Formule de calcul Formule de calcul prescurtatprescurtat

Acest proiect a fost realizat deAcest proiect a fost realizat de::

Bercea MihaelaBercea Mihaela

Gazdac AndreeaGazdac Andreea

Bodea CalinBodea Calin

Oltean FlorinOltean Florin

Turc MihaiTurc Mihai

1.1.Patratul sumei a doua numere Patratul sumei a doua numere realereale este egal cu este egal cu suma dintre suma dintre patratul primului termenpatratul primului termen, dublul, dublul produsprodus al al celor doi termeni celor doi termeni si si patratul patratul celui de-al doilea termencelui de-al doilea termen, adica:, adica:

(A+B)(A+B)²²=A=A²²+2AB+B+2AB+B²²

(a+b)(a+b)²=a²+2ab+b²²=a²+2ab+b²

Demonstratia algebrica:Demonstratia algebrica:

(a+b)(a+b)²=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)²=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)

=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²

comutativitatea inmultirii

produsul dintre doua sume algebrice

def. puterii

(a+b)(a+b)²=a²+2ab+b²²=a²+2ab+b² Demonstratia Demonstratia

geometrica:geometrica:Patratul ABCD din figura de mai Patratul ABCD din figura de mai

jos are latura egala cu a+b si jos are latura egala cu a+b si atunci aria sa este (a+b)atunci aria sa este (a+b)². Dar ². Dar aria patratului este egala si cu aria patratului este egala si cu suma ariilorsuma ariilor figurilor ce il figurilor ce il compun: patratul de latura compun: patratul de latura a,care are aria egala cu aa,care are aria egala cu a²;²; patratul de latura b, care are patratul de latura b, care are aria egala cu baria egala cu b² si cele doua ² si cele doua dreptunghiuri de dimensiuni a dreptunghiuri de dimensiuni a si b, care au aria egala cu ab.si b, care au aria egala cu ab.

Asadar:Asadar:

(a+b)²=a²+ab+ab+b²=a² (a+b)²=a²+ab+ab+b²=a² +2ab+b²+2ab+b²

a²a² abab

aa

bbabab b²b²

A a b B

D a b C

ExempleExemple 1. (√3+√2)1. (√3+√2)²²=(√3)=(√3)²²+2√3+2√3√√22+ + +(√2)+(√2)² ²

=3+2√6+2=5+2√6=3+2√6+2=5+2√6 2. (42. (4y+3+3x))²²=(4=(4y)²²+2+2··4y4y··3x+(3x)3x+(3x)²²

=16y²+24xy+9x²=16y²+24xy+9x² 3.(13+3.(13+√√5)²=13²+2·13·5)²=13²+2·13·√√5+5+√√5²5²

=169+26=169+26√5+5=174+26√5√5+5=174+26√5 4.(5+20)²=5²+2·5·20+20²=25+200+400=6254.(5+20)²=5²+2·5·20+20²=25+200+400=625

5.(5.(√√8+8+√√3)²=3)²=√√8²+2·8²+2·√√8·8·√√3+3+√√3²=8+23²=8+2√24+3=11+2√24√24+3=11+2√24

6.(6.(√√9+9+√√7)²= 7)²= √√9²+2·9²+2·√√9·9·√√7+7+√√7²=9+67²=9+6√7+7=16+6√7√7+7=16+6√7

2.2.Patratul Patratul diferenteidiferentei a doua a doua numere realenumere reale este egal cu este egal cu suma suma dintre dintre patratul primului termenpatratul primului termen, , opusul dubluluiopusul dublului produs produs al al celor doi celor doi termenitermeni si si patratul celui de-al doilea patratul celui de-al doilea termentermen, adica:, adica:

(A(A--B)B)²²=A=A²-²-2AB+B2AB+B²²

(a-b)(a-b)²=a²-2ab+b²²=a²-2ab+b²

Demonstratia algebrica:Demonstratia algebrica:

(a-b)(a-b)²=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)²=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)

=a²-ab-ba+b²=a²-2ab+b²=a²-ab-ba+b²=a²-2ab+b²

def.puterii

produsul a doua sume algebrice

comutativitatea inmultirii

Demonstratia Demonstratia geometrica:geometrica:

Patratul ABCD din figura de mai jos Patratul ABCD din figura de mai jos are latura egala cu a. Pe latura AB are latura egala cu a. Pe latura AB luam punctul M a.luam punctul M a.î. MB sa fie egal î. MB sa fie egal cu b, deci AM egal cu (a-b).cu b, deci AM egal cu (a-b).

