Fracciones algebraicas

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS

MATEMÁTICAS

M.Sc. Ing. Boris Adolfo Llanos Torrico 1

GUIA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma )x(q

)x(p, donde p(x), q(x) P(x); q(x) 0.

El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica Ejemplos:

)2x,4x(8x2x

4x3)d(

7

y3x2)c(

2

3x

3x2

8)b()3x(

3x

5x)a(

2

Simplificación de expresiones algebraicas Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor. Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

(a) 2

2

32

32

5

33

b7

a8

ab3b7

ab3a8

ab21

ba24

(b) y4x2

y10x5

Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que tienen un factor común que es (x – 2y), entonces:

2

5

)y2x(2

)y2x(5

y4x2

y10x5

(c) 16x

12x7x2

2

Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

)4x)(4x(16x

)3x)(4x(12x7x2

2

Luego:

4x

3x

)4x)(4x(

)3x)(4x(

16x

12x7x2

2


MATEMÁTICAS


(d) 1xx

1x2

3

Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: x3 – 1 =(x – 1)(x2 + x +1) Entonces:

1x)1xx(

)1xx)(1x(

1xx

1x2

2

2

3

Ejercicios Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas

(1) 4

23

ab20

ba15 (2)

73

54

npm21

pmn7

(3) 85

754

dac11

dca121 (4)

24

b16a8

(5) b24a18

42

(6)

y75x50

y21x14

(7) n48m36

n36m27

(8)

xxy

xx2

(9) b3a3

bab2a 22

(10)

22

22

nmn2m

nm

(11) x2x

6x5x2

2

(12)

22

33

ba

ba

(13) 140x15x5

42x27x32

2

(14)

22 q2pq8p8

q2p4

(15) 223

324

nmnm

nmnm

(16)

x4x4x

x10x3x23

23

(17) 322

423

qp16

qp8 (18)

42

33

nm18

mn12

(19) 22

22

b3ab5a2

b32ab56a16

(20)

bd3d2bc3c2

bdbcadac

(21) xan5amnx10xam5

xan5xam522

22

(22)

3x3

1x2

4


MATEMÁTICAS


(23) 22

33

n5mn5m5

nm

(24)

y10xy3yx4

y25yx162

2

(25) yb6ya3

xb4xa2

(26)

232

2

)1x()5x(x

)1x()3x(x

(27) 232

43

)1x()5x(x

)5x()1x(

(28)

224

2

baa

aba

Amplificación de fracciones Toda fracción algebraica se puede amplificar, multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalente Ejemplos:

(a) Amplificada por 2, la fracción 4x2

6x2

2)2x(

2)3x(es

2x

3x

(b) Amplificada por 3am la fracción amn6am21

abm24ma15

am3)n2m7(

am3)b8a5(:resulta,

n2m7

b8a52

2

(c) Si se desea convertir el denominador de la fracción mn3

x8en un cuadrado perfecto, debemos

amplificar por 3mn 22nm9

mnx24

mn3

mn3

mn3

x8

(d) Si en la fracción ba

ba

deseamos convertir el numerador en un cuadrado perfecto, debemos

amplificar la fracción por (a + b). 22

2

ba

)ba(

)ba(

)ba(

)ba(

)ba(

Ejercicios: Completa el cuadro

Fracción Amplificada por Fracción Equivalente

(1) ab3

xy2

5x2y3

(2) mn7

ab6

8a2m3n

(3) ba7

b3a2

43

432

ba21

ab9ba3

(4) 3a9

mn17

4a54

amn102


MATEMÁTICAS


(5) 7x

4x

28x11x2

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas Un polinomio p(x) es el mínimo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente. Ejemplos.

