Frazioni Continue, Continue Riforme - WordPress.com · 2011. 4. 12. · Frazioni continue e numeri...
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Frazioni Continue, Continue Riforme
Alessandro Logar
30 marzo 2011
Alessandro Logar Frazioni Continue, Continue Riforme
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Esempio
501217
= 2.308755760368663594470046082949
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Esempio
501217
= 2.308755760368663594470046082949∼= 2
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Esempio
501217
= 2.308755760368663594470046082949∼= 2∼= 2 +
13
(= 2.3333333333 . . . )
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Esempio
501217
= 2.308755760368663594470046082949∼= 2∼= 2 +
13
(= 2.3333333333 . . . )
∼= 2 +1
3 +14
(= 2.307692308 . . . )
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Esempio
501217
= 2.308755760368663594470046082949∼= 2∼= 2 +
13
(= 2.3333333333 . . . )
∼= 2 +1
3 +14
(= 2.307692308 . . . )
∼= 2 +1
3 +1
4 +15
(= 2.308823529 . . . )
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Esempio
501217
= 2.308755760368663594470046082949∼= 2∼= 2 +
13
(= 2.3333333333 . . . )
∼= 2 +1
3 +14
(= 2.307692308 . . . )
∼= 2 +1
3 +1
4 +15
(= 2.308823529 . . . )
= 2 +1
3 +1
4 +1
5 + 1/3
(= 2.308755760 . . . )
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Esempio
Quindi
501217
= 2 +1
3 +1
4 +1
5 +13
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Definizione
In generale, un’espressione del tipo:
a0 +1
a1 +1
a2 +1
. . . 1
ar−1 +1ar
dove a0 ∈ Z, a1, . . . ,ar ∈ N
si dice frazione continua finita.Si indica anche con:
[a0; a1,a2, . . . ,ar ]
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Definizione
In generale, un’espressione del tipo:
a0 +1
a1 +1
a2 +1
. . . 1
ar−1 +1ar
dove a0 ∈ Z, a1, . . . ,ar ∈ N
si dice frazione continua finita.Si indica anche con:
[a0; a1,a2, . . . ,ar ]
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Frazioni continue infinite
Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .
x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√
10, x2 = 3 +√
10
x = 6 +1x
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Frazioni continue infinite
Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .
x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√
10, x2 = 3 +√
10
x = 6 +1x
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Frazioni continue infinite
Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .
x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√
10, x2 = 3 +√
10
x = 6 +1x
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Frazioni continue infinite
Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .
x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√
10, x2 = 3 +√
10
x = 6 +1x
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Frazioni continue infinite
Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .
x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√
10, x2 = 3 +√
10
x = 6 +1x
= 6 +1
6 +1x
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Frazioni continue infinite
Una frazione continua finita è necessariamente un numerorazionale.Le frazioni continue però possono essere anche infinite . . . .
x2 − 6x − 1 = 0 x1 = 3−√
10, x2 = 3 +√
10
x = 6 +1x
= 6 +1
6 +1x
= 6 +1
6 +1
6 +1x
= . . .
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Frazioni continue infinite
Pertanto:
x = 6 +1
6 +1
6 +1
6 +1
6 +. . .
Cioèx = [6; 6,6,6,6, . . . ]
è una frazione continua infinita (ammesso ciò voglia direqualcosa).
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Frazioni continue infinite
DefinizioneUn’espressione del tipo:
[a0; a1,a2,a3, . . . ]
cioè:a0 +
1
a1 +1
a2 +1
a3 + . . .
dove a0 ∈ Z, a1,a2, · · · ∈ N si dice frazione continua infinita(ordinaria).
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I convergenti
DefinizioneData una frazione continua (finita o infinita), le frazioni continuefinite
[a0] [a0; a1] [a0; a1,a2] . . .
si dicono i convergenti della frazione continua.
