Fractal, Αυτά τα άγνωστα γεωμετρικά σχήματα
-
Upload
kostas-solomos -
Category
Documents
-
view
126 -
download
5
description
Transcript of Fractal, Αυτά τα άγνωστα γεωμετρικά σχήματα
τάξη Α’2
ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
FRACTALS
Οµάδα Δ.Ι.Κ
Δανάη Παληογιάννη
Ιωάννα Παλµπά
Κώστας Ντάλας
Νίκος Γεωργαλής
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ........................................................................................................2
Τι είναι fractal? ..........................................................................................................2
Ποιος είναι ο Mandel brot?......................................................................................3
Υπάρχουν στη φύση?.....................................................................................................4
Τι εργαλείο έχω για να σχεδιάσω fractal? ............................................................4
Δηµιουργίες fractal, εικόνες δικές µας, από το Internet..................................4
Ποια fractals σχεδιάσαµε? .......................................................................................5
Τι είναι fractal?
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. µορφόκλασµα ή
µορφοκλασµατικό σύνολο) στα Μαθηµατικά, τη Φυσική αλλά και σε
πολλές επιστήµες ονοµάζεται ένα γεωµετρικό σχήµα που
επαναλαµβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθµό µεγέθυνσηςΤα
φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις µπορεί να προκύψουν από τύπο
που δηλώνει αριθµητική, µαθηµατική ή λογική επαναληπτική
διαδικασία ή συνδυασµό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των
φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη µορφή τους,
δηλαδή εµφανίζουν ανωµαλίες στη µορφή σε σχέση µε τα
συµβατικά γεωµετρικά σχήµατα. Κατά συνέπεια δεν είναι
αντικείµενα τα οποία µπορούν να οριστούν µε τη βοήθεια της
ευκλείδειας γεωµετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα
φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτοµέρειες, οι
οποίες όµως γίνονται ορατές µόνο µετά από µεγέθυνσή τους σε
κάποια κλίµακα. Για να γίνει αντιληπτός αυτός ο διαχωρισµός των
φράκταλ σε σχέση µε την ευκλείδεια γεωµετρία, αναφέρουµε ότι,
αν µεγεθύνουµε κάποιο αντικείµενο το οποίο µπορεί να οριστεί µε
την ευκλείδεια γεωµετρία, παραδείγµατος χάριν την περιφέρεια
µιας έλλειψης, αυτή µετά από αλλεπάλληλες µεγεθύνσεις θα
εµφανίζεται απλά ως ευθύγραµµο τµήµα. Η συµβατική ιδέα της
καµπυλότητας η οποία αντιπροσωπεύει το αντίστροφο της ακτίνας
ενός προσεγγίζοντος κύκλου, δεν µπορεί ωφέλιµα να ισχύσει στα
φράκταλ επειδή αυτή εξαφανίζεται κατά τη µεγέθυνση. Αντίθετα,
σε ένα φράκταλ, θα εµφανίζονται κατόπιν µεγεθύνσεων
λεπτοµέρειες που δεν ήταν ορατές σε µικρότερη κλίµακα
µεγέθυνσης.
Ποιος είναι ο Mandel brot?
Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελµπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη
fractus, που σηµαίνει "σπασµένος", "κατακερµατισµένος".Ο
Mandel Brot ήταν Γαλλοαµερικανός µαθηµατικός. Γεννηµένος
στην Πολωνία, µετακόµισε στη Γαλλία µε την οικογένειά του όντας
ακόµη σε παιδική ηλικία. Πέρασε µεγάλο µέρος της ζωής του
διαµένοντας και δουλεύοντας στις Ηνωµένες Πολιτείες,
αποκτώντας διπλή γαλλική και αµερικανική υπηκοότητα. Ωστόσο
είναι περισσότερο γνωστός ως ο «πατέρας» της γεωµετρίας των
φράκταλ. Καθιέρωσε τον όρο φράκταλ για να περιγράψει µια
κατηγορία µαθηµατικών αντικειµένων µε ακανόνιστα
περιγράµµατα, τα οποία µιµούνται τα ακανόνιστα σχήµατα που
απαντώνται στη φύση.[1] Το γνωστότερο από αυτά, που ονοµάστηκε
προς τιµήν του «Σύνολο Μάντελµπροτ», έχει εκτυπωθεί σε
αφίσες, λευκώµατα, ακόµη και σε µπλουζάκια.[2] Ο ίδιος φρόντισε
για τη διάδοση των ευρηµάτων του στο ευρύ κοινό, γράφοντας
βιβλία και δίδοντας πολλές διαλέξεις.
