Fotocopiable Santillana Matematicas-301
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419 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Nmeros racionales
CONTENIDOS
NMEROS RACIONALES
Concepto de fraccin. Interpretacin de una fraccin. Fracciones equivalentes. Fraccin irreducible.
Ordenacin y comparacin de fracciones.
Operaciones con fracciones. Suma, resta, multiplicacin y divisin de fracciones.
Concepto y tipos de nmeros decimales.
Fracciones y nmeros decimales. Reglas de conversin.
Nmeros racionales y fracciones.
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIN
PRUEBA INICIAL
La prueba inicial es un resumen de los contenidos deDivisibilidad y Fracciones, de 2. ESO, haciendo hin-capi en aquellos procedimientos ms bsicos: calcu-lar el m.c.d. y el m.c.m. de dos nmeros, averiguar lafraccin que representa una parte de un grfico, repre-sentar grficamente una fraccin y alguna de las ope-raciones bsicas: suma y multiplicacin de fracciones y simplificacin de fracciones.
PRUEBA DE LA UNIDAD
La prueba que se ha diseado contiene todos los conte-nidos procedimentales de la unidad. Las actividades sepueden resolver fcilmente, ya que es una unidad de revisin de conceptos y procedimientos estudiados encursos anteriores. Las ltimas actividades: problemas y clasificacin de nmeros, son las que pueden resultarms complicadas a los alumnos.
1INTRODUCCIN
Esta unidad tiene un carcter procedimental y ya ha sido trabajada en cursos anteriores, sobre todoen el uso de fracciones y nmeros decimales. Por tanto, los contenidos procedimentales de la unidadson conocidos por los alumnos, pero se ha de reforzarel mtodo de trabajo de manipulacin de fracciones,as como tambin se deben ampliar algunos conceptos de transformaciones de fracciones y decimales, e introducir la clasificacin de nmeros y la representacin grfica de nmeros racionales.
A lo largo de la unidad, conviene hacer reflexionar a los alumnos sobre la presencia de las fracciones en distintos contextos: situaciones de compra o consumo, figuras geomtricas, informaciones en medios de comunicacin
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Se recomienda comenzar la unidad comprobando y repasando, si es necesario, los conceptos msimportantes sobre divisibilidad y las distintasinterpretaciones de una fraccin: como cociente de dos nmeros, como resultado de una medida y como operador, dejando clara la interpretacin de fracciones positivas y negativas; la diferencia entrelas fracciones propias e impropias; la representacin de fracciones mediante figuras geomtricas y las operaciones con fracciones. Los conocimientosprevios que han de tener los alumnos son:
Criterios de divisibilidad. El m.c.d. y el m.c.m. de dos o ms nmeros.
Interpretacin de un nmero fraccionario.
Representacin de fracciones.
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420 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL
Completa la tabla con S o No.
Descompn los nmeros 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m.
El tangram es un antiguo puzle chino en el que el nmero y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la divisin de un cuadrado.
a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fraccin que supone su rea respecto del rea total del tangram.
b) Qu fraccin del total suponen los tringulos?
c) Si el rea total del tangram es 32 cm2, cul es el rea de cada una de las piezas?
Representa grficamente las siguientes fracciones.
a) b) c)
Calcula esta operacin con fracciones y simplifica el resultado.
5
18
5
6
8
5+ =
5
9
20
3
10
3
8
4
3
2
1
NMEROS RACIONALES1
Nmero 2
Es divisible por?
3 5 7 11 13
12
434
825
30
468
11
132 154
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL: SOLUCIONES
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
Completa la tabla con S o No.
Descompn los nmeros 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m.
El tangram es un antiguo puzle chino en el que el nmero y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la divisin de un cuadrado.
a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fraccin que supone su rea respecto del rea total del tangram.
b) Qu fraccin del total suponen los tringulos?
c) Si el rea total del tangram es 32 cm2, cul es el rea de cada una de las piezas?
Representa grficamente las siguientes fracciones.
a) b) c)
Calcula esta operacin con fracciones y simplifica el resultado.
518
86
5 8 318
2918
+ = + =518
5
6
8
5+ =
5
9
20
3
10
3
8
4
A A A A A A A1 2 2 3 6 2 4 5 7 28 2 4= = = = = = =cm cm cm, ,
A A AT = + = +
= =1 1
18
18
114
34
4 5( )
A A A A A A A1 2 3 6 4 5 714
116
18
= = = = = = =, ,
3
2
1
421
Nmero 2
Es divisible por?
3 5 7 11 13
12 S S No No No No
S No No S No No
No S S No S No
S S S No No No
S S No No No S
No No No No S No
434
825
30
468
11
132
663311
1
22311
154
7711
1
2711
m.c.d. (132, 154) = 2 11 = 22
m.c.m. (132, 154) = 22 3 7 11 = 924F
a) b) c)
1
6 7
5
3 42
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422 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN DE LA UNIDADcontenidos
Escribe una fraccin equivalente a y cuyo denominador sea 80.
De las siguientes fracciones, rodea las que sean equivalentes a .
Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones: y .
Ordena las siguientes fracciones: , , , .
Completa la suma: .
Opera y simplifica.
a)
b)7
5
5
32
6
27
42
24
5
9
3
4
5
7
15
2
:
6
= 75
23+5
3314
2311
145
74
4
14454
1281 024.
3
515
2
1548
1
6
21
7
21
11
30
15
45
18
55
20
60
23
65
Obtencin de fraccionesequivalentes mediante
amplificacin y simplificacin.
Determinacin de si dos fracciones
son o no equivalentes.
Bsqueda de fraccionesequivalentes a una dada.
Comparacin y ordenacin de fracciones.
Operaciones con fracciones.
Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 8
Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..............................................................................
Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 4, 9
Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................................
Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3, 5, 6, 10, 11
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
NMEROS RACIONALES1826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Pgina 422
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Sin realizar ninguna divisin, clasifica estos nmeros en enteros, decimales exactos o decimales peridicos.
Completa la siguiente tabla.
Obtn la fraccin generatriz de los nmeros decimales.
a) 12,05 b) 12,05 c) 12,05
En la fabricacin de sulfato sdico, por cada 142 g del producto final, 32 g son de azufre, 64 g de oxgeno y 46 g de sodio. Expresa mediante una fraccin los gramos de azufre, oxgeno y sodio que son necesarios para fabricar 100 g de sulfato.
De la clase de 3. ESO, las partes son chicos. Qu fraccin representa
el nmero de chicas? Cuntas chicas hay si son 28 alumnos en total?
47
11
10
9
8
7
40
40
7
128
8
35
15
13
128
15
34, , , , ,
7Reconocimiento y clasificacin de nmeros.
Obtencin de la fraccin generatriz de un nmero decimal
exacto o peridico.
Resolucin de problemascon fracciones.
Clasificar y discriminar segn criterios ................................................................................................................... 5, 7, 11
Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5
Combinar, componer datos, resumir, etc. ..............................................................................................................
Deducir, formular hiptesis, generalizar, etc. .........................................................................................................
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
423
N Z Q I
13
7
23
7,8
8
2
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424 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
NMEROS RACIONALES1EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES
Fraccin equivalente.
Fraccin equivalente.
Fracciones irreducibles.
Ordenacin de fracciones.
Comn denominador:
Operacin inversa.
Clculo.
a)
b)
Clasificacin.
Por 100 g de sulfato sdico.
Azufre: Oxgeno:
Sodio:
En el aula. son chicas;37
2837
283 28
7de 12 chicas= = =1 4
77 4
737
= =11
46142 100
2 30071
= =z z .
64142 100
3 20071
= =y y .32142 100
1 60071
= =x x .10
8
7
40
40
7
128
8
35
15D Exacto D Peridico Entero D Pe. . . rridico D Exacto D Peridico
13
128
15
34. .
7
=
= +
75
532
6 8 42 9216
75
532
3302166
75
= =
1.455864
679288
7
5
5
32
6
27
42
24
=
=
= 59
34
10105
59
315 40420
5 2753..
.
.7801 3753 780
275756
= =59
3
4
5
7
15
2
:
6
x = = =75
23
7 3 2 515
1115
=7
5x2
3+5
7
4
14
5
23
11
3
2.695 4.3121.540
3.2201 540 1 540. .
33
14
3.6301.540
74
2311
3314
145
< <
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425 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Nmeros reales
CONTENIDOS
NMEROS REALES
1. Nmeros racionales.
Potenciacin de nmeros racionales. Potencias de exponente positivo. Potencias de exponente negativo. Propiedades de las potencias.
Operaciones con potencias.
Potencias de base 10. Notacin cientfica.
Operaciones con nmeros expresados en forma cientfica.
