FÖRELÄSNINGAR OM ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

FÖRELÄSNINGAR OM ORDINÄRADIFFERENTIALEKVATIONER 1

Kurt Hansson2

2009

1 c© 2009 Kurt Hansson, LiTH/MAI.2e-post:[email protected]

mailto:[email protected]

Innehåll

Introduktion ix

1 Differentialekvationer av första ordningen 11.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Några grundbegrepp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Vad är en differentialekvation?. . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Vad är en lösning?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Vad är ett begynnelsevillkor?. . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Den enklaste differentialekvationen. . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1 Kanalsimning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Separabla ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.1 Torricellis lag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Lineära ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.1 Ett RC-filter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Exakta ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Sammanfattning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Differentialekvationer och Maple 132.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Funktionenint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Kanalsimningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Funktionendsolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Torricellis tratt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Riktningsfält och lösningskurvor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Nivåkurvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Riktningsfält . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Modeller för dynamiska förlopp 193.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Autonoma ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Jämviktspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Stabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Logistisk tillväxt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

iii

iv INNEHÅLL

3.4 Stabilitetskriterier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Tröskeleffekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5.1 Ett gränsfall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Hastighet och acceleration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6.1 Fritt fall med luftmotstånd. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Lineära ekvationer av högre ordning 274.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Lineära ekvationer av andra ordningen. . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1 Exempel från mekanik och ellära. . . . . . . . . . . . . 284.3 Existens och entydighet av lösningar. . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Homogena ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4.1 Lösningens struktur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4.2 Nollrummet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4.3 Reduktion av ordning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5 Allmänna lineära ekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6 Konstanta koefficienter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Inhomogena ekvationer 335.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Partikulärlösningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Karaktärisering av partikulärlösningen. . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Resonans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 System av differentialekvationer 416.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 System av första ordningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3 Ekvationer av högre ordning som system. . . . . . . . . . . . . . 426.4 Begynnelsevärden och entydighet. . . . . . . . . . . . . . . . . 436.5 Räkning med vektorvärda funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.5.1 Räkneregler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.6 Differentialekvationen som integralekvation. . . . . . . . . . . . 44

6.6.1 Grönwalls lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.7 Lipschitzkontinuitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Existens och entydighet 477.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 En integralekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3 Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.4 Entydighet och stabilitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.5 Lokala resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8 Lineära system av differentialekvationer 558.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

INNEHÅLL v

8.2 Lineära system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.3 Homogena system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.3.1 Fundamentalmatris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.4 Inhomogena system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.5 Konstanta koefficienter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.5.1 Exponentialmatrisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.5.2 DiagonaliserbarP-matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.5.3 DefektP-matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9 Laplacetransformen 639.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9.2.1 Konvergensområde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.3 Egenskaper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.3.1 Linearitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.3.2 Translation is-variabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.3.3 Translation it-variabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.4 Laplacetransformen av en derivata. . . . . . . . . . . . . . . . . 689.4.1 Potensfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.5 Inversa laplacetransformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.5.1 Derivatan av en laplacetransform. . . . . . . . . . . . . . 709.5.2 En inversionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.5.3 Entydighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.6 Differentialekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.6.1 Karaktäristiskt polynom och baspolynom. . . . . . . . . 729.6.2 Differentialekvationer och laplacetransform. . . . . . . . 73

9.7 Polynom och lineära avbildningar. . . . . . . . . . . . . . . . . 749.7.1 Två satser om baspolynom. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.8 Faltning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.9 Laplacetransformen av en faltning. . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9.9.1 Egenskaper hos faltningsoperationen. . . . . . . . . . . 77

10 Laplacetransform och lineära system 7910.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.2 Resolventmatris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.3 Exponentialmatris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.4 Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11 Stabilitet och linearisering 8511.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.2 Autonoma system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.2.1 Translationsinvarians. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.2.2 Fasporträtt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.2.3 Jämviktspunkter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

vi INNEHÅLL

11.2.4 Stabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.3 Linearisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.3.1 Lineära autonoma system. . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.4 Nästan lineära system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

12 Stabilitet för olineära system 9512.1 Aktuella avsnitt i läroboken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9512.2 Liapunovfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

A Några viktiga resultat från analys och lineär algebra 101A.1 Euklidiska rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102A.2 Serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A.2.1 Konvergens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.2.2 Absolutkonvergens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.2.3 Likformig konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104A.2.4 Weierstrass majorantsats. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

A.3 Enkelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104A.4 Dubbelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105A.5 Parameterintegraler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

B Inversionsformeln 107

Kort om kursen

Föreläsningarna ingår i kursen:Ordinära differentialekvationermed kurskod NMAC08vid Linköpings universitet. Kursen är på 5 poäng och undervisas normalt under vår-terminens första läsperiod. Den innehåller utöver föreläsningarna handledda lek-tioner avsedda för eget arbete. Ungefär hälften av lektionerna är i datorsal medtillgång till Maple. Tentamen sker också i datorsal vid tre tillfällen årligen.

vii

viii PREFACE

Introduktion

För att den som hellre lyssnar än antecknar, och framföralltvill slippa göra bådade-ra, har jag skrivit ner vad jag tänker säga. Följden blir förstås att jag inte säger alltjag skrivit ner, men förhoppningsvis blir stoffet mer levande med den informellareframställning som man kan kosta på sig när detaljerna finns i texten.

ix

x INTRODUKTION

Föreläsning 1

Differentialekvationer av förstaordningen

1.1 Aktuella avsnitt i läroboken

(1.1) Differential Equations and Mathematical Models. (Speciellt exemplen 3, 4och 5.)

(1.2) Integrals as General and Particular Solutions. (Specielltexempel 4)

(1.4) Separable Equations and Applications.

(1.5) Linear First-Order Equations.

(1.6) Substitution Methods and Exact Equations.

Se också analysboken [11, Kapitel 8.] eller motsvarande.

1

2FÖRELÄSNING 1. DIFFERENTIALEKVATIONERAV FÖRSTA ORDNINGEN

1.2 Några grundbegrepp

1.2.1 Vad är en differentialekvation?

Matematiska modeller som beskriver förändring kallas dynamiska system. Dyna-miska system där förändringen sker kontinuerligt leder ofta till differentialekvatio-ner. En differentialekvation av första ordningen har formen

g(x,y,y′

)= 0 (1.1)

där g är en kontinuerlig funktion av tre reella variabler. Kan vi lösa ut den sistavariabelny′ får vi

y′ = f (x,y) (1.2)

där f är en kontinuerlig funktion av två variabler.

1.2.2 Vad är en lösning?

En lösningy= y(x) till ( 1.1) eller (1.2) är en kontinuerligt deriverbarfunktionsomär definierad i ettintervall a< x < b sådan att för allax∈ ]a,b[ gäller att

g(x,y(x) ,y′ (x)

)= 0 alternativty′ (x) = f (x,y(x))

Exempel 1 Funktionen

y(x) =1

c−x, x < c (1.3)

är en lösning till y′ = y2 eftersom

y′ (x) = − −1

(c−x)2 = y2 (x)

gäller för alla x< c. Funktionen

y(x) =1

c−x, x > c (1.4)

är enannanlösning till ekvationen eftersomdefinitionsintervallen är olika.

1.2.3 Vad är ett begynnelsevillkor?

Normalt har differentialekvationer oändligt många lösningar vilket syns i exempel1 eftersomc kan vara en godtycklig konstant. För att få entydiga lösningar krävsytterligare villkor på funktioneny(x). Ofta söker man en lösningskurva som gårgenom en given punkt(x0,y0). Villkoret blir då atty(x0) = y0. Ett sådant villkorkallasbegynnelsevillkor,även när variabelnx inte representerar tid.

Exempel 2 Lös ekvationen y′ = y2 med begynnelsevillkoren y(0) = 1 respektivey(2) = −1.

1.3. DEN ENKLASTE DIFFERENTIALEKVATIONEN 3

Lösning

Eftersomy(x) = (c−x)−1 för x 6= c måste vi i första fallet hac 6= 0 och då blir1 = y(0) = 1/c⇔ c = 1 vilket ger lösningeny1 (x) = (1−x)−1 som är definieradför x < 1.

I det andra fallet måste vi hac 6= 2, vilket ger−1 = y(2) = (c−2)−1 ⇔ c = 1och lösningen bliry2 (x) = (1−x)−1 som nu är definierad förx > 1. Observera atty1 och y2 är två olika lösningar eftersom definitionsintervallen är olika. Se figur1.1.

(0,1)

(2,-1)

x

y

Figur 1.1: Funktionernay1 (x) ochy2 (x).

1.3 Den enklaste differentialekvationen

I specialfallet att högerledetf i ekvationen1.2endast beror avx får vi

y′ = f (x) (1.5)

där alla lösningar till (1.5) kan skrivas

y = F (x)+C


där F (x) =∫

f (x)dx är en primitiv funktion till f ochC en godtycklig konstant.Begynnelsevillkorety(x0) = y0 bestämmerC till C = y0−F (x0).

Exempel 3 En liten sten med massan m som faller fritt från höjden h har i varjeögonblick hastigheten v(t) och Newtons kraftlag ger

ma= mdvdt

= mg

där g= 9.81 ms−2. Division med m ger v′ = g och v(t) = gt +C1. Om utgångs-hastigheten v(0) = v0 blir C1 = v0 och vi får v= v0 + gt. Befinner sig stenen påhöjden y(t) vid tiden t får vi dessutom

dydt

= v(t) = v0 +gt

som ger y= gt2/2+v0t +C2 och då y(0) = h följer att C2 = h och

y(t) =gt2

2+v0t +h

1.3.1 Kanalsimning

Exempel 4 Vattnet i en kanal med bredden2a strömmar med hastigheten

v(x) = v0

(1− x2

a2

)

där x är en koordinataxel som är vinkelrät mot kanalen med x= 0 i kanalens mitt.Se läroboken [3, Figur 1.2.5, sid. 15]. Hur långt nedströms hamnar en simmaresom startar från ena stranden och simmar rakt mot den andra med konstant has-tighet vS relativt vattnet?

Lösning

Betecknas simmarens färdväg som funktion avx medy(x) får vi ekvationen

dydx

= tanα =v(x)vS

=v0

vS

(1− x2

a2

)

Allmänna lösningen blir

y(x) = C+

∫v0

vS

(1− x2

a2

)dx= C+

v0

vS

(x− 1

3x3

a2

)

och omy(−a) = 0 blir

0 = C+v0

vS

(−a+

13

a3

a2

)⇐⇒C =

23

v0

vSa

1.4. SEPARABLA EKVATIONER 5

Således hamnar han

y(a) =23

v0

vSa+

v0

vS

(a− 1

3a3

a2

)=

43

v0

vSa

längdenheter nedströms.

1.4 Separabla ekvationer

Differentialekvationer som kan skrivas på formen

f (y)dydx

= g(x) (1.6)

kallasseparabla. Om vi integrerar båda leden med avseende påx får vi

∫g(x)dx=

∫f (y)

dydx

dx=

∫f (y)dy

så att om vi kan bestämma primitiva funktionerF och G till f respektiveg geslösningarna till (1.6) implicit1 av sambandet

G(x) = F (y)+C

därC är en godtycklig konstant.

Exempel 5 Ekvationen y′ = ex+y kan skrivas e−yy′ = ex och vi får

ex =∫

exdx=∫

e−ydy= −e−y +C

ex +e−y = C⇔ x = ln(C−e−y)⇔ y = − ln(C−ex)

för de värden på x, y och C där uttrycken är definierade.

1.4.1 Torricellis lag

Exempel 6 En tratt formad som en rät cirkulär kon med höjden h har basradienR medan utloppshålets radie r är betydligt mindre. Beräkna hur lång tid det tar atttömma tratten om den är helt fylld med vatten.

1En relation mellan variablernax ochy av typenf (x,y) = C kallas implicit.


Lösning

Enligt Torricellis lag [3, Sid. 40.] strömmar vattnet ut med hastighetenv =√

2gy,däry är nivån över utloppshålet ochg tyngdaccelerationen

(g = 9.82ms−2

). Vat-

tenvolymen är samtidigt

V (y) =

∫ y

0π(

r + ηR− r

h

)2

dη

och sambandetdV/dt = −πr2v ger efter omstuvning den separabla differentia-lekvationen (1.7)

−πr2√

2gy=dVdt

=dVdy

dydt

= π(

r +yR− r

h

)2 dydt

(r +y

R− rh

)2 1√y

dydt

= −r2√

2g (1.7)

Vidare äry(0) = h och y(T) = 0, där T är tömningstiden. Integration av (1.7)ger

r2√

2gT =∫ T

0r2√

2gdt = −∫ T

0

(r +y

R− rh

)2 1√y

dydt

dt = −∫ 0

h

(r +y

R− rh

)2 dy√y

=

∫ h

0

(r +y

R− rh

)2 dy√y

=215

√h(3R2 +4Rr+8r2)

vilket sedan ger tömningstidenT

T =115

√2hg

3R2 +4Rr+8r2

r2 =115

√2hg

[8+4

Rr

+3

(Rr

)2]

En tratt medR/r = 15 ochh = 12cm töms alltså påT = 7.8s.

1.5 Lineära ekvationer

En lineär ekvation av första ordningen har formen

dydx

+P(x)y = Q(x) (1.8)

och kan återföras på grundformen (1.5) genom att multiplicera med enintegrerandefaktor

ρ (x) = exp

(∫P(x)dx

)

1.5. LINEÄRA EKVATIONER 7

Eftersomρ ′ = ρP får vi

ddx

(ρy) = ρy′ + ρ ′y = ρ(y′ +Py

)= ρQ

ρ (x)y(x) = C+

∫ρ (x)Q(x)dx

y(x) =C

ρ (x)+

1ρ (x)

∫ρ (x)Q(x)dx (1.9)

Om lösningsformeln (1.9) skall vara användbar krävs förstås att man kan bestämmade ingående primitiva funktionerna på ett bra sätt.

Anmärkning 7 Observera att lösningen (1.9) består av två termer. Den första,Cρ (x)−1, är en allmän lösning till denhomogenaekvationen y′ +Py= 0 och denandra,ρ (x)−1∫ ρ (x)Q(x)dx, är en lösning till deninhomogenaekvationen y′ +Py= Q. Lösningar tilllineäraekvationer har alltid denna form.

Exempel 8 Ekvationen x2y′ +xy= xe2x kan skrivas

y′ +1x

y = e2x

vilket ger

ρ (x) = exp

(∫dxx

)= elnx = x

ddx

(xy) = xy′ +y = x

(y′ +

1x

y

)= xe2x

xy(x) = C+∫

xe2xdx= C+12

xe2x− 14

e2x

y(x) =Cx

+2x−1

4xe2x

1.5.1 Ett RC-filter

Exempel 9 Koppingsschemat i figur1.2visar ett enkelt RC-filter. Bestäm hur spän-

R

Cu v

++

−−

Figur 1.2: Ett RC-filter.

ningen v(t) beror av inspänningen u(t) för t ≥ 0.


Lösning

Ohms lag ger attu = RI+ v, där I är strömmen genom motståndet och kondensa-torn. Vidare ärI = Cdv/dt och vi får den lineära ekvationen

RCdvdt

+v = u⇔ dvdt

+v

RC=

uRC

Multiplikation med den integrerande faktorn

ρ (t) = exp

(∫dtRC

)= et/RC

ger som förut

ddt

(et/RCv

)=(

v′ +v

RC

)et/RC =

uRC

et/RC

et/RCv(t)−v(0) =

∫ t

0

ddτ

(eτ/RCv(τ)

)dτ =

∫ t

0

u(τ)

RCeτ/RCdτ

v(t) = v(0)e−t/RC+1

RC

∫ t

0e−(t−τ)/RCu(τ)dτ (1.10)

Även här består lösningen (1.10) av två termer (se anmärning7). Den första,v(0)e−t/RC,kommer från laddningen som fanns i kondensatorn vid tident = 0 och den andravisar hurv(t) beror avu(t).

1.6 Exakta ekvationer

Lösningar till differentialekvationer av första ordningen erhålles ofta implicit somett samband mellanx ochy av formen

F (x,y) = C (1.11)

därC är en godtycklig konstant. Geometriskt betyder (1.11) att lösningarna liggeri nivåkurvornatill funktionen F.

Betraktar viy som funktion avx och deriverar får vi

∂F∂x

+∂F∂y

dydx

= 0⇔ dydx

= −∂F/∂x∂F/∂y

= −M (x,y)N(x,y)

(1.12)

Alternativt omx i stället beror avy blir ekvationen

∂F∂x

dxdy

+∂F∂y

= 0⇔ dxdy

= −∂F/∂y∂F/∂x

= −N (x,y)M (x,y)

(1.13)

1.6. EXAKTA EKVATIONER 9

Vilken av ekvationerna (1.12) eller (1.13) som är bäst att arbeta med beror påFoch man använder därför gärna det symmetriska skrivsättet

M (x,y)dx+N(x,y)dy= 0 (1.14)

för ekvationer av första ordningen.

Formen (1.14) inbjuder till en geometrisk tolkning. Den säger att lösningskurvanstangentvektor(dx,dy) skall varaortogonalmot vektorfältet(M,N), eftersom hö-gerledet i (1.14) är skalärprodukten av vektorerna(M,N) och (dx,dy). Av (1.12)och (1.13) följer också att lösningskurvorna satisfierar (1.11) om

M =∂F∂x

ochN =∂F∂y

(1.15)

för någon deriverbar funktionF. Detta betyder att∇F = (M,N) och innebär attvektorfältet(M,N) skall ha enpotential F.

Definition 10 Differentialekvationen (1.14) är exakt om sambanden (1.15) gällerför någon funktion F.

Sats 11 Om M och N är kontinuerligt deriverbara är sambandet

∂M∂y

=∂N∂x

(1.16)

ett nödvändigt villkor för att ekvationen (1.14) skall vara exakt.

Bevis.Om ∇F = (M,N), därF ∈C2, så är [10, Kap. 2, sats 9.]

∂M∂y

=∂ 2F∂y∂x

=∂ 2F∂x∂y

=∂N∂x

Anmärkning 12 I ett enkelt sammanhängande område [10, Sats 4, sid. 311.] ärvillkoret (1.16) även tillräckligt.

Exempel 13 Lös ekvationen

(8x+y−10)dx+9x+32y−73

9dy= 0 (1.17)

Lösning

Här ärM (x,y) = 8x+y−10 ochN(x,y) = (9x+32y−73)/9 och alltså

∂M∂y

− ∂N∂x

= 1−1 = 0


och om∇F = (M,N) har vi

F (x,y) =∫

M (x,y)dx+ f (y) = 4x2 +xy−10x+ f (y)

vilket ger

9x+32y−739

= N(x,y) =∂F∂y

= x+ f ′ (y)

f ′ (y) =32y−73

9(Här får inte finnas någrax)

f (y) =

∫32y−73

9dy=

169

y2− 739

y

och slutligen lösningskurvorna, se figur1.3, som nivåkurvornaF (x,y) =C där

F (x,y) = 4x2−10x+xy+169

y2− 739

y

x

y

1

2

Figur 1.3: Nivåkurvorna:F (x,y) = C.

1.7 Sammanfattning

De speciella ekvationer som vi studerat kan sammanfattas påså sätt att antingenär ekvationerna exakta eller så kan de genom lämpliga åtgärder göras exakta. Seockså [3, Avsnitt 1.6].

1.7. SAMMANFATTNING 11

Separabla ekvationer: M (x)dx+N(y)dy= 0 är exakt med potentialenF (x,y) =∫M (x)dx+

∫N(y)dy.

Homogena ekvationer: M (y/x)dx+ N(y/x)dy = 0 blir separabla (och därmedexakta) efter substitutioneny = zxochdy= zdx+xdz.

Lineära ekvationer: Den lineära ekvationen (1.8) skriven på formen (1.14) blir(P(x)y−Q(x))dx+dy= 0 och den blir exakt efter multiplikation med denintegrerande faktornρ (x) = exp(

∫Pdx), ty M = ρ (P(x)y−Q(x)) ochN =

ρ samtρ ′ = ρP ger∂M∂y

− ∂N∂x

= ρP−ρ ′ = 0

Föreläsning 2

Differentialekvationer ochMaple


(1.3) Slope Fields and Solution Curves.

Se också maplehäftet [7].

För den som är intresserad av numeriska lösningsmetoder fördifferentialekvationerkan följande avsnitt vara intressanta. De ingår dock inte i kursen.

(2.4) Numerical Approximation: Euler’s Method.

(2.5) A Closer Look at the Euler Method.

(2.6) The Runge-Kutta Method.

13

14 FÖRELÄSNING 2. DIFFERENTIALEKVATIONER OCH MAPLE

Följande exempel bör man sitta framför datorn och köra i Maple.

2.2 Funktionenint

Den enklaste typen av differentialekvationer av formeny′ = f (x) med lösning-eny(x) =

∫f (x)dx+C kan man hantera med funktionenint som ger primitiva

funktioner.

