Formulaire de beton_arme
-
Upload
zahir-hadji -
Category
Documents
-
view
174 -
download
16
Transcript of Formulaire de beton_arme
Formulaire de béton armé
1/18
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DE BEJAIA
FACULTE DE TECHNOLOGIE
DEPARTEMENT DE GENIE-CIVIL
FORMULAIRE DE CALCUL DES SECTIONS EN BETON ARME
Selon le BAEL91 et CBA93
Programme de Béton 1 et 2
3ème Année Licence de Génie-Civil
Enseignants
HAMOUCHE Sabiha
TAHAKOURT Abdelkader
SOMMAIRE
I- COMPRESSION SIMPLE 2 II- TRACTION SIMPLE 5 III-FLEXION SIMPLE 6 IV-FLEXION COMPOSEE 10 V-CISAILLEMENT 17
2012/2013
Compression simple
2/18
I-COMPRESSION SIMPLE
COMBINAISONS DE CHARGE
Combinaison a l’ELU
1,35𝐺𝑚𝑎𝑥 + 𝐺𝑚𝑖𝑛 + 𝛾𝑄1 .𝑄1 + 1,3 𝜓0𝑖𝑄𝑖
Combinaison accidentelle
𝐺𝑚𝑎𝑥 + 𝐺𝑚𝑖𝑛 + 𝐹𝐴 +𝜓1𝑖𝑄1 + 𝜓2𝑖𝑄𝑖
Combinaison a l’ELS
𝐺𝑚𝑎𝑥 + 𝐺𝑚𝑖𝑛 +𝑄1 + 𝜓0𝑖𝑄𝑖
Avec :
FA : l’action accidentelle.
Gmax : l’ensemble des actions permanentes défavorables
Gmin: l’ensemble des actions permanentes favorables
Q1 : Action variable de base
Qi : Action variable d’accompagnement.
I-CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES
1- ELU de résistance
𝐴𝑠 =𝑁𝑢 − 𝐵𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑠𝑐
𝑓𝑏𝑢 =0,85 𝑓𝑐28
𝜃 𝛾𝑏 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑓𝑏𝑢 =0,8 𝑓𝑐28
𝜃 𝛾𝑏 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝛾𝑏 = 1.5 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝛾𝑏 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠
𝑓𝑠𝑐 = 𝑓𝑒𝛾𝑠
𝛾𝑠 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝛾𝑠 = 1 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠
Pour A<0 : on n’a pas besoin d’aciers, le béton seul suffit
2- ELU de stabilité de forme
Compression simple
3/18
𝐴𝑠 ≥ 𝑁𝑢𝛼− 𝐵𝑟
𝑓𝑐28
1,35 𝛾𝑠𝑓𝑒
L’élancement du poteau
Section rectangulaire
𝜆 = 3,46 𝑙𝑓𝑏
𝑏 ∶ 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é
Section circulaire
𝜆 = 4 𝑙𝑓𝐷
𝐷 ∶ 𝑙𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒
Section orthogonale
𝜆 = 3,89 𝑙𝑓
𝑆𝑖 0 ≤ 𝜆 ≤ 50 𝛼 = 0,85
1 + 0,2 𝜆
35
2
𝑆𝑖 50 ≤ 𝜆 ≤ 70 𝛼 = 0,6 50
𝜆
2
Br : Section réduite :
𝐵𝑟 = 𝑎 − 2 𝑏 − 2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝐵𝑟 = 𝜋 𝐷 − 2 2
4 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
Condition à vérifier :
1er cas : Si 𝐴𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴𝑠 ≤ 𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴𝑠
𝐴𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 4𝑈 ,0,1
100 𝐵
𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑈 𝑙𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 (𝑚) 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝐵 (𝑐𝑚²)
𝑈 = 2 𝑎 + 𝑏 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟é𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑈 = 2𝜋𝑅 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝐴𝑚𝑎𝑥 =4
100𝐵
2eme cas
𝑆𝑖 𝐴𝑠 > 𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢
3eme cas
