Fórmulas para el Primer Parcial de Matemáticas II EECA UCV

UCV - EECA Matemática II 1° Parcial

⑤

⑥

⑦

Inte

gral Integral Definida

Integral Indefinida, Antiderivada ó

Integral Primitiva

⑧

(Condición Suficiente) Si f(x) y f'(x) están acotadas en [a,b] , entonces f(x) es R[a,b] (No Reciproco)

(Condición Suficiente) Si f(x) es continua y acotada en [a,b] , entonces f(x) es R[a,b] (No Reciproco)

← (El Resultado es un Número)Para Ambos Casos

①Si f(x) esta acotada en [a,b] , entonces se

cumple →

Una Aproximación al Valor de Integral entre [a,b] viene dado por :

(Condición Necesaria y Suficiente) Una f(x) acotada en [a,b] , es R[a,b] si y solo si →④

(Condición Suficiente) Si f(x) es Monótona y acotada en [a,b] , entonces f(x) es R[a,b] (No Reciproco)

②①

m = Cota Inferior

Una Cota de Error " e "cometido al tomar la Aproximación del Valor de la Integral es:

Integral Superior

M = Cota Superior

Función IntegrableCota Inferior de la Integral Cota Superior de la Integral

← (El Resultado una Función)

F'(x) = f(x)

a ̂b = Extremos de Integración f(x) = Función Integrado

Sea P = { una Partición de [a,b]} ; S = {S(f ,P) : P ∈ [a,b]} ; I = {I(f ,P) : P ∈ [a,b]} Integral Inferior

Ejemplo: P = {-1,-½,0,3} →│P│= Max {(-½+1),(-½-0),(3-0)} →│P│= Max {½,-½,3} entonces si [(-½ < ½ < 3) → Max = 3] → │P│= 3

Suma Inferior I(f , P)

m = Mínimo o Cota InferiorM = Máximo o Cota Superior

Suma Riemann

Como Pa ⊂ Pb entonces P'a es Refinamiento de Pb

Suma Superior S(f,P) Se Cumple

donde

Sean Dos Particiones Pa y Pb

Refinamiento " P' "

es Riemann Integrable en el Intervalo [a,b]

Ejemplo: Intervalo [-1,3] Partición [-1,3] → P = {-1,1,3} ( P = {X0, X1, Xn} ) (Nota: Los Intervalos poseen Infinitas Particiones)

Norma de una ParticiónSe denomina Norma de una Partición del Intervalo [a,b] y se denota " │P│" a:

Integral Inferior y Superior

Dado un Intervalo [a,b] se denomina Partición de [a,b] y se denota " P " a:

es

donde

Partición

Pb = {-1,-½,0,½,1,2}Pa = {-1,0,1,2}

Integrales de Riemann

Si f(x) es R[a,b] y P es una Partición de [a,b] entonces se cumple →

Si f(x) esta acotada en [a,b] y P es una Partición Genérica de [a,b] y si →L = Es una Aproximación del Valor de la Integral

TEO

REM

AS

DE

LA IN

TEG

RA

L

②

Se Cumple

⑨ entonces →

Si P' es un Refinamiento de P y f(x) esta acotada en [a,b] , entonces se cumple →

③

(Si Reciproco)

f x( )

f x( ) [ ]R a b,

{ }P X X X X Xn n= −0 1 2 1, , ,... , , a X X X X X bn n= < < < < < =−0 1 2 1...

{ }P Max x i ni= ∀ =Δ ; , ,...,1 2 Δx X Xi i i= − −1

m f x M≤ ≤( ) [ ]∀ ∈x a b,

( )I f P m f xi ii

n

, ( )= ⋅=∑ Δ

1

[ ]{ }m f Inf f x x X Xi i i( ) ( ): ,= ∈ −1

( )S f P M f xi ii

n

, ( )= ⋅=∑ Δ

1

[ ]{ }M f Sup f x x X Xi i i( ) ( ): ,= ∈ −1

( ) ( ) ( ) ( )m b a I f P S f P M b a⋅ − ≤ ≤ ≤ ⋅ −, ,m m f M f Mi i≤ ≤ ≤( ) ( )

