Fourier Series Representation of Periodic Signals

第三章 周期信号的傅里叶级数表示

本章内容：

Ⅰ. 周期信号的频域分析

Ⅱ. LTI 系统的频域分析

Ⅲ. 傅立叶级数的性质

3.0 引言 Introduction • 时域分析方法的基础：

1)信号在时域的分解。

2) LTI 系统满足线性、时不变性。

2. 具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。

1. 本身简单，且 LTI 系统对它的响应能简便得到。

从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：

3.1 历史的回顾 （ A Historical Perspective ）

任何科学理论 , 科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而得来的 , 其中有争论 , 还有人为之献出了生命。 历史的经验告诉我们 , 要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。

• 1768 年生于法国• 1807 年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”

• 拉格朗日反对发表• 1822 年首次发表“热的分析理论”

• 1829 年狄里赫利第一个给出收敛条件

傅里叶生平

1768—1830

傅里叶的两个最重要的贡献——

• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点

• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来　表示”——傅里叶的第二个主要论点

由时域分析方法有，( )( ) ( ) ( ) ( )s t st s sty t e h d e h e d H s e

( )[ ] [ ] [ ] ( )n k n k n

k k

y n z h k z h k z H z z

3.2 LTI 系统对复指数信号的响应The Response of LTI Systems to Complex

Exponentialsste nz

[ ]h n( )h tste ( )y t nz [ ]y n

考查 LTI 系统对复指数信号 和 的响应

可见 LTI 系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明 和 符合对单元信号的第一项要求。

ste nz

特征函数 (Eigenfunction)

如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。

结论：

只有复指数函数才能成为一切 LTI 系统的特征函数。

复指数函数 、 是一切 LTI 系统的特征函数。 　 、 分别是 LTI 系统与复指数信号相对应的特征值。

( ) ( ) stH s h t e dt

( ) [ ] n

k

H z h n z

ste nz

( )H s ( )H z

　对时域的任何一个信号 或者 , 若能将其表示为下列形式：

( )x t [ ]x ntststs eaeaeatx 321

321)(

利用系统的齐次性与叠加性

同理同理：： [ ] nk k

k

x n a Z [ ] ( ) nk k k

k

y n a H Z Z

ts

kkk

kesHaty )()(ts

kk

keatx )(即：

*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？

tststs esHaesHaesHatytx 321 )()()()()( 332211

所以有

1 11( )

s t s te H s e 2 22( )

s t s te H s e

3 33( )

s t s te H s e

由于

Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals

3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示

如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，

一 . 连续时间傅里叶级数0( ) { }jk t

k t e

0

2

k

0

2

成谐波关系的复指数信号集 :

，其中每个信号

都是以 为周期的，它们的公共周期

为 ，且该集合中所有的信号都是彼此

独立的。

0, 1, 2,k

例 1 ：0( ) cosx t t 0 01 1

2 2j t j te e

显然 也是以 为周期的。该级数就是傅里

叶级数， 称为傅立叶级数的系数。 这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即 : 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量。

0

2( )x t

ka

0( ) , 0, 1, 2jk tk

k

x t a e k

有

例 2 ： 0 0( ) cos 2cos3x t t t

0 0 0 03 31[ ]2

j t j t j t j te e e e

显然该信号中，有两个谐波分量， 为相应分量的加权因子，，即傅立叶系数。。

1

1

2a

在该信号中，有四个谐波分量，即 ,3,1 k

时对应的谐波分量。

傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。

二 .频谱（ Spectral ）的概念

在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。

t

( )k t 信号集 中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。

0

1

分量 可表示为0j te

因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数 时，就可以将 表示为

( )x t

( )x t0( ) jk tk

k

x t a e

这样绘出的图称为频谱图

1

2

1

2

0

0 0

00

0a1a

2a3a3a

2a

1a

gggg gggg

0 00

1cos ( )