𝑆𝑖 𝐴𝑠 < 𝐴𝑚𝑖𝑛 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴𝑚𝑖𝑛
Remarque
Le diamètre des armatures longitudinales min :
Compression simple
4/18
𝜙𝑙 ≥ 12 𝑚𝑚
Pour une section circulaire le nombre des barres min est de 6
II-CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES
𝜙𝑡 ≥𝜙𝑙𝑚𝑎𝑥
3
𝜙𝑙𝑚𝑎𝑥 :𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑥
Espacement entre les armatures transversales :
𝑆𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 15 𝜙𝑙𝑚𝑖𝑛 ,𝑎 + 10, 40 𝑐𝑚
𝑎: 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é 𝑒𝑡 𝜙𝑙𝑚𝑖𝑛 :𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛
L’enrobage
𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠
Vérification des contraintes à l’ELS
𝜎𝑏𝑐 =𝑁𝑠𝑒𝑟
𝐵 + 15𝐴𝑠 ≤ 𝜎 𝑏𝑐 = 0,6𝑓𝑐28
𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑥 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑓𝑠
𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠
Traction simple
5/18
II-TRACTION SIMPLE
I-DETERMINATION DE LA SECTION DES ARMATURES
𝐴𝑠 = max 𝐴𝑢 ; 𝐴𝑠𝑒𝑟
1- Calcul à l’ELU
𝐴𝑢 ≥𝑁𝑢 𝛾𝑠𝑓𝑒
2- Calcul à l’ELS
𝐴𝑠𝑒𝑟 ≥𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜎 𝑠
a- Fissuration peu nuisible :
On calcul uniquement à l’ELU
b- Fissuration nuisible :
𝜎 𝑠 = min 2
3 𝑓𝑒 ; 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗
c- Fissuration très nuisible :
𝜎 𝑠 = min 0,5 𝑓𝑒 ; 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗
𝑓𝑡𝑗 = 0,6 + 0,06 𝑓𝑐𝑗
𝜂 ∶ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 1,6 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟𝑠 𝐻𝐴
2-Vérification de la condition de non fragilité
𝐴𝑠.𝑓𝑒 ≥ 𝐵.𝑓𝑡28 𝐵 ≤𝐴𝑠.𝑓𝑒𝑓𝑡28
𝑜𝑢 𝐴𝑠 ≥𝐵.𝑓𝑡28
𝑓𝑒
II-DISPOSITIONS REGLEMENTAIRES MINIMALES
1-Conditions d’enrobage
𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝐹𝑃𝑁 (𝐹𝑃𝑃)
𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝐹𝑁 (𝐹𝑃)
𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝐹𝑇𝑁 (𝐹𝑇𝑃)
2-Diamètres minimaux
𝐹𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 6 𝑚𝑚 ; 𝜙𝑙 ≥ 6 𝑚𝑚
𝐹𝑇𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 𝟖 𝒎𝒎 ;𝝓𝒍 ≥ 𝟖 𝒎𝒎
3-Espacement
𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 40 𝑐𝑚 ;𝑎 + 10 , 𝑡 ≈ 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Flexion simple
6/18
III-FLEXION SIMPLE
I-SECTION RECTANGULAIRE
1-ELU
𝜇𝑏𝑢 =𝑀𝑢
𝑏𝑑2𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑏𝑢 =0,85𝑓𝑐28
𝜃𝛾𝑏
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 > 0,186 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐵
𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1− 0,4 𝛼𝑙
𝛼𝑙 =3,5
3,5 + 1000 𝜀𝑙
𝜀𝑙 =𝑓𝑒𝛾𝑠𝐸𝑠
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′ = 0
𝐴 =𝑀𝑢
𝑧𝑓𝑠𝑡
𝑧 = 𝑑 1− 0,4𝛼
𝛼 = 1,25 1− 1− 2𝜇𝑏𝑢
Calcul de fst
𝜀𝑠𝑡 =3,5
1000
1−𝛼
𝛼
𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑡 > 𝜀𝑙 𝑓𝑠𝑡 =𝑓𝑒𝛾𝑠
𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑡 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑡
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0
𝐴′ =𝑀𝑢 −𝑀𝑙
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2𝑓𝑏𝑢
Calcul de 𝑓𝑠𝑐
𝜀𝑠𝑐 = 3,5
1000+ 𝜀𝑙
𝑑 − 𝑑′
𝑑 − 𝜀𝑙
𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑐 > 𝜀𝑙 𝑓𝑠𝑐 =𝑓𝑒𝛾𝑠
𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑐 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑐
Flexion simple
7/18
𝐴 = 𝑀𝑙
𝑧𝑙 +
𝑀𝑢 −𝑀𝑙
𝑑 − 𝑑′
1
𝑓𝑠𝑡
𝑧𝑙 = 𝑑 1− 0,4𝛼𝑙
𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28
𝑓𝑒
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 < 0,186 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐴 𝑓𝑠 =𝑓𝑒𝛾𝑠
𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1− 0,4 𝛼𝑙
𝛼𝑙 =3,5
3,5 + 1000 𝜀𝑙
𝜀𝑙 =𝑓𝑒𝛾𝑠𝐸𝑠
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′ = 0
𝐴 =𝑀𝑢
𝑧𝑓𝑠𝑡
𝑧 = 𝑑 1− 0,4𝛼
𝛼 = 1,25 1− 1− 2𝜇𝑏𝑢
𝑓𝑠𝑡 =𝑓𝑒𝛾𝑠
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0
𝐴′ =𝑀𝑢 −𝑀𝑙
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2𝑓𝑏𝑢
𝐴 = 𝑀𝑙
𝑧𝑙 +
𝑀𝑢 −𝑀𝑙
𝑑 − 𝑑′
1
𝑓𝑠𝑡
𝑧𝑙 = 𝑑 1 − 0,4𝛼𝑙
𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28
𝑓𝑒
2-ELS
Vérification des contraintes :
𝜎𝑏𝑐 =𝑀𝑠𝑒𝑟
𝐼 𝑦 ≤ 𝜎 𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28
𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐 𝑑 − 𝑦
𝑦 = 15
𝑀𝑠𝑒𝑟
𝐼 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎 𝑠𝑡
𝐹𝑁 𝜎 𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 2
3 𝑓𝑒 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗
𝐹𝑇𝑁 𝜎 𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 , 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗
Flexion simple
8/18
Calcul de y et I :
𝑏
2𝑦² + 15 𝐴+ 𝐴′ 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ = 0
𝐼 =𝑏
3𝑦3 + 15 𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ 2 + 15 𝐴 𝑑 − 𝑦 2
Remarque
𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎 𝑠 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆
𝐴𝑠𝑒𝑟 =𝑀𝑠𝑒𝑟
𝑑 1 −𝛼
3 𝜎 𝑠
𝛼 = 90𝛽 1− 𝛼
3− 𝛼
𝛽 =𝑀𝑠𝑒𝑟
𝑏𝑑2𝜎 𝑠
II-SECTION EN T
1-ELU
𝑀𝑇𝑢 = 𝑏 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −0
2
Si 𝑀𝑇𝑢 > 𝑀𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥
Si 𝑀𝑇𝑢 < 𝑀𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇
𝑀2𝑢 =
𝑏 − 𝑏0
𝑏 𝑀𝑇𝑢
𝑀1𝑢 = 𝑀𝑢 −𝑀2
𝑢
𝐴1 =
𝑀1𝑢
𝑑 1− 0,4 𝛼 𝑓𝑠𝑡
𝐴2 =𝑀2
𝑢
𝑑 −0
2 𝑓𝑠𝑡
𝜇𝑏𝑢 1 =𝑀1
𝑢
𝑏0 𝑑2 𝑓𝑏𝑢
Si 𝜇𝑏𝑢 1 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑍𝑙à 𝑑 −0
2
Si 𝑍𝑙 < 𝑑 −0
2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′
𝑀1′ = 𝑓𝑏𝑢 𝜇𝑙𝑏0𝑑
2 + 𝑏 − 𝑏0 0 𝑑 −0
2
𝑀2′ = 𝑀𝑢 −𝑀1
′
𝐴′ =𝑀2
′
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
𝐴 =𝑓𝑏𝑢𝑓𝑠𝑡
𝜇𝑙𝑏0𝑑
𝛽𝑙+ 𝑏 − 𝑏0 0 + 𝐴′
𝑓𝑠𝑐𝑓𝑠𝑡
Flexion simple
9/18
𝛽𝑙 = 1− 0,4 𝛼𝑙
Si 𝑍𝑙 > 𝑑 −0
2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏𝑥 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′
2-ELS
Vérification des contraintes
La position de l’axe neutre H
𝐻 =𝑏0
2
2− 15𝐴 𝑑 − 0
Si H > 0 : axe neutre passe par la table, vérification des contraintes
pour une section rectangulaire bxh.
