Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis...
Transcript of Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis...
![Page 1: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/1.jpg)
Heri Rustamaji Jurusan Teknik Kimia Universitas Lampung
![Page 2: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/2.jpg)
⍟ Optimasi mencakup dua proses : ❶ formulasi problem optimasi dalam bentuk
persamaan matematis, ❷ penyelesaian problem matematis yang terbentuk
⍟ Tujuan utama dari formulasi matematis probem
optimasi adalah mencari hubungan matematis antara objective function dengan design variable
⍟ Formulasi problem optimasi disusun melalui metode
analisis sistem proses.
![Page 3: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/3.jpg)
⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan (degree of freedom), perubah tetap (fixed variable).
⍟ Untuk menganalisis suatu sistem/proses, jumlah
perubah bebas harus diketahui. Jumlah perubah yang dipilih harus sama dengan jumlah perubah bebasnya.
![Page 4: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/4.jpg)
❶ Derajat kebebasan (Degree of Freedom)
Contoh 1. Misal suatu proses pencampuran bahan F1 kg/jam dengn F2 kg/jam menjadi F3 kg/jam
Di sini ada 3 perubah yaitu F1, F2, F3. Jika 2 perubah ditentukan, misal F1 = 7 dan F2 = 4 maka harga perubah lainnya (F3) sudah tidak dapat diplilih lagi karena hargannya sudah tertentu (F3 = F1 + F2=11). Jadi dalam kasus ini derajat kebebasannya adalah 2
![Page 5: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh 2. Kolom pemisahan
Persamaan2 proses : • Neraca massa total F = D + W • Neraca massa komponen
F . xA= D . xD + W . xW
Variabel proses ada 6 : F, D, W, xF, xD, xW • Jika dipilih F, xF, xD dan xW, � maka D dan W dihitung • Jka dipilih F, xF, xD, D, � maka xW dan W dihitung
Derajat bebas : jumlah persamaan- variabel
: 6-2 = 4
![Page 6: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh 3. Kolom pemisahan non adiabatis
Persamaan2 proses : 1) Neraca massa total 2) Neraca massa komponen 3) Neraca Panas 4) Hubungan P & T 5) Hubungan x & y
Variabel2 Proses : F, V, L, zA, yA, xA, T, P, Q = 9 Derajat bebas : 9-5 = 4
Derajat Kebebasan = Jumlah Variabel – Jumlah Persamaan
![Page 7: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/7.jpg)
❷ Variabel Tetap (Fixed Variable) • Dalam persoalan-persoalan teknik kimia, ada
perubah-perubah yang harganya sudah tidak bisa dipilih lagi karena tergantung alam, dihasilkan dari proses sebelumnya yang sudah tertentu, atau memang harganya diinginkan tertentu, misal kadar CO2 dalam udara, suhu air pendingin.
• Perubah-perubah semacam itu disebut dengan perubah tetap (fixed variable).
![Page 8: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/8.jpg)
❸ Variabel Desain (Design Variable) • Perubah yang lainnya yang bisa dipilih secara bebas disebut
perubah bebas (design variable) umumnya bertujuan untuk optimasi
Jumlah Variabel desain = Derajat Kebebasan - Jumlah Perubah Tetap
❹ Fungsi Objective (Objective Function) • Sutau fungsi yang nilainya akan dimaksimumkan atau
diminumumkan pada optimasi
Jumlah Variabel Desain = (Jumlah total variabel-variabel tetap)- Jumlah persamaan
![Page 9: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/9.jpg)
Analisis Sistem Proses
Kasus ❶ Pendinginan cairan F kg/jam cairan didinginkan dari To sampai T1 dalam heat exchanger. • Harga refrigerant :
CR ($/kg) = a – bTR • Harga heat exchanger: CH ($/jam) = α.A0,6 • a, b, α adalah konstanta dan A adalah
luas permukaan heat exchanger. • Harga U, Cp dan panas laten
penguapan refrigerant, λ dianggap tetap.
Ingin ditentukan kondisi proses yang membutuhkan biaya pendinginan minimum
![Page 10: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/10.jpg)
Analisis : Objective function : biaya pendinginan, CT ($/jam), masalah minimasi CT ($/jam)= m (kg/jam) CR ($/kg)+ CH ($/jam) = m(a – bTR) + α A0,6 Persamaan2 matematis proses: Panas yang diambil dari cairan: Q = F CP (To – T1) (1.1) Panas yang diterima oleh refrigerant menjadi uap: Q = m λ (1.2) Panas yang ditransfer oleh HE: Q = U A ∆T (1.3) Hubungan antar suhu: ∆� = ����� � �����
������������
(1.4)
Variabel proses : Q, m, TR, A, ∆T = 5 Variabel desain = 5 - 4 = 1
![Page 11: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/11.jpg)
Selanjutnya: • Variabel mana yang dipilih
sebagai variabel desain? • Bagaimana hubungan
variabel desain dengan fungsi objektif?
Metode sistematis: Dibuat tabel sebagai berikut :
(tanda silang menyatakan bahwa suatu variabel muncul dalam persamaan )
![Page 12: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/12.jpg)
Dilakukan pencoretan berurutan mulai pada kolom-kolom yang hanya terisi satu variabel:
![Page 13: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/13.jpg)
• Variabel desain, yaitu variabel yang tidak tercoret. • Urutan hitungan disusun sebagai berikut (berdasarkan tabel, dengan urutan
perhitungan berlawanan dengan urutan pencoretan).
Bila digabung dengan profit equation: CT = m(a – bTR) + α A0,6 (1.5)
![Page 14: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/14.jpg)
Maka diperoleh :
• Diperoleh hubungan objective function (CT) dengan variabel desain (∆T). • Pada urutan hitungan di atas, perhitungan TR dari ∆T memerlukan trial
dan error. Pada kasus ini hal ini bisa dihindari dengan mengubah urutan pencoretan sebagai berikut:
![Page 15: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/15.jpg)
Pada kasus ini hal ini bisa dihindari dengan mengubah urutan pencoretan sebagai berikut:
![Page 16: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/16.jpg)
Diperoleh urutah hitungan dengan varibel desain TR.
![Page 17: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/17.jpg)
Kasus ❷ Reaktor Adiabatis
Reaksi eksotermis order satu fasa cair : A → B Dijalankan dalam mixed flow reactor adiabatis dengan volume campuran dianggap tetap. Harga tetapan kecepatan reaksi dipengaruhi suhu. Kapasitas panas campuran tetap. • harga reaktor ($/jam) = a V0,6 • harga jual B ($/liter) = α + βCB • harga umpan ($/liter) = γ
Harga FV ,CAO, To sudah ditentukan. Panas Reaksi = λ cal/gmol A. Ingin dicari kondisi yang memberikan keuntungan maksimal
![Page 18: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/18.jpg)
Analisis : Keuntungan (objective function) P ($/jam) = Harga produk – harga bahan baku- biaya reaktor = FV (α + βCB) - FV γ – a Vr
0,6 (2.1) Persamaan2 matematis proses : Neraca masa komponen : FV CAO – FV CA – Vr k CA=0 (2.2) Persamaan Arhenius = k = A exp(-E/RT) (2.3) Neraca massa total B: FV CB = FV (CAO - CA) (2.4) Neraca Energi : FV (CAO - CA) λ = FV ρCp(T-To) (2.5) Variabel-variabel proses: Vr, CA, CB, k, T = 5 (FV, CAO, To, Cp, ρ dan λ tetap) Variabel desain = 5 – 4 =1
![Page 19: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/19.jpg)
Dilakukan pencoretan sebagaimana langkah kasus 1, diperoleh :
![Page 20: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/20.jpg)
Setelah digabung dengan profit equation maka diperoleh urutan hitungan dan hubungan antara objective function (P) dengan variabel desain.
![Page 21: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/21.jpg)
Kasus ❸ Reaktor Non Adiabatis
Persoalan pada kasus ❷ ditinjau kembali dengan reaktor dilengkapi dengan pemanas dan volume reaktor Vr dibuat tetap. Steam jenuh dialirkan lewat koil yang luasnya Ac. Suhu steam, Ts (ditentukan). • Harga Steam ($/kg) = ξ • Harga coil ($/m2/jam) = µ
Panas pengembunan steam = λc Koefisien transfer panas antara pemanas dan campuran =U
![Page 22: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/22.jpg)
Analisis : Keuntungan (objective function) P ($/jam) = FV (α + βCB) - FV γ - a Vr
0,6 –S ξ - µ Ac (3.1) Persamaan2 matematis proses : FV CAO – FV CA - Vrk CA=0 (3.2)
k = A exp(-E/RT) (3.3)
FV CB = FV (CAO - CA) (3.4)
FV (CAO - CA) λ + Q = FV ρCp(T - To) (3.5)
Q = U AC ∆T (3.6)
Q = S λc (3.7)
∆T = Ts - T (3.8) Variabel-variabel proses: CA, CB, k, T, ∆T, S, Q, Ac = 8 (FV, CAO, To, Cp, ρ, Vr U dan λ tetap) Variabel desain = 8 – 7 =1
![Page 23: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/23.jpg)
Dilakukan pencoretan sebagaimana langkah pada kasus sebelumnya, diperoleh :
![Page 24: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/24.jpg)
Setelah digabung dengan profit equation maka diperoleh urutan hitungan dan hubungan antara objective function (P) dengan variabel desain (CA).
![Page 25: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/25.jpg)
Kasus ❹ Reaktor dengan External Heater
Persoalan pada kasus ❸ ditinjau kembali dengan pemanas berupa external heater seperti pada gambar di disamping.
![Page 26: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/26.jpg)
Analisis : Keuntungan (objective function): P ($/jam) = FV (α + βCB) - FV γ - a Vr
0,6 –S ξ - µ Ac (4.1) Persamaan2 matematis proses : FV CAO – FV CA - Vrk CA = 0 (4.2)
k = A exp(-E/RT) (4.3)
FV CB = FV (CAO - CA) (4.4)
FV (CAO - CA) λ + Q = FV ρCp(T - To) (4.5)
Q = FRCp ρ (TR-T) (4.6)
Q = U AC ∆T (4.7)
Q = S λc (4.8) ∆� = ����� � ��� �
���� � ���� � �
(4.9)
![Page 27: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/27.jpg)
Variabel-variabel proses: CA, CB, k, T, ∆T, S, Q, TR, Ac = 9 (FV, CAO, To, Cp, ρ, Vr , U dan λ tetap) Variabel desain = 9 – 8 =1 Selanjutnya dilakukan pencoretan sebagaimana langkah pada kasus sebelumnya, diperoleh :
![Page 28: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/29.jpg)
Setelah digabung dengan profit equation maka diperoleh urutan hitungan dan hubungan antara objective function (P) dengan variabel desain (CA)
![Page 30: Formulasi Matematis Problem Optimasi · ⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021711/5d4dd1a088c99357088bd2dd/html5/thumbnails/30.jpg)