Υπάρχουν στη φύση?
Πολλά στοιχεία δείχνουν ότι η φύση έχει πιθανόν τέτοια
χαρακτηριστικά. Θα γίνει αναφορά εδώ στους βιολογικούς
οργανισµούς, δηλαδή στο βιολογικό επίπεδο οργάνωσης της φύσης,
όπου παρατηρούµε τέτοια χαρακτηριστικά, πριν µιλήσουµε για την
υπόλοιπη φύση.Οι βιολογικοί οργανισµοί αναπαράγονται µε βάση
τις πληροφορίες που περιέχονται στο γενετικό τους υλικό που
είναι αποτυπωµένο στο DNA.
Τι εργαλείο έχω για να σχεδιάσω fractal?
Υπάρχει µεγάλος αριθµός προγραµµατιστικών εργαλείων για τη
σχεδίαση φράκταλ. Επιλέξαµε µια γνωστή για τους περισσότερους
προγραµµατιστική γλώσσα για τη σχεδίαση φράκταλ, τη logo. H
logo είναι γνωστή σε όλους από την επαφή που είχαµε µαζί της
στο µάθηµα της πληροφορικής στη Γ Γυµνασίου.
Δηµιουργίες fractal, εικόνες δικές µας, από το
Internet.
Ποια fractals σχεδιάσαµε?
TO SQUARE.FRACTAL :SLENGTH :SDEPTH
IF :SDEPTH = 0 [ STOP ]
REPEAT 4 [
FORWARD :SLENGTH
RIGHT 90
SQUARE.FRACTAL :SLENGTH * 0.4 :SDEPTH - 1
]
END SQUARE.FRACTAL 200 4
TO PLANT :SIZE :ANGLE
IF :SIZE < 1 [ STOP ]
RIGHT :ANGLE
FORWARD :SIZE
REPEAT 4 [
PLANT :SIZE / 2 DIFFERENCE
RANDOM 160 80
]
BACK :SIZE
LEFT :ANGLE
END
PLANT 60 0
PROJECT Α΄ ΕΠΑΛ
ΒΟΝΙΤΣΑΣ
FRACTAL
ΟΜΑ∆Α ΠΥΡΑΥΛΟΣ:
ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΠΙΝΤΖΟΣ
ΕΝΚΕΛΜΙΡ ΧΑΛΙΛΙ
ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΑΛΟΥΚΗΣ
ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΗΤΣΟΥΡΑΣ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...........................................................................................................7
1) Τι είναι fractal ........................................................................................................7
2) Ποιος είναι ο mαndelbrot.......................................................................................7
3) Υπάρχουν στην φύση.............................................................................................8
4) Τι εργαλείο έχω για να σχεδιάσω fractal ...............................................................8
5)Ποια φρακταλ σχεδιασαµε .........................................................................................8
6) ∆ηµιουργίες φράκταλ, εικόνες δικές µας από το διαδίκτυο???.................................9
1) Τι είναι fractal
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. µορφόκλασµα ή µορφοκλασµατικό
σύνολο) στα Μαθηµατικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήµες ονοµάζεται ένα
γεωµετρικό σχήµα που επαναλαµβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθµό µεγέθυνσης, κι
έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως
"µαγική εικόνα" που όσες φορές και να µεγεθυνθεί οποιοδήποτε τµήµα του θα
συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο µε µερική ή ολική επανάληψη
του αρχικού. Χαρακτηριστικό εποµένως των φράκταλ είναι η λεγόµενη αυτο-
οµοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δοµές τους, η οποία εµφανίζεται σε
διαφορετικά επίπεδα µεγέθυνσης.
Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις µπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει
αριθµητική, µαθηµατική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασµό αυτών. Η
πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς
τη µορφή τους, δηλαδή εµφανίζουν ανωµαλίες στη µορφή σε σχέση µε τα συµβατικά
γεωµετρικά σχήµατα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείµενα τα οποία µπορούν να
οριστούν µε τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωµετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι
τα φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτοµέρειες, οι οποίες όµως
γίνονται ορατές µόνο µετά από µεγέθυνσή τους σε κάποια κλίµακα.
2) Ποιος είναι ο mαndelbrot
Ο Μπενουά Μάντελµπροτ[σηµ. 1]
(Benoît B. Mandelbrot, 20 Νοεµβρίου 1924 - 14
Οκτωβρίου 2010) ήταν Γαλλοαµερικανός µαθηµατικός. Γεννηµένος στην Πολωνία,
µετακόµισε στη Γαλλία µε την οικογένειά του όντας ακόµη σε παιδική ηλικία.
Πέρασε µεγάλο µέρος της ζωής του διαµένοντας και δουλεύοντας στις Ηνωµένες
Πολιτείες, αποκτώντας διπλή γαλλική και αµερικανική υπηκοότητα.
Ο Μάντελµπροτ εργάστηκε σε ευρύ φάσµα πεδίων των µαθηµατικών, ανάµεσα στα
οποία συναντούµε τα µαθηµατικά φυσικών επιστηµών και την ποσοτική
χρηµατοοικονοµική. Ωστόσο είναι περισσότερο γνωστός ως ο «πατέρας» της
γεωµετρίας των φράκταλ. Καθιέρωσε τον όρο φράκταλ για να περιγράψει µια
κατηγορία µαθηµατικών αντικειµένων µε ακανόνιστα περιγράµµατα, τα οποία
µιµούνται τα ακανόνιστα σχήµατα που απαντώνται στη φύση.[1]
Το γνωστότερο από
αυτά, που ονοµάστηκε προς τιµήν του «Σύνολο Μάντελµπροτ», έχει εκτυπωθεί σε
αφίσες, λευκώµατα, ακόµη και σε µπλουζάκια.[2]
Ο ίδιος φρόντισε για τη διάδοση
των ευρηµάτων του στο ευρύ κοινό, γράφοντας βιβλία και δίδοντας πολλές διαλέξεις.
Οι ανακαλύψεις του Μάντελµπροτ εφαρµόζονται σε τοµείς όπως όπως η γεωλογία, η
ιατρική, η αστρονοµία, η µηχανολογία, η µετεωρολογία, καθώς και τα οικονοµικά και
η ανατοµία.
3) Υπάρχουν στην φύση . Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όµως να υπάρχει άπειρη λεπτοµέρεια στη
µεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από µαθηµατικές σχέσεις. Ως
παραδείγµατα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού,
τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιµοφόρων αγγείων.
4) Τι εργαλείο έχω για να σχεδιάσω fractal
Επιλέξαµε µια γνωστή για τους περισσότερους προγραµµατιστική γλώσσα για τη
σχεδίαση φράκταλ, τη logo. H logo είναι γνωστή σε όλους από την επαφή που είχαµε
µαζί της στο µάθηµα της πληροφορικής στη Γ Γυµνασίου.
Ένα εξελληνισµένο προγραµµατιστικό περιβάλλον της logo, κατάλληλο να
χρησιµοποιηθεί στο σχολικό εργαστήριο, είναι αυτό της Fmslogo.
