1

Resumen -- En este trabajo se presenta una simplificación en el cálculo de la frecuencia natural de oscilación presentado por VDE 0103 para dos conductores por fase, el cual permite la aplicación de manera directa del procedimiento de dicha normativa. Mediante los resultados obtenidos en las simulaciones computacionales utilizando el método de los elementos finitos y luego de un procesamiento adecuado de las variables de interés, se llega a obtener una fórmula aproximada para el cálculo de la frecuencia natural de oscilación del conjunto de barras con montaje vertical y horizontal. La obtención de ésta, es fundamental para cuantificar el esfuerzo en barras como también del aislador soporte. Se presenta finalmente algunos ejemplos de cálculos donde se obtienen resultados satisfactorios.

Key words -- Barras colectoras de energía, diseño de barras, frecuencia natural de oscilación.

I. NOMENCLATURA

fo frecuencia característica (s-1). f frecuencia de operación del circuito en (s-1). C1 Factor que contempla la influencia de

frecuencia de los distanciadores (adimensional). C2 Factor que contempla la influencia de las masas

y rigidez de los conductores principales (adimensional).

C3 Factor que contempla la incidencia del ángulo de flexión (adimensional).

At Sección transversal de cada conductor en (cm2). Ae Sección transversal del conductor en el período

elástico en (cm2). A Sección total transversal en (cm2). Je Momento de inercia del conductor principal en

el periodo elástico en (cm4). J Momento de inercia del conductor en (cm4). le Longitud de una rama elástica de conductor en

(cm). ue factor de asimetría presentada en [3]. gt Peso de la barra en (Kg/cm)

G. E. Kazlauskas trabaja en el Área Eléctrica del Departamento de

Electromecánica de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNICEN) en Av. Del Valle 5737, (B7400JWI) Olavarría, Argentina. (e-mail: gkazlaus@ieee.org).

M. I. Montanaro trabaja en el Área Estructuras del Departamento de Civil de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNICEN) en Av. Del Valle 5737, (B7400JWI) Olavarría, Argentina. (e-mail: mmontana@fio.unicen.edu.ar).

Ft Fuerza entre conductores parciales en (Kg). Fh Fuerza entre conductores principales en (Kg). m Masa en (Kg) k Fuerza de inercia en (N/m) û Aceleración en (m/s2). õ Desplazamiento en (m) la Distancia entre soportes en (cm). C’1 Influencia de los distanciadores en ( l - la). C’2 Influencia de las masa y rigidez en ( l - la). α Angulo con respecto a la vertical.

II. INTRODUCCIÓN

as fuerzas de atracción o de repulsión que se generan durante un cortocircuito trifásico, bifásico o monofásico

en un sistema de barras producen deformaciones reversibles o permanentes. En las primeras, originadas por la corriente de choque o de impulso [1], producen deformaciones que se encuentran dentro del periodo elástico y causan movimientos que son oscilatorios y proporcionales a la frecuencia de la red. Concretamente, la fuerza instantánea producida por la corriente depende del doble de la frecuencia de la red [2].

Si la frecuencia natural de oscilación (frecuencia fundamental) de las barras coincide con la vibración producida por esta fuerza, se origina una situación de resonancia. Tal estado, produce la amplificación de los esfuerzos los que pueden originar, si no están preparados, la rotura de las barras o del aislador soporte.

El procedimiento de cálculo presentado en VDE 0103 [3] contempla el uso de factores que sobredimensionan tanto las barras como los aisladores del soporte mecánico. Otra alternativa práctica con el fin de evitar esta situación, es verificar en primera instancia las cercanías de estas frecuencias, la que puede ser corregida mediante la variación de su longitud.

En la etapa de diseño, cuando se excede la corriente nominal normalizada de un conductor, es necesario proponer arreglos con dos o más subconductores por fase. Esta situación permite obtener bajas densidades de corrientes minimizando los efectos skin y proximidad [4] obteniéndose una distribución casi uniforme.

Para múltiples conductores por fase, es frecuente agregar refuerzos con el fin de incrementar la robustez mecánica con la inclusión de distanciadores, los que inciden sustancialmente en la frecuencia natural de oscilación del conjunto. El montaje

Una Nueva Forma de Calcular la Frecuencia Natural de Oscilación en Múltiples Barras

Colectoras de Energía G. E. Kazlauskas, Member, IEEE, and M. I. Montanaro

L

2

típico de conductores principales y con distanciadores se muestra en la fig. 1.