I convergenti sono dei numeri razionalipk
qk:
p0
q0= a0
p1
q1= [a0; a1] = a0 +
1a1
p2
q2= [a0; a1,a2] = a0 +
1
a1 +1a2
. . . = . . .
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I convergenti
DefinizioneData una frazione continua (finita o infinita), le frazioni continuefinite
[a0] [a0; a1] [a0; a1,a2] . . .
si dicono i convergenti della frazione continua.
I convergenti sono dei numeri razionalipk
qk:
p0
q0= a0
p1
q1= [a0; a1] = a0 +
1a1
p2
q2= [a0; a1,a2] = a0 +
1
a1 +1a2
. . . = . . .
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I convergenti
In generale,
pk
qk= a0 +
1
a1 +1
a2 +1
. . . 1
ak−1 +1ak
cioè: pk
qk= [a0; a1,a2, . . . ,ak ]
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I convergenti
TeoremaLa successione dei convergenti(
pk
qk
)k
di una frazione continua: [a0; a1,a2, . . . ] converge ad unnumero reale α.
Il numero α si chiama il valore della frazione continua[a0; a1,a2, . . . ]
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Frazioni continue e numeri reali
Ogni numero reale si può rappresentare con una frazionecontinua.
R←→ {[a0; a1,a2, . . . ] | fraz. cont.}
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Esempi
√2 = 1 +
1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +. . .
√2 = [1; 2,2,2,2, . . . ]
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Esempi
e = 2 +1
1 +1
2 +1
1 +1
1 +1
4 +1
1 +1
1 +1
6 +. . .
e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, . . . ]
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Esempi
π = 3 +1
7 +1
15 +1
1 +1
292 +1
1 +. . .
π = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,1,4,2,6,6,99,1,2,2,6,3,5,1,1,6,8,1,7,1,2,3,7,1,2,1,1,12, . . . ]
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Esempi
e − 1 = [1; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10, . . . ]
tan(1) = [1; 1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15, . . . ]
tan(1/2) = [0,1,1,4,1,8,1,12,1,16,1,20,1,24,1,28, . . . ]
tan(1/3) = [0,2,1,7,1,13,1,19,1,25,1,31,1,37,1,43 . . . ]
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Frazioni continue e numeri reali
Le frazioni continue evidenziano proprietà “intrinseche” deinumeri.
Un numero reale è razionale se e solo se la frazione continuache lo rappresenta è finita.
Un numero si rappresenta in una fissata base. Le proprietàdella rappresentazione non sono proprietà del numero.
La rappresentazione in base 10 di un numero può ad esempioessere decimale finita, ma la sua rappresentazione in base 2invece periodica (e viceversa).
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Frazioni continue e numeri reali
Le frazioni continue evidenziano proprietà “intrinseche” deinumeri.
Un numero reale è razionale se e solo se la frazione continuache lo rappresenta è finita.
Un numero si rappresenta in una fissata base. Le proprietàdella rappresentazione non sono proprietà del numero.
La rappresentazione in base 10 di un numero può ad esempioessere decimale finita, ma la sua rappresentazione in base 2invece periodica (e viceversa).
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Numeri reali
Esempio (Java)...double a = 4.35;int b;b = (int)(100*a);System.out.println(b);
Il numero 4.35 quando viene rappresentato in base 2 risultaperiodico:
4.3510 = 100.01 0110 0110 0110 0110 · · · 2
pertanto nella rappresentazione nella memoria del computerviene troncato . . .
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Numeri reali
Esempio (Java)...double a = 4.35;int b;b = (int)(100*a);System.out.println(b);
Il numero 4.35 quando viene rappresentato in base 2 risultaperiodico:
4.3510 = 100.01 0110 0110 0110 0110 · · · 2
pertanto nella rappresentazione nella memoria del computerviene troncato . . .
