Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns...

Formelsamling til MatIntro kurset påKøbenhavns Universitet

af Michael Flemming HansenVersion 1.0

1. februar 2012

Indhold1 Funktioner af en variabel 4

1.1 Komplekse tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Regneregler for komplekse tal . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Regneregler for konjugation . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Trekantsuligheden for komplekse tal . . . . . . . . . . . 51.1.5 Komplekse eksponentialer . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.6 Komplekse andengradsligninger . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Følger og konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Regneregler for grænseværdier . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Skæringssætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Ekstremalværdisætningen . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Grænseværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Generelle regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.2 Middelværdisætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.3 L’Hôpitals regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.4 Vækst af potenser, logaritmer og eksponentialfunktioner 111.5.5 Undersøgelser af grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.1 Generelle regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.2 Partiel integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Integration med substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

INDHOLD 2

1.8.1 Førsteordens, lineære differentialligninger . . . . . . . . 141.8.2 Separable differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . 141.8.3 Andenordens, homogene ligninger med konstante koef-

ficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8.4 Andenordens inhomogene ligninger . . . . . . . . . . . 161.8.5 Ukendte koefficienters metode . . . . . . . . . . . . . . 161.8.6 Variation af parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9 Taylor serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.1 Taylors formel med restled . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Funktioner af flere variable 192.1 Koordinatsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Topologiske begreber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Åbenhed og lukkethed . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Begrænsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Grænseværdier for flere variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Ekstremalværdisætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6.1 Retningsafledede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6.2 Partielt afledede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6.3 C1-funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6.4 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6.5 Tangentplan til grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.6 Kædereglen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.7 Niveau kurver og niveau flader . . . . . . . . . . . . . . 242.6.8 Højere ordens afledede . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.9 Symmetri blandt partielt afledede . . . . . . . . . . . . 24

2.7 Største og mindsteværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7.1 ABC-kriteriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7.2 Lagranges multiplikationsmetode . . . . . . . . . . . . 26

2.8 Integraler af flere variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8.1 Itereret integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8.2 Transformationssætningen . . . . . . . . . . . . . . . . 292.8.3 Polære koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.8.4 Sfæriske koordinater i rummet . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Bilag 313.1 Differentialkvotienter og stamfunktioner . . . . . . . . . . . . 313.2 Sinus, Cosinus og Enhedscirklen . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Værdier for sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

INDHOLD 3

3.4 Ofte benyttede geometriske formler . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.1 Arealer og perimetre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2 Volumener og overflader . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1 FUNKTIONER AF EN VARIABEL 4

Resumé

Denne formelsamling er skrevet i forbindelse med re-eksamen i Mat-Intro forløbet. Jeg har forsøgt at medtage de sætninger og metoder jegfinder mest nyttige i forbindelse med hurtige opslag til forskellige op-gaver. Jeg har ikke medtaget udregnede eksempler, da man i denneforbindelse i forvejen nok bør kigge i sin bog, i mit tilfælde Kalkulusaf Tom Lindström og Funktioner af flere variable af Tore A. Kro. Jeghar lagt særlig vægt på at udspecificere regnemetoderne lidt i de storeanalytiske arter, Differentialregning, integration og differentiallignin-ger. Men metoder til Taylor serier er også medtaget. Til sidst i arketer en række udregnede differential koefficienter og stamfunktioner oget ark med udregnede værdier for sinus og cosinus, samt enhedscirklen.

MvhMichael F. HansenKøbenhavn 2012

1 Funktioner af en variabel

1.1 Komplekse tal

1.1.1 Regneregler for komplekse tal

Regneregler 1 (Komplekse tal)Hvis z = a+ ib og w = c+ id er to komplekse tal, så gælder der

z + w = (a+ c) + i(b+ d) (1)z − w = (a− c) + i(b− d) (2)z · w = (ac− bd) + i(ad− bc) (3)z

w=a+ ib

c+ id=ac+ bd

c2 + d2+ i

bc− adc2 + d2

; (w 6= 0) (4)

z−1 =a

a2 + b2− i b

a2 + b2; (z 6= 0) (5)

1.1.2 Regneregler for konjugation

Regneregler 2 (Konjugation)Hvis z og w er komplekse tal, så gælder der

z̄ + w̄ = z + w (6)z̄ − w̄ = z − w (7)z̄w̄ = zw (8)


z̄

w̄=( zw

); (w 6= 0) (9)

1.1.3 Polarform

Hvis en vektor kan beskrives med længderne a og b som hhv. ligger langsx aksen og y aksen, vil man også kunne beskrive vektoren ud fra vinklen θimellem x-aksen og længden af vektoren r. Det giver

a = r cos θ, b = r sin θ

Ved en vektor (a, b) som et komplekst tal z = a+ ib, får man

z = r cos θ + ir sin θ

For præcist at finde de tre koordinater, benytter man

r =√a2 + b2, cos θ =

a

r, sin θ =

r

b

r kaldes normalt for modulus til z og θ kaldes for argumentet. For demgælder der yderligere at

Sætning 1Hvis z1 = a1 + ib1 og z2 = a2 + ib2 er to komplekse tal og z = (a1a2− b1b2) +i(a1b2 + a2b1) er produktet. Da vil der med z1 med modulus r1 og argumentθ1 og z2 med modulus r2 og argument θ2 gælde at z har modulus r1r2 ogargument θ1 + θ2.

1.1.4 Trekantsuligheden for komplekse tal

|z + w| ≤ |z|+ |w|

1.1.5 Komplekse eksponentialer

Hvis z = a+ ib er et komplekst tal

ez = ea(cos b+ i sin b

hvor ea er modulus og b er argumentet.For alle komplekse tal z, w gælder

ez+w = ez · ew


Sætning 2 (De Moivres formel)For alle naturlige tal n gælder der at

(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ

Der gælder i øvrigt at

cos (nθ) = cosn θ −(n2

)cosn−2 θ sin2 θ +

(n4

)cosn−4 θ sin4 θ − . . .

sin (nθ) = n cosn− 1θ sin θ −(n3

)cosn−3 θ sin3 θ +

(n5

)cosn−5 θ sin5 θ . . .

hvor n er et naturligt talt.Sætning 3Hvis z = reiθ er et komplekst tal forskellig fra 0 og n er et naturligt tal, vil zhave n rødder w0, w1, w2, . . . , wn−1 og er givet ved

wk = r1/nei(θ+2kπ)/n = r1/n(

cosθ + 2kπ

n+ i sin

θ + 2kπ

n

)1.1.6 Komplekse andengradsligninger

Sætning 4Antag at a,b og c er komplekse tal, a 6= 0. Da vil en andensgradsligning påformen az2 + bz + c = 0 have løsningen

z =−b±

√b2 − 4ac

2a

Sætning 5Lad ax2 + bx+ c = 0 være en andensgradsligning med reelle koefficienter.