Fig. 1 Montaje de distanciadores en múltiples barras por fase para montaje vertical. El material utilizado en la construcción de los distanciadores es el mismo que se emplea en los conductores principales, los que normalmente son de cobre o aluminio. Por otro lado, la cantidad de ellos, depende de la magnitud de la tensión originada por la fuerza, variando normalmente de 1 a 4, en función de la tensión de fluencia del material. La tensión de fluencia se obtiene mediante el procedimiento denominado método del corrimiento para una deformación del 0.2% [5]. El procedimiento VDE 0103 contempla en el diseño, la incidencia de los distanciadores en la frecuencia natural de resonancia los que son introducidos con varias consideraciones de sumo cuidado presentados en forma gráfica, que hacen que el mismo sea engorroso y requiera de un elevado tiempo para el diseño; que se realiza habitualmente en forma manual. Este artículo propone una forma de trabajo que simplifica notablemente los cálculos y permite encontrar la frecuencia natural de oscilación del conjunto de barras mediante la aplicación de expresiones empíricas permitiendo el cálculo sistematizado del mismo en forma directa.

III. MÉTODO TRADICIONAL DE CÁLCULO PARA LA FRECUENCIA NATURAL DE OSCILACIÓN.

El problema de vibración de flexión es tratado en la bibliografía convencional partiendo de la vibración longitudinal según [6]. En primera instancia, se comienza a estudiar la vibración de una cuerda. La ecuación del movimiento es derivada por la ley de Newton para un pequeño elemento dx de la cual se asume que la tensión es constante. Luego de varios arreglos matemáticos se plantea la ecuación diferencial y su solución, de la que se obtienen las infinitas curvas elásticas para cada frecuencia natural. El movimiento de cada uno de estos modos, es semejante a la amplitud que se produce por varios puntos en una cuerda con armónicas superpuestas. Luego, de esta se obtiene también la vibración de flexión para una barra uniforme que es:

t2 g

JEl

112f

⋅⋅=∞ (1)

La frecuencia natural de oscilación que se produce en una única barra, es determinada por (1) y varía según el material

utilizado, la geometría, el tipo de montaje y su longitud. Por otro lado, para múltiples conductores por fase es necesario introducir distanciadores en un número adecuado el que depende de los esfuerzos producidos por la corriente de cortocircuito. Por lo tanto, el uso de estos refuerzos, modifica sustancialmente el valor de frecuencia natural de oscilación del conjunto. Por tal motivo, en [3] se propone el uso de (2).

321o CCC

ff

ff

⋅⋅⋅

= ∞ (2)

La razón f∞/f se obtiene de manera gráfica mediante la propuesta en [3] o bien mediante la utilización de las expresiones basadas en la ecuación (1) según el tipo de material utilizado en el diseño, las que se muestran a continuación:

4

t2

10AJ

l49.2

ff

⋅⋅=∞ ( Cu ) (3)

4

t2

10AJ

l42.3

ff

⋅⋅=∞ ( Al ) (4)

De acuerdo a la expresión dada en (2) es necesario calcular los factores C1, C2 y C3. Todos ellos a excepto de C3, contemplan la incidencia de los refuerzos sobre la frecuencia natural de oscilación, los que tienen en cuenta distintas consideraciones. Para el cálculo de C1 es necesario obtener la relación de pesos de cada distanciador (G) y el total de las barras principales (t .gt .l), conocer la disposición del montaje (vertical u horizontal), el número de distanciadores para finalmente obtener el valor de C1 mediante la gráfica mostrada en [3]. Siendo t el número de conductores por fase. Para encontrar la relación de masas y rigidez en las barras principales C2 es necesario aplicar una expresión que en su forma simplificada es la ecuación (5).

eee

e

3

e

e

2

ull

AA

1

ull

JJ

161

1

C⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅+

= (5)

El factor ì e se obtiene mediante un gráfico en función de la longitud le / l que es mostrada en [3].

Finalmente, el factor C3 tiene en cuenta el ángulo de las barras respecto a la vertical. Para el cálculo del mismo se propone según [3] la ecuación (6).