( ) [ ]{ }f x Sup I f P P a b Aa

b

( ) , : ,= ∈ =∫ A ∈ R

( ) [ ]{ }f x Inf S f P P a b Ba

b

( ) , : ,= ∈ =∫ B ∈ R

( ) ( ) ( ) ( )m b a I f P S f P M b a⋅ − ≤ ≤ ≤ ⋅ −, ,

( ) ( ) ( ) ( )m b a I f P f x f x S f P M b aa

b

a

b

⋅ − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ⋅ −∫∫, ( ) ( ) ,

f x f x f xa

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( )= = ∫∫∫

( ) ( )S f P S f P, , '≥

[ ]m f x M x a b≤ ≤ ∀ ∈( ) ; ,

( ) ( ) ( ) ( )m b a I f P f x f x S f P M b aa

b

a

b

⋅ − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ⋅ −∫∫, ( ) ( ) ,

( ) ( )f xI f P S f P

a

b

( ), ,

≈+

∫ 2( ) ( ) ( ) ( )

e f xI f P S f P S f P I f P

a

b

= −+

≤−

∫ ( ), , , ,

2 2

( )( ) ( ) ( )∀ > ∃ ∈ = <ε ε0 p P S f P I f P, , ,

( ) ( )LimI f P LimS f P Lx x→∞ →∞

= =, , f x La

b

( ) ≈∫

[ ]f x dx F x C F b F a Ca

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )= + = − +∫

f x dx F x C( ) ( )= +∫

( ) ( )I f P I f P, , '≤

Elaborado por: Eder Nunes


x = 1 → u = 2x = 0 → u = 1→ Extremos →u = x 2 +1(Aplicamos

Método)

Teorema del Valor Medio para Integrales

du = 2xdx

②①

S a b i e n d o q u e ↓:

④

②

y se verifica →

(Viene dado por el Teorema Anterior) Si f(t) es continua en un Intervalo cerrado y acotado " [a,b] "; y si F(x) es Diferenciable en " [a,b] " entonces:

Sea g(x) →

y f(t) es continua en un Intervalo cerrado y acotado " I"; y si " a ∈ I", entonces g(x) es

Diferenciable en " I" y se verifica →

(Íntimamente relacionado con el Teorema del Valor Medio para Derivadas) Valor Medio o Promedio

Métodos de Integración

Teor

emas

Fu

ndam

enta

les

del

Cal

culo

①

③

y se cumple →

(No se Cumple el Reciproco)

(No se Cumple el Reciproco) (No se Cumple el Reciproco)

⑧

(No se Cumple el Reciproco)

Si los Extremos de Integración son iguales, entonces →

⑥

⑦

⑨

① Método por Parte

⑩

⑪

en textos aparece como:Ejemplo: Asumimos (f o g )(x) = u y ( g (x))' = u'

② Método por Sustitución ó Método de Cambio de Variable

y

PROPIEDADES Y OPERACIONES BÁSICAS

y

(C1 ̂C2) = Constantes

y se cumple →⑤

u dv u v v dua

b

a

b

a

b

⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

( ) ( )f x dx f g x g xa

b

( ) ( ) ( ) '= ⋅∫∫ o

α

β

f xa

a

( ) =∫ 0f x f x f x

c

b

a

c

a

b

( ) ( ) ( )= + ∫∫∫

[ ] [ ]f x en a b f x R a b( ) , ( ) ,acotada → ∈ [ ] [ ]g x en a b g x R a b( ) , ( ) ,acotada → ∈ C C1 2∧ ∈ R

[ ] [ ] [ ]f x R f x R f x Ra c c bentonces

a b( ) ( ) ( ), , ,∈ ∧ ∈ ⎯ →⎯ ⎯ ∈

f x f x f xa

b

c

b

a

c

( ) ( ) ( )+ = ∫∫∫

( )C C b aa

b

1 1∫ = ⋅ −

C f x C f xa

b

a

b

⋅ = ⋅∫ ∫( ) ( )

( )C f x C g x C f x C g xa

b

a

b

a

b

1 2 1 2⋅ ± ⋅ = ⋅ ± ⋅∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )[ ]f x g x x a b f x g x

a

b

a

b

( ) ( ); , ( ) ( )≤ ∀ ∈ → ≤∫ ∫

[ ] [ ]Si f x R f x Ra bentonces

a b( ) ( ), ,∈ ⎯ →⎯ ⎯ ∈

f x f xa

b

a

b

( ) ( )∫ ∫≤[ ] [ ] [ ] [ ]Si f x R c d a b f x Ra b

entoncesc d( ) , , ( ), ,∈ ∧ ⊂ ⎯ →⎯⎯ ∈

[ ]Si f x x a b f xentonces

a

b

( ) ; , ( )≥ ∀ ∈ ⎯ →⎯ ⎯ ≥∫0 0Si b a f x f xentonces

a

b

a

b

< ⎯ →⎯ ⎯ = −∫ ∫( ) ( )