2.2.1 Kanalsimningen

För detaljerna se exempel4. Högerledet är en funktionf

> f := x -> (v[0]/v[s])*(1-x^2/a^2);

f := x→v0(1− x2

a2 )

vs

En primitiv funktion är

> sol_1 := int(f(x), x);

sol_1 :=v0(x− x3

3a2 )

vs

men eftersom vi vill ha en lösning som uppfyller begynnelsevillkoret y(−a) = 0,är det bättre att använda den bestämda integraleny(x) =

∫ x−a f (t)dt

> sol_2 := int(f(t), t=-a..x);

sol_2 := −13

v0 (x3 +a3)

vsa2 +v0(x+a)

vs

Lösningen kan förenklas något

> sol_2 := simplify(sol_2);

sol_2 := −13

v0(x3−2a3−3a2 x)vsa2

Lösningens värde förx = a kan beräknas med funktioneneval

> eval(sol_2, x=a);

43

v0avs

Det är emellertid ofta bättre att definiera lösningen som en funktion y(x). Dettaåstadkommer funktionenunapply

> y := unapply(sol_2,x);

2.3. FUNKTIONENDSOLVE 15

y := x→−13

v0(x3−2a3−3a2x)vsa2

Slutligen ger vi de ingående konstanterna numeriska värdenoch använderplot-funktionen för att rita lösningskurvany(x) för −1/2≤ x≤ 1/2. Se figur2.1.

> a := 1/2; v[0] := 9; v[s] := 3;

a :=12

v0 := 9vs := 3

-1/2 1/20

x

1

2y

Figur 2.1: Funktioneny = 1+3x−4x3.

2.3 Funktionendsolve

Många differentialekvationer av standardtyp, speciellt alla som vi behandlar i denhär kursen, känner Maple till och kan lösa symboliskt. Den funktion som användsheterdsolve.

2.3.1 Torricellis tratt

Se exempel6. Differentialekvationen matas in på följande sätt. Observera atty-variabeln skrivs somy(t).

> ode := diff(y(t),t) =

> -r^2*sqrt(2*g*y(t))/(r+(R-r)*y(t)/h)^2;

ode:= ddt y(t) = − r2

√2√

gy(t)

(r +(R− r)y(t)

h)2


Funktioneny har ett ganska komplicerat uttryck och Maple väljer att ge lösningeni implicit form.

> sol_1 := dsolve(ode, y(t));

sol_1 := t +

√2(

15

(−R+ r)2(gy(t))(5/2)− 23

rhg(−R+ r)(gy(t))(3/2)+ r2 h2 g2√

gy(t))

r2 h2 g3

+_C1= 0

Integrationskonstanten bestäms av atty(t) = h dåt = 0. Vi får ekvationen

> eq_1 := eval(sol_1, t = 0, y(t) = h);

eq_1 :=

√2(

(−R+ r)2(gh)(5/2)

5− 2rhg(−R+ r)(gh)(3/2)

3+ r2h2 g2√gh)

r2 h2 g3 +_C1= 0

som har lösningen

> ic := solve(eq_1, _C1);

ic := −√

2√

gh(3R2 +4Rr+8r2)

15gr2

Substituerar vi det erhållna värdet på integrationskonstanten får vi

> sol_2 := eval(sol_1, _C1 = ic);

sol_2 := t +

√2(

15

(−R+ r)2(gy(t))(5/2)− 23

rhg(−R+ r)(gy(t))(3/2)+ r2 h2 g2√

gy(t))

r2 h2 g3

−√

2√

gh(3R2 +4Rr+8r2)

15gr2 = 0

TömningstidenT ges av villkoret:y(t) = 0 för t = T vilket ger ekvationen

> eq_2 := eval(sol_2, y(t) = 0, t = T);

eq_2 := T −√

2√

gh(3R2 +4Rr+8r2)

15gr2 = 0

med lösningen

> T := solve(eq_2, T);

T :=

√2√

gh(3R2 +4Rr+8r2)

15gr2

Numeriska värden:

> g := 9.82; h := 0.12; R := 15*r;

g := 9.82

h := 0.12R := 15r

2.4. RIKTNINGSFÄLT OCH LÖSNINGSKURVOR 17

TidenT med 3 siffror blir då

> evalf(T, 3);

7.76

2.4 Riktningsfält och lösningskurvor

Om ekvationenMdx+Ndy= 0 är exakt ges lösningskurvorna av nivåkurvorF (x,y) =C till potentialenF, där∇F = (M,N). Nivåkurvor ritars i Maple med funktionencontourplot.

2.4.1 Nivåkurvor

Ekvationen i exempel13 hanteras i Maple på följande sätt:M ochN matas in ochvi kontrollerar att ekvationen är exakt

> M := 8*x-10+y; N := 32/9*y-73/9+x;

M := 8x−10+y

N :=32y9

− 739

+x

> diff(M,y)-diff(N,x);

0

PotentialfunktionenF fås genom integration med avseende påy. Observera att”integrationskonstanten”f (x) är en funktion avx.

> F := int(N,y)+f(x);

F :=16y2

9− 73y

9+xy+ f(x)

Funktionenf satisfierar differentialekvationen

> ode := diff(F,x) - M = 0;

ode:= ( ddx f(x))−8x+10= 0

med lösningen

> sol := dsolve(ode, f(x));

sol := f(x) = 4x2−10x+_C1

Vi uppdaterarF med den funna lösningen

> F := eval(F, sol);

F :=169

y2− 739

y+xy+4x2−10x+_C1

och sätter sedan konstanten till noll


> F := eval(F, _C1 = 0);

F :=169

y2− 739

y+xy+4x2−10x

Funktionen contourplot finns i paketet plots som först måsteladdas in> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

Man får sedan prova sig fram till lämpliga värden på de olika parametrarna.> contourplot(F, x=-10..10, y=-10..10, grid=[200,200],

> contours=10, thickness=3);

–10

–5

5

10

–10 –5 5 10x

y

Figur 2.2: Nivåkurvor tillF.

2.4.2 Riktningsfält

Lösningskurvorna tillMdx+ Ndy= 0 är ortogonala mot vektorfältet(M,N) ochdärmed tangentiella mot(−N,M) som kallas ekvationensriktningsfält. Plana vek-torfält kan Matlab rita med funktionenfieldplot som också finns i plot-paketet.Med exemplet6 får vi:

Föreläsning 3

Modeller för dynamiskaförlopp


(2.1) Population Models.

(2.2) Equilibrium Solutions and Stability.

(2.3) Acceleration-Velocity Models.

19

20 FÖRELÄSNING 3. MODELLER FÖR DYNAMISKA FÖRLOPP

3.2 Autonoma ekvationer

Ekvationer av formeny′ = f (y) där högerledet inte beror explicit av den oberoendevariabelnt kallasautonoma. Eftersom vi har

1− y′

f (y)= 0 (3.1)

är autonoma ekvationer separabla och omF (y) =∫

dy/ f (y) får vi lösningar im-plicit somt = F (y)+C.

3.2.1 Jämviktspunkter

Omskrivningen (3.1) förusätter attf (y) 6= 0. Om f (y) = 0 för någoty = k, får vienstationär(tidsoberoende) lösningy(t) ≡ k till den ursprungliga ekvationen. Ettvärdek sådant attf (k) = 0 kallas enjämviktspunkttill ekvationen.

3.2.2 Stabilitet

Vi skall undersöka hur lösningary(t) till autonoma ekvationer uppträder som funk-tion av t för stora värden påt om begynnelsevärdety(0) ligger nära en jämvikts-punktk. Vi börjar med två definitioner.

Definition 14 En jämviktspunkt k är stabil om det till varjeε > 0 finns ett talδ > 0, så attmax0≤t<+∞ |y(t)−k| ≤ ε för varje lösning y(t) som uppfyller villkoret|y(0)−k| ≤ δ .

En starkare form av stabilitet kallasasymptotisk stabilitet.

Definition 15 En jämviktspunkt k är asymptotiskt stabil om det finns ett positivt talδ så attlimt→+∞ y(t) = k för varje lösning som uppfyller villkoret|y(0)−k| ≤ δ .

En jämviktspunkt som inte är stabil kallasinstabil eller labil och karaktäriseras avatt det finns ett positivt talε0 så att max0≤t<+∞ |y(t)−k|> ε0 oavsett hur närak viväljer startvärdety(0) , så längey(0) 6= k förstås.

Exempel 16 Ekvationen y′ = r (y−k) , där r är konstant, har y= k som enda jäm-viktspunkt och alla lösningar kan skrivas y(t) = k+ Aert . Vi får |y(0)−k| = |A|och

|y(t)−k|= |A|ert = |y(0)−k|ert

vilket visar att k är stabil om r≤ 0 (där vi kan taδ = ε ) och om r< 0 är k dessutomasymptotiskt stabil. Om r> 0 är k labil eftersomlimt→+∞ |y(t)−k|= +∞ så snarty(0) 6= k.

3.3. LOGISTISK TILLVÄXT 21

3.3 Logistisk tillväxt

Ett intressantare exempel är en differentialekvation som används för att beskrivapopulationsdynamiken i en biotop, så kalladlogistisk tillväxt.

dydt

= ry(

1− yK

)(3.2)

Funktioneny betecknar antalet individer i populationen ochr och K är positivakonstanter som anger tillväxthastigheten hos populationen respektive biotopens ka-pacitet. Löser vi ekvationen i Maple med startvärdety(0) = y0 får vi

y(t) =y0K

y0 +(K−y0)e−rt

Vi ser att omy0 > 0 så ärlim

t→+∞y(t) = K

Riktningsfältet i figur3.1illustrerar också tydligt atty= K är en asymptotiskt stabiljämviktspunkt medany = 0 är labil

y

t0

01

Figur 3.1: Riktningsfält till ekvation (3.2) medK = 10 ochr = 1.

3.4 Stabilitetskriterier

För att undersöka det allmänna fallet antar vi attf är deriverbar ik. Med y(t) =k+x(t) äry′ = x′ och på grund av deriverbarheten får vi

f (y) = f (k+x) = f (k)+ f ′ (k)x+ ω (x)x

därω (x) → 0 dåx→ 0. Vidare ärf (k) = 0 och sätter vir = f ′ (k) får vi ekvatio-nen

x′ = rx+ ω (x)x


medx(0) = y(0)−k 6= 0.

Antag först attr > 0 och väljδ > 0 så att|ω (x)| ≤ r/2 om |x| ≤ δ . Då gäller, sålänge|x(t)| ≤ δ , att

ln

∣∣∣∣x(t)x(0)

∣∣∣∣=∫ t

0

x′ (τ)

x(τ)dτ = rt +

∫ t

0ω (x(τ))dτ ≥ rt

2

vilket ger olikheten|x(0)|ert/2 ≤ |x(t)| ≤ δ

och alltså är|x(t)|= |y(t)−k| ≥ δ/2 = ε0 bara vi väntar tillräckligt länge hur litet|x(0)| = |y(0)−k| än är från början. Jämviktspunktenk är därmed labil.

Om å andra sidanr = −q < 0 har vi med ettδ så att|x| ≤ δ medför|ω (x)| ≤ q/2olikheterna

ln

∣∣∣∣x(t)x(0)

∣∣∣∣= −qt+∫ t

0ω (x(τ))dτ ≤−qt

2

|y(t)−k|= |x(t)| ≤ |x(0)|e−qt/2 ≤ |x(0)| = |y(0)−k|

vilket visar att jämviktspunktenk är asymptotiskt stabil.

Vi sammanfattar i en sats.

Sats 17 Om f(k) = 0 och f′ (k) > 0 är k en labil jämviktspunkt och om f′ (k) < 0är k en asymptotiskt stabil jämviktspunkt till y′ = f (y).

3.5 Tröskeleffekter

Om differentialekvationen (3.2) beskriver hur fiskpopulationen i en sjö varierarmed tiden, kan man naturligtvis fråga sig hur denna påverkasav fiske. Antag attkonstantenh > 0 betecknar antalet fiskar som skördas per tidsenhet. Då får vi ek-vationen

dydt

= ry(

1− yK

)−h (3.3)

Högerledet kan efter faktorisering skrivas

f (y) = h( y

T−1)(

1− yH

)

där konstanternaH ochT ges av

H =K2

(1+

√1− 4h

rK

)ochT =

K2

(1−√

1− 4hrK

)

så attH > T.

3.5. TRÖSKELEFFEKTER 23

Funktionenf (y) har nollställenay= T ochy= H och i dessa punkter är derivator-na

f ′ (T) =h

TH(H −T) > 0

f ′ (H) = − hTH

(H −T) < 0

Det följer av sats17 att y = T är labil medany = H är asymptotiskt stabil. Situ-ationen illustreras i figur3.2 nedan och modellen visar också att ett skördeuttagh > rK/4 medför att populationen dör ut.

K

H

T

t

y

dy/dt

0

f (y) f (y)−h

Figur 3.2: Tröskelvärde vid skörd.

3.5.1 Ett gränsfall

Om f (k) = f ′ (k) = 0 kan man tyvärr inte dra några bestämda slutsatser vilketföljande exempel visar.

Exempel 18 Ekvationen y′ = −y2 har jämviktspunkten y= 0 och lösningen

1y(t)

− 1y(0)

= t ⇔ y(t) =y(0)

1+ ty(0)=

1t −a

om y(0) = −1/a < 0. Då gäller att y(t) → +∞ då t→ a+. Alltså labil.

Exempel 19 Ekvationen y′ =−y3/2 har också jämviktspunkten y= 0 och lösning-en

1y2 (t)

− 1y2(0)

= t ⇔ y2 (t) =y2 (0)

1+ ty2 (0)

vilket medför att|y(t)| → 0 då t→ +∞. Alltså asymptotiskt stabil.


3.6 Hastighet och acceleration

Kombinationen av Newtons kraftekvationF = maoch definitionen av accelerationa= dv/dt och hastighetv= ds/dt leder på ett naturligt sätt till differentialekvatio-ner. I själva verket är det inom denna begreppssfär som teorin har sina rötter.

3.6.1 Fritt fall med luftmotstånd

Exempel 20 En fallskärmshoppare (se fig.3.3) som faller rakt ner under inverkanav gravitationen bromsas av luftmotsåndet som antas proportionellt mot kvadratenpå hastigheten. Beräkna hastigheten som funktion av fallsträckan.

0

x v mg

kv2

Figur 3.3: Fritt fall med luftmotstånd.

Lösning

Newtons lag ger ekvationen

mdvdt

= mg−kv2

och om vi betraktar hastighetenv som en funktion av fallsträckanx blir dv/dt =(dv/dx) (dx/dt) = vdv/dx vilket ger

mvdvdx

= mg−kv2 ⇔ dvdx

=mg−kv2

mv

Den stationära lösningen ges avmg−kv2 = 0 och representerar den gränshastighetv0 =

√mg/k som uppnås då tyngd och luftmotstånd är lika stora. Ekvationen är

separabel och kan skrivasdvdx

= g1− (v/v0)

2

v

3.6. HASTIGHET OCH ACCELERATION 25

Lösningen får medv(0) = 0 följande utseende

v(x) = v0

√1−exp

(−2gx

v20

)

Genom att lösa ekvationenv(x) = 99v0/100, ser vi att 99% av gränshastighetenuppnås redan efter fallsträckan

x99 =v2

0

2gln

(10000199

)≈ 1.8m

om g = 9.81m/s2 ochv0 = 3m/s.

Föreläsning 4

Lineära ekvationer av högreordning


(3.1) Introduction: Second-Order Linear Equations.

(3.2) General Solutions of Linear Equations.

(3.3) Homogeneous Equations with Constant Coefficients

27

28 FÖRELÄSNING 4. LINEÄRA EKVATIONER AV HÖGRE ORDNING

4.2 Lineära ekvationer av andra ordningen

Lineära differentialekvationer av andra ordningen skrivsallmänt

A(x)y′′ +B(x)y′ +C(x)y = F (x) (4.1)

därA, B, C ochF är kontinuerliga funktioner avx i något öppet intervallI =]a,b[som inte behöver vara begränsat. En lösning är en två gånger kontinuerligt deriver-bar funktiony(x) som är definierad iI och satisfierar (4.1). Som begynnelsedataanger man värdenay(x0) ochy′ (x0) för någotx0 ∈ I .

Normalt antar vi attA(x) 6= 0 för allax∈ I och kan då skriva (4.1) på formen

y′′ + p(x)y′ +q(x)y = f (x) (4.2)

4.2.1 Exempel från mekanik och ellära

Hjulupphängning med stötdämpare

Som ett typexempel på en differentialekvationer av formen (4.2), betraktar vi enförenklad modell av hjulupphängningen i en bil eller landningstället i ett flygplan.Systemet beskrivs schematiskt av figur4.1. Sambandet mellan accelerationeny′′ (t)

x(t)

y(t)

m

k a

Figur 4.1: Landningsställ.

och de krafter som påverkar fordonet med massanm blir med Newtons kraftlagma= F

my′′ = k(x−y)+a(x′−y′)

där vi antar att motkraften i oljestötdämparen är proportionell mot den relativahastighetenx′−y′. Efter omskrivning får vi ekvationen

y′′ + py′ +qy= f (4.3)

där p = a/m, q = k/moch f (t) = ax′(t)/m+kx(t)/m.

4.3. EXISTENS OCH ENTYDIGHET AV LÖSNINGAR 29

Resonanskrets

Ett exempel från elektricitetsläran får vi om vi betraktar resonanskretsen i figur4.2.

i(t)

u(t)

R

L

C

S

Figur 4.2: Resonanskrets.

Sambanden

i = Cdudt

och −Ldidt

−Ri−u= 0

ger en differentialekvation som beskriver hur spänningenu över kondensatorn vari-erar med tident > 0. Om man slår till strömbrytarenSvid t = 0 då kondensatorn äruppladdad med spänningenu0 får vi följande begynnelsevärdesproblem om ström-men initialt är noll,i (0) = Cu′ (0) = 0

LCu′′ +RCu′+u = 0u(0) = u0, u′ (0) = 0

4.3 Existens och entydighet av lösningar

Hela teorin vilar tungt på följande sats om existens och entydighet för lösningarnatill ( 4.2). Beviset för denna sats och andra liknande resultat får emellertid anstå tillföreläsning7.

Sats 21 För varje uppsättning begynnelsedata y(x0) = b0 och y′ (x0) = b1, finnsexakt en lösning, y(x), till ( 4.2) som satisfierar dessa begynnelsedata.

4.4 Homogena ekvationer

Vi skall till att börja med studera allmänna egenskaper hos lösningarna till (4.2) dåhögerledetf = 0. Sådana ekvationer kallashomogena.


4.4.1 Lösningens struktur

Lineära differentialekvationer skriver vi i fortsättningen somL(y) = f där vi upp-fattarL som den lineära avbildningen

L(y)def= y′′ + p(x)y′ +q(x)y : C

2 (I) → C (I) (4.4)

Tyvärr finns ingen generell lösningsmetod av typen ”integrerande faktor” eller lik-nande för ekvationer av högre ordning. Vad vi däremot kan konstatera är att ef-tersomL är en lineär avbildning så gäller att

L(ay1 +by2) = aL(y1)+bL(y2)

för godtyckliga konstantera och b. En omedelbar följd av detta är att lösnings-mängden

N(L) =

y∈ C2(I) : L(y) = 0

till den homogenaekvationenL(y) = 0 bildar ettlineärt rum.

4.4.2 Nollrummet

Låt nu y1 och y2 vara två lösningar till ekvationen (4.2) så attL(y1) = f ochL(y2) = f . Då är på grund av linearitetenL(y1−y2) = L(y1)−L(y2) = f − f = 0och alltsåy1− y2 ∈ N(L). Det innebär att när vi känneren lösningy1 till den in-homogenaekvationen (4.2) och har god kännedom om nollrummetN (L) så har viockså god kännedom om alla andra lösningar genom att vi vet att y = y1 + z, därz∈ N (L).

I det allmänna fallet, då koefficienternap(t) och q(t) inte är konstanta, har maningen karaktäristisk ekvation och det finns inte heller någon annan enkel metodatt finna explicita lösningar tillL(y) = 0. Däremot kan man konstruera en bas förN(L) på ett mera abstrakt sätt. Vi formulerar resultatet i följande sats.

Sats 22 Låt y1 och y2 vara de två lösningarna till (4.2) med begynnelsedata

y1 (x0) = 1, y′1(x0) = 0

y2 (x0) = 0, y′2(x0) = 1

vars existens och entydighet garanteras av sats21. Då kan varje lösning till L(y) =0 skrivas som en lineärkombination y= ay1 +by2.

Bevis.Om L(y) = 0 ochz= y(x0)y1 + y′ (x0)y2 så följer av lineariteten att ävenL(z) = 0. Vidare ärz(x0) = y(x0) ochz′ (x0) = y′ (x0) och på grund av entydighetenär y = z

Speciellt följer det av sats22 att nollrummet är tvådimensionellt ochN (L) =[y1,y2]

1.

1[u,v,w, . . .] betecknar lineära höljet till vektorernau,v,w, . . ..

4.4. HOMOGENA EKVATIONER 31

4.4.3 Reduktion av ordning

Någon enkel metod att lösaL(y) = 0, och därmed bestämmaN (L) , när p ochq beror avx finns inte. Om vi däremot på något sätt (t.ex. genial gissning) harfunnit en lösningφ ∈ N(L) är vi i ett bättre läge. Idén är då att ansättay = uφ ochbestämma funktionenu = u(x) så atty = uφ ∈ N(L).