5) Ποια φρακταλ σχεδιασαµε Το φρακταλ του Koch, το τρίγωνο sierpinski , το φρακταλ Cesaro και το
φτακταλ δέντρο. Για παράδειγµα:
TO SQUARE.FRACTAL :SLENGTH :SDEPTH
IF :SDEPTH = 0 [ STOP ]
REPEAT 4 [
FORWARD :SLENGTH
RIGHT 90
SQUARE.FRACTAL :SLENGTH * 0.4 :SDEPTH - 1
]
END
SQUARE.FRACTAL 200 4
TO PLANT :SIZE :ANGLE
IF :SIZE < 1 [ STOP ]
RIGHT :ANGLE
FORWARD :SIZE
REPEAT 4 [
PLANT :SIZE / 2 DIFFERENCE RANDOM 160 80
]
BACK :SIZE
LEFT :ANGLE
END
PLANT 60 0
6) ∆ηµιουργίες φράκταλ, εικόνες δικές µας από το διαδίκτυο???
Α ΤΑΞΗ ΕΠΑΛ ΒΟΝΙΤΣΑΣ
ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟΣ FRACTAL
ΟΝΟΜΑΤΑ ΟΜΑ∆ΑΣ KTM:
ΜΑΚΗΣ ΚΑΒΟΥΝΟΣ
ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΠΑΙΛΗΣ
ΝΙΚΟΣ ΒΑΡ∆ΗΣ
ΕΛΙΣΙΟΝ ΣΠΕΡ∆ΕΑ
20/11/2012 ΒΟΝΙΤΣΑΣ
ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΡΑΚΤΑΛ.
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. µορφόκλασµα ή µορφοκλασµατικό σύνολο)
στα Μαθηµατικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήµες ονοµάζεται ένα
γεωµετρικό σχήµα που επαναλαµβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθµό µεγέθυνσης, κι
έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως
"µαγική εικόνα" που όσες φορές και να µεγεθυνθεί οποιοδήποτε τµήµα του θα
συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο µε µερική ή ολική επανάληψη
του αρχικού. Χαρακτηριστικό εποµένως των φράκταλ είναι η λεγόµενη αυτο-
οµοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δοµές τους, η οποία εµφανίζεται σε
διαφορετικά επίπεδα µεγέθυνσης.
Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις µπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει
αριθµητική, µαθηµατική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασµό αυτών. Η
πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς
τη µορφή τους, δηλαδή εµφανίζουν ανωµαλίες στη µορφή σε σχέση µε τα συµβατικά
γεωµετρικά σχήµατα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείµενα τα οποία µπορούν να
οριστούν µε τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωµετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι
τα φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτοµέρειες, οι οποίες όµως
γίνονται ορατές µόνο µετά από µεγέθυνσή τους σε κάποια κλίµακα.
Το σύνορο του συνόλου Μάντελµπροτ έχει κι αυτό φράκταλ δοµή.
Για να γίνει αντιληπτός αυτός ο διαχωρισµός των φράκταλ σε σχέση µε την
ευκλείδεια γεωµετρία, αναφέρουµε ότι, αν µεγεθύνουµε κάποιο αντικείµενο το οποίο
µπορεί να οριστεί µε την ευκλείδεια γεωµετρία, παραδείγµατος χάριν την περιφέρεια
µιας έλλειψης, αυτή µετά από αλλεπάλληλες µεγεθύνσεις θα εµφανίζεται απλά ως
ευθύγραµµο τµήµα. Η συµβατική ιδέα της καµπυλότητας η οποία αντιπροσωπεύει το
αντίστροφο της ακτίνας ενός προσεγγίζοντος κύκλου, δεν µπορεί ωφέλιµα να ισχύσει
στα φράκταλ επειδή αυτή εξαφανίζεται κατά τη µεγέθυνση. Αντίθετα, σε ένα
φράκταλ, θα εµφανίζονται κατόπιν µεγεθύνσεων λεπτοµέρειες που δεν ήταν ορατές
σε µικρότερη κλίµακα µεγέθυνσης.
Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όµως να υπάρχει άπειρη λεπτοµέρεια στη
µεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από µαθηµατικές σχέσεις. Ως
παραδείγµατα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού,
τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιµοφόρων αγγείων.
Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελµπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και
προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που σηµαίνει "σπασµένος",
"κατακερµατισµένος".
Για να κατανοήσουµε καλύτερα την αναγκαιότητα εισαγωγής των φράκταλ
αναφέρουµε το εξής παράδειγµα:
Η περίµετρος ενός νησιού εννοείται ότι είναι ορισµένη. Ωστόσο, αν
χρησιµοποιήσουµε ακρίβεια ενός µέτρου για να την µετρήσουµε, θα την βρούµε
µικρότερη από ότι πραγµατικά είναι γιατί δεν θα µπορέσουµε να µετρήσουµε τις
κοιλότητες που είναι µικρότερες του ενός µέτρου. Αν µετρήσουµε µε ακρίβεια ενός
εκατοστού, πάλι θα χάσουµε ορισµένες κοιλότητες. Έτσι καταλήγουµε σε απειροστά
µικρή µονάδα µέτρησης και η περίµετρος του νησιού θα γίνει άπειρη. Η επιφάνεια
όµως του νησιού, η έκτασή του δηλαδή, είναι ορισµένη. Το παράδοξο αυτό, το οποίο
η Ευκλείδεια Γεωµετρία αδυνατεί να εξηγήσει, αντιµετωπίζεται µε τα φράκταλ.
ΠΟΙΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο MANDELBROT.
Ο Benoit Mandelbrot γεννήθηκε στις 20 Νοεµβρίου
του 1924 στη Βαρσοβία (Πολωνία). Θεωρείται ότι
είναι σε µεγάλο βαθµό υπεύθυνος για το ενδιαφέρον
που υπάρχει στην εποχή µας για τη φρακταλική
γεωµετρία. Κατάφερε να επιδείξει το πώς τα
Φράκταλς εµφανίζονται σε διάφορα πεδία, εκτός των
µαθηµατικών, σχεδόν σε κάθε έκφραση της φύσης.
Γεννήθηκε σε µία οικογένεια µε µεγάλη ακαδηµαϊκή
παράδοση. Ο πατέρας του, είχε ως επάγγελµα την
αγοραπωλησία ρούχων, ενώ η µητέρα του ήταν
γιατρός. Σαν µικρό παιδί ο Mandelbrot έκανε την
γνωριµία µε τα µαθηµατικά µέσω των δύο θείων του.
Η οικογένειά του µετανάστευσε στη Γαλλία το 1936
και ο θείος του Szolem Mandelbrot, που ήταν καθηγητής Μαθηµατικών στο Γαλλικό
Κολλέγιο και διάδοχος του Hadamard σε αυτό το πόστο, πήρε την ευθύνη για τη
µόρφωσή του. Στην πραγµατικότητα η επιρροή του Szolem Mandelbrot ήταν
ταυτόχρονα θετική και αρνητική, καθώς υπήρξε µεγάλος θαυµαστής του Hardy και
της Φιλοσοφίας του περί Μαθηµατικών. Αυτό δηµιούργησε µία αντίδραση στον
Mandelbrot για τα Καθαρά Μαθηµατικά, αν και, τώρα πλέον, ο ίδιος λέει ότι
κατανοεί πως ο βαθύς ειρηνισµός του Hardy τον έκανε να φοβάται ότι τα
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά, στα λάθος χέρια, µπορεί να χρησιµοποιούνταν για κακό
σε καιρό πολέµου.
