Fun Khus 02 Muhammad Hi Kam
Transcript of Fun Khus 02 Muhammad Hi Kam
2. Fungsi Bessel
2.1. Persamaan Diferensial Bessel2.2. Sifat-sifat Fungsi Bessel2.3. Fungsi-fungsi Hankel, Bessel Orde-fraksional, Bessel Sferis
Penggunaan Fungsi BesselMencari solusi separasi variabel dari persamaan Laplace dan Helmholtz dalam koordinat silinder dan sferisKhususnya penting dalam berbagai problem seperti propagasi gelombang, potensial statik dan sebagainya.
Contoh dalam koordinat Silinder:- Electromagnetic waves in a cylindrical waveguide - Heat conduction in a cylindrical object. - Modes of vibration of a thin circular (or annular) artificial membrane. - Diffusion problems on a lattice.
Useful properties for other problems, such as signal processing (e.g., see FM synthesis, Kaiser window, or Bessel filter).
Persamaan Diferensial Bessel
Fungsi Bessel, pertama kali didefinisikan oleh seorang ahli Matematik Daniel Bernoulli dan diperluas oleh Friedrich Bessel, merupakan solusi persamaan diferensial:
untuk α real atau kompleks. Kasus paling umum apabila α adalah bilangan bulat n.
(2.1)
Fungsi generator
Lihat fungsi dengan 2 variabel:
Ekspansikan berdasarkan deret Laurent akan didapat:
Jn(x) yang merupakan koefisien tn adalah fungsi Bessel jenis pertama dari orde bilangan bulat n.
)/1)(2/(),( ttxetxg −=
∑∞=
−∞=
− =n
n
nn
ttx txJe )()/1)(2/(
(2.3)
(2.2)
∑∑∞
=
−∞
=
−− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
00
2/2/)/1)(2/(
!2)1(
!2 s
sss
r
rrtxxtttx
stx
rtxeee
!2)1(
)!(2 stx
sntx ss
ssnsn −++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Untuk suatu s tertentu, kita dapatkan tn (n≥0) dari:
Sehingga koefisien tn menjadi:
∑∞=
−∞=
− =n
n
nn
ttx txJe )()/1)(2/(
∑∞
=
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=0
2
2)!(!)1()(
s
sns
nx
snsxJ (2.4)
∑∞
=
+−
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−−
=0
2
2)!(!)1()(
s
sns
nx
snsxJ
Kalau n < 0:
Karena (s – n)! ∞ kalau s=0,1,2,…(n-1); maka:
∑∞
=
++
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=0
2
2)!(!)1()(
s
snns
nx
snsxJ
Sehingga dapat disimpulkan:
J-n(x)= (-1)n Jn(x) untuk n bilangan bulat (2.5)
Kembali ke fungsi generator:
Bila kita diferensialkan secara parsial terhadap t, maka:
)/1)(2/(2 )11(
21),( ttxe
txtxg
t−+=
∂∂
∑∞=
−∞=
−=n
n
nn txnJ 1)(
∑∞=
−∞=
− ==n
n
nn
ttx txJetxg )(),( )/1)(2/(
Digabung akan diperoleh (misal untuk koefisien tn-1):
Jn-1(x) + Jn+1(x) = Jn(x)xn2
(2.6)
Persamaan Jn-1(x) + Jn+1(x) = Jn(x) disebut dengan persamaan rekursi.
Disini apabila J0 dan J1 diketahui maka J2 dapat dicari, dan seterusnya.
Hal ini sangat bermanfaat, khususnya kalau kita menggunakan komputer digital.
xn2
Kalau fungsi generator kita diferensialkan terhadap x, kita dapatkan:
∑∞=
−∞=
− =−=∂∂ n
n
nn
ttx txJet
ttxgx
)(')1(21),( )/1)(2/(
Kita dapatkan hubungan rekursi:
Jn-1(x) − Jn+1(x) = 2J’n(x)
Kasus spesial untuk hal ini:
J’0(x) = - J1(x)
(2.7)
Gabungan pers. (2.6) dan (2.7) menghasilkan:
Jn-1(x) = Jn(x) + J’n(x) (2.8)xn
Kalikan dengan xn dan disusun kembali menghasilkan (buktikan!) :
(2.9))()]([ 1 xJxxJxdxd
nn
nn
−=
Kurangi pers. (2.7) dengan (2.6) bagi 2 menghasilkan:
Jn+1(x) = Jn(x) - J’n(x)xn
Lalu buktikan: )()]([ 1 xJxxJxdxd
nn
nn
+−− −=
(2.10)
(2.11)
Persamaan (2.6) s.d. (2.11) merupakan hubungan rekursi fungsi Bessel.
