Fourierova transformace

6. přednáškapředmětu Zpracování obrazů

Martina Mudrová2004

ve zpracování obrazůJean Baptiste Joseph Fourier

1768-1830

Motivace

Proč používat Fourierovu transformaci ?• základní matematický nástroj

detekce hran a segmentace obrazu

detekce objektůatd.

úprava kvality obrazu

rekonstrukce obrazu

ve zpracování digitálních obrazů

2

komprese obrazu(formát .JPG)

M. Mudrová, 2004

Matematické minimum

= převod mezi časovou x(t) a frekvenční X(f) oblastí

)()( fXtx ⇔ t...časová (prostorová oblast)f...frekvenční oblastZákladní definice:

zpětná spojitá FT:přímá spojitá FT:

∫+∞

∞−

−= dtetxfX tfi π2 )()( ∫+∞

∞−

+= dfefXtx tfi π2 )()(

Požadavky na f(t) : po částech spojitá

integrovatelná ∞

Příklad spojité FT

Jak vypadá FT periodických funkcí ?

) 2sin()( 0tftx π= ( ))()( 21)( 00 ffffi

fX +−−= δδ

Eulerovy vzorce: )2sin()2cos( 002 0 tfitfe tfi πππ ±=±

∫+∞

∞−

−= dtetxfX tfi π2 )()(Def. FT:

⇔d(f)… Diracova funkce

ff0

Časová (prostorová) oblast x(t) Spektrum |X(f)| (amplitudová fr. charakt.)

T=1/f0 2T 3T t

x(t)

-f 0 f f

|X(f)

|

0 0

⇔

4M. Mudrová, 2004

Od spojité k diskrétní FTCo je diskrétní FT ?

Diskretizace ve frekvenci: f Y fk Y k

Diskretizace v čase: tY tn Y n +

Diskrétní Fourierova transformacePřímá diskrétní FT: Zpětná diskrétní FT:

)()( kXnx ⇔∑−=

−=

1

0

2 )(1)(

N

n

Nnki

enxN

kXπ

∑−

=

+=

1

0

2 )()(

N

k

Nkni

ekXnxπ

0 20 40 60-1

0

1

x(n)

n

|X(k

)|

0 0 0

31 3.14 0.5

15 1.57 0.25

k...indexωk ...kruhová frekvencef …normalizovaná frekv.

63

5M. Mudrová, 2004

Omezení vzorové funkce v čase (prostoru)

= váhování = apodizaceFunkce s konečnou délkou ...

0 10 20 30 40 50 60

-1

0

1

x(n)

n

Periodický signál a jeho spektrum

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

10

20

30

40

ω od 0 do π

|X( ω

)|

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5Obdelnikové okno a jeho spektrum

x(n)

n0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

10

20

30

40

ω od 0 do π

|X( ω

)|

-1

0

1

x(n)

n

Omezený signál a jeho spektrum

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

10

20

30

40

ω od 0 do π

|X( ω)

|

6M. Mudrová, 2004

7

Do dvou dimenzí

0 10 20 30 40 50 60-101

x(n)

n

n -> [n, m] k -> [k, l]

|X(k

)|

0 31 15 k 63

2D DFT

),(),( lkXmnx ⇔∑∑−=

−

=

+−=

1

0

1

0

)(2 ),(1),(

N

n

M

m

Mlm

Nkni

emnxMN

lkXπ

∑∑−

=

−

=

++=

1

0

1

0

)(2 ),(),(

N

k

M

l

Mml

Nnki

elkXmnxπ

Přímá 2D DFT: Zpětná 2D DFT:

1

6 4

1

6 40

1

n

x (n ,m )

m-1

01

-1

0

1

f k

| X ( f k , f l) |

f ln

m

1 6 4

1 64

x (n ,m )

M. Mudrová, 2004

Příklad 2D DFT reálného obrazu

Symetrie

0 1

1

0

1-1-1

1

n

m

1 366

1

270

x(n,m)

8M. Mudrová, 2004

Princip číslicové filtrace

Co se stane při úpravě spektra?spektrum |X(k)|prostorová oblast x(n)

1. periodická funkce

2. náhodný šum

3. =1.+2.

4. po úpravě spektra

9M. Mudrová, 2004

2D filtrace

10M. Mudrová, 2004

Princip diskrétní konvoluce

Co se při úpravě spektra děje v prostorové oblasti?