1. Hvis b2 > 4ac har ligningen to relle rødder

z =−b±

√b2 − 4ac

2a

2. Hvis b2 = 4ac har ligningen en reel rod

z =−b2a

3. Hvis b2 < 4ac har ligningen to komplekse rødder

z =−b± i

√4ac− b2

2a

som er hinandens konjugerede.


1.2 Følger og konvergensDefinition 1Følgen an konvergerer mod et tal a, såfremt der for ethvert reelt tal ε > 0 kanfindes et tal N ∈ N så |an − a| < ε for alle n ≥ N . Vi skriver dette således

limn→∞

an = a

En følge som konvergerer mod et tal kaldes konvergent, mens en følge somikke konvergerer kaldes divergent.

1.2.1 Regneregler for grænseværdier

Regneregler 3 (Grænseværdier)Der gælder følgende regneregler for konvergente følger an og bn, hvor limn→∞ an =A og limn→∞ bn = B.

1. limn→∞ (an + bn) = A+B

2. limn→∞ (an − bn) = A−B; (specielt gælder der at limn→∞ (−bn) = −B)

3. limn→∞ (an · bn) = A ·B

4. Hvis B 6= 0, er limn→∞

(anbn

)= A

B.

Sætning 6 (Konvergens sætningen)En monoton, begrænset følge er altid konvergent

1.3 KontinuitetDefinition 2En funktion f er kontinuert i et punkt a ∈ Df hvis der for ethvert ε > 0 kanfindes et δ > 0 således at når x ∈ Df og |x− a| < δ, så er |f(x)− f(a)| < ε.

Sætning 7Antag at f og g er kontinuerte i punktet a. Da vil funktionerne f + g, f − gog f · g også være kontinuerte i a. Hvis g(a) 6= 0 vil f

gogså være kontinuert

i aSætning 8Antag at g er kontinuert i punktet a og f i punktet g(a). Da er den sammen-satte funktion h(x) = f [g(x)] også kontinuert i punktet a.

Definition 3En funktion f : Df → R kaldes kontinuert såfremt f er kontinuert i allepunkter a ∈ Df .


1.3.1 Skæringssætningen

Sætning 9 (Skæringssætningen)Antag at f : [a, b] → R er en kontinuert funktion hvor f(a) og f(b) harmodsatte fortegn. Da findes der et tal c ∈ (a, b) således at f(c) = 0.

Korollar 1Antag at g : [a, b]→ R og h : [a, b]→ R er to kontinuerte funktioner, sådan atg(a) < h(a) og g(b) > h(b) Da vil der findes et c ∈ (a, b) sådan at g(c) = h(c).

1.3.2 Ekstremalværdisætningen

Definition 4En funktion f : A→ R er begrænset såfremt der findes et reelt tal M sådanat |f(x)| ≤M for alle x ∈ A.

Sætning 10En kontinuert funktion f : [a, b] → R som er defineret i et lukket begrænsetinterval, er altid begrænset.

Definition 5En punkt a er et maksimum for funktionen f : Df → R hvis f(a) ≥ f(x) foralle x ∈ Df . Vi kalder a for et minimum hvis f(a) ≤ f(x) for alle x ∈ Df .Disse punkter kaldes tilsammen for ekstremalpunkter.

Sætning 11 (Ekstremalværdisætningen)Lad f : [a, b]→ R være en kontinuert funktion defineret på et lukket begrænsetinterval. Da har f både maksimums og minimums-punkter.

1.4 Grænseværdier

De generelle regneregler for grænseværdier er siger at for en grænseværdiernelimx→a f(x) = F og limx→a g(x) = G, gælder der at

Regneregler 4 (Grænseværdier)

(i) limx→a

[f(x) + g(x)] = F +G

(ii) limx→a

[f(x)− g(x)] = F −G

(iii) limx→a

f(x) · g(x) = F ·G

(iv) limx→a

f(x)

g(x)=F

G; forudsatG 6= 0


Definition 6Vi siger at f(x) går mod b når x nærmer sig a ovenfra, såfremt der forenhver ε > 0 findes et δ > 0 således at |f(x) − b| < ε for alle x sådan ata < x < a+ δ. Vi siger at

limx→a+

f(x) = b

Ligeledes siger vi at f(x) går mod b når x nærmer sig a nedefra, såfremt derfor enhver ε > 0 findes et δ > 0 således at |f(x)− b| < ε for alle x, sådan ata− δ < x < a og vi siger

limx→a−

f(x) = b

Definition 7Vi siger at f(x) går mod b som grænseværdi, når x går mod ∞ hvis der forethvert ε > 0 findes et N ∈ R sådan at |f(x) − b| < ε for alle x ≤ N . Viskriver limx→∞ f(x) = b.

Ligeledes gælder der at når f(x) nærmer sig b som grænseværdi når x gårmod −∞ hvor der for enhver ε > 0 findes et N ∈ R sådan at |f(x)− b| < εnår x ≤ N . Vi skriver limx→∞ f(x) = b.

De sædvanlige regneregler gælder også når a =∞ og a = −∞.

Definition 8Vi siger at f(x) går mod ∞ når x nærmer sig a ∈ R hvis der for ethvertN ∈ R findes et δ > 0 sådan at f(x) > N når 0 < |x− a| < δ. Vi skriver at

limx→a

f(x) =∞

Tilsvarende gælder der at når f(x) går mod −∞ såfremt der for ethvertN ∈ R findes et δ sådan at f(x) < N når 0 < |x− a| < δ. Vi skriver at

limx→a

f(x) = −∞

Tilsvarende vis defineres hvad der menes med de ensidige grænser limx→a+ f(x) =−∞ og limx→a− f(x) = −∞.