Construim in interiorul patratului Construim in interiorul patratului ABCD patratul AMRQ de latura (a-ABCD patratul AMRQ de latura (a-b) si obtinem ca aria lui ABCD b) si obtinem ca aria lui ABCD este egala cu suma dintre aria lui este egala cu suma dintre aria lui AMRQ si ariile dreptunghiurilor AMRQ si ariile dreptunghiurilor QDCP si MBCN-ambele de QDCP si MBCN-ambele de dimensiuni a si b, si sa scadem dimensiuni a si b, si sa scadem aria patratului RPCN de latura b aria patratului RPCN de latura b pentru ca el este parte si din pentru ca el este parte si din MBCN si din QDCP.MBCN si din QDCP.

Asadar: a²=(a-b)²+ab+ab-b² , de Asadar: a²=(a-b)²+ab+ab-b² , de unde se obtinem simplu:unde se obtinem simplu:

(a-b)²=a²-2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²

RR

PP

bb

QQ

D (a-b) N b C

A (a-b) M b B

(a-b)(a-b)²=a²-2ab+b²²=a²-2ab+b²

ExempleExemple 11. (x-y). (x-y)²²=x=x²²+2+2··xx··(-y) +(-y)(-y) +(-y)²²

=x=x²²-2xy +y-2xy +y²² 2. (2-3)²=2²-2·2·3+3²=4-12+9=1 2. (2-3)²=2²-2·2·3+3²=4-12+9=1

3.(10-3.(10-√√7)²=10²-2·10·7)²=10²-2·10·√√7+7+√√7²=7²=

=100-20=100-20√7+7=107-20√7√7+7=107-20√7

4.(15-4)²=15²-2·15·4+4²=225-120+16=1214.(15-4)²=15²-2·15·4+4²=225-120+16=121

5.(3a-1b)²=(3a)²-2·3a·1b+(1b)²=3a²-6ab+b²5.(3a-1b)²=(3a)²-2·3a·1b+(1b)²=3a²-6ab+b²

6.(9a-5b)²=(9a)²-2·9a·5b+(5b)²=81a²-90ab+25b²6.(9a-5b)²=(9a)²-2·9a·5b+(5b)²=81a²-90ab+25b²

3. Produsul sumei si diferentei 3. Produsul sumei si diferentei acelorasi termeni acelorasi termeni este egal cu este egal cu diferenta patratelor celor doua diferenta patratelor celor doua numere, adica:numere, adica:

(A+B)(A-B)=A(A+B)(A-B)=A²-B²²-B²

(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a²-b²²-b²

Demonstratia algebrica:Demonstratia algebrica:

(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)

=a=a²-ab+ba-b²²-ab+ba-b²

=a²-b²=a²-b²

produsul a doua sume algebrice

comutativitatea inmultirii

ExempleExemple

1. 1. ((√√2+1)(2+1)(√√2-1)=(2-1)=(√√2)²-1=2-1=12)²-1=2-1=1

2.(5+3)(5-3)=5²-3²=25-9=162.(5+3)(5-3)=5²-3²=25-9=16

3.(3+1)(3-1)=3²-1=9-1=83.(3+1)(3-1)=3²-1=9-1=8

4.(9+3)(9-3)=9²-3²=81-9=724.(9+3)(9-3)=9²-3²=81-9=72

5.(5.(√√5+3)(5+3)(√√5-3)=(5-3)=(√√5)²-3²=5-9=-45)²-3²=5-9=-4

6.(6.(√√4+4+√√3)(3)(√√4-4-√√3)=(3)=(√√4)²-(4)²-(√√3)²=4-3=13)²=4-3=1