2. Concepto de nmero real.
Nmero con una expresin decimal finita o infinita. Nmeros racionales e irracionales.
Posicin de un punto en una recta numrica.
Aproximacin de nmeros reales expresados en forma decimal: redondeo y truncamiento. Reglas de uso.
Error cometido en las aproximaciones y operaciones con nmeros reales.
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIN
PRUEBA INICIAL
La prueba inicial es un resumen de los contenidos dePotencias y raz cuadrada, de 2. ESO, en el que sehace hincapi en los conceptos bsicos de las potencias:clculo y transformaciones directas (actividades 1 y 2) e inversas (actividad 3), as como el clculo con nme-ros en notacin cientfica (actividad 5).
PRUEBA DE LA UNIDAD
La prueba tiene tres partes diferenciadas. La primera par-te (actividades 1 a 6) consta de cuestiones de repaso delas potencias y de manipulacin de nmeros mediantenotacin cientfica, que se pueden trabajar con la calcu-ladora y que sirven para conocer los diferentes tipos decalculadoras. La segunda parte (actividades 7 a 9) es de trabajo con los nmeros reales: aproximaciones y re-presentacin grfica, siendo las dos ltimas actividadesproblemas para realizar con la calculadora.
2INTRODUCCIN
En esta unidad se trabajan los nmeros decimales, su relacin con las fracciones y el uso de potencias. Los contenidos siguen siendo bsicamenteprocedimentales. Al acabar la unidad los alumnos han de saber manipular perfectamente las potencias y la notacin cientfica, que son esenciales en otrasreas de las Matemticas. Uno de los aspectos ms importantes de la unidad es el concepto denmero irracional y la estimacin y aproximacin de nmeros.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Esta unidad est relacionada con los contenidos de Nmeros decimales y Potencias y raz cuadrada.Los conocimientos previos son los relativos a:
Potencias con base entera.
Trabajo con nmeros decimales y en notacincientfica.
PR
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426 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL
Escribe la descomposicin factorial de los siguientes nmeros.
a) 810 c) 4.455
b) 31.752 d) 33.275
Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias.
Estos datos se refieren a un cubo. Completa la tabla con la calculadora.
Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2.
21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32
26 = 27 = 28 =
Observa la cifra de las unidades en los resultados. Cul ser la ltima cifra de la potencia 236?
Un embalse que abastece a una poblacin tiene 250 hm3. Si, por trmino medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la poblacin consta de 13.350 habitantes, cuntos das podr abastecer el embalse a la poblacin?
5
4
3
2
1
NMEROS REALES2
Base Exponente Resultado
23
(3)2
1
5
4
3
7
2
Arista 3 5
Volumen 27 729 4.913
rea de una cara 9 64 4.225
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL: SOLUCIONES
PR
OP
UE
STA
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VALU
AC
IN
Escribe la descomposicin factorial de los siguientes nmeros.
a) 810 = 2 34 5 c) 4.455 = 34 5 11b) 31.752 = 23 34 72 d) 33.275 = 52 113
Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias.
Completa la tabla con la calculadora.
Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2.
21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32
26 = 27 = 28 =
Observa la cifra de las unidades en los resultados. Cul ser la ltima cifra de la potencia 236?
Se repite la ltima cifra cada 4 unidades: {2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, }; por tanto, la potencia 236 tendr la misma ltima cifra que 24, es decir, un 6.
Un embalse que abastece a una poblacin tiene 250 hm3. Si, por trmino medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la poblacin consta de 13.350 habitantes, cuntos das podr abastecer el embalse a la poblacin?
Dividimos la cantidad total de agua entre la cantidad diaria que gasta cada habitante:
das. Luego dividimos esta cantidad entre el nmero de habitantes
que tiene la poblacin: 1 25 10
13 35094
6,. das.
250 10200
1 25 106
6 = ,
5
25612864
4
3
2
1
427
Arista 3 9 8 5 65 17
Volumen 27 729 512 125 274.625 4.913
rea de una cara 9 81 64 25 4.225 289
Base Exponente Resultado
23 2 3 8
(3)2 3 2 9
1
5
4
15
41
625
3
7
2
37
2949
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428 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN DE LA UNIDADcontenidos
Calcula las siguientes potencias.
a) b) ((3)2)2
Expresa como una sola potencia.
Calcula y simplifica la siguiente potencia.
(8 42)3
Escribe en notacin cientfica estos nmeros o expresiones numricas.
a) 1.700.000.000
b) 0,0000000017
c) 0,0025 + 0,0000032 0,00002
Opera mediante la notacin cientfica.
(6,5 107 0,23 109) 5,1 103
Calcula el trmino que falta.
a) 3,2 105 + = 5,7 106
b) 1,5 103 = 2,7 104
Trunca y redondea los siguientes nmeros o expresiones numricas a las milsimas.
a)
b)
c) 0,33
5
19
6
5
7
6
5
4
3
3 91
3272 3
4
2
2
1
5
2
1Clculo de potencias con exponentes negativos.
Aplicacin de las propiedades de las potencias.
Expresin de un nmero en notacin cientfica.
Trabajo con nmeros y potencias en notacin
cientfica.
Determinacin deaproximaciones decimales
de nmeros racionales e irracionales hasta las
dcimas, centsimas
Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 4
Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2, 3
Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 7
Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................................
Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 1, 2, 3, 5, 6, 10
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
NMEROS REALES2826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Pgina 428
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Representa el nmero en la recta real de forma exacta.
Representa en la recta real y de forma exacta los intervalos
y . Luego comprueba si los nmeros y
pertenecen o no a los intervalos.
Un glbulo rojo tiene forma de cilindro con un dimetro de unas 7 millonsimasde metro y unas 2 millonsimas de altura. Cul es su volumen?
En una botella de aceite virgen se indica: 0,75 3 %. Entre qu dos valoresestar comprendida la cantidad de aceite que contiene?
11
10
145
5B =
52
174
,A =
3
73
,
9
58Representacin de nmeros e intervalos en la recta real.
Resolucin de problemas con diferentes tipos
de nmeros y aproximaciones.
Clasificar y discriminar segn criterios ................................................................................................................... 8, 9
Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 7, 11
Combinar, componer datos, resumir, etc. ..............................................................................................................
Deducir, formular hiptesis, generalizar, etc. .........................................................................................................
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
PR
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430 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
NMEROS REALES2EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES
a) = ((5)1)2 = 52 = 25 b) ((3)2)2
Clculo.
Clculo y simplificacin. (8 42)3 = (23 (22)2) 3 = (234)3 = (21)3 = 23
Notacin cientfica.
a) 1.700.000.000 = 1,7 109 b) 0,0000000017 = 1,7 109
c) 0,0025 + 0,0000032 0,00002 = 2,5 103 + 3,2 106 2 105 == (2.500 + 3,2 20) 106 = 2,4832 103
(6,5 107 0,23 109) 5,1 103 = ((6,5 23) 107) 5,1 103 == 16,5 107 5,1 103 = 84,15 104 = 8,415 105
a) 3,2 105 + = 5,7 106 A = 5,7 106 3,2 105 = (5,7 0,32) 106 = 5,38 106
b) 1,5 103 = 2,7 104
Truncamiento y redondeo.
Mediante el teorema de Pitgoras. Tringulo de catetos 2 y 1
Representacin de intervalos.
Glbulo rojo.
Botella. Calculamos el 3% de 0,75 = 0,0225 0,75 0,0225 Intervalo: (0,7275; 0,7725)11
V =
=
72
10 2 1049 24
1062
6 122 6 17 37 7 10+ ( ) , m10
< <
3 5
73
5 352
,
-
431 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Polinomios
CONTENIDOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Monomios. Operaciones.
Polinomios. Valor numrico de un polinomio.
Operaciones con polinomios. Sumas, restas y multiplicaciones.
Divisin de polinomios.
Regla para sacar factor comn en un polinomio.
Igualdades notables. Cuadrado de una suma, de una diferencia y producto de suma por diferencia.
Fracciones algebraicas. Simplificacin de fracciones algebraicas.
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIN
PRUEBA INICIAL
La prueba inicial es un resumen de los contenidos deExpresiones algebraicas, de 2. ESO, y se hace hin-capi en la transformacin de expresiones algebraicas,operaciones con monomios y valor numrico de un po-linomio, ya que el resto de conceptos del curso anteriorse vuelven a revisar en este curso y, por tanto, apare-cen en las actividades de la unidad.
PRUEBA DE LA UNIDAD
La prueba que se ha diseado contiene actividades re-lativas a los contenidos que se trabajan en la unidad,sobre todo el clculo con polinomios: sacar factor co-mn, reducir, operaciones con polinomios Convienetrabajar la parte final (actividades 8 a 11): divisin depolinomios y binomios notables, tanto en su aplicacindirecta como inversa.