)sin(1CCCC

lll

1C21

'2

'1

2

a3 α

−

⋅⋅

⋅

−

+= (6)

Como puede verse en las expresiones (5) y (6), hay que tener en cuenta muchos factores y variables, resultando lento el avance durante el diseño; y por otro lado, algunos de ellos se obtienen con el auxilio de gráficos impidiendo así el

3

desarrollo de programas sencillos. Por tal motivo, que se busca una solución alternativa, la que se presenta a continuación.

IV. MEJORA PROPUESTA.

Con el fin de acelerar y simplificar los cálculos se propone mejorar y optimizar dicho procedimiento presentado en el punto anterior. Para ello, suponiendo que el ángulo de flexión en la expresión (2) no tiene incidencia, ya que el montaje de las barras es vertical u horizontal, entonces el factor C3=1. Por lo que se llama al factor Ceq a:

21eq CCC ⋅= (7)

El Ceq que se obtiene es equivalente a considerar ambos factores y este se ha conseguido mediante la simulación computacional utilizando el software ALGOR® cuyas características y simplificaciones se comentan en el próximo punto.

V. MODELACIÓN DE LAS BARRAS EN ALGOR®.

A. Introducción. Las características dinámicas más importantes en el diseño

de barras son las frecuencias naturales y el amortiguamiento. La respuesta dinámica depende, además de otras propiedades, de la capacidad de disipar energía por el material y de las variaciones en las propiedades del mismo causadas por la velocidad de aplicación de la carga. Un sistema continuo tiene infinitas frecuencias y modos de vibración. En este caso, se necesitan las frecuencias fundamentales en las dos posiciones de las barras deseadas [6].

El soft Algor es básicamente un programa de elementos finitos. La definición más general del Método de los Elementos Finitos (MEF) es un método aproximado de solución numérica de una ecuación diferencial. Para establecer una descripción cuantitativa de un problema físico es necesario plantear un sistema de ecuaciones diferenciales que son válidas en una cierta región y están sujetas a determinadas condiciones iniciales y de borde. Ante la imposibilidad de la solución analítica de las ecuaciones diferenciales es que nace el MEF, que propone una división del problema en pequeños elementos de configuración geométrica adecuada para hacer posible el tratamiento individual en forma analítica. En el método de los elementos finitos, el continuo analizado es sustituido por un número finito de subdominios interconectados entre sí en un número finito de puntos llamados nodos. El comportamiento dinámico del continuo original está gobernado por las leyes de la Mecánica del Medio Continuo. En el método de los elementos finitos las funciones solución no se definen en todo el continuo, sino que sus valores numéricos se calculan únicamente en los nodos. La función solución se obtiene en cualquier otro punto del continuo utilizando las funciones de interpolación adecuadas. La exactitud de la solución depende del número de elementos empleados en la discretización del continuo, así como del tipo de funciones de interpolación utilizadas (lineal en este caso).

El programa cuando realiza un análisis modal, da los resultados de frecuencias en todas las direcciones y se elige la que corresponde a la posición de la barra deseada.

La ecuación de movimiento que resuelve esta aplicación es:

0k m..

=⋅+⋅ υυ (8)

B. Condiciones de vínculos. Las simulaciones se realizaron utilizando un elemento

tridimensional denominado “brick” de 8 nodos. Para las barras en montaje vertical y horizontal, las condiciones de borde son las que se muestran en la fig. 2(a) y (b) respectivamente.

(a) Barras verticales (b) Barras horizontales.

Fig. 2. Condiciones de vínculos.

C. Descripción de modelos. Se han simulados algunos casos de barras de 100x10, 50x5

y 20x5 [mm] de sección rectangular para todas las longitudes normalizadas. Para cada una de ellas, se han considerado múltiples conductores por fase y en particular la de dos barras en montaje vertical y horizontal, tal como se muestra la fig. 3.

(a) Montaje Vertical (b) Montaje horizontal Fig. 3. Disposición de barras analizadas

Se realizaron simulaciones hasta lograr la discretización (cantidad de elementos finitos) que asegurara la convergencia de resultados. La cantidad de elementos empleados en las distintas simulaciones depende de la longitud de la barra y su sección transversal. Para la sección transversal de 100x10 [mm] (llamado B1), se utilizaron elementos de 20x10x10, para la de 50x5 [mm] (llamado B2) elementos de 5x10x5 y finalmente para la sección de 20x5[mm] (llamado B3) las dimensiones de los elementos son 5x5x5.

