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Funcion exponencial
Las funciones exponenciales son de la forma f (x) = ax con a > 0
Las funciones exponenciales estan definidas en todo R y sus valores sonsiempre positivos. Son crecientes para a > 1 y decrecientes para a < 1.Entre ellas destaca f (x) = ex = exp(x).
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Proposicion
Sean a, b > 0 y x , y ∈ R Se verifican las siguientes propiedades:
1 a0 = 1
2 ax+y = axay
3 (ab)x = axbx
4 (ax)y = axy
♣
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Funcion Logarıtmica
Las funciones logarıtmicas f (x) = loga(x) son las funciones inversas delas funciones exponenciales y entre ellas destaca la funcion logarıtmica debase e o logaritmo neperiano,ln(x) = loge(x)
y = loga(x) ⇔ ay = x
Graficamente:
Nota Las funciones logarıtmicas solo estan definidas para numerosestrictamente positivos (su dominio es (0,+∞)) y toman todos losvalores (su imagen es R). Son crecientes para a > 1 y decrecientes paraa < 1.
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Las funciones logarıtmicas solo estan definidas para numerosestrictamente positivos (su dominio es (0,+∞)) y toman todos losvalores (su imagen es R). Son crecientes para a > 1 y decrecientes paraa < 1.
Proposicion
Sean a, b > 0 y x , y ∈ R, se verifican las siguientes propiedades:
1 loga1 = 0
2 loga(xy) = loga x + loga y
3 loga
(x
y
)= loga x − loga y
4 loga(xn) = n loga x
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Funciones trigonometricas.
sen(α) =cateto opuesto
hipotenusa=
a
c
cos (α) =cateto contiguo
hipotenusa=
b
c
tg(α) =cateto opuesto
cateto contiguo=
a
b
Formulas fundamentales
1) sen2 α + cos 2α = 1 2) 1 + tg2 α =1
cos 2α
3) tgα =senα
cos α4) cotgα =
1
tgα
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Para extender estas funciones al conjunto de los numeros realesconsideramos la circunferencia de centro el origen y radio 1.
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Tanto la funcion sen(x) como cos(x) tienen por dominio todo R y porimagen el intervalo [−1, 1].
El seno es una funcion impar mientras que el coseno es par. Sidesplazamos sus graficas a izquierda y derecha podemos superponer unasobre la otra.
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Medida de ciertos angulos y sus senos y cosenosGrados Radianes Seno Coseno
0 0 0 1
30 π6
12
√3
2
45 π4
√2
2
√2
2
60 π3
√3
212
90 π2 1 0
180 π 0 −1270 3π
2 −1 0360 2π 0 1
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La funcion tangente se define de forma natural como el cociente entreseno y coseno:
tan x =sen x
cos x
La funcion tangente es periodica de periodo π y no esta definida en lospuntos donde se anula el coseno, que son de la forma x = π
2 ± kπ conk = 0, 1, 2, . . ..
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• La inversa de la funcion seno es la funcion arcoseno,f (x) = arc sen x .Su dominio es el intervalo [−1, 1] y su imagen [−π/2, π/2]:
arc sen x = y ⇔ sen y = x
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• La inversa de la funcion coseno es la funcion arcocoseno,f (x) = arc cos x .Su dominio es el intervalo [−1, 1] y su imagen [0, π]
arc cos x = y ⇔ cos y = x
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• La inversa de la funcion tangente es la funcion arcotangente,f (x) = arctan x
Su dominio es R y su imagen [−π2,π
2]:
arctan x = y ⇔ tan y = x
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1.3 Continuidad de funciones de una variable
Definicion
Sea f : [a, b] ⊆ R−→R, x0 ∈ [a, b]. f es continua en x0 si
lımx→x0
f (x) = f (x0)
donde el lımite de f (x) cuando x tiende a x0 es f (x0) si∀ε > 0 ∃δ > 0/x ∈ [a, b] y 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f (x)− f (x0)| < ε.
f es continua en [a, b] si es continua en todos los puntos de (a, b), en ael lımite por la derecha es f (a) y en b el lımite por la izquierda es f (b).♣
Nota Una funcion es discontinua en un punto si no es continua en elpunto pero es continua en un entorno del punto
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Nota Las funciones elementales que hemos visto en la seccion anteriorson continuas en sus dominios.
