Equilibrio Ala recta divergencia:

ddy (GJ∗dθdy )=−(q∗c∗e∗Clα (α0+θ )+q∗c2∗Cmac−N z∗m∗g∗X cg)

d2θd y2

+λ2θ=K

λ2=q∗c∗e∗C Lα

GJ

K=−( (q∗c∗e∗CLα∗α 0 )+q∗c2∗cmacGJ )+N z∗m∗g∗Xcg

GJ

θ ( y )=A∗cos ( λy )+B∗sen ( λy )+ k

λ2

θ ( y )= k

λ2∗(1−cos ( λy )−tan ( λl )∗sen ( λl ))

qD=( π2l )

2

∗GJ

c∗e∗CLα

λD=( π2 l )2

=qD∗c∗e∗C Lα

GJ

Inversion de mando ala recta:

∆ L∗e+∆M ac+T−T−dTdy

Sy=01¿

∆ L=q∗c∗Sy∗(CLα∗(θ−Pyv )+C Lβ∗f a ( y )∗β)2¿

∆M ac=q∗c2∗Sy∗Cmβ∗f a ( y )∗β 3¿

f a ( y )={0 para0≤ y≤ l11 paral1≤ y≤ l }Metiendo 2 y 3 en 1:

q∗e∗c∗CLα∗(θ−P y

v )+q∗e∗c∗CLβ∗f a ( y )∗β+q∗c2∗Cmβ∗f a ( y )∗β−dTdy

=04¿

Saint Vennant:

T=−GJ∗dθdy

→dTdy

=−GJ∗d2θd y2

4¿

d2θd y2

+q∗c∗e∗C Lα

GJθ= qc

GJ∗( e∗CLα∗Py

v+e∗CLβ∗f a ( y )∗β−c∗Cmβ∗f a ( y )∗β )5¿

λ2=q∗c∗e∗C Lα

GJ

d2θd y2

+λ2θ= λ2∗Pyv

− λ2

CLα

∗(CLβ+ce∗Cmβ)∗f a ( y )∗β 6¿

Aplicando condiciones de contorno:

θ=Pv∗( y− sen ( λy )

λ∗cos ( λl ) )− βcLα

∗(CLβ+ce∗Cmβ)∗¿

Introducimos la eficiencia del alerón:

η=(Plv )β

∫∆ L∗y∗dy=0

∆ L=q∗c∗Sy∗[CLα∗(θ−Pyv )+CLβ∗f a ( y )∗β ]

∫0

l

q∗c∗[CLα∗(θ− Pyv )+CLβ∗f a ( y )∗β ]∗ y∗dy=0

∫0

l

CLα∗(θ− Pyv )∗y∗dy=−β∗∫

0

l

C Lβ∗f a ( y )∗y∗dy (10)

Haciendo uso de (8):

θ−Pyv

=( −βlv

∗sen ( λy )

λ∗cos ( λl ) )− βcLα

∗(CLβ+ce∗Cmβ)∗¿

Metiendo 11 en 10:

∫0

l

¿¿

Modificandola:

Plv

∗∫0

l

¿¿

Introduciendo el rendimiento en 12:

( P∗lv

)

β=∫

0

l

CLβ∗f a ( y )∗ y∗dy−β∗∫0

l

¿¿¿

Resolviendo las integrales:

( P∗lv

)

β=CLβ

CLα

∗[ cos ( λ∗l1 )cos ( λ∗l )

−1]+ce∗Cmβ

C Lα

∗¿¿

Igualando esta expresión a 0:

CLβ

CLα

∗¿

Finalmente:

(CLβ+c∗Cmβ

e )∗(cos ( λl )−cos ( λ∗l1 ))+c∗Cmβ

λ∗e∗λ2∗(l2−l12 )∗cos ( λl )=0

Iterando:

λ2=q∗e∗c∗C Lα

GJ→qR→V R

Sacar el factor de carga:

N z=LW

W=peso de 2 alas

L=q∗c∗∫0

L

CL∗(α+θ ( y ) )∗dy

θ ( y )= k

λ2∗¿

Equilibrio perfil divergencia:

Sin masa:

KT∗θ=M ac+L∗e

KT∗θ=q∗S∗c∗CMCA+q∗S∗CLα∗e

θ=q∗S∗c∗CMAC+q∗S∗C Lα∗e∗α0

KT−q∗S∗CLα∗e

qD=KT

S∗CLα

=12∗ρD∗UD

2

Sustentación perfil rigido frente perfil elástico:

θα 0

=q /qD1−q/qD

Con masa:

KT∗θ=L∗e+M ac+m∗g∗Xcg∗N z

KT∗θ=q∗S∗(e∗CLα (α0+θ )+c∗Cmac )+m∗g∗Xcg∗N z

θ=

q∗S∗e∗C Lα∗(α 0+ ce∗Cmac

C Lα)+N z∗m∗g∗Xcg

KT−q∗S∗e∗CLα

Equilibrio perfil inversión mando:

KT∗θ=M ac+L∗e

KT∗θ=q∗S∗c∗(Cmo+Cmβ∗β )+q∗S∗(C Lα∗(α0+θ )+CLβ∗β )∗e

θ=q∗S∗(c∗Cm0+e∗CLα∗α 0+ (e∗CLβ+c∗Cmβ )∗β )

KT−q∗e∗S∗CLα

L=q∗S∗(CLα∗(α 0+θ)+CLβ∗β)

L=q∗S∗CLα∗α 0+q∗S∗C Lβ∗β+q∗S∗C Lα∗q∗S∗¿¿

L=q∗S∗¿

∂ L∂ β

=0

qR=−KT∗CLβ

C Lα∗S∗c∗Cmβ

qD=KT

C Lα∗S∗e

L=

q∗S∗(C Lα∗(α 0+ q∗S∗c∗Cm0

KT)+C Lβ∗(1− q

qR )∗β )1−

qqD

η=1− q

qR

1− qqD

Si R=qDqRes grande :η=1− q

qR

Equilibrio perfil divergencia dos muelles con masa:

Alas con flecha:

θ=θ ´∗cos ( Λ )−ϕ´∗sen(Λ)

Kθ ´ : rigidez a torsion

Kϕ ´ :rigidez a flexion

Corte A-B´ el angulo de ataque es:

α s=α0+θ=α 0+θ ´∗cos ( Λ )−ϕ´∗sen( Λ)

Corte B-B´ tenemos:

αC=α S

cos (Λ)=

α 0cos ( Λ)

+θ ´−ϕ´∗tan (Λ)

Sustentacion en B-B´:

L=CLα∗qn∗c∗α c=CLα∗qn∗c∗[ α0cos (Λ)

+θ´−ϕ´∗tan (Λ)]qn=q∗cos

2 ( Λ )=12∗ρ∗v2∗cos2(Λ)

Momento torsor:

M θ ´=∫0

l

(L∗e+M ac )∗dy ´

Momento flector:

M ϕ´=∫0

l

L∗y ´∗dy ´

Resolviendo las integrales:

M θ ´=CLα∗qn∗c∗l∗e∗( α 0cos (Λ)

+θ ´−ϕ´∗tan ( Λ )+Cmac∗qn∗c2∗l)

M ϕ´=CLα∗qn∗c∗l

2

2∗( α0cos(Λ)

+θ ´−ϕ´∗tan (Λ))Equilibrio de momentos:

M ϕ´=K ϕ´∗ϕ´

M θ ´=Kθ ´∗θ ´

Kϕ ´∗ϕ ´=CLα∗qn∗c∗l

2

2∗( α0cos (Λ)

+θ ´−ϕ´∗tan (Λ))Kθ ´∗θ ´=CLα∗qn∗c∗l∗e∗( α 0

cos (Λ)+θ ´−ϕ´∗tan ( Λ )+Cmac∗qn∗c

2∗l)En forma matricial tenemos:

[Kϕ´+CLα∗qn∗c∗l

2∗tan ( Λ )2

−CLα∗qn∗c∗l2

eCLα∗qn∗c∗l∗e∗tan ( Λ ) Kθ ´−CLα∗qn∗c∗l∗e ]∗[ϕ´θ ´ ]= 1

2∗cos ( Λ )∗( CLα∗qn∗c∗l

2∗α02∗CLα∗qn∗c∗l∗e∗α 0+2∗cmac∗qn∗c

2∗l∗cos ( Λ ))Imponiendo condiciones de divergencia:

|K ϕ´+CLα∗qn∗c∗l

2∗tan ( Λ )2

−C Lα∗qn∗c∗l2

eCLα∗qn∗c∗l∗e∗tan ( Λ ) Kθ ´−CLα∗qn∗c∗l∗e

|=0Resolvemos para qND (presión normal de divergencia sobre las líneas de cuerda):

qND=2∗Kθ ´∗K ϕ´

2∗K ϕ´∗CLα∗c∗l∗e−Kθ ´∗C Lα∗c∗l2∗tan (Λ)

Como

qn=q∗cos2 ( Λ )

y

qD=qND

cos2(Λ)

La presión dinámica de divergencia será:

qD=

Kθ ´

S∗e∗CLα

∗1

cos2 ( Λ )∗(1−( le )∗( Kθ ´

Kϕ´)∗( tan (Λ)

2 ))Con S=l∗c

Ángulo critico de flecha:

cos2 ( Λ )∗(1−( le )∗( Kθ ´

Kϕ ´)∗( tan ( Λ )