Si H < 0 : section en T
Vérification des contraintes :
𝜎𝑏𝑐 =𝑀𝑠𝑒𝑟
𝐼 𝑦 ≤ 𝜎 𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28
𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐 𝑑 − 𝑦
𝑦 = 15
𝑀𝑠𝑒𝑟
𝐼 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎 𝑠𝑡
𝐹𝑁 𝜎 𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 2
3 𝑓𝑒 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗
𝐹𝑇𝑁 𝜎 𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 , 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗
Remarque
Si Mu < 0 ; Calcul d’une section rectangulaire b0 x h
𝐼 =𝑏
3𝑦3 − 𝑏 − 𝑏0
𝑦 − 0 3
3+ 15 𝐴 𝑑 − 𝑦 2 + 15 𝐴′ 𝑑′− 𝑦 2
𝑏0
2 𝑦2 + 15 𝐴+ 15𝐴′ + 𝑏 − 𝑏0 0 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ − 𝑏 − 𝑏0
02
2= 0
Flexion composée
10/18
IV-FLEXION COMPOSEE
I sections entièrement Comprimée (SEC)
SECTION RECTANGULAIRE
A l’ELU
Nu (compression) et c à l’intérieur de la section et
Si 𝑵𝒖 𝒅− 𝒅′ −𝑴𝒖𝑨 > 𝟎,𝟑𝟑𝟕 𝒉− 𝟎,𝟖𝟏 𝒅′ 𝒃 𝒉 𝒇𝒃𝒖
Avec 𝑀𝑢𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 −
2 , NU pris avec son signe
a) Si 𝑵𝒖 𝒅 − 𝒅′ −𝑴𝒖𝑨 < 𝟎,𝟓 𝒉− 𝒅′ 𝒃 𝒉 𝒇𝒃𝒖 𝐴 = 0
𝐴′ =𝑁𝑢 −𝜓 𝑏 𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑠′
𝜓 =
0,357 + 𝑁𝑢 𝑑−𝑑 ′ − 𝑀𝑢𝐴
𝑏 2 𝑓𝑏𝑢
0,857−𝑑 ′
𝑓𝑠′ =?
