Función de varias variables: Máximos, mínimos y puntos de ...
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Extremos relativos y absolutosPuntos crıticos
Extremos relativos: procedimiento de calculoExtremos condicionados
Funcion de varias variables:Maximos, mınimos y puntos de silla
Extremos condicionados
Joaquın Bedia
Dpto. Matematica Aplicada y CC de la ComputacionUniversidad de Cantabria
Joaquın Bedia Extremos
Extremos relativos y absolutosPuntos crıticos
Extremos relativos: procedimiento de calculoExtremos condicionados
Contenidos
1 Extremos relativos y absolutosExtremos absolutos. DefinicionExtremos relativos. Definicion
2 Puntos crıticosDefinicionPuntos de silla
3 Extremos relativos: procedimiento de calculoProcedimiento de calculoEjemplos
4 Extremos condicionadosDefinicionMultiplicadores de LagrangeEjemplos
Joaquın Bedia Extremos
Extremos relativos y absolutosPuntos crıticos
Extremos relativos: procedimiento de calculoExtremos condicionados
Extremos absolutos. DefinicionExtremos relativos. Definicion
Extremos absolutos
Extremos absolutos. Definicion:
Sea f(x, y) una funcion definida en una region D y sea(x0, y0) ∈ D. Se dice que:
f(x0, y0) es una valor maximo absoluto de f en D si:
f(x0, y0) ≥ f(x, y) ∀(x, y) ∈ D
f(x0, y0) es una valor mınimo absoluto de f en D si:
f(x0, y0) ≤ f(x, y) ∀(x, y) ∈ D
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Extremos relativos: procedimiento de calculoExtremos condicionados
Extremos absolutos. DefinicionExtremos relativos. Definicion
Extremos relativos
Extremos relativos. Definicion:
Sea f(x, y) una funcion definida en una region D y sea(x0, y0) ∈ D. Se dice que:
f(x0, y0) es una valor maximo relativo de f en D si existe unentorno B(x0, y0) tal que:
f(x0, y0) ≥ f(x, y) ∀(x, y) ∈ B
f(x0, y0) es una valor mınimo relativo de f en D si:
f(x0, y0) ≤ f(x, y) ∀(x, y) ∈ B
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Extremos absolutos. DefinicionExtremos relativos. Definicion
Extremos relativos
Teorema de Weierstrass
Sea f : X ⊂ Rn 7→ R continua en X, siendo X un conjunto cerrado yacotado. Entonces, el conjunto Y =
{f(x)
/x ∈ X
}⊂ R posee un maximo y
un mınimo, es decir, existen dos puntos x1 y x2 pertenecientes a X tales que:
∀x ∈ X ⇒ f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)
El Teorema deWeierstrass garantiza laexistencia de extremosabsolutos parafunciones continuasdefinidas en conjuntoscerrados y acotados
Máximo absoluto Máximo relativo
Máximo relativo
D≡{(x,y) ∈ R2 / -3≤x≤2 ; -3≤y≤2}
Mínimo absoluto
Puntos de silla
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DefinicionPuntos de silla
Puntos crıticos
Punto crıtico. Definicion:
Sea z = f(x, y) una funcion definida en una region D y sea un puntoP (x0, y0) ∈ D. Se dice que P es un punto crıtico si se cumple alguna delas afirmaciones siguientes:
1 P (x0, y0) es un punto de frontera, es decir, esta situado en elcontorno de D
2 P (x0, y0) es un punto estacionario. Por lo tanto,
∂f∂x
∣∣∣∣(x0,y0)
= ∂f∂y
∣∣∣∣(x0,y0)
= 0, es decir ∇f(x0, y0) = 0
3 P (x0, y0) es un punto singular, es decir @∂f∂x
∣∣∣∣(x0,y0)
o bien
@∂f∂y
∣∣∣∣(x0,y0)
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DefinicionPuntos de silla
Puntos crıticos
Teorema:
Si f(x0, y0) es un extremo relativo de f en una region abierta D,entonces el punto (x0, y0) es un punto crıtico de f .
Condicion necesaria para la existencia de extremos de funcionesdiferenciables. Teorema:
Sea z = f(x, y) una funcion diferenciable en D. Es condicion necesariapara la existencia de un extremo relativo de f en (x0, y0) ∈ D que(x0, y0) sea punto estacionario, es decir, que verifique que
∂f∂x
∣∣∣∣(x0,y0)
= ∂f∂y
∣∣∣∣(x0,y0)
= 0
Nota:
El Teorema anterior da una condicion necesaria pero no suficiente.Existen puntos estacionarios que no son maximos ni mınimos: puntos desilla.
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DefinicionPuntos de silla
Puntos de silla
Ejemplo:
Es condicion necesaria pero nosuficiente que el punto P (x0, y0) seaestacionario para que P sea un extremorelativo. En la figura, se ilustra unejemplo. La funcion f(x, y) = y2 − x2determina una superficie en la que elpunto P (0, 0) es estacionario, y sinembargo no es un extremo relativo (nimaximo ni mınimo).
Punto de silla:
A este tipo de puntos, que son a la vez maximos relativos en unadireccion y mınimos relativos en la direccion ortogonal a la primera, se lesdenomina puntos de silla
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Procedimiento de calculoEjemplos
Extremos relativos. Procedimiento de calculo por pasos:
1 Calculo de los puntos crıticos, mediante resolucion del sistema:
∂f∂x
= 0∂f∂y
= 0
}2 Si el punto (x0, y0) es un punto crıtico, se estudia el valor del
determinante hessiano (particularizadas las derivadas parciales en(x0, y0)):
H =
∣∣∣∣∣ ∂2f∂x2
∂2f∂x∂y
∂2f∂y∂x
∂2f∂y2
∣∣∣∣∣3 El valor del hessiano permite concluir:
Si H > 0 y ∂2f∂x2 > 0 ⇒ (x0, y0) es mınimo relativo
Si H > 0 y ∂2f∂x2 < 0 ⇒ (x0, y0) es maximo relativo
Si H < 0 ⇒ (x0, y0) es punto de silla.Si H = 0 el criterio del hessiano no permite concluir nada, ysera necesario recurrir a otro metodo (analisis de la grafica...) paraestudiar el comportamiento en el entorno del punto
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Procedimiento de calculoEjemplos
Calculo de extremos: Ejemplos
Extremos relativos. Ejemplos:
Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones:
1 f(x, y) = −x3 + 4xy − 2y2 + 1
2 f(x, y) = x3 − y3 + 3xy
3 f(x, y) = x2y2
4 f(x, y) = xyex+2y
5 f(x, y) = senx+ sen y + cos(x+ y)
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Procedimiento de calculoEjemplos
Calculo de extremos: Ejemplos
Extremos relativos y absolutos. Ejemplo:
Sea f(x, y) = xy(1− x2 − y2)
1 Hallar sus extremos relativos en R2
2 Hallar sus extremos relativos y absolutos en el dominio
D ≡{(x, y) ∈ R2
/0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1
}
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DefinicionMultiplicadores de LagrangeEjemplos
Extremos condicionados
El objetivo es la obtencion y clasificacion de los puntos crıticos de una funcion f(x, y)(un campo escalar de dos variables en este caso), sujetos a una restriccion.
Extremo relativo condicionado auna curva en el plano:
Sea f : U ⊆ R2 → R donde U esun conjunto abierto y seag(x, y) = 0 una curva definida enU . Sea (x0, y0) un punto de lacurva tal que g(x0, y0) = 0Se dice que f alcanza un extremorelativo condicionado ag(x, y) = 0 si existe un entorno de(x0, y0) de modo que para todopunto (x, y) perteneciente a dichoentorno tal que g(x, y) = 0 severifica que:
Fuente: Elena Alvarez (2013)
https://personales.unican.es/alvareze/Descartes/
ExtremosCondicionados-JS/index.html
f(x, y) ≤ f(x0, y0) (Maximo relativo), o bien f(x, y) ≥ f(x0, y0) (Mınimo relativo)
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DefinicionMultiplicadores de LagrangeEjemplos
Multiplicadores de Lagrange
Para encontrar la curva adecuadase usa la idea de que dos curvasson tangentes en un punto si y solosi sus vectores gradiente sonparalelos, y por lo tanto:
∇f(x, y) = λ∇g(x, y)
Al escalar λ se le conoce comomultiplicador de Lagrange
Source: https://en.wikipedia.org/wiki/
Lagrange_multiplier#/media/File:
LagrangeMultipliers2D.svg
Teorema de Lagrange
Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas (tipo C1), ytales que f tiene un extremo en un punto (x0, y0) sobre la curva suave derestriccion g(x, y) = c. Si ∇g(x0, y0) 6= 0, entonces existe un λ ∈ R tal que:
∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)
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DefinicionMultiplicadores de LagrangeEjemplos
Multiplicadores de Lagrange
Metodo de los multiplicador es de Lagrange
Sean f y g funciones que satisfacen las hipotesis del Teorema de Lagrange, ysea f una funcion que tiene un maximo o un mınimo sujeto a la restricciong(x, y) = c. Para hallar el mınimo o el maximo de f , se siguen los siguientespasos:
1 Resolver simultaneamente las ecuaciones ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) yg(x, y) = c, resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:
fx(x, y) = λgx(x, y)fy(x, y) = λgy(x, y)g(x, y) = c
2 Evaluar f en cada punto solucion obtenido en el primer paso. El valormayor da el maximo de f sujeto a la restriccion g(x, y) = c, y el valormenor da el mınimo de f sujeto a la restriccion g(x, y) = c
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DefinicionMultiplicadores de LagrangeEjemplos
Ejemplos
1 Hallar el valor maximo de f(x, y) = 4xy donde x > 0 y y > 0,
sujeto a la restriccionx2
32+
y2
42= 1
2 Encuentra los extremos de la funcion f(x, y) = 49− x2 − y2
sujetos a la condicion x+ 3y − 10 = 0
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