Nota El producto de un numero por una funcion continua, la suma defunciones continuas, el producto de funciones continuas y la composicionde funciones continuas son funciones continuas. Sin embargo, el cocientede funciones continuas solo es una funcion continua en los puntos en losque no se anula el denominador.
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Proposicion
(Teoremas clasicos) Sea f : [a, b] ⊆ R−→R continua en [a, b] entonces
(Teorema de Bolzano). Si f (a) y f (b) tienen distinto signo existec ∈ (a, b) con f (c) = 0.
(Teorema de los valores intermedios o de Darboux) Si c1, c2 ∈ [a, b]con c1 < c2 y f (c1) 6= f (c2), f alcanza cualquier valor entre f (c1) yf (c2).
(Teorema de Weierstrass) f tiene un maximo y un mınimo absolutoen algun punto de [a, b].
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1.4 Derivada de funciones de una variable
Definicion
Sean f : [a, b] ⊆ R−→R y x0 ∈ (a, b).La derivada de f en x0
f ′(x0) = lım4x→0
f (x0 +4x)− f (x0)
4x= lım
x→x0
f (x)− f (x0)
x − x0.
f es derivable en x0 si este lımite existe.f es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos los puntosdel conjunto. ♣
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Nota (Interpretacion geometrica de la derivada) La tasa media devariacion entre los puntos P y Q corresponde a la pendiente de la rectaque corta a la grafica y = f (x) en estos puntos. Cuando 4x tiende acero, el punto Q se mueve sobre la grafica acercandose a P y lapendiente de la recta secante se aproxima a la pendiente de la rectatangente, de forma que la derivada de la funcion en x0 es la pendiente dela recta tangente a la grafica y = f (x) en el punto P(x0, f (x0)).
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Nota La derivada marca el ritmo del cambio que experimenta la variabledependiente cuando se produce un cambio en la variable independiente ycuanto mayor es el valor de la derivada mayor es el cambio queexperimenta la variable dependiente. Si la derivada es positiva a unaumento de la variable independiente le corresponde un aumento de lavariable dependiente y si es negativa a un aumento de la variableindependiente le corresponde una disminucion de la variable dependiente.
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Definicion
Sean f : [a, b] ⊆ R−→R.Si f es derivable en (a, b) la funcion derivada de f asocia a cada x suderivada
f ′ : x ∈ (a, b)−→ f ′(x) ∈ R. ♣
Nota
Las distintas notaciones que se usan para la funcion derivada de unafuncion y = f (x) son:
y ′ o f ′(x), cuyo valor en un punto x0 se escribe como y ′(x0) o f ′(x0);
dy
dxo
df
dx, cuyo valor en un punto x0 se escribe como
dy
dx
∣∣∣∣x0
odf
dx
∣∣∣∣x0
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Para obtener el valor de la derivada de una funcion en un punto sin tenerque aplicar la definicion, que a veces es bastante complicado, se puedencombinar las reglas de derivacion y las derivadas de las funcioneselementales.
Proposicion
(Reglas de derivacion) Sean f , g : [a, b] ⊆ R−→R derivables enx ∈ (a, b).
1 Regla del multiplo constante (k ∈ R): (kf )′(x) = kf ′(x).
2 Regla de la suma: (f + g)′ (x) = f ′(x) + g ′(x).
3 Regla del producto: (f · g)′ (x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).
4 Regla del cociente:
(f
g
)′(x) =
f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
g 2(x)siempre y
cuando g(x) 6= 0. ♣
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Derivadas de las funciones elementalesf (x) f ′(x)
xa axa−1 x > 0 a ∈ R
ex ex x ∈ R
ln x1
xx > 0
sen x cos x x ∈ R
cos x − sen x x ∈ R
tan x 1 + tan2 x x 6= π2 ± nπ (n ∈ N)
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Derivadas de las funciones elementalesf (x) f ′(x)
k 0 x ∈ R k ∈ R
ax ax ln a x ∈ R a > 0
loga x1
x ln ax > 0 a > 0
arc sen x1√
1− x2−1 ≤ x ≤ 1
arc cos x−1√
1− x2−1 ≤ x ≤ 1
arctan x1
1 + x2x ∈ R
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Proposicion
(Regla de la cadena) Sean f : [a, b] ⊆ R−→R, g : [c , d) ⊆ R−→R.Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) y g es derivable en f (x0) ∈ (c , d)entonces g ◦ f es derivable en x0
(g ◦ f )′(x0) = g ′(f (x0))f ′(x0) ♣
Nota
(Interpretacion economica) Si y = y(x) y a su vez x = x(t) se tiene quey = y(t) y
dy
dt
∣∣∣∣t
=dy
dx
∣∣∣∣x(t)
dx
dt
∣∣∣∣t
de forma que la tasa de variacion de y con respecto a t es producto de latasa de variacion de y con respecto a x por la tasa de variacion de x conrespecto a t.
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Proposicion
(funcion inversa) Sea f : [a, b] ⊆ R−→R continua e inyectiva en [a, b].Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) con f ′(x0) 6= 0 entonces f −1 es derivableen y0 = f (x0) con
(f −1)′(y0) =1
f ′(x0). ♣
Proposicion
Sean f : [a, b] ⊆ R−→R y x0 ∈ (a, b).Si f es derivable en x0 entonces f es continua en x0.
Nota El recıproco no es cierto, ya que f puede ser continua en x0 sin queexista su derivada.
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Proposicion
Sea f : [a, b] ⊆ R−→R continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces
f es creciente en (a, b) si y solo si f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b).
f es decreciente en (a, b) si y solo si f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b). ♣
Proposicion
(Teoremas clasicos) f : [a, b] ⊆ R−→R continua en [a, b] y derivable en(a, b)
(Teorema de Rolle) Si f (a) = f (b) existe c ∈ (a, b) con f ′(c) = 0.
(Teorema del valor medio o de los incrementos finitos) Existe
c ∈ (a, b) con f ′(c) = f (b)−f (a)b−a .
(Teorema de los valores intermedios para derivadas) Si c1, c2 ∈ (a, b)con f ′(c1) 6= f ′(c2)la derivada alcanza cualquier valor entre f ′(c1) y f ′(c2). ♣
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1.5 Extremos de funciones de una variable
Definicion
Sean f : [a, b] ⊆ R−→R y x0 ∈ [a, b].
x0 es un maximo absoluto si f (x0) ≥ f (x) ∀x ∈ [a, b]
x0 es un mınimo absoluto si f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ [a, b]
En ambos casos decimos que x0 es un optimo global o extremoabsoluto (estricto si las desigualdades son estrictas para x 6= x0).
x0 es un maximo local si existe δ > 0 tal quef (x0) ≥ f (x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b]
x0 es un mınimo local si existe δ > 0 tal quef (x0) ≥ f (x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b]
En ambos casos decimos que x0 es un optimo local o extremorelativo (estricto si las desigualdades son estrictas para x 6= x0). ♣
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Proposicion
(condicion necesaria de optimo local) Sea f : [a, b] ⊆ R−→R derivableen (a, b).Si f tiene un extremo relativo en x0 ∈ (a, b) entonces f ′(x0) = 0. ♣
Nota Un punto en el que la derivada es cero recibe el nombre de puntocrıtico.
Nota En un punto crıtico la recta tangente a la curva y = f (x) esparalela al eje X .
Nota Si la funcion es derivable en un extremo relativo, este siempre esun punto crıtico, pero no todo punto crıtico es un extremo relativo (unpunto crıtico puede ser un maximo relativo, un mınimo relativo o ningunade las dos cosas).
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Proposicion
(condicion suficiente de optimo local) Sean f : [a, b] ⊆ R−→R dos vecesderivable en (a, b) y x0 ∈ (a, b) un punto crıtico de f .