2 ))=0ΛC=tan

−1(2∗( ec )∗( cl )∗(K ϕ´

Kθ ´))

Si Λ=ΛC no hay divergencia

Comparación sustentación ala flexible en flecha con rígida:

Lflexible=CLα∗qn∗c∗( α0cos (Λ)

+θ ´−ϕ ´∗tan (Λ))

Lrigida (θ ´=0 , ϕ´=0 )=C Lα∗qn∗c∗α 0cos (Λ)

LflexibleLrigida

=CLα∗qn∗c∗( α 0

cos ( Λ)+θ ´−ϕ´∗tan (Λ ))

C Lα∗qn∗c∗α 0cos (Λ)

=α 0+θ ´∗cos ( Λ )−ϕ´∗sen (Λ)

α0

Calculo de θ ´ y ϕ´ consimetria(Cmac=0)

[Kϕ´+CLα∗qn∗c∗l

2∗tan ( Λ )2

−CLα∗qn∗c∗l2

eCLα∗qn∗c∗l∗e∗tan ( Λ ) Kθ ´−CLα∗qn∗c∗l∗e ]∗[ϕ´θ ´ ]= 1

2∗cos ( Λ )∗( CLα∗qn∗c∗l

2∗α 02∗CLα∗qn∗c∗l∗e∗α 0)

ϕ ´=

Q∗α 0∗l2∗cos (Λ)

∗1

Kϕ ´+Q∗( l∗tan (Λ)2

−e∗K ϕ´

Kθ ´)

θ ´=

Q∗α0cos (Λ)

∗1

Kθ ´+Q∗( Kθ ´

K ϕ´

∗l∗tan ( Λ )

2−e)

Q=qn∗S∗CLα

Mando inversor:

Ecuacion de fuerzas (sustentación):

ΔL=qn∗S∗CLα∗¿

Ecuaciones de momentos:

ΔM ϕ ´=

qn∗S∗e∗CLα∗β∗CLβ

CLα

∗l

2e

ΔM θ ´=qn∗S∗e∗CLα∗β∗CLβ

CLα

∗(1+ ce∗Cmβ

CLβ)

Las ecuaciones de momentos en forma matricial:

[Kϕ´+Q∗l∗tan (Λ)

2−Q∗l2

Q∗e∗tan (Λ) Kθ ´−Q∗e]∗[Δϕ´Δθ ´ ]=[qn∗S∗e∗CLα∗β∗CLβ

CLα

∗l

2∗e

qn∗S∗e∗CLα∗β∗CLβ

CLα

∗(1+ ce∗Cmβ

CLβ)]

Resolvemos para:

Δ ϕ´=Q∗e∗β

χ∗((Kθ ´−Q∗e )∗c2−(−Q∗l

2 )∗c2)Δθ ´=

Q∗e∗βχ

∗(−(Q∗e∗tan (Λ ) )∗c1+(Kϕ´+Q∗l∗tan ( Λ )

2 )∗c2)Donde:

c1=

CLβ

C Lα

∗l

e

c2=CLβ

CLα

∗(1+ ce∗Cmβ

CLβ)

χ=Kθ ´∗Kϕ´+Q∗( Kθ ´∗tan ( Λ )2 )+qn∗S∗CLβ∗β

Q=q∗S∗CLα

ΔL=qn∗S∗CLα∗¿

Tenemos que:

ΔL=q∗S∗CLβ∗β∗cos

2( Λ)

1+ QKθ ´∗K ϕ´

∗( Kθ ´∗l∗tan ( Λ )2

−K ϕ´∗e )∗(1+ q∗S∗CLα∗c∗Cmβ∗cos

2(Λ)Kθ ´∗CLβ

)Igualando a 0:

1+q∗S∗C Lα∗c∗Cmβ∗cos

2(Λ)Kθ ´∗C Lβ

=0

qR=

−Kθ ´

S∗e∗CLα

∗e

c∗CLβ

Cmβ

∗1

cos2(Λ)

qD=

Kθ ´

q∗e∗CLα

∗1

cos2 ( Λ )∗(1−( le )∗( Kθ ´

Kϕ´)∗( tan (Λ)

2 ))ΔL=

q∗S∗CLβ∗β∗cos2(Λ )

1− qqD

∗(1+ q∗S∗CLα∗c∗Cmβ∗cos2(Λ)

Kθ ´∗CLβ)

Eficiencia del alerón:

η=ΔLflexibleΔLrigida

= ΔL

q∗S∗CLβ∗β∗cos2(Λ)

= 1

1− qqD

∗(1+ q∗S∗CLα∗c∗Cmβ∗cos2(Λ)

K θ´∗CLβ)

ΔLrigida=q∗S∗CLβ∗β∗cos2( Λ)