Las propiedades del aluminio introducidas en las simulaciones son: módulo de elasticidad de 6.9637x1010 N/m2, densidad de 2703.8 kg/m3 y un coeficiente de Poisson de 0.36.

D. Resultados obtenidos y procesamiento de la información. Los resultados obtenidos en las diferentes corridas se

muestran en el Apéndice. En las tablas IV y V, se muestra que

Barras

Distanciador

4

las mismas se encuentran tabuladas en función de su longitud y de las frecuencias naturales de oscilación del conjunto.

Se presentan en las figs. 4 y 5 las imágenes tridimensionales de los modos de vibración fundamentales para los montajes de barras en vertical y horizontal. Para el montaje vertical el eje donde se produce la frecuencia fundamental es el XZ y para el montaje horizontal se produce en el plano YZ.

(a) Vista transversal (b) Vista tridimensional. Fig. 4 Flexión de la barra en montaje vertical.

(a) Vista transversal (b) Vista tridimensional. Fig. 5 Flexión de la barra en montaje Horizontal.

TABLA I

COMPARACIÓN ENTRE EL MÉTODO TRADICIONAL Y SIMULACIÓN PARA BARRAS DE 100 X 10 [MM] EN MONTAJE VERTICAL

L [mm]

1D [Hz]

2D [Hz]

3D [Hz]

Sim* Ana** Sim* Ana** Sim* Ana** 150 28.81 23.62 40.16 43.43 47.13 43.28 200 15.32 13.56 21.64 24.97 26.07 24.89 250 9.49 9.04 13.39 16.58 16.31 16.52 300 6.48 6.44 7.15 9.13 10.58 11.21

TABLA II COMPARACIÓN ENTRE EL MÉTODO TRADICIONAL Y SIMULACIÓN PARA

BARRAS DE 100 X 10 [MM] EN MONTAJE HORIZONTAL L

[mm] 1D

[Hz] 2D

[Hz] 3D

[Hz] Sim* Ana** Sim* Ana** Sim* Ana**

150 192.6 227.3 192.6 264.7 192.6 234.2 200 113.5 131.8 112.4 141.3 113.5 136.5 250 74.7 83.0 74.7 89.1 74.7 86.4 300 52.8 60.4 52.8 64.6 52.8 63.1

*Simulación en Algor ® ** Calculo analítico presentado en punto 2.

En la tabla I y II se muestran algunas comparaciones entre

el método tradicional presentado en el punto 2 y los

encontrados mediante la simulación en Algor® para barras de 100x10[mm] en montaje horizontal y vertical con 1D un distanciador, 2D dos distanciadores y 3D tres distanciadores

Como puede observarse de la tabla I para montaje vertical existe un error cercano al 20% en los casos más extremos y en longitudes medias disminuye considerablemente. Con respecto al montaje horizontal se observa que en la simulación la frecuencia de oscilación de la barra con 1, 2 o 3 distanciadores no varía, cosa que si sucede levemente en el cálculo analítico.

� ��� ��� �� � � ��� ���� � �� �� � �� �������� �� � �� � ��� ������ ������������ ��� �� ��� ���� ���� � � � � � ��� ���� �� ! !�" #" # $$�%%�� #� #�&�'&�')((

*+-, ./-0 12-3 45-6 788:9 ;8:9 <

= =-9 =>=?; =�9 =>=>< =-9 =>=:@ =-9 =>=:A =-9 =:8 =-9 =:8B;C C DD E EF G FF G F H H

I JI JK KL M N>L O O P>L OQ R S T U VBTW X Y ZB[ \B]

Fig. 6 Valores de Ceq para 1 distanciador en montaje vertical y para los tres casos analizados.

Barras rectangulares en montaje vertical 2 Distancadores

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012

G/g.t.L

Ceq

2D_100x10

2D_50x5

2D_20x5

Fig. 7 Valores de Ceq para 2 distanciador en montaje vertical y para los tres casos analizados.