Polinomios factores m.c.m.

yx12

xy6

yx9

5

4

2

yx32

yx32

yx3

52

4

22

45

4522

yx36

yx32

2x

2x3x

9x6x

6x5x

2

2

2

)2x(

)1x)(2x(

)3x(

)3x)(2x(2

)1x()3x)(2x( 2

b5a5

ba

a3b3

ba

22

)ab(5)1(

)ab)(ab()1(

)ab(3

)ab()1(

)ab(15

)ab)(ab(53122

)yx(2

yxyx

y6x622

33

)yx(2

yxyx

)yxyx)(yx(2322

22

)yx(6

)yxyx)(yx(2333

22


MATEMÁTICAS


Ejercicios. Determina el mínimo común múltiplo para cada conjunto de polinomios

Polinomios Factores m.c.m.

ba20

ab15

ba5

3

2

2

22

3

3

qp7

pq42

qp21

pq14

6x5x

3x

2x

2

1m

mm2

2

24p10p

8p6p

12p8p

2

2

2

3x7x2

2x3x22

2

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores iguales Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador, se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.


MATEMÁTICAS


Ejemplos Consideremos los siguientes casos

(a) 5

19x17

5

19x14x3

5

)19x14()x3(

5

19x14

x

3

(b)

x

b23a10

x

b19a17b4a7

x

)b19a17()b4a7(

x

b19a17

x

b4a7

(c)

b3a2

b5a8

b3a2

b2a7

b3a2

b9a5

b3a2

b6a4

b3a2

)b5a8()b2a7()b9a5(

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:

2)b3a2(

)b3a2(2

Entonces: 2b3a2

b5a8

b3a2

b2a7

b3a2

b9a5

Ejercicios: Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica cuando proceda

(1) x

7

x

5

x

9 (2)

222 a

9

a

5

a

4

(3) 2x3

4

2x3

x6

(4)

5m2

8m7

5m2

6m5

5m2

m4

(5) 15x2

8x7

15x2

3x2

(6)

4a3a

5a2

4a3a

722

(7) 12mm

mm3

12mm

m122

2

2

2

(8) 4p9

p6p6

4p9

p152

2

2

2

(9) 2a

8a1

2a

a2

(10) 1

2a

9

2a

3a

(11) 5a

71

5a

5a

(12) 1

2a3

3a5

2a3

4a


MATEMÁTICAS


(13) m3n2

n15m5

m3n2

n9m7

n2m3

n8m5

(14)

6p7p20

p10p

6p7p20

p12p32

2

2

2

(15) 82

2

8282

2

a10a3

2a3

a10a3

10a

a10a3

aa6

(16)

3b13b4

b3

3b13b4

b2b2424

2

(17) yx

b8a5

xy

b2a3

yx

ba

(18)

3m2m

m27

3m2m

m3m

3m2m

4m2

2

2

2

2

Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (mínimo común denominador) A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el denominador común Ejemplos: Consideremos los siguientes casos:

(a) yx10

y3x2

xy15

y4x322

Calculemos el m.c.m. de los denominadores factorizándolos:

yx52yx10

yx53xy1522

22

m.c.m. = 2222 yx30yx532

Como el denominador común es 30x2y2, debemos amplificar las fracciones para igualar los denominadores:

22

22

22

22

22

222222

yx30

y9xy14x6

yx30

y9xy6xy8x6

yx30

)y3x2(y3)y4x3(x2

yx30

)y3x2(y3

yx30

)y4x3(x2

yx10

y3x2

xy15

y4x3


MATEMÁTICAS


(b) b4a4

a6b

b3a3

ba2

Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

)ba(4b4a4

)ba(3b3a3

m.c.m.= )ba(12)ba(43

Luego, amplifiquemos las fracciones:

)ba(12

b7a26

)ba(12

a18b3b4a8

)ba(12

)a2b(3)ba2(4

)ba(12

)a6b(3

)ba(12

)ba2(4

b4a4

a6b

b3a3

ba2

(c) 12mm

20m9

6mm

m61322

Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

)4m)(2m)(3m(.m.c.m

)4m)(3m(12mm

)2m)(3m(6mm2

2

Luego, amplificamos las fracciones.