g x f t' ( ) ( )=

[ ] ( ) ( )Si f x es continua en a b c a b f x f c b atal que

a

b

( ) , , : ( ) ( )→ ∃ ∈ ⎯ →⎯⎯ = ⋅ −∫

[ ] [ ] [ ] [ ]f x R c a b f x R f x Ra bentonces

a c c b( ) , ( ) ( ), , ,∈ ∧ ∈ ⎯ →⎯ ⎯ ∈ ∧ ∈

g x f t dta

x

( ) ( )= ∫

[ ]F x f t t a b' ( ) ( ) ,= ∀ ∈ f t F x F a F ba

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )= = −∫

f g f g g fa

b

a

b

a

b

⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫' '

x dxx

x dxx

AplicamosMetodo

duu

⋅+

⇒ ⋅ ⋅+

⇒ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇒ ⋅∫ ∫ ∫2

0

1

20

1

1

2

112

21

12



Caso ②

El denominador tiene solamente factores lineales, ninguno de los cuales se repite , en este caso la función racional es la suma de fracciones parciales, cada una de las cuales es igual a una constante dividida por el denominador.

① ② ③ ④

Caso ①

③ Método por Sustitución Trigonometrica

Caso ④

El denominador tiene uno o más factores cuadráticos, alguno de los cuales se repite , en este caso por cada factor cuadrático repetido " k " veces, vamos atener " k " términos de la forma: ↑

Esta Formula se aplica si n ≥ 2

Lo que queremos es que el Grado de Q(x) > P(x) →

En el supuesto caso de que el grado de Q(x) < P(x) , entonces Dividimos →

ENTONCES

y una vez hecho esto, vamos a Factorizar Q(x) dividimos en Casos ↓

El denominador tiene uno o más factores cuadráticos, ninguno de los cuales se repite , en este caso por cada factor cuadrático, hay una fracción parcial de la forma:

Factorizar Q(x)

El denominador tiene solamente factores lineales, algunos de los cuales se repite , en este caso correspondiéndose por un factor " k " veces; hay " k " factores parciales de la forma:

Caso ③

⑤ Integrales Trigonometricas (Racionales)

Caso ②

Cam

bios

:

Caso ①

Cas

o

②

④ Integrales Racionales (Polinómicas)

Cas

o

③

Cas

o

①

Cam

bios

:C

ambi

os:

← Cambio Universal

( )R Senx Cosx dx,∫ ( )R Sen x Cos x Senx Cosx dx2 2, , ⋅∫ ( )R Senx Cos x Cosx dx, 2 ⋅∫ ( )R Cosx Sen x Senx dx, 2 ⋅∫

( )f a x dx2 2−∫a x2 2−

a x x a Sen t= ⋅ ( ) ( )t rcSen xaa=

dx a Sec t Tg t dt= ⋅ ⋅ ⋅( ) ( )

a

x( )f a x dx2 2+∫a x2 2+ x a Tg t= ⋅ ( ) ( )t rcTg x

aa=

dx a Sec t dt= ⋅ ⋅2 ( )

( )f x a dx2 2−∫a

xx a2 2−

dx a Cos t dt= ⋅ ⋅( )

x a Sec t= ⋅ ( ) ( )t rcSec xaa=

( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )dx

ax bx c

ax b

n ac b ax bx c

a nn ac b

dx

ax bx cn n n2 2 2 1 2 2 1

2

1 4

2 2 31 4+ +

= +

− − + ++

−− −

⋅+ +

∫ ∫− −

P xQ x

dx P x Q xsi( )( )

( ) ( )∫ ⎯ →⎯ ≥ P xQ x

C x R xQ x

( )( )

( ) ( )( )

= +

( ) ( ) ( ) ( )P xQ x

Ax x

Bx x

Cx x

Nx xA B C N

( )( )

...=−

+−

+−

+ +−

( ) ( ) ( ) ( )Q x x x x x x x x xA B C N( ) ...= − + − + − + + −

P xQ x

Ax Bax bx c

( )( )

=+

+ +2

( ) ( ) ( ) ( )P xQ x

A x Bax bx c

A x Bax bx c

A x Bax bx c

A x Bax bx ck k k

k k( )( )

