Chapter 1

Balansen

Data Companion pg. 56 t/m 61

1.1 Alle BalansendA

dt= �in � �uit + productie (1.1)

Krachtenbalans - steady state

0 = �Fz=arch � Fdrag � Fveer � Ffr � Fschuif � F? (1.2)

MassabalansdM

dt= [�vA]jin � [c � �vol]jout + Prod (1.3)

Mechanische Energiebalans

dE

dt= �mein � �meuit + �Work � �mefr (1.4)

met mechanische energieconcentratie e = 1

2v2 + p

� + gzThermische Energie

dU

dt= �muin � �muuit + Prod+ �mefr (1.5)

met thermische energieconcentratie u = cpT en efr = efr(Re)te bepalen in H5Impuls Balans

d~P

dt= �m~vin � �m~vuit +

Xi

~Fi (1.6)

met v= 'impulsconcentratie' en Fi termen door druk en kracht

1.2 Wet van Bernoulli1

2v2 + gz +

p

�= c (1.7)

Mits g�e�en wrijving, g�e�en dissipatie, g�e�en arbeid, steady state, constante dichtheid

1

Verspreiden niet toegestaan | Gedownload door: Boris van hattum | ID: 41757

Chapter 2

Mechanismen

2.1 Wetten

Wet van Fick - geldig in stilstaande media (anders: zie drift ux voor uitbreiding)

�"m = �DadcAdx

(2.1)

Wet van Fourier

�"q = ��dTdx

(2.2)

Viscositeitswet van Newton

�"p = ��dv~ydx

(2.3)

2.2 Dimensie Analyse

1. Bepaal welke parameters een rol spelen

2. Neem aan dat het verband van de volgende vorm is V = ka�b�c :::

3. Druk uit in SI eenheden en los op voor �; �; :::

4. Quantities and their Dimensions p 68 data companion

FDrag = CDragA?�v2

2

2.3 Dimensieloze Kentallen

p70 data companion

2

Chapter 3

Warmte Transport

Stationair

d

dx(�dT

dx) +Q

000

= 0 (3.1)

d

ds(�s

dT

ds) +Q

000

= 0 (3.2)

d

dr(�r2

dT

dr) +Q

000

= 0 (3.3)

Fourier geleidingsvorm - door meerdere thermischconductieve lagen

�"q = h�T = U�T =

�1

h1+

1

h2

�a�T (3.4)

h = Nu � �D

(3.5)

Heat Equation@T

@t= a

@2T

@x2(3.6)

Thermal Di�usivity

a =�

�Cp(3.7)

3.1 Penetratie Theorie

Fo =at

D2< 0:1jplaat < 0:01jcirc:geom: (3.8)

�"q = h�T (3.9)

h =�

�pen=

�p�at

(3.10)

�T = T1 � T0 (3.11)

3

3.2 Instationaire warmte geleiding / Doorver-warming

Fo =at

D2> 0:1 (3.12)

�"q = h�T (3.13)

h = Nudoorv�

D(3.14)

�T = T1� < T > (3.15)

Tabellen op p 90 -p 92 Temperatuur uitgezet tegen Fo

Doorverwarming Nudv = ShdvBol 6,6

Cilinder 5,8Plaat 4,93

Table 3.1: Nu/Sh waardes bij doorverwarming

3.3 Microbalans warmte transport

��CpT

�t+

�

�x(vx�CpT )+

�

�y(vy�CpT )+

�

�z(vz�CpT ) =

�

�x(�(

�T

�x)+

�

�y(�(

�T

�y)+

�

�z(�(

�T

�z)

(3.16)�(�CpT )

�t+r � (~v�CpT ) = �r2T (3.17)

3.4 Gedwongen Convectie

1. Re ! laminair of turbulent

2. Nu = Nu( Re, Pr, Gz) relaties op p75

3.5 Vrije Convectie

1. BepaalGr =D3g

�2��T =

D3g��2

��

< � >waarin �

:=

1

< T >de uitzettingsco-

e�cient is

2. Bepaal bij < T > Gr � Pr ! laminair of turbulent

3. Nu=Nu(Gr, Pr) relaties op p76

4

3.6 Warmtewisselaars

Met behulp van steady state microbalansen blijkt dat er voor een warmtewisse-laar een speci�ek temperatuursverschil �Tln is

�Q = UA�Tln = UA�TeindA ��TeindBln(�TeindA=�TeindB)

(3.18)

hierin is �Teind = Tfl:1�Tfl:2 het temperatuursverschil tussen de twee vloeistof-fen aan een eind van de w.wisselaar.NB bij faseveranderingen kunnen energiesprongen signi�cant groter zijn

3.7 Radiatie

Emissie en Absorptie (e=a normaal, e 6=a als meta-materiaal)

�" = e�T 4b=a�T 4 (3.19)

�max =b

T(3.20)

�"eff = e�(T 4surf � T 4

env) (3.21)

5

Chapter 4

Massa Transport

4.1 Analogie met warmtetransport

Chilton-Colburn geeft de relatie aan tussen h en k. Enkele simpele materi-aaleigenschappen koppelen zo massa en warmtetransporten

h

k=

Nu �L

ShDL= (

Pr

Sc)�1=3

�

D= �cpLe

2=3 (4.1)

p78 data companion

Warmte MassaConcentratie �cpT c

Drijvende Kracht �T �c

Convectief Transport �00

q = vbn � �cpT �

00

m = vbn � c

Di�usie a = ��cp

D

Di�usief �"q = ��dTdx

= �ad(�cpT )dx

�"m = �D dc

dxAfkoelingswet �

00

q = h ��T �00

q = k ��cNusselt/Sherwood h = Nu

�

Lk = Sh

D

L

Fourier F0 =at

L2F0 =

Dt

L2

Penetratie hpen =�

�pen=

�p�at

kpen =D

�pen=

rD

�tDoorverwarming hdv / Nudv kdv / Shdv

Uitwendig pg. 75,76,100 hu = Nuu�

Lku = Shu

D

L

6

4.2 Disanalogon: Stofoverdracht over een faseg-rensvlak

Twee stof overdrachts coe�cienten kA en kB en verdelingscoe�cient m; geldigop grensvlak EN uiteindelijk evenwicht

m =cAcB

(4.2)