För att undersöka vad som krävs avu deriverar vi och får

y′ = u′φ +uφ ′, y′′ = u′′φ +2u′φ ′ +uφ ′′

Då blir eftersomL(φ) = 0,

L(y) = φu′′ +(2φ ′ + pφ

)u′ +uL(φ) = φu′′ +

(2φ ′ + pφ

)u′

och om vi även skall haL(y) = 0, måsteu satisfiera differentialekvationen

u′′ +

(2

φ ′

φ+ p

)u′ = 0

som är lineär av första ordningen i derivatanv= u′. En integrerande faktor är

exp

(∫ (2

φ ′

φ+ p

)dx

)= φ2e

∫pdx

och vi fårv = u′ = φ−2e−

∫pdx

Om vi tur, lyckas vi integrera en gång till och kan då bestämmau och därmedy = uφ .

Exempel 23 Det är lätt att se att y1 (x) = x löser ekvationen x2y′′−xy′ +y = 0 dåx > 0. Bestäm en bas för nollrummet.

Lösning:

Medy = xu blir y′ = xu′ +u ochy′′ = xu′′ +2u′ vilket ger

x2y′′−xy′ +y= x2(xu′′ +2u′)−x(xu′ +u

)+xu

= x2(xu′′ +u′)

= x2(xu′)′

= 0

och vi fårxu′ = a⇔ u = alnx+b⇒ y = xu= axlnx+bx

Funktionernay1 (x) = x ochy2 (x) = xlnx är lineärt oberoende och därmed en basför det tvådimensionella nollrummetN(L)=

y : x2y′′−xy′ +y = 0, x > 0

.


4.5 Allmänna lineära ekvationer

Allt som sagts för andra ordningens ekvationer, speciellt satsen21 om lösningensexistens och entydighet, kan direkt generaliseras till allmänna lineära ekvationerL(y) = f av ordningn där

L(y) = y(n) + p1(x)y(n−1) + · · ·+ pn−1(x)y′ + pn(x)y (4.5)

med kontinuerliga koefficienter och begynnelsedata

y(x0) = b0, y′ (x0) = b1, . . . , y(n−1) (x0) = bn−1 (4.6)

Speciellt får vi att nollrummetN(L) = y : L(y) = 0 är ettn-dimensionellt lineärtrum.

4.6 Konstanta koefficienter

När koefficienternap1, . . . , pn i (4.5) inte beror avx förenklas situationen avsevärteftersom det alltid finns en lösning av formeny = erx där r är ett (ev. komplext)nollställe till ekvationenskaraktäristiska polynom

P(r) = rn + p1rn−1 + · · ·+ pn−1r + pn (4.7)

eftersom vi harL(erx) = P(r)erx om koefficienterna är konstanta. Förfarandet medreduktion av ordning kan sedan användas succesivt för att minska ekvationens ord-ning.

Exempel 24 Ange en bas för lösningsrummet till y′′ +4y′ +4y = 0

Lösning:

Karaktäristiska polynometr2 +4r +4 = (r +2)2 har ett nollställer = −2 och an-satseny = e−2xu ger

y′′ +4y′ +4y = e−2xu′′ = 0

u = ax+b

y = axe−2x +be−2x

och som basvektorer kan vi tay1 (x) = e−2x ochy2 (x) = xe−2x. Mer kompliceradeekvationer hanteras bäst med funktionendsolve i Maple.

Föreläsning 5

Inhomogena ekvationer


(3.5) Nonhomogeneous Equations and Underdetermined Coefficients.

(3.6) Forced Oscillations and Resonance.

(3.7) Electrical Circuits.

33

34 FÖRELÄSNING 5. INHOMOGENA EKVATIONER

5.2 Partikulärlösningar

Vi har sett att omy1,y2 är en bas förN(L) kanvarje lösning till L(y) = f skri-vas

y(x) = yp(x)+ay1 (x)+by2(x)

om vi bara kan hittaen lösningyp till ekvationen.

Att konstruera partikulärlösningar tillL(y) = f innebär att studera den inversa av-bildningenL−1. DåN(L) 6= 0 får vi dock nöja oss med en ”partiell invers” var-med avses en lineär avbildningM : C (I) → C 2(I) sådan atty = M ( f ) medför attL(y) = f med begynnelsdatay(x0) = y′ (x0) = 0.

Förfarandet kallas Lagranges metod och påminner starkt om reduktion av ordningfrån förra föreläsningen. Utgångspunkten är en basy1,y2 för N(L) och ansat-sen

y(x) = u(x)y1 (x)+v(x)y2 (x) (5.1)

där vi i stället för konstanter har multiplicerat medfunktioner uoch v. Vi skallsedan bestämmau och v så atty blir en lösning till L(y) = f . Deriverar viy fårvi

y′ (x) = u′ (x)y1(x)+v′ (x)y2(x)+u(x)y′1 (x)+v(x)y′2 (x)

= u(x)y′1 (x)+v(x)y′2 (x)

där sista likheten förutsätter att vi valtu ochv så att

u′ (x)y1 (x)+v′ (x)y2 (x) = 0

Nästa derivata blir i så fall

y′′ (x) = u′ (x)y′1 (x)+v′ (x)y′2 (x)+u(x)y′′1 (x)+v(x)y′′2 (x)

och därmed får vi, eftersomL(y1) = L(y2) = 0, att

L(y) = uL(y1)+vL(y2)+u′y′1 +v′y′2 = u′y′1 +v′y′2

Således är (5.1) en partikulärlösning om vi väljer funktionernau ochv så att deri-vatornau′ ochv′ satisfierar ekvationssystemet

u′ (x)y1 (x)+v′ (x)y2 (x) = 0u′ (x)y′1 (x)+v′ (x)y′2 (x) = f (x)

(5.2)

Löser vi (5.2) får vi

u′ = −y2(x) f (x)W (x)

ochv′ =y1(x) f (x)

W (x)(5.3)

5.2. PARTIKULÄRLÖSNINGAR 35

Funktionen

W (x) =

∣∣∣∣y1 (x) y2 (x)y′1 (x) y′2 (x)

∣∣∣∣= y1 (x)y′2 (x)−y′1(x)y2 (x)

kallasWronskis determinant. För attu ochv skall vara väldefinierade genom ekva-tionerna (5.3) måsteW (x) 6= 0 vilket garanteras av följande sats.

Sats 25 Om två funktioner y1 och y2 i N (L) är sådana att W(x0) = 0 för något talx0 ∈ I så är y1 och y2 lineärt beroende.

Bevis.Antag attW (x0) = 0. Vi skall visa att det finns konstantera ochb som intebåda är noll så attay1 (x)+by2 (x) ≡ 0 för allax∈ I . Vi vet att det finns konstantera ochb, som inte båda är noll, så att

ay′1 (x0)+by′2(x0) = 0ay1 (x0)+by2(x0) = 0

Då gäller, medz(x) = ay1 (x)+by2 (x), attz∈ N (L) ochz(x0) = z′ (x0) = 0 vilketenligt sats21medför attz(x)≡ 0 och således äry1 ochy2 lineärt beroende

Ekvationerna (5.3) kan nu integreras och med

u(x) = −∫ x

x0

y2 (t) f (t)W (t)

dt ochv(x) =

∫ x

x0

y1 (t) f (t)W (t)

dt

får vi en partikulärlösning som kan skrivas som en integral

y(x) = −y1(x)∫ x

x0

y2 (t) f (t)W (t)

dt+y2(x)∫ x

x0

y1 (t) f (t)W (t)

dt

=

∫ x

x0

y1 (t)y2 (x)−y1(x)y2 (t)W (t)

f (t)dt

Den ”inversa” avbildningeny = M ( f ) ges alltså avintegraloperatorn

y(x) =∫ x

x0

K (x, t) f (t)dt (5.4)

FunktionenK (x, t) kallaskärnaoch ges av uttrycket

K (x, t) =y1(t)y2 (x)−y1(x)y2 (t)

W (t)(5.5)

Exempel 26 Funktionernacos, sin är standardbasen i0 för y′′ +y= 0 och

W (x) =

∣∣∣∣cosx sinx−sinx cosx

∣∣∣∣= 1

Vi fårK (x, t) = cost sinx−cosxsint = sin(x− t)

vilket ger partikulärlösningen

y(x) =∫ x

0sin(x− t) f (t)dt (5.6)

till y ′′ +y = f .


5.3 Karaktärisering av partikulärlösningen

Sätter vix = x0 i ekvation (5.4) får vi y(x0) = 0. Deriverar vi sedan (5.4) medavseende påx får vi

y′ (x) = −y′1 (x)∫ x

x0

y2 (t) f (t)W (t)

dt+y′2(x)∫ x

x0

y1 (t) f (t)W (t)

dt

−y1(x)y2 (x) f (x)

W (x)+y2(x)

y1(x) f (x)W (x)

= −y′1 (x)∫ x

x0

y2 (t) f (t)W (t)

dt+y′2(x)∫ x

x0

y1 (t) f (t)W (t)

dt

vilket visar att äveny′ (x0) = 0. Partikulärlösningen som ges av (5.4) kan därmedenligt sats21entydigt karaktäriseras som den lösning tillL(y) = f som har begyn-nelsedatay(x0) = y′ (x0) = 0.

Exempel 27 Skriv, som en integral, en partikulärlösning till ekvationen y′′−y′/x+y/x2 = f (x) från exempel23, då f är kontinuerlig för x> 0.

Lösning:

Med baslösningarnay1 (x) = x ochy2(x) = xlnx blir

W (x) =

∣∣∣∣x xlnx1 lnx+1

∣∣∣∣= x

vilket enligt (5.5) ger kärnan

K (x, t) =txlnx−xt ln t

t= xln

(xt

)

och vi får, medx,x0 > 0, enligt (5.4) lösningen

y(x) =

∫ x

x0

xln(x

t

)f (t)dt

däry(x0) = y′ (x0) = 0.

5.4 Resonans

Betrakta lösningen (5.6) i exempel26 med f (x) = Asinωx. Då blir

y(x) = A∫ x

0sin(x− t)sinωtdt =

ωAω2−1 sinx− A

ω2−1 sinωx, ω 6= 1A2 sinx− A

2xcosx, ω = 1

5.4. RESONANS 37

Vi ser att även om högerledet är en begränsad funktion med| f (x)| ≤ A så kanlösningens belopp anta stora värden dåω är nära 1 och omω = 1 är lösningen inteens begränsad.

Fenomenet kallasresonansoch inträffar då högerledetf innehåller periodiskakomponenter med frekvenser som sammanfaller med eller ligger nära nollställe-na till det karaktäristiska polynomet. Mera precist: OmL har konstanta koeffici-enter så attL(eαx) = P(α)eαx så äry(x) = Aeiωx/P(iω) en partikulärlösning tillL(y) = f med f (x) = Aeiωx och även om| f (x)| = A är ett litet tal kan

|y(x)| = A|P(iω)|

bli mycket stor omP(iω) ligger nära noll.

Exempel 28 Betrakta resonanskretsen i figur5.1, där strömbrytaren i figur4.2er-sats med ett växelspänningsaggregat, t.ex. en radioantenn, med spänningen Asinωtoch möjlighet att variera frekvensenω . Övriga beteckningar är samma som i figur4.2. Bestäm maximala förstärkningen, F(ω)/A, för resonanskretsen dåω varie-rar.

i(t)

u(t)

R

L

C

+ −

Asin(ωt)

Figur 5.1: Resonanskrets.

Lösning:

Vi får analogt med exemplet i förra föreläsningen ekvationerna

i = Cdudt

ochAsinωt −Ldidt

−Ri−u= 0

vilket ger

LCu′′ +RCu′+u = Asinωt = Im(Aeiωt)


och en partikulärlösning får vi som

u(t) = Im

(Aeiωt

LC(iω)2 +RCiω +1

)

=A

(1−LCω2)2 +(RCω)2 Im((

1−LCω2−RCiω)

eiωt)

= A

(1−LCω2

)sinωt −RCω cosωt

(1−LCω2)2 +(RCω)2

=Asin(ωt −α)√

(1−LCω2)2 +(RCω)2

Således är

F (ω)

A=

1√(1−LCω2)

2+(RCω)2

= G(RCω)

G(x) =1√

(1−Q2x2)2 +x2

som är maximal för det värde på den dimensionslösa frekvensvariabelnx= RCω ≥0 som minimerar funktionenp(x) =

(1−Q2x2

)2+x2 och där kretsensQ-värde de-

finierats som kvoten mellan kretsens två tidskonstanter,√

LC ochRC, där den förstabestämmer periodtiden för oscillationer i den odämpade (R = 0) resonanskretsenoch den andra hur snabbt fria (A = 0) oscillationer dämpas på grund av energiför-lusterna närR> 0.

Q =

√LC

RCFunktionsundersökning ger att

minx≥0

p(x) =

p(0) = 1, Q≤ 1/

√2

p(x0) = 4Q2−14Q4 , Q > 1/

√2

och

x0 = RCω0 =

√Q2−1/2

Q2

Vi får därmed att

maxω≥0

(F (ω)

A

)= max

x≥0G(x) =

1, Q≤ 1/

√2

2Q2√4Q2−1

, Q > 1/√

2

För att en resonanskrets skall fungera väl, t.ex. som avstämningskrets i en radio-mottagare, bör den ha ettQ-värde på 100. Då kan med god approximation formler-na ovan förenklas till

x0 = RCω0 ≈1Q

, maxx≥0

G(x) ≈ Q

5.4. RESONANS 39

Figurerna nedan illustrerar hur förstärkningenG(x) = F (ω)/A hos resonanskret-sen beror av frekvensen dåQ = 10 respektiveQ = 100.

QxQx

G(x)G(x) 00

0

0

0

1

1

1

1 22

Figur 5.2: Förstärkning medQ = 10 respektiveQ = 100.

Föreläsning 6

System avdifferentialekvationer


(4.1) First-Order Systems and Applications.

(4.2) The Method of Elimination.

41

42 FÖRELÄSNING 6. SYSTEM AV DIFFERENTIALEKVATIONER

6.2 System av första ordningen

I många sammanhang uppträder differenetialekvationer naturligt som system därtvå eller flera funktioner skall bestämmas.

Exempel 29 I resonanskretsen i figur5.1, föreläsning5, beskrivs strömmen i(t)och spänningen u(t) av systemet

di/dt = −Ri/L−u/L+e(t)/Ldu/dt = i/C

där e(t) = Asinωt.

Ett system av första ordningen med två ekvationer ser allmänt ut på följande sätt

dy1/dx= f (x,y1,y2)dy2/dx= g(x,y1,y2)

(6.1)

där funktionernay1 (x) ochy2 (x) skall bestämmas för allax i något öppet intervallI . Ett ännu allmännare system medn ekvationer ser då ut så här

dy1/dx= f1 (x,y1,y2, . . .yn)dy2/dx= f2 (x,y1,y2, . . .yn)...dyn/dx= fn (x,y1,y2, . . .yn)

(6.2)

Både (6.1) och (6.2) kan emellertid skrivas mycket kompaktare som

dydx

= f (x,y) (6.3)

om vi betraktary och f som en vektorvärda funktioner:y : I →Rn och f : I ×R

n →R

n så atty= (y1,y2, . . .yn) och f = ( f1, f2, . . . fn) i detn-dimensionella fallet. Medderivatandy/dx = y′ förstår vi då vektorn(y′1,y

′2, . . .y

′n) där alla komponenterna

deriverats med avseende påx.

6.3 Ekvationer av högre ordning som system

System av formen (6.2) eller (6.3) är i sälva verket mycket allmänna och inne-håller som specialfall alla differentialekvationer av ordning n som kan skrivas påformen

y(n) = f(

x,y,y′, . . . ,y(n−1))

6.4. BEGYNNELSEVÄRDEN OCH ENTYDIGHET 43

Detta inses genom att betrakta derivatorna upp till ordningn−1 som komponenter ienn-dimensionell vektorY =

(y,y′, . . . ,y(n−1)

). Vi får dådY/dx=

(y′,y′′, . . . ,y(n)

)

och därmed

dYdx

=

y′

y′′

...y(n)

=

Y2

Y3...

f (x,Y)

= F (x,Y)

Exempel 30 Stötdämparen i figur4.1, föreläsning5, beskrivs av ekvationen y′′ +py′ +qy= f (t), vilken som system med y1 = y och y2 = y′ kan skrivas

ddt

[y1

y2

]=

[y2

f (t)−qy1− py2

]

ddt

[y1

y2

]=

[0 1−q −p

][y1

y2

]+

[01

]f (t)

där den sista omskrivningen av ekvationen med konstanta matriser A och B somy′ = Ay+B f är en följd av att ekvationen är lineär och har konstanta koefficienter.

Övning 31 Hur ser matriserna A och B ut i exemplet med resonanskretsen?

6.4 Begynnelsevärden och entydighet

Precis som i det skalära fallet krävs ytterligare villkor påden vektorvärda lösning-eny(x) till systemet (6.3) om funktionen skall vara entydigt bestämd. Normalt german då begynnelevillkor av formeny(x0) = b, därb∈ R

n är en given vektor ochx0 ∈ I . Vi skall i nästa föreläsning precisera villkor som garanterar att begynnelse-värdesproblemet

dydx

= f (x,y) , y(x0) = b (6.4)

har entydigt bestämd lösning.

6.5 Räkning med vektorvärda funktioner

Som vi redan sett definieras derivatanu′ av den vektorvärda funktionenu : I → Rn

genom att man deriverar komponentfunktionerna. Helt analogt definieras integra-len ∫ b

au(x)dx=

(∫ b

au1 (x)dx,

∫ b

au2 (x)dx, . . . ,

∫ b

aun (x)dx

)

som den vektor man får genom att integrera komponenterna.


6.5.1 Räkneregler

Följande räkneregler gäller och är heller inte svåra att visa.

1. (Au)′ = Au′ och∫ b

a Au(x)dx = A(∫ b

a u(x)dx)

om A är en konstantn× n-

matris.

2. (u·v)′ = u′ ·v+u·v′ och∫ b

a c·u(x)dx= c·(∫ b

a u(x)dx)

omc är en konstant

vektor ochu·v betecknar den vanliga skalärprodukten iRn.

3. Integralkalkylens huvudsatser:ddx

∫ xa u(t)dt = u(x) och

∫ ba u′ (x)dx= u(b)−

u(a).

4.∥∥∥∫ b

a u(x)dx∥∥∥≤

∫ ba ‖u(x)‖dx, där längden avu definieras av‖u‖ =

√u·u.

5. Vi har även olikheten‖Au‖ ≤ ‖A‖‖u‖ där matrisnormen definieras som‖A‖ = maxu6=0‖Au‖/‖u‖.

Bevis.Reglerna1, 2 och6.3 följer direkt ur definitionen och lämnas som övning.För att visa4 utnyttjar vi Cauchys olikhet,|u·v| ≤ ‖u‖‖v‖, på följande sätt: Låtc =

∫ ba u(x)dx. Påståendet är trivialt omc = 0 och om inte, så gäller enligt6.4och

Cauchy att

‖c‖2 = c·c = c·∫ b

au(x)dx

Enligt 2=

∫ b

ac·u(x)dx

≤∫ b

a|c·u(x)|dx

Cauchy≤

∫ b

a‖c‖‖u(x)‖dx= ‖c‖

∫ b

a‖u(x)‖dx

vilket efter division med‖c‖ > 0 ger den sökta olikheten.

6.6 Differentialekvationen som integralekvation

I många komplicerade situationer, såväl teoretiska som praktiska, är det enklare attarbeta med integraler än med derivator. Detta beror på att man ofta måste göra upp-skattningar av de ingående storheterna och då är räkneregeln 4 ovan, som saknarmotsvarighet för derivator, mycket användbar.

Sats 32 Om f : I ×Rn → R

n är en kontinuerlig funktion gäller att y(x) är enkontinuerligt deriverbar lösning till (6.4) om och endast om y(x) är en kontinuerliglösning till integralekvationen

y(x) = b+∫ x

x0

f (t,y(t))dt, x,x0 ∈ I (6.5)

Bevis.Omy∈ C 1(I) satisfierar (6.4) får vi efter integration av båda leden

y(x)−y(x0) = y(x)−b =

∫ x

x0

f (t,y(t))dt

6.7. LIPSCHITZKONTINUITET 45

och omy ∈ C (I) löser (6.5) är t 7→ f (t,y(t)) en kontinuerlig funktion och inte-gralenx 7→

∫ xx0

f (t,y(t))dt, och därmedy(x), kontinuerligt deriverbar medy′ (x) =f (x,y(x)) för x∈ I . Vidare äry(x0) = b.

6.6.1 Grönwalls lemma

Som en illustration till integralens företräden framför derivatan visar vi en olikhetsom ofta kommer till användning i fortsättningen.

Sats 33 Om u är en kontinuerligt deriverbar reellvärd funktion för x∈ I och därsatisfierar olikheten

u′ (x)+au(x) ≤ f (x) (6.6)

med någon konstant a, så gäller också att

u(x) ≤ e−a(x−x0)u(x0)+

∫ x

x0

e−a(x−t) f (t)dt (6.7)

för x≥ x0.