)4m)(2m)(3m(

12m13m3

)4m)(2m)(3m(

40m18m20m9m2452m6m13

)4m)(2m)(3m(

)20m9)(2m()m613)(4m(

)4m)(2m)(3m(

)20m9)(2m(

)4m)(2m)(3m(

)m613)(4m(

)4m)(3m(

20m9

)2m)(3m(

m613

12mm

20m9

6mm

m613

2

22

22


MATEMÁTICAS


Factoricemos el numerador, multiplicando y dividiendo por 3 a la vez:

)4m3)(3m(

3

)4m3(39m(3

3

)4m3)(9m3(

3

36)m3(13)m3(

3

212m13m3

22

Obtenemos:

8m6m

4m3

)4m)(2m(

4m3

)4m)(2m)(3m(

)4m3)(3m(

)4m)(2m)(3m(

12m13m3

2

2

Entonces:

8m6m

4m3

12mm

20m9

6mm

m613222


MATEMÁTICAS


Ejercicios: Calcula la adición o sustracción y simplifica cuando proceda

(1) x

3

x2

5

x5

9 (2)

x3

5

x2

7

x

62

(3) m5

1m3

m2

2m

(4)

x12

5x2

x8

6x

(5) 1m

52m

(6) 1a

3a2

7

(7) 1b3

51b

(8) 4c

3c

c9

(9) 2aa

a3

1a

222

(10) 12mm

m7

4m

m2

(11) 24p5p

2

12pp

1p22

(12)

x

y

xy2x

xy2

y2x

x2

(13) 9d

)1d(6

3d

d

3d

1d2

(14)

yx

y

yxy

x

y

x22

2

(15) a2b3

b2a3

b2a3

b3a2

(16)

1m

m

1m

2

1m

42

(17) 3z

3

3z5z2

1z62

(18)

12xx

5x4

xx318

9

24x10x

2222

(19) 3a4a

4a2

3a

1

2aa

5a222

(20)

1m

1

3m2m

11m

3m2m

1m322

(21) 8p2p

6

6p5p

1p

12pp

17p222

(22)

2d5d3

1

2dd6

7

1dd2

d3222


MATEMÁTICAS


Multiplicación de fracciones algebraicas En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es posible Ejemplo:

(a) yw7

xz6

w

z2

y7

x3

(b) x2

y10x15

y4x9

xy2x322

2

Factorizamos los polinomios y simplifiquemos.

2

5

x2

)y2x3(5

)y2x3)(y2x3(

)y2x3(x

(c) 7m7

21m7

m8m2m

mm

9m

6m5m223

3

2

2

Factoricemos y simplifiquemos

4m

1

)1m)(1m(7

)3m(7

)2m)(4m(m

)1m)(1m(m

)3m)(3m(

)2m)(3m(

)1m(7

)3m(7

)8m2m(m

)1m(m

)3m)(3m(

)2m)(3m(22

2

Entonces:

4m

1

7m7

21m7

m8m2m

mm

9m

6m5m223

3

2

2


MATEMÁTICAS


Ejercicios Calcula el producto de las siguientes fracciones algebraicas

(1) 4

3

3

4

ab7

yx5

ba3

xy2 (2)

2x19

)ba(17

x2

)ba(3

(3) w

z

6x

5x

3x

2x

(4)

315

87

54

43

yx

yx

yx

yx

(5)

52

432

543

32

yx

ba

ba

yx (6)

332

52

32

243

nm

dc

cd

nm

(7) y5x20

b14a21

b10a15

y3x12

(8)

x

yx

y42x42

y7x7

yx

y2x222

(9) 8a6a

ab

ab

4a3a2

5

2

2

(10)

18a11a

10a7a

15a8a

18a9a2

2

2

2

(11) 15z2z

21z10z

14z9z

16z10z2

2

2

2

(12)