Definition 9Vi siger at f(x) går mod ∞ når x går mod ∞ hvis der for ethvert N ∈ Rfindes et M ∈ R sådan at f(x) ≥ N når x ≥M . Dette skrives

limx→∞

f(x) =∞


1.5 Differentiation

1.5.1 Generelle regneregler

Definition 10Antag at f er defineret i en omegn om punktet a. Der gælder

limx→a

f(x)− f(a)

x− a

og vi har at

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a

Regneregler 5 (Differentiation)

(i) (cf)′(a) = c · f ′(a)

(ii) (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)

(iii) (f − g)′(a) = f ′(a)− g′(a)

(iv) (f · g)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a)

(v)

(f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)

g(a)2

Regneregler 6 (Kædereglen)Kædereglen gælder for differentation af sammensatte funktioner og udtrykkesved

h′(a) = f ′[g(a)]g′(a)

1.5.2 Middelværdisætningen

Sætning 12 (Rolles’ sætning)Antag at funktionen f : [a, b]→ R er kontinuert og at den er differentiabel ialle indre punkter x ∈ (a, b). Antag yderligere at f(a) = f(b). Da findes etpunkt c ∈ (a, b) således at f ′(c) = 0.

Sætning 13 (Middelværdisætningen)Antag at funktionen f : [a, b]→ R er kontinuert og at den er differentiabel ialle indre punkter x ∈ (a, b). Da findes et punkt c ∈ (a, b) således at

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a


Korollar 2Ved en kontinuerlig funktion f i intervallet [a, b] gælder der at hvis f ′(x) ≥ 0for alle x ∈ (a, b) er f voksende i [a, b]. Hvis f ′(x) ≤ 0 for alle x ∈ (a, b) erf aftagende i [a, b].

Hvis der i stedet er strenge uligheder, hvor f ′(x) > 0 er f strengt voksendeog ved f ′(x) < 0 er f strengt aftagende.

1.5.3 L’Hôpitals regel

Sætning 14 (Cauchys middelværdisætning)Ved to kontinuerte differentiabele funktioner f, g : [a, b] → R findes der etc ∈ (a, b) således at

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c)

Regneregler 7 (L’Hôpitals regel for 0/0 udtryk)Antag at limx→a f(x) = limx→a g(x) = 0 og at grænseværdien

limx→a

f ′(x)

g′(x)

eksisterer og at kan være lig ∞ eller −∞. Da eksisterer en grænseværdilimx→a f(x)/g(x) og

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

Regneregler 8 (L’Hôpitals regel for ∞/∞ udtryk)Hvis limx→a f(x) = limx→a g(x) = ∞ og grænseværdier limx→a

f ′(x)g′(x)

eksiste-rer, siges det at grænseværdier limx→a f(x)/g(x) og

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

1.5.4 Vækst af potenser, logaritmer og eksponentialfunktioner

Sætning 15

a) limx→∞

(lnx)a

xb= 0 for alle a, b > 0

b) limx→∞

xb

eax= 0 for alle a, b > 0

Sætning 16For alle a, b > 0 er limx→0+ x

2|lnx|b = 0


1.5.5 Undersøgelser af grafer

Her gives der en kort beskrivelse af de sætninger som kan være nyttige tilundersøgelse af grafer.

Definition 11Et punkt a ∈ R kaldes for et lokalt minimum for en funktion såfremt derfindes et tal δ > 0 sådan at f(a) ≥ f(x) for alle x ∈ Df ∩ (a− δ, a + δ). Vikalder a et maksimum hvis f(a) ≥ f(x) for alle x ∈ Df .

Tilsvarende siger vi at a ∈ R er et lokalt minimum for f såfremt derfindes et tal δ > 0 sådan at f(a) ≤ f(x) for alle x ∈ Df ∩ (a− δ, a+ δ) og vikalder a for et minimum såfremt f(a) ≤ f(x) for alle x ∈ Df .

Sætning 17Antag at funktionen f : [a, b] → R har et lokalt minimum eller maksimum ic. Da gælder der enten at

1. c er et af endepunkterne a og b eller

2. f ′(x) = 0 eller

3. f er ikke differentiabel i c

Sætning 18Om en kontinuert (i c) differentiabel (i en omegn af (c − δ, c + δ)) funktionf gælder der

Hvis f ′(x) ≥ 0 for alle x ∈ (c− δ, c) og f ′(x) ≤ 0 for alle x ∈ (c, c+ δ) erc et lokalt maksimum.

Hvis f ′(x) ≤ 0 for alle x ∈ (c− δ, c) og f ′(x) ≥ 0 for alle x ∈ (c, c+ δ) erc er lokalt minimum.

Hvis f ′ har samme fortegn i begge intervaller (c − δ, c) og (c, c + δ) er chverken lokalt minumum eller lokalt maksimum.

1.6 Integration

1.6.1 Generelle regneregler

Sætning 19Antag at f : [a, b]→ R er begrænset og at c ∈ (a, b). Da gælder∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx


Sætning 20 (Analysens fundamentalsætning)Antag at f : [a, b] → R er en kontinuert funktion. Da er f integrabel påethvert interval [a, x] hvor a ≤ x ≤ b og funktionen

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt

er stamfuntionen til f på [a, b].

Korollar 3Ved samme funktion gælder der at∫ b

a

f(x) fx = K(b)−K(a)

Regneregler 9 (Integration)1.∫af(x) dx = a

∫f(x) fx

2.∫

[f(x) + g(x)] dx =∫f(x) dx+

∫g(x) dx

3.∫

[f(x)− g(x)] dx =∫f(x) dx−

∫g(x) dx

4. Hvis∫f(x) dx = F (x) + C og a 6= 0, så er

∫f(ax) dx] = F (ax)

a+ C

1.6.2 Partiel integration

Ved partiel integration integrerer man efter følgende formel∫u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x) dx

1.7 Integration med substitution

Denne regel opskrives generelt

Sætning 21Hvis g er differentiabel, f er kontinuert og F er en stamfunktion til f , så er∫

f [g(x)]g′(x) dx = F [g(x)] + C

I praksis betyder dette at man vælger at substituere en del af integralet ud medu = g(x) og finder da du = g′(x) dx. Dette skal vælges således at integraleter lettest at løse.