3INTRODUCCIN
Esta unidad contina el estudio algebraico comenzadoen cursos anteriores. La utilizacin del lenguajealgebraico es fundamental en el proceso de abstraccin matemtico y ser bsico al trabajar con ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Los dos aspectos ms importantes de la unidad son: la divisin de polinomios, que es necesaria para hallarraces de polinomios, y los productos notables. Ser interesante hacer ver a los alumnos que las expresiones algebraicas se utilizan en numerososaspectos de la economa, fsica, qumica, etc., y en diferentes operaciones o ecuaciones.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
En el curso anterior se comenz el estudio de las expresiones algebraicas, que es fundamentaltanto en este tema como en los relativos a ecuaciones y sistemas. Conviene revisar estos aspectos.
Operaciones con nmeros desconocidos medianteel lenguaje algebraico.
Clculo de sumas y restas de monomiossemejantes.
Trabajo con igualdades notables.
PR
OP
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IN
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-
432 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL
Expresa mediante el lenguaje algebraico.
a) Un mltiplo de 9.
b) El cubo de un nmero.
c) Un nmero impar.
d) Un mltiplo comn de 3 y 4.
Para calcular el espacio que recorre un mvil a una velocidad constante utilizamos la expresin algebraica: e = v t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v1 a la velocidad de un caballo, v2 a la velocidad de una moto y v3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados.
a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo.
b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto.
c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades del coche y la moto.
d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche.
e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo.
Opera con los monomios. P(x) = 3x 2 R(x) = 5x 2 T(x) = 6xQ(x) = 4x S(x) = 7
P(x) + R(x) =
Q(x) T(x) =
P(x) + S(x) =
P(x) T(x) =
Calcula el valor de las expresiones, segn el valor de x.
P(x) = 4x + 3, si x = 3 P(3) =
P(x) = 3x + 3x2, si x = 2 P(2) =
P(x) = (x2 4)2, si x = 2 P(2) =
4
3
2
1
POLINOMIOS3826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:48 Pgina 432
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL: SOLUCIONES
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
Expresa mediante el lenguaje algebraico.
a) Un mltiplo de 9 9nb) El cubo de un nmero n3
c) Un nmero impar 2n + 1d) Un mltiplo comn de 3 y 4 12n
Para calcular el espacio que recorre un mvil a una velocidad constante utilizamos la expresin algebraica: e = v t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v1 a la velocidad de un caballo, v2 a la velocidad de una moto y v3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados.
a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo v3 = 5v1
b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto
c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades del coche y la moto
d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche 2v2 = v3
e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo
Opera con los monomios. P(x) = 3x 2 R(x) = 5x 2 T(x) = 6xQ(x) = 4x S(x) = 7
P(x) + R(x) = 2x2
Q(x) T(x) = 10x
P(x) + S(x) = 3x2 + 7
P(x) T(x) = 18x3
Calcula el valor de las expresiones, segn el valor de x.
P(x) = 4x + 3, si x = 3 P(3) = 12 + 3 = 15
P(x) = 3x + 3x2, si x = 2 P(2) = 6 + 12 = 6
P(x) = (x2 4)2, si x = 2 P(2) = ((2)2 4)2 = 02 = 0
4
3
vv3 1
6=
29
12 3v
v v= +
vv
12
4=
2
1
433
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434 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN DE LA UNIDADcontenidos
Completa la tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado.
Saca factor comn.
Reduce y ordena el siguiente polinomio.
Determina el grado y el trmino independiente del polinomio anterior. Calcula su valor numrico para x = 3.
Halla el resultado de esta operacin entre polinomios.
(7x2 + 3x 2) (2x2 5x + 8)
Determina el polinomio opuesto del polinomio anterior. 6
5
4
P x x x x x x x( ) = + + +4 3 5 3 7 2 3 42 3 2 33
72
3
4
53 2 3 2 2x yz xyz x y z+
2
1Distincin entre coeficiente,parte literal y grado
de un monomio.
Obtencin de factor comn en expresiones algebraicas.
Reduccin y ordenacin de polinomios.
Determinacin del valornumrico de una expresin.
Clculo de sumas, restas y productos de diferentes
polinomios.
Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 4
Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..............................................................................
Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 3, 6, 7
Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 8, 10
Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 5, 8, 9, 10, 11
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
POLINOMIOS3
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
12x3
7ab2
7 5 2 3x y
2
32 3 2m n p
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Dados los polinomios:
realiza las siguientes operaciones.
a)
b)
c)
Haz la divisin y escribe el dividendo, divisor, cociente y resto.
Efecta los siguientes productos notables.
a) (x2 4)(x2 + 4)
b) (2x + 3)2
Expresa en forma de producto estos polinomios.
a) x2 + 6x + 9
b) 9y2 + 30y + 25
Opera y simplifica las siguientes fracciones.
a)
b)
c)x x
x
2
2
3
9
x x
x
3 26
3
8
4
2 3
4 2
x y z
xy z
11
10
9
( ) : ( )x x x x x5 4 34 3 5 2 1+ + +
8
P x M x( ) : ( )
Q x M x( ) ( )
P x Q x( ) ( )
M x x( ) = + 4Q x x x( ) = 2 3 13 2P x x x( ) = +4 2 3
7
Divisin de polinomios.
Trabajo con los productos notables.
Determinacinde cuadrados perfectos.
Simplificacin de fraccionesalgebraicas.
Clasificar y discriminar segn criterios ...................................................................................................................
Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................
Combinar, componer datos, resumir, etc. ..............................................................................................................
Deducir, formular hiptesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 10
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
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435
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436 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
POLINOMIOS3EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES
Tabla.
Factor comn.
P(x)
Grado: 3. Trmino independiente: 9.Valor numrico:
(7x2 + 3x 2) (2x2 5x + 8) = 14x4 35x3 + 56x2 + 6x3 15x2 + 24x 4x2 + 10x 16 == 14x4 29x3 + 37x2 + 34x 16
Polinomio opuesto.
a) P(x) Q(x)
b) Q(x) M(x)
c) P(x) : M(x)
Productos notables. a) (x2 4)(x2 + 4) = x4 16 b) (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9
Productos notables. a) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 b) 9y2 + 30y + 25 = (3y + 5)2
Simplificacin de fracciones algebraicas.
a) c)
b) = = x xx
x x2 63
63
( ) ( )x xx
3 26
3
= +
=+
x xx x
xx
( )( )( )
33 3 3
x x
x
2
2
3
9
= 2xyz
8
4
2 3
4 2
x y z
xy z
11
10
9
x 5 + 4x 4 3x 3 + 5x 2
x5 4x4 3x3 + 5x 2
x5 + 3x4 3x3
x5 3x4 3x3 + 5x 2
+ 5x
5x 5
7
x + 1
x4 + 3x3 + 5
8
= + x x xcociente
3 24 16 66
++
2674
resto
x
= + 2 5 12 44 3 2x x x x
= + +x x x x4 3 22 3 2 47
= + +P x x x x x( ) 14 29 37 34 164 3 26
5
P( ) ( ) ( ) ( ) = + + = 3 4 3 5 3 3 9 1473 24
= + + + + = ( ) ( ) ( ) ( )7 3 3 2 4 3 5 4 4 53 3 2 2 3 2x x x x x x x x ++ +x 93
= +
xyz x z z xy7
23
45
2 272
3
4
53 2 3 2 2x yz xyz x y z+ 2
1Monomio Coeficiente Parte literal Grado
12x3 12 x3 3
7ab2 7 ab2 3
7 5 2 3x y 7 5 x2y3 5
2
32 3 2m n p
23
m2n3p2 7
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437 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Ecuaciones de 1.er y 2.o grado
CONTENIDOS
ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Concepto de ecuacin.
Elementos del lenguaje: miembros de una ecuacin, trminos, coeficientes, grado, incgnitas y solucin.
Tipos de ecuaciones segn el grado, el nmero de incgnitas y el nmero de soluciones.
Equivalencia de ecuaciones.
Ecuaciones de primer grado. Algoritmo de resolucin.
Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones completas e incompletas. Algoritmo de resolucin.
Resolucin de problemas con ecuaciones.
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIN
PRUEBA INICIAL
Las actividades planteadas en la prueba estn dirigidasa comprobar que los alumnos tienen asimilados losconceptos bsicos sobre ecuaciones y su resolucin:mental, por el mtodo de ensayo-error o por mtodosms generales. Se ofrecen tambin un par de activida-des para trabajar con nmeros y con expresiones alge-braicas.