Bevis.Multiplikation medeax > 0 ger olikheten

ddx

(eaxu(x)) = eax(u′ (x)+au(x))≤ eax f (x)

och efter integration får vi, omx > x0, att

eaxu(x)−eax0u(x0) ≤∫ x

x0

eat f (t)dt

u(x) ≤ e−a(x−x0)u(x0)+

∫ x

x0

e−a(x−t) f (t)dt

6.7 Lipschitzkontinuitet

Om f : I → R är en deriverbar funktion på intervalletI ⊆ R med begränsad deri-vata så följer av medelvärdessatsen attf (y)− f (x) = f ′ (ξ )(y−x) för något talξmellanx ochy vilket ger olkheten

| f (y)− f (x)| ≤ L |y−x| (6.8)

för x,y∈ I om L = supx∈I | f ′ (x)|. Funktioner som uppfyller (6.8) kallas lipschitz-kontinuerliga.

För vektorvärda funktioner av flera variabler generaliseras medelvärdessatsen tillen olikhet.


Sats 34 Om f : D⊆Rn→ R

n är kontinuerligt deriverbar i en öppen konvex mängdD gäller olikheten

‖ f (y)− f (x)‖ ≤∥∥ f ′ ((1−θ)x+ θy)

∥∥‖y−x‖

för någotθ ∈ ]0,1[ och x,y∈ D. Uttrycket‖ f ′ (x)‖ betecknar matrisnormen enligt(5).

Bevis.Låtc∈Rn och sättϕ (t)= c· f ((1− t)x+ ty). Då ärϕ ′ (t) = c· f ′ ((1− t)x+ ty) (y−x)

och (6.8) medför attϕ (1)−ϕ (0) = ϕ ′ (θ) för någotθ ∈ ]0,1[. Cauchys olikhet och(5) ger sedan medc = f (y)− f (x) att

‖ f (y)− f (x)‖2 = c· ( f (y)− f (x)) = ϕ (1)−ϕ (0) = ϕ ′ (θ)

= c· f ′ ((1−θ)x+ θy) (y−x) ≤ ‖c‖∥∥ f ′ ((1−θ)x+ θy) (y−x)

∥∥≤ ‖c‖

∥∥ f ′ ((1−θ)x+ θy)∥∥‖y−x‖

vilket om c 6= 0 ger den sökta olikheten efter division med‖c‖ = ‖ f (y)− f (x)‖. Ifallet c = 0 är satsen trivial.

Som en omedelbar följd av sats34 får vi följande resultat.

Följdsats 35 En funktion f : D ⊆ Rn→ R

n som är kontinuerligt deriverbar i enöppen konvex mängd D med begränsad derivata är lipschitzkontinuerlig så att

‖ f (y)− f (x)‖ ≤ L‖y−x‖

med lipschitzkontstant: L= supx∈D ‖ f ′ (x)‖.

Föreläsning 7

Existens och entydighet


Appendix Existence and Uniqueness of Solutions.

47

48 FÖRELÄSNING 7. EXISTENS OCH ENTYDIGHET

Som vi sett i flera exempel kan man ibland lösa en differentialekvationy′ = f (x,y)och erhållay som ett uttryck i kända funktioner. Genom att välja lämpligtvärdepå en integrationskonstant får man ofta också en unik lösning y(x) som uppfyllergivna begynnelsedatay(x0) = b.

Denna procedur fungerar dock endast i undantagsfall. Man äri regel hänvisad tillnumeriska metoder för att lösa differentialekvationer. Detta är egentligen inget nytt;även en explicit lösning, som exempelvisy = ex till ekvationeny′ = y, måste manberäkna numeriskt när man vill se en graf eller ha en tabell.

Innan man använder eller konstruerar en numerisk lösningsmetod måste man emel-lertid veta att detfinnsen lösning och helst också att den ärunik. Det är den typenav resultat som denna föreläsning handlar om.

7.2 En integralekvation

I föreläsning6 visades att omf : I ×Rn → R

n är en kontinuerlig funktion såär y : I → R

n är en kontinuerligt deriverbar lösning till begynnelsevärdesproble-met

y′ = f (x,y) , y(x0) = b (7.1)

om och endast omy är enkontinuerlig lösning till integralekvationen

y(x) = b+

∫ x

x0

f (t,y(t))dt (7.2)

I stället för att lösa begynnelsevärdesproblemet (7.1), kan vi alltså lösa integra-lekvationen (7.2) och det är faktiskt enklare.

7.3 Iteration

Den metod vi skall använda är att börja med en enkel gissning som vi sedan suc-cessivt förbättrar. Ett första – och naturligtvis mycket naivt – försök att lösa (7.2)är att prova med funktioneny0 (x) = konstant= b som i alla fall satisfierar begyn-nelsedata. Insatt i (7.2) ger detta

y1 (x) = b+

∫ x

x0

f (t,b)dt

vilket förstås sällan är lika medy0 omx 6= x0. Vi ger emellertid inte upp, utan sätterin den nya funktioneny1 (x), och får i nästa varv

y2 (x) = b+

∫ x

x0

f (t,y1 (t))dt

7.3. ITERATION 49

Upprepas detta blir resultatet enfunktionsföljdyn (x)∞n=0 som, förhoppningsvis,

allt bättre och bättre approximerar en lösning. Denna erhålles i så fall som gräns-värdety(x) = limn→∞ yn(x).

Låt oss se hur detta fungerar i ett välkänt fall där vi redan vet hur lösningen serut.

Exempel 36 Lös ekvationen y′ = ay med y(0) = 1.

Lösning:

Om vi startar medy0 (x) = 1 får vi succesivt

y1 (x) = 1+∫ x

0adt = 1+ax

y2 (x) = 1+

∫ x

0a(1+at)dt = 1+ax+

(ax)2

2

y3 (x) = 1+∫ x

0a

(1+at+

(at)2

2

)dt = 1+ax+

(ax)2

2+

(ax)3

2·3...

yn (x) = 1+ax+(ax)2

2+

(ax)3

2·3 + · · ·+ (ax)n

n!

och vi ser att

limn→∞

yn (x) =∞

∑n=0

(ax)n

n!= eax

vilket stämmer med vad vi hade anledning att vänta oss.

För att komma vidare med den allmänna integralekvationen (7.2) måste vi preciseraförutsättningarna omf . Det räcker därvid inte att förutsätta attf är kontinuerlig omvi vill ha en unik lösning.

Sats 37 Om f : I ×Rn → R

n är kontinuerlig och dessutom lipschitzkontinuerlig iden andra variabeln, så att det för någon konstant L gäller att

‖ f (x,y1)− f (x,y2)‖ ≤ L‖y1−y2‖

för alla x∈ I och y1,y2 ∈ Rn, så har integralekvationen (7.2) en kontinuerlig lös-

ning y(x) för varje b∈ Rn sådan att f(x,b) är begränsad på I och x0 ∈ I.

Bevis.Vi måste visa att den rekursivt definierade funktionsföljden yn (x)∞n=0 där

y0(x) = b och

yn+1(x) = b+

∫ x

x0

f (t,yn (t))dt, n = 0,1,2, . . .


konvergerar mot en kontinuerlig gränsfunktiony(x) och dessutom att följande kal-kyl är tillåten

y(x) = limn→∞

yn+1(x) = b+ limn→∞

∫ x

x0

f (t,yn (t))dt

= b+

∫ x

x0

limn→∞

f (t,yn (t))dt

= b+

∫ x

x0

f (t,y(t))dt

Vi konstaterar att

yn (x) = b+n

∑k=1

[yk (x)−yk−1 (x)]

och dessutom att förk = 2,3, . . . gäller

yk (x)−yk−1(x) =

∫ x

x0

[ f (t,yk−1 (t))− f (t,yk−2 (t))]dt

vilket ger uppskattningen

‖yk (x)−yk−1 (x)‖ ≤∫ x

x0

‖ f (t,yk−1 (t))− f (t,yk−2 (t))‖dt

≤ L∫ x

x0

‖yk−1 (t)−yk−2(t)‖dt

För k = 1 ochx > x0 gäller dessutom

‖y1 (x)−b‖ ≤∥∥∥∥∫ x

x0

f (t,b)dt

∥∥∥∥≤∫ x

x0

‖ f (t,b)‖dt ≤ M (x−x0)

därM = supx∈I ‖ f (x,b)‖. Vi får nu succesivt

‖y2 (x)−y1(x)‖ ≤ L∫ x

x0

‖y1(t)−b‖dt ≤ ML∫ x

x0

(t −x0)dt = ML(x−x0)

2

2

‖y3 (x)−y2(x)‖ ≤ L∫ x

x0

‖y2(t)−y1(t)‖dt ≤ ML2∫ x

x0

(t −x0)2

2dt = ML2(x−x0)

3

2·3

‖y4 (x)−y3(x)‖ ≤ L∫ x

x0

‖y3(t)−y2(t)‖dt ≤ ML3∫ x

x0

(t −x0)3

2·3 dt = ML3(x−x0)4

4!...

‖yk (x)−yk−1(x)‖ ≤ MLk−1(x−x0)k

k!

i fallet dåx < x0 ger motsvarande kalkyl i stället att

‖yk (x)−yk−1(x)‖ ≤ MLk−1(x0−x)k

k!

7.4. ENTYDIGHET OCH STABILITET 51

och vi får därmed om|I | betecknar längden av intervalletI att

supx∈I

‖yk (x)−yk−1(x)‖ ≤ MLk−1 |I |kk!

Eftersom∞

∑k=1

MLk−1 |I |kk!

=ML

(eL|I |−1

)

följer det av Weierstrass majorantsats att funktionsserien

y(x) = b+∞

∑k=1

[yk (x)−yk−1(x)] = limn→∞

yn (x)

konvergerar absolut och likformigt påI och att summany(x) är kontinuerlig ef-tersom alla funktionernayn i följden är det. Dessutom konvergerarf (t,yn (t)) lik-formigt mot f (t,y(t)) dån→ ∞ eftersom

supx∈I

‖ f (t,yn (t))− f (t,y(t))‖ ≤ Lsupx∈I

‖yn (t)−y(t)‖ → 0

och då följer det att

limn→∞

∫ x

x0

f (t,yn (t))dt =

∫ x

x0

limn→∞

f (t,yn (t))dt =

∫ x

x0

f (t,y(t))dt

Därmed är satsen bevisad.

7.4 Entydighet och stabilitet

När vi nu har visat att ekvation (7.1) och (7.2) alltid har lösning omf är lipschitz-kontinuerlig, återstår frågan om det finns flera lösningar. Besläktad med entydig-heten är också problemet med stabiliteten: Vad som händer med lösningen vid småändringar if ochb. Svaret finns i nästa sats.

Sats 38 Om y1 (x) respektive y2 (x) är lösningar till begynnelsevärdesproblemen

y′ = f1(x,y) , y(x0) = b1

y′ = f2(x,y) , y(x0) = b2

där f1 och f2 uppfyller förutsättningarna i sats37 med lipschitzkonstanter L1 re-spektive L2 så gäller för x≥ x0 att

‖y1 (x)−y2 (x)‖ ≤ ‖b1−b2‖ek(x−x0) +µk

(ek(x−x0) −1

)

där k= min(L1,L2) ochµ = maxx,y‖ f1 (x,y)− f2(x,y)‖.


Följdsats 39 Speciellt följer av sats38 att lösningen till ekvation (7.1) är unik,eftersom det för två lösningar y1(x) och y2 (x) med samma högerled, f= f1 = f2så attµ = 0, och samma begynnelsedata, b= b1 = b2 så att‖b1−b2‖ = 0, måstegälla att y1(x)−y2(x) ≡ 0.

Så till beviset.

Bevis.Sambanden

y1 (x) = b1 +

∫ x

x0

f1 (t,y1 (t))dt

y2 (x) = b2 +

∫ x

x0

f2 (t,y2 (t))dt

ger med triangelolikheten och någon av omskrivningarna

f1(t,y1)− f2(t,y2) = [ f1(t,y1)− f1(t,y2)]+ [ f1(t,y2)− f2(t,y2)]

= [ f1(t,y1)− f2(t,y1)]+ [ f2(t,y1)− f2(t,y2)]

uppskattningen‖ f1(t,y1)− f2(t,y2)‖ ≤ k‖y1−y2‖+ µ

och därmed är

‖y1 (x)−y2(x)‖ ≤ ‖b1−b2‖+∫ x

x0

‖ f1(t,y1 (t))− f2(t,y2 (t))‖dt

≤ ‖b1−b2‖+∫ x

x0

(k‖y1 (t)−y2(t)‖+ µ)dt

≤ ‖b1−b2‖+k∫ x

x0

‖y1 (t)−y2(t)‖dt+ µ (x−x0)

Sättu(x) =∫ x

x0‖y1 (t)−y2 (t)‖dt. Då äru(x0) = 0 och u′ (x) = ‖y1(x)−y2(x)‖

vilket ger olikheten

u′ (x) ≤ ku(x)+‖b1−b2‖+ µ (x−x0) (7.3)

Grönwalls lemma (33) ger då förx > x0 att

u(x) ≤ ek(x−x0)u(x0)+

∫ x

x0

ek(x−t) (‖b1−b2‖+ µ (t −x0))dt

=1k‖b1−b2‖

(ek(x−x0)−1

)+

µk2

(ek(x−x0) −1

)− µ

k(x−x0) (7.4)

kombinerar vi (7.3) och (7.4) får vi slutligen

‖y1 (x)−y2(x)‖ = u′ (x) ≤ ku(x)+‖b1−b2‖+ µ (x−x0)

≤ ‖b1−b2‖ek(x−x0) +µk

(ek(x−x0) −1

)

Det kan mycket väl finnas lösningar till ekvation (7.1) även omf inte är lipschitz-kontinuerlig. Däremot kan vi i sådana fall inte garantera att lösningen är entydig.Jämför med exempel40.

7.5. LOKALA RESULTAT 53

Exempel 40 Begynnelsevärdesproblemet y′ = 3√

y med y(0) = 0 har tre lösningar:

1. y(x) = 0

2. y(x) =

√(2x/3)3 för x > 0,

0 för x < 0.

3. y(x) =

−√

(2x/3)3 för x > 0,

0 för x < 0.

Ett resultat av det faktum att funktionen3√

y inte är lipschitzkontinuerlig i en om-givning av y= 0 eftersom det gäller att

∣∣ 3√

y1− 3√

y2∣∣

|y1−y2|=

1

3

√y2

1 + 3√

y1y2 + 3

√y2

2

>2/3

3

√y2

1 + 3

√y2

2

7.5 Lokala resultat

Vi har hittills förutsatt att funktionenf (x,y) uppfyller lipschitzvillkoret

‖ f (x,y1)− f (x,y2)‖ ≤ L‖y1−y2‖ (7.5)

med en konstantL som gäller förx∈ I ochgodtyckligavektorery1,y2 ∈ Rn. Det är

inte alltid möjligt att uppnå detta utan vi får acceptera inskränkningar även iy-led såatt (7.5) bara gäller omy1,y2 ∈ Ω ⊂ R

n. Det kan då hända att graferna till funktio-nernayn (x) i iterationen inte ligger kvar i ”rektangeln”(x,y) : x∈ I , y∈ Ω ochvi kan då inte garantera att lösningen är definierad för allax i intervallet I . I sådanafall får vi nöja oss med att konstatera att det i något delintervall x0−δ ≤ x≤ x0+δ ,medδ > 0, finns en unik lösning tilly′ = f (x,y).

Föreläsning 8

Lineära system avdifferentialekvationer


(5.1) Matrices and Linear Systems.

(5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems.

(5.3) Second-Order Systems and Mechanical Applications.

55

56FÖRELÄSNING 8. LINEÄRA SYSTEM AV DIFFERENTIALEKVATIONER

8.2 Lineära system

Ett systemy′ = f (x,y) av differentialekvationer är lineärt om högerledet har for-men

f (x,y) = P(x)y+F (x)

därP(x) är en kvadratisk matris vars koefficienterp j,k (x) är kontinuerliga och be-gränsade funktioner på det öppna intervalletI ⊆ R ochF (x) en vektorvärd funk-tion påI som också är kontinuerlig och begränsad. Då ärf (x,b) = P(x)b+F (x)kontinuerlig och begränsad för varje fix vektorb∈ R

n och dessutom är

‖ f (x,y1)− f (x,y2)‖ = ‖P(x) (y1−y2)‖ ≤ L‖y1−y2‖

om L = supx∈I ‖P(x)‖. Således är förutsättningarna i sats37 uppfyllda och detföljer att begynnelsevärdesproblemet

dydx

= P(x)y+F (x) , y(x0) = b (8.1)

har en unik lösningy(x) för varje vektorb ∈ Rn och x0 ∈ I . Speciellt följer det

att begynnelsevärdesproblemet för lineära ekvationer av ordning n som definierasav (4.5) och (4.6) i föreläsning4 är entydigt lösbart då det kan skrivas som ettförsta ordningens system av formen (8.1) med lösningsvektorn

(y,y′, . . . ,y(n−1)

)

och

P(x) =

0 1 · · · 00 0 · · · 0...

.... . .

...−pn(x) −pn−1(x) · · · −p1 (x)

, F (x) =

00...

f (x)

8.3 Homogena system

OmF = 0 får vi det homogena systemet

dydx

= P(x)y (8.2)

Låt nu vektorernae1, . . . ,en vara en bas förRn och funktionernay1 (x) , . . . ,yn (x)vara lösningarna till begynnelsevärdesproblemen

dyj

dx= P(x)y j , y j (x0) = ej , j = 1, . . . ,n (8.3)

då bildar funktionernay1(x) , . . . ,yn (x) en bas för lösningsrummet till den homo-gena ekvationen (8.2). Eller annorlunda uttryckt

8.3. HOMOGENA SYSTEM 57

Sats 41 Varje lösning till (8.2) kan skrivas som en lineärkombination

y(x) = c1y1 (x)+c2y2 (x)+ · · ·+cnyn (x)

av baslösningarna (8.3) med konstanter c1, . . . ,cn.

Bevis.Låt y(x) vara en lösning till (8.2) och x0 ∈ I . Då finns entydigt bestämdakonstanterc1, . . . ,cn så att

y(x0) = c1e1 +c2e2 + · · ·+cnen

och om vi definierar

z(x) = c1y1 (x)+c2y2 (x)+ · · ·+cnyn(x)

är z(x) en lösning till (8.2) medz(x0) = y(x0) vilket enligt följdsatsen39 medföratty(x) ≡ z(x) för alla x∈ I .

8.3.1 Fundamentalmatris

Låt y1(x) , . . . ,yn (x) vara baslösningarna (8.3) som hör till standardbasen iRn så

att

e1 = (1,0, . . . ,0)e2 = (0,1, . . . ,0)

...en = (0,0, . . . ,1)

(8.4)

och definiera matrisenY (x,x0) medy1(x) , . . . ,yn (x) som kolonnvektorer iY

Y (x,x0) =

...... · · · ...

y1(x) y2(x) · · · yn (x)...

... · · · ...

(8.5)

Då ärY (x0,x0) = E = enhetsmatrisen, och lösningen till det homogena begynnel-sevärdesproblemet

dydx

= P(x)y, y(x0) = b (8.6)

kan skrivas som en matrisprodukt:y(x) = Y (x,x0)b. MatrisenY (x,x0), eller baraY (x) närx0 är underförstådd, kallasfundamentalmatrisentill systemet (8.2).

Av entydighetssatsen39får vi följande räkneregler för fundamentalmatrisen

1. Deriveringsregeln:∂Y (x,x0)/∂x = P(x)Y (x,x0)

2. Y (x2,x0) = Y (x2,x1)Y (x1,x0), därx0,x1,x2 ∈ I

3. Speciellt:E = Y (x0,x0) = Y (x0,x1)Y (x1,x0) ⇒Y (x0,x1) = Y (x1,x0)−1

Beviset lämnas som övning.


8.4 Inhomogena system

På grund av lineariteten kanvarje lösning till (8.1) skrivas som summany0+yp aven partikulärlösningyp till ( 8.1) och en lösningy0 till den homogena ekvationen(8.2). Väljer vi partikulärlösningen så attyp(x0) = 0 kan lösningen till begynnel-sevärdesproblemet (8.1) skrivas

y(x) = Y (x,x0)b+yp(x)

För att konstruerayp (x) kan vi använda samma teknik med variation av parametrarsom i föreläsning5. Låt därföru(x) vara en vektorvärd funktion och sätty(x) =Y (x,x0)u(x). Derivering med avseende påx ger

dydx

=∂∂x

Y (x,x0)u(x)+Y(x,x0)dudx

= P(x)y(x)+Y(x,x0)dudx

eftersom det för varje vektorb medy(x) = Y (x,x0)b, gäller att

∂∂x

Y (x,x0)b =dydx

= P(x)y(x)

Om vi därför väljeru så attu(x0) = 0 och

Y (x,x0)dudx

= F (x) ⇔ dudx

= Y (x,x0)−1 F (x) = Y (x0,x)F (x)

får vi den sökta partikulärlösningen som alltså kan skrivassom integralen

yp(x) = Y (x,x0)u(x) = Y (x,x0)

∫ x

x0

Y (x0, t)F (t)dt (8.7)

=∫ x

x0

Y (x,x0)Y (x0, t)F (t)dt =∫ x

x0

Y (x, t)F (t)dt (8.8)

Allmänna lösningen till (8.1) blir därmed

y(x) = Y (x,x0)b+∫ x

x0

Y (x, t)F (t)dt (8.9)

vilket också förklarar varför matrisenY kallas fundamental.

