Fraktálová geometrie
description
Transcript of Fraktálová geometrie
![Page 1: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/1.jpg)
Fraktálová geometrie
![Page 2: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/2.jpg)
Matematické modely
vymezit zkoumaný systém zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému
v čase tvorba matematického modelu: vzájemný vztah
základních veličin výstupem matematického modelu jsou data popisující
chování zkoumaného systému ověření výstupních dat na reálném systému korekce matematického modelu
![Page 3: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/3.jpg)
Matematické modely
Výstupem může být i geometrický útvar Příklady z oblasti biologie
• Program pro syntetický život Tierra
• Matematický model DNA generovaný počítačem
• Matematický model jednoduché „evoluce“
• Vězňovo dilema – spolupráce nebo zrada? Některé geometrické útvary mají zvláštní vlastnosti,
nazýváme je fraktály
![Page 4: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/4.jpg)
Fraktálová geometrie
Benoit Mandelbrot, Gaston Julia Základní literatura : The Fractal Geometry of Nature La fractale, fractus, fraction výzkum začneme na jednoduchém fraktálu Kochové
křivce (Helge von Koch, 1904)
![Page 5: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/5.jpg)
křivka je spojitá, nikde sama sebe neprotíná celá křivka je uvnitř kružnice opsané původnímu
trojúhelníku křivka má nekonečnou délku, i když je „uzavřena“ v
kružnici, délka hranice :
o ... obvod trojúhelníku
n … počet „dělení“ trojúhelníku
Vlastnosti Kochové křivky
n
n 3
4olims
![Page 6: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/6.jpg)
Vlastnosti Kochové křivky
Každá část křivky obsahuje sebe sama, z každé části lze obnovit celou křivku – tato vlastnost se nazývá :
vnitřní homotetie
(self-similarity)
![Page 7: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/7.jpg)
Jakou má Kochové křivka dimenzi?
dimenze 0 : body dimenze 1 : přímky dimenze 2 : roviny dimenze 3 : prostory dimenze d : dimenze Kochové křivky?
![Page 8: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/8.jpg)
Jakou má Kochové křivka dimenzi?
1< d <2
![Page 9: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/9.jpg)
Je nutná nová definice dimenze ! Útvary klasické eukleidovské geometrie mají celočíselnou
(topologickou) dimenzi Velice zjednodušeně : topologická dimenze označuje počet
parametrů, kterými můžeme popsat každý bod na geometrickém útvaru
přímka : každý bod lze popsat jediným parametrem, má tedy dimenzi 1,
každá křivka v rovině má rovněž dimenzi 1, každý bod lze totiž obecně popsat: x=x(t), y=y(t), kde parametr t probíhá určitý interval
rovina : rovina má tedy dimenzi 2
Rt,utAX
Rs,t,vsutAX
![Page 10: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/10.jpg)
• Úsečku o topologické dimenzi 1 rozdělíme na N stejných úseček. Koeficient stejnolehlosti pro jednu úsečku bude tedy
• Když budeme místo úsečky dělit čtverec (dimenze 2) na N shodných čtverců, koeficient stejnolehlosti pro jeden čtverec bude bude
N
1r
2
1
N
1r
Jiná definice dimenze
![Page 11: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/11.jpg)
• Pro krychli tedy platí :
• Není problém definovat krychli s eukleidovskou dimenzí větší než 3, nazveme ji d, pak analogicky platí :
• Z toho vyjádříme d :
Dostali jsme vzorec pro výpočet homotetické
(Hausdorffovy – Besicovitchovy) dimenze, která se
někdy nazývá fraktálová
3
1
N
1r
d
1
N
1r
r1
log
Nlogd
![Page 12: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/12.jpg)
Definice fraktálů
Mandelbrot : „Fraktály se charakterizují intuitivním a pracovním způsobem prostřednictvím obrázků či množin, které by se mohly označit za fraktální, a přitom se vyhýbáme jejich definování matematickým a kompaktním způsobem“
![Page 13: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/13.jpg)
Definice fraktálů
Mandelbrot : „A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.“
Překlad : „Fraktál je podle definice množina, pro kterou je Hausdorffova-Besicovitchova dimenze vyloženě větší než topologická dimenze.“
![Page 14: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/14.jpg)
Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky
„Klasická“ křivka : když použijeme menší a menší měřítko, délka
se blíží k nějaké konečné hodnotě
Kochové křivka :
tzn., při zmenšování měřítka je délka nekonečná
(Richardsonův empirický zákon – pobřeží Bretaně)
n
n 3
4olims
![Page 15: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/15.jpg)
Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky
N = 4
d =1,26
3
1r
3log
4logd
![Page 16: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/16.jpg)
Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů
Množina komplexních čísel : Množina komplexních čísel obsahuje všechna reálná
čísla Navíc obsahuje tzv. imaginární jednotku i platí algebraický tvar komplexního čísla je a+b.i, kde a,b
jsou libovolná reálná čísla sčítání a násobení provádíme stejně jako čítání a
násobení dvojčlenů v R každé komplexní číslo lze znázornit v rovině jako bod o
souřadnicích [a;b]
1i2
![Page 17: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/17.jpg)
Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů
iterace … opětovné užití téhož početního obratu, výsledek početního obratu je vstupem pro následující opakování téhož obratu
iterace v C … • počáteční hodnota z = 0+0i tj. bod o souřadnicích [0;0]
• c je testované komplexní číslo
• pokud c konverguje tj. blíží se bodu [0;0], označíme je černě
• pokud diverguje označíme jej barevně, např. podle „rychlosti“ divergence
cz.zz
![Page 18: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/18.jpg)
Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů
Výsledkem otestování všech bodů roviny je fraktálový útvar,
který se nazývá Mandelbrotova množina (M-set).
Vlastnosti : celá množina leží v kruhu o poloměru 2 množina je souvislá fraktální dimenze hranice množiny je 2, jedná se tedy o fraktál obsahuje údaje o všech tzv. Juliových množinách každou část lze „zvětšovat“ do nekonečna, vždy se objeví
nové a nové strukrury
![Page 19: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/19.jpg)
Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů
Využití : umění modelace fázových přechodů – magnetizace a demagnetizace počítačové benchmarky
![Page 20: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/20.jpg)
Další zajímavé fraktály
Cantorův prach (Cantorovo mračno) Sierpinského koberec Mengerova houba Fraktálové rozhraní Newtonovy metody Počítačová grafika – imaginární krajiny
![Page 21: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/21.jpg)
Použitá literatura
Gleick, J. : Chaos. Ando, Praha, 1996
Coveney, P., Highfield, R. : Mezi chaosem a řádem, Mladá fronta, Praha, 2003
Prigodine, I., Stengersová I. : Řád z chaosu. Mladá fronta, Praha, 2001
Mandelbrot, B. : Fraktály. Mladá fronta, Praha, 2003
Mandelbrot, B. : The Fractal Geometry Of Nature. W. H. Freeman And Company, New York, 2000
Burger, E. B., Starbird M. : The Heart Of Mathematics, Key College Publishing, Emeryville, California, 2000
![Page 22: Fraktálová geometrie](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062301/56813f78550346895daa6392/html5/thumbnails/22.jpg)
Děkuji Vám za pozornost