...=+

+ ++

+

+ ++

+

+ ++ +

++ +− −

1 12

2 22 1

3 32 2 2

( ) ( ) ( ) ( )P xQ x

Ax x

Ax x

Ax x

Ax xk k k

k

n

( )( )

...=−

+−

+−

+ +−− −

1

1

2

21

3

32

P xQ x

C xR xQ x

( )( )

( )( )( )∫ ∫ ∫= +

( )u Tg x= 2

x rcTg ua= 2 ( ) dxduu

=+2

1 2

Sen x uu

( ) =+2

1 2 Cos x uu

( ) =−+

11

2

2

u Tg x= ( ) x rcTg ua= ( )

dx duu

=+1 2 Sen x

uu

22

21( ) =

+

Cos xu

22

11

( ) =+

Sen x Cos x uu

( ) ( )⋅ =+1 2 Cos x u2 21( ) = −

dx duCos x

duu

= =−( ) 1 2

u Sen x= ( )x rcSen ua= ( )

Sen x u2 21( ) = −

dx duSen x

duu

= − = −−( ) 1 2

x rcCos ua= ( )u Cos x= ( )



D[p] = Denominador de p

y si tiene Raíces entonces, tenemos que:

②

D[p] = Denominador de p

Caso ②M

étod

os N

umér

icos

de

Inte

grac

ión

(Pro

porc

iona

n A

prox

imac

ione

s pa

ra In

tegr

ales

que

no

pose

en P

rimiti

va)

(Método Muy Exacto)

Regla de Simpson

Método de Sumas Superiores e Inferiores

donde

Regla del Trapezoide

(Método Deficiente)

Integrales Irracionales

D[m,n] = Mínimo Denominador Común entre m y n 1.) Factorizar →

Caso ①

→entonces→

n = Número de Particiones

(Método Bueno)

n = Número de Particiones

2.) Si No tiene Raíces →

M = Una Cota (Máximo); es decir f IV(x) estará acotada por un máximo " M "

M = Una Cota (Máximo); es decir f''(x) estará acotada por un máximo " M "

→entonces→

Una Cota de Error " e "cometido al tomar la Aproximación del Valor de la Integral es:

Una Aproximación al Valor de Integral entre [a,b] viene dado por :

n = Número de Particiones (el cual en este caso debe ser un Número PAR )

NOTA (Alternando) : El 4 y el 2 se alternan de tal forma que, el 4 ocupará los lugares Pares y el 2 los Impares.

( )x a bx dxm n p

∫ ⋅ +

[ ]1.) ,p x t D m n∈ → =Z

( )Ax B dx

ax bx c

+

+ +∫ 2

ax bx c x x21 2+ + = =, ^α β

a ax bx c x a t> → + + = +0 2

c ax bx c t x c> → + + = ⋅ +0 2

( )( )Error eM h

b a= ≤⋅

⋅ −2

12

[ ]X Numero cualquiera del Sub Intervalo X X Xi i i i= − ∈ −1,( )f x f X X Xii

n

a

b

i i( ) ( )≈ ⋅ −=

−∑∫1

1

[ ] [ ]h b an

Si f x en a b f x M x a b=−

∃ ∧ ≤ ∀ ∈, ' ' ( ) , ' ' ( ) ; ,

( ) ( ) ( )[ ]f x h f a f a h f a h f a n h f bb

a

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ) ( )≈ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ + + + − ⋅ + ⋅∫ 12 2 1 1

2

( )f x h f a f a h f a h f a halternado

f a n h f a n h f bb

a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ) ( ( ) ) ( )≈ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥∫ 3

4 2 2 4 3 2 2 4 1

[ ] [ ]h b an

Si f x en a b f x M x a bIV IV=−

∃ ∧ ≤ ∀ ∈, ( ) , ( ) ; , ( )( )Error e M h b a= ≤⋅

⋅ −4

180

( ) ( )f xI f P S f P

a

b

( ), ,

≈+

∫ 2( ) ( ) ( ) ( )

e f xI f P S f P S f P I f P

a

b

= −+

≤−

∫ ( ), , , ,

2 2

[ ]2 1.) Si p Z mn

Z a bx tn D p∉ →+

∈ → + =

[ ]3 1 1.) Si mn

Z mn

p Z a bx

xt

n

n

D p+ ∉ → + + ∈ → + =

ax bx c t x o t x2 + + = ⋅ − ⋅ −( ) ( )α β


Fórmulas para el Primer Parcial de Matemáticas II EECA UCV

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