8.5 Konstanta koefficienter

Att bestämma baslösningar och fundamentalmatrisen i en enkel form låter sig iallmänhet bara göras om matrisenP inte beror avx. Den homogena ekvationeny′ = Py blir då autonom, det vill säga högerledet beror inte explicit påx. En kon-sekvens av detta är att lösningarna ärtranslationsinvarianta, vilket betyder attz(x) = y(x−x0) är en lösning omy(x) är det.

8.5. KONSTANTA KOEFFICIENTER 59

8.5.1 Exponentialmatrisen

Speciellt får vi att fundamentalmatrisenY (x,x0) endast beror av skillnadenx− x0

så att

Sats 42 Det gäller att Y(x−x0,0) = Y (x,x0).

Bevis. Ty om y1 (x) = Y (x,x0)b och z(x) = Y (x,0)b är båda funktionerna lös-ningar till y′ = Py. Då är ocksåy2 (x) = z(x−x0) = Y (x−x0,0)b en lösning ocheftersomy1 (x0) = y2 (x0) = b är y1 = y2 vilket medför påståendet eftersomb ärgodtycklig.

MedY (x) = Y (x,0) blir räknereglerna1–3 i stället

1. Deriveringsregeln:Y′ (x) = PY(x).

2. Exponentiallagen:Y (x2 +x1) = Y (x2)Y (x1).

3. Speciellt är:Y (0) = E ochY (−x) = Y (x)−1.

Lösningsformeln (8.9) blir

y(x) = Y (x−x0)b+

∫ x

x0

Y (x− t)F (t)dt

På grund av räknereglerna1–3ovan skriver manY som en exponentialfunktion.

Y (x) = exp(xP) = exP

När man arbetar med ekvationer med konstanta koefficienter underlättas kalkylenofta om man räknar komplext eftersom det man då täcker in bådeexponential-funktioner och trigonometriska funktioner. Vi antar därför att vektorer ligger iCn istället förRn. De allmänna räkningarna ser likadana ut men i exempel med siffrorfår man naturligtvis ta hänsyn till att talen är komplexa.

8.5.2 DiagonaliserbarP-matris

Som vanligt då ekvationerna har konstanta koefficienter finns det lösningar i formav exponentialfunktioner. För att finna dessa sätter viy(x) = eλxb vilket ger y′ −Py= (λb−Pb)eλx = 0 om Pb= λb. Vi ser att om det finns en bas av egenvek-torerv1, . . . ,vn till matrisenP i systemety′ = Py så attPvj = λ jv j för j = 1, . . . ,nblir motsvarande baslösningary j (x) = eλ j xv j och fundamentalmatrisen i en bas avegenvektorer blir därmed en diagonalmatris

D(x) =

eλ1x 0 · · · 00 eλ2x · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · eλnx


där egenvärdenaλ j kan vara komplexa tal. Om matrisenT förmedlar basbytet(v1, . . . ,vn) = (e1, . . . ,en)T till standardbasen (8.4) blir

exP = Y (x) = TD(x)T−1

eftersomeb = vc = eTc ochey(x) = vD(x)c = eTD(x)T−1b = eY (x)b för god-tyckligt b.

Exempel 43 Lös y′ = Py med y(0) = b om

P =

[1 4−4 1

]

Lösning:

Karaktäristiska polynomet det(P−λE)= λ 2−2λ +17 har nollställenaλ1 = 1+4ioch λ2 = 1− 4i och motsvarande egenvektorerv1 = (−i,1) och v2 = (i,1) vilketger basbytet

v = e

[−i i1 1

]= eT

och således fundamentalmatrisen

exP =

[−i i1 1

][e(1+4i)x 0

0 e(1−4i)x

][−i i1 1

]−1

=ex

2

[e4ix +e−4ix −ie4ix + ie−4ix

ie4ix − ie−4ix e4ix +e−4ix

]

= ex[

cos4x sin4x−sin4x cos4x

]

Med b = (b1,b2) blir därför

y(x) = exPb = ex[

cos4x sin4x−sin4x cos4x

][b1

b2

]

=

[b1excos4x+b2exsin4x−b1exsin4x+b2ex cos4x

]

8.5.3 DefektP-matris

Tyvärr finns inte alltid en bas av egenvektorer till en given matris. Matrisen sägs dåvara defekt. För att detta skall inträffa måste karaktäristiska polynomet det(λE−P)ha multipla nollställen. Ett enkelt exempel får illustrerasituationen medan det all-männa fallet både teoretiskt och räknemässigt bäst hanteras med laplacetransfor-men som är ämne för nästa föreläsning.

8.5. KONSTANTA KOEFFICIENTER 61

Exempel 44 Lös y′ = Py med y(0) = b om

P =

[1 10 1

]

Lösning:

Vi har det(λE−P) =

∣∣∣∣λ −1 −1

0 λ −1

∣∣∣∣ = (λ −1)2 och den enda egenvektorn är

v1 = (1,0) vilket innebär atty1 (x) = exv1 är en lösning. För att få en avy1 obero-ende lösning kan vi resonera på följande sätt: LåtL(y) = y′−Py. Då gäller med engodtycklig vektoru∈ C

n att

L(

eλxu)

= eλx (λE−P)u (8.10)

och om vi deriverar denna relation med avseende påλ får vi

L(

xeλxu)

= xeλx (λE−P)u+eλxu (8.11)

formlerna (8.10) och (8.11) i kombination med vektoreru ochv ger

L(

eλxu−xeλxv)

= eλx [(λE−P)u−v]−xeλx (λE−P)v

Högerledet blir då 0 om vi väljerv = v1 och sedanu = v2 som en lösning till(λE−P)u = v1 som i vårt fall ger ekvationssystemet

[0 −10 0

∣∣∣∣10

]

som har den avv1 oberoende lösningenu = v2 = (0,−1) vilket ger följande bas-lösningar och exponentialmatris

y1 (x) = exv1 = ex[

10

]

y2 (x) = −(exv2−xexv1) = −ex (v2−xv1) = ex[

x1

]

exP = Y (x) = ex[

1 x0 1

]

Föreläsning 9

Laplacetransformen


(7.1) Laplace Transforms and Inverse Transforms.

(7.2) Transformation of Initial Value Problems.

(7.3) Translation and Partial Fractions.

(7.4) Derivatives, Integrals, and Products of Transforms.

(7.5) Periodic and Piecewise Continuous Input Functions.

63

64 FÖRELÄSNING 9. LAPLACETRANSFORMEN

Laplacetransformen1 är ett effektivt verktyg för hantering av ekvationer lineära dif-ferentialekvationer med konstanta koefficienter. Efter laplacetransformering över-går dessa i vanliga ekvationer utan derivator som kan hanteras med algebraiskametoder.

9.2 Definition

Laplacetransformen definieras på följande sätt.

Definition 45 Om funktionen u(t) är definierad för t≥ 0 och integrabel på varjebegränsat intervall0≤ t ≤ T, så definieras laplacetransformen U(s) av integralen

u(s) = U (s) =

∫ ∞

0e−stu(t)dt (9.1)

för alla komplexa tal s= σ + iω där integralen (9.1) är absolutkonvergent.

I fortsättningen förutsätts alla funktioner vara integrabla på begränsade intervall avformen 0≤ t ≤T. Speciellt då funktioner som är kontinuerliga fört ≥ 0, men ocksåfunktioner som har ändligt många språngdiskontinuiteter ibegränsade intervall.Speciellt innebär detta att de funktioner vi betraktar är begränsade på intervallen0≤ t ≤ T.

Det är viktigt i tillämpningarna att låta variabelns vara ett komplext tal och detär därmed naturligt att arbeta med komplexvärda funktioneri teorin för laplace-transformen. Variabelnt är dock alltid reell och i tillämpningar står den ofta förtiden.

Exempel 46 Låt u(t) = 1 för t ≥ 0. Då blir laplacetransformen

U (s) =

∫ ∞

0e−stdt =

1s

(9.2)

för alla komplexa tal s medRes= σ > 0 eftersom integralen konvergerar precisdå. Vi använder beteckningen

1L7−→ 1

s, Res> 0 (9.3)

Notera att integralen (9.2) bara konvergerar om Res> 0, trots att funktionen 1/sär definierad för alla komplexa tals 6= 0.

1Laplace: Fransk matematiker (1749–1827).

9.3. EGENSKAPER 65

9.2.1 Konvergensområde

LaplacetransformenU är definierad för komplexa tals= σ + iω där laplaceinte-gralen (9.1) är absolutkonvergent och eftersom|e−st| =

∣∣e−(σ+iω)t∣∣ = e−σt ser vi

att (9.1) är absolutkonvergent då integralen∫ ∞

0e−σt |u(t)|dt, σ = Res (9.4)

konvergerar och att konvergensområdet, om det inte är tomt,alltid är ett halvplaneftersomσ ≥ σ0 medför atte−σt |u(t)| ≤ e−σ0t |u(t)| och konvergens is0 medförkonvergens för varjes med Res≥ Res0 = σ0. Att integralen inte behöver konver-gera för något värde pås inser man av exempletu(t) = et2

.

En tumregel är att en funktion som växer högst exponentiellthar laplacetransform.Mera precist definierar vi

Definition 47 Funktionen u är exponentiellt begränsad på t≥ 0 om det finns kon-stanter a och A så att olikheten|u(t)| ≤ Aeat gäller för alla t ≥ 0.

För sådana funktioner konvergerar integralen (9.4) för σ > a. Speciellt får man

Sats 48 Laplacetransformen går mot noll dåσ = Res går mot oändligheten.

Bevis.Om |u(t)| ≤ Aeat ochσ = Res> a gäller att

|U (s)| =∣∣∣∣∫ ∞

0e−stu(t)dt

∣∣∣∣≤∫ ∞

0e−σt |u(t)|dt

≤∫ ∞

0e−σtAeatdt =

Aσ −a

→ 0, σ → ∞

9.3 Egenskaper

Man kan uppfatta laplacetransformen som en avbildningL från funktioneru de-finierade på de positiva reella talen till funktionerU definierade i det komplexaplanet.

9.3.1 Linearitet

Lineariteten innebär att

L (au+bv) = aL (u)+bL (v) (9.5)

för godtyckliga tala och b som även får vara komplexa och (9.5) följer direkt urformeln (45).


För sambandet mellanu och laplacetransformenU = L (u) använder vi ocksåskrivsättet

u(t)L7−→U (s)

9.3.2 Translation is-variabeln

Om vi i formeln (45) ersättersmeds+a erhålles

U (s+a) =∫ ∞

0e−(s+a)tu(t)dt =

∫ ∞

0e−ste−atu(t)dt

Tolkar vi den högra integralen som laplacetransformen av funktionene−atu(t) fårvi förskjutningsregeln

Sats 49 Om u(t)L7−→U (s) så gäller

e−atu(t)L7−→U (s+a) (9.6)

Observera att konstantena kan vara ett komplext tal.

Exempel 50 Beräkna laplacetransformen av u(t) = sinωt.

Lösning:

Enligt Eulers formel har vi

sinωt =12i

(eiωt −e−iωt)

och med hjälp av exempel46och sats49 får vi

e±iωt ·1 L7−→ 1s∓ iω

vilket tillsammans med lineariteten (9.5) ger

sinωtL7−→ 1/2i

s− iω− 1/2i

s+ iω=

ωs2 + ω2 (9.7)

9.3.3 Translation i t-variabeln

Vad händer om man i stället gör en translation i tidsvariabeln t? Det är då lämpligtatt tänka sig att funktionerna är definierade på helaR medu(t) = 0 för t < 0. Omv(t) = u(t −T) blir

v(s) =

∫ ∞

0e−stu(t −T)dt =

∫ ∞

Te−stu(t −T)dt

=

∫ ∞

0e−s(τ+T)u(τ)dτ = e−sT

∫ ∞

0e−sτu(τ)dτ = e−sTU (s)

Vi har härmed visat motsvarande förskjutningsregel vid translation it-variabeln.

9.3. EGENSKAPER 67

Sats 51 Om u(t)L7−→U (s) , där u(t) = 0 för t < 0, gäller för T ≥ 0

u(t −T)L7−→ e−sTU (s) (9.8)

Det är viktigt att komma ihåg att funktionenu i formeln (9.8) måste vara noll förnegativa värden på variabelnt.

Exempel 52 Stegfunktionen2 H definieras som

H (t) =

1, t ≥ 00, t < 0

(9.9)

Laplacetransformen blir förståsH (s) = 1/s eftersom vi gör precis samma räk-ningar som i exempel46. Efter translation med T≥ 0 får vi emellertid enligt sats51att

H (t −T)L7−→ e−sT

s

medan däremot en translation av den konstanta funktionen u(t) ≡ 1 inte ändrarlaplacetransformen. Av den anledningen skrivs också formeln (9.8) ofta som

u(t −T)H (t −T)L7−→ e−sTuH (s) = e−sTu(s) (9.10)

Sats51 i kombination med stegfunktionen (9.9) i exempel52 är användbar dåman arbetar med funktioner som är definierade intervallvis av olika analytiska ut-tryck.

Exempel 53 Beräkna laplacetransformen till en ”sinuspuls” u, där u(t) = sintför 0≤ t ≤ π och u(t) = 0 för övrigt.

Lösning:

Vi kan skrivau som

u(t) = [H (t)−H (t −π)]sint = H (t)sint +H (t −π)sin(t −π)

och får med hjälp av sats51 och exempel50 (ω = 1) laplacetransformen

U (s) =1

1+s2 +e−πs

1+s2 =1+e−πs

1+s2

2Kallas också heavisidefunktion efter den engelske elektroingenjören Oliver Heaviside (1850–1925). Betecknas ibland medu (unit step).


9.4 Laplacetransformen av en derivata

Laplacetransformens viktigaste uppgift är att förvandla derivation till multiplika-tion meds. Detta gör den användbar för att lösa differentialekvationer. Satsen ly-der

Sats 54 Låt u vara deriverbar för t≥ 0 och sådan att både u och u′ har laplace-transformer definierade i något halvplan, sägRes> σ0. Då gäller att

u′ (s) = sU(s)−u(0) , Res> σ0 (9.11)

Bevis.Påståendet följer efter partialintegration ty vi har för godtyckligt T att

∫ T

0e−stu′ (t)dt =

[e−stu(t)

]T0 +s

∫ T

0e−stu(t)dt

och förutsättningarna ger direkt att integralerna konvergerar motu′ (s) respektiveU (s) dåT → +∞. Problemet är vad som händer med gränsvärdet

limT→+∞

[e−stu(t)

]T0 = lim

T→+∞e−sTu(T)−u(0)

Vi måste visa attA = limT→+∞ e−sTu(T) = 0. Men omA 6= 0, kan integralen∫ ∞0 e−stu(t)dt inte vara absolutkonvergent, vilket vi förutsatte, därförär A = 0

9.4.1 Potensfunktionen

Sats54kan användas för att beräkna laplacetransformen till potensfunktionenu(t)=tn.

Sats 55 Det gäller att

tn L7−→ n!sn+1 , n = 0,1,2, . . . (9.12)

Bevis.Vi använder induktion . Sättun (t) = tn. Eftersomu0 (t) ≡ 1 vet vi redan attu0 (s) = 1/soch satsen är därmed bevisad förn= 0, om vi definierar 0!= 1.

För n≥ 1 har viun (0) = 0 och dessutom äru′n (t) = nun−1 (t) vilket med hjälp avsats54 ger

nun−1 (s) = u′n (s) = sun (s) ⇔ un (s) =nsun−1 (s)

Om då satsen är sann förn−1 har vi

un (s) =ns(n−1)!

sn =n!

sn+1

9.4. LAPLACETRANSFORMEN AV EN DERIVATA 69

viket visar att satsen också gäller förn och induktionsprincipen fullbordar beviset

I kombination med sats49 kan sats55 användas på följande sätt.

Exempel 56 Beräkna laplacetransformen av u(t) = t2e−t .

Lösning:

Eftersom vi enligt sats55 hart2

2L7−→ 1

s3

följer det av sats50 att

t2e−t L7−→ 2

(s+1)3

Om man allmänt vill laplacetransformera en relativt godtycklig funktion u(t), somär noll utanför ett begränsat intervall[0,T], och som approximeras med ett polynomp(t) = p0 + p1t + · · ·+ pntn för t ∈ [0,T], kan man utnyttja satserna63 och55 påföljande sätt:

Medq(t) = p(t +T) blir

u(t) = p(t)(H (t)−H (t −T)) = p(t)H (t)−q(t −T)H (t −T)

vilket gerU (s) = p(s)− q(s)e−sT

där p(s) och q(s) kan beräknas med hjälp av sats55 och lineariteten (9.5).

Exempel 57 Beräkna U(s) med sinuspulsen i exempel53 ersatt av polynomet

p(t) = 4t (π − t)/π2 =4π

t − 4π2 t2

Se figur9.1.

Lösning:

Vi får

q(t) = p(t + π) = −4(t + π) t/π2 = − 4π

t − 4π2 t2

vilket ger laplacetransformerna

p(s) =4

πs2 −8

π2s3 =4

πs2

(1− 2

πs

)

q(s) = − 4πs2 −

8π2s3 = − 4

πs2

(1+

2πs

)


x

31 2,5

1

1,5

0,4

0,2

0,5

0

0,8

2

0,6

0

sin t4

π2t(π − t)

Figur 9.1: Funktionernap(t) (röd) och sint (blå).

och därmed

U (s) =4

πs2

[(1− 2

πs

)+

(1+

2πs

)e−πs

]

9.5 Inversa laplacetransformen

Definition45visar hur laplacetransformenU = L (u) beräknas som en integral dåu är känd. Finns någon formel för deninversa transformen u= L −1(U) dåU ärkänd? Svaret är ja, men först ett resultat om deriverbarhet.

9.5.1 Derivatan av en laplacetransform

Deriverar vi laplaceintegralen (9.1) med avseende pås under integraltecknet fårvi

dds

U (s) =

∫ ∞

0

∂∂s

[e−stu(t)

]dt =

∫ ∞

0e−st [−tu(t)]dt

vilket kan tolkas så att

tu(t)L7−→ − d

dsU (s)

Upprepas förfarandet får vi

Sats 58 Om laplacetransformen U till u konvergerar förRes> σ gäller detta ävenför tnu(t) , där n= 0,1,2, . . . och

tnu(t)L7−→ (−1)n dn

dsnU (s)

Helt självklart är det inte att man kan derivera laplaceintegralen så här. Dock finnssatser i analysen att stödja sig på. Speciellt följer det av sats58attU är obegränsatderiverbar, t.o.m. analytisk, i definitionsområdet.

9.5. INVERSA LAPLACETRANSFORMEN 71

Exempel 59 Beräkna laplacetransformen av tsint.

Lösning:

Eftersom sintL7−→(1+s2

)−1får vi med sats58 att

t sintL7−→ − d

ds

(1

1+s2

)=

2s

(1+s2)2

9.5.2 En inversionsformel

Så till inverstransformenL −1. Eftersom laplacetransformen enligt sats58kan de-riveras obegränsat är uttrycketU (n) (n/t) väldefinierat fört > 0 och n ∈ N ochsatsen lyder

Sats 60 Antag att U= L (u) är definierad i halvplanetRes > σ då gäller förvarje t > 0 där u är kontinuerlig att

u(t) = limn→+∞

(−1)nnn+1U (n) (n/t)tn+1n!

, n∈ N (9.13)

Beviset är tekniskt och innehåller inga idéer som används i fortsättningen. Intres-serade hänvisas till appendixB. Låt oss testa sats60 i ett enkelt exempel.

Exempel 61 Beräkna u då U(s) = s−m−1 för Res> 0 och m= 0,1,2, . . .

Lösning:

Vi har

U (n) (s) = (−1)n(m+1)(m+2) · · ·(m+n)s−m−n−1 = (−1)n (m+n)!m!

s−m−n−1

vilket, dåmär fixt, ger

(−1)n nn+1U (n) (n/t)tn+1n!

=nn+1

tn+1n!(m+n)!

m!

( tn

)m+n+1=

(m+n)!nmn!

tm

m!

=(n+1)(n+2) · · · (n+m)

nm

tm

m!

=

(n+1

n

)(n+2

n

)· · ·(

n+mn

)tm

m!→ tm

m!, n→ +∞

Således är1

sm+1L −1

7−→ tm

m!i överensstämmelse med sats56


9.5.3 Entydighet

Sats60 ger ett viktigt resultat om entydighet för laplacetransformen.

Sats 62 Om funktionerna u och v har laplacetransformerna U och V respektiveoch det för något tal N gäller att U(s) =V (s) för alla reella s> N så är u(t) = v(t)för alla värden på t där båda funktionerna är kontinuerliga.

Bevis.Sätth = u−v. På grund av lineariteten (9.5) är h(s) = U (s)−V (s) ≡ 0 förs> N, vilket enligt sats (60) geru(t)−v(t) = h(t) = 0 omu ochv är kontinuerligai t

Sats62 visar att den inversa laplacetransformenL −1 är väldefinierad, trots attman inte alltid kan beräkna gränsvärdet (9.13) i inversionsformeln. Det kan manför övrigt inte göra med integralen (9.1) i definition 45 heller.

