Fractional Fourier Transform: Fractional Wiener Filter in Scilab
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Fα(x) = Cαe iπy 2 cotα∫
f (x)e iπx2 cotαe−i 2πsin α xy dx
Aplicacion en Scilab para el tratamiento desenales con la transformacion de Fourier
fraccionaria: Filtro de Wiener fraccionario
Marcos Amaris Gonzalez1
Rafael Angel Torres2
1Autor2Director de Tesis
Abril de 2009
Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒1/22
Planteamiento del Problema
Senales estacionarias y no estacionarias.
Representacion en Tiempo y/o Frecuencia.
Transformacion de Fourier.
F (y) =
∫ ∞−∞
f (x)e−2ixy dx (1)
Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒2/22
Planteamiento del Problema
Senales estacionarias y no estacionarias.
Representacion en Tiempo y/o Frecuencia.
Transformacion de Fourier.
F (y) =
∫ ∞−∞
f (x)e−2ixy dx (1)
Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒2/22
Planteamiento del Problema
Senales estacionarias y no estacionarias.
Representacion en Tiempo y/o Frecuencia.
Transformacion de Fourier.
F (y) =
∫ ∞−∞
f (x)e−2ixy dx (1)
Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒2/22
STFT
G (τ, y) =
∫ ∞−∞
f (x)g(x − τ)e−2ixy dx (2)
La ecuacion 2 se puede interpretar como los resultado de latransformacion de Fourier estandar para cada punto G (τ, y)
Figura: Ventana Rectangular
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Transformacion Wavelet
w(t) =1√|a|
w
(t − b
a
)(3)
donde a es la escala y es b la traslacion.
Figura: Wavelet.
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Distribucion de Wigner
Wf (x , y) =
∫ ∞−∞
f
(x +
x ′
2
)f
(x − x ′
2
)e−2πix ′y dx ′ (4)
Valor de amplitud en cada punto W (x , y) asociados a un unafuncion f (x) y a su transformada F (y).
|f (x) |2 =
∫ ∞−∞Wf (x , y) dy
|F (y) |2 =
∫ ∞−∞Wf (x , y) dx
|fα (xα) |2 =
∫ ∞−∞Wf (x cosα− y senα, x senα + y cosα)dy
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Distribucion de Wigner
Wf (x , y) =
∫ ∞−∞
f
(x +
x ′
2
)f
(x − x ′
2
)e−2πix ′y dx ′ (4)
Figura: Grafica de una distribucion de WignerMarcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒5/22
Marco Teorico
N. Wiener, 1929; V. Namias, 1980; L. Almeida, 1993.
La expresion propuesta por Namıas esta dada por la siguienteecuacion:
Fα(y) = Cαe iπy2 cotα
∫f (x)e iπx2 cotαe−i 2π
sin αxy dx . (5)
donde α = aπ/2, a es un numero real.
Cα =e i(s(α) π
4−α
2)√
| sinα|(6)
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Propiedades de la FrFT
Linealidad: c1 y c2 son constantes.
Fα[c1f (x) + c2g(x)] = c1Fα[f (x)] + c2Fα[g(x)] (7)
Conservacion de la energıa:∫<
f (x)g ∗ (x)dx =
∫<
fα(y)g ∗α (y)dy (8)
Corrimiento: ς variable de corrimiento.
Fα[f (x − ς)] = Fα(y − ς cotα)e iπ sinα(ς2 cosα−2yς) (9)
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Propiedades de la FrFT
Modulacion:
Fα[f (x)e i2πδx ] = Fα(y − δ sinα)e−iπ cosα(δ2 sinα−2δy) (7)
Escalamiento: m variable de escala.
Fα[f (mx)] =√
cosβ/ cosαe12
(α−β)e iπy2 cot α(1− cos2 β
cos2 α)
fβ(ysinβ
m sinα)
(8)
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Casos particulares
a α = aπ/2 Operador Operacion
0 o 4 0 o 2π F 0 = F 4 = I Identidad
1 π/2 F 1 = F FT
2 π F 2 = FF = P Reflexion
3 3π/2 F 3 = FF 2 = F−1 FT inversa
Tabla: Casos particulares de la FrFT
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Justificacion
Viabilidad Tecnica.
? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.