𝜀𝑠 =2
1000 1 + 1,719− 4,010
𝑑′
1−𝜓
Si 𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠′ =
𝑓𝑒
𝛾𝑠
Si 𝜀𝑠 < 𝜀𝑙 ⟹𝑓𝑠′ = 𝜀𝑠 𝐸𝑠
b) Si 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝐴 ≥ 0,5 − 𝑑′ 𝑏 𝑓𝑏𝑢 𝐴 ≠ 0
𝜓 = 1
𝐴′ =𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
2
𝑑 −𝑑′ 𝑓𝑠 2‰
𝐴 =𝑁𝑢 − 𝑏 𝑓𝑏𝑢
𝑓 𝑠2‰−𝐴′
Si 𝜀𝑙 < 2‰ ⟹𝑓𝑠 2‰ =𝑓𝑒
𝛾𝑠
Si 𝜀𝑠 ≥ 2‰ ⟹𝑓𝑠 2‰ = 2‰ 𝐸𝑠
A L’ELS
Nser (compression) et c a l’intérieur de la section (𝑒𝐺 <
6 ) 𝑆𝐸𝐶
Vérification des contraintes
𝑉 =
𝑏2
2+ 15 𝐴′𝑑′ + 𝐴𝑑
𝐵 + 15 𝐴′ + 𝐴
Flexion composée
11/18
𝑉 ′ = − 𝑉 𝑒𝑛 (𝑚)
Il faut que :
𝜎𝑏1 =𝑁𝑠𝑒𝑟𝑆
+ 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺
𝐼𝑦𝑦 ′
𝑉 ≤ 𝜎 𝑏𝑐
𝜎𝑏2 =𝑁𝑠𝑒𝑟
𝑆 −
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺
𝐼𝑦𝑦 ′
𝑉 ′ ≤ 𝜎 𝑏𝑐
𝜎𝑠 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟𝑆
+ 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺
𝐼𝑦𝑦 ′
𝑉 − 𝑑′ ≤ 𝜎 𝑠
𝜎𝑠 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟𝑆
− 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺
𝐼𝑦𝑦 ′
𝑑 − 𝑉 ′ ≤ 𝜎 𝑠
Avec :
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 − 𝑁𝑠𝑒𝑟
2−𝑉
𝐼𝑦𝑦 ′ =𝑏
3 𝑉3 + 𝑉 ′3 + 15𝐴′ 𝑉 − 𝑑′ 2 + 15𝐴 𝑑 − 𝑉 2
𝑆 = 𝑏 ∗ + 15 𝐴+ 𝐴′
SECTION EN T
A l’ELU
Nu (compression) et c a l’intérieur de la section
Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟𝐴 > 0,337 − 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢
Avec 𝑀𝑢𝑟𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 +𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦𝐺 NU pris avec son signe
La détermination des armatures d’une section en T(SEC) revient à
déterminer celles d’une section rectangulaire𝑏0 𝑥 .
𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢
𝑀𝑢𝑟𝐴= 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
0
2
a) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟𝐴 ≤ 0,5 − 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝐴 = 0
𝐴′ =𝑁𝑢𝑟 −𝜓 𝑏0 𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑠′
𝜓 =
0,357 + 𝑁𝑢𝑟 𝑑−𝑑 ′ −𝑀𝑢𝑟 𝐴
𝑏0 2 𝑓𝑏𝑢
0,857 −𝑑 ′
Flexion composée
12/18
𝑓𝑠′ =?
𝜀𝑠𝑐 =2
1000 1 + 1,719− 4,010
𝑑′
1−𝜓
Si 𝜀𝑠𝑐 ≥ 𝜀𝑙 ⟹𝑓𝑠′ =
𝑓𝑒
𝛾𝑠
Si 𝜀𝑠𝑐 < 𝜀𝑙 ⟹𝑓𝑠′ = 𝜀𝑠 𝐸𝑠
b) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟𝐴 > 0,5 − 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝐴 ≠ 0
𝜓 = 1
𝐴′ =𝑀𝑢𝑟𝐴 − 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
2
𝑑 −𝑑′ 𝑓𝑠 2‰
𝐴 =𝑁𝑢𝑟 − 𝑏0 𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑠2‰ − 𝐴′
Si 𝜀𝑙 < 2 ⟹𝑓𝑠2 =𝑓𝑒
𝛾𝑠
Si 𝜀𝑠 ≥ 2 ⟹𝑓𝑠2 = 2 𝐸𝑠
II section entièrement Tendue (SET)
A l’ELU
Nu (Traction) et c a l’intérieur de la section, N est pris avec son
signe
𝐴1 =𝑁𝑢 𝑒2
