Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan7.pdf · Uvod u...

Uvod u diferencijalne jednadzbe Implicitno deriviranje Deriviranje parametarski zadanih funkcija Polarne koordinate

Neke dodatne teme diferencijalnog racuna

Franka Miriam Bruckler


Uvod u diferencijalne jednadzbe

Kako biste formulom zapisali recenicu”brzina reakcije 2. reda je u

svakom trenutku proporcionalna kvadratu trenutne koncentracijereaktanta R”?

Ako znate da se trenutna brzina reakcija mozeizraziti kao derivacija koncentracije bilo kojeg reaktanta povremenu, podijeljena s pripadnim stehiometrijskim koeficijentom,koji oblik poprima prethodna jednadzba?

1

νR· dcR

dt= kc2

R

Koje velicine u gornjoj jednadzbi su varijabilne? Koja je nezavisna,a koja zavisna varijabla? Sto smatrate nepoznanicom u gornjojjednadzbi? Zasto? Moze li cR afino ovisiti o t ako zadovoljavagornju jednadzbu? Zasto? Je li cR zadana s cR = C

1−CνRktrjesenje

gornje jednadzbe (C je pozitivna konstanta)? Kada biste nekufunkciju cR prihvatili kao rjesenje?




svakom trenutku proporcionalna kvadratu trenutne koncentracijereaktanta R”? Ako znate da se trenutna brzina reakcija mozeizraziti kao derivacija koncentracije bilo kojeg reaktanta povremenu, podijeljena s pripadnim stehiometrijskim koeficijentom,koji oblik poprima prethodna jednadzba?

1

νR· dcR

dt= kc2

R


1−CνRktrjesenje






1

νR· dcR

dt= kc2

R

Koje velicine u gornjoj jednadzbi su varijabilne?

Koja je nezavisna,a koja zavisna varijabla? Sto smatrate nepoznanicom u gornjojjednadzbi? Zasto? Moze li cR afino ovisiti o t ako zadovoljavagornju jednadzbu? Zasto? Je li cR zadana s cR = C

1−CνRktrjesenje






1

νR· dcR

dt= kc2

R

Koje velicine u gornjoj jednadzbi su varijabilne? Koja je nezavisna,a koja zavisna varijabla?

Sto smatrate nepoznanicom u gornjojjednadzbi? Zasto? Moze li cR afino ovisiti o t ako zadovoljavagornju jednadzbu? Zasto? Je li cR zadana s cR = C

1−CνRktrjesenje






1

νR· dcR

dt= kc2

R

Koje velicine u gornjoj jednadzbi su varijabilne? Koja je nezavisna,a koja zavisna varijabla? Sto smatrate nepoznanicom u gornjojjednadzbi? Zasto?

Moze li cR afino ovisiti o t ako zadovoljavagornju jednadzbu? Zasto? Je li cR zadana s cR = C

1−CνRktrjesenje






1

νR· dcR

dt= kc2

R

Koje velicine u gornjoj jednadzbi su varijabilne? Koja je nezavisna,a koja zavisna varijabla? Sto smatrate nepoznanicom u gornjojjednadzbi? Zasto? Moze li cR afino ovisiti o t ako zadovoljavagornju jednadzbu? Zasto?

Je li cR zadana s cR = C1−CνRkt

rjesenjegornje jednadzbe (C je pozitivna konstanta)? Kada biste nekufunkciju cR prihvatili kao rjesenje?





1

νR· dcR

dt= kc2

R


1−CνRktrjesenje

gornje jednadzbe (C je pozitivna konstanta)?

Kada biste nekufunkciju cR prihvatili kao rjesenje?





1

νR· dcR

dt= kc2

R


1−CνRktrjesenje



Kako biste mogli provjeriti je li ova reakcija drugog reda (tj.zadovoljava li ovisnost c o t diferencijalnu jednadzbu s prethodnogslide-a, ako je stehiometrijski koeficijent reaktanta −1)?

t c(t) c ′(t) ≈ k = −c ′(t)/c2(t)

0 s 1 mol L−1 1,9 · 10−3 mol L−1 s−1 1,9 · 10−3 L mol−1 s−1

150 s 0,741 mol L−1 1,4 · 10−3 mol L−1 s−1 1,89 · 10−3 L mol−1 s−1


Diferencijalne jednadzbe opisuju nepoznatu funkciju preko vezeizmedu nje, njene nezavisne varijable i njenih derivacija.Rjesenje diferencijalne jednadzbe je svaka funkcija kojauvrstavanjem u jednadzbu daje jednakost koja je istinita za svevrijednosti nezavisne varijable.