Selanjutnya kita akan kembali bahas persamaan differensial Bessel.
Hubungan rekursi (2.8) dapat ditulis kembali, dengan n tidak harus bilangan bulat, sebut saja ν, fungsi menjadi Zν.
)()()(' 1 xZxxZxxZ ννν ν−= −
Dst. (lihat Arfken), maka akan diperoleh persamaan diferensial orde-2 yang merupakan persamaan Bessel:
0)('" 222 =−++ ννν ν ZxxZZx
(2.12)
(2.13)
Representasi Integral
Kita lihat kembali fungsi generator:
Substitusikan t = eiθ, akan diperoleh:
eix sin θ = J0(x) + 2[J2(x) cos 2θ+J4(x) cos 4θ + …..]
+ 2i[J1(x) sin θ+J3(x) sin 3θ + …..]
∑∞=
−∞=
− ==n
n
nn
ttx txJetxg )(),( )/1)(2/(
Dalam notasi sumasi dapat ditulis:
∑∞
=
+=1
20 )2cos()(2)()sincos(n
n nxJxJx θθ
∑∞
=− −=
112 ])12sin[()(2)sinsin(
nn nxJx θθ
Gunakan sifat ortogonalitas sin & cos, didapat:
∫⎩⎨⎧
=π
θθθπ 0 ganjiluntuk
genapuntuk0
)(cos)sincos(1
nnxJ
dnx n
∫⎩⎨⎧
=π
θθθπ 0 ganjiluntuk
genapuntuk)(
0sin)sinsin(1
nn
xJdnx
n
(2.14)
(2.15)
Kombinasikan, akan diperoleh:
θθθθθπ
π
dnxnxxJn ∫ +=0
]sin)sinsin(cos)sin[cos(1)(
∫ =−=π
θθθπ 0
...4,3,2,1,0,)sincos(1 ndxn
Kasus spesial:
∫=π
θθπ 0
0 )sincos(1)( dxxJ
(2.16)
(2.17)
Contoh penggunaan di Fisika
Difraksi Fraunhofer Tabung resonansi silindris
Difraksi Fraunhofer
α
θr
x
y
Dalam teori difraksi melalui lubang lingkaran kita dapatkan integral:
∫ ∫∝Φa
ibr rdrde0
2
0
sinπ
θ θ
disini:Φ: amplitudo gelombang terdifraksiθ: sudut azimutha: radius lubang
αλπ sin2
=b
Sesuai dengan representasi integral, maka dapat ditulis:
∫∝Φa
rdrbrJ0
0 )(2π
Gunakan (2.11), diperoleh:
)sin2(sin
)(2112 α
λπ
αλπ aJaabJ
b∝∝Φ
Intensitas difraksi:2
12 )sin2(
sin ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∝Φ α
λπ
αλ aJa
Titik nol pertama J1(x) terjadi pada x=3,8317, sehingga gelap pertama pola difraksi pada:
8317,3sin2=α
λπa
Soal latihan1. Tunjukkan bahwa:
∑∞
=
−+=1
20 )()1(2)()cos().n
nn xJxJxa
∑∞
=−
+−=1
121 )()1(2)sin().
nn
n xJxb
2. Buktikan bahwa:
∫=2/
00 cos)cos(sin π
θθθ dxJx
x
3.Tunjukkan bahwa:
4. Turunkan persamaan ini:
(petunjuk: gunakan induksi matematik)
∫−
=1
020
1cos2)( dt
txtxJ
π
)()1()( 0 xJxdxdxxJ
nnn
n ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Pelajari sendiri tentang ortogonalitas fungsi Bessel (Arfken p.645-648)
Sekedar pengingat tentang fungsi ortogonal
It is common to use the following inner product for two functions f and g:
Here we introduce a nonnegative weight function w(x) in the definition of this inner product.We say that those functions are orthogonal if that inner product is zero:
We write the norms with respect to this inner product and the weight function as
The members of a sequence { fi : i = 1, 2, 3, ... } are:- orthogonal if
- orthonormal
where
is the Kronecker delta. In other words, any two of them are orthogonal, and the norm of
each is 1 in the case of the orthonormal sequence. See in particular orthogonal polynomials.