𝑓𝑠10 𝑑 − 𝑑′
𝐴2 =𝑁𝑢 𝑒1
𝑓𝑠10 𝑑 − 𝑑′
Tel que :
1. 𝑓𝑠10 = 𝑓𝑒
𝛾 𝑠
2. 𝑒1 =
2− 𝑑′ + 𝑒𝐺
3. 𝑒2 = 𝑑 − 𝑑′ − 𝑒1
𝐴𝑚𝑖𝑛 =𝐵 𝑓𝑡28
𝑓𝑒
Si min 𝐴1 ,𝐴2 ≥ 𝐴𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴1 𝑒𝑡 𝐴2
Si min 𝐴1 ,𝐴2 < 𝐴𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴𝑚𝑖𝑛
A l’ELS
𝑒𝐺 =𝑀𝑠𝑒𝑟
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝑁𝑠𝑒𝑟 (𝑇𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) et c à l’intérieur de la section → SET
Flexion composée
13/18
𝐴1 =𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜎 𝑠∗
𝑉2
𝑉1 + 𝑉2
𝐴2 =𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜎 𝑠∗
𝑉1
𝑉1 + 𝑉2
Cas d’un ferraillage symétrique
𝑉1 = 𝑉2 𝐴1 = 𝐴2 = 𝑚𝑎𝑥 𝑁𝑠𝑒𝑟
2 𝜎 𝑠 ,𝐵 𝑓𝑡28
𝑓𝑒
Vérification des contraintes : Nser est pris avec son signe
𝜎1 =
𝑁𝑠𝑒𝑟𝐴1+ 𝐴2
+ 𝑀𝑠𝑒𝑟
𝐴1 𝑉1+𝑉2 < 0
𝜎2 =
𝑁𝑠𝑒𝑟𝐴1+ 𝐴2
+ 𝑀𝑠𝑒𝑟
𝐴2 𝑉1+𝑉2 < 0
III Section partiellement comprimée (SPC)
SECTION RECTANGULAIRE
A L’ELU
Nu (traction) et c a l’intérieur de la section
Nu (compression) et c en dehors de la section
Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la condition
suivante :
𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝐴 ≤ 0,337 − 0,81 𝑑′ 𝑏 𝑓𝑏𝑢
Le calcul se fait par assimilation à la flexion simple avec MUA
𝑀𝑈𝐴 = 𝑁 𝑒𝐴 = 𝑀𝑈𝐺 + 𝑁𝑢(𝑑 −
2 )
Nu est pris avec son signe : N Compressions (+)
N Traction (-)
𝜇𝑏𝑢 =𝑀𝑢𝐴
𝑏𝑑2𝑓𝑏𝑢
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′ = 0
𝐴1 =𝑀𝑢𝐴
𝑧𝑓𝑠𝑡
𝑧 = 𝑑 1− 0,4𝛼
𝛼 = 1,25 1− 1− 2𝜇𝑏𝑢
On revient à la flexion composée :
𝐴 = 𝐴1 − 𝑁𝑢𝑓𝑠𝑡
𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0
Flexion composée
14/18
𝐴′ =𝑀𝑢𝐴 −𝑀𝑙
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
On revient à la flexion composée :
𝐴 =1
𝑓𝑠
𝑀𝑢𝐴 –𝐴′𝑓𝑠 𝑑 − 𝑑′
𝑑 1− 0,4 𝛼 + 𝐴′𝑓𝑠
′ −𝑁𝑢
Dans tout les cas il faut vérifier que : 𝐴 ≥ 𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28
𝑓𝑒
A L’ELS
Vérification des contraintes :
𝜎𝑏𝑐 =𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜇𝑡 𝑦 ≤ 𝜎 𝑏𝑐 (N avec son signe)
𝜎𝑠𝑐 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟𝜇𝑡
𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎 𝑠
𝜎′𝑠𝑐 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟𝜇𝑡
𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎 𝑠 𝑆𝑖 𝐴′ ≠ 0
Calcul de y :𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝐶
N (Traction) 𝐶 = 𝑒𝐺 +
2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 > 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 < 0
N (Compression) 𝐶 = 𝑒𝐺 −
2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 < 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 > 0