? Viabilidad Economica.? Viabilidad Social.
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Justificacion
Viabilidad Tecnica.
? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.
? Viabilidad Economica.? Viabilidad Social.
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Justificacion
Viabilidad Economica.
? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.? Viabilidad Economica.
? Viabilidad Social.
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Justificacion
Viabilidad Social.
? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.? Viabilidad Economica.? Viabilidad Social.
GOTS IDETISUM
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Hipotesis
Discretizacion de la ecuacion 5
x = n∆x y = k∆y
Teorema de muestreo estandar de Shannon-Whittaker.
∆x =ξ
N∆y =
ζ
N
Segun lo anterior obtenemos la siguiente expresion:
fα(k) = Cαeiπk2ζ2 cot α
N2
n=N/2−1∑n=N/2
f (n)eiπn2ξ2 cot α
N2 e−2iπnkζξ
N2 sin α (9)
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Algoritmos fracF.m y fracft.m
fα(y) = Cα
∫ ∞∞
f (x)e iπ(y2 cotα+x2 cotα−2xy cscα)dx (10)
x2 cscα− x2 cscα + y 2 cscα− y 2 cscα = 0
y la ecuacion 10 queda de la siguiente manera:
fα(y) = Cα
∫ ∞∞
f (x)e iπ(y2(cotα−cscα)+x2(cotα−cscα)+(x−y)2 cscα)dx
(11)cotα− cscα = tanα/2 se reemplaza en la ecuacion 11:
Fα(y) = Cαe−iπ tan(α/2)y2∫ ∞−∞
e iπ cscα(y−x)2[e−iπ tan(α/2)x2
f (x)]dx .
(12)Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒11/22
Teorema de muestreo en Dominios fraccionarios
Teorema (Muestreo en Dominios fraccionarios)
Sea f (x) una funcion tal que su Fα(y) tiene soporte compactofinito ζ, f (x) puede ser muestreada y reconstruida perfectamentesi las muestras se toman a una tasa ∆x ≤ sinα/ζ.
Figura: ∆x en dominios fraccionarios.1
1R. Torres, et al. Sampling theorem in fractional Fourier domains. (SPIE)”. Pag. 1188-1192. A Marano, J. L.
Paz (2004).
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Algoritmo Propuesto
ξ
N=
sinα
ζ⇒ ξζ = N sinα ξ = ζ =
√N sinα
y al implementar esto en la ecuacion 9,
fα(k) = Cαeiπk2 cos α
N
n=N/2−1∑n=N/2
f (n)eiπn2 cos α
N e−2iπnk
N (13)
Intervalo de accion del Kernel 0,5 ≤ |a| ≤ 1,5.
fα(k) = Cαeiπk2 cos α
N F
[f (n)e
iπn2 cos αN
]. (14)
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Convolucion fraccionaria
La convolucion fraccionaria fα∗ g de dos funciones f (x) y g(x) se
define de la siguiente manera:
[fα∗ g ] = F−α[Fα[f ]Fα[g ]] (15)
Solucion Forma de operadores:
[f ∗α g ](x) = F−α[Fα[f ](xα)Fα[g ](xα)e iπx2 cotα](x). (16)
Solucion en forma de integral:
[f ∗α g ](x) =
∫f (y)g(x − y)e2iπy(x−y) cotαdy . (17)
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Filtro de Wiener fraccionario
f (x) = e(x) + r(x) (18)
Funcion de filtro:
Gα(vα) =Eα
S (vα)
EαS (vα) + Rα
R (vα)e−iπv2
α cotα (19)
donde EαS (vα) es el cuadrado en el dominio de Fourier fraccionario
de la senal sin el ruido y RαR (vα) es el cuadrado en el dominio
fraccionario del ruido.
hy (x) = [Fy ∗α g ](x) (20)
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Filtro de Wiener fraccionario
Figura: Proceso de distorsion en el dominio fraccionario de Fourier.
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Metodologıa Xtremme Programing
• XP es exitosa.
• Proyectos de corto plazo,corto equipo y cuyo plazo deentrega era ayer.
• Buenos valores y practicasde programacion.
• Aumentar la productividad.