1.8 Differentialligninger

1.8.1 Førsteordens, lineære differentialligninger

Sætning 22En førsteordens lineær differentialligning er givet ved det generelle udtryk

y′ + f(x)y = g(x)

og har den generelle løsning

y = e−F (x)

(∫eF (x)g(x) dx+ C

)Denne kan også skrives på den mere generelle form

Sætning 23Ved en differentialligning givet ved

y′ + f(x)y = g(x)

findes der netop én løsning, givet ved

y(x) = e−∫ xc f(t)dt

(∫ x

c

g(t)e∫ tc f(s)ds dt+ d

)1.8.2 Separable differentialligninger

Ligninger som kan løses med seperation af variable, kan skrives på formen

p(x)y′ = q(y)

og løses ved at samle ens variable på hver side af lighedstegnet, således atudtrykket bliver

q(y)y′ = p(x)

og man kan nu løse med almindelige regneregler for differentiation og inte-gration.

1.8.3 Andenordens, homogene ligninger med konstante koeffici-enter

En andensordens lineær differentialligning er givet ved udtrykket

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = h(x)


Af denne findes også undertypen

y′′ + py′ + qy = 0

som er en homogen differentialligning.Til en sådan differentialligning hører en karakteristisk andengradsligning

med på formenr2 + pr + q = 0

Løser man denne får man tre tilfælde.

Sætning 24 (To reelle rødder)Antag at den karakteristiske ligning til

y′′ + py′ + qy = 0

har to reelle rødder. Da er alle løsninger til differentialligningen på formen

y = Cer1x +Der2x

Den specifikke løsning til differentialligningen findes hvis man kender start-betingelserne y(c) = d og y′(c) = e

For at bestemme konstanterne C og D opstiller man ligningerne y(c) =Cer1c+Der2c og y′(c) = Cr1e

r1c+Dr2er2c. Man skal nu løse ligningssystemet

således at y(c) = d og y′(c) = e er opfyldt. Tallene c, d og e er de startbetin-gelser man får oplyst.

Sætning 25 (Én reel rod)Hvis den karakteristiske ligning til y′′+py′+ qy = 0 har en reel rod, så findesden generelle løsning til differentialligningen på formen

y = Cer1x +Dxer1x

Metoden til at finde konstanterne C og D, og dermed den specifikke løsning,findes på samme måde som ved de to reelle rødder.

Sætning 26 (To komplekse rødder)Hvis den karakteristiske ligning til y′′+ py′+ qy = 0 har to komplekse rødderr1 = a + ib og r2 = a − ib, så er alle løsningerne til differentialligningen påformen

y = eax(C cos bx+D sin bx)


Og ved kendskab til startbetingelserne y(c) = d og y′(c) = e kan man som ide foregående tilfælde, finde den specifikke løsning til differentiallingningen.Metoden og tankegangen er den samme.

I visse tilfælde kan det være en fordel at omskrive løsningen på faseform

y = Aeax sin (bx+ φ)

hvor A =√C2 +D2 kaldes for amplituden og fasen φ er bestemt ved

sinφ =C√

C2 +D2

og

cosφ =D√

C2 +D2

1.8.4 Andenordens inhomogene ligninger

Andensordens inhomogene differentialligninger findes på den generelle form

y′′ + py′ + qy = f(x)

og løsningen findes generelt ved

Sætning 27Antag at yp er en løsning til den inhomogene ligning

y′′ + py′ + qy = f(x)

Da er de andre løsninger givet ved

y = yp + yh

hvor yh er en vilkårlig løsning til den homogene ligning y′′ + py′ + qy = 0.yp kaldes for den partikulære løsning og yh kaldes den homogene løsning.

1.8.5 Ukendte koefficienters metode

For de ukendte koefficienters metode gælder der generelt tre regler. Genereltsøger man at gætte sig til en løsning f(x) = yp og derefter indsætte denne idifferentialligningen således at man får

ay′′p + by′p + cyp = 0

og løser denne. Tallene (a, b og c) er de eventuelle konstanter der måtte værei den oprindelige differentialligning.


Regneregler 10 (Regel 1)Når f(x) er et polynomium, gætter man på en løsning som også er et poly-nomium. Som regel vil yp være af samme grad som f(x), men i visse tilfældemå man gå en eller flere grader op.

Regneregler 11 (Regel 2)Hvis f(x) = axP (x) hvor a er et positivt tal og P (x) er et polynomium, gætterman på en løsning af formen yp = axQ(x) hvor Q er et polynomium. Somregel vil Q(x) have samme grad som P (x), men i visse tilfælde må man ogsåher gå en eller flere grader op.

Regneregler 12 (Regel 3)Hvis f(x) = ax(A cos bx + B sin bx) forsøger man at finde en løsning påformen yp = ax(C cos bx + D sin bx). Hvis y = ax cos bx eller ækvivalente,som y = ax sin bx er en løsning af den homogene ligning, må man forsøgemed yp = x · ax(C cos bx+D sin bx) i stedet.

Generelt er det en god ide at løse den homogene ligning først, især iforbindelse med de to sidste regler, da man her vil vide om den valgte løsningtil den partikulære er den samme som den homogene.

1.8.6 Variation af parametre

For at have en metode til at løse andenordens inhomogene differentiallignin-ger benytter man metoden variation af parametre. For at gøre brug af dennemetode må man først finde den såkaldte Wronski determinant. Denne findesved at finde den homogene løsning til differentialligningen y′′+py′+qy = f(x).Hvis det eksempelvis er ligningen

y′′ − y = sinx

kan man finde en homogen løsning på formen

y = Cex +De−x

og her vil man så have y1(x) = ex og y2(x) = e−x. Man opstiller da

W (y1, y2) = y1y′2 − y′1y2

Og fra disse opstiller man da integralerne

c(x) = −∫y2(x)f(x)

W (y1, y2)dx


og

d(x) =

∫y1(x)f(x)

W (y1, y2)dx

og man kan da opstille den fuldstændige løsning til differentialligningen som

y(x) = c(x)y1(x) + d(x)y2(x)

1.9 Taylor serier

For at finde et Taylor polynomium, benytter man generelt metoden

Definition 12 (Taylor polynomium)Hvis f er en n gange differentiabel funktion i punktet a, kan man finde poly-nomiet

Tnf(x) =n∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k

og man vil generelt have et polynomiun lig

h(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2(x−a)2+

f ′′′(a)

6(x−a)3+· · ·+f (n)(a)

n!(x−a)n

1.9.1 Taylors formel med restled

Sætning 28 (Taylors formel med restled)Antag at f og dens n + 1 første afledte er kontinuert i intervallet [a, b]. Daer

f(b) = Tnf(b) +1

n!