Ο Mandelbrot φοίτησε στο Λύκειο Rolin στο Παρίσι µέχρι την έναρξη του 2ου
παγκοσµίου πολέµου, όταν η οικογένειά του µετακόµισε στην Tulle στην κεντρική
Γαλλία. Αυτή ήταν µία εποχή εξαιρετικής δυσκολίας για τον Mandelbrot που
φοβήθηκε για την ζωή του σε πολλές περιπτώσεις. Ο πόλεµος, η συνεχής απειλή της
φτώχιας και η ανάγκη επιβίωσης τον κράτησαν µακριά από το σχολείο και το κολέγιο
και, παρότι αναγνωρίζει τους δασκάλους του της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης ως
«θαυµάσιους», ο ίδιος ήταν σε µεγάλο βαθµό αυτοδίδακτος.
Ο Mandelbrot τώρα αποδίδει µεγάλο µέρος της επιτυχίας του στη µη συµβατική του
εκπαίδευση. Του επέτρεψε να σκέφτεται µε τρόπους που µπορεί να ήταν δύσκολοι
για κάποιον που µέσω της συµβατικής εκπαίδευσης ενθαρρύνεται σθεναρά να
σκέφτεται µε δεδοµένους τρόπους. Επίσης του επέτρεψε να αναπτύξει µία υψηλά
γεωµετρική προσέγγιση των µαθηµατικών, και η αξιοσηµείωτη γεωµετρική του
διαίσθηση και οπτική άρχισε να του δίνει µοναδικές ενοράσεις πάνω σε µαθηµατικά
προβλήµατα.
Μετά τη φοίτησή του στη Λυών, ο Mandelbrot µπήκε στην Ecole Normale στο
Παρίσι. Μάλλον ήταν µία από τις πιο σύντοµες φοιτήσεις εκεί, αφού έφυγε µετά από
µία µόλις ηµέρα! Μετά από µία πολύ επιτυχηµένη απόδοση στις εξετάσεις εισαγωγής
στην Ecole Polytechnique, ο Mandelbrot ξεκίνησε τις σπουδές του εκεί το 1944.
Φοίτησε υπό την καθοδήγηση του Paul Levy, που ήταν άλλος ένας άνθρωπος µε
ισχυρή επίδραση πάνω του.
Μετά τη συµπλήρωση των σπουδών του εκεί, πήγε στις Η.Π.Α., όπου επισκέφθηκε το
Ινστιτούτο Τεχνολογίας στην Καλιφόρνια. Μετά από ένα διδακτορικό από το
Πανεπιστήµιου του Παρισιού, πήγε στο Ινστιτούτο Προωθηµένων Σπουδών στο
Princeton, όπου µπήκε υπό την επίβλεψη του John von Neumann.
Επέστρεψε στη Γαλλία το 1955 και εργάστηκε στο Εθνικό Κέντρο Επιστηµονικής
Έρευνας. Παντρεύτηκε την Aliette Kagan κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου όπου
διέµενε στη Γαλλία και στη Γενεύη, αλλά δεν του πήρε µεγάλο χρονικό διάστηµα για
να επιστρέψει στις Ηνωµένες Πολιτείες. Ο Clark αναφέρει τις αιτίες για την
απογοήτευσή του µε το στυλ Μαθηµατικών στην Γαλλία εκείνη την εποχή:
ΥΠΑΡΧΟΥΝ FRACTAL ΣΤΗ ΦΥΣΗ;
Υπάρχουν πολλά παραδείγµατα στην φύση όπως τα βουνά , δέντρα, κοχύλια και
άλλα. Τα βουνά δηµιουργούν fractal από διάφορες σεισµούς παραµορφώνονται και
µας κάνουν fractal.τα δένδρα µας κάνουν fractal από τα διάφορα κλαδιά που το ένα
φεύγει από εδώ και το άλλο από κει..
ΤΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΕΧΩ ΓΙΑ ΝΑ ΣΧΕ∆ΙΑΣΩ FRACTAL.. Σχεδιάσαµε fractal στον υπολογιστή µε το πρόγραµµα fms logo που βρίσκεται στην
παρακάτω ιστοσελίδα http://sourceforge.net/projects/fmslogo/ και είναι δωρεάν..