6mm

12mm

24m10m

16m6m2

2

2

2

(13)

x2x

12x7x

16x8x

12x7x

9x6x

9x2

2

2

2

2

2

(14)

y30x30

y3x3

y5x5

yxyx

yxy2x

yxy2x

yx

yx 22

22

22

33

22

(15) 2a9a4

8a17a2

9a9a2

6a7a22

2

2

2

(16)

22

22

22

22

b10ab9a2

b6ab7a2

b12ab11a2

b12aba

(17) 2222

33

y2xy2x2

y6x6

yx

yx

(18)

y15x15

y7xy7x7

yx

y5xy10x5 22

33

22

(19) 10b3b

5b4b

14b9b

21b10b

15b2b

16b10b

1b2b

12b8b2

2

2

2

2

2

2

2


MATEMÁTICAS


División de fracciones algebraicas Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor Ejemplos:

(a) x3

y4

x9

y20

y5

x3

y20

x9:

y5

x3 2

2

3

3

2

(b) y12x6

y45x15

y15x5

y4x2

y45x15

y12x6:

y15x5

y4x2


11

1

)y2x(6

)y3x(15

)y3x(5

)y2x(2

(c) yx

y2x2

1

yx

y2x2

yx:yx

2222

Al factorizar y simplificar resulta:

2)yx(2yx

)yx(2

1

)yx)(yx(

(d) 98a14

1

12a6

14a5a98a14:

12a6

14a5a 22


84

1

)7a(14

1

)2a(6

)2a)(7a(


MATEMÁTICAS


Ejercicios: Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas

(1) 3

2

3

3

b9

ab14:

b18

a35 (2)

523

986

1064

785

cba

cba:

cba

cba

(3) 3

3

43

23

x

y9:

bxya54

yxab24 (4)

32

2

33

22

yb

ax3:

yab

bxa

(5) yx21x14

a:

a

xy9x6233

2

(6)

1a2a

aa:

aa

aa2

23

2

3

(7) 2m3m

3m2m:

8m2m

16m8m2

2

2

2

(8)

14c5c

7c8c:

10c7c

5c6c2

2

2

2

(9) 9x6x

3x4x:

18x3x

24x10x2

2

2

2

(10)

28m3m

32m4m:

21m4m

48m14m2

2

2

2

(11) 6p5p4

4p8p3:

3p7p4

2pp32

2

2

2

(12)

1a6a8

1aa12:

5a8a4

1a5a62

2

2

2

(13) 20mm

16m6m:

4m5m

2m3m2

2

2

2

(14)

22

22

22

33

yxy2x

yx:

yxy2x

yx

(15) 22

22

22

44

yxy2x

yx:

yxy2x

yx

(16)

1x

1x:

1x

xx3


MATEMÁTICAS


OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad. Ejemplos

(a) 4

a3

2

a

5

a2

Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones

40

)a1516(a

40

a15a16

40

a35a28

8

a3

5

a2

4

a3

2

a

5

a2 222

(b) x

4

16

x5

2

x3 2

En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición

4

x11

4

x5x6

4

x51x32

4

x5

2

x3

x

4

16

x5

2

x3 2

(c)

4

5

y15x10

y12x8:

y9x4

y3x222

Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el numerador y el denominador, para simplificar si es posible.

y3x2

y3x2:

y9x4

y3x2

4

5

)y3x2(5

)y3x2(4:

y9x4

y3x22222

Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor invertida :

y3x2

1

y3x2

y3x2

)y3x2)(y3x2(

y3x2

(d) 22

22

22 yxyx

yx

y2x2

y6x6:

yxy2x

y3x3

Calculemos el cuociente del paréntesis y luego multipliquemos.

22

22

2 yxyx

yx

)yx(6

)yx(2

)yx(

)yx(3

Fracciones algebraicas

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