PRUEBA DE LA UNIDAD
La prueba contiene actividades de procedimientos de launidad: ecuaciones de primer grado con y sin parnte-sis, con y sin denominadores, y ecuaciones de segundogrado incompletas y completas. Tambin hay una seriede problemas para resolver con ecuaciones. Es funda-mental plantear correctamente los problemas, ya quese repasan conceptos conocidos por los alumnos tantode cuestiones numricas como geomtricas.
4INTRODUCCIN
Los contenidos de esta unidad son fundamentales en las Matemticas. Las ecuaciones de primer grado y de segundo grado ya se han trabajado en el primerciclo y no deberan presentar dificultades a losalumnos.
La dificultad del tema se presentar al trabajar con expresiones algebraicas y en la resolucin de problemas con ecuaciones. Por ello, serconveniente plantear problemas de la vida cotidiana y prximos a los alumnos.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Se consideran tres aspectos bsicos en el estudio de esta unidad:
Conocimientos previos de la aritmtica de los nmeros reales (Unidades 1 y 2 de 3. ESO).
Conceptos y procedimientos sobre ecuacionesestudiados en el curso anterior.
Conceptos y procedimientos de clculo con expresiones algebraicas trabajados en el curso anterior, as como tambin la Unidad 3 de 3. ESO.
Adems, ser bsico tener capacidad para plantearproblemas mediante ecuaciones y contrastar los resultados con la situacin planteada.
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438 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL
Calcula y simplifica.
Opera y simplifica las expresiones algebraicas.
a) x(x + 3) (2x + 1)
b) x(3 x) + 3x2 5(x + 3)
c)
Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios.
Identifica la incgnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el mtodo de ensayo-error.
Encuentra dos nmeros pares consecutivos cuya suma sea 126.
Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) 3x2 75 = 0
b) x2 + 4 = 0
6
5
4
3
x x x
2
1
3
2 4
5+
+( )
2
4
5
3
2
1
6
3
4
2
7
1
ECUACIONES DE 1.er Y 2. GRADO4
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
5xz2 5 xz2 3
8x3y2
17x6
10,7a3b4
Ecuacin Incgnita Solucin Ecuacin Incgnita Solucin
x + 4 = 7y
52=
y 3 = 5 8 z = 6
2x = 8 3z 2 = 10
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL: SOLUCIONES
PR
OP
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IN
Calcula y simplifica.
Opera y simplifica las expresiones algebraicas.
a) x(x + 3) (2x + 1) = x2 + 3x 2x 1 = x2 + x 1
b) x(3 x) + 3x2 5(x + 3) = 3x x2 + 3x2 5x 15 = 2x2 2x 15
c)
Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios.
Identifica la incgnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el mtodo de ensayo-error.
Encuentra dos nmeros pares consecutivos cuya suma sea 126.
Llamamos x y x + 2 a dichos nmeros. Por tanto: x + (x + 2) = 126 2x + 2 = 126
Los nmeros son 62 y 64.
Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) 3x2 75 = 0
b) x2 + 4 = 0 x x2 4 4= = No tiene solucin real.
x x xx
2 1
2
753
25 25 55
= = = ==
6
2 1241242
62x x= = =
5
4
3
= 13 5830
x
= + + = + =15x x x 15x x x10 1 12 430
10 10 12 4830
( ) ( )x x x2
1
3
2 4
5+
+( )
2
= = = =45
86
1328
3230
1328
195420
253420
44845
3
2
1
6
3
4
2
7
1
439
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
5xz2 5 xz2 3
8x3y2 8 x3y2 5
17x6 17 x6 6
10,7a3b4 10,7 a3b4 7
Ecuacin Incgnita Solucin Ecuacin Incgnita Solucin
x + 4 = 7 x 3y
52= y 10
y 3 = 5 y 8 8 z = 6 z 2
2x = 8 x 4 3z 2 = 10 z 4
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440 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN DE LA UNIDADcontenidos
Comprueba si estas expresiones son ecuaciones o identidades.
a) 3(x 2) + x = 2(3 x) + 4x 5
b) 2(x 3) + x = 4(x 2) x + 2
Resuelve la siguiente ecuacin de primer grado: 6x 7 = 2x + 5.
Resuelve la ecuacin de primer grado: .
Resuelve la ecuacin de primer grado: 3(2x 5) + 4(7 2x) = 2x 3(2x 8).
Resuelve la ecuacin de segundo grado: 2x2 = 18.
Resuelve la ecuacin de segundo grado: x2 + 5x = 0.
Resuelve la ecuacin de segundo grado: x2 5x + 4 = 0.
Resuelve la ecuacin de segundo grado: x (x + 4) = 3(x 8).8
7
6
5
4
3 57
2 85
xx
x = +3
2
1Distincin de si una igualdades ecuacin o identidad.
Resolucin de ecuacionesde primer grado mediante
diferentes mtodos.
Resolucin de ecuacionesde segundo grado
completas e incompletas.
Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................
Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..............................................................................
Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 9
Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 9
Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2-13
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
4 ECUACIONES DE 1.er Y 2. GRADO826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Pgina 440
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Halla el valor de b en la ecuacin x 2 + bx 20 = 0, sabiendo que una de sus soluciones es x1 = 4. Calcula el valor del discriminante y la otra solucin.
La suma de tres nmeros impares consecutivos es 135. Determina dichos nmeros.
Por qu nmero hay que dividir 108 para que el resultado sea igual al triple de dicho nmero?
Halla los tres nmeros consecutivos que cumplen que la suma de los cuadradosdel menor y el mayor es igual al cuadrado del nmero intermedio ms 18.
La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 4 cm ms que el cateto menor y 2 cm ms que el cateto mayor. Calcula las longitudes de los tres lados del tringulo.
13
12
11
10
9Determinacindel discriminante de una ecuacin
de segundo grado.
Resolucin de problemas de diferentes tipos,
mediante el planteamiento y la resolucin
de ecuaciones de primer y segundo grado.
Clasificar y discriminar segn criterios ...................................................................................................................
Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................
Combinar, componer datos, resumir, etc. ..............................................................................................................
Deducir, formular hiptesis, generalizar, etc. .........................................................................................................
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
PR
OP
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442 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
ECUACIONES DE 1.er Y 2. GRADO4EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES
a) 3(x 2) + x = 2(3 x) + 4x 5 4x 6 = 2x + 1. Es una ecuacin.b) 2(x 3) + x = 4(x 2) x + 2 3x 6 = 3x 6. Es una identidad.
6x 7 = 2x + 5 6x 2x = 5 + 7 4x = 12
Ecuacin de primer grado.
Eliminamos denominadores: 15x 25 = 35x (14x + 56)Quitamos parntesis: 15x 35x + 14x = 25 56 6x = 31
Despejamos la x:
Quitamos parntesis: 6x 15 + 28 8x = 2x 6x + 24
Transponemos trminos: 2x = 11 y despejamos la x:
2x2 = 18 . Dos soluciones: y
x2 + 5x = 0 x (x + 5) = 0. Dos soluciones: y
x2 5x + 4 = 0
x(x + 4) = 3(x 8) x2 + x + 24 = 0
No tiene solucin.
Discriminante y soluciones. Si una solucin es 4 42 + b 4 20 = 0 4b = 4 b = 1El discriminante es: = 12 4 1 (20) = 1 + 80 = 81
La otra solucin es:
Nmeros impares. Llamamos x al nmero menor: x + (x + 2) + (x + 4) = 135 3x = 135 6 = 129
Despejamos: x = 43
Nmeros. Llamamos x a dicho nmero:
Tres nmeros.
Tringulo. Llamamos x a la hipotenusa. Los catetos sern x 2 y x 4. x2 = (x 2)2 + (x 4)2 x2 = x2 4x + 4 + x2 8x + 16
x2 12x + 20 = 0 x1 = 10, x2 = 2 (no vlida)Los lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm.
13
x x x yx y
2 1
22 15 0 3 3 4 5
5 5 4 3+ = =
=
,,
x x x x x x x x2 2 2 2 2 22 1 18 4 4 2 1 18+ + = + + + + + = + + +( ) ( ) 12
1083 108 3
1083
36 62 2x
x x x x= = = = = 11
43, 45 y 47
10
x1 = 4x2 = 5
x = 1 812
9
x =
= 1 1 4 1 242 1
1 952
2
8
x1 = 4x2 = 1
x =
= 5 5 4 1 42 1
5 32
2
7
x2 = 5x1 = 06
x2 = 3x1 = 3x = 9x2182
9= =5
x = 5,5
4
x = 316
3 57
2 85
xx
x = +3
x = =124
32
1
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443 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Sistemas de ecuaciones
CONTENIDOS
SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Ecuaciones lineales. Representacin grfica de rectas en el plano.