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La costante di Khinchin
Sia [a0; a1,a2, . . . ] una frazione continua che rappresenta unnumero reale α. Consideriamo:
u0 = a0, u1 =√
a0 · a1, u2 = 3√
a0 · a1 · a2, u3 = 4√
a0 · a1 · a2 · a3, . . .
cioè:uk = k
√a0 · a1 · · · · · ak−1
è la media geometrica dei primi k interi a0,a1, . . . ,ak per ogni k .Aleksandr Yakovlevich Khinchin (19 luglio 1894 - 18 novembre1959) ha dimostrato che:
Teoremaper “quasi ogni numero” reale α, il limite della successione(uk )k esiste ed ha sempre lo stesso valore: 2.6854520010 . . .
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La costante di Khinchin
Sia [a0; a1,a2, . . . ] una frazione continua che rappresenta unnumero reale α. Consideriamo:
u0 = a0, u1 =√
a0 · a1, u2 = 3√
a0 · a1 · a2, u3 = 4√
a0 · a1 · a2 · a3, . . .
cioè:uk = k
√a0 · a1 · · · · · ak−1
è la media geometrica dei primi k interi a0,a1, . . . ,ak per ogni k .Aleksandr Yakovlevich Khinchin (19 luglio 1894 - 18 novembre1959) ha dimostrato che:
Teoremaper “quasi ogni numero” reale α, il limite della successione(uk )k esiste ed ha sempre lo stesso valore: 2.6854520010 . . .
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La costante di Khinchin
Sia [a0; a1,a2, . . . ] una frazione continua che rappresenta unnumero reale α. Consideriamo:
u0 = a0, u1 =√
a0 · a1, u2 = 3√
a0 · a1 · a2, u3 = 4√
a0 · a1 · a2 · a3, . . .
cioè:uk = k
√a0 · a1 · · · · · ak−1
è la media geometrica dei primi k interi a0,a1, . . . ,ak per ogni k .Aleksandr Yakovlevich Khinchin (19 luglio 1894 - 18 novembre1959) ha dimostrato che:
Teoremaper “quasi ogni numero” reale α, il limite della successione(uk )k esiste ed ha sempre lo stesso valore: 2.6854520010 . . .
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La costante di Khinchin
K0 = 2.6854520010 . . . si dice costante di Khinchin.
È facile trovare numeri per cui la media geometrica deiquozienti parziali non converge alla costante di Khinchin. Adesempio tutti i numeri razionali o il numero di Nepero e.
Si sospetta (facile. . . ) che a π e a K0 corrisponda la costante diKhinchin, ma non si conoscono dimostrazioni.
Di più: non si conosce alcun numero reale “esplicito” a cuicorrisponda la costante di Khinchin.
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La costante di Khinchin
K0 = 2.6854520010 . . . si dice costante di Khinchin.
È facile trovare numeri per cui la media geometrica deiquozienti parziali non converge alla costante di Khinchin. Adesempio tutti i numeri razionali o il numero di Nepero e.
Si sospetta (facile. . . ) che a π e a K0 corrisponda la costante diKhinchin, ma non si conoscono dimostrazioni.
Di più: non si conosce alcun numero reale “esplicito” a cuicorrisponda la costante di Khinchin.
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La costante di Khinchin
K0 = 2.6854520010 . . . si dice costante di Khinchin.
È facile trovare numeri per cui la media geometrica deiquozienti parziali non converge alla costante di Khinchin. Adesempio tutti i numeri razionali o il numero di Nepero e.
Si sospetta (facile. . . ) che a π e a K0 corrisponda la costante diKhinchin, ma non si conoscono dimostrazioni.
Di più: non si conosce alcun numero reale “esplicito” a cuicorrisponda la costante di Khinchin.
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La costante di Khinchin
K0 = 2.6854520010 . . . si dice costante di Khinchin.
È facile trovare numeri per cui la media geometrica deiquozienti parziali non converge alla costante di Khinchin. Adesempio tutti i numeri razionali o il numero di Nepero e.
Si sospetta (facile. . . ) che a π e a K0 corrisponda la costante diKhinchin, ma non si conoscono dimostrazioni.
Di più: non si conosce alcun numero reale “esplicito” a cuicorrisponda la costante di Khinchin.
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La costante di Khinchin
Non si sa se la costante di Khinchin sia irrazionale.
Sul sito:
http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/khintchine.txt
si trova la costante di Khinchin calcolata con 110000 decimali(il 09/02/97 da Xavier Gourdon)
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La costante di Khinchin
Non si sa se la costante di Khinchin sia irrazionale.
Sul sito:
http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/khintchine.txt
si trova la costante di Khinchin calcolata con 110000 decimali(il 09/02/97 da Xavier Gourdon)
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Migliori approssimanti
Definizione
Sia α un numero reale. Un numero razionaleab
si dice miglior
approssimante di α (del I tipo) se per ogni frazionecd
tale che0 < d ≤ b vale: ∣∣∣α− a
b
∣∣∣ < ∣∣∣α− cd
∣∣∣
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Migliori approssimanti
Ogni convergente di un numero α è un miglior approssimante eviceversa, ogni miglior approssimante è un convergente (oquasi).
Esempio:
π = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84, . . . ]
I primi convergenti sono:
[3] = 3/1 = 3.0[3; 7] = 22/7 = 3.14285714285714[3; 7,15] = 333/106 = 3.14150943396226[3; 7,15,1] = 355/113 = 3.14159292035398
(Archimede 287-212 BC, Zu Chongzhi 480 DC)
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Migliori approssimanti
Ogni convergente di un numero α è un miglior approssimante eviceversa, ogni miglior approssimante è un convergente (oquasi).
Esempio:
π = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84, . . . ]
I primi convergenti sono:
[3] = 3/1 = 3.0[3; 7] = 22/7 = 3.14285714285714[3; 7,15] = 333/106 = 3.14150943396226[3; 7,15,1] = 355/113 = 3.14159292035398
(Archimede 287-212 BC, Zu Chongzhi 480 DC)
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Migliori approssimanti
Ci sono numeri che si fanno approssimare meglio dai loroconvergenti e numeri che si fanno approssimare peggio.
Il numero aureo
ϕ =1 +√
52
= 1 +1
1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
= [1; 1,1,1,1, . . . ]= 1.61803398874989
è quello che tra tutti i numeri reali viene peggiormenteapprossimato dai suoi convergenti.
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Migliori approssimanti
Ci sono numeri che si fanno approssimare meglio dai loroconvergenti e numeri che si fanno approssimare peggio.
Il numero aureo
ϕ =1 +√
52
= 1 +1
1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
= [1; 1,1,1,1, . . . ]= 1.61803398874989
è quello che tra tutti i numeri reali viene peggiormenteapprossimato dai suoi convergenti.
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Migliori approssimanti
[1] = 1 = 1.0[1; 1] = 2 = 2.0[1; 1,1] = 3/2 = 1.5[1; 1,1,1] = 5/3 = 1.3333333333[1; 1,1,1,1] = 8/5 = 1.6000000000[1; 1,1,1,1,1] = 13/8 = 1.6250000000
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Numeri algebrici
La “velocità” con cui viene approssimato un numero reale con isuoi convergenti rivela importanti proprietà del numero.
DefinizioneUn numero reale α si dice algebrico (di grado n) se è la radicedi un polinomio f (x) ∈ Q[x ] di grado n (e n è minimo possibile).
ϕ è algebrico di grado 2, in quanto radice del polinomiox2 − x − 1.
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Numeri algebrici
La “velocità” con cui viene approssimato un numero reale con isuoi convergenti rivela importanti proprietà del numero.
DefinizioneUn numero reale α si dice algebrico (di grado n) se è la radicedi un polinomio f (x) ∈ Q[x ] di grado n (e n è minimo possibile).
ϕ è algebrico di grado 2, in quanto radice del polinomiox2 − x − 1.
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Numeri algebrici
La “velocità” con cui viene approssimato un numero reale con isuoi convergenti rivela importanti proprietà del numero.
DefinizioneUn numero reale α si dice algebrico (di grado n) se è la radicedi un polinomio f (x) ∈ Q[x ] di grado n (e n è minimo possibile).
ϕ è algebrico di grado 2, in quanto radice del polinomiox2 − x − 1.
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Numeri algebrici
numero alg.: 3√
5 +√
3pol. min.: x6 − 9x4 − 10x3 + 27x2 − 90x − 2
numero alg.:√
3 +4√
2
pol. min.: x8 − 12x6 + 54x4 − 108x2 + 79
numero alg.:√
3√
3 +4√
5
pol. min.: x24 − 12x18 − 15x16 + 54x12 − 720x10
+ 75x8 − 108x6 − 1350x4 − 900x2 − 44
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Numeri algebrici
numero alg.: 2√
2 + 3 3√
3 + 4 4√
5pol. min.:
x24 − 96x22 − 648x21 − 3456x20
+ 31104x19 + 193948x18 − 7838208x17
+ 34052832x16 − 1470995640x15
+ 2867002368x14 + 74354407488x13
− 162708833338x12 − 2593176436224x11
+ 16495900787040x10 − 60142304360376x9
− 494817323736960x8 + 6103619520784128x7
+ 29144224822577308x6 + 18811118974786560x5
+ 609027831258234912x4 + 1435381316140844664x3
− 2850788259340456704x2 + 13656392895952395072x− 15714160926253787519
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Numeri algebrici
Se un numero non è algebrico, si dice trascendente.
Teorema(Liouville) Se α è un numero algebrico di grado n allora esisteuna costante C tale che∣∣∣∣α− p
q
∣∣∣∣ > Cqn ∀ p,q
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Numeri algebrici
Se un numero non è algebrico, si dice trascendente.
Teorema(Liouville) Se α è un numero algebrico di grado n allora esisteuna costante C tale che∣∣∣∣α− p
q
∣∣∣∣ > Cqn ∀ p,q
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Numeri algebrici
Conseguenza: Se riusciamo a trovare un numero reale β taleche per ogni n esistono p e q (q > 1) con la proprietà:∣∣∣∣β − p
q
∣∣∣∣ < 1qn
il numero β non può essere algebrico.
Con le frazioni continue è facile costruire numeri con questaproprietà.Fissiamo a0 e costruiamo i successivi ak con la formula:
ak+1 > qk−1k
È facile vedere che un numero β = [a0; a1,a2, . . . ] cosìcostruito soddisfa alla condizione di sopra, quindi non è unnumero algebrico, ma trascendente.
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Numeri algebrici
Conseguenza: Se riusciamo a trovare un numero reale β taleche per ogni n esistono p e q (q > 1) con la proprietà:∣∣∣∣β − p
q
∣∣∣∣ < 1qn
il numero β non può essere algebrico.
Con le frazioni continue è facile costruire numeri con questaproprietà.Fissiamo a0 e costruiamo i successivi ak con la formula:
ak+1 > qk−1k
È facile vedere che un numero β = [a0; a1,a2, . . . ] cosìcostruito soddisfa alla condizione di sopra, quindi non è unnumero algebrico, ma trascendente.
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Numeri alg. grado 2
√2 = [1; 2,2,2,2, . . . ]√3 = [1; 1,2,1,2,1,2,1,2,1, . . . ]√
19 = [4; 2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8, . . . ]√23 = [4; 1,3,1,8,1,3,1,8,1,3,1,8, . . . ]
2 + 2√
55
= [1; 3,2,1,1,10,1,1,2,3,1,2,44,2,1,
3,2,1,1,10,1,1,2,3,1,2,44,2,1 . . . ]
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![Page 57: Frazioni Continue, Continue Riforme - WordPress.com · 2011. 4. 12. · Frazioni continue e numeri reali Le frazioni continue evidenziano proprietà “intrinseche” dei numeri.](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051606/6019723358bbaf21ac04d1aa/html5/thumbnails/57.jpg)
Numeri alg. grado 2
Teorema(Lagrange, 1770) Un numero algebrico di grado 2 si esprimecon una frazione continua periodica.Viceversa, una frazione continua periodica rappresenta unnumero algebrico di grado 2.
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Oltre il grado 2
3√
2 = [1; 3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,
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Oltre il grado 2
3√
2 = [1; 3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,2,3,2,1,3,4,1,1,2,14,3,12,1,15,3,1,4,
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Oltre il grado 2
3√
2 = [1; 3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,2,3,2,1,3,4,1,1,2,14,3,12,1,15,3,1,4,534,
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Oltre il grado 2
3√
2 = [1; 3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,2,3,2,1,3,4,1,1,2,14,3,12,1,15,3,1,4,534,1,1,5,1,1,121,1,2,24,10,3,2,2,41,1,1,1,3,7,2,2,9,4,1,3,7,6,1,1,2,2,9,3,1,1,69,4,4,5,12,1,1,5,15,1,4,1,1,1,1,1,89,1,22,186,6,2,3,1,3,2,1,1,5,1,3,1,8,9,1,26,1,7,1,18,6,1,372,3,13,1,1,14,2,2,2,1,1,4,3,2,2,1,1,9,1,6,1, . . . ]
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Oltre il grado 2
“No properties of the representing continuedfractions, analogous to those which have just beenproved, are known for algebraic numbers of higherdegree. [...] It is of interest to point out that up till thepresent time no continued fraction development of analgebraic number of higher degree than the second isknown. It is not even known if such a development hasbounded elements. Generally speaking the problemsassociated with the continued fraction expansion ofalgebraic numbers of degree higher than the secondare extremely difficult and virtually unstudied.”
(Khinchin, 1963).
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Riconoscimento numeri razionali
94953847
= 2.46815700545879906420587470756433584611385 . . .
frazione continua:
[2; 2,7,2,1,5,1,1,1,1,1,1,13645291999014809917671130723944143,1,2,1,12,1,6 . . . ]
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Riconoscimento numeri razionali
94953847
= 2.46815700545879906420587470756433584611385 . . .
frazione continua:
[2; 2,7,2,1,5,1,1,1,1,1,1,13645291999014809917671130723944143,1,2,1,12,1,6 . . . ]
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Riconoscimento numeri razionali
Considero la frazione continua finita:
[2; 2,7,2,1,5,1,1,1,1,1,1]
Il suo valore è:94953847
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Riconoscimento numeri razionali
Esempio:Trovare le radici razionali di
3847x2 − 14808904x + 36527265 = 0
Con Newton (partendo dal punto iniziale 0), si trova subito unaradice approssimata:
x1 = 2.468157004807401923043166846
numero razionale corrispondente:
94953847
Si verifica che è radice del polinomio.
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Riconoscimento numeri razionali
Esempio:Trovare le radici razionali di
3847x2 − 14808904x + 36527265 = 0
Con Newton (partendo dal punto iniziale 0), si trova subito unaradice approssimata:
x1 = 2.468157004807401923043166846
numero razionale corrispondente:
94953847
Si verifica che è radice del polinomio.
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Riconoscimento numeri razionali
Esempio:Trovare le radici razionali di
3847x2 − 14808904x + 36527265 = 0
Con Newton (partendo dal punto iniziale 0), si trova subito unaradice approssimata:
x1 = 2.468157004807401923043166846
numero razionale corrispondente:
94953847
Si verifica che è radice del polinomio.
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frazioni continue generalizzate
Nel 1655 compare nel libro di Wallis Aritmetica Infinitorum laformula
4π
=12
2 +32
2 +52
2 +72
2 +92
2 +112
2 +. . .
attribuita a William Brouncker (1620-1684) dimostrata daEulero qualche decennio più tardi.
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frazioni continue generalizzate
π = 3 +12
6 +32
6 +52
6 +72
6 +92
6 +112
6 +. . .
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frazioni continue generalizzate
4π
= 1 +12
3 +22
5 +32
7 +42
9 +52
11 +62
13 +. . .
(L. J. Lange, 1999)
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Riforme
1999 Riforma Berlinguer (3+2) triennale + specialisticatotale 300 crediti
2000 Zecchino
2004 Riforma Moratti: 180 crediti + 120 crediti, laureamagistrale+“riforma epocale”.
2007 Decreto Mussi: max 20 esami nella triennale max 12esami magistrale
2010 Riforma Gelmini “II riforma epocale”.
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Riforme
1999 Riforma Berlinguer (3+2) triennale + specialisticatotale 300 crediti
2000 Zecchino
2004 Riforma Moratti: 180 crediti + 120 crediti, laureamagistrale+“riforma epocale”.
2007 Decreto Mussi: max 20 esami nella triennale max 12esami magistrale
2010 Riforma Gelmini “II riforma epocale”.
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Riforme
1999 Riforma Berlinguer (3+2) triennale + specialisticatotale 300 crediti
2000 Zecchino
2004 Riforma Moratti: 180 crediti + 120 crediti, laureamagistrale+“riforma epocale”.
2007 Decreto Mussi: max 20 esami nella triennale max 12esami magistrale
2010 Riforma Gelmini “II riforma epocale”.
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Riforme
1999 Riforma Berlinguer (3+2) triennale + specialisticatotale 300 crediti
2000 Zecchino
2004 Riforma Moratti: 180 crediti + 120 crediti, laureamagistrale+“riforma epocale”.
2007 Decreto Mussi: max 20 esami nella triennale max 12esami magistrale
2010 Riforma Gelmini “II riforma epocale”.
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Riforme
1999 Riforma Berlinguer (3+2) triennale + specialisticatotale 300 crediti
2000 Zecchino
2004 Riforma Moratti: 180 crediti + 120 crediti, laureamagistrale+“riforma epocale”.
2007 Decreto Mussi: max 20 esami nella triennale max 12esami magistrale
2010 Riforma Gelmini “II riforma epocale”.
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Riforme
Prima della riforma Berlinguer:
4π
= 1 +12
2 +32
2 +52
2 +72
2 +92
2 +112
2 +. . .
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Riforme
dopo riforma Berlinguer:
4π
= 1 +12
2 +32
2 +52
2 +72
2 +92
2 +112
2 +. . .
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Riforme
prima degli interventi di Zecchino:
e − 1 = 1 +1
1 +1
2 +1
1 +1
1 +1
4 +1
1 +1
1 +1
6 +. . .
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Riforme
dopo Zecchino
e − 1 = 1 +1
1 +1
2 +1
1 +1
1 +1
4 +1
1 +1
1 +1
6 +. . .
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Riforme
Valore della Costante di Khinchin prima della riforma Moratti:
2.6854520010 . . .
Valore della Costante di Khinchin dopo la riforma Moratti:
2.6854520010 . . .
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Riforme
Valore della Costante di Khinchin prima della riforma Moratti:
2.6854520010 . . .
Valore della Costante di Khinchin dopo la riforma Moratti:
2.6854520010 . . .
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Riforme
Prima del Decreto Mussi:
ϕ = 1 +1
1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
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Riforme
Dopo Decreto Mussi:
ϕ = 1 +1
1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
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Riforme
Prima della riforma Gelmini:
4π
= 1 +12
3 +22
5 +32
7 +42
9 +52
11 +62
13 +. . .
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Riforme
Dopo la riforma Gelmini:
4π
= 1 +12
3 +22
5 +32
7 +42
9 +52
11 +62
13 +. . .
però. . .
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Dopo la riforma Gelmini
ci sarà ancora un’Universitàdove si studiano
questi argomenti?
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