^ ^`__a a a a _ _b�ab�a cc�ddfee _ _g�hg�h�i�ji�j _ _aa c c�bb�cc gglkk�m�gm)g ee _ _�nn c c�oo�c caa e e p p d d�__q�rq�r`ss t t�uu v v ww xx ss v vyy�zz�{{ | |ft t

}

~�� �

�

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�

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� �:� �>�?� �:� �>�>� �:� �>�:� �:� �>�?� �:� ��� �:� ��� �� � � �� ��� � � �� � � �

� �� �� �3D_100x10

3D_50x5

3D_20x5

Fig. 8 Valores de Ceq para 3 distanciador en montaje vertical y para los tres casos analizados.

Barras rectangulares en montaje horizontal 1, 2 y 3 Distanciadores

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012

G/g.t.L

Ceq

100x1050x520x5

Fig. 9 Valores de Ceq para 1, 2 y 3 distanciadores en montaje horizontal y para los tres casos analizados.

Fh

Fh

Fh

Fh

5

Por otro lado, en el procedimiento analítico mostrado en la tabla I y II, existen los mismos factores de C1 para 1 y 2 distanciadores en montaje horizontal, y disminuye notablemente para 3 distanciadores según [3]. Del mismo modo, pero ahora en montaje vertical existe paridad para 2 y 3 distanciadores en montaje vertical. Para un mejor análisis de los datos, se ha optado por graficar las frecuencias naturales de las barras mediante el procedimiento presentado en [3] y sintetizado en la ecuación (2). Por otro lado, de acuerdo a la propuesta presentada en la ecuación (7), es necesario excluir la frecuencia natural de oscilación de una única barra en montaje horizontal o vertical. La misma está dada por la relación (f∞/f) mostrada en las ecuaciones (3) o (4). Entonces, en la tabla VI del Apéndice se muestran los valores encontrados mediante la expresión (4), es decir para una única barra y en ambos montajes. Una vez procesados estos datos sobre la base de lo expresado anteriormente, es posible presentarlos de manera diferente los que se muestran en las figs. 6, 7, 8 y 9. En estas, se han graficado según la propuesta [3], es decir con respecto al peso del distanciador y el peso total de la barra. Como puede apreciarse para cada sección transversal y cantidad de distanciadores se modifica sustancialmente el valor de Ceq. Por ende, mediante este tratamiento es posible obtener expresiones analíticas involucrando las variables mencionadas. Las mismas se han conseguido utilizando regresión numérica lineal y ajustes manuales las que se presentan para cada caso a continuación.

E. Resultados obtenidos sobre la base de las expresiones propuestas.

Para las barras rectangulares en montaje vertical (Fig. 3a), se propone el uso de la siguiente expresión:

lgtG

A5.9n05.1Ct

eq ⋅⋅⋅⋅+⋅= (9)

Del mismo modo, pero ahora para el montaje horizontal (Fig. 3b), se propone:

lgtG

A5.905.1Ct

eq ⋅⋅⋅⋅+= (10)

Donde cada uno de los términos involucrados en las expresiones (9) y (10) fueron definidos en las expresiones utilizadas anteriormente a excepción de n que es el número de distanciadores. Como puede observarse en (10) esta expresión no depende del número de distanciadores tal como se observó en la fig. 9. De la aplicación de las ecuaciones (9) y (10), conjuntamente con las expresiones (2) y (4) y para el caso de un diseño de barras en aluminio, surgen los siguientes resultados que son mostrados en la tabla III.

TABLA III ERRORES MÁXIMOS ENCONTRADOS MEDIANTE LA APLICACIÓN DEL

MÉTODO PROPUESTO. II* 1D[%] 2D [%] 3D[%] =**[%]

100x10 3.24 -4.70 5.29 1.33 50x5 0.86 6.38 4.18 -1.28 20x5 -3.25 -1.82 0.96 -1.82

* Montaje vertical ( fig. 3a), ** Montaje horizontal (Fig. 3b)

La nomenclatura utilizada en la tabla III, es de (II) dos barras paralelas en montaje vertical y (=) dos barras paralelas en montaje horizontal. Como puede observarse en la tabla III los errores máximos obtenidos en el cálculo de la frecuencia natural de oscilación para los casos estudiados del universo de simulaciones, no es excesivo tomando como referencia las aplicaciones prácticas. De este último párrafo, permite asegurar que el método propuesto, es representativo o equivalente al desarrollado en el punto III.