9.6 Differentialekvationer

En följd av sats54 är att lineära differentialekvationer med konstanta koefficien-ter efter laplacetransformering övergår i algebraiska ekvationer utan derivator. Enfiness är att laplacetransformen tar hänsyn till både differentialekvation och begyn-nelsedata.

9.6.1 Karaktäristiskt polynom och baspolynom

Här följer några användbara begrepp och definitioner.

Definition 63 Baspolynomen pk (s) , k = 0,1, . . . ,n− 1, till ett polynom p(s) =an + · · ·+ a1sn−1 + sn definieras rekursivt genom att sätta pn = p och sedan suc-cessivt

pk−1 (s) =pk (s)−ak

s(9.14)

Vi belyser definitionen med ett exempel.

Exempel 64 Beräkna baspolynomen p0, p1, p2, p3 till

p(s) = a4 +a3s+a2s2 +a1s3 +s4

9.6. DIFFERENTIALEKVATIONER 73

Lösning:

Formeln (9.14) i definition 63ger i tur och ordning

p3 (s) =p(s)−a4

s= a3 +a2s+a1s2 +s3

p2 (s) =p3 (s)−a3

s= a2 +a1s+s2

p1 (s) =p2 (s)−a2

s= a1 +s

p0 (s) =p1 (s)−a1

s= 1

Baspolynomen bildas alltså efter regeln attsuccessivt stryka konstanttermen i fö-regående polynom och sedan dividera med s.

Observera att baspolynomenp0, . . . , pn−1 är enbasför detn-dimensionellapoly-nomrummetPn−1 som består av polynom av grad högst lika medn−1. Speciellt ärbaspolynomen lineärt oberoende.

9.6.2 Differentialekvationer och laplacetransform

Med baspolynomen får vi följande generalisering av sats54.

Sats 65 Om p(s) = an + · · ·+a1sn−1 +sn och u= p(D)y gäller

u(s) = p(s) y(s)−(

y(0) pn−1 (s)+y′ (0) pn−2(s)+ · · ·+y(n−1) (0) p0 (s))

där pk (s) , k = 0,1, . . . ,n−1, är baspolynomen till p(s).

Bevis.Induktion över gradtalet.

Omn = 1 är p(s) = a1 +soch p0 = 1. Då äru = (D+a1)y = y′ +a1y och sats54geru = sy−y(0)+a1y = p(s) y−y(0) p0.

Antag att påståendet är sant för alla polynom av grad högstn−1.

Eftersomp(s) = an + pn−1 (s)s, får vi u = p(D)y = any+ pn−1 (D)y′ = any+ v.Enligt induktionsantagandet gäller att

v = pn−1 (s) y′ (s)−(

y′ (0) pn−2(s)+ · · ·+y(n−1) (0) p0 (s))


ty baspolynomen tillpn−1 är p0, . . . , pn−2. Således blir

u = any(s)+ v(s) = any(s)+ pn−1(s) y′ (s)−(

y′ (0) pn−2(s)+ · · ·+y(n−1) (0) p0 (s))

= any(s)+ pn−1(s)(sy(s)−y(0))−(

y′ (0) pn−2 (s)+ · · ·+y(n−1) (0) p0 (s))

= (an + pn−1(s)s) y(s)−(

y(0) pn−1 (s)+y′ (0) pn−2 (s)+ · · ·+y(n−1) (0) p0(s))

= p(s) y(s)−(

y(0) pn−1 (s)+y′ (0) pn−2 (s)+ · · ·+y(n−1) (0) p0(s))

och induktionsprincipen fullbordar beviset

Av sats65 följer speciellt att omy(t) är lösningen tillp(D)y = f med begynnel-sedata

y(0) = b1, y′ (0) = b2, . . . , y(n−1) (0) = bn (9.15)

så är laplacetransformen avy lika med

y(s) =q(s)p(s)

+f (s)p(s)

(9.16)

q(s) = b1pn−1 (s)+b2pn−2(s)+ · · ·+bnp0 (s)

Det omvända påståendet är också sant.

Sats 66 Om en funktion y(t) har laplacetransformen (9.16), så är p(D)y= f medbegynnelsedata enligt (9.15).

Bevis.Antag atty är given av (9.16) och låtu= p(D)y− f . Enligt sats65är

u(s) = p(s) y(s)−(

y(0) pn−1(s)+y′ (0) pn−2 (s)+ · · ·+y(n−1) (0) p0 (s))− f (s)

= (b1−y(0)) pn−1 (s)+(b2−y′ (0)

)pn−2 (s)+ · · ·+

(bn−y(n−1) (0)

)p0 (s)

och enligt sats48 skall lims→∞ u(s) = 0. Enda möjligheten är då attu(s) ≡ 0 ef-tersomu är ett polynom. Därmed är enligt entydighetssatsen62ocksåu(t)≡ 0 ochvidare, eftersom baspolynomen är lineärt oberoende, får vi

y(0) = b1, y′ (0) = b2, . . . , y(n−1) (0) = bn

Speciellt är f (s)/p(s) laplacetransformen till partikulärlösningen tillp(D)y = fsom har begynnelsedata noll.

9.7 Polynom och lineära avbildningar

För varje lineär avbildningA : V →V på ett vektorrumV definierar vi potenserna

An för n = 1,2, . . . som sammansättningenAn =

n st.︷︸︸︷AA · · · A. Tillsammans med

9.7. POLYNOM OCH LINEÄRA AVBILDNINGAR 75

konventionen attA0 = Id, identitetsavbildningen, kan vi till varje polynomp(s) =an + · · ·+a1sn−1 +sn definiera en avbildning

p(A) = anId + · · ·+a1An−1+An

Detta generaliserar den notationp(D) som vi infört tidigare för polynom i differen-tialoperatornD och vi kommer också längre fram att behöva matrispolynomp(A)därA är en kvadratisk matris.

Observera dock att så länge baraen avbildning är inblandad kan man räkna medpotensernaAn som vanligt. Med två eller flera måste man emellertid tänka påatt iallmänhet ärAB 6= BA. Gamla beprövade formler som(A+B)2 = A2 + 2AB+ B2

och(A+B)(A−B) = A2−B2 gäller därför endast omAB= BA.

9.7.1 Två satser om baspolynom

Vi avslutar ett par egenskaper hos baspolynomen som vi kommer att behöva fram-över.

Sats 67 För baspolynomen till p(s) gäller

pn−1(s)+ pn−2(s) r + · · ·+ p0(s) rn−1 =p(s)− p(r)

s− r(9.17)

Bevis.Med y(t) = ert blir u(t) = p(D)y = p(r)ert och laplacetransformering germed hjälp av sats65

p(r)s− r

= u = p(s) y−(

y(0) pn−1(s)+y′ (0) pn−2 (s)+ · · ·+y(n−1) (0) p0(s))

=p(s)s− r

−(pn−1 (s)+ rpn−2(s)+ · · ·+ rn−1p0(s)

)

Eftersom högerledet i (9.17) inte ändras då variablernas och r byter plats, får vidirekt av sats67 följande symmetriegenskap

Sats 68 För baspolynomen till p(s) gäller identiteten

pn−1(r)+ pn−2(r)s+ · · ·+ p0(r)sn−1 (9.18)

= pn−1(s)+ pn−2(s) r + · · ·+ p0(s) rn−1

Eftersom (9.18) är en polynomidentitet gäller den också för lineära avbildningarsom kommuterar.

Sats 69 Om A,B : V →V och AB= BA så är

pn−1(A)+ pn−2(A)B+ · · ·+ p0(A)Bn−1 (9.19)

= pn−1(B)+ pn−2(B)A+ · · ·+ p0(B)An−1


9.8 Faltning

Integralen i lösningsformeln

y(t) = Y (t)b+∫ t

0Y (t − τ)F (τ)dτ (9.20)

till systemety′ = Pymedy(0) = b ochY(t) = etP är ett specialfall av en operationsom kallasfaltning. Den allmänna definitionen lyder.

Definition 70 Om u(t) och v(t) är definierade för t≥ 0 och integrabla på varjebegränsat intervall0≤ t ≤ T definieras faltningen u∗v(t) för t ≥ 0 genom

u∗v(t) =∫ t

0u(t − τ)v(τ)dτ (9.21)

Vi illustrerar faltningen med ett enkelt exempel.

Exempel 71 Beräkna u∗v om u(t) = eat och v(t) = ebt.

Lösning:

Oma 6= b får vi

u∗v(t) =∫ t

0ea(t−τ)ebτdτ =

eat −ebt

a−b

Speciellt oma = −1 ochb = i ger detta, eftersome−t är reell, att

e−t ∗sint = Im(e−t ∗eit )= Im

(e−t −eit

−1− i

)=

12

(sint −cost +e−t)

9.9 Laplacetransformen av en faltning

Hur ser laplacetransformenv∗u av faltningenv∗ u ut? Frågan besvaras i nästasats.

Sats 72 Om funktionerna u och v uppfyller förutsättningarna i definition 70 ochdessutom växer högst exponentiellt för t> 0, gäller detta även för u∗v och dess-utom är

u∗v(s) = u(s) · v(s)

Bevis.Vi kan anta att|u(t)| 6 Aeat och |v(t)| 6 Aeat, då följer att

|u(t − τ)v(τ)|6 A2ea(t−τ)eaτ = A2eat

9.9. LAPLACETRANSFORMEN AV EN FALTNING 77

vilket ger

|u∗v(t)| 6∫ t

0|u(t − τ)v(τ)|dτ 6

∫ t

0A2eat dτ = A2teat

6A2

e(b−a)ebt

om b > a. Vidare gäller förτ > 0 enligt (9.10) att

e−sτ u(s) =∫ ∞

0e−stu(t − τ)H(t− τ)dt (9.22)

Vi får därför med (9.22) att

u(s) · v(s) = u(s)∫ ∞

0e−sτv(τ)dτ =

∫ ∞

0e−sτ u(s)v(τ)dτ

=∫ ∞

0

(∫ ∞

0e−stu(t − τ)H(t− τ)dt

)v(τ)dτ

=

∫ ∞

0e−st

(∫ ∞

0u(t − τ)H(t− τ)v(τ)dτ

)dt

=

∫ ∞

0e−st

(∫ t

0u(t − τ)v(τ)dτ

)dt = u∗v(s)

där omkastningen av integrationsordningen är tillåten eftersom integralerna är ab-solutkonvergenta.

9.9.1 Egenskaper hos faltningsoperationen

Av sats72 följer några grundläggande egenskaper hos faltningsoperationen. Detgäller att:

Sats 73 Om u, v och w är komplexvärda funktioner som uppfyller förutsättningar-na i sats72 gäller att faltningen är

1. kommutativ, så att u∗v = v∗u och

2. associativ, så att(u∗v)∗w = u∗ (v∗w) samt

3. distributiv med avseende på lineärkombinationer med komplexa tal a och b,så att u∗ (av+bw) = a(u∗v)+b(u∗w)

Bevis.Eftersomu∗v= L −1(u· v) så följer de två första formlerna av motsvarandeegenskaper för den komplexa produkten ˜u· v respektive ˜u· v · w. Den sista formelnär en direkt följd av definitionen70.

En konsekvens av sats72är att lösningen tillp(D)y= f kan skrivasy= y0+ f ∗gdär g = L −1(1/p), y0 = L −1(q/p) och q(s) = y(0) pn−1 (s) + y′ (0) pn−2 (s) +· · ·+y(n−1) (0) p0(s).

Föreläsning 10

Laplacetransform och lineärasystem


(5.4) Multiple Eigenvalue Solutions.

(5.5) Matrix Exponentials and Linear Systems.

(5.6) Nonhomogenous Linear Systems.

79

80 FÖRELÄSNING 10. LAPLACETRANSFORM OCH LINEÄRA SYSTEM

Ekvationenp(D)y = f kan som vi sett lösas med laplacetransform så att

y(s) =q(s)p(s)

+f (s)p(s)

q(s) = y(0) pn−1 (s)+y′ (0) pn−2(s)+ · · ·+y(n−1) (0) p0 (s)

vilket efter inverstransformering leder till lösningsformeln

y(t) = y0 (t)+

∫ t

0g(t − τ) f (τ)dτ (10.1)

som är helt analog med motsvarande lösningsformel

Y (t) = exp(tP)b+

∫ t

0exp((t − τ)P)F (τ)dτ (10.2)

för det lineärasystemet Y′ = PY + F med Y (0) = b och fundamentalmatrisenexp(tP).

Dessutom kan den skalära ekvationen

p(D)y = y(n) +a1y(n−1) + · · ·+an−1y′ +any = f

via vektornY =(y,y′, . . . ,y(n−1)

)och matriserna

P =

0 1 · · · 00 0 · · · 0...

.... . .

...−an −an−1 · · · −a1

, F (t) =

00...

f (t)

skrivas som systemetY′ = PY+F där det gäller attp(s) = det(sE−P).

I själva verket är båda synsätten, skalärt av ordningn och vektoriellt av ordning1, helt ekvivalenta och laplacetransformen ger oss därigenom ett verktyg för attanalysera exponentialmatrisereA även dåA är defekt.

10.2 Resolventmatris

Låt G(t) = exp(tP) som då satisfierar differentialekvationenG′ = PGmedG(0) =E. Laplacetransformering gersG(s)−E = PG(s) och efter omflyttning(sE−P)G(s) =E och alltså ärG(s) = (sE−P)−1. Inversmatrisen existerar för alla komplexa vär-den påsutom högstnstycken där det karaktäristiska polynomet,p(s) = det(sE−P)=0. Matrisen(sE−P)−1 kallasresolventmatris.

Exempel 74 Beräkna karaktäristiskt polynom och resolventmatris till

P =

0 1 00 0 1−1 −2 1

10.2. RESOLVENTMATRIS 81

Lösning:

Karaktäristiska polynomet blir

p(s) = det(sE−P) = s3−s2 +2s+1

och resolventmatrisen

(sE−P)−1 =1

p(s)

s2−s+2 s−1 1−1 s2−s s−s −2s−1 s2

Beräkningarna görs lämpligen i maple.

Matriselementen i(sE−P)−1 är i exemplet rationella funktioner ismedp(s) somgemensam nämnare. Bryter vi ut nämnaren får vi en matris med polynomelementsom vi kan skriva som ett polynom med matriskoefficienter

s2

1 0 00 1 00 0 1

+s

−1 1 00 −1 1−1 −2 0

+

2 −1 1−1 0 00 −1 0

om vi delar upp efter potenser avs. För att undersöka hur dessa matriskoefficienterberor avP betraktar vi den något allmännare situationen medp(s) = s3 + a1s2 +a2s+a3 och

(sE−P)−1 =1

p(s)

(s2B0 +sB1+B2

)

Då gäller att(sE−P)

(s2B0 +sB1+B2

)= p(s)E

Utvecklar vi både vänster- och högerled får vi

s3B0+s2(B1−PB0)+s(B2−PB1)−PB2 = s3E +s2a3E +sa2E +a1E

och identifieras koefficienterna framför lika potenser avs får vi successivt

B0 = E = p0 (P)

B1 = PB0+a3E = P+a3E = p1 (P)

B2 = PB1+a2E = Pp1(P)+a2E = p2 (P)

För konstanttermerna får vi slutligen

0 = PB2+a1E = Pp2(P)+a1E = p(P)

Där polynomenp0 (s), p1(s) och p2 (s) är baspolynomen tillp(s).

Vi får följande strukturformel för resolventmatrisen

(sE−P)−1 =1

p(s)

(s2E +sp1(P)+ p2(P)

)


Ovanstående resonemang går lika bra att genomföra för en godtycklig n×n matrismed karaktäristiskt polynom

p(s) = sn +a1sn−1 + · · ·+an

vilket leder till följande sats

Sats 75 För resolventmatrisen(sE−P)−1 gäller att

(sE−P)−1 =1

p(s)

(sn−1E +sn−2p1 (P)+ · · ·+ pn−1(P)

)

där polynomen pn−1 (s) , . . . , p1 (s) är baspolynomen till p(s). Vidare gäller attp(P) = 0 (Cayley-Hamiltons sats).

10.3 Exponentialmatris

Med hjälp av sats75 kan vi ge följande strukturbeskrivning av fundamentalmatri-sen

exp(tP) = L−1(

G(s))

= L−1((sE−P)−1

)

till systemetY′ = PY.

Med p(s) = det(sE−P), sättg= L −1(1/p(s)). Då ärp(s) g(s) = 1 och funktio-neng kan enligt sats66 karaktäriseras som lösningen till begynnelsevärdesproble-met

p(D)g = 0, g(0) = g′ (0) = · · · = g(n−2) (0) = 0, g(n−1) (0) = 1

Vidare gäller att

L(g′)(s) = sg(s)−g(0) =

sp(s)

L(g′′)(s) = s2g(s)−g′ (0)−sg(0) =

s2

p(s)...

L

(g(n−1)

)(s) = sn−1g(s)−g(n−2) (0)−·· ·−sn−2g(0) =

sn−1

p(s)

Ovanstående resultat kan därmed sammanfattas i följande sats.

Sats 76 Exponentialmatrisen G(t) = exp(tP) kan skrivas som

G(t) = g(t) pn−1(P)+g′ (t) pn−2(P)+ · · ·+g(n−1) (t)E

där funktionen g är lösningen till begynnelsevärdesproblemet

p(D)g = 0g(0) = g′ (0) = · · · = g(n−2) (0) = 0g(n−1) (0) = 1

10.4. MINIMALPOLYNOM 83

Ett par enkla exempel får illustrera sats76.

Exempel 77 Bestämexp(tP) då P=

[0 −11 0

].

Lösning:

Vi har p(s) = s2 +1 vilket gerg′′ +g= 0 ochg(0) = 0 samtg′ (0) = 1. Således ärg(t) = sint och dåp1(s) = s får vi

exp(tP) = g(t) p1 (P)+g′ (t)E = (sint)P+(cost)E

Exempel 78 Bestämexp(tP) och teckna lösningen till systemet Y′ = PY+ F då

P =

[−1 01 −1

].

Lösning:

Här ärp(s) = (s+1)2 = s2+2s+1 vilket gerg(t) = L −1((s+1)−2

)= te−t och

p1(s) = s+2. Vi får

exp(tP) = g(t) p1 (P)+g′ (t)E

= te−t (P+2E)+ (1− t)e−tE

= te−tP+(1+ t)e−tE

Lösningen tillY′ = PY+F medY (0) = b kan då enligt (10.2) skrivas som

y(t) = te−tPb+(1+ t)e−tb

+∫ t

0

((t − τ)e−(t−τ)PF (τ)+ (1+ t − τ)e−(t−τ)F (τ)

)dτ

där som vanligt första termen löser det homogena problemetY′ = PY medY (0) =b och integralen ger en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen medY (0) = 0.

10.4 Minimalpolynom

Enligt Cayley-Hamiltons sats (se sats75) är p(A) = 0 om p(s) = det(sE−A)vilket visar att det alltid finns ett polynom av gradn som annihilerar enn× n-matris. Ibland finns det emellertid polynom av lägre gradtalsom också har dennaegenskap. I så fall kan ett sådant polynom, och dess underliggande baspolynom,


användas i sats76 i stället för det karaktäristiska polynomet vilket medför att ut-trycket för exponentialmatrisen förenklas. Det polynomq med lägsta gradtalet somuppfyller q(A) = 0 kallasminimalpolynomettill A.

Följande sats gäller.

Sats 79 Om q(s) är ett polynom av grad m≤ n sådant att q(P) = 0 så är

exp(tP) = g(t)qm−1 (P)+g′ (t)qm−2 (P)+ · · ·+g(m−1) (t)E

där funktionen g är lösningen till begynnelsevärdesproblemet

q(D)g = 0g(0) = g′ (0) = · · · = g(m−2) (0) = 0g(m−1) (0) = 1

Bevis.Enligt satserna67 och69gäller omAB= BAatt

q(A)−q(B) = (A−B)(qm−1(A)+qm−2(A)B+ · · ·+q0(A)Bm−1)

= (A−B)(qm−1(B)+qm−2(B)A+ · · ·+q0(B)Am−1)

vilket medA = sE ochB = P ger

q(s)E−q(P) = (sE−P)(qm−1(P)+qm−2(P)s+ · · ·+q0(P)sm−1)

och dåq(P) = 0 får vi

E = (sE−P)

(qm−1 (P)

1q(s)

+qm−2(P)s

q(s)+ · · ·+q0 (P)

sm−1

q(s)

)

R(s) = (sE−P)−1 = qm−1 (P)1

q(s)+qm−2(P)

sq(s)

+ · · ·+q0 (P)sm−1

q(s)

vilket med hänsyn till attq0 (P) = E och medg = L −1 (1/q) ger

exp(tP) = L−1(R) = g(t)qm−1(P)+g′ (t)qm−2(P)+ · · ·+g(m−1) (t)E

Exempel 80 Om P representerar en projektionsavbildning gäller att P2 = P vil-ket medför att q(P) = 0 då q(s) = s2 − s. Då gäller, eftersom q1(s) = s− 1 ochexp(tP) = g(t) (P−E)+g′ (t)E, där

g(t) = L−1(

1s2−s

)= L

−1(

1s−1

− 1s

)= et −1,

oavsett dimensionen hos P, att

exp(tP) =(et −1

)(P−E)+etE =

(et −1

)P+E

Föreläsning 11

Stabilitet och linearisering


(6.1) Stability and the Phase Plane.