2. Sistemas de ecuaciones lineales.
Resolucin de sistemas. Nmero de soluciones de un sistema de ecuaciones.
Representacin grfica de un sistema de ecuaciones.
Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones: igualacin, sustitucin y reduccin.
Reglas prcticas para resolver sistemas.
Resolucin de problemas mediante sistemas.
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIN
PRUEBA INICIAL
Las actividades planteadas en la prueba estn dirigidasa comprobar que los alumnos tienen asimilados losconceptos bsicos sobre la representacin de puntosen el plano y la resolucin de ecuaciones y sistemaspor los mtodos habituales de resolucin, incluso por elmtodo de ensayo-error.
PRUEBA DE LA UNIDAD
La prueba que se ha diseado contiene actividades re-lativas a la resolucin de sistemas de ecuaciones pordiferentes mtodos y problemas para resolver con sis-temas. No es conveniente presentar sistemas incom-patibles, siendo los problemas planteados sencillos deresolver.
5INTRODUCCIN
Los contenidos de esta unidad son continuacin de la unidad anterior y, por tanto, es fundamental que los alumnos sepan resolver las ecuaciones de primer grado. Tambin es importante la representacin grfica de puntos en el plano, ya que servir para representar las rectas en el plano y resolver de forma grfica los sistemas.
La resolucin de problemas es uno de los fundamentos de las Matemticas pues, al resolvernumerosos problemas reales, es necesario resolversistemas de ecuaciones. Para motivar a los alumnospueden planterseles distintos problemas reales, cuya solucin no sea fcil de intuir, y que necesiten del planteamiento y resolucin de un sistema.
Mediante un trabajo por ensayo-error, primero, y su resolucin mediante sistemas, despus, los alumnos apreciarn la sencillez y utilidad de los sistemas para resolver problemas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Se pueden considerar bsicos los conceptosestudiados en 2. ESO, Ecuaciones y sistemas, as como tambin la Unidad 4 de 3. ESO,Ecuaciones de 1.er y 2. grado, y todos aquellosaspectos trabajados en cursos anteriores sobre la resolucin de problemas:
Distincin entre lo que se conoce (dato) y lo que se desconoce (incgnita).
Realizacin de diagramas, figuras, esquemas
Clculo con expresiones algebraicas.
Representacin de puntos en el plano.
Resolucin de ecuaciones de primer grado.
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444 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL
Escribe las coordenadas de los vrtices del pentgono.
En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos.
A(1, 3) B(2, 2) C(3, 4) D(0, 2)
Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuacin. Si la balanza est en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta.
a) Escribe la ecuacin determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuacin.Haz lo mismo con la balanza B.
b) Indica si hay algn par de valores coincidentes en A y B.
Encuentra dos nmeros naturales cuya suma es 15 y su producto 56.4
3
2
1
SISTEMAS DE ECUACIONES5
Balanza A Balanza B
Y
5A
B
C
D
E
3
1
1
3
4 22 4 X
Y
5
3
1
1
3
x y 7 x y 2y
4 12 3 5 X
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL: SOLUCIONES
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
Escribe las coordenadas de los vrtices del pentgono.
En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos.
A(1, 3)B(2, 2)C(3, 4)D(0, 2)
Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuacin. Si la balanza est en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta.
a) Escribe la ecuacin determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuacin.Haz lo mismo con la balanza B.
Balanza A x + y = 7 Valores: (0, 7), (1, 8), (1, 6), (2, 5)Balanza B x + y = 2y Valores: (0, 0), (1, 1), (1, 1), (2, 2)
b) Indica si hay algn par de valores coincidentes en A y B.
Valores coincidentes: x = 3,5; y = 3,5
Encuentra dos nmeros naturales cuya suma es 15 y su producto 56.
yy
1
2
78
==
Soluciones: 7 y 8x yy y
y y=
=
+ =15
15 5615 56 02
( )
Sustitucin
x yx y+ = =
1556
4
3
2
1
445
Puntos:A(2, 4) D(2, 0)B(4, 0) E(2, 2)C(1, 1)
Balanza A Balanza B
Y
5A
A
B
B
C
C
D
E
D
3
1
1
3
4 22 4 X
Y
5
3
1
1
3
x y 7 x y 2y
4 12 3 5 X
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446 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN DE LA UNIDADcontenidos
Expresa la ecuacin 2(x 3) = 3(y 2) + 6en la forma lineal ax + by = c,y represntala en el plano.
En el sistema de ecuaciones lineales: comprueba
si son solucin los puntos A(0, 5), B(2, 3) y C(3, 2).
Comprueba si los sistemas son equivalentes.
Resuelve el siguiente sistema por el mtodo de sustitucin.
x y
x y
=+ =
2 6
3 6 6
4
2 4 12
5 2 6
x y
x y
=+ =
x y
x y
=+ =
2 6
3 6 6
3
2 3 1253
x yx y+ =+ =
2
1Expresin lineal y representacin grfica de una ecuacin lineal.
Comprobacin de si un parde valores es o no solucin
de un sistema deecuaciones.
Comprobacin de sistemasequivalentes.
Bsqueda de la solucin de un sistema
de dos ecuaciones con dos incgnitas
por los mtodos de sustitucin, igualacin
y reduccin.
Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1
Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..............................................................................
Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones. .......................................................................... 1, 2, 3
Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................................
Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 4, 5, 6, 7, 8, 9
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
SISTEMAS DE ECUACIONES5Y3
1
2
4
3 11 3 5 X
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Resuelve el sistema por el mtodo de igualacin.
Resuelve el siguiente sistema por el mtodo de reduccin.
Resuelve el sistema por el mtodo que consideres ms adecuado.
La edad de Luis es tres veces la edad de Ana. Dentro de 5 aos, la edad de Luisser solamente el doble de la edad de Ana. Halla las edades de ambos.
Calcula el valor de las bases de los rectngulos, sabiendo que la suma de sus reas es 34 cm2 y que el triple de la base mayor es igual al cudruple de la menor ms 4.
9
8
3 1
6 9 32
9x y
x y
+ = =
7
2 4 3
3 84
x y
x y
+ = =
6
x y
x y
+ = =
3 8
2 53
5
Resolucin de sistemas deecuaciones por los mtodos
ms adecuados.
Resolucin de problemasreales, planteando
y resolviendo sistemas de ecuaciones lineales.
Clasificar y discriminar segn criterios ...................................................................................................................
Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................
Combinar, componer datos y resumir, etc. .............................................................................................................
Deducir, formular hiptesis, generalizar, etc. .........................................................................................................
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
447
3 cm
a b
2 cm
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448 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
SISTEMAS DE ECUACIONES5EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES
2(x 3) = 3(y 2) + 6 2x 6 = 3y 6 + 6 2x 3y = 6
Comprobacin. A(0, 5) No, porque 2 0 + 3 5 12.B(2, 3) No, porque 2 2 + 3 3 12.C(3, 2) S, porque 2 3 + 3 2 = 12 y 2 + 3 = 5.
Equivalencia de sistemas. La solucin de los sistemas es la misma: x = 2 e y = 2.Los sistemas son equivalentes.
Problema. Llamamos x e y a las edades actuales de Luis y Ana.
Planteamiento del problema:
Dimensiones de la figura. Llamamos a y b a las bases de los dos rectngulos.
Planteamiento del problema: b a= = =
306
5 8
3a + 2b = 34 3a 4b = 34 3a 6b = 30
3 2 343 4 4
a ba b
+ == +
9
x yx y y y y x
=+ = +
+ = + = =
35 2 5 3 5 2 10 5 15( )
8
x y= =2333
3411
27 9 96 9 32
33 23
32
9
x yx yx y
+ =+ =
=
Reduccin
1. 9
3 1
6 9 32
9x y
x y
+ = =
7
x y= = = 3514
52
12
2 4 312 4 3214 35
3
4
x yx yx y
+ =+ =
=
Reduccin
2. 4
2 4 3
3 84
x y
x y
+ = =
6
x y
xy y
y=
= +
= + 8 3
52
35
216 68 yy y
y x
= +
= =
5
3 1
x y
x y
+ =
=
3 8
2 53
5
x yy y
= ++ + =
= 6 2
3 6 2 6 624
( )12y y x= =2 2
x y
x y
=+ =
2 6
3 6 6
4
3
2
1
Y3
1
2
4
3 11 3 5 X
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449 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Proporcionalidad
CONTENIDOS
PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad directa e inversa.
Regla de tres simple directa e inversa.
Repartos directa e inversamente proporcionales.
Proporcionalidad compuesta.
Problemas con porcentajes. Clculos con porcentajes. Aumentos y disminuciones porcentuales.Porcentajes encadenados.