Παρακάτω αναφέρονται 2 παραδείγµατα fractal
∆ηµιουργίες fractal ,εικόνες δικές µας , από το διαδίκτυο
ΠΩΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΥΜΕ FRACTAL
ΤΟ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗΝ LOGO ΓΙΑ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΕΥΚΟΛΙΑ…..
Το κάνουµε µε την logo αλλά υπάρχουν πoλλοί τρόποι να σχεδιάσουµε.
ΠΟΙΑ FRACTAL ΣΧΕ∆ΙΑΣΑΜΕ
TO SQUARE.FRACTAL :SLENGTH :SDEPTH
IF :SDEPTH = 0 [ STOP ]
REPEAT 4 [
FORWARD :SLENGTH
RIGHT 90
SQUARE.FRACTAL :SLENGTH * 0.4 :SDEPTH - 1
]
END
SQUARE.FRACTAL 200 4
TO PLANT :SIZE :ANGLE
IF :SIZE < 1 [ STOP ]
RIGHT :ANGLE
FORWARD :SIZE
REPEAT 4 [
PLANT :SIZE / 2 DIFFERENCE RANDOM 160 80
]
BACK :SIZE
LEFT :ANGLE
END
PLANT 60 0
ΕΠΑΛ ΒΟΝΙΤΣΑΣ
Α ΤΑΞΗ
ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 1ου
ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ
ΟΜΑ∆Α ΜΑΘΗΤΩΝ:TAKEGAWA
ΝΤΟΥΡΑΝΤΩΝΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΤΡΙΑΝΤΑΚΩΝΣΤΑΝΤΗΣ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ
ΦΟΥΡΛΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ
20/11/2012 ΒΟΝΙΤΣΑ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Τι ονοµάζουµε φράκταλ ; ............................................................................................20
Ποιος είναι ο µαθηµατικός που τα ανακάλυψε ; .........................................................20
Είναι τα φράκταλ δηµιουργήµατα του ανθρώπινου µυαλού ή µπορούµε να τα
απαντήσουµε και γύρω µας στη φύση ; .......................................................................20
Ποια είναι τα βασικά γνωρίσµατα των φράκταλ ; .......................................................21
Αναζήτηση προγραµµάτων ή εφαρµογών που θα µας επιτρέψουν να σχεδιάσουµε τα
δικά µας φράκταλ?.......................................................................................................21
Παρουσίαση γνωστών φράκταλ. .................................................................................21
Παρουσίαση των δικών µας κατασκευασµένων φράκταλ.......................................22
Εξήγηση των εργαλείων και των µεθόδων που χρησιµοποιήσαµε για να σχεδιάσουµε
φράκταλ στον υπολογιστή. ..........................................................................................23
Τι ονοµάζουµε φράκταλ ;
Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις µπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει
αριθµητική, µαθηµατική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασµό αυτών. Η
πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς
τη µορφή τους, δηλαδή εµφανίζουν ανωµαλίες στη µορφή σε σχέση µε τα συµβατικά
γεωµετρικά σχήµατα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείµενα τα οποία µπορούν να
οριστούν µε τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωµετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα
φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτοµέρειες, οι οποίες όµως
γίνονται ορατές µόνο µετά από µεγέθυνσή τους σε κάποια κλίµακα.
Ποιος είναι ο µαθηµατικός που τα ανακάλυψε ;
Ο Μάντελµπροτ εργάστηκε σε ευρύ φάσµα πεδίων των µαθηµατικών, ανάµεσα στα
οποία συναντούµε τα µαθηµατικά φυσικών επιστηµών και την ποσοτική
χρηµατοοικονοµική. Ωστόσο είναι περισσότερο γνωστός ως ο «πατέρας» της
γεωµετρίας των φράκταλ. Καθιέρωσε τον όρο φράκταλ για να περιγράψει µια
κατηγορία µαθηµατικών αντικειµένων µε ακανόνιστα περιγράµµατα, τα οποία
µιµούνται τα ακανόνιστα σχήµατα που απαντώνται στη φύση. Το γνωστότερο από
αυτά, που ονοµάστηκε προς τιµήν του «Σύνολο Μάντελµπροτ», έχει εκτυπωθεί σε
αφίσες, λευκώµατα, ακόµη και σε µπλουζάκια. Ο ίδιος φρόντισε για τη διάδοση των
ευρηµάτων του στο ευρύ κοινό, γράφοντας βιβλία και δίδοντας πολλές διαλέξεις.