Zadatak

Je li ikoja od logaritamskih funkcija rjesenje diferencijalnejednadzbe xy ′′ + y ′ = 1?

Primjer

Kao diferencijalnu jednadzbu zapisite zadatak”odrediti realnu

funkciju jedne varijable koja je derivirana proporcionalna samojsebi”! Odredite njena rjesenja. Koliko ih ima?



Zadatak


Primjer


funkciju jedne varijable koja je derivirana proporcionalna samojsebi”!

Odredite njena rjesenja. Koliko ih ima?



Zadatak


Primjer


funkciju jedne varijable koja je derivirana proporcionalna samojsebi”! Odredite njena rjesenja. Koliko ih ima?


Red diferencijalne jednadzbe je najvisa derivacija koja se u njojpojavljuje.Rjesenja diferencijalnih jednadzbi 1. reda sadrze jednu neodredenukonstantu, a rjesenja jednadzbi 2. reda sadrze dvije.

Drugi Newtonov zakon

Ukupna sila na cesticu u svakom je trenutku jednaka derivacijiumnoska njene mase i brzine po vremenu:

F (t) =d

dt(mv).

Zadatak

Diferencijalnom jednadzbom opisite ovisnost pozicije x o vremenuza objekt mase m koji vertikalno titra na opruzi s koeficijentomelasticnosti k. mx = −kx.





F (t) =d

dt(mv).

Zadatak

Diferencijalnom jednadzbom opisite ovisnost pozicije x o vremenuza objekt mase m koji vertikalno titra na opruzi s koeficijentomelasticnosti k.

mx = −kx.





F (t) =d

dt(mv).

Zadatak

Diferencijalnom jednadzbom opisite ovisnost pozicije x o vremenuza objekt mase m koji vertikalno titra na opruzi s koeficijentomelasticnosti k. mx = −kx.


Svaka funkcija zadana formulom cR =C

1− CνRktje rjesenje

diferencijalne jednadzbe1

νR· dcR

dt= kc2

R. Koji je smisao konstante

C ?

Svaka funkcija zadana formulom

z = C1 cos

(√k

mt

)+ C2 sin

(√k

mt

)je rjesenje diferencijalne

jednadzbe mz = −kz . Koji je smisao konstanti C1 i C2?Da bi diferencijalna jednadzba jednoznacno opisivala nepoznatufunkciju potrebni su i tzv. pocetni uvjeti. Ako je diferencijalnajednadzba 1. reda, pocetni uvjet sastoji se u zadavanju vrijednostinepoznate funkcije za jednu vrijednost njene nezavisne varijable.Ako je diferencijalna jednadzba 2. reda, pocetni uvjet sastoji se uzadavanju vrijednosti nepoznate funkcije i njene derivacije za istu(jednu) vrijednost njene nezavisne varijable.





νR· dcR

dt= kc2


C ?Svaka funkcija zadana formulom

z = C1 cos

(√k

mt

)+ C2 sin

(√k

mt


jednadzbe mz = −kz . Koji je smisao konstanti C1 i C2?

Da bi diferencijalna jednadzba jednoznacno opisivala nepoznatufunkciju potrebni su i tzv. pocetni uvjeti. Ako je diferencijalnajednadzba 1. reda, pocetni uvjet sastoji se u zadavanju vrijednostinepoznate funkcije za jednu vrijednost njene nezavisne varijable.Ako je diferencijalna jednadzba 2. reda, pocetni uvjet sastoji se uzadavanju vrijednosti nepoznate funkcije i njene derivacije za istu(jednu) vrijednost njene nezavisne varijable.