Inters simple.
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIN
PRUEBA INICIAL
La prueba inicial contiene cinco actividades sobre pro-porcionalidad ya estudiadas en cursos anteriores: averi-guar si dos razones forman o no proporcin; calcular elmedio y el cuarto proporcional y resolver ejercicios so-bre porcentajes, as como problemas de la vida cotidia-na sobre el clculo de porcentajes y proporciones.
PRUEBA DE LA UNIDAD
La prueba de la unidad consta de actividades de losconceptos que se tratan en la unidad: tablas de propor-cionalidad directa e inversa, problemas de reglas detres simples y problemas de repartos proporcionalesy reglas de tres compuestas. La ltima actividad es declculo de intereses bancarios, que son aplicacionesde la proporcionalidad directa. Los ejercicios de repar-tos proporcionales y de proporcionalidad inversa y com-puesta (actividades 8 y 9) resultarn complicados paralos alumnos, por lo que habr que tener cuidado en sudesarrollo.
6INTRODUCCIN
El tema de la proporcionalidad numrica es fundamental en las Matemticas. Los conceptos de proporcionalidad directa e inversa suelen ser intuitivos, pero a veces los alumnos no diferencianentre incrementos lineales y proporcionalidad. Numerosas relaciones de la vida cotidiana como, por ejemplo, repartos proporcionales, recetas de cocina, etc., mantienen relaciones deproporcionalidad y podemos encontrar ejemplos de ello en diarios, revistas
A lo largo de la unidad se plantearn algoritmos de clculo aritmtico sencillo, por lo que se tendr que apoyar a los alumnos que tengan ms dificultadesen hacerlo.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Los contenidos de esta unidad han sido trabajados en 1. y 2. ESO, por lo que conviene hacer un repasode aspectos bsicos, como son:
Razn y proporcin. Comprobacin de si dos razones forman o no proporcin.
Clculo del cuarto y medio proporcional de una proporcin.
Elaboracin de tablas de proporcionalidad directa.
Clculo con porcentajes.
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
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450 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL
Averigua si las razones forman o no una proporcin: y .
Calcula los nmeros que faltan para completar estas proporciones.
a)
b)
c)
Completa las frases.
a) El % de 50 es 15.
b) El 25 % de es 225.
c) El 37 % de 65 es .
En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes en cada caso.
a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13.
b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4.
c) De 11 tiros libres ha encestado 9.
d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18.
Para hacer limonada para 6 personas, se utilizan estos ingredientes.
Calcula las cantidades que se necesitarn para hacer limonada para 10 y 15 personas.
5
4
3
3
12=
6
8 4=
8
16
2=
2
2390
37
1
6 personas 10 personas 15 personas
Limones (unidades) 12
Agua (cl) 200
Azcar (g) 250
PROPORCIONALIDAD6
Limonada (para 6 personas):
12 limones
2 litros de agua
1/4 kg de azcar
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL: SOLUCIONES
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
Averigua si las razones forman o no una proporcin: y .
y no forman proporcin, ya que 3 90 7 23.
Calcula los nmeros que faltan para completar estas proporciones.
a) = c) =
b) =
Completa las frases.
a) Se divide la cantidad entre el total: 30. El % de 50 es 15.
b) Se divide la cantidad entre el porcentaje: 900. El 25 % de es 225.
c) Se multiplica el porcentaje por la cantidad: 37 65 24,05. El 37 % de 65 es .
En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes en cada caso.
a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13
b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4
c) De 11 tiros libres ha encestado 9
d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18
Para hacer limonada para 6 personas, se utilizan estos ingredientes.
Calcula las cantidades que se necesitarn para hacer limonada para 10 y 15 personas.
5
1820
100 90 = %
911
100 81 8 = , %
48
100 50 = %
1320
100 65 = %
4
24,05 100
900 10022525
30 1001550
3
3
4
6
8
6
12
3
6
2
4
8
16
2
2390
37
2390
37
1
451
Limonada (para 6 personas):
12 limones
2 litros de agua
1/4 kg de azcar
6 personas 10 personas 15 personas
Limones (unidades) 12 20 30
Agua (cl) 200 333,33 500
Azcar (g) 250 416,67 625
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452 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN DE LA UNIDADcontenidos
Clasifica las siguientes magnitudes en directa o inversamente proporcionales.
a) El permetro de un cuadrado y su rea.
b) El lado de un cuadrado y su permetro.
c) El nmero de fotocopias y su precio.
d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto.
Completa las tablas para que sean de proporcionalidad directa.
a) b)
Comprueba si las tablas son de proporcionalidad inversa.
a) b)
Calcula las constantes de proporcionalidad de los dos ejercicios anteriores.
Si un grupo de amigos pagan 81 por 6 mens, cunto vale cada men?Cunto hubiesen pagado por 4 mens?
En un refugio de montaa hay comida para alimentar a seis personas durante un mes. Si vienen tres personas ms, para cuntos das tendrn comida?
6
5
4
3
2
1Distincin de si dosmagnitudes son o no
proporcionalesy de qu tipo.
Elaboracin de tablas de proporcionalidad
directa e inversa.
Clculo de la constante de proporcionalidad.
Aplicacin de las reglas de tres para resolverproblemas de la vida
cotidiana.
Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................
Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..............................................................................
Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1
Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 2
Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3-11
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
PROPORCIONALIDAD6
M 2 3 4
N 5 10
M 2 3 4
N 6 4 3
M 0,5 1,75 3
N 7 42
M 0,5 2 3
N 10 2,25 1,75
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Tres socios deciden ampliar el capital de la empresa en 84.000 ,de forma directamente proporcional al nmero de acciones de cada uno: 100, 200 y 400. Cunto ha de aportar cada socio?
Al cabo de un ao, una empresa ha tenido unas prdidas de 14.000 ,y sus tres socios deciden reponer el dinero de forma inversamente proporcionalal nmero de hijos de cada uno: 1, 2 y 4. Cunto ha de aportar cada socio?
En la construccin de un edificio trabajaron 100 personas en turnos de 8 horas durante 60 das. Cunto habran tardado si los turnos fuesen de 10 horas?
Un artculo cuesta 261 , incluido el 16 % de IVA. Si se hace un 20 % de rebaja sobre el precio sin IVA, cul ser el precio final?
Calcula el inters producido por un capital de 250 en 3 aos al 2,5 % de inters.
11
10
9
8
7Aplicacin de los repartosproporcionales para resolver
problemas de la vidacotidiana.
Aplicacin de las reglas de tres compuestas
para resolver problemas reales.
Resolucin de problemas mediante porcentajes.
Utilizacin de la frmula del inters simple
para calcular intereses,tiempos o capitales
en situaciones reales.
Clasificar y discriminar segn criterios ...................................................................................................................
Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................
Combinar, componer datos, resumir, etc. ..............................................................................................................
Deducir, formular hiptesis, generalizar, etc. .........................................................................................................
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
453
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454 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
PROPORCIONALIDAD6EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES
a) El permetro de un cuadrado y su rea No son proporcionales.b) El lado de un cuadrado y su permetro Son directamente proporcionales.c) El nmero de fotocopias y su precio Son directamente proporcionales.d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto Son inversamente proporcionales.
a) b)
La opcin a) s es de proporcionalidad inversa, pero la b) no lo es, ya que 0,5 10 2 2,25 3 1,75.
Constantes. Ejercicio 2:
Ejercicio 3: k = 2 6 = 12
54
ComidaDas. Son magnitudes inversamente proporcionales:
6 personas 30 das9 personas das
Empresa (1). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que:
A = 100 120 = 12.000 ; B = 200 120 = 24.000 ; C = 400 120 = 48.000
Empresa (2). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que:
Adems, la suma ha de ser 14.000 :
k = 8.000 A = 8.000 ; B = 4.000 ; C = 2.000
En ambos casos, las magnitudes personasdas y horasdas son inversamente proporcionales.
Porcentajes. Clculo del precio sin IVA: 225 . Por tanto, el precio con la rebaja es: 225 0,80 = 180 .Aadiendo el 16 % de IVA: 180 1,16 = 208,80 es el precio final.
Inters. IC r t= = =100
250 2 5 3100
,18,7511
2611 16,
=10
200100
108
60 60 100 8200 10
24 = =
=x
x das
9
kk k k+ + = =2 4
74
14 000.