Είναι τα φράκταλ δηµιουργήµατα του ανθρώπινου µυαλού ή µπορούµε να τα απαντήσουµε και γύρω µας στη φύση ;
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. µορφόκλασµα ή µορφοκλασµατικό σύνολο)
στα Μαθηµατικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήµες ονοµάζεται ένα
γεωµετρικό σχήµα που επαναλαµβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθµό µεγέθυνσης, κι
έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως
"µαγική εικόνα" που όσες φορές και να µεγεθυνθεί οποιοδήποτε τµήµα του θα
συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο µε µερική ή ολική επανάληψη
του αρχικού. Χαρακτηριστικό εποµένως των φράκταλ είναι η λεγόµενη αυτο-
οµοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δοµές τους, η οποία εµφανίζεται σε
διαφορετικά επίπεδα µεγέθυνσης.
Ποια είναι τα βασικά γνωρίσµατα των φράκταλ ; Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. µορφόκλασµα ή µορφοκλασµατικό σύνολο)
στα Μαθηµατικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήµες ονοµάζεται ένα
γεωµετρικό σχήµα που επαναλαµβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθµό µεγέθυνσης, κι
έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως
"µαγική εικόνα" που όσες φορές και να µεγεθυνθεί οποιοδήποτε τµήµα του θα
συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο µε µερική ή ολική επανάληψη
του αρχικού. Χαρακτηριστικό εποµένως των φράκταλ είναι η λεγόµενη αυτο-
οµοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δοµές τους, η οποία εµφανίζεται σε
διαφορετικά επίπεδα µεγέθυνσης.
Αναζήτηση προγραµµάτων ή εφαρµογών που θα µας επιτρέψουν να σχεδιάσουµε τα δικά µας φράκταλ?
Επιλέξαµε µια γνωστή για τους περισσότερους προγραµµατιστική γλώσσα για τη
σχεδίαση φράκταλ, τη logo. H logo είναι γνωστή σε όλους από την επαφή που είχαµε
µαζί της στο µάθηµα της πληροφορικής στη Γ Γυµνασίου.
Ένα εξελληνισµένο προγραµµατιστικό περιβάλλον της logo, κατάλληλο να
χρησιµοποιηθεί στο σχολικό εργαστήριο, είναι αυτό της Fmslogo.
Παρουσίαση γνωστών φράκταλ.
K. Hokusai, Το µεγάλο κύµα στη Kanagawa
To fractal του Mandelbrot
Παρουσίαση των δικών µας κατασκευασµένων φράκταλ.
TO PLANT :SIZE :ANGLE
IF :SIZE < 1 [ STOP ]
RIGHT :ANGLE
FORWARD :SIZE
REPEAT 4 [
PLANT :SIZE / 2 DIFFERENCE RANDOM
160 80
]
BACK :SIZE
LEFT :ANGLE
END
PLANT 100 0
Εξήγηση των εργαλείων και των µεθόδων που χρησιµοποιήσαµε για να σχεδιάσουµε φράκταλ στον υπολογιστή.
• Σχεδιάσαµε στο logo φράκταλ και πιο συγκεκριµένα ατην fmslogo
• Ψάξαµε στο Mozilla χρησιµοποιώντας τη σελίδα της google για εικόνες και
αλλά διάφορες πληροφορίες σε σχέση µε τα φράκταλ.
• Χρησιµοποιήσαµε το microsoft Word για να γράψουµε την εργασία