Contoh: (buktikan!)
∫
∫
∫
=
⎩⎨⎧
==≠
=
⎩⎨⎧
=≠
=
π
π
π
ππδ
πδ
2
0
2
0
,
2
0
,
bulatn dan m semuauntuk 0sincos
00
,,
2coscos
00
,,
0sinsin
dxnxmx
nmm
dxnxmx
mm
dxnxmx
nm
nm
Fungsi Neumann, Fungsi Bessel jenis kedua, Nv(x)
Dari teori persamaan diferensial, karena merupakan orde dua maka persamaan Bessel mempunyai dua solusi independen.
Untuk ν bukan bilangan bulat kita mempunyai dua solusi yakni Jν(x) dan J-ν(x) yang saling independen. Namun kalau ν bilangan bulat maka kedua solusi tersebut saling bergantung.
Solusi kedua dicoba sebagai berikut (kombinasi linear dari Jν(x) dan J-ν(x)):
νπνπ νν
ν sin)()(cos)( xJxJxN −−
=
Ini yang disebut sebagai fungsi Neumann. Jelas tampak bahwa untuk ν bukan bilangan bulat, Nν(x) memenuhi persamaan Bessel.
(2.18)
Bentuk integral Fungsi Neumann
∫∞
−=0
0 )coshcos(2)( dttxxNπ
Sama seperti semua fungsi Bessel, Nν(x) juga mempunyai representasi integral. Sebagai contoh untuk N0(x) kita mempunyai:
0)1(
cos2
12/12 >
−−= ∫
∞
xdtt
xtπ
(2.19)
Solusi umum persamaan Bessel
y(x) = AJν(x) + BNν(x) (2.20)
Hubungan Rekursi
xJJJJ
πνπ
ννννsin2
11 =+ −−+−
xJJJJ
πνπ
ννννsin2
11 −=+ +−−−
xNJNJ
πνννν2' =− −
Hubungan rekursi gabungan fungsi Bessel dan fungsi Neumann sangat banyak, diantaranya dapat disebut:
xNJNJ
πνννν2
11 −=− ++
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
Aplikasi Fungsi Neumann
Coaxial Wave Guide (Arfken p.655-656)
Fungsi HankelDefinisi-definisi:
Fungsi Hankel jenis 1:
Hν(1)(x) =Jν(x) + i Nν(x)
Fungsi Hankel jenis 2:Hν
(2)(x) =Jν(x) - i Nν(x)
θθθ sincos ie i ±=±
Hal ini analog:
(2.25)
(2.26)
Karena fungsi Hankel merupakan kombinasi linear Jν dan Nν maka memenuhi rekursi yang sama seperti:
)(2)()( 11 xHx
xHxH νννν
=+ +−
)('2)()( 11 xHxHxH ννν =− +−
Keduanya berlaku untuk Hν(1)(x) dan Hν
(2)(x)
(2.27)
(2.28)
Beberapa formula Wronskian dapat dikembangkan:
xiHHHH
πνννν4)2(
1)1()1(
1)2( =− ++
xiHJHJ
πνννν2)1(
1)1(
1 =− −−
xiHJHJ
πνννν2)2(
1)2(1 =− −−
(2.29)
(2.30)
(2.31)
Pelajari sendiri Modified Bessel Function yang juga ditemui di berbagai kasus Fisika
Fungsi Bessel Sferis
2/1)()()(
krkrZkrR =
0)]1([2 222
22 =+−++ Rnnrk
drdRr
drRdr
Ketika persamaan Helmholtz pada koordinat sferis dipisahkan, persamaan radial mempunyai bentuk:
Jelas persamaan ini bukan merupakan pers. Bessel, namun kalau kita substitusi:
Persamaan menjadi:
0])([ 22122
2
22 =+−++ Znrk
drdZr
drZdr
(2.32)
(2.34)
(2.31)
Tampak bahwa Z merupakan fungsi Bessel orde n + ½. Fungsi semacam ini dilabelkan sebagai fungsi Bessel sferis dengan definisi:
)()()(2
)(
)()()(2
)(
)(2
)(
)(2
)(
)2()2(
)1()1(
21
21
21
21
xinxjxHx
xh
xinxjxHx
xh
xNx
xn
xJx
xj
nnnn
nnnn
nn
nn
−==
+==
=
=
+
+
+
+
π
π
π
π(2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.38)