Si f ′′(x0) > 0 x0 es un mınimo relativo estricto.
Si f ′′(x0) < 0 x0 es un maximo relativo estricto.
Si f ′′(x0) = 0 no podemos afirmar nada. ♣
Nota
Si f es n veces derivable en (a, b) con f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 yf (n)(x0) 6= 0 se tiene:
Si n es par y{f (n)(x0) > 0 f tiene un mınimo relativo estricto en x0
f (n)(x0) < 0 f tiene un maximo relativo estricto en x0
Si n es impar f no tiene ni un maximo ni un mınimo.
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Ejemplo
Calcular los optimos de la funcion f (x) = xx2+1 :
En primer lugar determinamos los puntos en los que la derivada es cero(puntos crıticos):
f ′(x) =1− x2
(1 + x2)2 = 0 =⇒ 1− x2 = 0 =⇒{
x = 1x = −1
A continuacion calculamos su derivada segunda y estudiamos que tipo depuntos son
f ′′(x) =2x(−3 + x2
)(1 + x2)3 =⇒
{f ′′(1) = − 1
2 < 0 maximof ′′(−1) = 1
2 > 0 mınimo
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Como f (1) = 12 y f (−1) = − 1
2 tenemos que el punto (1, 12 ) es un maximo
relativo y que el punto (−1,− 12 ) es un mınimo relativo. Al observar su
grafica, vemos que son un maximo y un mınimo absolutos y que, portanto, el valor maximo de la funcion es 1
2 y su valor mınimo − 12 . ♣
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Ejemplo
Estudio de los optimos de la funcion f (x) =9 + 12x + 7x2 + x3
1 + x2:
En primer lugar determinamos los puntos crıticos:
f ′(x) =(2 + x)2
(3− 4x + x2
)(1 + x2)2 = 0 =⇒
x = 3x = 1x = −2
A continuacion calculamos su derivada segunda y estudiamos que tipo depuntos son
f ′′(x) =2(−2− 33x + 6x2 + 11x3
)(1 + x2)3 =⇒
f ′′(3) = 12 < 0 mınimo
f ′′(1) = − 92 < 0 maximo
f ′′(−2) = 0
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Como f (3) = 272 y f (1) = 29
2 tenemos que el punto (3, 272 ) es un mınimo
relativo y el punto (1, 292 ) un maximo relativo (graficamente vemos que
no son optimos absolutos). En x = 2, como la segunda derivada en escero, no podemos afirmar nada y tenemos que calcular la terceraderivada. Se puede comprobar que f ′′′(−2) = 6
5 y que, por tanto, notiene ni un maximo ni un mınimo.
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1.6 Concavidad y convexidad
Definicion
Sea f : I ⊆ R−→R con I un intervalo.f es convexa en I si el segmento que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))esta por encima de la grafica de la funcion entre estos dos puntos∀a, b ∈ I con a < b.
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Definicion
f es concava en I si el segmento que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))esta por debajo de la grafica de la funcion entre estos dos puntos∀a, b ∈ I con a < b.
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Proposicion
Sea f : [a, b] ⊆ R−→R dos veces derivable en (a, b).
f es convexa en (a, b) si y solo si f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b).
f es concava en (a, b) si y solo si f ′′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b). ♣
Definicion
Sean f : D ⊆ R−→R y x0 ∈ D.f tiene un punto de inflexion en x0 si en x0 cambia de concava aconvexa o viceversa. ♣
Proposicion
Sea f : [a, b] ⊆ R−→R derivable en (a, b).Si f tiene un punto de inflexion en x0 ∈ (a, b) y existe f ′′(x0) entoncesf ′′(x0) = 0. ♣
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Proposicion
Sea f : [a, b] ⊆ R−→R dos veces derivable en (a, b) y x0 ∈ (a, b) conf ′′(x0) = 0.Si existe f ′′′(x0) y es distinta de cero entonces f tiene un punto deinflexion en x0. ♣
NotaSi x0 es un punto de inflexion no tiene por que ser f ′(x0) = 0.
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