𝑦𝑐3 + 𝑝 𝑦𝑐 + 𝑞 = 0
Avec
𝑝 = −3𝐶2 − 90𝐴′
𝑏 𝐶 − 𝑑′ + 90
𝐴
𝑏 𝑑 − 𝐶
𝑞 = −2𝐶3 − 90𝐴′
𝑏 𝐶 − 𝑑′ 2 − 90
𝐴
𝑏 𝑑 − 𝐶 2
−𝐶 ≤ 𝑦𝐶 ≤ − 𝐶 𝑠𝑖 𝐶 > 0
+𝐶 ≤ 𝑦𝐶 ≤ + 𝐶 𝑠𝑖 𝐶 < 0
𝜇𝑡 =𝑏
2 𝑦2 + 15 𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝑦
Remarque
𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎 𝑠 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆
𝐴𝑠𝑒𝑟1 =𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴
𝑑 1−𝛼
3 𝜎 𝑠
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 +𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑑 −
2
𝛼 = 90𝛽 1− 𝛼
3− 𝛼
Flexion composée
15/18
𝛽 =𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴
𝑏𝑑2𝜎 𝑠
On revient à la flexion composée :
𝐴𝑠𝑒𝑟 = 𝐴𝑠𝑒𝑟1 −𝑁𝑠𝑒𝑟𝜎 𝑠
SECTION EN T
A L’ELU
Nu (traction) et c a l’intérieur de la section
Nu (compression) et c en dehors de la section
Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la
condition suivante :
𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 ≤ 0,337 − 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢
Tel que : N est pris avec son signe
𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢
𝑀𝑢𝑟 = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −0
2
𝑀𝑢𝐴 = 𝑁𝑢 𝑒𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦𝐺
𝑀𝑇𝑢 = 𝑏 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −0
2
Si 𝑀𝑇𝑢 ≥ 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥
Si 𝑀𝑇𝑢 < 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇, revient à
calculer une section rectangulaire (𝑏0𝑥) soumise à 𝑁𝑢𝑟 𝑒𝑡 𝑀𝑢𝑟
A l’ELS :
Nu (traction) et c a l’intérieur de la section
Nu (compression) et c en dehors de la section
Nu (compression) et c à l’intérieur de la section mais en
dehors du noyau central : 𝑒𝐺 >𝐻
6
𝑒𝐺 =𝑀𝑠𝑒𝑟
𝑁𝑠𝑒𝑟
Signe de C :
Nu (traction) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 < 0
Nu (compression) et C à l’intérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 > 0
Nu (compression) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 < 0, 𝑦𝑐 > 0
La position de l’axe neutre :
𝐸1 = 𝑏 − 𝑏0 3𝐶 − 20 02 + 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′ 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑
Si E1 et E2 de même signe → A.N dans la nervure ; calcul d’une
section en T
Si E1 et E2 de signe contraire → A.N dans la table ; calcul d’une
section rectangulaire (bxh)
𝐸2 = 𝑏02 0 − 3𝐶 + 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′ 𝑑′ − 0 − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑 − 0
Flexion composée
16/18
Calcul de C :
𝐶 = 𝑒𝐺 − 𝑦𝐺 ,𝑁𝑈( 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛)