Dalam bentuk deret dapat dibuktikan:
∑
∑∞
=+
+
∞
=
−−−−
=
+++−
=
0
21
1
0
2
)!22(!)!()1(
2)1()(
)!122(!)!()1(2)(
s
ss
nn
n
n
s
ss
nnn
xnssns
xxn
xnss
nsxxj (2.39)
(2.40)
Spherical Bessel functions of 1st kind, jn(x), for n=0,1,2
Spherical Bessel functions of 2nd kind, nn(x), for n=0,1,2
Kasus khusus untuk n=0
∑∞
=
=+
−=
0
20
sin)!12(
)1()(s
ss
xxx
sxj
xxn cos
0 −=
Juga untuk n0 (buktikan!):
ix
ix
exixix
xxh
exixix
xxh
−=+=
−=−=
)cos(sin1)(
)cos(sin1)(
)2(0
)1(0
Dengan demikian fungsi Hankel sferis menjadi:
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
Hubungan rekursi:
Dapat diturunkan dari deret atau dari hubungan rekursi fungsi Bessel yang sudah ada, diperoleh:
)(')12()()1()(
)(12)()(
11
11
xfnxfnxnf
xfx
nxfxf
nnn
nnn
+=+−
+=+
+−
+−
Dan juga:
)()]([
)()]([
1
111
xfxxfxdxd
xfxxfxdxd
nn
nn
nn
nn
+−−
−++
−=
=
Disini fn dapat berupa jn, nn, hn(1) dan hn
(2)
(2.45)
(2.46)
(2.47)
(2.48)
Dari (2.48) secara cepat dapat ditunjukkan (buktikan!):
xx
xxx
xj
xx
xxxj
cos3sin13)(
cossin)(
232
21
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=
xx
xxx
xn
xx
xxxn
sin3cos13)(
sincos)(
232
21
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
−−=
(2.49)
(2.50)
dan seterusnya …
Dengan induksi matematik, dapat diperoleh formula Rayleigh:
(2.51)⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
xx
xdxdxxn
xx
xdxdxxj
nnn
n
nnn
n
cos)1()(
sin)1()(
Serupa untuk fungsi Hankel:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
−
xe
xdxdxixh
xe
xdxdxixh
ixnnn
n
ixnnn
n
)1()(
)1()(
)2(
)1(
(2.52)
Pelajari sendiri masalah ortogonalitas untuk fungsi Bessel sferis.
Banyak bermanfaat dan digunakan pada normalisasi fungsi gelombang.
Contoh penerapan di Fisika: Partikel dalam bola
Di Mekanika Kuantum sering dibahas problem partikel dalam bola berjari-jari r. Untuk menjelaskan hal ini perlu fungsi gelombang ψ yang memenuhi:
ψψ Em
=∇− 22
2h
Dengan syarat batas ψ memenuhi kondisi:(a). ψ(r≤a) bernilai tertentu(b). ψ(r>a)=0Hal ini berkorespondensi dengan potensial(a). V = 0 untuk r≤a, dan(b). V = ∞ untuk r>a
Bagian radial R fungsi tersebut:
0)1(22222
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−++ RrnnmE
drdR
rdrRd
h
Solusi R untuk n=0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= rmEBnrmEAjR
hh
2200
2
222
2manEn
hπ=
Dapat dibuktikan, bahwa:
Latihan1. Dari hubungan rekursi, tunjukkan fungsi Bessel sferis
memenuhi persamaan diferensial:
2. Dari induksi Matematika Raleigh untuk fungsi Bessel dan Neumann sferis evaluasi j0(x), j1(x), j2(x),dan j3(x) serta n0(x), n1(x), n2(x),dan n3(x)
0)()]1([)(2)( 2'''2 =+−++ xfnnxxfxfx nnn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
xx
xdxdxxn
xx
xdxdxxj
nnn
n
nnn
n
cos)1()(
sin)1()(
Ke Bab 3