Spektrální oblast:

Součin

11

Prostorová oblast:Konvoluce

∑=

−==n

jjnhjxnhnxny

0)()()(*)()(

kkHkXkY pro )( . )()( ∀=

y(n)…žádaný tvar funkcex(n)...daný (poškozený) tvar funkceh(n) ...číslicový filtr

Kde:

M. Mudrová, 2004

Příklad diskrétní konvoluce

Jaký má význam konvoluce?

12

∑=

−=

=n

jjnhjx

nhnxny

0)()(

)(*)()(

x(n) = 10; 20; 30; 40; 50h(n) = 0,5; 0,5

n=0 j=0 f(0).h(0) 10 . 0,5 5 y(0)= 5n=1 j=0 f(0).h(1-0) 10 . 0,5 5

j=1 f(1).h(1-1) 20 . 0,5 10 y(1)=5+10 = 15n=2 j=0 f(0).h(2-0) nedef.

j=1 f(1).h(2-1) 20 . 0,5 10j=2 f(2).h(2-2) 30 . 0,5 15 y(2)=10+15= 25

n=3 j=0 f(0).h(3-0) nedef.j=1 f(1).h(3-1) nedef.j=2 f(2).h(3-2) 30 . 0,5 15j=3 f(3).h(3-3) 40 . 0,5 20 y(3)=15+20= 35

n=4 j=0,1,2 nedef.j=3 f(4).h(4-3) 40 . 0,5 20j=4 f(4).h(4-4) 50 . 0,5 25 y(4)=25+20= 45

Příklad:(Klouzavý průměr)

y(n) = 5; 15; 25; 35; 45

M. Mudrová, 2004

13

2D diskrétní konvoluce

Jak vypadá 2D konvoluce?

∑∑= =

−−==n

j

m

jjmjnhjjxmnhmnxmny

0 02121

1 2

),(),(),(*),(),(

0 1 0

1 -4 1

0 1 0

matice filtruh(n,m)

matice obrázkux(n,m)

Prvek počítanýna pozici(n,m)

M. Mudrová, 2004

Aplikace I – detekce hran

Úloha detekce hran

(=>segmentace obrazu)

Orig

inál

ní o

braz

Obr

az p

o de

tekc

i hra

n

Hrana = náhlá změna obrazové funkce

Princip:Aplikace hranových detektorů= hornopropustných filtrů

14

Příklad spektra filtru |H(k,l)|Příklad matice filtru h(n,m)(filtr Prewittové)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−− 111000111

M. Mudrová, 2004

Aplikace II – potlačení šumu

Úprava obrazu

Orig

inál

ní o

braz

Princip:Potlačení vysokofrekvenčních složek aplikací dolnopropustného filtru

Spektrum filtru |H(k,l)|

Obr

az p

o úp

ravě

15M. Mudrová, 2004

Aplikace III – ostření

Úloha rekonstrukce poškozeného obrazu

Poš

koze

ný o

braz

Obr

az p

o re

kons

trukc

i

Princip:

• Inverzní filtrace• Wienerova filtrace

Typ poškození:

• Rozostření pohybem objektu (objektivu)• Špatné zaostření objektivu• Turbulence atmosféry• atd.

16M. Mudrová, 2004

Aplikace IV – detekce objektů

Úloha detekce polohy objektu

Princip:

17

• Výpočet korelační funkce= konvoluce v prostor. oblasti

• Zrychlení výpočtu aplikací algoritmu FFT ve 2D-> součin ve frekvenční oblasti

Obr

az x

(n,m

)

Filtr

h(n,

m)

Kor

elač

ní fu

nkce

h(n

,m)

M. Mudrová, 2004

Pokročilejší metody zpracování obrazů

Short-time Fourier transform = krátká FT- Kompromis mezi časovým (prostorovým) a frekvenčním rozlišením

Wavelet transformace´= vlnková transformace- používá časová (prostorová) okénka s proměnlivou délkou (wavelet funkce)- Aplikace v analýze obrazu, potlačení šumu, kompresi dat,…

Radonova transformace (p. Radon – české národnosti)- konverze z cylindrických souřadnic- aplikace především v biomedicíně (PET, SPECT, CT, …)

…

18M. Mudrová, 2004

Fourierova transformaceMotivaceMatematické minimumPříklad spojité FTOd spojité k diskrétní FTOmezení vzorové funkce v čase (prostoru)Do dvou dimenzíPříklad 2D DFT reálného obrazuPrincip číslicové filtrace2D filtracePrincip diskrétní konvolucePříklad diskrétní konvoluce2D diskrétní konvoluceAplikace I – detekce hranAplikace II – potlačení šumuAplikace III – ostřeníAplikace IV – detekce objektůPokročilejší metody zpracování obrazů