𝐶 = 𝑒𝐺 + 𝑦𝐺 ,𝑁𝑈 (𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛)
Calcul de P et q :
𝑝 = −3𝑏
𝑏0𝐶2 + 3
𝑏
𝑏0− 1 𝐶 − 0
2 − 90𝐴′
𝑏0
𝐶 − 𝑑′ + 90𝐴
𝑏0
𝑑 − 𝐶
𝑞 = −2𝑏
𝑏0𝐶3 + 2
𝑏
𝑏0− 1 𝐶 − 0
3 − 90𝐴′
𝑏0
𝐶 − 𝑑′ 2 − 90𝐴
𝑏0
𝑑 − 𝐶 2
𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝐶
𝜇𝑡 =𝑏𝑦2
2− 𝑏 − 𝑏0
2 𝑦 − 0
2 + 15𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ − 15𝐴 𝑑 − 𝑦
Vérification des contraintes :
𝜎𝑏𝑐 =𝑁𝑠𝑒𝑟𝜇𝑡
. 𝑦 ≤ 𝜎 𝑏𝑐
𝜎𝑠𝑡 = 15𝑁𝑠𝑒𝑟𝜇𝑡
𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎 𝑠
𝜎𝑠𝑐 = 15𝑁𝑠𝑒𝑟𝜇𝑡
𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎 𝑠 𝑠𝑖 𝐴′ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Cisaillement
17/18
V-CISAILLEMENT
CONTRAINTE TANGENTIELLE
1. Justification de l’âme d’une poutre
𝜏𝑢 =𝑉𝑢𝑏0 𝑑
(𝑀𝑃𝐴)
Vu : Valeur de l’effort tranchant dans la section considérée
b0 : Largeur de l’âme
d : Hauteur utile
Il faut que : 𝝉𝒖 ≤ 𝝉 𝒖
2. Contrainte tangentielle limite ultime
a) Cas des armatures transversales droites (α = 90°)
Fissuration peu préjudiciable 𝜏 𝑢 = min( 0,20 𝑓𝑐𝑗
𝛾𝑏 ,5 𝑀𝑃𝐴)
Fissuration préjudiciable ouFissuration très préjudiciable
τ u = min( 0,15 fcj
γb ,4 MPA)
b) Cas des armatures transversales inclinées (α = 45°)
𝜏 𝑢 = min( 0,27 𝑓𝑐𝑗
𝛾𝑏 ,7 𝑀𝑃𝐴)
DETERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES
SELON LE B.A.E.L
𝐴𝑡𝑏0 𝑠𝑡
≥ 𝛾𝑠(𝜏𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘)
0,9 𝑓𝑒(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
𝑨𝒕 : Section des armatures transversales
𝒔𝒕 ∶ Espacement entre deux cadres ou étriers
𝒇𝒕𝒋 : Contrainte de traction du béton à j jours
Coefficient K :
K = 0 Si Reprise de bétonnage et/ou Fissuration très
préjudiciable.
Sinon
K = 1 en Flexion simple
𝐾 = 1 +3𝜎𝑐𝑚𝑓𝑐28
𝐾 = 1 −10𝜎𝑡𝑚𝑓𝑐28
Si Flexion composée avec N effort de compression :
Si Flexion composée avec N effort de traction :
Cisaillement
18/18
Tel que 𝜎𝑐𝑚 =𝑁𝑐𝑜𝑚𝑝
𝑏∗ 𝑒𝑡 𝜎𝑐𝑡 =
𝑁𝑇𝑟𝑎𝑐
𝑏∗
Avec NTrac est pris sans le signe (-)
ESPACEMENT ENTRE DEUX CADRES OU ETRIERS
1) 𝑠𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 0,9 𝑑 ; 40 𝑐𝑚
2) 𝑠𝑡 ≤ 𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑒0,4 𝑏0
3) 𝑠𝑡 ≤ 0,9 𝑓𝑒 𝐴𝑡 (𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
𝛾𝑠 𝑏0(𝜏𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘)
INFLUENCE DE VU AU VOISINAGE DE L’APPUI :
Vérification des armatures AL inferieurs :
a) cas d’un appui de rive
𝐴𝐿 ≥𝛾𝑠
𝑓𝑒 𝑉𝑢
b) cas d’un appui intermédiaire :
𝐴𝐿 ≥𝛾𝑠
𝑓𝑒 𝑉𝑢 +
𝑀𝑢
0,9 𝑑
Vérification de la bielle :
𝑉𝑢 ≤ 0,267𝑏0 ∗ 𝑎 ∗ 𝑓𝑐28
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 =0,9𝑑