∫ b

a

f (n+1)(t)(n− t)n dt

Taylors formel med restled, hvor Tnf(b) er det oprindelige Taylor polynomi-um.

Korollar 4Hvis man lader M være et tal således at |f (n+1)(t)| ≤M for alle t imellem aog x, får man

|Rnf(x)| ≤ M

(n+ 1)!|x− a|n+1

Sætning 29 (Lagranges restledsformel)Antag at funktionen f og dens n+ 1 første afledte er kontinuert i intervallet[a, x]. Da er

Rnf(x) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1

for et tal c i det åbne interval mellem a og x.

2 FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE 19

og vi vil da få

f(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2(x−a)2+· · ·+f

(n)(a)

n!(x−a)n+

f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x−a)n+1

2 Funktioner af flere variable

2.1 Koordinatsystemer

Udover de almindelige kartesiske koordinater, kan man også benytte

Polære koordinater Som er givet ved

x = r cos θ

y = r sin θ

Cylinderkoordinater Som er givet ved

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

Kuglekoordinater Som er givet ved

x = ρ cos θ sinφ

y = ρ sin θ sinφ

z = ρ cosφ

2.2 Topologiske begreber

2.2.1 Åbenhed og lukkethed

Definition 13En mængde A ⊆ Rn siges at være åben hvis A er lig det indre af A.

I praksis kan en mængde siges at være åben hvis den er afgrænset af ≤ eller≥.

Definition 14En mængde A ⊆ Rn siges at være lukket hvis A = A


Man kan også benytte sætningen om indre punkterDefinition 15Lad A ⊆ Rn og a ∈ Rn. Da er a et indre punkt for A hvis og kun hvis derfindes et δ > 0 således at alle x som opfylder

||x− a|| > δ

I praksis siges en mængde at være lukket, hvis den er afgrænset af < eller >.

2.2.2 Begrænsning

Definition 16Lad A ⊆ Rn. VI siger at A er begrænset hvis der findes et positivt reelt tal,R, således at der for alle a ∈ A gælder

||a|| > R

I praksis siges en mængde at være begrænset såfremt man kan finde et udtryk,som repræsenterer en cirkel, som kan afgrænse mængden.

2.3 Grænseværdier for flere variableDefinition 17Antag at f : A → R er defineret på en delmængde A ⊆ Rn og at a er etakkumulationspunkt for A. Vi siger at det reelle tal L er grænseværdien forf(x), når x går mod a, såfremt der for ethvert tal ε > 0 findes et tal δ > 0,således at der for alle x ∈ A, som opfylder uligheden 0 < ||x−a|| < δ, gælderat |f(x)− L| < ε. Vi skriver da

L = limx→a

f(x)

Denne måde er ret besværlig at regne med og derfor indføres der en rækkeregneregler, man benytterRegneregler 13

1. limx→a

(f(x) + g(x)) = limx→a

f(x) + limx→a

g(x)

2. limx→a

(f(x)− g(x)) = limx→a

f(x)− limx→a

g(x)

3. limx→a

)f(x) · g(x)) = limx→a

f(x) · limx→a

g(x)

4. limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a f(x)

limx→a g(x)forudsat at lim

x→ag(x) 6= 0

5. limx→a

h(f(x)) = h(L) såfremt limx→a

f(x) = L og h er kontinuert


2.4 KontinuitetDefinition 18Funktionen f er kontinuert i punktet a ∈ Df såfremt a er et isoleret punktfor Df eller

limx→a

f(x) = f(a)

Vi siger at f er kontinuert, såfremt den er kontinuert i alle punkter i sindefinitionsmængde.

Sætning 30Lad funktionerne f og g være kontinuerte i a. Da er funktionerne f + g,f −g,f · g (forudsat at g(x) 6= 0) og f

gogså kontinuerte.

Sætning 31Hvis f1, . . . , fn er funktioner af m variable som alle er kontinuerte i a ∈ Rm

og g er en funktion af n variable, der er kontinuerte i punktet (f1(a), . . . , fn(a)),så er sammensætningen g ◦ f

x 7→ g(f1(x), . . . , fn(x))

også kontinuert i a.

2.5 EkstremalværdisætningenDefinition 19Et punkt i a i definitionsmængden for f kaldes et størsteværdipunkt for funk-tionen, såfremt f(a) ≥ f(x) for alle x i definitionsmængden for f.

Tilsvarende kaldes a et mindsteværdipunkt for f såfremt f(a) ≤ f(x) foralle x i definitionsmængden for f.

Sætning 32 (Ekstremalværdisætningen)Lad A være en lukket begrænset mængde og antag at f : A→ R er kontinuert.Da har både f en største og mindsteværdi.

2.6 Differentiation

2.6.1 Retningsafledede

Definition 20For en kontinuert funktion, hvor a er et indre punkt i A og r ∈ R kan tænkessom en vektor, gælder der at den retningsafledede kan findes ved

f ′(a; r) = limh→0

f(a+ hr)− f(x)

h


2.6.2 Partielt aflededeDefinition 21Hvis f er en funktion af n variable og a er et indre punkt i a. Da vil deni-te partielt afledede ∂f

∂xi(a) er den retningsafledede af f i retning af den i-te

enhedsvektor ei. Det vil sige

∂f

∂xi(a) = f ′(a, ei)

Denne definition kan i praksis være svær at bruge. Teknikken bag parti-elt afledede er dog ret simpel. Hvis man ønsker at differentiere funktionenf(x, y) = 2x2+4x+2y+3x, differentierer man en variabel og de andre holdeskonstant. Hvor man differentierer x

∂f

∂x= 4x+ 7

og ved y∂f

∂y= 2

2.6.3 C1-funktionerDefinition 22En funktion f defineret på en åben mængde A er C1 såfremt de partielt afle-dede eksisterer på A og er kontinuerte.