VI. CONCLUSIÓN.

Mediante la simulación computacional y específicamente con el software ALGOR®, se han encontrado las frecuencias naturales de oscilación de varios conjuntos de barras los que fueron procesados convenientemente hasta llegar a encontrar una expresión matemática que pudiera representar a cada caso en particular. La aplicación de estas expresiones arrojaron un error máximo de 6.4% para algunos casos extremos en su longitud. Con esta simplificación propuesta en el diseño de las barras, se mejora fundamentalmente el tiempo empleado en el diseño de las mismas y puede realizarse de manera directa sin el uso de figuras o gráficos complementarios. El uso de estos gráficos, desarrollados para el cálculo manual, son difíciles de reproducir para utilizarlos con algún software de diseño. Es por ello que disponiendo de estas expresiones se puede sistematizar el diseño de barras mediante el uso de herramientas computacionales; como son, por ejemplo las planillas electrónicas.

Finalmente, se han presentado varios ejemplos los que pudieron ser convalidados por el procedimiento tradicional presentado en VDE 0103. Este método ha sido extensamente usado en nuestro país, el que ha sido aceptado y aprobado por todos los especialistas, el cual constituye una forma confiable de diseño.

VII. APÉNDICE. TABLA IV

FRECUENCIA NATURALES DE OSCILACIÓN PARA BARRAS CON 1, 2 Y 3 DISTANCIADORES EN MONTAJE VERTICAL.

Montaje Vertical Montaje Vertical 1 Distanciador 2 Distanciador f [Hz] f [Hz]

l[m] B1 B2 B3 B1 B2 B3 1 30.3 27.6 43.8 47.6

1.1 24.8 22.7 35.6 39.6 1.2 20.6 18.9 29.4 32.9 1.3 17.4 16.0 25.0 28.3 1.4 14.8 13.8 21.3 24.1 1.5 28.8 12.8 12.0 40.2 18.3 21.1 1.6 24.9 11.2 10.5 34.8 16.1 18.4 1.7 21.9 9.9 9.3 30.7 14.1 16.4 1.8 19.3 8.8 8.3 27.1 12.5 14.5 1.9 17.1 7.8 7.4 24.0 11.2 13.1 2.0 15.3 7.0 6.7 21.6 10.1 11.8 2.1 13.8 19.4 2.2 12.5 17.6 2.3 11.3 16.1 2.4 10.3 14.6 2.5 9.5 13.4 2.6 8.7 12.4 2.7 8.1 11.4 2.8 7.5 10.5 2.9 6.9 9.8 3 6.4 9.1

6

TABLA V FRECUENCIAS NATURALES DE OSCILACIÓN PARA BARRAS CON 1, 2 Y 3

DISTANCIADORES EN MONTAJE VERTICAL Y HORIZONTAL. Montaje Vertical Montaje Horizontal 3 Distanciador 1, 2 y 3 Distanciador

l[m] B1 B2 B3 B1 B2 B3 1 51.5 47.6 226.6 95.1

1.1 42.0 36.6 191.3 79.2 1.2 35.3 32.9 162.4 67.0 1.3 29.7 28.3 139.5 57.4 1.4 25.7 24.1 121.2 49.7 1.5 47.1 22.1 21.1 192.6 106.2 43.5 1.6 41.5 19.5 18.4 171.3 93.9 38.4 1.7 36.4 14.1 16.4 153.3 83.9 34.1 1.8 32.5 15.3 14.5 137.9 74.9 30.5 1.9 28.9 13.6 13.1 124.8 67.5 27.5 2.0 26.1 12.3 11.8 113.5 61.1 24.8 2.1 23.4 103.6 2.2 21.4 94.9 2.3 19.4 87.4 2.4 17.8 80.6 2.5 16.3 74.7 2.6 15.1 69.3 2.7 13.9 64.5 2.8 12.9 60.2 2.9 12.0 56.3 3 11.2 52.8