Fases
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Desarrollo de la aplicacion
global fc, fy, dwf, dwF, fc2d, Fy2d;stacksize();figure();uimenu();exec();plot(); imread(); imshow();
Figura: Menu principal de la aplicacion
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Desarrollo de la aplicacion
Funcion Rectangulo
fc = [zeros(1, 50), ones(1, 28), zeros(1, 50)];
Figura: Senal Rectangulo
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Desarrollo de la aplicacion
Funcion Triangulo
fc = [zeros(1, 50), linspace(0, 1, 14), linspace(1, 0, 14), zeros(1, 50)];
Figura: Senal Triangulo
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Desarrollo de la aplicacion
Funcion Coseno
x = [linspace(−%pi , %pi , 28)];
fc = [zeros(1, 50), cos( %pi ∗ x), zeros(1, 50)];
Figura: Senal Coseno
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Desarrollo de la aplicacion
Funcion Seno
x = [linspace(−%pi , %pi , 28)];
fc = [zeros(1, 50), sin( %pi ∗ x), zeros(1, 50)];
Figura: Senal Seno
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Desarrollo de la aplicacion
Funcion Chirp
x = [−7 : 0,5 : 6,5];
fc = [zeros(1, 50), exp( %i ∗ (0,2 ∗ %pi ∗ x . ∗ x)/2), zeros(1, 50)];
Figura: Senal Chrirp
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Desarrollo de la aplicacion
Funcion Gauss
x = [−7 : 0,5 : 6,5];
fc = [zeros(1, 50), (5 ∗ exp(−(x . ∗ x)/0,5)), zeros(1, 50)]
Figura: Senal Gauss
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Desarrollo de la aplicacion
Funcion Chirp*Gauss
x = [−7 : 0,5 : 6,5];
exp( %i ∗ (2 ∗ %pi ∗ x . ∗ x)/0,5). ∗ (2 ∗ exp(−(x . ∗ x)/20))
Figura: Senal Rectangulo
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Demostracion y Resultados
Propiedad de escalamiento de la FrFT
f (x/m)F−→ |M|F (my).
Figura: Senal escalada y su transformada de Fourier fraccionaria.
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Demostracion y Resultados
FrFT de una funcion rectangulo
Entre a mas tiende a 0, se obtiene un espectro frecuencial muyparecido a la funcion de entrada.
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Demostracion y Resultados
Distribucion de Wigner
Figura: Distribucion de Wigner de una senal rectangulo
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Demostracion y Resultados
Distribucion de Wigner
Figura: Rotacion de la DW de la senal rectangulo por la FrFT
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: Imagen Tru.jpg de Scilab Image Processing.
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: FrFT de la imagen Tru.jpg con a = 0,5 en las filas y columnas.
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: Prpiedad de Aditividad de la transformacion.
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: Imagen onion de Matlab.
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: FrFT de la imagen onion con a = 0,25 en la filas y a = 0,75 enlas columnas.
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: imagen onion en su dominio directo, luego de haber estado en eldominio fraccionario.
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Demostracion y Resultados
Filtro de Wiener fraccionario
Figura: Filtro creado.
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Demostracion y Resultados
Filtro de Wiener fraccionario
Figura: Luego del proceso de filtrado por convolucion fraccionaria.
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Limitaciones e Inconvenientes
♣ I think LATEX is fun.
♠ stacksize
No. de muestras Dimension fracF FrFT0 DFrFT
128 1 0 0 0.094
256 1 0.16 0.023 0.312
512 1 0.16 0.017 1.052
1024 1 0.18 0.016 4.657
128 2 1.265 1.219 20.937
256 2 2.813 2.828 177.984
512 2 6.672 7.141 1259.312
1024 2 17.515 19.843 6167.481
Tabla: Duracion de FrFT a senales 1D y 2D con los algoritmosimplementados
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Limitaciones e Inconvenientes
Inconvenientes en las Fases de los algoritmos
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Conclusiones
† Investigacion en diferentes areas.
† Analisis, estudio y tratamiento de senales no estacionarias sonmuchas de las ventajas de la FrFT .
† La convolucion fraccionaria y el filtro de Wiener fraccionario, seimplementan de tal forma que minimiza el error al momento de laseparacion de dos senales en el dominio de Fourier fraccionario.
† FrFT y Distribucion de Wigner.
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Preguntas
¿ ? ¿ ? ¿ ?
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