Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

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Formule de Taylor-Lagrange

Exercice 1.

Soit un rel strictement positif et une fonction sur .

1. -Lagrange pour sur

--dire avec un reste o intervient la drive troisime de ) ? Ecrire cette formule.

2. On pose -Lagrange pour

, et crire cette formule.

Allez : Correction exercice 1

Exercice 2.

Soit un rel strictement positif.

1. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction cosinus hyperbolique, sur , avec

2. Montrer que

3. En dduire que :

Allez : Correction exercice 2

Exercice 3.

Soit la fonction dfinie sur par

1. Ecrire la formule de Taylor- entre et .

2. En dduire que

Allez : Correction exercice 3

Exercice 4. (Hors programme)

Montrer que pour tout :

Allez : Correction exercice 4

Exercice 5.

- est une valeur

approche de .

Allez : Correction exercice 5

Exercice 6.

1. Enoncer le thorme de Taylor-Lagrange, on notera

2. , entre et et

.

3. En dduire un nombre dcimal qui approche avec une prcision infrieur prs.

Allez : Correction exercice 6

Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

2

Exercice 7.

Soit ,

1. Montrer que

2. En dduire une valeur approche de prs.

Allez : Correction exercice 7

Exercice 8.

Montrer que pour tout ,

On pourra utiliser la formule de Taylor Lagrange entre et .

Allez : Correction exercice 8

Exercice 9.

1. Enonc le thorme de Taylor-Lagrange.

2. Soit dfinie par .

Calculer les drives successives de .

3. En utilisant Taylor- suivant :

Allez : Correction exercice 9

Exercice 10.

1. Soit . Dmontrer que

2. En dduire que

Allez : Correction exercice 10

Exercice 11.

Dmontrer que pour tout :

Allez : Correction exercice 11

Exercice 12.

Dmontrer que

En dduire une valeur approche de prs.

Allez : Correction exercice 12

Exercice 13.

Ingalits de Kolmogorov

Soit une fonction dfinie sur , de classe . On suppose que et sont bornes, et on pose :

Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

3

( et sont donc des nombres rels tels que, pour tout rel, on a et . Le

but de cet exercice est de prouver que est borne, et de majorer en fonction de

et . Soit , et .

1. Appliquer la formule de Taylor-Lagrange entre et .

2. :

En particulier, si on choisit , on obtient, pour tout :

Ce qui prouve que est borne, avec . On se propose de trouver une meilleure

majoration :

3. Etudier la fonction sur .

4. En dduire que

Allez : Correction exercice 13

Exercice 14.

Soit de classe vrifiant et

tel que .

Indication, on pourra appliquer la formule de Taylor-Lagrange entre et , puis entre et .

Allez : Correction exercice 14

Exercice 15.

Soit une fonction de classe vrifiant la proprit suivante : il existe un polynme de degr

impair tel que pour tout , pour tout ,

1. tel que pour tout .

2. En dduire que est identiquement nulle.

3. Le rsultat subsiste-t-il si on suppose que est de degr pair ?

Allez : Correction exercice 15

Exercice 16.

Soit de classe et vrifiant :

1. Montrer que .

2. Montrer que sur .

Allez : Correction exercice 16

Exercice 17.

Soient et deux rels tels que et .

1. tel que :

Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

4

2. tel que :

3. tel que :

On utilisera bien sur les questions 1. et 2. et on pourra appliquer le thorme des valeurs intermdiaires

.

Allez : Correction exercice 17

CORECTIONS

Correction exercice 1.

1. Si est de classe sur et de classe sur

.

Il existe tel que :

2. est sur donc sur , on peut crire la formule de Taylor-

ordre.

, , et

Il existe .

Allez : Exercice 1

Correction exercice 2.

1. Les drives de sont

, , , et

est une fonction de classe (et mme ) sur donc sur . Il existe tel que :

2.

Or est une fonction croissante sur , donc

Donc, puisque :

On a mme des ingalits strictes.

3. On prend .

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5

Et

De plus

Donc

Allez : Exercice 2

Correction exercice 3.

1.

Il existe tel que

2.

Allez : Exercice 3

Correction exercice 4. (Hors programme)

est une fonction de classe sur et drivable sur , on peut appliquer la formule de

Taylor- Pour

Donc

Il existe tel que :

Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

6

donc

Et entraine que et que donc

On en dduit que

On multiplie ces ingalit par , ces

ingalits pour conclure.

Si les galits sont vrifies trivialement.

Allez : Exercice 4

Correction exercice 5.

est sur et sur car est sur . Il existe

Donc est une valeur approche de

Allez : Exercice 5

Correction exercice 6.

1. Si est une application de classe sur et de classe sur alors il existe tel

que

2.

Il existe

3.

Donc

Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

7

Une valeur approche de est

Allez : Exercice 6

Correction exercice 7.

1. donc on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange avec un

tel que :

, par consquent

Ce qui entraine que

Soit encore

2. On pose

Donc

Est une valeur approche de prs.

Allez : Exercice 7

Correction exercice 8.

La formule de Taylor Lagrange pour la fonction entre et tel que

Comme , on a bien

Allez : Exercice 8

Correction exercice 9.

1. Si est une application de classe sur et de classe sur alors il existe tel

que

Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

8

2.

Remarque :

, il

et que leur drive sont de la

forme .

3. On va utiliser la formule avec , et )

Il existe

Allez : Exercice 9

Correction exercice 10.

1. est sur donc on peut appliquer la formule de Taylor-

et . On pose

Il existe tel que :

Ce qui entraine que

Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

9

Maintenant on peut prendre la valeur absolue puis majorer la valeur absolu du sinus par .

2. On prend bien sur

Il reste simplifier les fractions

Allez : Exercice 10

Correction exercice 11.

Soit

Pour cette fonction est donc on peut appliquer la formule de Taylor-

et . Il

existe tel que :

Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

10

Car

Si alors les trois termes de ces ingalits sont nuls et dans ce cas il y a galit. Pour tout

Allez : Exercice 11

Correction exercice 12.

est sur donc on peut appliquer la formule de Taylor-

et .

Il existe tel que :

Or pour tout , donc , on a donc

Ce qui entraine que

Puis on prend la valeur absolue et on majore par , puis par

Par consquent

Est une valeur approche de prs.

Allez : Exercice 12

Correction exercice 13.

1. est de classe sur , on peut appliquer la formule de Taylor- .

Il existe tel que :

Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

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2. :

t que :

3. Posons , pour .

Cette d

Elle ngative pour

Et positive pour

Elle admet un minimum en

On dduit de cela que pour tout

Or donc pour tout

Par consquent

Allez : Exercice 13

Formule de Taylor-Lagrange Pascal Lain

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Correction exercice 14.

est de classe sur , on peut appliquer la formule de Taylor- entre

et

Il existe tel que :

Ce qui quivaut

est de classe sur , on peut appliquer la formule de Taylor-Lagra entre

et

Il existe tel que :

On rappelle que la formule marche aussi si

Ce qui quivaut

On en dduit que

Si et alors et

, par consquent soit

, soit , il existe bien une valeur tel que .

Allez : Exercice 14

Correction exercice 15.

1. est un polynme de degr impair donc -vidente

du thorme des valeurs intermdiaire puisque les limites en et que les

polynmes sont des fonctions continues), appelons cette racine

2. On applique la formule de Taylor- , sur ou , selon que

ou que , il existe tel que

Donc

est une fonction continue sur un intervalle

ferm born, il existe tel que pour tout , , par consquent