Denne sætning kan bruges til at afgøre hvorvidt en funktion af flere variablehar pæne egenskaber mht. differentiation.

2.6.4 Gradient

En særlig form for partielt afledt kaldes for gradienten og er en vektor. Denbenyttes særligt i elektrodynamikken, hvor samtlige af Maxwells berømteligninger har gradienten som faktor. Den defineres vedDefinition 23Gradienten for en funktion f af n variable i et indre punkt a i definitions-mængden er vektoren

∇f(a) =

(∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xn(a)

)Eksempelvis vil gradienten til en funktion f(x, y, z) være givet ved

∇f(x, y, z) =

(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)


2.6.5 Tangentplan til grafen

Tangentplanen til en graf kan findes ud fra sætningen

Sætning 33Antag at f er C1 funktion og a et indre punkt i Df . Da har f tangenthyperplani a lig grafen for den affine funktion h givet ved

h(x) = f(a) +∇f(a) · (x− a)

2.6.6 Kædereglen

En vigtig regneregel indenfor differentiation er kædereglen. Denne kan ogsåbenyttes til flere variable og er for en funktion k(x) = f(g(x), h(x)) givet ved

dk

dx=∂f

∂u· dgdx

+∂f

∂v· dhdx

Denne kan naturligvis udvides til at omfatte flere variable og differentiationer.Derfor navnet.

I praksis betyder reglen at man udregner de partielt afledte som normalt.Man substituerer derefter således at man har u = f(x) og v = h(x).

Skal man udregne en partielt afledt til funktionerne x(t) = r(t) cos θ(t)og y(t) = r(t) sin θ(t) og signalstyrken er givet ved

S(t) = f(x(t), y(t))

hvor x(t) og y(t) er som ovenfor. Udregning med kædereglen er da

dS

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt

Den præcise definition af kædereglen er givet ved sætningen

Sætning 34Hvis f(u1, . . . , um) være en reel C1-funktion af m variable defineret på en åbenmængde og lad g(x1, . . . , xn), . . . , gm(x1, . . . , xn) være m reelle C1 funktioneraf n variable med åbne definitionmængder. Da er den sammensatte funktion

h(x1, . . . , xn) = f(g1(x1, . . . , xn), . . . , gm(x1, . . . , xn))

en C1 funktion og hvis h er defineret i a og b = (g1(a), . . . , gm(a)) så er

∂h

∂xi(a) =

∂f

∂u1(b) · ∂g1

xi(a) +

∂f

∂u2(b)

∂f

∂xi(a) + · · ·+ ∂f

∂um(b) · ∂gm

∂xi(a)


2.6.7 Niveau kurver og niveau flader

Niveaukurvens tangentlinje for en funktion af to variable er givet ved defini-tionen

Definition 24 (Niveaukurvens tangentlinje)Hvis f er en C1 funktion i to variable, lad (a,b) være et indre punkt i Df og ladc = f(a, b). Såfremt ∇f(a, b) 6= 0 definerer vi tangentlinjen for niveaukurvenf(x, y) = c i (a, b) til at være givet ved

∇f(a, b) · ((x, y)− (a, b)) = 0

Niveauhyperfladens tangenthyperplan er givet ved følgende definition

Definition 25 (Niveauhyperfladens tangenthyperplan)Hvis f er en C1 funktion i n variable og a er et indre punkt i Dd og c =f(a). Såfremt ∇f(a) 6= 0 defineres tangenthyperplanen for niveauhyperfladenf(x) = c i a til

∇f(a) · (x− a) = 0

2.6.8 Højere ordens afledede

Den generelle notation for højere ordens afledede er

∂rf

∂xir , . . . , ∂xi2∂xi1

En ofte benyttet regnemetode til løsning af højere ordens afledede, erHessematricen

Hvis man har gradienten givet ved

∇f(x, y) =

(∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

)vil Hessematricen være den tilsvarende for højere ordens afledede og væregivet ved

Hf(x, y) =

(∂2f∂x2

(x, y) ∂2f∂x∂y

(x, y)∂2f∂y∂x

(x, y) ∂2f∂y2

(x, y)

)

2.6.9 Symmetri blandt partielt afledede

For en funktion f(x, y) vil de anden ordens afledede være givet ved

∂2f

∂x2,∂2f

∂y2,∂2f

∂x∂y,∂f

∂y∂x


Særligt for de to sidste gælder der at

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x

Og dette gør sig gældende for alle disse typer af højere ordens afledte. Dergælder også at

∂4f

∂x∂y∂z∂x=

∂4f

∂z∂y∂x∂x

og vi har

Sætning 35Hvis f(x1, . . . , xn) være en C2 funktion af n variable defineret på en åbenmængde A ⊆ Rn og lad a være et punkt i definitionsmængden. Da er

∂2f

∂xk∂xi(a) =

∂2f

∂xi∂xj(a)

Dette gør sig også gældende for alle funktioner Cr såfremt de blot inde-holder lige mange differentiationer med hensyn til hver variabel.

2.7 Største og mindsteværdierSætning 36Lad f : A → R være en funktion af n variable. Antag at f har et lokaltmaksimum eller minimum i a. Da er en af følgende tre betingelser opfyldt

1. a er et randpunkt for A eller

2. gradienten ∇f eksisterer ikke i a eller

3. ∇f(a) = 0

Eksempelvis for funktionen f(x, y) = 3xy−3x+9y som har de partielt af-ledede ∂f

∂x= 3y−4 og ∂f

∂y= 3x+9. Da vil et maksimums eller minimumspunkt

findes hvor begge partielt afledede giver nul. Dette giver ligningerne

3y − 3 = 0

3x+ 9 = 0

og dette giver løsningerne x = −3 og y = 1. Dette betyder at det enestemulige maksimums eller minimumspunkt for f er (−3, 1).