A B C k Ak
Bk
Ck = = = = = =1 2 4
1 2 4 ; ;
8
A B C100 200 400
84 000100 200 400
84 000700
= = =+ +
=. . kk = 120
7
x
= = = 6 30 9 1809
x x 20 das
6
= = = 64
81 81 46x
x6 mens 81 4 mens x
5
k ka b= = = =25
0 40 57
,,
0,07142854
3
2
1
M 2 3 4
N 5 7,5 10
M 0,5 1,75 3
N 7 24,5 42
Personas Das Horas
100 60 8
200 x 10
I Iinversa inversa
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455 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Progresiones
CONTENIDOS
PROGRESIONES
Leyes de formacin de sucesiones. Trmino general. Sucesiones recurrentes.
1. Progresiones aritmticas.
Clculo del trmino general.
Suma de n trminos de una progresin aritmtica.
2. Progresiones geomtricas.
Clculo del trmino general de una progresin geomtrica.
Suma de n trminos de una progresin geomtrica. Suma de todos los trminos de una progresin geomtrica con r < 1. Producto de n trminos de una progresin geomtrica.
3. Inters compuesto.
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIN
PRUEBA INICIAL
En esta prueba se ofrecen tres actividades de clculocon fracciones, decimales y potencias para comprobarsi los alumnos recuerdan estos conceptos, que han sidoestudiados en unidades anteriores y que se usan en laaplicacin de las diferentes frmulas de la unidad.
PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta es una prueba esencialmente procedimental. Secomienza con actividades de sucesiones en general,para resolver despus aspectos concretos de proble-mas de progresiones: clculo de leyes de formacin,trminos generales, sumas de progresiones Y se finaliza la prueba con unos problemas de aplicacinnumrica, geomtrica y de comparacin de interesessimple y compuesto.
7INTRODUCCIN
En esta unidad se estudian las sucesiones y, en particular, las progresiones, que cumplen unas reglas determinadas. Las sucesiones aparecenen diversos campos: medicina, gentica (distribucinde los caracteres sexuales), informtica (utilizacin dealgoritmos recursivos), economa (clculo del interssimple y compuesto), etc.
Uno de los problemas con los que se encuentran los alumnos es el clculo del trmino general de unasucesin; por ello se han de explicar detenidamentelas formas de razonamiento, aunque en lasprogresiones aritmticas y geomtricas la forma deobtencin es ms sencilla que en sucesiones de otrostipos. Tambin se ha de tener cuidado con el clculode las frmulas que aparecen en la unidad: clculo delos trminos generales, sumas de progresiones y producto de n trminos, as como la suma de infinitos trminos, para asegurarse de que los alumnos no las aplican de manera automtica.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Esta unidad se relaciona con las distintas operacionesaritmticas: fracciones, decimales y potencias, que son bsicas en el desarrollo de la unidad. Adems, las cuestiones referidas a las regularidades en aspectos numricos o geomtricos sern esencialespara entender las leyes de formacin de unaprogresin.
Se podrn proponer en la pizarra secuencias de figuras o numricas que sigan alguna regularidad, y pedir a los alumnos que traten de deducir cules sern los siguientes trminos. Es interesante tambinque sean ellos los que creen la secuencia y que sus compaeros adivinen la regla de formacin.Conviene repasar estos aspectos.
Operaciones con fracciones y decimales.
Potenciacin y radicacin de nmeros naturales y enteros.
Estudio de regularidades geomtricas y numricas.
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456 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL
Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal.
0,02 =
Completa las siguientes igualdades.
a) 220 103 = 2,2 10 b) 7 102 = 0,7 10 c) 6,4 105 = 107
Calcula y expresa en notacin cientfica.
a)
b) 2,3 104 + 1.000.000 =
c)
d) (2,5 104) (0,2 102) =
Esta serie est formada por cuadrados de 1 cm de lado.
a) Cuntos cuadrados tiene cada figura ms que la figura anterior?
b) Halla el permetro de cada una de las figuras. Podras calcular el permetro de la siguiente figura sin necesidad de dibujarla?
c) Escribe el rea de las figuras. Podras obtener el rea de la siguiente figura? Y podras hallar el rea de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores?
d) Completa la tabla siguiente.
Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por biparticin. Un bilogo estudia una poblacin de paramecios y observa que en 1 mm2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horas se duplica la poblacin, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de formaaproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardar en alcanzarse una poblacin de 100.000 paramecios.
5
4
0 0000045
15 103,
=
3 200 000 000
0 0008
. . .
,=
3
2
5
72 10 2+
4
6+
1
PROGRESIONES7
Figura 1 2 3 4 5 10
N. de cuadrados 1 2 3
Permetro 4 6
rea 1 2
Tiempo (horas) inicio 1 2 3 6 9 24
N. de paramecios 5.000 100.000
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL: SOLUCIONES
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal.
0,02 =
Completa las siguientes igualdades.
a) 220 103 = 2,2 10 b) 7 102 = 0,7 10 c) 6,4 105 = 107
Calcula y expresa en notacin cientfica.
a)
b) 2,3 104 + 1.000.000 = 23.000 + 1.000.000 = 1.023.000 = 1,023 106
c)
d) (2,5 104) (0,2 102) = 2,5 104 2 10 3 = 5 101
Esta serie est formada por cuadrados de 1 cm de lado.
a) Cuntos cuadrados tiene cada figura ms que la figura anterior?
Cada figura tiene un cuadrado ms que la figura anterior.b) Halla el permetro de cada una de las figuras. Podras calcular el permetro de la siguiente figura sin necesidad
de dibujarla? Permetros = {4, 6, 8, 10, 12}. La siguiente figura tendr un permetro de 14 cm. c) Escribe el rea de cada una de las figuras. Podras obtener el rea de la siguiente figura?
Y podras hallar el rea de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores?
reas = {1, 2, 3, 4, 5}. La siguiente figura tendr 6 cm2 de rea y la 10. figura 10 cm2.d) Completa la tabla siguiente.
Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por biparticin. Un bilogo estudia una poblacin de paramecios y observa que en 1 mm2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horas se duplica la poblacin, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de formaaproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardar en alcanzarse una poblacin de 100.000 paramecios.
5
4
4 5 101 5 10
3 106
410,
,
=
0 0000045
15 103,
=
3 2 108 10
0 4 10 4 109
413 12, ,
= =
3 200 000 000
0 0008
. . .
,=
3
0,064152
= = = 6812 600
173 150
0 00539682. .
,
46
290
57
2100
8 400 280 9 000 25212 600
+ + = + + =. ..
5
72 10 2+
4
6+
1
457
Figura 1 2 3 4 5 10
N. de cuadrados 1 2 3 4 5 10
Permetro 4 6 8 10 12 22
rea 1 2 3 4 5 10
Tiempo (horas) inicio 1 2 3 6 9 24 13
(aprx.)
N. de paramecios 5.0006.300(aprx.)
7.940(aprx.) 10.000 20.000 40.000 1.280.000 100.000
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458 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN DE LA UNIDADcontenidos
Determina el trmino siguiente de cada una de las sucesiones.
a) 2, 5, 8, 11, c) 1, 3, 9, 27,
b) d) 4, 9, 16, 25, 36,
Escribe los cinco primeros trminos de las sucesiones cuyos trminos generales son:
a) 2n +1 b) n2 2 c)
De una progresin aritmtica se conocen a15 = 45 y a32 = 79.Calcula la diferencia de la progresin y la suma de los 32 primeros trminos.
Halla el trmino general de las progresiones geomtricas.
a) 5, 15, 45, 135,
b)
c) 1, 2, 4, 8,
En una progresin geomtrica, a5 = 4 y a9 = 16. Calcula la razn y el trmino 20 de esta progresin.
5
21
2
1
8
1
32, , , ,
4
3
n
n
++
2
2 3
2
1
3
1
7
1
11
1
15, , , ,
1Aplicacin de mtodosdeductivos para calcular
un trmino de una sucesin.
Aplicacin de una frmulapara calcular los trminos deuna sucesin a partir de una
ley de formacin.
Clculo del trmino generalde una progresin aritmtica
y la suma de una cantidadde trminos.
Clculo del trmino generalde una progresin
geomtrica.
Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 2
Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..............................................................................
Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 3
Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 1, 8, 9, 10
Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2-10
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
PROGRESIONES7826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Pgina 458
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Calcula la suma de los 20 trminos de la anterior progresin geomtrica.
Halla el producto de los 10 primeros trminos de una progresin geomtricasabiendo que a1 = 2 y r = 3.
Encuentra 5 mltiplos de 7 que sean consecutivos y cuya suma sea 245.
Dado un cuadrado de 1 m de lado, unimos los puntos medios de sus lados,obteniendo un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la mismaoperacin, y as sucesivamente. Halla la suma de las infinitas reas obtenidas.
Dos amigos invierten 1.000 en dos bancos diferentes. Al primero le dan un 3,5 % de inters simple y al segundo un 3,32 % de inters compuesto.Despus de 5 aos, quin obtendr ms ganancias?