�"m = (1

kA+

m

kB)�1(cA �mcB) (4.3)

op te lossen door massa ux �00

op te stellen voor beide fasen, van=naar cbulk encgrens

4.3 Moleculaire stromingen: Di�usie en Drift

Door do�usieve stromingen kan er een netto moleculaire stroming optreden,welke een op zichzelfstaande convectieve capaciteit heeft, en de stroming be��nvloed

vdrift =�

00

tot

ctot=

Ph~�00

n

ictot

=[molm2s

]

[molm3 ]

=hms

i(4.4)

ctot heeft hierin de eigenschap dat er een conste voor te vinden is.en let met ~�n op grootheid en richting. Dit levert

�mol = �vdrift � cstof �Ddcstofdx

(4.5)

4.4 Verzadigingsdampspanning/concentratie

c�mol =P �

RT=

�N

m2

K

N �m �K�=

�1

m3

�(4.6)

met P � moet gegeven zijn en R gasconstante en T temperatuur. Ook c�mass =c�mol �M met M =molmassa

7

Chapter 5

Stromingsleer

5.1 Wrijvingsdrukval over een rechte leiding

St. st. Kracht- en Emechbalans geeft in pijp �m�p� � �mefr = 0 dus

efr =�p

�= 4f

L < v >2

2DH(5.1)

en meer praktisch gericht volgt hieruit

p1 � p2 = 4f � LD� 12� < v >2 (5.2)

Fanning Friction Factor 4fGlad of Wrijving; Re < 2000

4f =64

Re(5.3)

Gladde pijp; 4000 < Re < 105 (Blasius):

4f = 0; 316Re�1

4 (5.4)

anders: zie gra�eken p75, p84 data companion en !! 8 � f2= 4f !!

5.2 Drukvalberekeningen voor Pijplijdingsyste-men

Hydraulische Diameter is de equivalente diameter van een buis van varierendegeometrie

Dh � 4A?bv

Somtrek(5.5)

Energie verlies Rechte Leiding

efr =Xpipes

4fL

Dh

1

2< v >2 +

Xappndgs

Kw1

2< v >2 (5.6)

8

Kw p82 data companion, en < v > stroomafwaarts

�p = �e � � (5.7)

5.3 Drukval over een Gepakt Bed

Data Companion pg. 80 onderaan

efr =3

2CD

1� "

"3L

D

1

2v20 (5.8)

CD = CD(Re) � 2; 3 +150

Rehydraul(5.9)

ef =1� "

"

�170

�

�vod(1� ") + 1; 75

�L

dv20 (5.10)

Hierin spelen meestal alleen a) een opgelegde druk b)een hoogteverschil en c)dezefrictiecoe�cient een rol

5.4 Laminaire stromingen en Rheologie

Data Companion pg 63Wet van Newton

�by(x) = ��dv~y

dx= �"p (5.11)

+�by(x) = de schuifspanning in by die liq. element 0x0 uitoefent op 0x+�x0

��by(x) = de schuifspanning in by die liq. element 0x+�x0 uitoefent op 0x0

met behulp van een st. st. krachtenbalans over een volume/oppervlakte-elementis �(x) te kiezen

RVW: � = 0 op grensvlak met lucht en opdv

dx= 0 te bepalen met geometrische

symmetrie

Niet Newtoniaans geldt � = f(dv~ydx

) of beter v~y = f(�) = f(�(x))

Power Law Vloeisto�en met ow-index n

�xy = �Kjdvydxjn�1 dvy

dx(5.12)

n=1 Newtoniaansn > 1 Dilatant: hoger snelheidsgradient hogere viscositeit: maizenan < 1 Pseudoplastisch: hoger snelheidsgradient lagere viscositeit

Bingham-vloeisto�en

j�xyj � �0 = �dvydxj (5.13)

met �0 drempelwaarde van de schuifspanning

9

5.5 Continu��teitsvergelijking en Navier-Stokes

Continu��teitsvergelijking - g�e�en productie Pm (pg. 55 en 58 Data Companion)geeft aan dat een verandering in dichtheid in een volume-element gevolg moetzijn van een netto in=uitstroom

@�

@t= �~r � (�~v) (5.14)

Navier-Stokes Equation

@�~v

@t= �~r � (�~v~v) + ~r � (�r~v)�rP + �~g (5.15)

5.6 Belangrijke Wiskunde in FT

Integralen Z1

xdx = ln(x) (5.16)

ZdP (x)

dx= f(P (x))

substitutieregel����������!gebruik

df(P (x))

dx=

f(P )

dP� dP (x)

dx(5.17)

Zdc(x)

(c(x)� c0)=

Z1

(c(x)� c0)� d(c(x)� c0) = ln(c(x)� c0) +K1 (5.18)

Afgeleiden

[:::] � dr = f(r)jr + f(r)jr+�r wordt! f(r)jr + f(r)jr+�rdr

= �df(r)

dr(5.19)

f(x)

dr=

g(r)

dx

wordt!Z

f(x) � dr =Z

g(r) � dr (5.20)

10