2.7.1 ABC-kriterietSætning 37Lad f(x, y) være en C2 funktion og antag at (a, b) er et stationært punkt forf. Lad

A =∂2f

∂x2(a, b), B =

∂2f

∂x∂y(a, b), C =

∂2f

∂y2(a, b)

og lad D = AC −B2. Da gælder der at

1. Hvis D < 0, så er (a, b) et saddelpunkt.

2. Hvis D > 0 og A > 0, så er (a, b) et lokalt minimum.

3. Hvis D > 0 og A < 0, så er (a, b) et lokalt maksimum.

Tallet D kan også findes som determinanten til Hessematricen

D = det (H(f(a, b)) =

∣∣∣∣∣ ∂2f∂x2

(a, b) ∂2f∂x∂y

(a, b)∂2f∂y∂x

(a, b) ∂2f∂y2

(a, b)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣A BB C

∣∣∣∣ = AC −B2

2.7.2 Lagranges multiplikationsmetode

For at udregne maks/min problemer med bi-betingelser, kan man benytte tometoder, som her vil være beskrevet med to eksempler fra bogen. I det førsteeksempel benytter jeg ikke Lagranges metode.

Den generelle problemstilling. Vi skal producere cylinderformede dåsermed top og bund og vi skal nu undersøge hvor stor en dåse vi kan lave, givetvi gerne vil have så meget dåse for pengene. Givet at dåsernes volumen er V,hvordan skal højden h og diameteren d vælges.

Vi ser at overflade arealet er givet ved

A(h, d) =π

2d2 + πhd

Bibetingelsen angående volumet giver

V =πhd2

4

Opgaven er derfor at finde mindsteværdien for A(h, d) på mængden{(h, d) ∈ R2|V =

πhd2

4

}En måde at gøre dette på er ved at løse ligningen V = πhd2

4med hensyn til

h og sætte dette ind i A.


Uden Lagrange

h =4V

πd2

Dette giver at

A(d) =π

2d2 +

4V

d

Vi differentierer dette og får

A′(d) = πd− 4V

d2

Løser vi A′(d) = 0 får vi at d = 3

√4Vπ. Dette må være et minimum og den

tilsvarende værdi for h er h = 3

√4Vπ.

Hvis vi udfører samme beregning ved brug af Lagranges multiplikations-metode, får vi at

Med Lagrange

A(h, d) =π

2d2 + πhd

og

V =πhd2

4

og vi får derfor

g(h, d) =πhd2

4

Vi ser at både A og g er C1 funktioner. Vi udregner derfor

∇A(h, d) = (πd, πd+ πh) og ∇g(h, d) =(π

4d2,

π

2hd)

Disse vektorer er parallelle hvis der findes et tal λ således at

πd = λπ

4d2

πd+ πh = λπ

2hd

Og bibetingelsen

V =πhd2

4


For at finde mindsteværdien forsøger vi nu at løse ligningssættet som beståraf disse tre ligninger.

4 = λd

og

d+ h =1

2hλd

Nu kan vi erstatte λd på den højde side med 4. Dette giver

d+ h =1

2h · 4 = 2h

Dette giver at d = h. Sætter vi dette ind i bibetingelsen, får viπ

4d3 = V

som giver at h = d = 3

√4Vπ

og dette stemmer med det resultat vi fik i førsteudregning.

2.8 Integraler af flere variable

2.8.1 Itereret integrale

Sætning 38 (Itereret integrale)Lad f være en kontinuert funktion defineret på et simpelt domæne,

1: Hvis f er en funktion af to variable og D er af formen D = (x, y) | a ≤ x ≤ b, u(x) ≤ y ≤ o(x),gælder ∫

D

f(x, y) dA =

∫ x=b

x=a

(∫ y=o(x)

y=u(x)

f(x, y) dy

)dx

2: Hvis f er en funktion af to variable og D er af formen D = (x, y) | c ≤ y ≤ d, v(y) ≤ x ≤ h(y),gælder ∫

D

f(x, y) dA =

∫ y=d

y=c

(∫ x=h(y)

x=v(y)

f(x, y) dx

)dy

3: Hvis f er en funktion af tre variable og R er af formen R = (x, y, z) | a ≤ x ≤ b, u(x) ≤ y ≤ o(x), b(x, y) ≤ z ≤ t(x, y)og t, b : (x, y) | a ≤ x ≤ b, u(x) ≤ y ≤ o8x), gælder∫

R

f(x, y, z) dV =

∫ x=b

x=a

(∫ y=o(x

y=u(x)

(∫ z=t(x,y)

z=b(x,y)

f(x, y, z) dz

)dy

)dx

Vi udregner eksempelvis integralet af funktionen f(x, y) = xy over mæng-den D = (x, y) ∈ R2 + 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2x.∫D

xy dA =

∫ 1

0

(∫ 2x

x

xy dy

)dx =

∫ 1

0

x1

2((2x)2)− x2)dx =

∫ 1

0

3

2x3 dx =

3

8


2.8.2 Transformationssætningen

Transformationssætningen er udtrykt ved

Sætning 39 (Transformationssætningen)

∫T (D)

f =

∫D

(f ◦ T )J(T )

hvor J(T (x)) er arealet for n = 2 og rumfanget for n = 3, af den figur derudspændes af gradientvektorerne ∇T1(x), . . . ,∇Tn(x)

Man beregner J(T (x)) ud fra formlerne for arealet for et parallellogram ud-spændt af to vektorer (a, b) i planen og rumfanget af et parallelepipedumudspændt af tre vektorer (a, b, c) i rummet. Formlerne kan udtrykket ved

Areal(a, b) = det

∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣Rumfang(a, b, c) = det

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣Udsagnet i transformationssætningen kan skrive som∫

T ([a,b])

f(y)dy =

∫[a,b]

f(T (x))|T ′(x)|dx

2.8.3 Polære koordinaterDefinition 26 (Polære koordinater i planen)Polære koordinater i planen er givet ved transformationen

T (r, θ) = (x(r, θ)), y(r, θ)) = (r cos θ, r sin θ)

Den er injektiv på mængden af (r, θ) der opfylder

0 < r, 0 < θ ≤ 2π

Vi finder dermed

J(T )(r, θ) = det

∣∣∣∣cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣ = r


2.8.4 Sfæriske koordinater i rummetDefinition 27 (Sfæriske (kugle) koordinater i rummet)Sfæriske koordinater i rummet er givet ved funktionen