2j t j tt e e 表示为

频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，即 的关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。

ka

~ka

三 .傅里叶级数的其它形式

0 0 0 0

*

( ) jk t jk t jk t jk tk k k k

k k k k

x t a e a e a e a e

k ka a 或

*k ka a

若 是实信号 ,则有 )()( txtx ，于是( )x t

若令 kjk ka A e ，则 为实数。于是0a

0 00

1

[ ]k kjk t j jk t jk k

k

a A e e A e e

0 0 0

1( ) ( )

01

( ) k k kj jk t j k t j k tk k k

k k k

x t A e e a A e A e

* k kj jk k k ka a A e A e

Q

即： k kA A k k

表明 的模关于 偶对称，幅角关于 奇对称。ka k k

0 00

1

( ) [ ]k kjk t j jk t jk k

k

x t a A e e A e e

0 01

2 cos( )k kk

a A k t

——傅里叶级数的三角函数表示式

k k ka B jC 若令 则0 0

1

01

( ) ( ) ( )jk t jk tk k k k

k k

x t a B jC e B jC e

0 00

1

( ) ( )jk t jk tk k k k

k

a B jC e B jC e

*k ka aQ k k k kB jC B jC

因此 k kB B k kC C

即 的实部关于 偶对称，虚部关于 奇对称。ka kk

0 00

1

( ) ( ) ( )jk t jk tk k k k

k

x t a B jC e B jC e

0 0 01

2 cos sink kk

a B k t C k t

——傅里叶级数的另一种三角函数形式

将此关系代入，可得到

四 .连续时间傅里叶级数系数的确定

0 0( )( ) jn t j k n tk

k

x t e a e

对两边同时在一个周期内积分，有

0 00 0( )

0 0( )

T Tjn t j k n tk

k

x t e dt a e dt

0( ) ,jk tk

k

x t a e

00

2

T

( )x t

则有

如果周期信号 可以表示为傅里叶级数

0 0 00( )

0 00 0 0cos( ) sin( )

T T Tj k n te dt k n tdt j k n tdt

00

00( )

T jn tnx t e dt a T

00

00

1( )

T jn tna x t e dtT

即

0

0,,T k n

k n

在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为

0

00

1( ) jk t

k Ta x t e dt

T

00

0

1( )

Ta x t dt

T

是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a

五 . 周期性矩形脉冲信号的频谱

10 0 1

11

0 1

0 0 0 0 0

2sin1 1T jk t jk t Tk TT

k Ta e dt e

T jk T k T

1 0 1 1 1 10 1

0 0 1 0 0 0

2 sin 2 2 2Sa( ) sinc( )

T k T T T Tk T k

T k T T T T

sinSa( )

xx

x

sinsinc( )

xx

x

其中

1

0T0Tt

( )x t

根据 可绘出 的频谱图。 称为占空比ka ( )x t 1

0

2T

T

0

( )Sa x1

x

012

1

sin ( )c x1

x1

1

0

2 1

2

T

T

1

0

2 1

4

T

T

1

0

2 1

8

T

T

不变 时0T 1T

1

0

2 1

2

T

T

1

0

2 1

4

T

T

1

0

2 1

8

T

T

1T不变 时0T

周期性矩形脉冲信号的频谱特征：

1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性

周期性矩形脉冲信号的频谱特征：

1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性

考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：0T 12T

1. 当 不变，改变 时，随 使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。

2. 当 改变， 不变时，随 使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。

1T

1T 0T

0T

1T

0T

当 时，有( ) ( )x t x t 0 0

0

0

2 20020 0

1 2( ) ( )cos

T Tjk t

Tka x t e dt x t k tdtT T

当 时，有( ) ( )x t x t 0 0

0

0

2 20020 0

1 2( ) ( )sin

T Tjk t

Tka x t e dt j x t k tdtT T

表明：奇信号的 是关于 的奇函数、虚函数。ka k

表明：偶信号的 是关于 的偶函数、实函数。ka k

信号对称性与频谱的关系：

作业作业 ::

P182--3.21 ；P182--3.22(a －仅对于图 p3.22 的d 所示的 x(t)) ；P182--3.22(c*) ；