10
9
8
7
6Clculo de la suma de trminos de una
progresin geomtrica.
Resolucin de problemasreales donde aparezcanprogresiones aritmticas
y geomtricas y queimpliquen el uso
de estos conceptos.
Clasificar y discriminar segn criterios ................................................................................................................... 8, 9, 10
Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................
Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 1, 3, 4
Deducir, formular hiptesis, generalizar, etc. .........................................................................................................
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
459
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460 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
PROGRESIONES7EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES
a) 2, 5, 8, 11, 14 c) 1, 3, 9, 27, 81
b) d) 4, 9, 16, 25, 36, 49
a) 2n +1 3, 5, 7, 9, 11, c) b) n2 2 1, 2, 7, 14, 23,
Clculo de la diferencia y la suma de trminos de una progresin aritmtica.
Calculamos el primer trmino:
La suma es:
a) 5, 15, 45, 135, an = 5 3n1 c) 1, 2, 4, 8, an = (2)n1
b) an = 22n+3
Clculo de la razn y un trmino de una progresin geomtrica.
am = an rmn
El trmino 20 es:
Suma de los trminos de una progresin geomtrica.
Calculamos el primer trmino:
La suma es:
Mltiplos de 7. Forman una progresin aritmtica, cuyos trminos sern: 7n, 7(n + 1), 7(n + 2), 7(n + 3) y 7(n + 4)
reas de cuadrados.
Es una progresin geomtrica: , cuya suma es: 1,3.
Inversiones. Inters simple: 1.175
Inters compuesto: C Cr
f
t
= +
= =0
51100
1 000 1 033. , 1.176,226
C CC r t
f = + = + =0100
1 0001 000 3 5 5
100.
. ,10
S =
=1
114
114
116
164
, , , , ...
9
2457 7 28
25 7 14 5 35 70= + +
= + = +
n nn n( ) n = =245
357 49 56 63 70 77{ , , , , }
8
P a a a a r10 1 10 10 1 1 9 10 9 102 2 3= = = ( ) ( ) ( )7
Sa r
r20
120 20 101
11 2 1
2 1
2 1
2 1
1 023=
=
=
=( ) ( ) .
22 1
a a aa
5 14
1524
44
1= = = =
6
a a a20 1 20 19 92 2 2 2 2 2 1 024 2= = = =( .)19
2raa
aa
m
n
m n= = = = = 95
9 5 4 4164
4
5
21
2
1
8
1
32, , , ,
4
Sa a
321 32
232
17 792
= +
=
+
= =32 48 32 1 536.
a a d a1 15 115 1 45 14 2 17= = =( )
2 da am nm n=
=
= =79 45
32 153417
a a m n dm n= + ( )
3
35
47
59
611
713
, , , , , ...n
n
++
2
2 32
( )2
119
14+1
3
1
7
1
11
1
15, , , ,
3
+ 31
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461 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
Figuras planas
CONTENIDOS
LUGARES GEOMTRICOS Rectas y puntos notables de un tringulo.
TEOREMA DE PITGORAS Clculo de la altura de un tringulo.
Clculo de la diagonal de un paralelogramo.
REAS DE FIGURAS PLANAS Tringulos, cuadrilteros y polgonos regulares.
Figuras circulares: crculos, sectores, segmentos y coronas circulares.
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIN
PRUEBA INICIAL
La prueba consta de actividades referidas a aspectosque han de ser conocidos por los alumnos: operacio-nes con ngulos, propiedades de los tringulos, cons-trucciones y reas de figuras planas, principalmentecomo aplicacin del teorema de Pitgoras.
PRUEBA DE LA UNIDAD
De las tres partes en las que hemos dividido la unidad,se proponen actividades referidas a construcciones:actividades 1, 2 y 3; al teorema de Pitgoras y sus apli-caciones: actividades 4, 5 y 6, siendo las ltimas activi-dades referidas al clculo de reas geomtricas.
8INTRODUCCIN
En esta unidad se repasan y se amplan algunascuestiones ya estudiadas en el primer ciclo de ESO.Bsicamente la unidad est dividida en tres partes:construcciones con regla y comps, el teorema de Pitgoras y sus aplicaciones en el clculo delongitudes de figuras, que ser fundamental en el clculo de reas.
Para facilitar la comprensin de las construcciones es conveniente utilizar programas como, por ejemplo,Cabri-Gomtre. Para el estudio de las dos partesfinales de la unidad, se puede sealar a los alumnos la presencia de las figuras planas en multitud de objetos, construcciones, etc., as como recalcar la importancia de conocer sus propiedades y reas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
La mayora de los contenidos de esta unidad se han trabajado de forma total o parcial en cursosanteriores. Ser conveniente hacer un repaso de conceptos como los siguientes.
Construcciones de tringulos.
Operaciones con ngulos.
Propiedades de los tringulos.
PR
OP
UE
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S D
E E
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462 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL
En el tringulo de la figura, traza mediante regla y comps las tres mediatrices.
Calcula la longitud de los ngulos x$, y$, z$.
Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ngulos del polgono vale 360, basndote en las propiedades de los tringulos.
Calcula el rea de las siguientes figuras.
a)
b)
4
3
2
1
FIGURAS PLANAS8C
A B
C
A B
80 47 16
x$
y$
z$
D
C
O
3 cm
1,75 cm
1,75 cm
A
B
D
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN INICIAL: SOLUCIONES
PR
OP
UE
STA
S D
E E
VALU
AC
IN
En el tringulo de la figura, traza mediante regla y comps las tres mediatrices.
Calcula la longitud de los ngulos x$, y$, z$.
Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ngulos del polgono vale 360, basndote en las propiedades de los tringulos.
Calcula el rea de las siguientes figuras.
a)
b)
4
3
2
1
463
Se trazan las mediatrices de los tres ladosmediante un comps, y el punto de interseccin nos da el circuncentro del tringulo.
En el tringulo ABC:x$ = 180 (80 + 47) == 180 127 = 53
El ngulo z$ es el complementario de B$:z$ = 90 47 = 53
En el tringulo rectngulo BDE:y$ = 90 16 = 74
Los ngulos A$ y C$ abarcan un dimetro, por lo que son ngulos rectos, o sea: A$ + C$ = 180.
Por otra parte, en los tringulos BAD y DCB se cumpleque: B$2 + D$2 = 90 y B$1 + D$1 = 90,siendo la suma de los dos ngulos: B$ + D$ = B$1 + B$2 + D$1 + D$2 = 180.
A = 3 1,75 = 5,25 cm2
A = +
=1 75
12
1 752
4 2722
2,,
, cm
C
A B
C
A B
80 47 16
x$
y$
z$
D
3 cm
1,75 cm
1,75 cm
C
O
A
B$2B$1
D$2D$1
B
D
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464 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
EVALUACIN DE LA UNIDADcontenidos
Determina el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de los dos extremos del segmento de 5 cm de la figura. Explica cmo lo haces y di cmo se denomina este punto.
Dibuja las medianas del tringulo ABC. Cmo se llama su punto de interseccin?
Dibuja un tringulo equiltero de 3 cm de lado y determina la circunferenciainscrita en dicho tringulo.
Completa la tabla siguiente.4
3
2
1Construccin con regla y comps de diferentes
lugares geomtricos.
Trazado de las mediatrices,bisectrices, alturas
y medianas de un tringulo.
Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 2
Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 4
Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 3
Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................................
Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 5, 6, 7, 8, 9
CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS
FIGURAS PLANAS8
Hipotenusa Cateto Cateto
3 4
13 5
10 8
5 8
C
A
B
A B
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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.
En un tringulo issceles, los lados iguales miden 4 cm y el lado diferente 7,3 cm.Calcula cunto mide la altura sobre el lado diferente.
Halla el valor de la diagonal del cuadrado de lado 6 cm.
Determina el rea del cuadrado interior de la figura, sabiendo que el rea del cuadrado exterior es 14,67 cm2.
Obtn el rea sombreada de la figura, si el dimetro de la circunferencia mayormide 8 cm.
Calcula cunta pintura de color rojo se necesita para pintar la seal de trfico, si el dimetro de la circunferencia mide 40 cm, las dimensiones del rectngulo son 25 8 cm y sabemos que con 1 kg de pintura se pueden pintar 4 m2de superficie.
9
8
7
6
5Aplicacin del teorema de Pitgoras para el clculode elementos en tringulos
y polgonos.
Clculo del rea de polgonos regulares
o de figuras planas comoaplicacin del teorema
de Pitgoras.
Resolucin de problemas de la vida cotidiana
como aplicacin del teoremade Pitgoras y de las reas
de figuras planas.
Clasificar y discriminar segn criterios ...................................................................................................