Formulación de Dirichlet con potencial constante Ana Laverón Simavilla Mª Victoria Lapuerta...
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Formulación de Dirichlet con potencial constante
Ana Laverón SimavillaMª Victoria Lapuerta González
Formulación de Diritchlet
Pxn
im i m
S SB B
m
SW
dS NdSn
NdS
��������������
Se debe resolver la ecuación integral haciendo que el punto P tienda a la superficie del cuerpo
Potencial de un doblete: d
im P i d P
SB
d
SB
P
P
SW
x xx x x dS x x x dSn
x x dS
Distribución de manantiales
Distribución de dobletes
Potencial de un doblete: d
Formulación de Diritchlet
( )
im P i d P
SB S
P
d P
B
SW
x x x dx xS x x x dSn
x x dS
• Eligiendo que el potencial interior sea nulo:
Distribución de dobletes
S SB
P
W
d P d Px x dS x x dx Sx
Método del potencial constante (2D) El contorno del perfil se modeliza con N paneles, que serán
segmentos rectos Los paneles están determinados por N+1 nodos
Los puntos de control son los puntos medios de cada panel:
1 1, 1,...,2 2
j j j jPCk PCk
x x z zx z k N
Nodo del b.s.
nodo
panel jnodo j
nodo j+1
sentido de recorrido del perfil
2 21 panel j
Efecto en de unadistribucion de dobletessobre el panel
1
j
( ) d ( ) d( cos sin )
2 2( )
NPCk PCk
PCk PCkj PCk PC
j NP k
k
k CkSW
x x N S x x N SU x z
x x xx
x
Método del potencial constante (2D)
Se imponen las condiciones: Potencial constante sobre cada panel Se particulariza la ecuación anterior en los puntos de control k
N-1
S SB
P
W
d P d Px x dS x x dx Sx
Método del potencial constante Para resolver las integrales sobre cada panel conviene tomar
ejes ligados al panel
v
u
P.C. k
j j+1panel j
2 2 2panel j 0
( ) dar c tan ar c tan
2 2 2( ) ( )
l j jj jj j j j kPCk k k
j j j jk k k kPCk
jjkIkF
l uv du ux x N S
u u v v vx x
1 , longitud del panelj jj j
j
x xV l
l
( , ) ,
( , )
j jx jz
j jz jx
V V V
N V V
k
jj+1
j j jk kI kF
jV
jN
Método del potencial constante (2D) Para el propio panel, k=j
Para la cortadura se toma un panel semi-infinito
Finalmente:
,2 2
j jIj Fj
1 1sgn( )2
N NFk kv
11 1
1
sgn( ) ( cos sin )2 2 2
Nj N N
k Ik PCk PCkkj
j Nk v U x z
Método del potencial constante (2D)
Forma matricial: con y
1 1 1
1
( ) sgn( ) ( cos sin )2 2 2
Nj j N N
k Ik PCk PCkj N
k Ik Fkj
v U x z
jj kkA B 1,.... , 1,....k N j N
( cos sin )k PCk PCkB U x z
, 1,2
jj j k
k kA j N
1 11
1 1sgn( )
22 2
N Nk Ik
kk k
vA
1 1sgn( )2
2 2
N NN k IkN N k
k k
vA
Método del potencial constante (2D) 1 1 1
1
( ) sgn( ) ( cos sin )2 2 2
Nj j N N
k Ik PCk PCkj N
k Ik Fkj
v U x z
ar c tan ar c tan , j j
j kj kk j j
k k
l u uk j
v v
, jk k j
11
1ar c tan
NN kkI N
k
u
v
Corriente alrededor de un perfil de Karman-Trefft
2 2 20 0
0
con: , 1 2 ( 2 : Joukovsky)
C.Kutta: 4 sin
kka t a
a x R y k kka t a
U R
U
x
y
Rx0
y0 0
a
U
ka
Se van a comparar los resultados numéricos con los analíticos para un perfil de Kármán-Trefftz.
1. Para n paneles calcúlese el coeficiente de presión en el extradós y en el intradós del perfil, . Para ello se calcula la velocidad en los nodos mediante la expresión:
siendo di la distancia entre los puntos de control i e i+1.
2. Compare los resultados con los obtenidos de forma exacta con la transformación de Kármán-Trefftz.
Cálculos requeridos
pC
1 nodo 1 , PC i PC i
ii
Vd
Comentarios para la resolución
Función que proporciona el perfil y las coordenadas de los nodos:
function[ξ,η]=funcion_perfil (n, t0,k, R)
Función que proporciona analítico:
function [ξ p,int, Cp,int, ξ p,ext, Cp,ext, η p,int, η p,ext, ] =
funcion_karman(t0, k, n_kam, R, )
pC
U
Resultados
• Perfil para t=-0.3+i0.2, k=1.5, R=1, n=100,
/10, 1U
num6.1939