νR· dcR

dt= kc2


C ?Svaka funkcija zadana formulom

z = C1 cos

(√k

mt

)+ C2 sin

(√k

mt


jednadzbe mz = −kz . Koji je smisao konstanti C1 i C2?Da bi diferencijalna jednadzba jednoznacno opisivala nepoznatufunkciju potrebni su i tzv. pocetni uvjeti. Ako je diferencijalnajednadzba 1. reda, pocetni uvjet sastoji se u zadavanju vrijednostinepoznate funkcije za jednu vrijednost njene nezavisne varijable.Ako je diferencijalna jednadzba 2. reda, pocetni uvjet sastoji se uzadavanju vrijednosti nepoznate funkcije i njene derivacije za istu(jednu) vrijednost njene nezavisne varijable.


Primjer

Brzina promjene temperature sustava ϑ(u ◦C) u svakom trenutkuproporcionalna je razlici temperaturaokoline i sustava.

dϑ

dt= k(200◦C− ϑ).

Zelimo u pecnici koja je zagrijana na200◦C ispeci patku.

Provjerite da je ovisnost temperature patke o vremenu opisana s

ϑ(t) = 200◦C− Ce−kt ,

gdje su k i C neke konstante.


Ako je patka na pocetku izvadena iz hladnjaka i stoga imalatemperaturu 2◦C, znamo da je ϑ(0 min) = 2◦C — to je pocetniuvjet za nas problem. Kako biste ga iskoristili za odredivanje jedneod nepoznatih konstanti?

C = 198◦C, tj. ϑ(t) = 200◦C− 198◦Ce−kt .

Sto bi nam trebalo da bismo mogli odrediti k? Ta konstanta nepotjece od rjesavanja dierencijalne jednadzbe, nego od njenapostavljanja. Treba nam jos jedan podatak o temperaturi patke unekom trenutku nakon sto smo ju stavili u pecnicu. Recimo, nakon30 minuta izmjerili smo joj temperaturu i dobili da je tada bila na16◦C, iznos k je k =

(− 1

30 ln 9299

)min−1 ≈ 0,00244438 min−1. Kad

ce patka biti pecena, tj. kad ce joj temperara biti ϑ(t) = 80◦C? Iz

ϑ(t) = 200◦C− 198◦Ce−0,00244438t min−1dobijemo da patku treba

peci 204,868 minuta, tj. otprilike 3 sata i 25 minuta.



C = 198◦C, tj. ϑ(t) = 200◦C− 198◦Ce−kt .

Sto bi nam trebalo da bismo mogli odrediti k?

Ta konstanta nepotjece od rjesavanja dierencijalne jednadzbe, nego od njenapostavljanja. Treba nam jos jedan podatak o temperaturi patke unekom trenutku nakon sto smo ju stavili u pecnicu. Recimo, nakon30 minuta izmjerili smo joj temperaturu i dobili da je tada bila na16◦C, iznos k je k =

(− 1

30 ln 9299

)min−1 ≈ 0,00244438 min−1. Kad






C = 198◦C, tj. ϑ(t) = 200◦C− 198◦Ce−kt .

Sto bi nam trebalo da bismo mogli odrediti k? Ta konstanta nepotjece od rjesavanja dierencijalne jednadzbe, nego od njenapostavljanja. Treba nam jos jedan podatak o temperaturi patke unekom trenutku nakon sto smo ju stavili u pecnicu. Recimo, nakon30 minuta izmjerili smo joj temperaturu i dobili da je tada bila na16◦C, iznos k je

k =(− 1

30 ln 9299

)min−1 ≈ 0,00244438 min−1. Kad






C = 198◦C, tj. ϑ(t) = 200◦C− 198◦Ce−kt .


(− 1

30 ln 9299

)min−1 ≈ 0,00244438 min−1. Kad

ce patka biti pecena, tj. kad ce joj temperara biti ϑ(t) = 80◦C?

Iz





C = 198◦C, tj. ϑ(t) = 200◦C− 198◦Ce−kt .