TABLA VI

FRECUENCIAS NATURALES DE OSCILACIÓN PARA UNA BARRA. l

[m] Frecuencia natural en [Hz] Montaje vertical

Frecuencia natural en [Hz] – Montaje horizontal

100 x 10 50x5 y 20x5 100 x 10 50x5 20x5 0.1 5016,5 2508,3 50165 25082 10033 0.2 1254.1 627.06 12541 6270.6 2508.3 0.3 557.39 278.69 5573.9 2786.9 1114.8 0.4 313.53 156.77 3135.3 1567.7 627.06 0.5 200.66 100.33 2006.6 1003.3 401.32 0.6 139.35 69.67 1393.5 696.74 278.69 0.7 102.38 51.19 1023.8 511.89 204.76 0.8 78.38 39.19 783.83 391.91 156.77 0.9 61.93 30.97 619.32 309.66 123.86 1.0 50.17 25.08 501.65 250.83 100.33 1.1 41.46 20.73 414.59 207.29 82.92 1.2 34.84 17.42 348.37 174.18 69.67 1.3 29.68 14.84 296.83 148.42 59.37 1.4 25.59 12.80 255.94 127.97 51.19 1.5 22.30 11.15 222.96 111.48 44.59 1.6 19.60 9.80 195.96 97.98 39.19 1.7 17.36 8.68 173.58 86.79 34.72 1.8 15.48 7.74 154.83 77.42 30.97 1.9 13.90 6.95 138.96 69.48 27.79 2.0 12.54 6.27 125.41 62.71 25.08 2.1 11.38 5.69 113.75 56.88 22.75 2.2 10.36 5.18 103.65 51.82 20.73 2.3 9.48 4.74 94.83 47.41 18.97 2.4 8.71 4.35 87.09 43.55 17.42 2.5 8.03 4.01 80.26 40.13 16.05 2.6 7.42 3.71 74.21 37.10 14.84 2.7 6.88 3.44 68.81 34.41 13.76 2.8 6.40 3.20 63.99 31.99 12.80 2.9 5.96 2.98 59.65 29.82 11.93 3.0 5.57 2.79 55.74 27.87 11.15 3.1 5.22 2.61 52.20 26.10 10.44 3.2 4.90 2.45 48.99 24.49 9.80 3.3 4.61 2.30 46.07 23.03 9.21 3.4 4.34 2.17 43.40 21.70 8.68 3.5 4.10 2.05 40.95 20.48 8.19 3.6 3.87 1.94 38.71 19.35 7.74 3.7 3.66 1.83 36.64 18.32 7.33 3.8 3.47 1.74 34.74 17.37 6.95 3.9 3.30 1.65 32.98 16.49 6.60 4.0 3.14 1.57 31.55 15.68 6.27

VIII. AGRADECIMIENTOS.

Los autores de este trabajo desean agradecer el apoyo

brindado por la Secretaría de Ciencia y Técnica de la UNICEN.

IX. REFERENCIAS.

[1] Richard Roeper, “Corrientes de cortocircuitos en redes trifásicas”,

Siemens, 1985. [2] Enriquez Harper, “Elementos de diseño de Subestaciones eléctricas”,

Ed. Sumisa S.A, 1979. [3] Siemens Aktiengesellschaft, “Electrical Engineering Handbook”,

Siemens, 1969. [4] Branko D. Popovic, “Introductory Engineering Electromagnetics”,

Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Second Printing, May 1973.

[5] Gere, J.,Timoshenko, S, “Mecánica de materiales”, Internacional Thomson Editores, Cuarta edición, 1997.

[6] Clough, R.W., Penzien, J., “Dynamics of Structures”, Editorial McGraw-Hill, Inc., Segunda edición, 1995.

X. BIOGRAFIAS.

Gustavo Kazlauskas (S’97, A’98 , M’03 ) nació en Salliqueló, Pcia. de Buenos Aires, Argentina el 13 de Diciembre de 1962. Se graduó en la Universidad Nacional del Centro de la Pcia. de Buenos Aires como Ingeniero Electromecánico y en la Universidad de Concepción, Chile de Magíster en Ciencias de la Ing. con mención en Ing. Eléctrica en 1992 y 1998 respectivamente.

Sus áreas de interés son optimización de las instalaciones eléctricas, calidad de servicio y formas de compensación en sistemas industriales y urbanos de energía.

María Inés Montanaro nació en Olavarría, Pcia. de Buenos Aires, Argentina el 22 de Agosto de 1972. Se graduó en la Universidad Nacional del centro de la Pcia. De Buenos Aires como Ingeniera en Construcciones en 1996, y en la Universidad Nacional de Tucumán, Pcia. de Tucumán, Argentina de Magíster en Ing. Estructural en 1999.

Sus áreas de interés son dinámica de estructuras, simulación numérica utilizando elementos finitos y modelos constitutivos.