T (ρ, θ, φ) = x((ρ, θ, φ), y((ρ, θ, φ)z(ρ, θ, φ))

hvor

x(ρ, θ, φ) = ρ sinφ cos θ, y(ρ, θ, φ) = ρ sin phi sin θ, z(ρ, θ, φ) = ρ cosφ

Funktionen er injektiv på mængden af (ρ, θ, φ) der opfylder

0 < ρ, 0 < θ ≤ 2π, 0 < φ < π

Og vi finder

J(T )(ρ, θ, φ) = det

∣∣∣∣∣∣sinφ cos θ −ρ sinφ cos θ ρ cosφ cos θsinφ sin θ ρ sinφ cos θ ρ cosφ sin θ

cosφ 0 −ρ sinφ

∣∣∣∣∣∣ = ρ2 sinφ

Vi vil udregne integralet af funktionen f(x, y) = x over mængden D′ iførste kvadrant omgrænset af x-aksen, linien x = y og cirklen x2 + y2 = 4.Dette kan skrives i polære koordinater som

(r, θ) | r ∈ [0, 2], 0 ≤ θ ≤ π/4

Dette betyder at f er udtrykt i polære koordinater som r cos θ.Da får vi integralet∫

T (D)

f(x, y)dA =

∫D

r cos θr dA

Ved at omskrive til et itereret integrale får vi∫ r=2

r=0

∫ θ=π/4

θ=0

r2 cos θ dθdr =

∫ r=2

r=0

r2 dr

∫ θ=π/4

θ=0

cos θ dθ = 4

√2

3

Vi vil ligeledes benytte metoderne for de sfæriske koordinater til at ud-regne rumfanget af en kugle med radius R i rummet. Kuglens koordinater ergivet ved

B = ((ρ, θ, φ) | 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π

Vi finder derfor rumfanget af kuglen til∫T (B)

1 dV =

∫ ρ=R

ρ=0

∫ θ=2π

θ=0

∫ φ=π

φ=0

ρ2 sinφ dφdθdρ =1

34πR3

3 BILAG 31

3 Bilag

3.1 Differentialkvotienter og stamfunktioner

Her præsenteres en række typisk brugte differentialkvotienter og stamfunk-tioner

Tabel 1: Ofte brugte differentialkvotienter og stamfunktionerf(x) f ′(x) F (x)

k 0 kkx k kxxn nxn−1 1

n+1xn+1

1x

= x−1 − 1x2

= −x−2 lnx√x = x1/2 1

2√x

= 12x−1/2 2

3x3/2

ax ax ln(a) 1ln aax

sinx cosx − cosxcosx − sinx sinxtanx 1

(cos (x))2= 1 + tan2 x ln cosx

lnx 1x

x lnx− xex ex ex

ekx kekx 1kekx

xa xa

xa 1

a+1xa+1

cos2 x −2 cosx sinx 12(x+ cosx sinx)

sin2 x 2 cosx sinx 12(x− sinx cosx)

tan2 x 2 tanx(1 + tan2 x) tanx− xsin−1 x 1√

1−x2 x sin−1 x+√

1− x2

cos−1 x − 1√1−x2 x cos−1 x+

√1− x2

tan−1 x 11+x2

x tan−1 x− 12(1 + x2)

cosx sinx − sin2 x+ cos2 x −12

cos2 xcos2 x cos2 x −4 cos3 x sinx 1

4cos3 x sinx+ 3

8cosx sinx+ 3

8x

sin2 x sin2 x 4 sin3 x cosx −58

cosx sinx+ 14

cos3 x sinx+ 38x

sin2 x cos2 x 2 sinx cosx(2 cos2 x− 1) −14

cos3 x sinx+ 18

cosx sinx+ 18x

3.2 Sinus, Cosinus og Enhedscirklen

Enhedscirklen på figur 1

3 BILAG 32

Figur 1: Enhedscirklen.

3.3 Værdier for sinus og cosinus

Her er skrevet en række almindelige værdier for cosinus og sinus.Vinkel Radian Sinus Cosinus

0° 0 0 1180° π 0 -115° π

12

√6−√2

4

√6+√2

4

165° 11π12

√6−√2

4−√6+√2

4

30° π6

12

√32

150° 5π6

12

−√32

45° π4

√22

√22

135° 3π4

√22

−√22

60° π3

√32

12

120° 2π3

√32

−12

75° 5π12

√6+√2

4

√6−√2

4

105° 7π12

√6+√2

4−√6−√2

4

90° π2

1 0270° 3π

2-1 0

3 BILAG 33

3.4 Ofte benyttede geometriske formler

3.4.1 Arealer og perimetreCirkel

A = πr2

Perimeter af en cirkelP = 2πr

Cirkeludsnit

A =1

2r2θ

hvor θ er i radianer.

Cirkelring

A = π(R2 − r2)

hvor R er radius af den ydre ring og r er radius af den indre.

Cirkelafsnit/cirkelkant

A =1

2r2(θ − sin θ)

hvor r er radius af de to linjer der udgør afsnittet og θ er vinklen imellemdem.

Ellipse

A = πab

Parabel

A =2

3ab

Rektangel

A = ab

Trekant

A =1

2hb

3 BILAG 34

Parallellogram

A = hb = ab sin θ

Trapez

A =1

2h(a+ b)

3.4.2 Volumener og overfladerKugle

V =4

3πr3

O = 4πr2

Kugletop med radius r og højde h

V =1

3πh2(3r − h)

O = 2πrh

Retvinklet cylinder

V = πr2h

Krum overfladeO = 2πrh

Ret kegle

V =1

3πr2h

Krum overfladeO = πr

√r2 + h2 = πra

hvor a er den skrå yderside af keglen.

Keglestub

V =1

3πh(a2 + a+ b+ b2)

Krum overflade

O = π(a+ b)√h2 + (b− a)2 = π(a+ b)c

hvor c er den krumme længde

3 BILAG 35

Tresidet pyramide

V =1

3Ah

Hvor A er grundfladearealet.

Firesidet pyramide

V =1

3Ah

Hvor A er grundfladearealet.

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns...

Documents

Transcript of Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns...