Entonces siempre podemos representar sólo unos pocos puntos.
Podemos imaginarnos como quedaría la forma completa. Basta con intentar completar esos pocos puntos que hicimos, con una linea continua. Házlo en tu cuaderno.
Ahora que ya "hicimos" unas cuantas gráficas de funciones cuadráticas, podemos intentar responder algunas preguntas;
esto es, hagamos algunas actividades. También puedes volver atras para ayudarte a responderlas. Y también puedes ir a algunos libros para ver las respuestas.
Para empezar, ¿cómo podrías definir la Concavidad ? Mira las gráficas siguientes.
En las funciones cuadráticas podemos distinguir entre las que tienen concavidad positiva y las que tienen concavidad negativa. En ambas encontramos un punto extremo, llamado vértice, que puede ser el máximo o el mínimo de la función. Además estas funciones pueden tener, o no, raices. Veamos los diferentes casos con ejemplos.
Actividad 1) Lo primero que se puede observar al ver las diferentes gráficas de las funciones cuadráticas es que hay dos
grandes clases, segun que su concavidad sea+ o —.
¿Esto de que depende ? Si prestas atención, podrás ver que hay una relación entre la concavidad y el signo del coeficiente principal, a, que es el de mayor grado.
y=f(x)= ax²+bx+c
Buscamos entonces la relación entre la concavidad y el signo de "a".
Actividad 2) Otro aspecto interesante de las funciones cuadráticas es que todas, repito, todas, tienen un sólo extremo. Ese extremo será un máximo si el signo de "a"
es y es un mínimo si el signo de "a" es
Trata también de buscar la relación que hay entre la absisa del extremo y los valores de a, b y c. Para hacerlo,
puedes utilizar las graficas de las parábolas que ya usamos antes. Es este un trabajo de investigación individual.
En resumen:
Signo
de a Concavidad El extremo es un ....
La abscisa del extremo es:
+ + mínimo -b/2a
— — máximo -b/2a
Un ejercicio resuelto aquí
Y ahora, para terminar, tenemos que ver como hacemos para calcular las raices de una función cuadrática. Pero, ¿que son las raices ?
Definición : Las raices son los valores de los elementos del dominio que hacen que la imagen de la función valga cero. Tratemos de explicar esto. Sea f(x)= x²-6x+5
Investiguemos: ¿ el número 7 será raíz?
f(7)=(7)²-6.(7)+5 , entonces f(7) = 49-42+5 , luego f(7)=12, no es cero, 7 NO es raíz.
¿ el número 4 será raíz?
f(4)=(4)²-6.(4)+5 , entonces f(4) = 16-24+5 , luego f(4)=-3, no es cero, 4 NO es raíz.
¿ el número 5 será raíz?
f(5)=(5)²-6.(5)+5 , entonces f(4) = 25-30+5 , luego f(5)= 0, es cero, 5 SI es raíz.
¿Tendrá otra raíz? ¿ investiguemos con el número 1 ?
f(1)=(1)²-6.(1)+5 , entonces f(1) = 1-6+5 , luego f(1)=0, cero, SI, 1 también es raíz.
Otra definición: µ es raíz de f(x) si y sólo si f(µ) =
0
Por ejemplo, -15 es raíz de f(x) si y sólo si f(-15) = 0
¿Pero cómo haremos para calcular las raices de una función cuadrática cualquiera? ¿Tendremos que ir tanteando, probando ? La verdad, no.
Para resolver ecuaciones de segundo hay varios métodos. Uno
de ellos, un método geométrico fue inventado por Al-Kwrismi hace apenas 1200 años.
Existe otro método, una fórmula descubierta por Bháskara, hace.....10 años? ......100 años? ........1000 años ? Si te interesa
saber quién fué Bháskara, su nacionalidad, y cómo se demuestra su fórmula, puedes ir a enlaces.
Lo que ha descubierto, o mejor dicho, inventado, Bháskara, es un método para hallar las raices de una función cuadrática, si es
que tiene raices. DISCRIMINANTE: En la fórmula de Bháskara aparece la raíz cuadrada del término b²-4.a.c que lo usaremos mucho. A este término se le llama discriminante, porque no ayuda a discriminar si la función cuadrática tendrá o no raices reales. Vamos ahora a ver como se hace esto. ¿Cuándo existe una raíz cuadrada? ¿Siempre se puede hacer esta operación? Dicho de otra forma, ¿a cuáles números se les puede calcular la raíz cuadrada?
Como en la fórmula de Bháskara aparece una raíz cuadrada, ésta se podrá hacer siempre que el número al que se la apliquemos sea positivo, o cero.
Veamos ejemplos:
Entonces, en resumen, ¿cuándo se puede hacer una raíz cuadrada?
DISCRIMINANTE: ¿cómo se usa? ¿para que sirve?
Definición cuadratica
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:
f(x) = x 2 f(x) = -x 2
Obtención del vértice de una parábola
El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos.Como toda función cuadrática pasa por el punto (0,c) y el simétrico de éste tiene de abscisa x = -b/a, la del vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función.
Intersección de la parábola con los ejes
Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)
Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 .
Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:
i. Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos.
ii. Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice).
iii. Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales yla parábola no cortará al eje OX.
Resumen
Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:
Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2. Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o
abajo. Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo. Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola. Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c) Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx +
c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno. La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.
1. Definición de la funciónRaízCuadradaEs la función donde un número multiplicado por sí mismo te da el valor dado.La representación de “Raíz Cuadrada de x” es: F (x) =
2. Definición de la funciónRaízCuadrada …Su dominio son todos los números reales positivos [0, ).El número del radical nunca puede ser negativo porque no sería una función de raíz cuadrada. En el siguiente ejemplo se muestra el porque el número dentro del radical no debe ser negativo:Esto es debido a que un número negativo da por resultado un número imaginario.
3. GráficaEstaesunarepresentacióngráfica de F(x)= La tabla de valoresrepresenta los valores de la variable dependiente e independiente. Dominio: {x/x 0} (todos los númerosreales)
4. Función de la RaízCuadrada con aplicaciones en la FísicaEn muchosejercicios se terminasacando la raíz cuadradaparapoderresolverlo.Hay muchas relaciones en la física.
5. Función de la RaízCuadrada con aplicaciones en la FísicaMovimiento en aceleración constante
La a equivale a aceleraciónLa t equivale a tiempo
6. FunciónRaízCuadrada con aplicaciones de FísicaEsta fórmula es utilizada para sacar el periodo de un péndulo.La T representa el tiempo.La l representa la longituddel péndulo.La g representa la aceleración gravitacional que equivale a 32.2 pies ó 9.8(metros)
7. FunciónRaízCuadrada con aplicaciones de FísicaPeriodo de la oscilación de un resorte.La T representa el periodo del resorte.La k representa la constante del resorteLa m representa la masa colgada del resorte.
8. FunciónRaízCuadrada con aplicaciones de FísicaEsta fórmula se utiliza para sacar la tensión de las cuerdas de una guitarra.La V representa la velocidad de propagación de una onda en una cuerda.La T representa la tensión de la cuerda.La D representa la densidad lineal de la masa.
9. FunciónRaízCuadrada con aplicaciones de QuímicaEn la Química se utiliza en las relaciones cuadráticas de equilibrio químico.
10. Ventajas y Desventajas de la Función Raíz Cuadrada
11. La función raíz cuadrada en el diario vivirEsta función en el diario vivir no es común.Es utilizada en toda profesión relacionada con la ciencia ó matemáticas.
http://es.slideshare.net/zadrovet/funcin-raiz-cuadrada
Función raíz cuadrada
Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma:
cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el
valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada.
La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos
de la función cuadrática, pero en este caso el eje de simetría de la media parábola es horizontal (paralelo
al eje de las abscisas).
El gráfico de la función raíz cuadrada es:
A este gráfico le podemos aplicar traslaciones horizontales, hacia la derecha si hacemos x − 1, y hacia de
izquierda si hacemos x + 1.
Por ejemplo, el gráfico de muestra que se ha trasladado una unidad hacia la
derecha:
Veamos otro ejemplo: Traslado tres unidades hacia la izquierda
Su grafica es:
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funcion_raiz_cuadrada.html