(− 1

30 ln 9299

)min−1 ≈ 0,00244438 min−1. Kad





Zadatak

Prema drugom Kirchhoffovom zakonu, zbroj svih napona u strujnojpetlji jednak je nuli. Provjerite da je ovisnosti jakosti struje I ovremenu t u LR-strujnom krugu (s jednim otpornikom konstantnogotpora Ra i zavojnicom konstantnog induktiviteta Lb) koji senapaja konstantnim naponom E dana formulom

I (t) =E

R(1− exp(−Rt/L)) .

Skicirajte tu ovisnost!

aTo dovodi do pada napona RI .bTo dovodi do pada napona LI .

LI + RI = E , I = I (t),

I (0) = 0.

Dakle, sad znate osnove postavljanja diferencijalnih jednadzbi,provjeriti je li neka funkcija rjesenje ili nije, te iskoristiti pocetneuvjete za odredivanje vrijednosti konstanti u rjesenju. UMatematici 2 ucit cete kako rijesiti neke ceste tipove diferencijalnihjednadzbi.


Implicitno deriviranje

Jednadzba opceg pravca u ravnini je Ax + By = C .Jednadzba standardno pozicionirane logaritamske krivulje jey = loga x .Jednadzba kruznice u ravnini je

(x − p)2 + (y − q)2 = r 2.Sto je zajednicko navedenim trima ravninskim objektima? Radi seo jednodimenzionalnim podskupovima ravnine — krivuljama.Predlozite opci oblik jednadzbe krivulje u ravnini!

F (x , y) = 0

Primjer

Za koji a je tocka (1, 1) na Kartezijevom listu x3 + y 3 = 3axy(a > 0)? Nadite nekoliko tocaka na toj krivulji! Mozete liargumentirati zasto ce ta krivulja biti simetricna obzirom na pravacy = x?



Jednadzba opceg pravca u ravnini je Ax + By = C .Jednadzba standardno pozicionirane logaritamske krivulje jey = loga x .Jednadzba kruznice u ravnini je (x − p)2 + (y − q)2 = r 2.Sto je zajednicko navedenim trima ravninskim objektima?

Radi seo jednodimenzionalnim podskupovima ravnine — krivuljama.Predlozite opci oblik jednadzbe krivulje u ravnini!

F (x , y) = 0

Primjer




Jednadzba opceg pravca u ravnini je Ax + By = C .Jednadzba standardno pozicionirane logaritamske krivulje jey = loga x .Jednadzba kruznice u ravnini je (x − p)2 + (y − q)2 = r 2.Sto je zajednicko navedenim trima ravninskim objektima? Radi seo jednodimenzionalnim podskupovima ravnine — krivuljama.Predlozite opci oblik jednadzbe krivulje u ravnini!

F (x , y) = 0

Primjer





F (x , y) = 0

Primjer

Za koji a je tocka (1, 1) na Kartezijevom listu x3 + y 3 = 3axy(a > 0)?

Nadite nekoliko tocaka na toj krivulji! Mozete liargumentirati zasto ce ta krivulja biti simetricna obzirom na pravacy = x?




F (x , y) = 0

Primjer

Za koji a je tocka (1, 1) na Kartezijevom listu x3 + y 3 = 3axy(a > 0)? Nadite nekoliko tocaka na toj krivulji!

Mozete liargumentirati zasto ce ta krivulja biti simetricna obzirom na pravacy = x?




F (x , y) = 0

Primjer



Moze li se iz jednadzbe pravca jednoznacno izraziti y preko x?

Izjednadzbe logaritamske krivulje? Iz jednadzbe kruznice? Izjednadzbe Kartezijevog lista? Moze li se na nekoj od tih vrstakrivulja u okolini neke od tocaka na njima dio krivulje shvatiti kaograf neke realne funkcije jedne varijable? Postoje li ogranicenja natocke oko kojih se to moze napraviti?

Teorem o implicitnoj funkciji

Neka je krivulja u ravnini zadana jednadzbom F (x , y) = 0 i (x0, y0)neka tocka na toj krivulji, tj. F (x0, y0) = 0. Ako promatramofunkciju G (y) = F (x , y) (dakle, smatramo x konstantom) i akoG ′(y0) 6= 0 (tangenta u promatranoj tocki krivulje nije vertikalna),onda neki dio krivulje oko tocke (x0, y0) predstavlja graf nekefunkcije y = f (x).

Kazemo: Jednadzbom F (x , y) = 0 (oko bilo koje tocke (x0, y0) ukojoj tangenta na tu krivulju nije vertikalna) je implicitno zadanafunkcija y = f (x) s domenom koja je neki interval oko x0.


Moze li se iz jednadzbe pravca jednoznacno izraziti y preko x? Izjednadzbe logaritamske krivulje?

Iz jednadzbe kruznice? Izjednadzbe Kartezijevog lista? Moze li se na nekoj od tih vrstakrivulja u okolini neke od tocaka na njima dio krivulje shvatiti kaograf neke realne funkcije jedne varijable? Postoje li ogranicenja natocke oko kojih se to moze napraviti?





Moze li se iz jednadzbe pravca jednoznacno izraziti y preko x? Izjednadzbe logaritamske krivulje? Iz jednadzbe kruznice?

Izjednadzbe Kartezijevog lista? Moze li se na nekoj od tih vrstakrivulja u okolini neke od tocaka na njima dio krivulje shvatiti kaograf neke realne funkcije jedne varijable? Postoje li ogranicenja natocke oko kojih se to moze napraviti?





Moze li se iz jednadzbe pravca jednoznacno izraziti y preko x? Izjednadzbe logaritamske krivulje? Iz jednadzbe kruznice? Izjednadzbe Kartezijevog lista?

Moze li se na nekoj od tih vrstakrivulja u okolini neke od tocaka na njima dio krivulje shvatiti kaograf neke realne funkcije jedne varijable? Postoje li ogranicenja natocke oko kojih se to moze napraviti?





Moze li se iz jednadzbe pravca jednoznacno izraziti y preko x? Izjednadzbe logaritamske krivulje? Iz jednadzbe kruznice? Izjednadzbe Kartezijevog lista? Moze li se na nekoj od tih vrstakrivulja u okolini neke od tocaka na njima dio krivulje shvatiti kaograf neke realne funkcije jedne varijable?

Postoje li ogranicenja natocke oko kojih se to moze napraviti?





Moze li se iz jednadzbe pravca jednoznacno izraziti y preko x? Izjednadzbe logaritamske krivulje? Iz jednadzbe kruznice? Izjednadzbe Kartezijevog lista? Moze li se na nekoj od tih vrstakrivulja u okolini neke od tocaka na njima dio krivulje shvatiti kaograf neke realne funkcije jedne varijable? Postoje li ogranicenja natocke oko kojih se to moze napraviti?







Neka je krivulja u ravnini zadana jednadzbom F (x , y) = 0 i (x0, y0)neka tocka na toj krivulji, tj. F (x0, y0) = 0. Ako promatramofunkciju G (y) = F (x , y) (dakle, smatramo x konstantom) i akoG ′(y0) 6= 0

(tangenta u promatranoj tocki krivulje nije vertikalna),onda neki dio krivulje oko tocke (x0, y0) predstavlja graf nekefunkcije y = f (x).



Zadatak

Izvedite jednadzbu tangente na kruznicu (u njenoj tocki (x0, y0))?

Ukoliko je tangenta u (x0, y0) vertikalna, tangenta je pravacx = x0. Inace mozemo uzeti da je u blizini od (x0, y0) luk kruznicefunkcija y = f (x) od x pa jednadzbu kruznice deriviramo po xuzevsi u obzir lancano pravilo, tj. kad god deriviramo y mnozimoderivaciju s y ′:

(x − p)2 + (y − q)2 = r 2/d

dx,

2(x − p) + 2(y − q)y ′ = 0,

y ′ = − y − q

x − p, x 6= p.

Takvo deriviranje se naziva implicitnim deriviranjem. Slijedi datrazena jednadzba tangente za x0 6= p glasi(x − p)(x0 − p) + (y − p)(y0 − q) = r 2.


Zadatak


Ukoliko je tangenta u (x0, y0) vertikalna, tangenta je pravacx = x0.

Inace mozemo uzeti da je u blizini od (x0, y0) luk kruznicefunkcija y = f (x) od x pa jednadzbu kruznice deriviramo po xuzevsi u obzir lancano pravilo, tj. kad god deriviramo y mnozimoderivaciju s y ′:

(x − p)2 + (y − q)2 = r 2/d

dx,

2(x − p) + 2(y − q)y ′ = 0,

y ′ = − y − q

x − p, x 6= p.



Zadatak



(x − p)2 + (y − q)2 = r 2/d

dx,

2(x − p) + 2(y − q)y ′ = 0,

y ′ = − y − q

x − p, x 6= p.



Zadatak



(x − p)2 + (y − q)2 = r 2/d

dx,

2(x − p) + 2(y − q)y ′ = 0,

y ′ =

− y − q

x − p, x 6= p.



Zadatak



(x − p)2 + (y − q)2 = r 2/d

dx,

2(x − p) + 2(y − q)y ′ = 0,

y ′ = − y − q

x − p, x 6= p.

Takvo deriviranje se naziva implicitnim deriviranjem. Slijedi datrazena jednadzba tangente za x0 6= p glasi

(x − p)(x0 − p) + (y − p)(y0 − q) = r 2.


Zadatak



(x − p)2 + (y − q)2 = r 2/d

dx,

2(x − p) + 2(y − q)y ′ = 0,

y ′ = − y − q

x − p, x 6= p.



Zadatak

Odredite koeficijent smjera tangente na Kartezijev list u njegovojtocki (x0, y0)?

k =ay0 − x2

0

y 20 − ax0

Zadatak

Krivulja astroida opisana je jednadzbom

x2/3 + y 2/3 = a.

U kojim tocakama te krivulje tangente imaju koeficijent smjera −1?

2

3x−1/3 +

2

3y−1/3y ′ = 0⇒ y ′ = 3

√y

x= −1⇒

y = −x&x2/3 + y 2/3 = a⇒ 2x2/3 = a⇒ x = ±√

a3

8, y = ∓

√a3

8.


Zadatak


k =ay0 − x2

0

y 20 − ax0

Zadatak


x2/3 + y 2/3 = a.


2

3x−1/3 +

2

3y−1/3y ′ = 0⇒

y ′ = 3

√y

x= −1⇒

y = −x&x2/3 + y 2/3 = a⇒ 2x2/3 = a⇒ x = ±√

a3

8, y = ∓

√a3

8.


Zadatak


k =ay0 − x2

0

y 20 − ax0

Zadatak


x2/3 + y 2/3 = a.


2

3x−1/3 +

2

3y−1/3y ′ = 0⇒ y ′ = 3

√y

x= −1⇒

y = −x&x2/3 + y 2/3 = a⇒ 2x2/3 = a⇒ x = ±√

a3

8, y = ∓

√a3

8.


Zadatak


k =ay0 − x2

0

y 20 − ax0

Zadatak


x2/3 + y 2/3 = a.


2

3x−1/3 +

2

3y−1/3y ′ = 0⇒ y ′ = 3

√y

x= −1⇒

y = −x&x2/3 + y 2/3 = a⇒

2x2/3 = a⇒ x = ±√

a3

8, y = ∓

√a3

8.


Zadatak


k =ay0 − x2

0

y 20 − ax0

Zadatak


x2/3 + y 2/3 = a.


2

3x−1/3 +

2

3y−1/3y ′ = 0⇒ y ′ = 3

√y

x= −1⇒

y = −x&x2/3 + y 2/3 = a⇒ 2x2/3 = a⇒ x = ±√

a3

8, y = ∓

√a3

8.


Deriviranje parametarski zadanih funkcija

Kakva je putanja tocke koja se giba u koordinatnoj ravnini tako dajoj je u svakom trenutku (vrijeme mjerimo u sekundama) apscisajednaka (po iznosu) kosinusu tog trenutka, a ordinata sinusu?

Aako je apscisa u svakom trenutku proporcionalna tom trenutku, aordinata proporcionalna (s istom konstantom proporcionalnosti)reciprocnoj vrijednosti od kvadrata trenutka uvecanog za 1?


Deriviranje parametarski zadanih funkcija

Kakva je putanja tocke koja se giba u koordinatnoj ravnini tako dajoj je u svakom trenutku (vrijeme mjerimo u sekundama) apscisajednaka (po iznosu) kosinusu tog trenutka, a ordinata sinusu? Aako je apscisa u svakom trenutku proporcionalna tom trenutku, aordinata proporcionalna (s istom konstantom proporcionalnosti)reciprocnoj vrijednosti od kvadrata trenutka uvecanog za 1?


Zadatak

Kako izgleda krivulja (cikloida) koja je putanja tocke na rubukotaca koji se kotrlja po pravcu? Mozete li ju opisati parametarski?

x(t) = a(t − sin t),

y(t) = a(1− cos t).

Parametarski zadana krivulja (u ravnini) je skup tocaka(x(t), y(t)), gdje su x i y realne funkcije iste realne varijable t ∈ I(I je neki zatvoren interval, tj. segment). Pisemo:

x = x(t),

y = y(t),

t ∈ I .


Dvije vazne parametarske jednadzbe poznatih krivulja su

Kruznica radijusa R sa sredistem u (x0, y0): x = x0 + R cos t,y = y0 + R sin t za t ∈ [0, 2π〉;Elipsa s poluosima a i b i sredistem u ishodistu: x = a cos t,y = b sin t za t ∈ [0, 2π〉.

Sto tada predstavljaju x ′(t) i y ′(t)? U fizikalnoj interpretacijikrivulje kao trajektorije tocke, u svakom trenutku t brojevi x ′(t) iy ′(t) predstavljaju iznose horizontalne odnosno vertikalnekomponente brzine u trenutku t. Uredeni par (x ′(t), y ′(t))predstavlja (vektor) brzine u tom trenutku. Iznos brzine je√

(x ′(t))2 + (y ′(t))2. Koeficijent smjera tangente u istoj tocki (a

na toj tangenti lezi vektor brzine) je y ′(t)x ′(t) .




Sto tada predstavljaju x ′(t) i y ′(t)?

U fizikalnoj interpretacijikrivulje kao trajektorije tocke, u svakom trenutku t brojevi x ′(t) iy ′(t) predstavljaju iznose horizontalne odnosno vertikalnekomponente brzine u trenutku t. Uredeni par (x ′(t), y ′(t))predstavlja (vektor) brzine u tom trenutku. Iznos brzine je√






Sto tada predstavljaju x ′(t) i y ′(t)? U fizikalnoj interpretacijikrivulje kao trajektorije tocke, u svakom trenutku t brojevi x ′(t) iy ′(t) predstavljaju iznose horizontalne odnosno vertikalnekomponente brzine u trenutku t. Uredeni par (x ′(t), y ′(t))predstavlja (vektor) brzine u tom trenutku. Iznos brzine je√




Zadatak

Odredite iznos brzine u proizvoljnoj tocki cikloide:

x ′(t) = a(1− cos t)

y ′(t) = a sin t

√(x ′(t))2 + (y ′(t))2 = a

√1− 2 cos t + cos2 t + sin2 t = a

√2− 2 cos t.

Zadatak

Moze li se i, ako da, kako (a ako ne, zasto) svaki graf realnefunkcije jedne varijable opisati parametarski?


Polarne koordinate

Podsjetnik. Kompleksan broj moze se shvatiti kao tocka u ravninii opisati s dva parametra: apsolutnom vrijednosti i argumentom.

Ista ideja moze se koristiti za alternativu pravokutnomkoordinatnom sustavu ako

”ignoriramo” mogucnost interpretacije

tocke u ravnini kao kompleksnog broja.

(r , ϕ); r ≥ 0, ϕ ∈ R


Polarne koordinate

Podsjetnik. Kompleksan broj moze se shvatiti kao tocka u ravninii opisati s dva parametra: apsolutnom vrijednosti i argumentom.Ista ideja moze se koristiti za alternativu pravokutnomkoordinatnom sustavu ako

”ignoriramo” mogucnost interpretacije

tocke u ravnini kao kompleksnog broja.

(r , ϕ); r ≥ 0, ϕ ∈ R


Veza izmedu polarnih i Kartezijevih koordinata u ravnini

Uz pretpostavku zajednickog ishodista i polarne osi koja se poklapas pozitivnim dijelom osi apscisa:

x = r cosϕ, y = r sinϕ

r =√

x2 + y 2, tgϕ =y

x.

Zadatak

Gdje se u polarnom koordinatnom sustavu nalaze tocke skoordinatama (d , ϕ) = (0, 0)? (1, 0)? (0, 1)? (−1, 0)? (1, π/2)?(2, π/3)? (1,−π/3)? (π, 45◦)?

Sto u polarnom koordinantomsustavu predstavlja jednadzba d = 2,5? ϕ = 3π/2? Srafirajte dioravnine koji u polarnom koordinatnom sustavu ima obje koordinateizmedu 0 i 1!





r =√

x2 + y 2, tgϕ =y

x.

Zadatak

Gdje se u polarnom koordinatnom sustavu nalaze tocke skoordinatama (d , ϕ) = (0, 0)? (1, 0)? (0, 1)? (−1, 0)? (1, π/2)?(2, π/3)? (1,−π/3)? (π, 45◦)? Sto u polarnom koordinantomsustavu predstavlja jednadzba d = 2,5? ϕ = 3π/2?

Srafirajte dioravnine koji u polarnom koordinatnom sustavu ima obje koordinateizmedu 0 i 1!





r =√

x2 + y 2, tgϕ =y

x.

Zadatak

Gdje se u polarnom koordinatnom sustavu nalaze tocke skoordinatama (d , ϕ) = (0, 0)? (1, 0)? (0, 1)? (−1, 0)? (1, π/2)?(2, π/3)? (1,−π/3)? (π, 45◦)? Sto u polarnom koordinantomsustavu predstavlja jednadzba d = 2,5? ϕ = 3π/2? Srafirajte dioravnine koji u polarnom koordinatnom sustavu ima obje koordinateizmedu 0 i 1!


Zadatak

Zadan je polupravac o s pocetkom u ishodistu O. Kakva jeformula ovisnosti udaljenosti r od ishodista o kutu ϕ u odnosu napocetni polozaj o za tocku koja se od O jednoliko giba po o, ako ojednoliko rotira oko O? Kako izgleda putanja te tocke?

r = aϕ

Zadatak

Skicirajte nekoliko tocaka hiperbolicne spirale zadane jednadzbomr = 1/ϕ. Mozete li naslutiti njen oblik?


Zadatak

Ako je f nenegativna za varijable od −π/2 do π/3, a negativnainace, sto mozete reci o krivulji r = f (ϕ)?

Zadatak

Ako je f periodicna s periodom 2π, sto mozete reci o krivuljir = f (ϕ)?

Zadatak

Ako je f periodicna s periodom π/2, sto mozete reci o krivuljir = f (ϕ)?

Zadatak

Ako je f parna, sto mozete reci o krivulji r = f (ϕ)?

Zadatak

Ako je f neparna, sto mozete reci o krivulji r = f (ϕ)?

Zadatak

Kako izgleda krivulja zadana jednadzbom r = 1 + cosϕ?


Ako deriviramo jednadzbu krivulje r = f (ϕ) po ϕ, to je obicnoderiviranje funkcije jedne varijable. No, interpretacija iznosaderivacije ovdje ne odgovara nagibu tangente na promatranukrivulju gledanu u Kks-u, vec opisuje relativnu promjenu udaljenostiod ishodista u odnosu na relativnu promjenu polarnog kuta.Zelimo li odrediti koeficijent smjera tangente na krivulju r = f (ϕ)u tocki (r0, ϑ0), dobijemo ga ovako:

k = y ′(x0) =

dydϕ

dxdϕ

=

=r ′(ϕ0) sin(ϕ0) + r0 cos(ϕ0)

r ′(ϕ0) cos(ϕ0)− r0 sin(ϕ0):

cos(ϕ0)

cos(ϕ0)=

r0 + r ′(ϕ0)tgϕ0

r ′(ϕ0)− r0tgϕ0.

Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan7.pdf · Uvod u...

Documents

Transcript of Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan7.pdf · Uvod u...