(6.2) Linear and Almost Linear Systems.

85

86 FÖRELÄSNING 11. STABILITET OCH LINEARISERING

11.2 Autonoma system

Ett system av differentialekvationerx′ = f (x) där högerledetf : Rn →R

n inte berorexplicit avt kallasautonomt. För lineära autonoma system ärf (x) = Px−v därPär enn× n-matris som inte beror avt och v en konstant vektor. Omn = 2 skrivsofta systemet utan vektorbeteckningar

x′ = f (x,y)y′ = g(x,y)

(11.1)

Exempel 81 Rörelseekvationen för en pendel med hastighetsproportionell dämp-ning är

mL2θ ′′ = −cLθ ′−mgLsinθ

vilket med x= θ och y= θ ′ kan skrivas som systemet

x′ = yy′ = −ω2sinx−2γy

(11.2)

där ω =√

g/L och2γ = c/mL.

11.2.1 Translationsinvarians

Karaktäristiskt för autonoma system är att lösningarna ärtranslationsinvarianta.Det betyder atty(t) = x(t + t0) är en lösning omx(t) är det. Vi har ju nämligen atty′ (t) = x′ (t + t0) = f (x(t + t0)) = f (y(t)). Speciellt följer då av entydighetssatsenatt varje lösning som är sådan attx(t0 +T) = x(t0) för något t0 och T 6= 0, ärperiodiskmed periodenT. Det vill säga: vi harx(t +T) = x(t) för alla t.

11.2.2 Fasporträtt

Graferna till alla lösningarx(t) till x′ = f (x) kallas ekvationensfasporträtt. Omn= 2 består fasporträttet av kurvor iR

2, fasplanet. Ibland kan fasporträttet erhållassom nivåkurvor genom att, i falletn = 2, skriva systemet (11.1) på formengdx−f dy= 0 och försöka bestämma en potentialfunktion till vektorfältet (g,− f ).

Exempel 82 Systemet x′ = 4−2yy′ = 12−3x2 (11.3)

kan skrivasdydx

=y′

x′=

12−3x2

4−2y

och ger den separabla ekvationen(12−3x2)dx− (4−2y)dy= 0

11.2. AUTONOMA SYSTEM 87

där fasporträttet ges av nivåkurvor till funktionen

φ (x,y) =

∫ (12−3x2)dx−

∫(4−2y)dy= 12x−x3−4y+y2

I maple får vi. Se figur11.1.> with(plots):

> phi := 12*x-x^3-4*y+y^2;

φ := 12x−x3−4y+y2

> contourplot(phi, x=-6..6, y=-5..9,

> contours=[-18,-10,0,9,12,15,20], thickness=4, grid=[60,40]);

–4

–2

0

2

4

6

8

–4 –2 2 4

x

y

Figur 11.1: Nivåkurvor till exempel82.

Allmänt gäller att systemet (11.1) ger en exakt differentialekvationgdx− f dy= 0om divergensen för fältet( f ,g) är noll i ett enkelt sammanhängande område; alltsåatt

∇ · ( f ,g) =∂ f∂x

+∂g∂y

= 0

Exempel 83 För pendelekvationen (11.2) är

f (x,y) = y, g(x,y) = −ω2sinx−2γy

vilket ger∇ · ( f ,g) = −2γ

och för en odämpad pendel,γ = 0, får vi potentialen

φ (x,y) =

∫ω2sinxdx+

∫ydy=

y2

2−ω2cosx

och omω = 1 blir fasporträttet med hjälp av maple. Se figur11.2.> phi := y^2-2*cos(x);

φ := y2−2cos(x)> contourplot(phi, x=-10..10, y=-4..4,

> contours=[-1.8,-1.5,-1,0,2,5,10], thickness=4, grid=[60,40]);


–3

–2

–1

0

1

2

3

–10 –5 5 10x

y

Figur 11.2: Nivåkurvor till exempel83

11.2.3 Jämviktspunkter

Om f (x0) = 0 är den konstanta funktionenx(t) ≡ x0 en lösning till x′ = f (x).Sådana punkterx0 kallas jämviktspunktertill differentialekvationen. För systemet(11.2) i exempel81är jämviktspunkterna(nπ,0) , därn = 0,±1,±2, . . . och syste-met (11.3) i exempel82har två jämviktspunkter(−2,2) och(2,2).

11.2.4 Stabilitet

Om x0 är en jämviktspunkt tillx′ = f (x) med begynnelsevärdex(0) = x0, blirx(t) ≡ x0 för t ≥ 0. På grund av osäkra data är det svårt att exakt fåx(0) = x0 utanman hamnar ofta en bit ifrån. Problemet är då vad som händer för t > 0. Stannarlösningen kvar i närheten avx0 då t växer, eller gör den det inte? I första falletär jämviktenstabil, annarsinstabil eller labil. Mera precist definieras stabilitet påföljande sätt.

Definition 84 En jämviktspunkt x0 är stabilom det till varjeε > 0 finnsδ > 0 såatt om‖x(0)−x0‖ < δ så är‖x(t)−x0‖ < ε för alla t ≥ 0.

Exempel 85 I fallet med den odämpade pendeln (11.2) medγ = 0, är jämvikts-punkterna(nπ,0) stabila om n är ett jämnt tal och instabila om n är udda.

En starkare form av stabilitet kallas asymptotisk stabilitet. Då stannar lösningeninte bara kvar närax0 utan konvergerar in mot jämviktspunkten.

Definition 86 En jämviktspunkt x0 är asymptotiskt stabilom det finnsδ > 0 så attom‖x(0)−x0‖ < δ så är limt→+∞ ‖x(t)−x0‖ = 0.

Om vi i pendelekvationen (11.2) har γ > 0 kan vi inte beskriva fasporträttet meden potential utan vi får lösa ekvationen numeriskt. I maple får vi med dämpnings-konstantγ = 0.05.

> sys := diff(x(t),t) = y(t), diff(y(t),t) = -sin(x(t))

> - delta*y(t);

11.3. LINEARISERING 89

sys:= ∂∂ t x(t) = y(t), ∂

∂ t y(t) = −sin(x(t))−δ y(t)

> delta := 0.1;

δ := .1

> fcns := [x(t), y(t)];

fcns:= [x(t), y(t)]

Vi löser systemet numeriskt medx(0) = 4 ochy(0) = 2 respektivex(0) = 2 ochy(0) = −2

> sol1 := dsolve(sys,x(0)=4,y(0)=1, fcns,

> type=numeric):> sol2 := dsolve(sys,x(0)=2,y(0)=-1, fcns,

> type=numeric):

Funktionenodeplot ger lösningskurvorna i fasplanet. Resultatet kan lagras somgrafiska strukturerp1 ochp2.

> p1:=odeplot(sol1,fcns,0..40,numpoints=100):

> p2:=odeplot(sol2,fcns,0..40,numpoints=100):

Funktionendisplay ritar sedanp1 ochp2 i samma diagram. Se figur11.3.

> display([p1,p2], thickness=4);

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

–2 2 4 6 8

x

y

Figur 11.3: Illustration av asymptotisk stabilitet.

11.3 Linearisering

I närheten av en jämviktspunkt kan ett olineärt system ibland approximeras medett lineärt. Genom att studera stabiliteten hos det lineärasystemet kan man i bästafall även avgöra om det olineära systemet är stabilt. Metoden kallas linearisering.Till att börja med undersöker vi stabiliteten hos jämviktspunkter till lineära sy-stem.


11.3.1 Lineära autonoma system

I ett lineärt autonomt systemx′ = f (x) är f (x) = Px− v, där P är en konstantmatris ochv en konstant vektor. OmP är inverterbar, har systemet en unik jäm-viktspunktx0 = P−1v. Variabelbytetx 7→ x−x0 transformerar systemet tillx′ = Pxså att jämviktspunkten hamnar i 0.

För att avgöra om 0 är stabil eller inte undersöker vi lösningen x(t) = etPb medbegynnelsedatax(0) = b 6= 0 för t > 0. Enligt sats76 är

x(t) = g(t) pn−1(P)b+g′ (t) pn−2(P)b+ · · ·+g(n−1) (t)b

där g är en lösning tillp(D)g = 0 och p(s) karaktäristiska polynomet tillP. Ef-tersom varje faktor(s−λ )m i p(s) ger upphov till termerna

eλ t , teλ t , t2eλ t , . . . , tm−1eλ t

i funktioneng ser vi direkt att limt→+∞ x(t) = 0 för varje val avb om Re(λ ) < 0för alla nollställenλ till p(s).

Om det däremot för någotλ gäller att Re(λ ) > 0 ochp(λ ) = 0, kan vi starta i enegenvektorb 6= 0 så attPb= λb och då blir lösningen

x(t) = etPb = eλ tb

vars belopp blir godtyckligt stort dåt → +∞.

Slutligen har vi fallet dåp(λ ) = 0 medför att Re(λ ) ≤ 0 men med likhet för någoteller någraλ . Om alla sådana nollställen är enkla blir motsvarande lösningstermereλ tb begränsade vilket ger stabilitet men inte asymptotisk stabilitet. Multipla noll-ställen med Re(λ ) = 0 kan dock ge termer av formentm−1eλ tb, därm> 1 som inteär begränsade och jämviktspunkten är labil.

Sammanfattningsvis gäller

Sats 87 Jämviktspunkten x0 = P−1v till x′ = Px−v är asymptotiskt stabil om ochendast om alla nollställen till karaktäristiska polynomethar negativ realdel. Omnågot nollställe har positiv realdel är x0 labil.

11.4 Nästan lineära system

I flervariabelanalysen [10, Kap. 3.2–3] lär vi att en funktionf : Rn → R

n är deri-verbar1 i x0 om det finns en lineär avbildningx 7→ Pxså att

f (x+x0) = f (x0)+Px+g(x)

1Deriverbar och differentierbar används synonymt här.

11.4. NÄSTAN LINEÄRA SYSTEM 91

där funktioneng uppfyller villkoret

limx→0

‖g(x)‖‖x‖ = 0 (11.4)

Den lineära avbildningenx 7→ Px kallas derivatan avf i x0 och brukar betecknasf ′ (x0) eller d f (x0). Avbildningsmatrisen erhålles genom att beräkna de partielladerivatorna för komponentfunktionernaf1, . . . , fn till f . Således är

P =

∂1 f1 (x0) · · · ∂n f1(x0)...

. . ....

∂1 fn (x0) · · · ∂n fn(x0)

(11.5)

Antag nu att f ∈ C 1 i en omgivning till x0 där f (x0) = 0 och attP = d f (x0) ärinverterbar. Då är enligt inversa funktionssatsen[10, Kap. 3.3, sats 2]f (x) 6= 0 i enpunkterad omgivning 0< |x−x0| < δ och vi har

f (x+x0) = Px+g(x)

där funktioneng uppfyller villkoret (11.4). Systemet

x′ (t) = f (x(t)+x0) = Px(t)+g(x(t)) (11.6)

har därför en isolerad jämviktspunktx = 0 och det blir naturligt att undersöka närstabiliteten för jämviktspunktenx= 0 hos det olineära systemet (11.6) kan avgörasgenom att studera det lineariserade systemetx′ = Px.

Antag först att det finns ett positivt talσ så att Re(λ ) <−σ < 0 för alla nollställenλ till karaktäristiska polynomet förP. Om p(s) är karaktäristiska polynomet tillPoch p(D)g = 0 följer det att

limt→+∞

eσtg( j) (t) = 0

för j = 0,1, . . . ,m−1 därmär graden förp(s). Av sats76följer då också att

limt→+∞

eσt∥∥etP

∥∥= 0

eftersom∥∥etP

∥∥=∥∥∥g(t) pn−1 (P)+g′ (t) pn−2 (P)+ · · ·+g(n−1) (t) I

∥∥∥

≤ |g(t)|‖pn−1 (P)‖+∣∣g′ (t)

∣∣‖pn−2 (P)‖+ · · ·+∣∣∣g(n−1) (t)

∣∣∣

Speciellt äreσt∥∥etP

∥∥≤ M för t ≥ 0.

Vidare gäller att

ddt

(e−tPx(t)

)= e−tP(x′ (t)−Px(t)

)= e−tPg(x(t))


och omx(0) = b får vi efter integration

e−tPx(t) = b+∫ t

0e−τPg(x(τ))dτ

som ger lösningsformeln

x(t) = etPb+∫ t

0e(t−τ)Pg(x(τ))dτ

Av de vanliga standarduppskattningarna för integraler, matriser och vektorer följeratt

eσt ‖x(t)‖ ≤ eσt∥∥etPb

∥∥+

∫ t

0eσt∥∥∥e(t−τ)Pg(x(τ))

∥∥∥dτ

≤ eσt∥∥etP

∥∥‖b‖+

∫ t

0eσ(t−τ)

∥∥∥e(t−τ)P∥∥∥eστ ‖g(x(τ))‖dτ

≤ M ‖b‖+M∫ t

0eστ ‖g(x(τ))‖dτ (11.7)

Det följer av (11.4) att det finns ett talδ så att‖x‖ ≤ δ medför att‖g(x)‖ ≤(σ/2M)‖x‖ vilket insatt i (11.7), medu(t) =

∫ t0 eστ ‖x(τ)‖dτ , ger olikheten

u′ (t) = eσt ‖x(t)‖ ≤ M‖b‖+σ2

∫ t

0eστ ‖x(τ)‖dτ = M ‖b‖+

σ2

u(t) (11.8)

Således får vi

ddt

(e−σt/2u(t)

)= e−σt/2

(u′− σ

2u)≤ M‖b‖e−σt/2

och dåu(0) = 0 ger detta efter integration

e−σt/2u(t) ≤ M‖b‖∫ t

0e−στ/2dτ =

2Mσ

‖b‖(

1−e−σt/2)

och därmed σ2

u(t) ≤ M ‖b‖(

eσt/2−1)

Tillsammans med (11.8) får vi till sist följande uppskattning av‖x(t)‖

eσt ‖x(t)‖ ≤ M‖b‖+σ2

u(t) ≤ M‖b‖eσt/2 ⇒‖x(t)‖ ≤ M‖b‖e−σt/2

Vi har därmed visat att om‖b‖ ≤ δ/M så är‖x(t)‖ ≤ δe−σt/2 ≤ δ för t ≥ 0 och vihar asymptotisk stabilitet. Följande sats sammanfattar resultaten av resonemangetovan.

Sats 88 Om f : Rn → R

n och f ∈ C 1 i en omgivning av en jämviktspunkt x0 tillsystemet x′ = f (x) och d f(x0) är inverterbar så är x0 asymptotiskt stabil om allaegenvärden till d f(x0) har negativ realdel.

11.4. NÄSTAN LINEÄRA SYSTEM 93

Exempel 89 Den dämpade pendeln

x′ = f (x,y) = yy′ = g(x,y) = −ω2sinx−2γy

har jämviktspunkten(0,0) och där är funktionalmatrisen

P =

[∂ f/∂x(0,0) ∂ f/∂y(0,0)∂g/∂x(0,0) ∂g/∂y(0,0)

]=

[0 1

−ω2 −2γ

]

Karaktäristiska polynomets, s2 + 2γs+ ω2, nollställen−γ ± i√

ω2− γ2 har, omγ ≤ ω , båda negativ realdel−γ eller, omγ > ω , två reella negativa nollställen−γ ±

√γ2−ω2. Jämvikten är alltså asymptotiskt stabil.

Vad kan sägas om något egenvärde tilld f (x0) har positiv realdel? Med ett resone-mang liknande, men besvärligare, det som det vi använt ovan kan man visa följandesats.

Sats 90 Om f : Rn → R

n och f ∈ C 1 i en omgivning av en jämviktspunkt x0 tillsystemet x′ = f (x) och d f(x0) är inverterbar så är x0 labil om något egenvärde tilld f (x0) har positiv realdel.

Exempel 91 I jämviktspunkten(π,0) är

P =

[∂ f/∂x(π,0) ∂ f/∂y(π,0)∂g/∂x(π,0) ∂g/∂y(π,0)

]=

[0 1

ω2 −2γ

]

och karaktäristiska polynomet s2+2γs−ω2 har reella nollställenλ =−γ±√

ω2 + γ2

där plustecknet alltid gerλ > 0. Jämviktspunkten(π,0) är därmed labil.

Observera att satserna88och90inte säger något i fallet då Re(λ )≤ 0 om det råderlikhet för något eller några nollställenλ till karaktäristiska polynomet.

Föreläsning 12

Stabilitet för olineära system


(6.3) Ecological Models: Predators and Competitors.

(6.4) Nonlinear Mechanical Systems.

95

96 FÖRELÄSNING 12. STABILITET FÖR OLINEÄRA SYSTEM

Genom linearisering kan man ibland avgöra om en jämviktspunkt är stabil ellerinte. Metoden fungerar dock bara om det lineära systemets egenvärden alla harnegativ realdel eller om något egenvärde har positiv realdel. Den metod vi nu skallstudera har inte dessa brister, men förutsätter i stället att man kan konstruera enliapunovfunktion.

12.2 Liapunovfunktioner

Först ett par definitioner.

Definition 92 En funktion V: D ⊆ Rn → R, där D är en öppen mängd som in-

nehåller 0, är positivt (negativt) semidefinit om V(x) ≥ 0 ( ≤ 0 ) för x ∈ D ochV (0) = 0. Om dessutom V(x) 6= 0 då x 6= 0 är V positivt (negativt) definit.

Exempel 93 Funktionen V(x,y) = x2+2xy+2y2 = (x+y)2+y2 är positivt definitpå D= R

2.

Definition 94 Derivatan·

Vf av V längs ett vektorfält f= ( f1, f2, . . . , fn) definierassom

·Vf (x) = ∇V (x) · f (x) =

∂V∂x1

f1 (x)+ · · ·+ ∂V∂xn

fn (x)

Exempel 95 Med f(x,y) =(y,−x3−y

)och samma V som i exempel93 får vi

·Vf (x) =

∂V∂x

y+∂V∂y

(−x3−y

)= −2xy−4y2−2x4−4yx3−x2

Följande resultat ger tillräckliga villkor för stabilitetrespektive asymptotisk stabi-litet.

Sats 96 Låt x′ = f (x) vara ett autonomt system med en isolerad jämviktspunkt ix = 0 och V en kontinuerligt deriverbar positivt definit funktioni en omgivning

av 0 sådan att·

Vf (x) är negativt semidefinit. Då är0 en stabil jämviktspunkt. Är

dessutom·

Vf negativt definit är jämviktspunkten asymptotiskt stabil.

Bevis.Låt ε > 0 vara givet och sättc = minV (x) : ‖x‖ = ε. EftersomV är po-sitivt definit ärc > 0 och eftersomx : V (x) < c/2 ∩ x : ‖x‖ < ε är en öppenomgivning till 0 finnsδ > 0 så att

x : ‖x‖ < δ ⊂ x : V (x) < c/2∩x : ‖x‖ < ε

12.2. LIAPUNOVFUNKTIONER 97

Om nu‖b‖< δ ochx(t) en lösning tillx′ = f (x) , x(0) = b så följer av kedjeregeln

och förutsättningen att·

Vf (x) ≤ 0 att

V (x(t)) = V (b)+∫ t

0

ddτ

V (x(τ))dτ

= V (b)+∫ t

0

·Vf (x(τ))dτ ≤V (b) <

c2

(12.1)

för alla t ≥ 0 och då måste också‖x(t)‖< ε gälla för allat ≥ 0 eftersom‖x(t0)‖=ε medför attV (x(t0)) ≥ c.

Är dessutom·

Vf (x) < 0 så snartx 6= 0, är jämviktspunkten asymptotiskt stabil, tyom intex(t) går mot 0 dåt → +∞ så är

0 < ε0 = min

limt→∞

V (x(t)) ,1≤ 1

ochV (x(t))≥ ε0 för t ≥ 0, eftersomt 7→V (x(t)) är en avtagande funktion.

Men på den kompakta mängdenx : ε0 ≤V (x) ≤ 1 är·

Vf (x) ≤−δ < 0 för någottal δ och då är enligt (12.1)

V (x(t)) = V (b)+∫ t

0

·Vf (x(τ))dτ ≤V (b)−

∫ t

0δdτ = V (b)−δ t

som innebär attV (x(t)) blir negativt för storat vilket är en motsägelse.

FunktionenV är enliapunovfunktion. Tyvärr finns ingen generell metod att kon-struera sådana funktioner till ett givet system av differentialekvationer. Man vetinte ens om det finns liapunovfunktioner till alla autonoma system. För problemsom har sitt ursprung i fysik, speciellt mekanik, kan man ofta använda en energi-funktion som liapunovfunktion, vilket visas i exemplet97 nedan. Exemplet visarockså att en liapunovfunktion kan hantera situationer där stabiliteten inte går attavgöra genom linearisering.

Exempel 97 En svagt dämpad pendel, där dämpningen är proportionell mothas-tigheten i kubik, beskrivs matematiskt av systemet

x′ = yy′ = −ω2sinx− γy3 γ ,ω > 0

som har en isolerad jämviktspunkt i(0,0). För den odämpade pendeln (därγ = 0)har vi en separabel ekvationω2 sinxdx+ydy= 0 med potentialen (=totala energini systemet)

V(x,y) =

∫ω2 sinxdx+

∫ydy= ω2(1−cosx)+

y2

2

som är positivt definit för|x| < π. Vidare är·

V (x,y) = −γy4 ≤ 0

och alltså negativt semidefinit. Av sats96 följer att vi har en stabil jämviktspunkt.


Observera att eftersom·

V (x,y) =−γy4 i exempel97bara är semidefinit, kan vi intedra slutsatsen att(0,0) är asymptotiskt stabil trots att detta rimligen är fallet. För attvisa asymptotisk stabilitiet behöver vi konstruera en mer raffinerad liapunovfunk-tion. En annan möjlighet är att förbättra satsen96, vilket vi gör i sats100.

Nästa sats ger ett tillräckligt villkor för instabilitet hos en jämviktspunkt.

Sats 98 Låt x′ = f (x) vara ett autonomt system med en isolerad jämviktspunkt

i x = 0 och V kontinuerligt deriverbar med·

Vf positivt definit i en omgivningx : ‖x‖ ≤ r av 0. Antag vidare att V(0) = 0 och att varje omgivning till0 in-nehåller någon punkt b där V(b) > 0. Då är 0 en labil jämviktspunkt.

Bevis.För godtyckligtδ med 0< δ < r väljer vibså attV (b) = maxV (x) : ‖x‖ ≤ δoch‖b‖ ≤ δ .

Då ärV (b) > 0 enligt förutsättningen, vilket också medför attb 6= 0. Låt sedan

x(0) = b. MängdenK = x : ‖b‖ ≤ ‖x‖ ≤ r är kompakt och eftersomV och·

Vf

är kontinuerliga, och·

Vf dessutom positiv, gäller atta = min

·

Vf (x) : x∈ K

> 0

ochA = maxV (x) : x∈ K < ∞.

Då följer att

V (x(t)) = V (b)+

∫ t

0

·Vf (x(τ))dτ ≥V (b)+

∫ t

0adτ = V (b)+at > V (b)

för alla t > 0 vilket dels visar att‖x(t)‖> ‖b‖ och, efter en tid, även att‖x(t)‖> reftersom‖x(t)‖ ≤ r medför attV (x(t)) ≤ A. Jämviktspunkten är alltså instabil.

Exempel 99 Vi exemplifierar sats98 genom att analysera den dämpade pendelnfrån exempel97 i jämviktspunkten x= π och y= 0.

Lösning:

Med variabelbytetx = π +u ochy = v får vi systemet

u′ = vv′ = ω2sinu− γv3

och med funktionenV(u,v) = vω2 sinu− γv4/4 blir

·V (u,v) = v2ω2cosu+

(ω2sinu− γv3)2

som är positivt definit om|u| < π/2. Punkter(u,v) godtyckligt nära(0,0) medV(u,v) > 0 får vi om 0< v < 3

√(4ω2/γ)sinu. Av sats98 följer att jämviktspunk-

12.2. LIAPUNOVFUNKTIONER 99

ten är labil. Samma slutsats fås förstås med linearisering som ger koefficientmatri-sen

P =

[0 1

ω2 0

]

och karatäristiska polynometp(s) = s2−ω2 = (s−ω)(s+ ω) som har ett positivtnollställe.

För att sats96skall garantera asymptotisk stabilitet krävs att·

V f är negativt definit.Detta kan ibland vara svårt att åstadkomma och följande förbättring av sats96 ärdärför värdefull.

Sats 100Låt x′ = f (x) vara ett autonomt system med en isolerad jämviktspunkt i

x = 0 och V en kontinuerligt deriverbar positivt definit funktionsådan att·

Vf (x) ärnegativt semidefinit. Om x(t) ≡ 0 är den enda lösningen till x′ = f (x) som ligger i

mängden

x :

·Vf (x) = 0

är jämviktspunkten x= 0 asymptotiskt stabil.

Satsen illustrerars i exempel99nedan. Om·

Vf är negativtdefinitär

x :

·Vf (x) = 0

=

0 och den sista slutsatsen i sats96 är därför ett specialfall av sats100.

Bevis.EftersomV (x(t)) är avtagande fört ≥ 0, existerar gränsvärdeta= limt→∞V (x(t))≥0. Vidare är‖x(t)‖ begränsad och då finns också enligt Bolzano-Weierstrass sats1

en följd tn → ∞ så attx(tn) har ett gränsvärdeb dån→ ∞.

Sättyn (t) = x(t + tn) och definieray som lösningen tilly′ = f (y) medy(0) = b.Då gäller atty′n = f (yn) ochyn (0) = x(tn) och sats38 ger att

‖yn(t)−y(t)‖ ≤ ‖yn (0)−y(0)‖eLt = ‖x(tn)−b‖eLt

vilket medför atty(t) = limn→∞ yn (t) för alla t ≥ 0 där lösningarna är definierade.Speciellt gäller fört ≥ 0 attV (y(t)) är konstant eftersom

V (y(t)) = limn→∞

V (yn (t)) = limn→∞

V (x(t + tn)) = limt→∞

V (x(t)) = a

vilket medför atty(t) ∈

x :·

Vf (x) = 0

då

·V f (y(t)) =

ddt

V (y(t)) = 0

Enligt förutsättningarna i satsen innebär detta atty(t)≡ 0 och således är limt→∞V (x(t)) =a = 0 och därmed limt→∞ x(t) = 0, vilket skulle bevisas.

Exempel 101 Undersök stabiliteten i origo till systemet

x′ = −2xyy′ = x2−y3

1Se lämplig analysbok.


Lösning:

AnsatsenV (x,y) = ax2 +by2 ger

·V (x,y) = (−2xy)

∂∂x

V (x,y)+(x2−y3) ∂

∂yV (x,y)

= 2(b−2a)x2y−2by4

som medb = 2 och a = 1 ger·

V (x,y) = −4y4 som är negativt semidefinit. Omen lösning,(x(t) ,y(t)) , skall uppfylla villkoret y(t) ≡ 0 måste emellertid ocksåx(t) ≡ 0 gälla och då följer av sats100att jämvikten är asymptotiskt stabil.

Bilaga A

Några viktiga resultat från analysoch lineär algebra

101

102BILAGA A. NÅGRA VIKTIGA RESULTAT FRÅN ANALYS OCH LINEÄR ALGE BRA

Här är några viktiga begrepp och resultat från tidigare kurser samlade. Någon kän-nedom om detta är värdefullt, rentav nödvändigt ibland, om man skall hänga medi resonemang och bevis. För den som eventuellt glömt något finns referenser tillkurslitteraturen.

A.1 Euklidiska rum

Ett euklidiskt rum [4, Kap. E] eller [1, Kap. 7] är ett lineärt rumE med enskalär-produkt (u,v) [4, Def. E.II.1], [1, Kap. 7.1]. Via skalärprodukten och Cauchy-Schwarz olikhet [4, Kap. E.V] introduceras engeometri i rummet så att vi kantala om längder ‖u‖ =

√(u,u) [4, Def. E.II.3] av vektoreru ∈ E samtavstånd

‖u−v‖ ochvinklar

α = arccos

((u,v)‖u‖‖v‖

)(A.1)

mellan vektorer iE som har positiv längd.

Den viktigaste vinkeln är den räta,α = π/2, som enligtA.1 är ekvivalent med att(u,v) = 0. Två vektorer som bildar rät vinkel ärortogonala,vilket skrivsu⊥v. Förortogonala vektorer gällerPythagoras sats‖u+v‖2 = ‖u‖2+‖v‖2 eller allmänna-re

‖u1 +u2+ · · ·+un‖2 = ‖u1‖2 +‖u2‖2 + · · ·+‖un‖2 (A.2)

om (ui ,u j) = 0 för j = 1,2, . . . ,n.

En följd e1,e2, . . . av parvis ortogonala ochnormeradevektorer iE bildar ettON-system[4, Def. E.II.5], [1, Kap. 7.2]. Det skall alltså för allai och j gälla att

(ei ,ej) =

0, i 6= j1, i = j

Vektorerna i ett ON-system är alltid lineärt oberoende [4, Sats E.II.6] och omu∈Eoch v = ∑n

j=1(u,ej )ej gäller attu− v⊥ej för j = 1,2, . . . ,n [4, Lemma E.III.1].Vektornv kallasortogonala projektionenavu på detn-dimensionella underrummetV = [e1,e2, . . . ,en] som spänns upp av vektorernae1,e2, . . . ,en [4, Def. E.III.2b].ProjektionsoperatornP : u 7→ v är lineär och avA.2 följer att

‖u‖2 = ‖u−Pu‖2 +n

∑j=1

∣∣(u,ej )∣∣2 (A.3)

För varjev∈V ärPv= v och medu−v i stället föru i A.3 får vi

‖u−v‖2 = ‖u−v−P(u−v)‖2 +n

∑j=1

∣∣(u−v,ej)∣∣2

= ‖u−Pu‖2 +n

∑j=1

∣∣(u−v,ej)∣∣2 ≥ ‖u−Pu‖2

A.2. SERIER 103

vilket visar att‖u−Pu‖= minv∈V ‖u−v‖med likhet om och endast om(u−v)⊥Voch karaktäriserar därmed den ortogonala projektionenPusom den bästa approxi-mationen avu med vektorer iV (”Minsta kvadratmetoden”).

A.2 Serier

Ennumeriskserie [9, Kapitel 1]

u1 +u2+u3 + · · · =∞

∑j=1

u j (A.4)

är en följd av tal - termer - skrivna som en oändlig summa. Talen kan vara kom-plexa.

I en funktionsserie[9, Kapitel 2] är termerna i stället funktioner

u1 (t)+u2(t)+u3 (t)+ · · · =∞

∑j=1

u j (t) (A.5)

av en variabelt som också ibland är komplex. För varje fixtt är funktionsserienalltså en numerisk serie.

A.2.1 Konvergens

En numerisk serie, eller en funktionsserie för fixtt, ärkonvergent, respektivepunkt-vis konvergent, omdelsummorna

sn =n

∑j=1

u j respektivesn (t) =n

∑j=1

u j (t)

har gränsvärde dån→ +∞. Gränsvärdets eller s(t) kallas seriens summa. Alltsåär

s= limn→+∞

sn ochs(t) = limn→+∞

sn (t)

Summan till en funktionsserie är således en funktion.

A.2.2 Absolutkonvergens

Om serien

|u1|+ |u2|+ |u3|+ · · · =∞

∑j=1

∣∣u j∣∣

konvergerar är den ursprungliga serienabsolutkonvergent. Ett viktigt resultat [9,Sats 1.2.16] säger att absolutkonvergenta serier är konvergenta. Omvändningengäller däremotinte.


A.2.3 Likformig konvergens

För funktionsserier finns en på många sätt intressantare form av konvergens där vii stället för att studera skillnadens(t)−sn (t) för ettfixt värde påt i stället betraktardenmaximalaavvikelsen mellan summa och delsumma

supa≤t≤b

|s(t)−sn(t)| = ‖s−sn‖I

dåt får variera i ett intervallI = [a,b]. Omsupremumnormen‖s−sn‖I → 0 dån→+∞ är serienA.5 likformigt konvergent [9, Definition 2.1.5]. Eftersom|s(t)−sn(t)| ≤‖s−sn‖I kommer likformigt konvergenta serier alltid att konvergera punktvis. Om-vändningen gäller däremotinte.

Ett par värdefulla egenskaper hos likformig konvergens är att kontinuitet bevaras[9, Sats 2.1.8] och att funktionsserier får integreras [9, Sats 2.2.12] och ibland tilloch med deriveras [9, Sats 2.2.14] termvis.

A.2.4 Weierstrass majorantsats

Ett tillräckligt villkor för att serienA.5 skall konvergera likformigt ges i Weierstrassmajorantsats [9, Sats 2.2.5].

Sats 102Om den positiva serien∑∞j=1

∥∥u j∥∥

I är konvergent så konvergerar funk-tionsserien∑∞

j=1u j (t) likformigt på intervallet I.

Notera analogin med satsen om absolutkonvergens [9, Sats 1.2.16] för numeriskaserier.

A.3 Enkelintegraler

De viktigaste resultaten är integralkalkylens två huvudsatser. Den första handlarom integralen som funktion av den övre gränsen. Jämför [10, Sats 6.4.9].

Sats 103Om u är en integrabel funktion på intervallet a≤ t ≤ b är funktionen

U (t) =∫ t

au(τ) dτ (A.6)

kontinuerlig för a≤ t ≤ b och om integranden u är kontinuerlig i t är U deriverbardär med U′ (t) = u(t).

Den andra om sambandet mellan integral och primitiv funktion. Jämför [10, Sats6.4.10].

A.4. DUBBELINTEGRALER 105

Sats 104Om U är kontinuerlig på intervallet a≤ t ≤ b och deriverbar i a< t < bmed u= U ′ gäller att ∫ b

au(t) dt = U (b)−U (a) (A.7)

förutsatt att u är integrabel på a≤ t ≤ b.

A.4 Dubbelintegraler

Dubbelintegralen∫∫

D u =∫∫

D u(s, t)dsdt av en integrabel funktionu över enrek-tangel D= s, t : a≤ s≤ b,A≤ t ≤ B kan beräknas som två kapslade enkelinte-graler så att vi antingen har

∫∫

Du =

∫ B

A

(∫ b

au(s, t)ds

)dt

eller ∫∫

Du =

∫ b

a

(∫ B

Au(s, t)dt

)ds

förutsatt att funktionernat 7→ ∫ ba u(s, t)ds och s 7→ ∫ B

A u(s, t)dt existerar för allat ∈ [A,B] respektives∈ [a,b]. Eftersom det alltså gäller att

∫ B

A

(∫ b

au(s, t)ds

)dt =

∫ b

a

(∫ B

Au(s, t)dt

)ds (A.8)

utnyttjas A.8 ofta för att kasta om integrationsordningen när man har kapsladeenkelintegraler.

A.5 Parameterintegraler

Funktioner av formen

F (x) =

∫ b

af (x, t)dt (A.9)

kallas parameterintegraleroch spelar en viktig roll i matematiken. Integrations-intervallet (a,b) behöver inte vara begränsat. Laplacetransformen medf (x, t) =e−stu(t) och faltningsintegralen medf (x, t) = g(x− t)h(t) är två specialfall meddirekt anknytning till den här kursen medan Cauchys integralformel

f (z) =1

2π i

∮

Γ

f (ς)dςς −z

är välkänt exempel för alla som läst komplex analys.


Det man ofta vill veta om en parameterintegral är när funktionenF är deriverbaroch när formeln

F ′ (x) =∫ b

a

∂ f∂x

(x, t)dt (A.10)

gäller. En bra utredning av detta finns i [10, Kapitel 5, avsnitt 5.1].

Bilaga B

Inversionsformeln

107

108 BILAGA B. INVERSIONSFORMELN

Sats 105Antag att U= L u är definierad i halvplanetRes> q. Då gäller förvarje t > 0 där u är kontinuerlig att

u(t) = limn→+∞

(−1)n nn+1U (n) (n/t)tn+1n!

, n∈ N (B.1)

Vi visar formeln (B.1) i specialfallet dåt = 1. Det allmänna fallet får vi sedan enkeltgenom att utnyttja att omg(t) = u(at) för a> 0 så ärg(s) = u(s/a)/a. Detaljernalämnas som övning.

Bevis. Låt u : [0,∞[→ C vara integrerbar över ändliga delintervall till[0,∞[ medlaplaceintegralenU(s) =

∫ ∞0 u(t)e−st dt absolutkonvergent för Res> q. Vi ska visa

att

u(1) = limn→+∞

(−1)nnn+1U (n) (n)

n!, n∈ N

om u är kontinuerlig it = 1.

TransformenU(s) har enligt sats58 derivatorna

U (n)(s) = (−1)n∫ ∞

0tnu(t)e−st dt, Res> q

och det gäller därmed att

(−1)n nn+1U (n) (n)

n!=

nn+1

n!

∫ ∞

0tnu(t)e−nt dt

Vi inför funktionen

ϕn(t) =nn+1

n!tne−nt

och noterar att∫ ∞

0 ϕn (t) dt = 1, ϕ (t) ≥ 0 för t ≥ 0 och attϕ (t) har för t ≥ 0sitt maximum it = 1, n = 1,2,3, . . .. För den fortsatta undersökningen behöver visedan en uppskattning av funktionernaϕn(t) på intervall av formen|t −1| > δ >0, t > 0. Sätt därför

k = sup

te−t : |t −1| > δ , t > 0

En enkel funktionsundersökning visar att 0< k< e−1 och vi får därmed för|t −1|>δ , t > 0 att

ϕn+1(t)ϕn(t)

=

(1+

1n

)n+1

te−t ≤(

1+1n

)n+1

k < 1

om n är tillräckligt stort, säg förn≥ N. Vidare gäller att följden(1+1/n)n+1

∞

1

är avtagande och sätter vi(1+1/N)N+1 k = p < 1 så får vi förn≥ N att

ϕn+1(t) ≤ ϕn(t)

(1+

1n

)n+1

k≤ pϕn(t) ≤ ·· · ≤ pn+1−NϕN (t)

109

om |t −1| > δ , t > 0.

Vi betraktar integralerna

∫ 1−δ

0ϕn (t)(u(t)−u(1))dt,

∫ ∞

1+δϕn(t) (u(t)−u(1)) dt, n > q

Man har för båda integranderna uppskattningarna

ϕn(t) |u(t)−u(1)| ≤ pn−NϕN (t) |u(t)−u(1)| , n > N

där vi kan anta att vi valtN > q i den tidigare undersökningen. Det ger att

∫ 1−δ

0ϕn(t) (u(t)−u(1)) dt → 0,

∫ ∞

1+δϕn(t) (u(t)−u(1)) dt → 0, n→ ∞

eftersomqn−N → 0 och

∫ ∞

0ϕN (t) |u(t)−u(1)|dt =

nn+1

n!

∫ ∞

0tNe−Nt |u(t)−u(1)|dt < ∞

Detta ger sedan med standardteknik attIn =∫ ∞

0 ϕn(t)u(t) dt → u(1) dån→ ∞. Tyantag attε > 0 är given. Kontinuiteten it = 1 ger då att det finns ettδ > 0 sådantatt |u(t)−u(1) | < ε för |t −1| ≤ δ . Vi gör därefter en uppdelning

In−u(1) =

∫ ∞

0ϕn (t)(u(t)−u(1)) dt =

∫ 1−δ

0ϕn(t)(u(t)−u(1)) dt

+

∫ 1+δ

1−δϕn(t) (u(t)−u(1)) dt+

∫ ∞

1+δϕn(t) (u(u)−u(1))dt

Här kan vi få beloppen av de båda yttre integralerna< ε omn tillräckligt stort, sägför n > n0. För den mellanliggande integralen får vi att

∣∣∣∣∫ 1+δ

1−δϕn(t) (u(t)−u(1)) dt

∣∣∣∣≤∫ 1+δ

1−δϕn(t) |u(t)−u(1)|dt

≤∫ 1+δ

1−δϕn(t)ε dt ≤

∫ ∞

0ϕn(t)ε dt = ε

och det följer därmed att|In−u(1)| < 3ε dån > n0

En noggrannare analys av beviset för inversionssatsen visar att påståendet i satsenär meningsfullt även för värden påt där u har en språngdiskontinuitet. Man kanvisa att följande gäller.

Sats 106Antag att U= L u är definierad i halvplanetRes> q. Då gäller förvarje t0 > 0 där höger- och vänstergränsvärdena u(t0±) = limt→t0±u(t) existeraratt

u(t0+)+u(t0−)

2= lim

n→+∞

(−1)n nn+1U (n) (n/t0)

tn+10 n!

, n∈ N (B.2)

110 BILAGA B. INVERSIONSFORMELN

Litteraturförteckning

[1] Karl Gustav Andersson,Lineär algebra,Studentlitteratur 2000.

[2] Karl Gustav Andersson, Lars-Christer Böiers,Ordinära differentialekvationer,Studentlitteratur 1989.

[3] Edwards & Penney.Differential Equations, Computing and Modelling 3E.Pe-arson/Prentice Hall 2004.

[4] Peter Hackman.Kossan.Linköping 1999.

[5] Peter Hackman.Krypa-gå, Linjära algebrans tekniska och geometriska grun-der.Linköping 1999.

[6] Kurt Hansson.Laplacetransformer och lineära system.Kompendium MAI.

[7] Kurt Hansson.Introduktion till Maple.(pdf-dokument).

[8] Mats Neymark.Kompletterande teorikompendium. Analys en variabel.Kom-pendium MAI.

[9] Mats Neymark.Kompendium om konvergens.Kompendium MAI.

[10] Arne Persson, Lars-Christer Böiers.Analys i flera variabler.Studentlitteratur1996.

[11] Arne Persson, Lars-Christer Böiers.Analys i en variabel.Studentlitteratur1990.

111

FÖRELÄSNINGAR OM ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

Documents

Transcript of FÖRELÄSNINGAR OM ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER