FORMACIÓN DE BANDAS DE CORTE EN MATERIALES GRANULARES: UNA APROXIMACIÓN MICROMECÁNICA

ANA MARÍA GÓMEZ GÓMEZ

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL ÁREA DE GEOTECNIA

BOGOTA, JULIO DE 2004

FORMACIÓN DE BANDAS DE CORTE EN MATERIALES GRANULARES: UNA APROXIMACIÓN MICROMECÁNICA

ANA MARÍA GÓMEZ GÓMEZ

TESIS PRESENTADA PARA OPTAR AL TÍTULO

DE MAGÍSTER EN INGENIERÍA CIVIL

ASESOR: ARCESIO LIZCANO PELÁEZ

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL ÁREA DE GEOTECNIA

BOGOTA, JULIO DE 2004

AGRADECIMIENTOS

FERNANDO ALOSNO-MARROQUÍN, de la Universidad de Stuttgart, quien me facilitó información del método de dinámica molecular y sus publicaciones. ARCESIO LIZCANO PELÁEZ, Ing. Civil, PhD., quien fue el asesor de ésta tesis. ALFREDO TABOADA, de la Universidad de Montpellier II, quien me manifestó su interés en mi trabajo y me brindó información aún no publicada de su trabajo.

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CONTENIDO Pág.INTRODUCCIÓN 1 1. CONCEPTOS BÁSICOS 21.1. CONCEPTO DE BANDA DE CORTE 21.2. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES EN MATERIALES

GRANULARES 31.3. TÉCNICAS EXPERIMENTALES DE ENSAYO 81.3.1. Manejo de muestras falladas (Ensayos biaxiales) 81.3.2. Manejo de imágenes (Ensayos biaxiales) 81.3.3. Montaje y estudio radiográfico con un aparato triaxial de torsión

(Nemat-Nasser et al., 2001) 101.3.4. Limitaciones generales de las técnicas de laboratorio 11

2. MODELOS MATEMÁTICOS DE LAS BANDAS DE CORTE A ESCALA MACRO 122.1. CONCEPTO DE BIFURCACIÓN LINEAL 132.2. MODELACIÓN DEL ABLANDAMIENTO POR DEFORMACIÓN EN

MATERIALES GRANULARES (Strain Hardening) 152.3. MODELO DE BANDA DE CORTE DE THOMAS, HILL Y MANDEL 20

2.3.1. Notas de Elasto-plasticidad 25

2.3.1.1. Regla de flujo 272.3.1.2. Sólidos de comparación 292.3.1.3. Elasto-plasticidad en 2D para materiales granulares (Vardoulakis

et al., 1995) 30

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2.3.2. Análisis de bandas de corte rectilíneas en condiciones de deformación plana 33

2.4. MODELO DE PLASTICIDAD DE MÜLHAUS Y VARDOULAKIS PARA LA SOLUCIÓN DE BANDAS DE CORTE 36

2.4.1. Reseña acerca del continuo de Cosserat 382.4.2. Solución de la Banda de Corte 43

3. MODELOS DE BANDA DE CORTE A ESCALA MICRO 483.1. CONCEPTOS GENERALES DE MICROMECÁNICA 493.2. LOS MÉTODOS DE ELEMENTOS DISCRETOS 503.2.1. El Método de los Elementos Discretos (DEM) 503.2.1.1. Cinemática 513.2.1.2. Ley de Fuerza-Desplazamiento 523.2.1.3. Ley de Movimiento 553.2.1.4. Condiciones Iniciales y de Contorno 573.2.1.5. Determinación del periodo 583.2.1.6. Amortiguamiento mecánico 623.2.1.7. Modelos constitutivos de contacto 713.2.2. El Método de los Elementos Discretos Modificado (MDEM) 743.2.2.1. Conservación del Momentum Angular 753.2.2.2. Cinemática en el contacto: Rotación y Deslizamiento 753.2.2.3. Modelo constitutivo de los contactos 773.2.3. Método de la Dinámica de Contactos (DC) 803.2.3.1. Velocidad relativa entre partículas vecinas 813.2.3.2. Leyes de conservación 823.2.3.3. Colisiones y coeficientes de restitución 853.2.3.4. Solución de las ecuaciones de movimiento 893.2.4. El Método de la Dinámica Molecular (MD) 92

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3.2.4.1. Generación de la muestra 923.2.4.2. Fuerzas de contacto 933.2.4.3. Cálculo del movimiento 953.2.4.4. Condiciones de contorno 963.3. SIMULACIÓN DE ENSAYOS BIAXIALES 963.3.1. Biaxiales con DEM 973.3.2. Biaxiales con MDEM 983.3.3. Biaxiales con DC 1003.3.4. Biaxiales con DM 1013.4. INTERPRETACIÓN “MACRO” DE INFORMACIÓN

MICROMECÁNICA 1023.4.1. Homogenización 1033.4.2. Marco micromecánico para la cinemática y la estática 105 4. MODELO DEM DE ENSAYO BIAXIAL PARA UN MATERIAL

GRANULAR NO CEMENTADO 1074.1. DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROGRAMA PFC2D 1074.1.1. Funcionamiento básico 1094.1.2. Pseudo lenguaje FISH 1104.2. ENSAYO BIAXIAL (LABORATORIO) 1124.2.1. Evaluación de las variables del ensayo 1134.2.2. Ensayo de carga controlada 1164.2.3. Ensayo a velocidad controlada 1164.3. DESARROLLO DE UNA SIMULACIÓN BIAXIAL PARA EL ESTUDIO

DE BANDAS DE CORTE EN PFC2D 1174.3.1. Ambiente fishtank de simulación biaxial 1174.3.1.1. Comportamiento del material no cementado 1174.3.1.2. Procedimiento de creación de la muestra 118

vi

4.3.1.3. Procedimiento de realización del ensayo 1204.3.2. Desarrollo de bordes flexibles y sus procedimientos de control y

monitoreo de variables 1244.3.2.1. Membrana fabricada usando control de velocidad 1254.3.2.2. Membrana fabricada usando control de fuerza 127 CONCLUSIONES 135 BIBLIOGRAFIA 136 ANEXOS

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LISTA DE TABLAS pág.Tabla 3.1 Ecuaciones de la estática de un medio particulado 105 Tabla 3.2 Ecuaciones de la cinemática de un medio particulado 106 Tabla 4.1

Microparámetros de caracterización de un Material no cementado (Modelo de contacto lineal) 118

Tabla 4.2 Parámetros que controlan el ensayo biaxial 121

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LISTA DE FIGURAS

pág.Figura 1.1.

Muestra de suelo antes y después de la formación de la banda de corte en deformación plana (biaxial) 3

Figura 1.2. Fotografías de bandas de corte en arenas - ensayos biaxiales- 4

Figura 1.3a

Sección transversal de la celda de prueba y algunos detalles del montaje para un ensayo de torsión triaxial 6

Figura 1.3b

Tubo de Plexiglass con una película traslapada por una membrana dentro de una muestra cilíndrica hueca – Montaje de un ensayo de torsión triaxial 7

Figura 1.4

Columna deformada de granos de silicato marcados dentro de la zona de la banda de corte 7

Figura 1.5

Secciones delgadas para el estudio de la microestructura de bandas de corte 9

Figura 1.6 Imágenes procesadas con PIV en un ensayo en arenas 10

Figura 2.1 .

Curva Esfuerzo-Deformación de un material que viola el postulado de estabilidad de material 13

Figura 2.2

Representación de un ensamblaje granular y sus cadenas de fuerza 17

Figura 2.3

Evolución de las funciones f y f c en el régimen de pequeñas deformaciones 19

Figura 2.4

Extrapolación de los datos experimentales de coeficientes de fricción movilizada y dilatancia en el régimen de ablandamiento 20

ix

Pág.Figura 2.5

Aproximación lineal del campo de desplazamientos cinemático

(∆ũi ) al interior de una banda de corte 21

Figura 2.6

Problema de maximización restringido para la determinación del módulo de endurecimiento crítico 25

Figura 2.7

Conceptos de superficie de fluencia y superficie del potencial plástico en el espacio de esfuerzos

28

Figura 2.8

a) Superficie de fluencia y vector de tasa de deformación plástica b) función de fricción movilizada ; c) función de dilatancia movilizada 31

Figura 2.9

Modelos de banda de corte con incremento en su complejidad. (a) Modelo de análisis límite de la línea de discontinuidad de la velocidad (b) Modelo THM (c) Primer modelo conceptual de banda de corte basado en el experimento de Mandl 38

Figura 2.10 Ilustración bidimensional del continuo de Cosserat 40

Figura 2.11 Muestra con banda de corte 44

Figura 3.1 Notación para describir el contacto entre partículas 53

Figura 3.2 Sistema múltiple masa-resorte 59

Figura 3.3 Esquema del cementante como una pieza de tamaño finito 63

Figura 3.4 Movimiento de un sistema simple masa-resorte 67

Figura 3.5

Amortiguamiento viscoso activado en un contacto con modelo de contacto lineal 71

Figura 3.6

Cinemática de un contacto, rotación y deslizamiento: (a) en el tiempo t; (b) en el tiempo t + ∆t 76

x

Pág.Figura 3.7 Modelo de Contacto en el MDEM 78

Figura 3.8

Deslizamiento y rotación en un contacto (a) Deslizamiento, (b) Rotación 79

Figura 3.9 Fuerzas de contacto ejercidas por las partículas de un sistema 83

Figura 3.10

(a) Gráfico de Signorini para la VRNF y la recta que representa la ecuación de la dinámica siguiendo el eje de colisión entre las partículas i y j ; (b) Gráfico de Coulomb para la VRTF y la recta que representa la ecuación de la dinámica en el plano de contacto

91

Figura 3.11

Obtención de partículas poligonales mediante la teselación de Voronoi 93

Figura 3.12 Definición de la geometría del contacto entre dos polígonos 94

Figura 3.13

Izquierda: muestra consolidada a 200KPa; Derecha: detalle de la muestra con muro flexible 97

Figura 3.14

Mecanismo de deformación dilatante en una banda de corte por la combinación de flexión y rotación de columnas 99

Figura 3.15 Bandas de corte con el modelo MDEM (Ibid) 99

Figura 3.16 Rotaciones de las partículas en las bandas de corte (Ibid) 100

Figura 3.17

Resultados de una simulación biaxial DC con un ensamblaje granular de fricción baja 101

Figura 3.18 Apariencia de una muestra luego de una simulación biaxial DM 102

Figura 3.19

Campo de esfuerzos vertical adimensional dentro de un disco

22τ es el esfuerzo vertical promedio dentro del disco 104

xi

Pág.Figura 3.20

Ensamblaje discreto y continuo homogenizado: la escala de grises Indican el nivel de esfuerzo 104

Figura 4.1 Pantallazo del PFC2D durante una corrida 108

Figura 4.2 Evaluación post-falla: a) estática b) cinemática 115

Figura 4.3

Ensamblaje de las partículas luego de su generación y en La etapa intermedia de incremento de su tamaño hasta su valor final 119

Figura 4.4 Esquema de funcionamiento de la prueba biaxial 122

Figura 4.5

Campo de desplazamientos al 15% de deformación axial con el algoritmo de fishtank 122

Figura 4.6

Resultados de una prueba biaxial usando confinamiento con columnas de partículas a velocidad controlada (a) Campo de desplazamientos al 15% de deformación axial; (b) Configuración final y cadenas de fuerza (Fuerza máxima = 1.271e5 Pa) 127

Figura 4.7

Desplazamiento lateral de la muestra por desbalance de fuerza entre las membranas 130

Figura 4.8

Destrucción de la muestra por aplicación del desbalance de fuerza a una partícula 130

Figura 4.9 Definición de altura externa de una partícula 133

Figura 4.10 Pérdida de control en una membrana y destrucción de la muestra 134

Figura 4.11

(a) Configuración final y cadenas de fuerza al 25% de deformación axial (b) Desplazamientos acumulados de los centros de las partículas 134

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LISTA DE ANEXOS ANEXO A. EXPLICACIÓN DE LA NOTACIÓN USADA ANEXO B. DETALLES DEL CÓDIGO PARA PRUEBAS BIAXIALES ANEXO C. MEDIO MAGNÉTICO CON LOS CÓDIGOS DESARROLLADOS

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RESUMEN

Las bandas de corte son un modo de falla común en suelos, que para el caso de suelos granulares han sido descritas en términos de su espesor y su ángulo, con la ayuda de la teoría de la bifurcación y del continuo de Cosserat. Sin embargo, varias características que se han encontrado a nivel de laboratorio no han podido ser explicadas teóricamente, como es el caso de la variación en el espesor, la aparición de patrones cambiantes de bandas de corte en arenas sueltas, o la interacción con fluido en condiciones de saturación parcial, características que tienen que ver directamente con la interacción grano a grano del material, y que no puede ser medido en el laboratorio pero sí simulado con programas de computador. Para estudiar un medio granular como tal (medio formado por partículas que interactúan entre sí a través de sus contactos), desde 1979 con Cundall se han venido desarrollando varios métodos computacionales para la simulación de medios particulados, en el marco conceptual de la mecánica newtoniana y usando condiciones de fricción seca de Coulomb (micromecánica), sinembargo, las simulaciones micromecánicas reportadas en la literatura técnica no han reportado que puedan reproducir con el mismo ensayo diferentes patrones de falla, como ocurre en el laboratorio. El presente estudio se orientó a reproducir en una simulación micromecánica un ensayo de compresión axial en estado de deformación plana (biaxial) en el programa PFC2D, software comercial para simulación micromecánica, que permite modificar y crear modelos de contacto, y tiene opción para implementarle interacción con fluido. Teniendo en cuenta las ventajas que a nivel modelo de contacto tiene éste software, se realizaron varios códigos para la simulación de la membrana, con los que se buscó entender y reproducir dentro del método lo que les ocurre a las partículas interactuando con una membrana que aplica presión de confinamiento a la muestra.

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Esta tesis se puede considerar como punto de partida para posteriores estudios de bandas de corte, pues se exploraron las ventajas y limitaciones del método de los elementos discretos, así como también se quiso reproducir un fenómeno entendiendo su física a partir de una recopilación del estado del arte en esta materia a nivel teórico y de laboratorio.

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INTRODUCCIÓN Las bandas de corte están siempre asociadas a la falla de los materiales, y han sido estudiadas primero en metales y luego en suelos. Su importancia en ingeniería radica en que conocer las condiciones que generan la banda de corte y su mecanismo de formación permite mejorar todos los diseños que en su análisis involucren falla, pues el entendimiento de este fenómeno ayuda a un cálculo más racional de factores de seguridad ante la falla, o al establecimiento de funciones de estado límite de los materiales. En el presente estudio se buscó desarrollar un algoritmo con el cual fuera posible hacer una simulación de ensayo biaxial para el estudio del mecanismo de formación de la banda de corte, con base en un modelo micromecánico, para ser comparado contra otros modelos micromecánicos y de medio continuo que se han desarrollado y que describen el fenómeno sin detallar lo que ocurre durante la formación de la banda. Esta tesis se inicia comentando los ensayos y técnicas de laboratorio que se han empleado hasta el momento en que se desarrolló éste trabajo (2004), continúa con una parte teórica en donde se presentan los modelos matemáticos de la banda de corte a nivel de medio continuo, y los principios por los cuales se han desarrollado los modelos para simulación micromecánica, como una recopilación del estado del arte en cuanto a teorías de localización en materiales granulares, y finaliza con una descripción del desarrollo e implementación de una simulación de ensayo biaxial usando el programa PFC2D, los resultados y conclusiones derivadas del desarrollo de la simulación.

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CAPÍTULO 1

CONCEPTOS BÁSICOS

1.1. CONCEPTO DE BANDA DE CORTE

La ruptura en geomateriales puede observarse frecuentemente en taludes, en los que bloques relativamente rígidos o fragmentados se deslizan sobre superficies geométricas diversas. Dependiendo de la rigidez del material, la superficie de falla se puede presentar como un corte o como una zona con rigidez relativa mucho menor a la del material que se desliza. Los modelos bidimensionales de análisis que tienen en cuenta ruptura, suponen que la deformación ocurre en un plano. Para estudiar el fenómeno de ruptura en laboratorio, se han empleado ensayos que involucren deformación plana, en los que se observa la falla en fajas estrechas que se han denominado bandas de corte. Una banda de corte es un lugar geométrico dentro del cual se localizan las deformaciones de un material, tal que la concentración de deformaciones genera una dilatación local del mismo en una zona delgada, que puede llegar a producir el corte del material. En el caso de un ensayo biaxial, una muestra es sometida a una condición de esfuerzos en un plano (con la aplicación de un esfuerzo desviador) y falla como se aprecia en la Figura 1.1. La banda de corte divide en tres partes la muestra que inicialmente era homogénea. Las partes superior e inferior son separadas por una zona delgada de corte con un espesor y una inclinación característicos. Roscoe en 1970, definió la banda de corte como la localización de grandes deformaciones en zonas estrechas. Desde entonces, se han desarrollado numerosas

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investigaciones, algunas de las cuales serán descritas con cierto detalle en capítulos siguientes.

Figura 1.1: Muestra de suelo antes y después de la formación de la banda de corte en deformación plana (biaxial)

1.2. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES EN MATERIALES GRANULARES

El comportamiento esfuerzo-deformación y los patrones de falla de los materiales granulares bajo condición de deformación plana son diferentes del caso de compresión triaxial convencional. La falla de las muestras en deformación plana frecuentemente ocurre a lo largo de planos de falla bien definidos, mientras que en las pruebas triaxiales convencionales la falla, difícilmente ocurre en un plano localizado y normalmente se presenta con abombamiento, dependiendo de la presión de confinamiento y la densidad de la muestra. Es por esto que se prefiere estudiar la banda de corte en ensayos de deformación plana, como la compresión biaxial, aunque también se han empleado recientemente ensayos de torsión triaxial. En cualquier caso, los aparatos han sido especialmente instrumentados durante el ensayo y con tratamientos especiales a la muestra una vez ocurre la falla para estudiar la estructura mediante fotografías con rayos X.

θ

4

Para el caso de un ensayo biaxial tipo Vardoulakis, se trata de emplear un aparato que permite compresión en un estado de deformación en un plano. El ensayo consiste en aplicar esfuerzos σ1 y σ2 para comprimir la muestra, manteniendo una de las dimensiones constante, mediante paredes rígidas, de tal forma que solamente se registran los esfuerzos y deformaciones en el plano de deformación. Algunos trabajos experimentales con este tipo de ensayo sobre arenas densas han sido desarrollados por Vardoulakis con arenas de Karlsruhe, y Oda, Kazama e Iwashita en arenas de Ticino y Toyoura.

Figura 1.2: Fotografías de bandas de corte en arenas - ensayos biaxiales-

izquierda, Rayos X arena de Ticino (Oda et al., 1998), derecha, fotografía sobre una membrana marcada – arena de Ottawa (Alshibi et al., 2000)

Los resultados de la experimentación sobre algunas muestras de arena de Karlsruhe (Han and Vardoulakis, 1991), mostraron que la banda de corte se presenta solo cuando la presión de poros cae, es decir, cuando la muestra está lo suficientemente densa para tener un comportamiento dilatante. En pruebas no drenadas, la banda de corte ocurre cuando se ha superado el estado límite de Coulomb en el régimen de ablandamiento de la relación de esfuerzos efectivos, mientras que en pruebas drenadas la banda de corte se observó en el régimen de endurecimiento. En el caso de los ensayos realizados por Oda y Kazama (1998), el objetivo fue la observación de la microestructura en la banda de corte para entender la relación entre los mecanismos de dilatancia y la falla de los suelos granulares densos. Dentro de las conclusiones de esta investigación se encuentra la observación de una ligera curvatura en

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las bandas de corte, y unos grandes cambios en la orientación de las partículas dentro de la banda de corte. Por su parte, Finno et al. (1997), encontraron sobre muestras sueltas de arena la formación de bandas de corte tanto en ensayos drenados como en ensayos no drenados, precedidas por modos temporales de deformación localizada que finalmente daban lugar a una sola banda de corte. También reportaron que la dilatancia dentro de una banda de corte permanente fue aproximadamente cero, pero se presentaron variaciones locales en la deformación volumétrica dentro de la banda. Otro aparato empleado para el estudio de bandas de corte es el aparato de torsión triaxial, en el que la muestra es un cilindro hueco con dimensiones tales que en torsión, el esfuerzo cortante permanece aproximadamente homogéneo a través del espesor de la muestra. En este aparato, se controlan la deformación axial y torsional. En un aparato como el descrito, Saada, et al (1999), con muestras de arena a las que aplicaron una combinación de esfuerzos axial, torsional y esférico, estudiaron la formación de bandas de corte, encontrando que ellas se iniciaban muy cerca de la resistencia pico, y se desarrollaban totalmente cuando se alcanzaba el estado crítico. Reiteraron lo hallado por Arthur y Vardoulakis en cuanto a que la inclinación de la banda aparentemente depende de una combinación del ángulo de fricción y el ángulo de dilatancia. En cuanto al espesor de la banda, observaron variación constante durante los ensayos pues nuevas partículas fueron continuamente adicionadas y la banda se propagó hasta que se desarrolló completamente. El espesor varió también con la inclinación de los esfuerzos principales. Otra investigación desarrollada por Nemat-Nasser y Okada (2001), en la cual se colocó una columna de silicato dentro de las muestras de arena de Monterrey, en un montaje como el de la figura 1.3, observó entre otras que: En muestras drenadas, los registros radiográficos indicaron la formación de bandas de corte a pequeñas deformaciones de toda la muestra (del orden de 5%).

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En el centro de una banda de corte totalmente desarrollada, las deformaciones de cortante pueden exceder 500% de las deformaciones nominales de toda la muestra cuando son del orden de 10%. La zona de una banda de corte en un cilindro de pared delgada de arena sufre reducción de su espesor. El ancho de la columna de granos marcados dentro de la banda de corte muestra una contracción considerable. La reducción en el ancho de la columna de granos de silicato marcados junto con el adelgazamiento observado en la dirección radial, sugiere grandes deformaciones de extensión a lo largo de la banda de corte acompañadas de deformaciones de contracción en los planos normales a la línea central de la banda de corte (Figura 1.3). El diámetro promedio de las partículas afecta el ancho de la banda de corte, la cual es aproximadamente 10 a 15 veces el tamaño del diámetro promedio, como fue notado por otros autores.

Figura 1.3a: Sección transversal de la celda de prueba y algunos

Detalles del montaje para un ensayo de torsión triaxial

Cabeza del tubo

Rayos X

Celda

Muestra

Caja plástica

Placa marcada Cilindro de plexiglass

45 cm

Film

Lamina marcada

Granos marcados

7

Figura 1.3b: Tubo de Plexiglass con una película traslapada por una membrana Dentro de una muestra cilíndrica hueca – Montaje de un ensayo de torsión triaxial

Figura 1.4: Columna deformada de granos de silicato marcados dentro de la zona de la banda de corte (Nemat-Nasser et al., 2001)

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1.3. TÉCNICAS EXPERIMENTALES DE ENSAYO

Para efectuar estudios experimentales de las bandas de corte como los citados anteriormente, se han desarrollado técnicas especiales, que incluyen adicional a la instrumentación de los aparatos de ensayo para la medición de las deformaciones y cálculo de esfuerzos, el manejo de las muestras falladas y técnicas de tratamiento de imágenes para la medición de las deformaciones de las muestras. En esta sección se describirán algunas de ellas.

1.3.1. Manejo de Muestras Falladas (Ensayos Biaxiales): Una de las técnicas de manejo de las muestras fue la empleada por Oda et al. (1998), que consistió en fijar la muestra fallada mediante una resina de poliéster (Rigolac) mezclada con un solvente (estireno) para ajustar la viscosidad. La mezcla fue infiltrada en los vacíos a través de una línea conectada al fondo de la muestra, teniendo cuidado para evitar cambio en los esfuerzos. Una vez la muestra fue saturada con la mezcla, la línea se cerró. Cerca de 24 horas después, la muestra comenzó a endurecerse, así que en adelante fue fácil su manejo sin mayor daño. Una de las dificultades reportadas con este proceso, es que la mezcla resina – solvente no se infiltró bien en el tercio superior de las bandas de corte, en donde solo se acumuló solvente. La muestra ya endurecida fue cortada en secciones delgadas para ser fotografiada con rayos X y estudiada la microestructura de la banda de corte, como se muestra en el esquema de la figura 1.5.

1.3.2. Manejo de imágenes (Ensayos Biaxiales): Una técnica de manejo de imágenes consiste en fotografiar desde varios ángulos simultáneamente la muestra para obtener mediante estereofotogrametría el campo de desplazamientos de ella. Tal técnica fue desarrollada por Desrues.

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Otra técnica óptica consiste en filmar la muestra con una cámara de video de alta velocidad y procesar las imágenes mediante un software especial que se basa en el seguimiento de las partículas.

Figura 1.5: Secciones delgadas para el estudio de la microestructura de Bandas de corte (Oda et al., 1998)

Este procedimiento es conocido como PIV (Particle Image Velocimeter), y para el estudio de bandas de corte fue empleado por Nübel et al. (2002). y tiene la ventaja que se puede hacer el seguimiento del campo de desplazamientos. En la figura 1.6, se muestra una imagen de una banda de corte procesada con PIV.

Banda de corte

Sin deformación

lateral

Sección delgada V

Sección delgada S

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1.3.3. Montaje y estudio radiográfico con aparato triaxial de torsión

(Nemat-Nasser et al., 2001): En este tipo de ensayo la muestra es un gran cilindro hueco de 25 cm de altura, diámetros interno y externo de 25 y 20 cm respectivamente, está soportada en una cámara triaxial, con control de deformaciones axial y torsional mediante un sistema de carga servo – hidráulico MTS. La muestra se satura con contrapresión y se consolida isotrópicamente.

Figura 1.6: Imágenes procesadas con PIV en un ensayo en arenas

(Nübel et al., 2002) En la figura 1.5a se detalla la celda de prueba que consiste en una cámara cilíndrica de plexiglass, la cual contiene la muestra. La figura muestra del centro de la muestra hacia fuera, el soporte central, el tubo de plexiglass con una película adherida, dos láminas metálicas marcadas de 1mm de espesor, la muestra cilíndrica hueca con los granos de silicato marcados, dos placas marcadas de 5 mm, y una caja plástica que contiene aire. En el tubo de plexiglass que lleva la película de rayos X es colocada con la muestra. Una ventana angosta (usada para radiografía) es provista de dos hojas marcadas adheridas al plexiglass al frente de la película, y de dos placas marcadas colocadas frente al tubo de plexiglass. Esta construcción hace posible obtener una imagen clara sobre la película de rayos X. El ensayo consiste en definir como configuración de referencia las posiciones de los granos de silicato marcados en la arena antes de la carga. Primero, el tubo de plexiglass es rotado con un motor controlado por computador para alinear la película no expuesta

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con la cabeza del tubo de rayos X, luego, la muestra es deformada al estado deseado y la radiografía es tomada. El procedimiento es entonces repetido para tomar fotografías de rayos X en cada etapa de deformación. Con este montaje se observó directamente la formación de la banda de corte mediante corte monotónico de la muestra bajo una presión de confinamiento constante. Después del experimento, el equipo es desarmado. La película es removida del plexiglass y cargada en el equipo de radiografía para su procesamiento. Para estudiar la estructura de la banda de corte, la muestra saturada con agua es congelada con hielo seco. De esta forma la muestra puede ser removida del equipo sin ser alterada. La banda de corte es analizada con microscopio.

1.3.4. Limitaciones generales de las técnicas de laboratorio: Aunque en todos los procedimientos de ensayo son controladas las deformaciones y los estados de esfuerzos, a nivel microestructural no es posible obtener conjuntamente la estructura interna de las bandas de corte, los campos de desplazamientos y las rotaciones de las partículas.

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CAPÍTULO 2

MODELOS MATEMÁTICOS DE LAS BANDAS DE CORTE A ESCALA MACRO

En el capítulo anterior, se describió la forma como se ha estudiado experimentalmente el fenómeno de las bandas de corte con el uso de modelos físicos que permiten reproducir el fenómeno en el laboratorio, bajo condiciones controladas. Pero reproducir el fenómeno físicamente no es suficiente en ingeniería, es necesario ser capaces de predecir el fenómeno y las condiciones que a él conducen para que el conocimiento adquirido en el laboratorio se convierta en una herramienta de diseño o de análisis del fenómeno a escala real en condiciones in situ. Con el objeto de hacer predicciones del fenómeno que contengan sus características relevantes, es habitual el uso de modelos matemáticos a escala macro, que no son otra cosa que ecuaciones constitutivas1 resueltas como problemas de valor de contorno, con el uso de métodos aproximados como el de las diferencias finitas o el de los elementos finitos. La modelación a partir de ecuaciones constitutivas presupone al material como continuo y homogéneo, suposición nada realista en el caso de materiales granulares que se componen de dos fases o más (mínimo fase sólida y aire), y que además, aunque la configuración geométrica de sus granos sea homogénea, esta homogeneidad no es cierta en la transmisión de esfuerzos (cadenas de fuerza). En este capítulo se presentarán las teorías que describen el fenómeno de la banda de corte a la luz de la mecánica del medio continuo, y se discutirán las dificultades asociadas a estos modelos, para lo cual se introducirán algunos conceptos necesarios para

1 Una ecuación constitutiva es una ecuación diferencial con variables tensoriales y parámetros de material que describen el comportamiento esfuerzo-deformación en el tiempo.

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entenderlos. Por claridad en el texto, en el Anexo A se incluye una explicación de la notación empleada en este capítulo.

2.1. CONCEPTO DE BIFURCACIÓN LINEAL

Cualitativamente, se puede considerar la localización de las deformaciones como un problema de evolución2 en el que el material pasa de un régimen de densificación global (p.e. con deformación homogénea en una muestra) a un régimen de ablandamiento. Desde el punto de vista formal, éste cambio de régimen (bifurcación) se debe a que el parámetro de control del problema toma un valor determinado en un punto donde la solución cambia (punto de bifurcación). Es así como hay dos soluciones para el problema: una para el régimen de densificación (pre-bifurcación) y otra para el régimen de ablandamiento (post-bifurcación). El comportamiento del sistema (es decir, la solución que se debe aplicar en cada punto) está determinado por las propiedades de estabilidad de las soluciones de la ecuación evolutiva. (Figura 2.1)

Figura 2.1. Curva Esfuerzo-Deformación de un material

que viola el postulado de estabilidad de material.

2 Un problema evolutivo se expresa mediante ecuaciones de evolución que son aquellas cuyas variables son las tasas de variación temporal de varias propiedades mecánicas.

Esf

uerz

o de

Cau

chy

Logaritmo de la deformación

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Para el caso, el postulado de estabilidad de material es:

02 >∆∆≈∆Ο

ijijW εσ (2.1)

La ecuación 2.1 indica que el trabajo de segundo orden del esfuerzo es aproximadamente igual al producto de la derivada de Jaumann del incremento infinitesimal de los esfuerzos y el tensor de deformación infinitesimal, que son mayores a cero. Esta condición es una restricción al incremento de esfuerzo para que localmente se garantice la unicidad de la solución en la teoría de pequeñas deformaciones. Bajo este criterio, un material estable cumple este postulado, y un material inestable no. El trabajo de segundo orden, es una función del tensor de Piola-Kirchhoff (que es un tensor de esfuerzo relativo) y el gradiente del vector de desplazamiento infinitesimal:

ijij uW ∆∂∆=∆ π2 (2.2)

Donde: jkikkkijijij uu ∆∂−∆∂+∆=∆ σσσπ (2.3)

Siendo σik el tensor de esfuerzos de Cauchy, y ∆σij el incremento en el tensor de esfuerzos de Cauchy. El parámetro de control que indica el punto de bifurcación es el determinante del tensor acústico. Éste punto ocurre cuando det(Γik) = 0. Donde el tensor acústico es:

ljijklik nnC=Γ (2.4)

Con:

)(21

ikjljkililkjjliktijklijkl RC δσδσδσδσ −++−= (2.5)

En las ecuaciones 2.4 y 2.5, Cijkl es el tensor de rigidez de cuarto orden, que está expresado en la ec. 2.5 en términos del esfuerzo inicial y un tensor constitutivo. Este

15

tensor constitutivo depende del tipo de material considerado, y para el caso de un material elástico e isotrópico es:

−++= klijjkiljlik

tijkl GR δδ

ννδδδδ212 (2.6)

Donde G es el módulo de corte elástico, y ν es la relación de Poisson (ambas con valor constante)3. 2.2. MODELACIÓN DEL ABLANDAMIENTO POR DEFORMACIÓN EN MATERIALES GRANULARES (Strain Hardening)

En escala macroscópica, con ciertas restricciones se puede hablar de un medio homogéneo equivalente, por lo que se justifica el uso de ecuaciones en el marco conceptual del medio continuo. Por otra parte, los medios granulares pueden considerarse materiales plásticos debido a que sus deformaciones son esencialmente irreversibles, y en este sentido, se debe emplear un modelo constitutivo que incluya plasticidad y que reproduzca el comportamiento no lineal del suelo. Como se mencionó en el capítulo anterior, el fenómeno de la banda de corte ocurre en condiciones de deformación plana. Desde el punto de vista de su aplicación, el criterio de falla de Mohr-Coulomb es atractivo pues los conceptos de fricción (φm) y dilatancia (ψm) son iguales para todos los valores de esfuerzos principales intermedios (σ3), y no hay distinción entre los ángulos de fricción obtenidos en compresión, extensión y deformación plana, pues los valores de φm y de ψm dependen sólo de la porosidad inicial y la deformación plástica acumulada (gp).

3 En el caso de materiales granulares, el módulo de corte depende del nivel de esfuerzos del suelo y de su densidad.

16

En el caso de un ensayo de deformación plana, donde se aplican esfuerzos en dos direcciones (σ1 y σ2), y se restringe a cero la deformación en la dirección restante (ε3 = 0), puede demostrarse que:

)( 221133 σσνσ &&& += (2.7)

Bajo estas condiciones, se puede ignorar el esfuerzo intermedio y estudiar el comportamiento del material con un modelo constitutivo en dos dimensiones (Vardoulakis et al., 1995). Dentro de las limitaciones de los modelos constitutivos, está el hecho de que las ecuaciones constitutivas solo funcionan bien4 en el régimen de endurecimiento por deformación del comportamiento del material. Pero en cierto estado con una tasa de endurecimiento pequeña, la deformación deja de ser homogénea para convertirse en localizada. Es por esto que no hay una forma directa para medir varias propiedades del material como la fricción movilizada y la dilatancia en el régimen de ablandamiento. Un modelo conceptual de ablandamiento por deformación en materiales granulares5 parte de dividir los granos en dos fracciones: una débil o frágil (superíndice f) con un número de coordinación6 pequeño, y una fuerte o competente (superíndice c) con un número de coordinación grande. Estas dos fracciones pueden identificarse fácilmente en representaciones de ensamblajes granulares con cadenas de fuerza, como la de la figura 2.2. En este orden de ideas, la localización ocurre en una arena ‘sobrecríticamente’ densa cuando en un proceso de deformación monotónica con velocidad de deformación

4 El buen funcionamiento de una ecuación constitutiva se refiere a que sus predicciones coincidan de manera aproximada con el comportamiento de una muestra en el laboratorio durante un ensayo que puede ser triaxial. 5 El modelo que se presenta corresponde al presentado por Vardoulakis en su libro “Bifurcation Analysis in Geomechanics”, y que como se menciona allí, fue motivado por el trabajo de Frantziskonis y Desai (1987) y discutido por Vardoulakis (1987), en relación con los cálculos post-localización. 6 El número de coordinación es el número promedio de contactos que tiene un grano.

17

constante, parte de la fracción competente se transforma en fracción frágil de manera irreversible. El volumen relativo ocupado por cada una de las fracciones está relacionado con la porosidad relativa de la muestra:

dVdVn

ff = ; f

cc n

dVdVn −== 1 (2.8)

maxmin

min

nnnnn f−−

= (0 ≤ nf ≤ 1) (2.9)

Donde nmax y nmin son respectivamente, la porosidad máxima y mínima de la arena.

Figura 2.2 Representación de un ensamblaje granular

y sus cadenas de fuerza

Si se supone isotropía estadística en la muestra, el esfuerzo total en el equilibrio es:

fij

fcij

fij nn σσσ +−= )1( (2.10)

Este esfuerzo puede dividirse en una parte esférica7 (σkk) que se toma igual para ambas fracciones, y una parte desviadora (sij):

7 La parte esférica del esfuerzo es la responsable de los cambios de volumen mientras que la parte desviadora es la responsable de las deformaciones de corte de un material.

18

f

kkckkkk σσσ == ; f

ijfc

ijf

ij snsns +−= )1( (2.11)

Con relación a las deformaciones, puede intuirse que los cambios en la porosidad son debidos básicamente a cambios plásticos (irreversibles) en el volumen, por reorganización de los granos: dn ≈ (1 - n)dvp (2.11) En compresión triaxial, el cambio plástico en las deformaciones volumétricas está asociado con las deformaciones de corte irreversibles a través de la restricción:

dvp = d dgp (2.12) En donde d es la dilatancia, que se expresa según la regla de Taylor como una diferencia entre el coeficiente de fricción movilizada y el coeficiente de fricción crítica:

d = f - fcv (2.13) Si se supone que la fracción frágil se encuentra en un estado crítico, éste estado puede describirse matemáticamente por las siguientes condiciones:

τλ ijf

ij

ss = ;

=⇔≤>⇔=

00

pf

pf

gfpgfp&

&λ (2.14)

Donde ff = fcv. De estas suposiciones, se puede obtener la siguiente expresión para el coeficiente de fricción movilizada:

ffcf fnfnf +−= )1( (2.15)

Relacionando las ecuaciones anteriores, puede obtenerse una expresión para la porosidad:

)(exp11

0max

0

max

pgEnn

nnn

n−

−=

−− (2.16)

19

+

−

−

−−

= ppcv g

cc

ccgf

cnnnE

1

222

1

2minmax

max 1ln11 (2.17)

En un régimen de deformaciones pequeñas se puede suponer que el comportamiento está dominado por la respuesta de la fracción competente, en una primera iteración, se puede suponer nf ≈ 0 (n ≈ n0) y f ≈ f c. En un esquema iterativo se encontró que:

p

pc

gccgf

21 += (2.18)

Bajo este punto de vista, la fracción competente está siempre endureciéndose con un ángulo de fricción máxima movilizada de f c

max = 45.9º. La figura 2.3 muestra la evolución de f y f c en un régimen de pequeñas deformaciones.

Figura 2.3 Evolución de las funciones f y f c en

El régimen de pequeñas deformaciones (fuente: Vardoulakis et al, 1995)

En el régimen post-bifurcación, la deformación se localiza en bandas de corte, dentro de las cuales hay ablandamiento por deformación (strain softening). Éste ablandamiento es modelado de acuerdo al modelo conceptual de las dos fracciones. De las ecuaciones

20

2.15 a 2.18 se puede ver que para valores grandes de nf (nf→1) f→f f y d→0. La figura 2.4 muestra la evolución de las funciones f, d y n en el régimen de grandes deformaciones.

Figura 2.4 Extrapolación de los datos experimentales de coeficientes

de fricción movilizada y dilatancia en el régimen de ablandamiento (fuente: Vardoulakis et al, 1995)

Así, éste modelo de ablandamiento contiene implícitamente la suposición de que el estado crítico se alcanza de forma asintótica para deformaciones grandes. Las figuras 2.3 y 2.4 se obtuvieron con c1 = 3.5678E-3; c2 = 9.1693E-1; nmax = 0.45; nmin = 0.35; n0 = 0.35. 2.3. MODELO DE BANDA DE CORTE DE THOMAS, HILL Y MANDEL El modelo formulado por Thomas, Hill y Mandel (THM), parte de considerar el medio granular como un sólido elasto-plástico, y se basa en la suposición de que la banda de corte puede describirse como una bifurcación del equilibrio de una deformación homogénea. Hill en 1962, definió la banda de corte como una capa delgada limitada por dos superficies paralelas de discontinuidad del gradiente de desplazamientos incremental8

8 Al hablarse de un gradiente de desplazamientos incremental se está expresando el cambio del campo de desplazamientos que ocurre al cambiar la configuración del sólido en el tiempo.

21

(figura 2.5). Esas dos superficies de discontinuidad del material (D(1) y D(2)) son llamadas “contornos de la banda de corte”, y la distancia entre ellas (2dB) es el espesor de la banda de corte. Éste espesor, es indeterminado en el marco de teorías constitutivas sin una longitud de material, por lo que se supone que tiende a cero (dB → 0).

Figura 2.5 Aproximación lineal del campo de desplazamientos cinemático (∆ũi ) al interior de una banda de corte

(fuente: Vardoulakis et al, 1995) El campo de desplazamientos incremental en el dominio de interés, está compuesto por una parte correspondiente al exterior de la banda (∆ůi), que varía muy poco, y otra correspondiente a su interior (∆ũi), que varía con relación a la distancia de la banda de corte:

∆ui = ∆ůi + ∆ũi (2.19) En la figura 2.5, se representa el incremento de los desplazamientos en los contornos de la banda de corte como ( iδ . Si se tiene que 02 ≠δ ), se tiene que hay dilatancia, pero no

separación, en la banda de corte. Con estas condiciones, el campo inhomogéneo del gradiente de desplazamientos está dado por:

≤

≤≤−−

≤−

=∆

Bkki

BkkBkkiB

kkBi

i

dxn

dxndxnd

xnd

u

δ

δ

δ1~ (2.20)

22

Donde ni es el vector unitario normal al eje de la banda de corte. Además, se cumple que:

[ ] [ ]ijijij uuu ~;0 ∆∂=∆∂=

∆∂

Ο

(2.21)

A través de la banda de corte, el campo de desplazamientos es continuo, pero su gradiente tiene saltos. De acuerdo con esto, se dan las siguientes condiciones de compatibilidad cinemática, sobre D(ν) (ν = 1,2):

[∆ui] = 0 y [∂j∆ui] = ζi(

ν)nj (2.22) De las ecuaciones 2.20 y 2.22 se obtiene:

ζi(1) = -ζi(2) = -δi/dB (2.23) Para una superficie de discontinuidad del material (D) debe haber equilibrio a través de ella. Con esta suposición, se puede llegar a la siguiente condición de compatibilidad estática para el incremento del primer tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff (1 P-K):

[∆πik] nk = 0 (2.24) Dentro del marco de la elasto-plasticidad con superficies de fluencia uniforme y de potencial plástico, se puede expresar el incremento del tensor de esfuerzos 1 P-K como:

lkijklij

lkijklij

uC

uC

∆∂=∆

∆∂=∆−−

++

π

π (2.25)

Donde ijkl

epijklijkl ACC += ±± (2.26)

)(21

ikljjkililkjjlikklijijklA δσδσδσδσδσ −++−= (2.27)

23

El comportamiento a través de los contornos de la banda de corte puede ser continuo o discontinuo. En el caso de bifurcaciones continuas, el límite inferior se obtiene identificando el tensor de rigidez l

ijklC del sólido de comparación lineal de límite inferior

(ec. 2.50). Para el caso de bifurcaciones discontinuas, debe mirarse la posibilidad de que ocurra descarga fuera de la banda de corte mientras dentro de ella, continúe la carga elasto-plástica. Si la ley constitutiva elasto-plástica admite una superficie de fluencia uniforme y un potencial plástico, de acuerdo con Rice y Rudnicki (1980)9, puede hacerse el análisis de bifurcación continua sobre la base de un sólido de comparación lineal de “límite superior” (descrito por el tensor de rigidez de la ec. 2.51), con el que se obtiene el límite inferior para el rango de deformaciones en las que puede ocurrir la bifurcación discontinua. De acuerdo con esto, podemos restringir el análisis a la posibilidad de un comportamiento constitutivo continuo:

[Cijkl] = 0 con jkluijklijkl ACC += (2.28)

De la hipótesis de que el tensor de rigidez Cijkl es continuo a través de D(ν), se puede tomar la siguiente condición de compatibilidad estática:

[ ] 01 =∆∂ jkijkl nuC (2.29)

Combinando las anteriores condiciones de compatibilidad con las condiciones de compatibilidad geométricas se obtiene:

0)( =Γ υζ kik (2.30)

Donde Γik es el tensor acústico (ec. 2.4). De acuerdo con la teoría de bifurcación lineal, Las discontinuidades estacionarias débiles para el gradiente de desplazamientos incremental existen sólo si el tensor acústico es singular:

9 A note on some features of the theory of localization of deformation. Int. J. Solids Struct, 23,597-605.

24

det[Γij] = 0 (2.31)

La ecuación 2.31 es característica en términos de la dirección de los cosenos ni de una superficie de discontinuidad admisible estática, cinemática y materialmente. Si ésta ecuación da las soluciones reales para la dirección de los cosenos ni, las superficies de discontinuidad para el gradiente de desplazamientos incremental existen y pueden desarrollarse mientras ocurre la deformación. En el caso contrario, la condición:

det[Γij] > 0 (2.32) Es suficiente para exclusión de las soluciones discontinuas para el campo de desplazamientos. Para sólidos elasto-plásticos, el inicio del esfuerzo de bifurcación que satisface la ecuación 2.31, se expresa normalmente en términos del módulo de endurecimiento Ht (ver la sección 2.3.1). Debido a que Ht es una función decreciente de la deformación plástica acumulada (Fig. 2.6), debe buscarse la orientación para la que Ht es máximo, la cual está dada por la dirección de los cosenos ni de la superficie de discontinuidad D(ν). Por ejemplo, si se supone un material elástico e isotrópico, y se desprecian los términos geométricos Aijkl, el módulo de endurecimiento crítico para la bifurcación de banda de corte se calcula como la solución del siguiente problema de maximización restringido:

)(max2 i

crt nLGH

= ; nini = 1 (2.33)

))((1

2)( mmlkklkkjiijijijlkjiklijlkiliki QnnQFnnFQFnnnnQFnnQFnL −−−

−−−=υ

υ (2.34)

25

Figura 2.6 Problema de maximización restringido para la Determinación del módulo de endurecimiento crítico

(fuente: Vardoulakis et al, 1995)

2.3.1. Notas de Elasto-plasticidad

Como el problema de la banda de corte es de carácter evolutivo, la ecuación constitutiva

elástica debe expresarse en términos de la tasa10 de esfuerzo objetivo11 Ο

ijσ y el tensor de

velocidad de deformación Dij. En medios granulares, las deformaciones elásticas son muy pequeñas, mientras que las deformaciones plásticas pueden ser considerables. Entonces, dentro de una teoría de pequeñas deformaciones, no se puede distinguir entre la tasa del esfuerzo objetivo y la derivada del esfuerzo de Cauchy, ni entre el tensor de velocidad de deformación y la tasa del tensor euleriano de deformación infinitesimal:

ijij σσ &≈Ο

; ijijD ε&≈ (2.35)

10 Cambio en el tiempo 11 Es decir, que no varía con la posición del observador

26

En este contexto, Dij puede descomponerse en una parte elástica y otra plástica:

pij

eijij DDD += (2.36)

De otra parte, para las deformaciones elásticas se puede suponer que:

ekl

tijkl

tij DRT =& (2.37)

Donde t

ijT es el tensor de esfuerzo relativo de Kirchhoff, que se relaciona con la derivada

de Jaumann del tensor de esfuerzos de Cauchy mediante:

ekkij

tijij DT σσ −=

Ο& (2.38)

La derivada de Jaumann Ο

ijσ difiere de la derivada temporal material ijσ& por una parte

corrotacional que se toma con respecto al esfuerzo inicial:

kjikkjikij

ijijij

WW σσσ

σσσ

−=

+=Ο

*

*

& (2.39)

En donde Wik es la matriz de transformación (cosenos directores) de un sistema de coordenadas rotado respecto al mismo origen del sistema coordenado inicial. Ahora, la ley constitutiva elasto-plástica puede expresarse como:

klepijklij DC=

Ο

σ (2.40)

En donde Dkl puede reemplazarse por klε& bajo la consideración de pequeñas

deformaciones. En la ec. 2.40, el tensor de rigidez elasto-plástico de cuarto orden funciona como un operador cuasi-lineal que está definido por:

27

pijkl

eijkl

epijkl CCC −= (2.41)

+= GRC ijt

ijkleijkl

σ0 (2.42)

erskl

rs

emnij

mn

pijkl CFCQ

HC

∂∂

∂∂

=σσ

1 (2.43)

Donde los paréntesis de McAuley , con el módulo plástico H > 0, están definidos

como:

≤≤⇔>=⇔

=0;000;01

1klkl

klkl

BFBF

εε&

& (2.44)

El módulo plástico por su parte, corresponde a:

H = H0 + Ht > 0 (2.45) Con

mn

eklmn

kl

QCFHσσ ∂∂

∂∂

=0 ; ψ∂∂

−=FH t (2.46)

En la ec. 2.46 Ht es el módulo de endurecimiento (o ablandamiento), F es la superficie de fluencia en el espacio de esfuerzos ( ),( ψσ ijFF = ), ψ es una medida acumulada de la

deformación plástica, y Q es la función de potencial plástico ( ),( ψσ ijQQ = ).

Adicionalmente, la ecuación 2.43 satisface la condición de simetría:

epklij

epijkl

ijij

CCQF=→

∂∂

≡∂∂

σσ (2.47)

2.3.1.1 Regla de flujo Para materiales granulares, la regla de flujo de la teoría de la plasticidad corresponde a:

28

ψσ

ε &&ij

pij

Q∂∂

= con 0≥ψ& (2.48)

Esta regla de flujo es llamada coaxial, para referirse a que los ejes principales de la tasa de la deformación plástica coinciden con los ejes principales del esfuerzo. Debe notarse que la desigualdad de (2.48) define el carácter irreversible de las deformaciones plásticas. El concepto de superficie de fluencia (F) y de superficie de potencial plástico (Q) en el espacio bidimensional de esfuerzos se representa en la figura 2.7.

Figura 2.7 Conceptos de superficie de fluencia y superficie del potencial plástico en el espacio de esfuerzos

(fuente: Vardoulakis et al, 1995) La no asociatividad de la regla de flujo se restringe sólo para el componente volumétrico de la tasa de deformación plástica de los materiales granulares. Al mismo tiempo se supone que la tasa de la deformación plástica desviadora sigue la regla de normalidad. Esta propiedad es llamada “normalidad desviadora” (Gudehus, 1972; Lade y Duncan, 1973; Baker y Desai, 1982), y se expresa por:

ijijij

QF λδσσ

=∂∂

−∂∂ (2.49)

En donde λ es un escalar.

29

2.3.1.2 Sólidos de comparación La unicidad de sólidos elasto-plásticos obedece la regla de normalidad de flujo para considerar correcto el comportamiento no asociativo. Dentro de ésta teoría, se puede definir una familia de sólidos de comparación de un solo parámetro, que tienen la siguiente propiedad: Si la unicidad es cierta para el sólido de comparación, la bifurcación se excluye para el sólido elasto-plástico comparado. Los tensores de rigidez que definen los sólidos de comparación de límite inferior ( l

ijklC ) y

de límite superior ( uijklC ) son, respectivamente:

( )( )FklQkl

Fij

Qij

eijklijkl rBBrBB

rHCC ++−=

41l (2.50)

Fkl

Qij

eijkl

uijkl BB

HCC 1

−= (2.51)

Donde: e

klijklFij CFB = ; )/( ijij FF σ∂∂= (2.52)

eklijkl

Qij CQB = ; )/( ijij QQ σ∂∂= (2.53)

Fijij

Qijij

BFBQ

r = ; ( 10 ≤≤ r ) (2.54)

Las condiciones de unicidad por su parte, son expresadas por la ec. 2.55 (condición global) y por la ec. 2.56 (condición local) para el sólido de comparación de límite inferior.

( ) 0>∆∂∆∂+∫ dVuuAC klijV

ijklijkll (2.55)

( ) 0≥+ lkjiijklijkl ngngAC l (2.56)

Si se supone una regla de flujo asociativa, los dos sólidos de comparación lineal coinciden (para r = 1), y el esfuerzo de bifurcación obtenido de un análisis de bifurcación lineal coincide con el esfuerzo de bifurcación real.

30

2.3.1.3 Elasto-plasticidad en 2D para materiales granulares

(Vardoulakis et al., 1995) Al considerar únicamente los componentes del tensor de esfuerzos en el plano de deformación, se introduce un tensor de esfuerzos bidimensional que puede ser descompuesto en una parte esférica y otra desviadora:

αβαβγγ

αβ

δσσ s+=

2 (2.57)

Además, se introducen las medidas de esfuerzo de Roscoe: esfuerzo promedio σ e intensidad del esfuerzo cortante τ en el plano de deformación:

2/γγσσ = ; )2/( αβαβτ ss= (2.58)

Con ellas se establecen las funciones de fluencia y de potencial de la tasa de deformación plástica del tipo Mohr-Coulomb, como se muestra en la figura 2.8:

)(ψσµτ +=F (2.59) )(ψσβτ +=Q (2.60)

En donde µ(ψ) y β(ψ) son los coeficientes de fricción y dilatancia, y son funciones de un parámetro de endurecimiento pγψ = (deformación plástica de corte). Estos coeficientes se expresan en términos del ángulo de fricción movilizada φm y el ángulo de dilatancia ψm:

)(sin pm γµφ = ; )(sin p

m γβψ = (2.61)

31

Figura 2.8: a) Superficie de fluencia y vector de tasa de deformación plástica b) función de fricción movilizada ; c) función de dilatancia movilizada

( fuente: Vardoulakis et al, 1995) De estas representaciones, se derivan los gradientes de F y de Q en el espacio de esfuerzos:

αβαβ

αβαβ µδ

σ 21

2+=

∂∂

=mFf ; αβ

αβ

αβαβ βδ

σ 21

2+=

∂∂

=mQq (2.62)

ταβ

αβ 2s

m = ; 1=αβαβmm (2.63)

Donde mαβ es el vector unitario coaxial al esfuerzo τ en el espacio de esfuerzos desviadores. La regla de flujo para este modelo se expresa como:

αβαβ ψε qp&& = (2.64)

32

y αβαβ εγψ &&&Fp b

H1

== (2.65)

Por otra parte, el tensor de rigidez elasto-plástico en 2D se define como:

peep LLL αβγδαβγδαβγδ −= (2.66)

)1( γδαββγαδβδαγαβγδ δδδδδδ −++= kGLe (2.67)

FQp bbH

L γδαβαβγδ

1= (2.68)

)/( αβαβγδαβγδαβ βδτ ksGLqb eQ +== (2.69)

)/( γδγδαβγδαβγδ µδτ ksGLfb eF +== (2.70)

υ211−

=k (2.71)

En las ecuaciones 2.65 y 2.68, H corresponde al módulo de endurecimiento, que expresado en términos de cantidades adimensionales, se define como:

)( 0* hhGGhH +== ; µβkhh T +=−= 110 (2.72)

ThGh

σ= (2.73)

Donde hT es el módulo de endurecimiento con el desviador máximo en movimientos isocóricos12, y h es un módulo de endurecimiento adimensional. Si G >> σ , h << 1. Para suelos dilatantes, ψm > 0 y entonces hT < 0. Si H > 0, la función “switch” indicada por los paréntesis de McAuley en las ecuaciones 2.65 y 2.68 está definida por:

≤∧=∨<⇔>∧=⇔

=0000

0011

αβαβ

αβαβ

εε

&

&F

F

bFFbF

(2.74)

Finalmente, la ecuación constitutiva en términos de tasas de esfuerzo y deformación infinitesimal es expresada por:

12 Con volumen constante

33

γδαβγδαβ εσ &&

epL= (2.75)

Si se suponen iguales los ángulos movilizados de fricción y dilatancia (que no es cierto para suelos), entonces: (i) QF ≡ , las tasas de deformación plástica son normales a la superficie de fluencia (condición de normalidad), el material obedece a una regla de flujo asociada, y (ii) Siempre que QF bb αβαβ ≡ , el tensor de rigidez elasto-plástico es simétrico.

En otro caso, el material obedece a una regla de flujo no asociada y el tensor de rigidez no satisface la condición de mayor simetría.13 2.3.2. Análisis de bandas de corte rectilíneas

En condiciones de deformación plana Con la suposición de que el estado inicial de esfuerzos σαβ en continuo en la configuración de referencia, la aplicación del modelo de THM al caso de deformación plana en 2D lleva a expresar las condiciones de compatibilidad estática y cinemática como:

0)1())1((

))1(()1()(

2

)(1

21

222222212211

21112222

211111 =

++−+++−+

υ

υ

ζζ

εξξξ

nGnLnnGLnnGLnGnL

uu

uu

(2.76)

En donde la influencia del esfuerzo inicial está dada por la diferencia de esfuerzos normalizada, que en la mayoría de los casos es despreciable ( ξ << 1):

G221 σσ

ξ−

= (2.77)

Y los componentes del tensor de rigidez del sólido de comparación de límite superior son:

13En los materiales puramente friccionantes la condición de normalidad resulta en que no haya disipación de energía. Es por esto que en mecánica de suelos se han adoptado modelos de plasticidad “no asociativos”.

34

*2222

*2211

*1122

*1111

/)1()1)(1(/)1()1)(1(

/)1()1)(1(

/)1()1)(1(

hhkkGLhhkkGLhhkkGLhhkkGL

u

u

u

u

++++=

−−+−=

−−−+=

++−−=

µβ

µβ

µβ

µβ

(2.78)

Para las soluciones no triviales para el salto del gradiente de desplazamiento incremental de la ecuación 2.76, se obtiene la siguiente ecuación característica para el ángulo de inclinación θ de la banda de corte:

0tantan 24 =++ cba θθ (2.79) Donde θ es medido respecto a la dirección del esfuerzo principal menor (figura 2.6):

2

1tannn

−=θ (2.80)

y

u

uuuuuu

u

LGcLGLGLLLLb

LGa

2222

112222112211112222221111

1111

)1(

)1()1(

)1(

ξ

ξξ

ξ

−=

−−+−−=

+=

(2.81)

La condición de bifurcación de banda de corte, depende de que la ecuación característica 2.79 tenga soluciones reales. Ésta condición encuentra primero un estado CB (B para bifurcación) para el cual:

b/a < 0 y D = b2 – 4ac = 0 (2.82) Para cualquier estado más allá de CB, hay cuatro soluciones para la orientación de la banda de corte. Sinembargo, de acuerdo a la evidencia experimental, las bandas de corte observadas normalmente pertenecen a una familia de soluciones simétricas. Ésta observación justifica la adopción de (2.82) como condición de bifurcación. En CB solo existen dos soluciones simétricas para la banda de corte:

θ1,2 = θ3,4 = ±θB ; θB = arctan c1/4 (b < 0) (2.83)

35

Para el sólido de comparación lineal considerado, las ecuaciones constitutivas incrementales correspondientes a la carga, se obtienen de la ec. 2.75, y se expresan en el sistema de coordenadas de los esfuerzos principales iniciales mediante (2.84):

1212

22222211221122

22112211111111

2 εσ

εεσ

εεσ

∆=∆

∆+∆=∆

∆+∆=∆

Ο

Ο

Ο

G

LL

LLuu

uu

(2.84)

Éstas ecuaciones pueden resolverse en términos de la tasa crítica de endurecimiento hB, en el punto de bifurcación, que corresponde a:

h = hB ; )1(8)( 2

νβµ−−

= BBBh (2.85)

De manera similar, de la ec. 2.83 se obtiene:

41

)/11()1)(1()/11()1)(1(arctan

+++−++++

=BBB

BBBB hk

hkβµβµ

θ (2.86)

La banda de corte siempre ocurre en el régimen de endurecimiento (hB > 0). De otra parte, el módulo de endurecimiento adimensional en el punto de bifurcación es un número pequeño (hB << 1)14, lo cual simplifica la ecuación anterior, llevando a:

21

sin1sin1arctan

−+

≈φφθ B (2.87)

[ ][ ]2/)(cos

2/)(sinsinBB

BB

ψφψφ

φ−+

= (2.88)

14 Vardoulakis, 1980

36

La ec. 2.88 puede simplificarse, igualando a cero el denominador, dado que 96.015cos2/)cos( 0 =≥− BB ψφ , lo que conduce a:

VB θθ ≈ ; 4/)(º45 BBV ψφθ ++= (2.89)

Lo que coincide con la expresión empírica propuesta por Arthur et al. (1977). Llamando CC al estado de máxima oblicuidad de esfuerzos (C = configuración, subíndice C para Coulomb), se tiene que en este estado, la fricción movilizada es máxima (h = hC =

0). Empíricamente puede establecerse que también el ángulo de dilatancia es máximo en CC:

)(max pmC γφφ = ; )(max p

mC γψψ = (2.90)

En ésta configuración existen dos soluciones simétricas para la orientación de la banda de corte:

2/º45;2,1 CCc φθθθ +=±= (2.91)

2/º45;4,3 CRR ψθθθ +=±= (2.92)

La primera solución, es la clásica solución de Coulomb, mientras que la segunda es la solución de Roscoe.

2.4. MODELO DE PLASTICIDAD DE MÜLHAUS Y VARDOULAKIS PARA LA SOLUCIÓN DE BANDAS DE CORTE

Motivación para el uso de un continuo micropolar o de Cosserat De acuerdo con Vardoulakis15, en una etapa de aproximación de grado cero, la banda de se modela como una línea de discontinuidad estacionaria de la velocidad, como se muestra en la figura 2.9 (a), ésta línea se encuentra usando equilibrio límite y cálculos de

15 Vardoulakis et al.,1995

37

análisis límite para modelos de suelos continuos, rígidos y perfectamente plásticos. En una primera aproximación, tal como en el modelo THM, la banda de corte está limitada por dos superficies de discontinuidad estacionaria del gradiente de velocidad. En este caso, una variación lineal del campo de velocidad describe totalmente la cinemática dentro de la banda (figura 2.9 (b)). Bajo este análisis, la banda tiene un espesor que tiende a cero en comparación con cualquier otra escala de longitud geométrica del problema. De acuerdo con observaciones microscópicas presentadas por el Dr. Mandl en 1974, el patrón de deformación real de la banda de corte consiste en tres capas paralelas con un patrón de deformación diferente: Una central, dominada por una deformación de corte simple; limitada por dos capas delgadas con una muy fuerte deformación de corte (figura 2.9 (c)). De ésta observación, se sugirió un nuevo modelo de banda de corte como una estructura limitada por dos zonas de corte muy delgadas (h2), en las que, como primera aproximación, la deformación no es homogénea. Esto puede representarse considerando paralela (al eje de la banda de corte) la componente v1 de la velocidad de los puntos materiales a través de la zona de corte, entonces, con base en el teorema del valor central:

02122212012 ≠∂≈∂−∂ hvvv

mu (2.93)

La deformación dentro de las zonas de corte debe considerarse en una primera aproximación como el segundo gradiente de la velocidad. Esto refleja la complejidad en el comportamiento del material dentro de las zonas de corte (h2). Por esto se considera a la expresión (2.93) como una propiedad cinemática importante de la banda de corte. De acuerdo con la evidencia experimental desde Mandl (1974), se ha demostrado que lo que gobierna el comportamiento en las zonas de corte es la rotación de las partículas. Ésta no es tomada en cuenta por el continuo de Boltzmann, por lo que se requiere un continuo que incluya rotación y desplazamiento de los puntos materiales además de una longitud característica del material para formular un modelo matemático que represente mejor el comportamiento del material, y permita establecer el espesor de la banda de corte.

38

Figura 2.9: Modelos de banda de corte con incremento en su complejidad. (a) Modelo de análisis límite de la línea de discontinuidad de la velocidad (b) Modelo THM

(c) Primer modelo conceptual de banda de corte basado en el experimento de Mandl ( fuente: Vardoulakis et al, 1995)

2.4.1. Reseña acerca del continuo de Cosserat

Un medio de Cosserat es un grupo continuo de partículas (puntos materiales) de igual tamaño que se comportan como cuerpos rígidos, y en tal sentido, incluye dentro de su formalismo una longitud característica del material (tamaño de las partículas); también

39

se caracteriza por grados de libertad adicionales para las partículas materiales: rotaciones, un esfuerzo no simétrico16 y un esfuerzo de par17 (figura 2.10). Esfuerzo de par (Couple stress) De acuerdo con Huang et al. (2002), para entender el concepto de esfuerzo de par, considérese un elemento de volumen cuyo tamaño es muy pequeño comparado con la macro-escala de la muestra granular y lo bastante grande para contener un número de granos. Los componentes de esfuerzo sobre la superficie del elemento de volumen pueden concebirse como los componentes de la fuerza de contacto divididos por el área diminuta de la superficie del elemento. Análogamente, los componentes del esfuerzo de par (µ3α) pueden ser entendidos como los componentes de pares de contacto entre granos divididos por el área diminuta. Los esfuerzos de corte se relacionan con la tendencia de deslizamiento relativo entre granos, así como los esfuerzos de par se relacionan con la tendencia de rotación relativa entre granos. La tendencia al deslizamiento relativo entre granos depende de su rugosidad, el nivel de presión y la relación de vacíos; la tendencia a la rotación relativa, por su parte, es función de la forma de los granos, la rugosidad superficial de ellos, el nivel de presión y la relación de vacíos.

16 El tensor de esfuerzos solo se diferencia de su definición clásica por una parte antisimétrica:

)(21

211212 σσσ −=a

17 Couple stress

40

Figura 2.10: Ilustración bidimensional del continuo de Cosserat

( fuente: Huang et al, 2002) Campos cinemáticos Una partícula en el continuo polar puede trasladarse y rotar independientemente, por lo que se le asignan un vector de velocidad v y un vector espín wc. A partir de esta consideración se introducen los siguientes campos cinemáticos: a) El tensor de tasa de deformación (relacionado con v) y el correspondiente tensor de

rotación:

)(21;)(

21

αβαβαβαβαβαβ vvWvvD ∂−∂=∂+∂= (2.94)

b) El tensor de micro deformación o deformación debida a la rotación promedio de la

partícula w3c: cc weW 33αβαβ −= (2.95)

c) El tensor gradiente de la rotación de las partículas o curvatura de la deformación:

cwC 3αα ∂= (2.96)

El gradiente de la velocidad se considera una medida de la deformación macroscópica, mientras que la rotación de la partícula es una medida de la micro-deformación. La

41

diferencia entre macro y micro-deformación está dada por el tensor de deformación relativa: cWvV αββααβ −∂= (2.97)

En el continuo de Cosserat, la parte simétrica de la deformación relativa coincide con la tasa de macro-deformación, y su parte antisimétrica con la diferencia entre macro y micro espín, es decir, con la diferencia en el espín local debido al desplazamiento y la rotación entre partículas:

[ ]cWWVDV αβαβαβαβαβ −== ;)( (2.98)

Dilatancia y deslizamiento entre partículas La amplitud promedio de la componente normal del vector de velocidad relativa, tomada sobre todas las direcciones de los contactos, define una medida promedio del cambio en la distancia de dos granos cercanos, y se considera como una medida de la dilatancia del medio granular18:

αα

π

θε DdRvg

n

∫ =∆

=2

0 221

& (2.99)

De otra parte, la amplitud media de la componente tangencial del vector de velocidad relativa define una medida promedio del deslizamiento relativo entre los granos en contacto (interparticle slip). Suponiendo que la rotación de los granos coincide con el espín de la deformación y que la curvatura de deformación es pequeña aún en la escala de los granos, se llega a que:

( )21

''2 αβαβγ DD=& (2.100)

Donde '

αβD es la parte desviadora de la tasa de deformación.

18 En la ec. 2.99, Rg = radio de todas las partículas

42

Descripción de la deformación El estado de deformación se describe mediante el tensor tasa de deformación relativa y por el vector curvatura de deformación, que en dos dimensiones se expresan como:

)( cαβαβαβαβ ωωεγ &&&& −+= (2.101)

cωκ αα && ∂= (2.103)

Donde el tensor de deformación relativa está expresado en sus componentes simétrica y antisimétrica, y:

cc e

vve

vv

ωω

ωωω

ε

αβαβ

αβαβ

βααβαβ

&&

&&&

&

3

12213 )(21;

)(21

−=

∂−∂=−=

∂+∂=

(2.104)

De acuerdo con Vardoulakis (1995), para el continuo considerado, suponiendo que la rotación promedio de los granos individuales en un dominio pequeño no coincide con el espín de ese dominio, la parte simétrica de la deformación relativa coincide con el tensor de tasa de deformación relativa, y la diferencia entre macro y micro-deformación solo aparece en la parte antisimétrica de la deformación relativa. Si los granos rotan con sus vecinos, entonces el grado de libertad adicional cω& desaparece, con la consecuencia de que la tasa de deformación relativa se reduce a su expresión clásica:

αβαβαβαβ εγωω &&&& =→= c (2.105)

43

2.4.2. Solución de la Banda de Corte

Las condiciones que gobiernan el equilibrio continuado de una configuración C de deformación rectilínea homogénea en términos de derivadas temporales de Jaumann de los esfuerzos reales en C se expresan como:

0

0)(

0)(

22111221

121222211

221122111

=∂+∂+−

=∂−+∂+∂

=∂−+∂+∂

ΟΟΟΟ

ΟΟ

ΟΟ

mmσσ

ωσσσσ

ωσσσσ

&

&

(2.106)

Bajo condiciones de carga, y teniendo en cuenta que el tensor de esfuerzos inicial es simétrico y el momento desaparece, se tienen las siguientes ecuaciones constitutivas19:

( ) ( ) cc

cc

uu

uu

hG

hG

LL

LL

ωωεσ

ωωεσ

εεσ

εεσ

&&&

&&&

&&

&&

−+=

−−=

+=

+=

Ο

Ο

Ο

Ο

1221

1212

22222211221122

22112211111111

2

2 (2.107)

)2,1( ==Ο

ακαα &Mm (2.108)

En estas ecuaciones los componentes del tensor de rigidez del sólido elasto-plástico de comparación lineal en 2D ya fueron definidos en (2.78), y:

( ) t

cc

hGhhGRMhhGGh

//;))(2/(1/ 3

221

σ=

=−== (2.109)

Combinando lo anterior, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales parciales:

19 Con αα µ3=m

44

02)1()1( 2221211221

2221

2111111 =∂+∂+−++∂−++∂ cccucu GvhGLvhGvL ωξξ & (2.110)

02)1()1( 1222222222

2111

2122211 =∂+∂+∂+++∂−−+ ccuccu GvLvhGvhGL ωξξ & (2. 111)

0)(2)( 222

211

2 =−+∂+∂ cccR ωωωω &&&& (2.112) Donde ( )12/)( 21 <<−= ξσσξ G (2.113)

Es el parámetro de influencia del esfuerzo inicial. Las ecuaciones 2.110 y 2.111 parten de las condiciones de equilibrio para las tasas de esfuerzo, mientras que la ecuación 2.112 viene de la condición de equilibrio para las tazas de esfuerzos de par. Para estudiar la ocurrencia de las bandas de corte, debe investigarse el equilibrio de tracciones20 y esfuerzos de par a través de dos planos adyacentes a una distancia 2dB, que corresponden a los contornos de la banda de corte.

Figura 2.11: Muestra con banda de corte

( fuente: Vardoulakis et al, 1995)

20 Entiéndase tracciones como esfuerzos normales sobre los puntos materiales, que en el caso de materiales granulares sin cohesión corresponden a esfuerzos de compresión sobre los granos.

45

De acuerdo con la figura 2.11, el sistema de coordenadas (x1,x2) se escoge de modo que el eje x1 coincida con el esfuerzo principal menor σ1 en C. Suponiendo que la banda de corte está inclinada un ángulo θ con respecto a x1, y se forma en la configuración C , se escoge un nuevo sistema de coordenadas (x,y), con un eje paralelo y otro normal al eje de la banda de corte. Así el vector unitario nα es normal al eje de la banda de corte, y:

θθ cos;sin 21 =−= nn (2.114) Si se supone que todas las propiedades de los campos relacionados con la formación de la banda de corte no dependen de la coordenada x, las ecuaciones 2.110 a 2.112 pueden reducirse y expresarse como:

02

10

3

2

1

22*12

2212

1211

=

−−−

ccc

nnbbbb

λλλλλ

l

(2.115)

Con:

+−+−++

=)2/()()2/()( 122212121211

222112221111cccccc

cccc

GnAnAGnAnAnAnAnAnA

bαβ (2.116)

123

21

22222222

2121221121

213

2121112212

22

21111111

2

)1(

)1(

2

)1()1(

nGAnhGnLAnnhGnnLA

nGAnnhGnnLA

nhGnLA

cc

cuc

cuc

cc

cuc

cuc

−=

+++=

−−+=

=

+−+=

−++=

ξ

ξ

ξ

ξ

(2.117)

BdR /* =l (2.118)

La condición de bifurcación para las soluciones no triviales de la ecuación matricial 2.116 es: )1(* −=±= iiλλ (2.119) Donde ** / la=λ (2.120)

46

Y

[ ]21122211

21

212111 2/)(bbbbb

bnbnba−=

−+= (2.121)

Esta solución corresponde a las funciones periódicas para la velocidad y el espín de Cosserat:

)/cos(

)2,1()/sin(*

3

*

Bc

BB

dycdycdv

λωαλαα

===

& (2.122)

Donde ccbbcc

bbcc ==−= 3

11*2

12*1 ;;

λλ (2.123)

La constante c se definió antes en (2.81). La solución presentada satisface idénticamente las condiciones de homogeneidad en el contorno de la banda de corte para las tracciones; notando la derivada respecto a la coordenada x paralela al eje de la banda de corte como

x∂∂=∗ /)( ' , y con: ααβα π nt && = (2.124)

Se obtiene:

cccc

cccc

AvAvAtAvAvAt

ω

ω

&&

&&

23'222

'1211

13'212

'1111

++=

++= (2.125)

De la anterior ecuación, se tiene que a lo largo de los planos paralelos a los contornos de la banda de corte, la tasa de tracción es cero:

)2,1(0 == ααt& (2.126)

De otra parte, los esfuerzos de par que actúan sobre los planos paralelos a los contornos de la banda de corte dependen solo del espín de Cosserat:

)/sin()/( **

3 BBc dydMcMm λλω −== && (2.127)

47

Sinembargo, por razones de equilibrio, los esfuerzos de par deben ser continuos a través de los contornos de la banda de corte:

[ ] 0=−= −+ mmm &&& (2.128) La solución de la banda de corte se basa en la suposición de que fuera de ella, el esfuerzo de par es cero:

0=+m& (2.129)

Lo cual resulta en la desaparición del esfuerzo de par a lo largo de los contornos de la banda de corte:

0=−m& para Bdy ±= (2.130)

Las ecuaciones 2.127 y 2.130 llevan a que πλ =* , o a la siguiente expresión para el espesor de la banda de corte:

aR

d B π= (2.131)

El espesor 2dB es visto como una longitud interna del problema considerado. De acuerdo con la ecuación 2.131, esta longitud interna es proporcional a la longitud de material D =

2R, y el factor de proporcionalidad (π/a) es función del parámetro de endurecimiento plástico. De acuerdo con Vardoulakis et al. (1995), la ecuación 2.131 es una estimación analítica de la longitud interna del problema, que puede ser usada para probar la suposición que la longitud de material D es igual al diámetro promedio de los granos.

48

CAPÍTULO 3

MODELOS DE BANDA DE CORTE A ESCALA MICRO

Los materiales granulares se caracterizan por estar formados de partículas que se desplazan independientemente unas de otras, y cuya interacción en sus contactos define el comportamiento esfuerzo-deformación del medio granular como un continuo. Ese comportamiento esfuerzo-deformación se describe matemáticamente mediante modelos constitutivos que relacionan tensorialmente los esfuerzos con las deformaciones (o los desplazamientos), pero que para ello requieren la determinación de numerosos parámetros que algunas veces carecen de significado físico, y que en todos los casos se obtienen de ensayos de laboratorio que solo son capaces de dar información de lo que sucede en los contornos de la muestra. De lo anterior puede inferirse que interpretar un medio granular como un medio continuo es una simplificación que puede generar dificultades en la comprensión del comportamiento del medio granular, especialmente en lo que respecta al proceso de localización de deformaciones y la falla del material. El considerar un medio granular como un sistema de partículas implica calcular lo que ocurre con cada partícula y en los contactos entre ellas bajo unas condiciones de borde dadas, esto ha comprobado reproducir mejor el comportamiento real de un medio granular bajo unas condiciones de borde dadas, en comparación con cualquier modelo de medio continuo. La rápida evolución de los computadores y los lenguajes de programación estructurada han facilitado el desarrollo de modelos de elementos discretos21 (medios particulados),

21 En ingles “Distinct Element Method”, la traducción del término Distinct por Discretos y no por Distintos, se ha empleado aquí debido a que enfatiza el caracter no continuo del método y debido a que en una simulación con éste método pueden usarse partículas con todas las características iguales, por lo que hablar de elementos distintos en un caso así no sería apropiado.

49

que permiten generar simulaciones de ensayos de laboratorio en los cuales todas las variables pueden conocerse en el tiempo y al interior de la muestra ideal, a diferencia de lo que ocurre con los ensayos de laboratorio, en los que las mediciones de fuerzas y desplazamientos de la muestra durante el ensayo dependen de la instrumentación del aparato, sus restricciones geométricas, y/o del procesamiento y calidad de imágenes sobre el contorno de la muestra.

3.1. CONCEPTOS GENERALES DE MICROMECÁNICA

La micromecánica consiste en la aplicación de la mecánica clásica Newtoniana a la interacción entre partículas dentro de un medio granular ideal. La preposición “micro” hace referencia a que el tamaño de las partículas dentro del medio que forman es muy inferior al del medio analizado. Como la interacción ocurre a través de los contactos, se definen los contactos a través de diferentes modelos de contacto y se desarrolla un sistema de ecuaciones diferenciales en el tiempo cuya solución puede hallarse de diversas maneras. Es así como las formas de solución y las suposiciones para los modelos de contacto implementadas en programas de computador han generado los diferentes estilos de análisis micromecánicos como la Dinámica Molecular, la Dinámica de Contactos, o los Códigos de Flujos de Partículas en dos y tres dimensiones (por su siglas en ingles, PFC2D y PFC3D). En general, cualquier método de elementos discretos para generar un modelo requiere: Leyes de fuerza – desplazamiento: Aplicadas a los contactos, indican movimientos relativos entre partículas y tienen en cuenta los modelos constitutivos del contacto. Ley de Movimiento: Es la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula. Modelos Constitutivos de Contacto: Consisten en la definición de componentes de tipo elástico, rígido y/o viscoso que intervienen en los contactos entre partículas, y si se tiene en cuenta cementación o no entre ellas.

50

Condiciones Iniciales y de Contorno: Corresponden al nivel de confinamiento de la muestra, ya sea mediante la aplicación de fuerzas o por medio de elementos rígidos (muros) que proporcionen una restricción al movimiento de las partículas de borde.

1.4. 3.2. LOS MÉTODOS DE ELEMENTOS DISCRETOS

El método de los elementos discretos (Distinct Element Method, DEM) desarrollado originalmente por Cundall (1971 y 1974) para el análisis de problemas de mecánica de rocas tiene como antecesores el modelo analítico que presentó Deresiewicz en 1958 para predecir el comportamiento esfuerzo – deformación no lineal e histerético de un arreglo cúbico de esferas de tamaño uniforme, y la técnica de ensayo sobre ensamblajes de discos de material fotoelástico propuesta por Dantu y Wakabayashi en 1957, la cual hizo posible la determinación directa de fuerzas de contacto entre partículas, y cuyo análisis de distribución de fuerzas fue descrito por De Josselin de Jong y Verrujit en 1969. Tales técnicas resultaron ser rígidas, pues el modelo de Deresiewicz solo era aplicable a un arreglo cúbico de esferas, mientras que el método que emplea discos de material fotoelástico es costoso y de dispendiosa interpretación de los ensayos. A diferencia de ellos, la implementación de un modelo numérico como el de Cundall, o el de Herrmann22 resulta ser más versátil para el desarrollo de problemas de mecánica de rocas y mecánica de medios granulares.

3.2.1. El Método de los Elementos Discretos (DEM)

Este es un modelo numérico en el que se ve la interacción de partículas como un problema transitorio con estados de equilibrio que ocurren cuando hay balance de fuerzas internas, con un esquema numérico explícito. A nivel de programación ha evolucionado

22 Dinámica Molecular

51

desde sus inicios con el programa Ball, hasta ahora, con los programas PFC2D y PFC3D, cuya formulación general se presenta a continuación23. 3.2.1.1. Cinemática El material granular es modelado como un ensamblaje de numerosas partículas rígidas, cada una de las cuales posee una masa constante m y ocupa una posición en el espacio, definida por el centro de masa de esa partícula. Debido a que cada una de las partículas interactúa con sus vecinas solo a través de sus contactos, puede decirse que la rigidez del contacto (entendida como la resistencia a deslizarse y/o rotar de una partícula respecto a otra en el contacto entre ambas), puede representarse como la fuerza normal al contacto. Bajo estas consideraciones, el comportamiento mecánico de tal sistema se describe en términos del movimiento de cada partícula y de las fuerzas entre partículas actuando en cada punto de contacto. Las relaciones entre las fuerzas entre partículas y el movimiento que ellas causan se definen con base en las leyes de Newton. En el DEM, la interacción de partículas es vista como un proceso dinámico con estados de equilibrio que se presentan cuando hay balance de las fuerzas internas. Los desplazamientos y las fuerzas de contacto de un ensamblaje de partículas sometido a esfuerzos se encuentran siguiendo los movimientos de partículas individuales, y los movimientos son el resultado de la propagación de alteraciones causadas por muros, movimientos de partículas y/o fuerzas de cuerpo a través del sistema particulado. En este proceso dinámico, la velocidad de propagación depende de las propiedades físicas del sistema discreto.

23 PFC2D - Theory and Background, ITASCA Consulting Group, Inc., 2002.

52

3.2.1.2. Ley de Fuerza-Desplazamiento Esta opera en los puntos de contacto entre partículas xi

[C] que se ubican sobre un plano de contacto definido por un vector unitario normal ni. Los vectores de fuerza de contacto pueden ser descompuestos en dos vectores: uno actuando en el plano de contacto, y el otro actuando en la dirección normal a ese plano. (Ver Figura 3.1). La ley de fuerza-desplazamiento relaciona estas dos componentes de la fuerza con las componentes correspondientes a los desplazamientos relativos entre partículas, mediante las rigideces normales y de corte en el contacto. Para un contacto entre dos partículas redondas, el vector ni que define el plano de contacto, está determinado por:

[ ] [ ]

dxxn

Ai

Bi

i−

= (3.1)

Donde xi

[A] y xi[B] son los vectores de posición de los centros de las partículas A y B, y d es

la distancia entre centros de partículas. Para los contactos entre un muro y una partícula, ni está a lo largo de la línea definida como la distancia más corta entre el centro de la partícula y el muro. El desplazamiento del contacto en la dirección normal es dado por Un, la localización del radio de la partícula j está dado por R[j ] y se tiene que:

[ ] [ ]

[ ]

−−+

=dR

dRRU B

BAn (3.2)

[ ][ ] [ ]( )[ ] [ ]( )

−+−+

=i

nBBi

inAA

iCi nURx

nURxx

21

21

(3.3)

Entre partículas Partícula-muro

Entre partículas Partícula-muro

53

Figura 3.1. Notación para describir el contacto entre partículas El vector de fuerza de contacto Fi, que representa la acción de la partícula A sobre la B, o la acción de la partícula sobre el muro, como se indicó antes, puede descomponerse en dos componentes con respecto al plano de contacto: Fi = Fi

n + Fis (3.4)

Donde Fi

n y Fis representan los componentes normal y de corte, respectivamente.

La magnitud de la fuerza normal de contacto es proporcional a la rigidez normal del contacto y al desplazamiento del contacto en la dirección normal. Fn = Kn + Un (3.5) La fuerza cortante de contacto se calcula de manera incremental. Cuando se forma el contacto, la fuerza cortante total del contacto inicialmente es cero. Para cada incremento del desplazamiento de corte relativo, sucesivamente se incrementa la fuerza de corte

Plano de contacto

54

elástica, adicionándola al valor actual. El movimiento del contacto se calcula durante este procedimiento mediante la actualización en cada etapa de ni y xi[C]. La velocidad de corte del contacto Vs está definida por:

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]112212

33ΦΦΦΦΦΦ −−−−−= k

Ckk

Cki

s xxxxtxxV ωω&& (3.6)

Donde [ ]jixΦ& y [ ]jΦ

3ω son respectivamente, las velocidades traslacional y rotacional de la

entidad Φj definida por:

=ΦΦwbBA

,,

, 21 (3.7)

y ti = -n2,n1. El componente de corte para el incremento del desplazamiento del contacto ocurre en una etapa ∆t, calculada como: ∆Us = Vs∆t (3.8) y es usada para calcular el incremento en la fuerza elástica de corte ∆Fs = -ks∆Us (3.9) Donde ks es la rigidez de corte en el contacto. El valor de ks se determina mediante el modelo de rigidez del contacto actual. La nueva fuerza de corte del contacto se encuentra como la suma de la anterior fuerza de corte y el incremento de esta fuerza durante la etapa: Fs ← Fs + ∆Fs ≤ µFn (3.10) Donde µ corresponde al coeficiente de fricción del contacto.

Entre partículas

55

3.2.1.3. Ley de Movimiento En el marco de la mecánica Newtoniana, el movimiento de una partícula rígida está determinado por los vectores de fuerza y momento actuando sobre ella, que son descritos en términos del movimiento traslacional de un punto de la partícula y la rotación de la misma. Las ecuaciones de movimiento se expresan como dos ecuaciones vectoriales: una relaciona la fuerza resultante que produce la traslación, y la otra, relaciona el momento resultante que produce la rotación, así: )( iii gxmF −= && (3.11)

En donde Fi es la fuerza resultante, m es la masa de la partícula, y gi es el vector de aceleración de la fuerza de cuerpo (p.e. la gravedad). La ecuación vectorial para el movimiento rotacional es: ii HM &= (3.12)

Donde Mi es el momento resultante actuando sobre la partícula, y Hi es el momento angular de ella; y que en términos de sus componentes en un sistema de coordenadas locales se expresan como:

1212333

3131222

2323111

)()()(

ωωωωωωωωω

IIIMIIIMIIIM

−+=−+=−+=

&

&

&

(3.13)

56

I1, I2 e I3 representan los momentos de inercia principales de la partícula; 1ω& , 2ω& y 3ω& son

las aceleraciones angulares alrededor de los ejes principales; y M1, M2 y M3 son las componentes del momento resultante, referidas a los ejes principales. Considerando partículas de forma esférica o como discos de radio R, con masa uniformemente distribuida en su volumen, el centro de masa coincide con el centro de la esfera o el disco. Para una partícula esférica, cualquier sistema local de ejes ubicado en el centro de masa de la partícula, es un sistema de ejes principales, y los tres momentos de inercia principales son iguales entre sí. Para una partícula con forma de disco, aquellos ejes permanecen en una dirección hacia fuera del plano del disco, 021 ≡= ωω . Entonces, para cualquiera de ellas, la ecuación (3.13) puede ser simplificada y referida al sistema de ejes principales como ( ) 3

233 ωβω && mRIM == (movimiento rotacional) (3.14)

donde

=2/15/2

β

Las ecuaciones de movimiento, dadas por las ecuaciones (3.11) y (3.14) se combinan usando un procedimiento de diferencia finita central que involucra un diferencial de tiempo ∆t. Las cantidades ix& y 3ω se calculan en la mitad del intervalo de tiempo t ± n∆t/2,

mientras que las cantidades xi, ix&& , 3ω& , Fi y M3 se calculan en el intervalo primario de t ±

n∆t. Las aceleraciones traslacional y rotacional en el tiempo t, en términos de los valores de velocidad en la mitad de los intervalos de tiempo, se calculan respectivamente como:

(partícula esférica)

(partícula en forma de disco)

57

( ) ( )( )( ) ( )( )2/

32/

33

2/2/

1

1

tttt

tti

ttii

t

xxt

x

∆−∆+

∆−∆+

−∆

=

−∆

=

ωωω&

&&&& (3.15)

Insertando estas expresiones en las ecuaciones (3.11) y (3.14) y resolviendo para las velocidades en el tiempo t + ∆t/2 resulta en

( ) ( )

( ) ( ) tIM

tgmFxx

ttttt

i

titt

itt

i

∆

+=

∆

++=

∆−∆+

∆−∆+

)(32/

32/

3

)(2/2/

ωω

&&

(3.16)

Finalmente, las velocidades en la ecuación (3.16) se usan para actualizar la posición del centro de la partícula como ( ) ( ) txxx tt

iti

tti ∆+= ∆+∆+ 2/)(

& (3.17)

El ciclo de cálculo para la ley de movimiento puede ser resumido como sigue. Dados los valores de ( )2/tt

ix∆−

& , ( )2/3

tt ∆−ω , xi(t), Fi

(t), y M3(t), se usa la ecuación (3.16) para obtener

( )2/ttix

∆+& y ( )2/

3tt ∆+ω . Entonces, la ecuación (3.17) se usa para obtener ( )tt

ix∆+ . Los valores

de Fi(t + ∆t) y M3

(t + ∆t) son usados en el siguiente ciclo, y se obtuvieron mediante la aplicación de la ley de fuerza-desplazamiento.

3.2.1.4. Condiciones Iniciales y de Contorno En los códigos de flujo de partículas, al igual que en los medios granulares, el comportamiento esfuerzo – deformación del medio es función de las condiciones iniciales (en cuanto a relación de vacíos y empaquetamiento de las partículas) y al confinamiento de la muestra.

58

En cuanto al código, se pueden desarrollar simulaciones con elementos de control tipo muro (rígidos), que ofrecen una restricción al desplazamiento de las partículas, y a los que se les pueden controlar sus desplazamientos (o velocidades). A estos elementos se les define su rigidez normal (kn) y tangencial (ks), y un coeficiente de fricción (µ), propiedades que tienen que ver con el contacto que las partículas forman con ellos. Como variables calculadas en el tiempo, se encuentran los componentes vectoriales de posición, velocidad (rotacional y traslacional) y la fuerza y momento resultantes en el centro de giro del muro. Las velocidades de los muros son especificadas por tres parámetros: la velocidad traslacional [ ]w

ix& , la velocidad rotacional [ ]w3ω , y el centro de rotación xi[w], mientras que el

movimiento de los muros se determina mediante la actualización de la posición de cada punto P del muro usando una diferencia finita central de la forma que aparece en la ecuación (3.17), en la que la velocidad del punto P, para la que la posición se indica mediante xi[p], se calcula como [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )w

kpk

wki

wi

pi xxexx −+= 33 ω&& (3.18)

Otra manera de controlar los bordes de una muestra es mediante partículas de borde, a las cuales se les puede definir una velocidad aplicada o una fuerza aplicada sobre su centro de masa, y a las que adicionalmente, para evitar inestabilidades geométricas, se les puede restringir la rotación.

3.2.1.5. Determinación del periodo En los códigos de flujo de partículas, las ecuaciones de movimiento (ec.3.15 y 3.16) usan un esquema de diferencia finita central cuya estabilidad en la solución depende de la escogencia de un periodo (∆t) que no exceda un periodo crítico, que se relaciona con el periodo mínimo propio de todo el sistema. Para su determinación, se considera al contacto como un sistema masa-resorte gobernado por la ecuación xmkx &&=− . El periodo crítico correspondiente tcrit se determina como:

59

πTtcrit = ; k

mT π2= (3.19)

Donde T es el periodo del sistema, m la masa y k la rigidez del resorte. En seguida, debemos imaginar un sistema de infinitas masas puntuales y resortes en serie, como el descrito por la figura 3.2(a). El periodo mínimo del sistema se presentará cuando las masas se estén moviendo de manera sincronizada en sentido opuesto, de forma que no haya movimiento en el centro de cada resorte. El movimiento de una masa puntual puede describirse con dos sistemas equivalentes como los mostrados en las figuras 3.2(b) y 3.2(c). El periodo crítico del sistema puede hallarse como:

( ) km

kmtcrit == 42 (3.20)

Figura 3.2. Sistema múltiple masa-resorte En seguida, debemos imaginar un sistema de infinitas masas puntuales y resortes en serie, como el descrito por la figura 3.2(a).

60

Los sistemas descritos representan el movimiento traslacional. El movimiento rotacional se caracteriza mediante sistemas análogos en los que la masa m se reemplaza por el momento de inercia I de una partícula de tamaño finito, y la rigidez es rotacional. Entonces, el periodo crítico para un sistema múltiple masa-resorte se puede expresar como:

=

rot

tras

crit

kI

km

t (3.21)

donde I es el momento de inercia de la partícula, y ktras y krot son respectivamente, las rigideces traslacional y rotacional del sistema. El sistema modelado en un código de flujo de partículas es un conjunto de partículas y resortes con diferentes masas y rigideces. Para cada partícula se encuentra un periodo crítico usando la ecuación (3.21) de manera separada para cada grado de libertad, y suponiendo que los grados de libertad son desacoplados. Las rigideces se estiman sumando la contribución cada uno de los contactos para cada partícula, y el periodo crítico final es el mínimo de todos los periodos críticos calculados para todos los grados de libertad de todas las partículas. Las rigideces traslacional y rotacional de una partícula relacionan incrementos de fuerza y momento con incrementos de desplazamiento y giro vía relaciones matriciales. Para el caso bidimensional se tiene que:

∆∆∆

=

∆∆∆

3

2

1

33

2221

1211

3

2

1

ˆ0000

θUU

kkkkk

MFF

(3.22)

Cada uno de los elementos de esta matriz de rigidez puede expresarse para un contacto particular en términos del radio R de la partícula, el vector normal al contacto ni, y las

(movimiento traslacional)

(movimiento rotacional)

61

rigideces tangentes al contacto kn y ks, con la notación descrita en la sección 3.2.1.2. Debe anotarse que las rigideces tangenciales son función del tipo de modelo de contacto y el tipo de entidades en contacto (partícula-partícula o partícula-muro). Los términos de resistencia traslacional, se encuentran escribiendo la fuerza de contacto como la suma de sus componentes normal y de corte, que se relacionan con los incrementos de desplazamientos mediante las rigideces de los contactos, como sigue:

∆Fi = ∆Fin + ∆Fi

s

= kn∆Uin + ks∆Ui

s = kn (∆Unni) + ks (∆Ui - ∆Unni) (3.23) = (kn - ks) ni ∆Un + ks∆Ui

= (kn - ks) ni ∆Uj nj + ks ∆Ui

Los términos de resistencia rotacional, se encuentran escribiendo el incremento de momento como el producto cruz del vector radio dado por R ni, con el componente de la fuerza de contacto: ∆M3 = e3jk (R nj) Fs

k = e3jk (R nj) (ks ∆ Us

k) (3.24) y escribiendo el componente de corte del incremento del desplazamiento como el producto cruz del incremento de la rotación y el vector radio: ∆ Us

k = ek3m ∆θ3 (R nm) (3.25) Después de sustituir la Ec. (3.25) en la Ec. (3.24), se obtiene: ∆M3 = R2ks ∆θ3 (3.26) Si en el contacto hay cementante, éste contribuye con una fuerza adicional y un momento que actúa sobre la partícula y agrega una rigidez adicional. Con esta consideración se obtiene que:

62

( ) is

jjisn

i UknUnkkAF ∆+∆−=∆

332

3 θθ ∆+∆=∆ ns kIkRAM

Donde A es el área de la sección transversal del cementante, e I es el momento de inercia de la sección transversal del cementante alrededor de

un eje a través del punto de contacto y en la dirección de ∆θ3

=

=

3

4

2

3241

2

Rt

RI

tRR

A

π

π

(3.28)

El esquema del cementante, se puede apreciar en la figura 3.3. Las rigideces en la Ec. (3.21) se aproximan mediante los términos diagonales de la Ec. (3.22). Comparando las ecuaciones (3.23), (3.26) y (3.27) con la Ec. (3.22), los términos de rigidez traslacional y rotacional pueden expresarse para cualquier grado de libertad como:

[ ] [ ][ ] [ ]nssrot

si

snsi

snii

trasi

kIkARkRkk

knkkAknkkkk

++=≈

+−++−=≈22

)33()3(

2)(

2)()()(

ˆ)()(

(3.29)

Los segundos términos a la derecha de la igualdad son aportados por la presencia de cementante. En estas ecuaciones, los subíndices en paréntesis indican que esa no es una relación vectorial y que la convención de suma de Einstein no aplica para índices repetidos.

3.2.1.6. Amortiguamiento mecánico

(3.27)

(partícula esférica) (partícula disco)

(partícula esférica)

(partícula disco)

63

La energía dada al sistema de partículas se disipa a través de la fricción que genera el deslizamiento entre partículas. A pesar de esto, dentro del análisis esa fricción puede no estar activa en un modelo dado, o estando activa, ser insuficiente para alcanzar una solución de estado estable (steady-state solution) en un número razonable de ciclos de cálculo. El amortiguamiento local, combinado y viscoso se involucran en la solución de los códigos de flujo de partículas para disipar la energía cinética. Tanto el amortiguamiento local como el combinado actúan sobre cada partícula, mientras que el amortiguamiento viscoso actúa sobre cada contacto.

Figura 3.3. Esquema del cementante como una pieza de tamaño finito

Partícula esférica Partícula disco

64

El amortiguamiento local aplica una fuerza amortiguadora con una magnitud proporcional a la fuerza de desbalance para cada partícula. El amortiguamiento combinado es una variación del amortiguamiento local para el caso en que la solución de estado estable incluye un movimiento uniforme significativo. El amortiguamiento viscoso adiciona un amortiguador normal y uno de corte a cada contacto; éstos amortiguadores actúan en paralelo con el modelo de contacto existente, y proveen fuerzas proporcionales a la diferencia de velocidades relativas entre dos entidades en contacto (partícula-partícula o partícula-muro). Amortiguamiento Local Para el análisis con amortiguamiento local, un término de fuerza amortiguadora se adiciona a las ecuaciones de movimiento, dadas por las Ec. (3.11) y (3.14), de manera que las ecuaciones de amortiguamiento del movimiento puedes escribirse como: F (i) + F d(i) = M (i) A (i) ; i = 1…3 (3.30)

M (i) A (i) =

,,

)3(

)(

ω&&&

Ixm i

Donde F (i), M (i) , y A (i) son respectivamente, las componentes generalizadas de fuerza, masa y aceleración; F (i) incluye la contribución de la fuerza de gravedad, y Fd

(i) es la fuerza amortiguadora. Fd

(i) = -α | F (i) | sign(V (i)); i = 1…3

(3.31)

sign(y) =

−+

011

Al expresarlo en términos de velocidad generalizada,

Para i = 1…2

Para i = 3

Si y > 0Si y < 0Si y = 0

65

V (i) =

)3(

)(

ωix& (3.32)

La constante de amortiguamiento α, controla la fuerza de amortiguamiento. Su valor por omisión es 0.7. Las ventajas del amortiguamiento local son: Solamente se amortigua el movimiento acelerado, por lo tanto, en el movimiento de estado estable no aparecen fuerzas de amortiguamiento erróneas. La constante de amortiguamiento α es adimensional. Debido a que el amortiguamiento es independiente de la frecuencia, las regiones del ensamblaje con periodos naturales diferentes se amortiguan de la misma forma, usando la misma constante de amortiguamiento. La formulación de amortiguamiento local en los códigos de flujo de partículas son similares al amortiguamiento histerético, en el que la pérdida de energía por ciclo de carga es independiente de la tasa a la cual se ejecuta el ciclo. Esta similitud se demuestra en el siguiente análisis. Revisando la Ec. (3.31), es claro que la fuerza de amortiguamiento siempre se opone al movimiento, pero ella se escala para la fuerza resultante generalizada. Se pueden escribir dos formas de la Ec. (3.30), dependiendo de los signos relativos de F (i) y V (i). Cuando tienen el mismo signo, la ecuación es: A (i) = (3.33) Y cuando hay signos opuestos, la ecuación del movimiento es: A (i) = (3.34)

Para i = 1…2Para i = 3

M (i)F (i)(1-α)

M (i)F (i)(1+α)

66

Estas ecuaciones pueden escribirse en términos de masa aparente como: A (i) = F (i) / M+(i) y A (i) = F (i) / M -(i) (3.35) Donde M+(i) = M (i) / (1 – α) y M -(i) = M (i) / (1 + α). En la figura 3.4 se muestra el movimiento de un sistema masa-resorte de un solo grado de libertad, cuando se da un desplazamiento inicial tal que x = a en t = 0. Para tal movimiento, la masa aparente se incrementa en dos veces por cada ciclo cuando la velocidad es cero, y se reduce en dos veces cuando la velocidad es máxima. El amortiguamiento opera removiendo la energía cinética dos veces por ciclo; en el punto pico de velocidad, parte de la masa en movimiento es removida y descartada. Debe anotarse que siempre que la aceleración sea cero en el instante cuando la masa es removida, no hay discontinuidad en la aceleración. La cantidad de energía removida por ciclo está dada por dos veces la caída de la energía cinética en el punto B, o por ∆W(i) = 2 [ ½ (M+(i) + M -(i)) V 2(i)] (3.36) y el promedio de la energía cinética en el instante de remoción es: W(i) = ¼ (M+(i) + M -(i)) V 2(i) (3.37) Donde V(i) es la velocidad dada por la Ec. (3.32). La relación de pérdida de energía por ciclo con la máxima energía almacenada se denomina “pérdida específica” (Kolsky, 1963). Para una oscilación en un modo simple, la energía cinética pico es igual al pico de energía almacenada. Entonces, la pérdida específica puede escribirse como:

67

Figura 3.4. Movimiento de un sistema simple masa-resorte ∆W(i) 4 (M+

(i) - M -(i)) W(i) M+

(i) + M -(i) La fracción de amortiguamiento crítico D puede escribirse en términos de la pérdida específica para valores pequeños de amortiguamiento así:

πα

π=

∆=

4)()( ii WW

D (3.39)

Para partículas en caída libre que se impacten o en el caso en el que las condiciones de borde sean obtenidas con partículas a las que se les define la velocidad, debe eliminarse el amortiguamiento local.

Masa aparente

Remoción

adición

= = 4α (3.38)

68

Amortiguamiento Combinado La formulación de amortiguamiento descrita por la Ec. (3.31) se activa solamente cuando la componente de velocidad cambia de signo. En casos donde hay un movimiento uniforme importante (comparado con la magnitud de las oscilaciones a ser amortiguadas), puede no haber “cruces de cero”, y en consecuencia, no haber disipación de energía. Una formulación alternativa es considerar un movimiento armónico simple, si v = a sin (ω t) (3.40) entonces

)sin(22

2

tadt

vd ωω−= (3.41)

Por lo tanto, dtdF es proporcional a v. Sin embargo, el valor medio de

dtdF es cero aún

cuando el valor medio de v sea diferente de cero, para un sistema oscilando. El esquema alternativo de amortiguamiento combinado consiste en una fuerza amortiguadora compuesta de contribuciones iguales de expresiones que se basan en la velocidad y en la derivada de la fuerza con respecto al tiempo.

−

= )(

2 )()(

)( iiil

i Vsigndt

dFsign

FF

α

Esta forma de amortiguamiento es recomendable cuando hay un movimiento de cuerpo rígido importante de un sistema en junto a un movimiento oscilatorio a ser disipado. Amortiguamiento Viscoso Cuando el amortiguamiento viscoso está activo, se adicionan amortiguadores normales y de corte en cada contacto. Estos amortiguadores actúan en paralelo con el modelo de

(3.42)

69

contacto existente, como se muestra en la figura 3.5. Una fuerza de amortiguamiento D se adiciona a la fuerza de contacto, y sus componentes normal y tangencial son: Dn = cn | Vn | (3.43) Ds = cs | Vs | Donde cn y cs son las constantes de amortiguamiento normal y tangencial, y Vn y Vs son las velocidades de contacto normal y tangencial de la Ec. (3.6), y la fuerza de amortiguamiento actúa en sentido opuesto. Las constantes de amortiguamiento no se especifican directamente; en cambio, se especifican las relaciones de amortiguamiento crítico en las direcciones normal y de corte (βn y βs), y las constantes de amortiguamiento satisfacen: cn = βn cn

crit (3.44) cs = βs cs

crit siendo cn

crit y cscrit las constantes de amortiguamiento crítico, dadas por:

ss

crits

nncritn

mkmc

mkmc

22

22

==

==

ω

ω (3.45)

donde ωn y ωs son las frecuencias naturales del sistema no amortiguado, kn y ks son las rigideces tangentes al contacto, y m es la masa efectiva del sistema. Si el contacto es entre una partícula y un muro, m es la masa de la partícula, mientras que si el contacto es entre dos partículas, m es la masa promedio de ellas. El amortiguamiento viscoso se caracteriza por la relación de amortiguamiento crítico β. Cuando β = 1, se dice que el sistema es críticamente amortiguado, lo que significa que la respuesta decae a cero rápidamente. También β = 1 representa la transición de una respuesta oscilatoria, cuando β < 1, hacia una respuesta que decae exponencialmente

70

cuando β > 1. Cuando β < 1, se dice que el sistema está subamortiguado o ligeramente amortiguado, y cuando β > 1, se dice que el sistema está sobreamortiguado o fuertemente amortiguado. Cuando se emplea amortiguamiento viscoso, el periodo debe reducirse por estabilidad del sistema. Belytschko (1983) desarrolló una ecuación para obtener el periodo crítico con un amortiguamiento proporcional a la rigidez. En los códigos de flujo de partículas, se usa la misma ecuación para evaluar la rigidez aparente k’:

( )221'

λλα

−+=

kk (3.46)

donde k es la rigidez del contacto sin amortiguamiento viscoso, α es el factor de seguridad y λ está dada en la Ec. (3.47).

02 tk

c∆⋅⋅

=λ (3.47)

En esta última ecuación, c es la constante de amortiguamiento crítico y ∆t0 es el periodo sin amortiguamiento viscoso. El periodo reducido con amortiguamiento viscoso se calcula como el mínimo de los periodos críticos calculados para las direcciones normal y de corte, usando la rigidez aparente k’. El nivel de amortiguamiento también se relaciona con el concepto de coeficiente de restitución, el cual se define como la relación de la velocidad del contacto antes y después del impacto, y se calcula de la máxima altura de rebote de una bola.

71

Figura 3.5. Amortiguamiento viscoso activado en un contacto con modelo de contacto lineal

3.2.1.7. Modelos constitutivos de contacto En los códigos de flujo de partículas, el comportamiento constitutivo de un material granular se simula asociando cada contacto entre partículas con un modelo constitutivo de contacto. El modelo constitutivo que actúa en un contacto particular consta de tres partes: un modelo de rigidez, un modelo de deslizamiento, y un modelo de cementación (que se usa por ejemplo para simular rocas o concreto). Los modelos de rigidez proporcionan una relación elástica entre la fuerza de contacto y el desplazamiento relativo entre entidades. El modelo de deslizamiento da una relación entre las fuerzas de contacto normal y tangencial de manera que las dos bolas en contacto pueden deslizarse entre ellas.

Modelos de Rigidez en los contactos Los modelos de rigidez en los contactos relacionan las fuerzas de contacto y los desplazamientos relativos en las direcciones normal y tangencial con las Ec. (3.5) y (3.9). En el programa PFC2D vienen implementados dos modelos de rigidez: El modelo de contacto lineal y el modelo de contacto Hertz-Mindlin.

cn knfµ

ks

cs

Dirección Normal Dirección del Cortante

Bola-Bola Bola-Muro Bola-Bola Bola-Muro

72

Modelo de contacto lineal Este está definido por las rigideces normal kn y tangencial ks de dos entidades en contacto. Las rigideces del contacto, se calculan suponiendo que las rigideces de las dos entidades en contacto actúan en serie. La rigidez secante normal del contacto está dada por:

[ ] [ ]

[ ] [ ]Bn

An

Bn

Ann

kkkkK

+= (3.48)

y la rigidez tangente cortante del contacto está dada por:

[ ] [ ]

[ ] [ ]Bs

As

Bs

Ass

kkkkk

+= (3.49)

en donde los superíndices [A] y [B] indican las dos entidades en contacto. Para el modelo lineal, la rigidez secante normal kn es igual a la rigidez tangente normal:

nn

nn

n

nn K

dUUKd

dUdFk ==≡

)( (3.50)

Modelo de contacto Hertz-Mindlin Este es una formulación no lineal de un contacto estrictamente aplicable al caso de esferas en contacto no cementadas, pero que no puede reproducir la no linealidad en corte. El modelo está definido con dos parámetros: el módulo de corte G [esfuerzo], y la relación de Poisson ν [adimensional] de las dos bolas en contacto. Para una interacción bola-muro, se supone rígido el muro, por lo que se emplean las propiedades de la bola. La rigidez secante normal está dada por:

73

( )nn U

RGK

−=

ν13

~22 (3.51)

y la rigidez tangente de corte por:

( )( )

31

312

||2

~132 ni

s FRG

k

−

−=

νν

(3.52)

donde Un es el traslapo entre esferas, y |Fni| es la magnitud de la fuerza normal del contacto. Los factores de estas ecuaciones son función de la geometría y las propiedades del material de las dos entidades en contacto. Para el contacto bola-bola:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )BA

BA

BA

BA

GGGRRRRR

ννν +=

+=+

=

½

½

2~

(3.53)

para el contacto bola-muro:

[ ]

[ ]

[ ]bola

bola

bola

GGRR

νν =

=

=~

(3.54)

donde: G es el módulo de corte elástico ν es la relación de Poisson R es el radio de la esfera, y los superíndices [A] y [B] indican Las dos esferas en contacto. Para el modelo de Hertz, la rigidez secante normal kn está relacionada con la rigidez tangente normal Kn así:

74

nn

nn K

dUdFk

23

=≡ (3.55)

estando Kn dada en la ecuación (3.51). El modelo de deslizamiento El deslizamiento es una propiedad intrínseca de las dos entidades en contacto. El modelo de deslizamiento proporciona una resistencia no normal en tensión y permite que el deslizamiento ocurra limitando la fuerza de corte. El modelo de deslizamiento está definido por el coeficiente de fricción en el contacto µ [adimensional], donde µ se toma como el mínimo coeficiente de fricción de las dos entidades. El criterio de resistencia no normal se obtiene por la revisión del traslapo dada en la Ec. (3.2). El contacto se chequea para condiciones de deslizamiento, calculando la fuerza cortante de contacto máxima: Fs

max = µ |Fni| (3.56)

Si | Fs

i | > Fsmax, el deslizamiento puede ocurrir (durante el siguiente ciclo de cálculo)

haciendo la magnitud de Fsi igual a Fs

max vía Fs

i ← Fsi (Fs

max / | Fsi |) (3.57)

3.2.2. El Método de los Elementos Discretos Modificado (MDEM)

Para el estudio de las bandas de corte en materiales granulares mediante elementos discretos, Oda e Iwashita (1998) efectuaron una pequeña modificación al método de los

75

elementos discretos propuesto por Cundall en 1971, introduciendo un elemento adicional a cada contacto para que el modelo considere la resistencia a la rotación en los contactos. Se introducen dos definiciones: rotación, que hace referencia al micromecanismo de deformación en los puntos de contacto, y giro, de la partícula con respecto a un eje.

3.2.2.1. Conservación del Momentum Angular Una partícula con un radio R[Φ] está circundada por m contactos. En el iésimo contacto, actúa una fuerza Fi, que puede descomponerse como se indicó en la ecuación (3.4). Si solamente las fuerzas de contacto son consideradas, la ley de conservación del momentum angular para la partícula requiere la siguiente relación:

[ ] ω&IRFm

i

si =Φ

=∑

1 (3.58)

Donde I es el momento de inercia de la partícula y ω& es la aceleración angular. Si se consideran los momentos Mi, la ecuación (3.58) puede rescribirse como:

[ ] ω&IMRF i

m

i

si =+∑

=

Φ

1 (3.59)

Mi se toma positivo actuando sobre la partícula, en sentido contrario de las manecillas del reloj.

3.2.2.2. Cinemática en el contacto: Rotación y Deslizamiento Considerando un ensamblaje bidimensional de partículas, que va a ser deformado de manera incremental bajo una condición de deformación en un plano, durante un periodo de tiempo comprendido entre t y t + ∆t, dos partículas A y B permanecen en contacto.

76

Dos vectores unitarios ni y ni´ son normales a las superficies de contacto C y C´ formando un ángulo dβ como se muestra en la figura 3.6.

(a) (b)

Figura 3.6. Cinemática de un contacto, rotación y deslizamiento:

en el tiempo t; (b) en el tiempo t + ∆t Las dos partículas, primero están en contacto en C y luego del incremento de la deformación están en contacto en C´. Llamando dθA y dθB a las rotaciones incrementales (en radianes) de las dos partículas que toman lugar durante la deformación incremental de t a t + ∆t (siendo positiva la rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj), las longitudes de arco C’C´1 y C’C´2 notadas respectivamente como da y db, pueden expresarse como: da = R[A](dθA - dβ) ; db = R[B](dθB - dβ) (3.60) siendo da y db positivas en sentido contrario a las manecillas del reloj. Sobre las bases de la relación entre da y db, se puede hablar acerca de lo que ocurre en el contacto durante el incremento de la deformación: Si da = -db, entonces, en el contacto ocurrió rotación pura; si da = db, entonces en el contacto hubo deslizamiento puro. La mayoría de contactos caen dentro de una condición intermedia. (Oda, et. al, 1998). Resulta razonable considerar que da y db se componen de un deslizamiento Us y una rotación Ur

(Iwashita, et. al,1995):

77

da = dUr + dUs (3.61 a) db = - dUr + dUs (3.61b) El signo menos (-) para dUr en la ecuación (3.61b), es debido al hecho que la rotación causa la oposición de signos para da y db. Con lo anterior, se pueden expresar el desplazamiento y la rotación como:

2

2dbdadU

dbdadU

s

r

+=

−=

(3.62)

Usando las ecuaciones (3.60) y (3.62), los componentes de rotación y deslizamiento pueden darse en términos de las cantidades medibles dθ y dβ.

3.2.2.3. Modelo constitutivo de los contactos En el DEM convencional, cada contacto es reemplazado por un grupo de juntas sin tensión, amortiguadores, resortes y deslizadores, que responden a la fuerza de contacto actuando sobre ésta. (Fig. 3.7) Las fuerzas de contacto Fi

n y Fis deben ser balaceadas contra la resistencia ejercida por

los resortes y los amortiguadores. Fi

n = knUn + Cn dUn/dt ; Fis = ksUs + Cs dUs/dt (3.63)

Donde kn y ks corresponden a las constantes de rigidez de los resortes normal y de corte, y Cn y Cs son los coeficientes de amortiguamiento viscoso normal y de corte respectivamente.

78

El deslizador de corte inicia su trabajo en el iésimo contacto cuando Fin y Fi

s satisfacen la siguiente desigualdad: | Fi

s| ≥ µ Fin (3.64)

Figura 3.7. Modelo de Contacto en el MDEM Donde µ es el coeficiente de fricción. Si el contacto es puramente cohesivo sin resistencia a la fricción, el lado derecho de la ecuación es constante. En la modificación del método de los elementos discretos de Oda e Iwashita, un grupo adicional compuesto por un resorte elástico, un amortiguador, una junta sin tensión y un deslizador es instalado en cada contacto, el cual responde al momento Mi (Fig. 3.7). Mi

está balanceado mediante dos fuentes de resistencia a la rotación correspondientes al resorte y al amortiguador. Mi = krθr – Cr dθr/dt (3.65) Siendo kr = rigidez a la rotación; Cr = coeficiente de viscosidad. Sustituyendo Mi de (3.65) y Fi

s de (3.63) en la ley de conservación de (3.59), ahora se puede escribir la velocidad angular ω en términos de los desplazamientos de los contactos. En la ecuación (3.65), el segundo término a la derecha se emplea solo con el fin de estabilizar el cálculo numérico.

79

Si se supone que el deslizador para a rotación inicia su trabajo cuando: (Figura 3.8) Mi ≥ η Fin (3.66)

Figura 3.8. Deslizamiento y rotación en un contacto (a) Deslizamiento, (b) Rotación

Donde η es el coeficiente de fricción de la rotación, denominado así por Sakaguchi et. al (1993). De forma alternativa se puede suponer, en lugar de (3.66): Mi ≥ Mmax (3.67)

Fuerza Cortante, T

ks

Desplazamiento de corte, Us

µN

(a)

Momento, M

kr

Rotación relativa, θr

µN

(b)

80

Donde Mmax es un valor inicial independiente de la fuerza normal. Para efectos de modelación, en el estudio de Iwashita y Oda (1998), se aclara que la rigidez de rotación no tiene una correlación con un valor físico real, de manera que kr se determina como una función de ks. kr = ksr2 (3.68) Partiendo de que si se observan dos partículas en equilibrio con un contacto común, que experimentaron unos desplazamientos elásticos dUs y dUr , entonces el desplazamiento cortante produce un momento de ks dUs r a las partículas relacionadas, mientras que el desplazamiento de rotación produce un momento igual a kr dUr / r. Suponiendo que ambos momentos son del mismo orden de magnitud bajo la condición de que dUs ≈ dUr, se llega a la expresión (3.68). En el presente trabajo inicialmente se pensó implementar el modelo de contacto del MDEM dentro del PFC2D para realizar simulaciones de ensayos biaxiales, pero esa fase no pudo completarse por lo que se deja abierta la alternativa para posteriores trabajos.

3.2.3. Método de la Dinámica de Contactos (DC) Este método24 se desarrolló con el objeto de estudiar las interacciones mecánicas de un gran número de partículas. Se basa en el análisis de colisiones entre las partículas usando leyes de conservación, interacciones de la fricción en los contactos (modelo constitutivo de contactos) y relaciones fenomenológicas de las velocidades antes y después del choque. En éste método, la fuerza normal de contacto (de compresión) corresponde a la repulsión entre las partículas, que es necesaria para prevenir la interpenetración entre ellas.

24 La Dinámica de Contactos fue propuesta originalmente por J.J. Moreau e implementado como algoritmo para estudiar la dinámica de rotaciones y fricción colectiva en sistemas granulares por Frank Radjaï en su tesis de doctorado en 1995.

81

Para tratar las ecuaciones del método DC se empleará una notación ligeramente distinta a la empleada en el DEM y el MDEM. Dentro de un marco de referencia local, se emplearán los vectores ijt y ijn que son

ortonormales y representan las componentes tangencial y normal de la superficie de contacto. Estos vectores se asocian a la partícula i, y permiten describir las fuerzas aplicadas por la partícula j a la partícula i; así, Tij ijt es la fuerza cortante ejercida por la

partícula j sobre la partícula i, y análogamente Nij ijn es la correspondiente fuerza normal

de ejercida por j sobre i.

3.2.3.1. Velocidad relativa entre partículas vecinas La velocidad Ui del punto material Pi ubicado en el perímetro del disco i se expresa como: ijiiijiijijiiiii trtVnnVrVU ˆ)ˆ(ˆˆ ωω +⋅+⋅=×+= (3.69)

Donde Vi es la velocidad del centro de masa de la partícula i, ωi es su velocidad angular y ri es el vector de posición relativo del punto Pi con respecto al centro de masa de la partícula i (Oi), cuya magnitud es igual al radio de la partícula. Observando el choque de dos discos i y j, se puede calcular el cambio de la velocidad para cada partícula como consecuencia de la colisión. Esto puede expresarse como:

[ ][ ] jijjjjijjjijijjjjj

ijiiiijiiijijiiiii

trtVVnnVVUUU

trtVVnnVVUUU

ˆ)(ˆ)(ˆˆ)(

ˆ)(ˆ)(ˆˆ)(−+−+−+−+

−+−+−+−+

−+⋅−+⋅−=−=∆

−+⋅−+⋅−=−=∆

ωω

ωω (3.70)

los superíndices ‘-‘ y ‘+’ indican las velocidades inmediatamente antes y después del choque. De estas ecuaciones, puede calcularse la variación de la velocidad relativa ∆Uij entre los puntos materiales Pi y Pj que resultan de la colisión de los dos discos:

82

jijjii

jijiijijij

UUUUUU

UUUUUUU

∆−∆=−−−=

−−−=∆−∆=∆−+−+

−−−+−+

)()(

)()( (3.71)

De ésta ecuación se calculan los componentes de ∆Uij en las coordenadas locales ( ijt , ijn ):

ij

tijij

nijij tUnUU ˆˆ ∆+∆=∆ (3.72)

siendo: ijji

nij nVVU ˆ)( ⋅∆−∆=∆ (3.73)

)(ˆ)( jjiiijjitij rrtVVU ωω ∆+∆+⋅∆−∆=∆ (3.74)

donde ∆Vi = Vi+ - Vi- , ∆Vj = Vj+ - Vj- , ∆ωi = ωi+ - ωi-, y ∆ωj = ωj+ - ωj-

3.2.3.2. Leyes de conservación En la DC se emplea la conservación del momentum para obtener las ecuaciones que relacionan las fuerzas de contacto y las velocidades relativas entre partículas en los puntos de contacto. Considerando un medio granular deformándose a gran escala, el movimiento de las partículas resultado de esa deformación del medio (variación de la velocidad de cada partícula), es una función de los impulsos de las fuerzas ejercidas sobre cada partícula (figura 3.9). La fuerza total que actúa sobre la partícula i está dada por: [ ] v

ik

ikikikiki ftTnNF ++= ∑ ˆˆ (3.75)

donde k representa el índice de las partículas susceptibles de estar en contacto con el disco i, y fiv es la fuerza volumétrica total que actúa sobre la partícula i (como su peso).

83

Con esta interpretación se supone que las fuerzas de contacto dan los esfuerzos entre las diferentes partes del sistema, y que los esfuerzos externos están dados por las fuerzas volumétricas o de contorno. En un intervalo de tiempo pequeño ∆τ , en el que las partículas del sistema pueden interactuar o chocar, se puede establecer el cambio en el momentum como la integral de las fuerzas volumétricas y de contacto actuando sobre una partícula, mediante integración

Figura 3.9. Fuerzas de contacto ejercidas por las partículas de un sistema25 de la segunda ley de Newton para la partícula i en el intervalo ∆τ : [ ] [ ] v

ik

ikikikikiiiiii PtSnRVmVVmdtF ++=∆=−= ∑∫∆

−+ ˆˆτ

(3.76)

25 Figura tomada de Taboada et al., Behaviour law of frictional granular materials from biaxial numerical test using contact dinamics simulations. (DRAFT – June 20, 2003)

84

dtfP

dttTtS

dtnNnR

vi

vi

ikikikik

ikikikik

∫

∫

∫

∆

∆

∆

=

=

=

τ

τ

τ

ˆˆ

ˆˆ

Por su parte, el cambio en la velocidad angular del disco i puede calcularse al relacionar el momentum angular y el torque. En coordenadas locales con origen en el centro de masa de la partícula i (Oi), y con un vector de posición rik relativo a Oi se tiene que el torque ejercido sobre la partícula i es: ∑ ×=Γ

kikikiki tTr ˆ (3.77)

Puede verse que sólo las fuerzas cortantes aplican torque alrededor del centro de masa, siempre que sean perpendiculares al vector de posición rik. El torque puede relacionarse con la variación de la velocidad angular en 2D, lo que implica: [ ] ∑∫ =∆⇒∆=−=Γ

∆

−+

kikiiiiiiiii SrwIIIdt ωωω

τ

(3.78)

donde Ii es el momento de inercia del disco i alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, y Ii∆wi es la variación del espín momento angular del disco i. Reemplazando la ecuación (3.76) en la ecuación (3.73) se obtiene:

[ ] [ ] ijil

vjjljljljl

jij

jk

viikikikik

inij

ijnij nPtSnR

mnPtSnR

mmR

U ˆˆˆ1

ˆˆˆ1

)()(⋅

++−⋅

+++=∆ ∑∑

≠≠

(3.79)

donde ji

nij mmm

111+=

Nótese que las sumas sobre los índices k y l no incluyen los contactos entre las partículas i y j. La expresión (3.79) permite calcular el impulso Rij normal al contacto:

85

n

ijnij

nijij KUmR +∆= (3.80)

con

[ ] [ ] ijil

vjjljljljl

j

nij

ijjk

viikikikik

i

nijn

ij nPtSnRmm

nPtSnRmm

K ˆˆˆˆˆˆ)()(

⋅

+++⋅

++−= ∑∑

≠≠

(3.81)

Con un procedimiento análogo se puede obtener la componente tangencial de la velocidad relativa en términos de impulso:

[ ] [ ]

∑∑

∑∑

≠≠

≠≠

++

⋅

++−⋅

+++=∆

)(

2

)(

2

)()(

ˆˆˆ1ˆˆˆ

1

iljl

j

j

jkik

i

i

ijil

vjjljljljl

jij

jk

viikikikik

itij

ijtij

SIr

SIr

tPtSnRm

tPtSnRmm

SU

(3.82) Ésta expresión permite calcular el impulso Sij en la dirección ijt :

t

ijtij

tijij KUmS +∆= (3.83)

con:

[ ] [ ]

∑∑

∑∑

≠≠

≠≠

−−

⋅

++−⋅

++−=

)(

2

)(

2

)()(

ˆˆˆˆˆˆ

iljl

j

j

jkik

i

i

ijil

vjjljljljl

j

nij

ijjk

viikikikik

i

tijt

ij

SIr

SIr

tPtSnRmm

tPtSnRmm

K

(3.84)

3.2.3.3. Colisiones y coeficientes de restitución Para solucionar las ecuaciones anteriores es necesario tener una restricción adicional que relacione las velocidades antes y después del choque. El método DC usa la siguiente relación fenomenológica:

86

−+−−++ −=⇒−−=− n

ijnnij

nj

nin

nj

ni UUUUUU ρρ )( (3.85)

donde ρn es el coeficiente de restitución normal de Newton, y los superíndices ‘n- ‘ e ‘ n+‘ indican la componente normal de la velocidad antes y después del choque. El coeficiente de restitución está definido como la relación entre las velocidades relativas normales antes y después del impacto, y varía entre 0 y 1, correspondiendo ρn = 0 a una colisión inelástica y ρn = 1 a una colisión perfectamente elástica. De manera análoga se define el coeficiente de restitución tangencial. El aspecto principal de la dinámica de contactos es el reconocimiento de que la ganancia y pérdida de contactos durante la evolución del sistema (ensamblaje de partículas) se debe sólo a colisiones de partículas. Colisión en la dirección normal ijn

Éste concepto hace referencia a dos partículas cualquiera que ejercen fuerzas normales de contacto entre sí, sea o no que estén colisionando dinámicamente. Pueden distinguirse dos situaciones: Colisión dinámica en la dirección normal, en escalas de tiempo inferiores al tiempo de evolución característico del sistema. En esta situación, las partículas se acercan en dirección normal antes de la colisión (Uij

n- < 0), y luego de ella, debe cumplirse que Uij

n+ 0 para prevenir la interpenetración entre partículas. El choque ocurre cuando: Uij

n+ + ρnUijn- = 0 (3.86)

Se observa que el tratamiento de este tipo de colisión en su carácter instantáneo, puede producir discontinuidades en el campo de velocidad de las partículas individuales y una propagación instantánea del impulso en el sistema. Las partículas en contacto pueden chocar o no en la dirección normal, dependiendo de sus velocidades relativas en el punto de contacto.

87

Partículas que están en contacto persistente26 durante un intervalo de tiempo finito τ, y desde que entre ellas puedan transmitirse impulso, puede hablarse de choque. Los contactos persistentes pueden desaparecer durante varias colisiones sucesivas. Esto puede expresarse en términos de las velocidades relativas normales al principio y al final de un intervalo de tiempo ∆τ : Uijn- = 0 y Uijn+ > 0 . (El campo de velocidad normal es discontinuo en el intervalo ∆τ ). Cuando un contacto persistente se pierde (las partículas se separan) a consecuencia de colisiones múltiples, n

ijU > 0. nijU Corresponde a la velocidad normal relativa formal

(VNRF): )( −+ += n

ijnnij

nij

nij UUmU ρ (3.87)

La condición de Signorini relaciona la VNRF con el impulso de la fuerza normal de contacto, y define los posibles valores para n

ijU y Rij mediante las siguientes

desigualdades: n

ijU 0

Rij 0 (3.88) n

ijU Rij = 0

Si la VNRF es positiva, el impulso normal no existe; y si VNRF es cero, quiere decir que las partículas chocaron en la dirección normal y el impulso normal puede tomar un valor no negativo. Colisión en la dirección tangencial ijt :

26 Un contacto persistente es aquel cuya duración de vida es mayor al tiempo de observación característico, y que implica una fuerza “persistente” entre dos partículas en contacto. Por el contrario, un contacto colisional tiene una duración muy pequeña e implica rápido intercambio de impulso entre las dos partículas.

88

La velocidad relativa tangencial en el punto de contacto determina la magnitud y dirección de las fuerzas de fricción y los impulsos ejercidos en el contacto. Puede suponerse que la fuerza de fricción Tij se opone directamente a la velocidad relativa instantánea Uij

t . Considerando una fricción seca, puede verse que si 0≠t

ijU , las partículas se deslizan en

el contacto y ijij NT µ= , donde µ es el coeficiente de fricción; si Uijt = 0, el contacto es no

deslizante y ijij NT µ≤ .

En la colisión en la dirección tangencial se cumple que: 0=+ −+ t

ijttij UU ρ (3.89)

Siendo ρt el coeficiente de restitución tangencial definido como:

−

+−= t

ij

tij

t UU

ρ (3.90)

Estas dos ecuaciones anteriores implican que la velocidad tangencial relativa tiene dirección opuesta antes y después del choque. Puede establecerse que la condición predominante de un contacto es cercana al no-deslizamiento, por lo que el choque en la dirección tangencial, tal como se ha formulado, asocia el coeficiente de restitución tangencial a una interacción de corte no deslizante en el contacto. Análogo a la VRNF, se define una velocidad tangencial relativa formal (VTRF): )( −+ += t

ijttij

tij

tij UUmU ρ (3.91)

Si el contacto tiene un estatus no deslizante, se puede suponer que 0=tijU .

En un evento de colisión en el que las partículas no se deslizan y tienen un contacto persistente, ellas rotan sin deslizarse y la fuerza de corte en el contacto es inferior a la máxima resistencia a la fricción del contacto. Este comportamiento satisface la ecuación (3.91).

89

La condición sin deslizamiento en los contactos persistentes, puede perderse durante múltiples condiciones sucesivas. Este evento puede expresarse en términos de velocidades relativas tangenciales al principio y al final de un intervalo de tiempo ∆τ : Uijt- = 0, Uijt+ ≠ 0, y += t

ijtij

tij UmU (el campo de velocidad tangencial es discontinuo en ∆τ). Sólo

cuando la fuerza de fricción alcance su valor máximo, las partículas se deslizarán. En esta situación, la VTRF se orientará en la misma dirección que Uijt+. La relación entre el impulso asociado al corte y la VTRF puede resumirse en las siguientes desigualdades:

[ ]

ijijtij

ijijtij

ijijijtij

RSU

RSU

RRSU

µ

µ

µµ

=⇒<

−=⇒>

−∈⇒=

0

0

,0

(3.92)

Si 0=tijU no hay deslizamiento en las partículas en el punto de contacto, y el impulso

resultante de las fuerzas de fricción puede tomar cualquier valor. Las partículas pueden rotar sin deslizarse ni disipar energía por fricción. En caso contrario, no se considera rigurosamente una colisión tangencial aunque existan interacciones friccionales. Este principio es equivalente a la ley de fricción de Coulomb en la que la fuerza cortante es proporcional a la fuerza normal y el coeficiente de fricción [ ]ijijij NNT µµ ,−∈ .

3.2.3.4. Solución de las ecuaciones de movimiento Para resolver las ecuaciones de movimiento del ensamblaje de partículas deben reemplazarse las velocidades relativas de las partículas en términos de velocidades relativas formales y coeficientes de restitución, para obtener los impulsos y a partir de los impulsos obtener las fuerzas de contacto entre las partículas. Llamando Np al número de partículas y Nc al número de contactos, la solución del sistema en 2D en cualquier tiempo τ consiste en calcular los impulsos que actúan sobre las

90

partículas en el intervalo ∆τ, y las velocidades en el tiempo τ + ∆τ. Éstas variables se calculan a partir de las posiciones y velocidades iniciales en el tiempo τ: En la dirección normal, la velocidad relativa está dada por:

−−+ +−=−=∆ nijnn

ij

nijn

ijnij

nij U

mU

UUU )1( ρ (3.93)

Reemplazando en la ecuación (3.80) resulta [ ]−+−+= n

ijnnij

nij

nijij UmKUR )1( ρ (3.94)

Análogamente para la dirección tangencial, la velocidad relativa es:

−−+ +−=−=∆ tijtt

ij

tijt

ijtij

tij U

mU

UUU )1( ρ (3.95)

Al reemplazar en la ecuación (3.83) se obtiene que: [ ]−+−+= t

ijttij

tij

tijij UmKUS )1( ρ (3.96)

El número total de incógnitas del sistema de ecuaciones es 3Np + 2Nc, pues cada partícula tiene 2 componentes de velocidad traslacional y una velocidad angular, y cada contacto, 2 componentes de fuerza (normal y tangencial). El número de ecuaciones es igualmente 3Np + 2Nc: cada contacto tiene dos gráficos de Signorini y cada partícula satisface 3 ecuaciones dinámicas (en forma integral). El algoritmo del programa usa una solución implícita iterativa que comienza con una distribución arbitraria de los impulsos, la cual corresponde a sus valores en el intervalo de tiempo anterior. Para cada contacto ij se calculan las ecuaciones (3.94) y (3.96). La intersección entre la ecuación lineal y el gráfico de Signorini (figura 3.10) da un conjunto de valores nuevos de impulso, el cual puede ser comparado con los valores anteriores. Este proceso es iterativo hasta que se satisface el criterio de convergencia ( ε<− ijij RR ' ,

donde ε << 1). Cuando los impulsos y las velocidades formales se conocen, se pueden

91

calcular las fuerzas principales de contacto que actúan sobre cada partícula en el intervalo ∆τ:

τ

τ

∆≅

∆≅

ijij

ijij

ST

RN (3.97)

Las posiciones y velocidades al final de ∆τ se obtienen de la definición de velocidades relativas formales o del impulso total que actúa sobre cada partícula.

Figura 3.10. (a) Gráfico de Signorini para la VRNF y la recta que representa la ecuación de la dinámica siguiendo el eje de colisión entre las partículas i y j ; (b) Gráfico de Coulomb para

la VRTF y la recta que representa la ecuación de la dinámica en el plano de contacto27

27 Tomado de Radjai, THESE pour obtenir le Grade de Docteur en Sciences de L’Universite Paris XI Orsay. Dec. 1995.

92

3.2.3. El Método de la Dinámica Molecular (MD)

Este método es similar al DEM en cuanto a que permite interpenetración de partículas, siendo ésta última proporcional a la magnitud de la fuerza normal de contacto. Adicionalmente, emplea un enmallado en el espacio para generar partículas convexas, conocido como teselación de Voronoi. De esta forma, las muestras granulares se componen de polígonos generados aleatoriamente, que entre otras cuentan con las siguientes propiedades: Isotropía en la distribución de la orientación de los bordes de las partículas (aquí una partícula corresponde a cada polígono) La distribución de las áreas de los polígonos son simétricas alrededor del valor medio l2

La distribución probabilística de las áreas sigue aproximadamente una distribución normal.

3.2.4.1. Generación de la muestra En principio se generan los polígonos convexos haciendo un enmallado donde cada celda es cuadrada de lado l, en cada celda se toma aleatoriamente un punto, y luego, cada

polígono se construye generando planos perpendiculares a pares de puntos cercanos (figura 3.11)28. En este momento, la muestra tiene una relación de vacíos nula (e = 0). Posteriormente, se separan las partículas para obtener configuraciones densas o sueltas.

28 Alonso-Marroquín et al., Micromechanical aspects of soil plasticity: An Investigation using a discrete model of polygonal particles (DRAFT, june 22 2004)

93

Figura 3.11. Obtención de partículas poligonales mediante la teselación de Voronoi

3.2.4.2. Fuerzas de contacto Al igual que en el DEM, la fuerza de contacto se describe en términos de sus componentes normal y de corte (f c = f n + f t ). Pero adicionalmente se establecen una parte elástica y una parte viscosa que permite obtener una solución estable. Como los polígonos no son simétricos, aunque no exista fuerza de fricción en el contacto, las partículas pueden transmitir momento. Para manejar la geometría de las partículas, se establece una superficie de contacto entre los puntos C1 y C2; los vectores normal y tangencial al contacto; y el vector brazo l, que conecta el centro de masa del polígono con

el centro de masa del área de traslapo que define el contacto, y cuya magnitud se hace igual a la longitud característica del par de polígonos, l = 21CCCLc ==

v (figura 3.12).

Así, el torque en el contacto de dos polígonos se calcula como τ = l x f (siendo todas las

cantidades vectoriales). El área de traslapo A y la longitud característica del par de polígonos Lc definen la componente elástica de la fuerza de contacto, junto con la rigidez normal del contacto (kn) : fn

e = -kn A / Lc (3.98)

94

Figura 3.12. Definición de la geometría del contacto entre dos polígonos

(Alonso-Marroquín et al., 2002) y la componente tangencial elástica, corresponde al producto de la rigidez tangencial y el desplazamiento elástico de corte: ft

e = -kt ∆xte (3.99)

El desplazamiento elástico tangencial se calcula como:

')()'(0

dtfftvx et

en

tct

et −Θ=∆ ∫ µ (3.100)

Siendo Θ una función periódica de ponderación y vtc la componente tangencial de la

velocidad en el contacto: jjiiji

c vvv lrr

lrrrrr ×+×−−= ωω (3.101)

Aquí, ivr es la velocidad lineal y iω

r es la velocidad angular de las partículas en contacto.

La componente viscosa de la fuerza de contacto por su parte, se obtiene de: )ˆˆ( cc

ttcc

nnv tvnvmf γγ +−=r

(3.102)

Donde m es la masa efectiva de los polígonos en contacto m = (1/mi + 1/mj)-1, cn y ct son los vectores unitarios normal y tangencial, y γn y γt son los coeficientes de viscosidad.

95

3.2.4.3. Cálculo del movimiento Las ecuaciones de movimiento que gobiernan la posición ix

r y la orientación ϕi del

polígono i son:

mi

m

mi

b

bi

bi

ci

c

ciii

m

mi

b

bi

c

ciii

fffI

fffxmr

lrr

lrr

lr

&&

rvr&&r

×+×+×=

++=

∑∑∑

∑∑∑ϕ

(3.103)

Los superíndices ‘c’, ‘b’ y ‘m’ indican respectivamente, que las componentes corresponden al contacto, a un borde rígido o a una membrana; Ii y mi son la inercia y la masa del polígono i. La simulación establece unos tiempos característicos, unos parámetros de control que logran una respuesta cuasi estática, y unos parámetros del material, que determinan la respuesta constitutiva del sistema: Tiempos característicos: Línea de carga: t0 Tiempos de relajación: tn = 1/γn , tt = 1/γt , tb = 1/γb Periodo de oscilación del

Contacto normal: 2lρn

skt =

Parámetros de control (adimensionales): α1 = tn/ts ; α2 = tt/ts ; α3 = tb/ts ; α4 = t0/ts Parámetros del material: Relación de rigideces: ζ = kt/kn Coeficiente de fricción: µ

96

Relación confinamiento/rigidez: p0/kn

3.2.4.4. Condiciones de contorno Para cargar la muestra, se utilizan tanto bordes flexibles (membranas) como muros rígidos. Para el primer caso, a partir de los contactos se obtienen las partículas externas y de cada una de ellas se ubica el segmento exterior T

v al que se le aplica una fuerza de

contorno, expresada en coordenadas cartesianas (globales) como: iib

m vmxxxxf rrγσσ −∆+∆−= 313131 ˆˆ (3.104)

Los segmentos de membrana se dividen en dos grupos: tipo A, que coinciden con el contorno y tipo B, que conectan los vértices de dos polígonos de borde. Si el segmento es tipo A, la fuerza se aplica en su punto medio; si es tipo B, la mitad de la fuerza se aplica a cada uno de los vértices conectados con ese segmento. Si se trata de cargar con un muro, la interacción de polígonos y muros se modela con una fuerza viscoelástica, permitiendo la penetración de los polígonos al muro. Para cada vértice del polígono α dentro del muro, la fuerza es: b

ibnb vmnkf rrr

γδ −−= (3.105)

Donde δ es la longitud de penetración del vértice, nr es el vector unitario normal al muro, m es la masa del polígono, y bvr es la velocidad relativa del vértice con respecto al muro.

1.5. 3.3. SIMULACIÓN DE ENSAYOS BIAXIALES

En varios de los métodos de elementos discretos antes expuestos, se han desarrollado simulaciones de ensayos biaxiales con las cuales se ha obtenido información acerca de las bandas de corte en varios casos, pero con ciertas limitaciones derivadas del método

97

de elementos discretos empleado. A continuación se describen brevemente algunas características y resultados de las simulaciones biaxiales documentadas.

3.3.1. Biaxiales con DEM En el DEM, Bardet y Proubet (1992) desarrollaron simulaciones biaxiales con el algoritmo ADR29 para estudiar la estructura de las bandas de corte, con lo que encontraron que al parecer las microrrotaciones de las partículas se debían a macrorrotaciones.

Figura 3.13. Izquierda: muestra consolidada a 200KPa;

Derecha: detalle de la muestra con muro flexible (Fuente: Evans, 2002)

Por su parte, con el PFC2D, T. Matthew Evans (2002)30 desarrolló un estudio paramétrico con el que observó el efecto macro que tiene la rigidez de corte en los contactos respecto al comportamiento en una prueba biaxial, con lo que obtuvo que a mayor rigidez de corte

29 Adaptive Dinamics Relaxation for statics in granular materials 30 http://www.prism.gatech.edu/~gte964w/index_files/project.html

98

en el contacto, el comportamiento esfuerzo-deformación del ensamblaje granular se parece más al de una arena densa sometida a una prueba biaxial. Limitaciones: Aunque Evans desarrolló un algoritmo para bordes flexibles (figura 3.13), nunca obtuvo banda de corte. De acuerdo con el reporte de investigación, el ensamblaje granular fue creado dentro de cuatro paredes de confinamiento rígidas y obtenidos unos esfuerzos iniciales. Posteriormente, creadas detrás de los muros laterales columnas de partículas de igual tamaño, restringidas en su rotación y desplazamiento de manera que se pudiera conservar un confinamiento constate. El esfuerzo desviador era aplicado comprimiendo la muestra mediante el desplazamiento de los muros verticales. Como comentario final acerca de esta serie de modelos, cabe anotar que con este tipo de muro flexible, las condiciones de borde distan de las condiciones de un ensayo real con membrana.

3.3.2. Biaxiales con MDEM En varias publicaciones entre 1998 y 2000, Oda, Kazama e Iwashita presentaron resultados de simulaciones biaxiales muy correlacionadas con ensayos experimentales sobre arenas de Ticino y Toyoura. En las simulaciones lograron reproducir la banda de corte solo usando un modelo de contacto modificado que incluye amortiguamiento, fricción y componente elástico en el grado de libertad relacionado con la rotación de las partículas. Limitaciones: Del trabajo experimental con arenas reales, Oda et al. (1998) concluyeron que el mecanismo de microdeformación de los suelos granulares reales en bandas de corte sigue el patrón mostrado en la figura 3.14: formación inicial de columnas y posterior deformación de ellas. En las simulaciones, lograron reproducir éste patrón (sólo con resistencia al giro), aunque la banda de corte “rebotó” en el muro inferior y la muestra no

99

se dividió en dos partes, impidiendo el cálculos de esfuerzos normal y tangencial en los planos paralelos a la banda de corte. (figura 3.15).

Figura 3.14. Mecanismo de deformación dilatante en una

Banda de corte por la combinación de flexión y rotación de columnas (Fuente: Oda y Kazama, 1998)

Figura 3.15. Bandas de corte con el modelo MDEM (Ibid)

100

Figura 3.16. Rotaciones de las partículas en las bandas de corte (Ibid)

3.3.3. Biaxiales con DC Taboada et al. (2003), desarrollaron una serie de ensayos biaxiales sobre ensamblajes granulares 2D con distribución aleatoria densa de partículas con radios entre 0.5m y 2m y 8 partículas de 10m. La posición inicial de las partículas se obtuvo seleccionando aleatoriamente su radio en un intervalo lineal y con una función de energía potencial que siempre busca que la nueva partícula tenga 4 contactos. La textura de las muestras corresponde a un paquete denso y desordenado con un número de coordinación medio de 4. Las muestras se generaron con una relación de esbeltez h/w = 2.5. El procedimiento de ensayo consiste en compactar la muestra con un esfuerzo isotrópico a través de los muros horizontales (rígidos) y laterales (flexibles), o con todos los muros rígidos y luego aplicar un esfuerzo desviador mediante compresión axial de la muestra. Los muros laterales flexibles corresponden a las partículas laterales externas, a las cuales se les aplicó fuerza en su centro de masa directamente. Limitaciones: Aunque el documento consultado es un borrador que aún no tenía conclusiones ni la información de las simulaciones correspondientes, con el gráfico que fue suministrado

101

posteriormente (figura 3.17), se puede apreciar el “abarrilamiento” de la muestra y el patrón de falla en más de una banda de corte (bandas de corte conjugadas).

Figura 3.17. Resultados de una simulación biaxial DC con un ensamblaje granular de fricción baja

(Cortesía de A. Taboada, 2003)

3.3.4. Biaxiales con DM En las simulaciones desarrolladas por Alonso-Marroquín, la presión de confinamiento es aplicada a través de un borde flexible definido por los bordes de las partículas laterales externas de la muestra. La fuerza actúa perpendicular al borde de los polígonos. La compresión axial se obtiene por carga vertical a velocidad constante de los muros superior e inferior. Limitaciones: En el artículo de Alonso-Marroquín et al. (2004), se menciona que el procedimiento de borde flexible “aún no trabaja bien, porque la fuerza actuará sobre los fiordos del contorno. Esto produce un incremento incontrolable de las grietas durante la carga y

102

termina destruyendo la muestra”. Logra la banda de corte, introduce un amortiguamiento en los contactos y la porosidad es muy pequeña.

Figura 3.18. Apariencia de una muestra luego de una simulación biaxial DM

(Fuente: Alonso-Marroquín et al., 2004)

3.4. INTERPRETACIÓN “MACRO” DE

INFORMACIÓN MICROMECÁNICA Para comparar las simulaciones con teorías constitutivas, se necesita aplicar una técnica de homogenización, que permite derivar cantidades macromecánicas de variables micromecánicas. Con algunas técnicas se obtiene el esfuerzo y con otras la deformación en términos de fuerzas de contacto y deformaciones en los granos; pero, existe aún la discusión de la definición micromecánica del tensor de deformaciones y los diferentes métodos de promediar valores llevan a tensores de esfuerzos simétricos o antisimétricos. Debido a que las teorías constitutivas que incluyen localización preferiblemente deben situarse en el marco conceptual de un continuo micropolar, como se mencionó en el capítulo 2, se presenta de manera resumida el marco teórico para la estática y la cinemática de materiales granulares tipo Cosserat y las expresiones para el esfuerzo de

103

par, el tensor de esfuerzos de Cauchy, y los tensores gradiente de rotación y deformación de Cosserat derivadas de ecuaciones de compatibilidad y equilibrio en el método de homogenización propuesto por Kruyt (2003).

3.4.1. Homogenización La geometría de un ensamblaje granular normalmente no es homogénea geométricamente lo que también genera inhomogeneidad mecánica. Además, a nivel de partículas, las concentraciones de esfuerzo ocurren cerca de los puntos de contacto, como se puede apreciar en la figura 3.19, donde se muestra un campo de esfuerzos τij dentro de una partícula con radio R sometida a dos fuerzas verticales de compresión colocadas diametralmente. Es claro que la escala de longitud asociada con la variación de esfuerzos dentro de la partícula es menor que su radio. Los experimentos con materiales fotoelásticos muestran también que los esfuerzos promedio de las partículas son muy inhomogéneos, manifestándose en la formación de cadenas de fuerza. Para interpretar lo que le ocurre a un ensamblaje granular como un medio continuo, el comportamiento mecánico del continuo homogenizado debe ser equivalente al del ensamblaje granular, como se muestra esquemáticamente en la figura 3.20. A partir de condiciones de compatibilidad, y dentro de un marco conceptual de la estática y la cinemática de los medios discretos, ampliamente discutida antes, se pueden obtener cantidades tensoriales aplicadas al medio continuo a partir de la ponderación de las respuestas del medio discreto.

104

Figura 3.19. Campo de esfuerzos vertical adimensional dentro de un disco

22τ es el esfuerzo vertical promedio dentro del disco (Fuente: Kruyt, 2003)

Figura 3.20. Ensamblaje discreto y continuo homogenizado: la escala de grises Indica el nivel de esfuerzo (Ibid)

105

3.4.2. Marco micromecánico para la cinemática y la estática

A continuación se incluyen de manera tabulada las expresiones que tienen que ver con la cinemática y la estática de ensamblajes granulares, discutida ampliamente por Kruyt (Ibid).

Tabla 3.1. Ecuaciones de la estática de un medio particulado

DESCRIPCIÓN ECUACIONES EXPLICACIÓN DE LA NOTACIÓN

Fuerza cif

Par cκ

Ecuaciones de equilibrio para las partículas 0

0

=+

=

∑∑∑

pqjq

pqiijq

pq

qpqj

fCe

f

κ

Superíndice “pq” = entre las partículas p y q; eij = permutación 2D; Ci pq = vector de posición del contacto pq

Esfuerzo ∑ ∈=

Cccj

ciAij fl1σ

Esfuerzo de par ∑ ∈=

Cccc

iAi l κµ 1

Trabajo virtual

ciCc

ci

ciCc

cif

** Ω+∆ ∑∑ ∈∈κ

∑ ∑∈ ∈+=

B Bii Ufβ βββββ ωκ **

Superíndice “*” = “virtual”; β*iU = Desplazamiento virtual

en el contorno

Cinemática uniforme kx

ck

cki

ck

ci

ll

∂∂=Ω

=∆ω

ε

Vector de brazo (Branch vector)

cil

Vector que conecta los centros de las partículas p y q

Geometría ∑ ∈=

Cccj

ciAij hlI 1 Tensor identidad en 2D

106

Tabla 3.2. Ecuaciones de la cinemática de un medio particulado

DESCRIPCIÓN ECUACIONES

Desplazamiento relativo ci∆

Rotación relativa cΩ Ecuaciones de compatibilidad para polígonos

0

0

=Ω

=Ω+∆

∑∑ ∑

qRS

S SRSRS

jijRSi Ce

Deformación ∑ ∈∆=

Cccj

ciAij h1ε

Gradiente de rotación ∑ ∈∂∂ Ω=

Cccc

jAx hj

1ω

Trabajo virtual complementario

∑∑ ∈∈Ω+∆

Ccci

ciCc

ci

ci f

** κ ∑ ∑∈ ∈+=

B Bii fUβ β

ββββ κω **

Estática uniforme k

ck

cki

ck

ci

hhfµκ

σ

=

=

Vector de polígono cih

Geometría ∑ ∈=

Cccj

ciAij hlI 1

107

CAPÍTULO 4

MODELO DEM DE ENSAYO BIAXIAL PARA UN MATERIAL GRANULAR NO CEMENTADO

En el capítulo anterior se describieron con cierto grado de detalle las bases teóricas mediante las cuales se han desarrollado programas para simulación micromecánica tales como la dinámica de contactos, la dinámica molecular, y el PFC2D que es la evolución del modelo inicial desarrollado por Cundall, basado en el método de los elementos discretos. El planteamiento de un modelo utilizando DEM, tiene en cuenta que éste método a diferencia de los otros métodos mencionados permite el uso de diferentes modelos constitutivos de contacto, e incluso la implementación de ellos dentro de su código.

4.1. DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROGRAMA PFC2D

El programa PFC2D es un software comercial desarrollado por ITASCA, compatible con PC, programado en lenguaje C++, y que ha sido usado principalmente para aplicaciones que tienen que ver con la simulación del comportamiento de materiales granulares cementados como rocas o concreto, pero que también puede ser usado para simular materiales no cementados, e incluso interacciones con fluido. Como programa, resuelve la interacción de las partículas entre sí y entre contornos rígidos (muros) con las partículas siempre a través de sus contactos, siguiendo el procedimiento matemático explicado en el capítulo 3. Una característica del modelo micromecánico empleado es que permite modificar el modelo de contacto entre

108

partículas, e incluso introducir al programa modelos de contacto creados por el usuario, lo cual dentro de la bibliografía consultada no es una posibilidad sencilla de implementar en otros programas de micromecánica. En cuanto al software, cuenta con una ventana de comandos (figura 4.1) desde la cual el usuario puede crear y controlar partículas y muros para que interactúen entre sí, crear o eliminar cementante en algunos contactos, unir partículas para crear macropartículas de formas geométricas distintas (clusters), visualizar partículas, muros, clusters, campos de desplazamientos y cadenas de fuerza animados, lo que permite observar el comportamiento de ellos durante la ejecución de una corrida.

Figura 4.1. Pantallazo del PFC2D durante una corrida Otra manera de hacer simulaciones con el programa es ejecutando las instrucciones desde un archivo de texto creado por el usuario a través de los comandos, o empleando un pseudo lenguaje de programación llamado FISH, con su propia gramática, y que en

Menú principal

Ventana de comandos

Ventana de vista del modelo

109

esencia lo que permite introducir adicional a los comandos es subrutinas en las que se usan variables globales que pueden ser manejadas con operaciones lógicas o aritméticas, instrucciones de iteración e instrucciones análogas a los comandos que permiten manejar las condiciones de ejecución de la simulación que se quiera crear.

4.1.1. Funcionamiento básico Como se mencionó, el software fue desarrollado en C++, cuya característica esencial es el manejo de listas y apuntadores, los cuales son variables que identifican el espacio que ocupa una variable en la memoria del computador, o mejor indican la dirección o “apuntan” al lugar donde se alberga una variable. Las listas, por su parte, permiten manejar de manera secuencial y dinámica variables del mismo tipo; son algo análogo a los subíndices de un tensor que indican sus componentes individuales, con la diferencia que las listas son una estructura de datos dinámica31, y en cada componente se encuentra el apuntador del siguiente componente, hasta que se llega a un apuntador nulo que indica que no hay mas elementos en la lista. Otra característica que tiene C++ es que se trata de un lenguaje de programación orientado a objetos que opera en su esencia con el concepto de eventos, clases, objetos, estructuras de datos dinámicas (listas), y funciones. Para entender los conceptos de clases, objetos y eventos, podemos hacer la siguiente analogía: cuando a nivel de información hablamos de una persona, a ella asociamos una serie de características y de relaciones, por ejemplo, hablamos de su género (masculino o femenino), edad (años), profesión, y relaciones como: es empleado de, es compañero de, es proveedor de, o es estudiante de. Desde el punto de vista de un programa, la persona es un “objeto” con unas propiedades que lo caracterizan y unas relaciones que lo asocian con otros objetos del mismo tipo (como la relación “es compañero de”), o con objetos de otro tipo (por ejemplo, “persona” se relaciona con “empresa” mediante la relación “es empleado de”); por su parte, podemos hablar de “clases” de persona: en éste caso las clases serían estudiante, empleado y proveedor. En cuanto a los eventos, no son más

31 Puede cambiar de tamaño

110

que condiciones asociadas a los campos de información de un objeto, verbigracia: estudiantes que se gradúan, la graduación es un evento que le puede ocurrir a un objeto de la clase estudiante pero no al de otras clases aunque varias clases sean personas. En cuanto a las funciones, se trata de operadores que manipulan la información de un campo del objeto, mediante el uso de parámetros de entrada (como apuntadores que indican sobre cual objeto operar) y variables definidas dentro de la función. En un programa se incluyen o no funciones, y dentro de las funciones pueden manejarse otras funciones anidadas, es decir, si por ejemplo elevo un número a la potencia tres, para elevar a la potencia tres debo multiplicar dos veces por sí mismo al número, así que la función “elevar a” tiene como función anidada la multiplicación, y como parámetros de entrada el número al que voy a elevar y la potencia (tres); y como variable de salida tengo el cubo del número que se elevó. Con los anteriores conceptos, es fácil entender que el programa PFC2D tiene las clases: partícula (ball), muro (wall), contacto (contact), cluster; y que además el contacto no sólo es un objeto sino que también es una relación entre dos partículas o entre una partícula y un muro. También es entendible que hay listados generales de partículas, de muros y de clusters que indican todos los objetos de los tipos correspondientes que conforman el modelo, y que cada partícula o cada muro tiene su listado de “partículas en contacto”; de igual forma, cada clase tiene sus funciones asociadas que permiten modificar o conocer sus propiedades por parte del usuario. El PFC2D tiene sus modelos de contacto, pero permite crear por parte del usuario sus propios modelos de contacto con las correspondientes funciones asociadas, esto se hace programando en C++ v6.0 el modelo de contacto de Usuario, y siguiendo el ejemplo dado por ITASCA en C:\Itasca\Pfc\C++\user2dproj en el caso en que el programa haya sido instalado en C:\.

4.1.2. Pseudo lenguaje FISH El FISH es un pseudo lenguaje de programación que permite al usuario crear nuevas variables y funciones para extender la utilidad del programa o adicionar características

111

definidas. Cuenta con funciones predefinidas para cada tipo de objeto dentro del PFC2D, cuyo parámetro de entrada en general es el apuntador a dicho objeto ó su número de identificación dentro del listado general de objetos del mismo tipo. Se caracteriza por que no existe una parte para describir todas las variables y sus respectivos tipos (integer, floating-point, pointer, string), sino que directamente con la primera asignación de una variable dentro de una función se está definiendo su nombre y su tipo, es importante anotar que en FISH, todas las variables son globales, por lo cual es muy fácil equivocarse en las asignaciones dada la carencia del listado de variables, la falta de variables locales y la posibilidad de crear funciones con parámetros de entrada. También cuenta con algunas funciones generales aritméticas y lógicas, así como también de entrada y salida de datos, y obviamente con estructuras lógicas (if __ then __; case __ of), de iteración (loop _ (vr_inicio,vr_fin)/ loop while cond) y de salida parcial (section). Otra posibilidad es la de incluir comandos dentro de las funciones. Una gran limitación de programar con FISH, es que el manual correspondiente no indica las combinaciones de secuencias de instrucciones o comandos no compatibles que generan errores de ejecución, por lo cual sólo durante la ejecución de un programa hecho por el usuario, éste al ver el bloqueo de la ejecución, debe intentar en muchos casos “adivinar” a qué se debió el error, o reprogramar muchas veces hasta que la ejecución del programa sea correcta. Ésta es quizás la mayor dificultad que existe para crear los programas de usuario. Fishtank Aumentado32 ITASCA, junto con los archivos de los manuales, ha incluido archivos de algoritmos escritos en lenguaje FISH, que sirven de ejemplo para aprender a crear las funciones de usuario. El fishtank aumentado cuenta con una colección de ambientes de modelación y un conjunto de funciones de soporte que permiten:

a) crear un sólido sintético

32 En el manual correspondiente “Augmented fishtank”

112

b) determinar sus macro-propiedades relevantes relacionadas con el ensayo de laboratorio que se quiere simular

c) instalar un campo de esfuerzos especificado dentro del sólido o aplicar condiciones de esfuerzos de contorno al sólido

d) monitorear y visualizar formación de daños dentro del sólido o la evolución del campo de desplazamientos o la cadena de fuerzas durante la simulación.

De acuerdo con el manual33, los algoritmos fueron probados con el mismo rigor que el grupo de comandos básicos, por esto no es extraño que algunos códigos de fishtank no funcionen bien. Se menciona también que los algoritmos fueron usados principalmente para modelar rocas cristalinas duras como el granito, y que al establecer los parámetros de control, no se puede garantizar que con todos los valores posibles de estos parámetros, la simulación se comporte de manera estable, en especial cuando la simulación involucra procesos altamente no lineales. En cuanto a la implementación de los algoritmos, consiste en un grupo de funciones (“*.fis) y un grupo de archivos de manejo (“*.dvr”). Las funciones fish se controlan mediante parámetros de entrada que se especifican dentro de los archivos de manejo. Si los archivos fish definen una instancia particular de un modelo, por ejemplo el ambiente de pruebas biaxiales, con el uso de los archivos de manejo (driver files) como patrón, se puede desarrollar un estudio en el que los parámetros de entrada sean sistemáticamente variados para determinar su efecto sobre el comportamiento del modelo.

4.2. ENSAYO BIAXIAL (LABORATORIO)

Para poder realizar una simulación de un ensayo de laboratorio es necesario conocer cómo funciona realmente ese ensayo: las condiciones de contorno, la preparación de la

33 PFC2D Particle Flow Code in 2 Dimensions FISH in PFC, Itasca Consulting Group, Inc., Minneapolis, Minnesota USA, 2002, p.3-1

113

muestra, la manera como se mide y las variables que se miden. Como se mencionó en el capítulo uno, el ensayo consiste en aplicar esfuerzos σ1 y σ2 para comprimir la muestra, manteniendo una de las dimensiones constante, mediante paredes rígidas, de tal forma que solamente se registran los esfuerzos y deformaciones en el plano de deformación (el plano donde se aplica σ1 = σc), a través de LVDT´s 34 . En cuanto a la preparación de la muestra, la información relevante para el modelo micromecánico es que la muestra densa se prepara en una membrana, y el esfuerzo σ1 corresponde a un esfuerzo de cámara análogo al del ensayo triaxial, y cuya condición de flexibilidad permite a la muestra deformarse hasta formar banda de corte con división de la muestra.

4.2.1. Evaluación de las variables del ensayo: Realmente, las deformaciones se calculan y lo que se mide es el desplazamiento de los muros, siento la dirección uno la lateral y la 2 la axial, se tiene que:

)/ln()/ln(

2022

1011

llll

−=−=

εε

(4.1)

Las deformaciones laterales de la muestra suponiendo compresión positiva se obtienen como una relación entre las longitudes actuales e iniciales de la muestra en el sentido lateral y axial, respectivamente. Las deformaciones volumétrica y de corte se calculan como aparece en las ecuaciones 4.2 y 4.3 como invariantes de deformación bidimensional:

21 εεε += (4.2)

21 εεγ −= (4.3) En cuanto a los esfuerzos, el esfuerzo lateral es siempre el esfuerzo principal menor y corresponde al de confinamiento, mientras que el esfuerzo principal mayor se aplica en la

34 Linear voltage differential transducers

114

dirección axial y se calcula con la presión de confinamiento σc, la carga axial P y el área actual de la muestra:

)/(/ 312 llPAP cc +=+= σσσ (4.4)

El esfuerzo principal σ3 no se mide en el ensayo biaxial. Los resultados se representan en términos de esfuerzos desviadores t y esfuerzos efectivos planos s’ y de la relación de esfuerzos efectivos sinφm’.

02/)( 12 ≥−= σσt (4.5) 02/)(' 21 >+= σσs (4.6)

'/sin stm =φ (4.7)

Donde t y s’ se conocen como medidas de esfuerzo de Roscoe, y φm’ es el ángulo de fricción Mohr-Coulomb movilizado. Evaluación en la fase post-falla En la fase post-falla, luego de la formación de la banda de corte, es deseable conocer los esfuerzos normal y de corte en equilibrio a lo largo de los planos paralelos al eje de la banda de corte:

θσθσσ 22

21 cossin +=n (4.8)

θθσσσ cossin)( 12 −=s (4.9)

Donde θ es el ángulo de inclinación de la banda. (Figura 4.2). Para calcular la reducción del área de la sección transversal debido al movimiento relativo de dos bloques rígidos de la muestra, el esfuerzo principal se calcula como:

115

chF ulA

P σσ +∆−

=3

2 (4.10)

Donde AF es el área de la sección transversal de la muestra en la falla y ∆uh es el deslizamiento al comienzo de la falla.

Figura 4.2. Evaluación post-falla: a) estática b) cinemática

(Fuente: Han y Vardoulakis, 1991) La inclinación del vector de esfuerzo efectivo respecto al vector normal del eje de la banda de corte se expresa como el ángulo de fricción de Coulomb movilizado φs’:

'/'tan nss σσφ = (4.11)

El movimiento relativo de los bloques rígidos en los que la banda de corte divide la muestra, se representa con el vector de desplazamiento relativo, cuyos componentes son dua y duh (figura 4.2 (b)). La inclinación del vector de desplazamiento relativo respecto al

116

eje de la banda de corte se da en términos del ángulo de dilatancia del material de la banda mediante:

−=

h

as du

duarctanθψ (4.12)

Siendo ψs positivo cuando la banda es dilatante. El desplazamiento de corte acumulado a través de la banda de corte se define como:

∫= ss duu (4.13)

Donde

as

ss dudu

)sin(cos

ψθψ−

= (4.14)

Siguiendo esas definiciones, los resultados de la fase post-falla del ensayo biaxial se presentan en términos de dependencias funcionales entre los ángulos de fricción de Coulomb efectiva movilizada y de dilatancia respecto al desplazamiento de corte acumulado.

4.2.2. Ensayo de carga controlada: En el ensayo de carga controlada, la muestra se comprime axialmente a una tasa de carga constante. Debido a que el esfuerzo corresponde a la carga sobre el área, la cual puede variar, no es tan cierto que se pueda mantener la tasa de esfuerzo constante.

4.2.3. Ensayo a velocidad controlada: En este tipo de ensayo las muestras se comprimen axialmente a una velocidad constante de alrededor de 0.2mm/min.

117

4.3. DESARROLLO DE UNA SIMULACIÓN BIAXIAL PARA EL ESTUDIO DE BANDAS DE CORTE EN PFC2D Como ya se mencionó, el fishtank aumentado cuenta con varios ambientes de ensayo, entre los cuales se encuentra el del ensayo biaxial, pero con la particularidad que el ensayo biaxial que tiene, comprime la muestra axial y lateralmente mediante muros rígidos, por lo que no permite la formación de bandas de corte. Sin embargo, todos los procesos utilizados para la creación de la muestra y medición de variables son de utilidad, aunque era necesaria la implementación de algo análogo a una membrana en un ensayo real. Como la creación de la muestra y la aplicación de esfuerzos iniciales corresponde a fishtank, se explicarán de forma resumida los parámetros de entrada y en términos generales en qué consiste dicho algoritmo.

4.3.1. Ambiente fishtank de simulación biaxial El algoritmo contenido en fishtank aumentado para el desarrollo de pruebas biaxiales está orientado simplemente a obtener el modulo de young, la envolvente de falla del material cementado o no, y a calibrar modelos de material sintético respecto a propiedades reales. Este algoritmo no permite ni el desplazamiento de la muestra ni su deformación, y así, no es posible obtener banda de corte aunque se llegue a una resistencia pico. Sin embargo, el procedimiento de creación de la muestra y el de control de muros es de utilidad como parte del algoritmo de una prueba biaxial para el estudio de bandas de corte. Como parte de la explicación de cómo funcionan éstos procedimientos, debe hablarse del comportamiento del material no cementado, el procedimiento de génesis de la muestra y finalmente del desarrollo de la prueba. 4.3.1.1. Comportamiento del material no cementado La resistencia de un material granular no cementado está controlada por la distribución de tamaño de las partículas, la porosidad del material y los coeficientes de fricción entre las partículas. No hay una relación directa entre el ángulo de fricción promedio del material y

118

la fricción entre las partículas, así que deben simularse varias pruebas biaxiales para determinar la envolvente de esfuerzos y el ángulo de fricción del material sintético. Los microparámentros que caracterizan el material se numeran en la tabla 4.1.

Tabla 4.1. Microparámetros de caracterización de un Material no cementado (Modelo de contacto lineal)

PARÁMETRO DESCRIPCIÓN UNIDADNOMBRE DE

LA VARIABLE FISH

ρ Densidad de las bolas Kg/m3 md_dens n Porosidad de área - md_poros Ec Módulo de contacto bola-bola Pa md_Ec

kn/ks Relación de rigideces de la bola - md_knoverks

µ Coeficiente de fricción de la bola - md_fric

4.3.1.2. Procedimiento de creación de la muestra El dominio del modelo es un ensamblaje prismático de discos redondos. Inicialmente, se crea la caja con las dimensiones establecidas en el archivo de manejo, luego, el algoritmo calcula el número de partículas requeridas, con base en el radio promedio de las partículas y la porosidad deseada (ecuación 4.15). Ese número de partículas es creado sin fricción ni resistencia al corte entre partículas, y ubicado aleatoriamente en el área de la caja (figura 4.3), luego, las partículas son acomodadas, la porosidad es medida, y el radio de las partículas es multiplicado por un factor calculado con la ecuación 4.16.

2

;)1( maxmin2

RRR

RnAN

+=

−=

π (4.15)

medida

deseada

nn

m−−

=11

(4.16)

119

Figura 4.3. Ensamblaje de las partículas luego de su generación y en La etapa intermedia de incremento de su tamaño hasta su valor final

(Fuente: ITASCA, 2002) Al expandir el radio por ese factor, resultará nuevamente un traslapo de partículas y en consecuencia, fuerzas de desbalance importantes. En esta etapa se les permite a las partículas reacomodarse hasta alcanzar el equilibrio sin la aplicación de esfuerzos, y se borran aquellas partículas que salen del contorno de la muestra. Hasta ese momento, en ese estado inicial, no se han generado fuerzas de corte entre partículas. Luego que se ha alcanzado el equilibrio en la muestra, se asignan valores de fricción y corte a las partículas. Al final de esta etapa se ha alcanzado un empaquetamiento isotrópico, calculando esfuerzos como la suma de fuerzas de contacto entre muros y partículas dividida por la correspondiente dimensión de la muestra. Relaciones relevantes: La porosidad de un grupo de partículas contenidas en un área A se define como:

AAA

n p−= (4.17)

120

Donde Ap es el área total de todas las partículas:

∑= 2RAp π (4.18)

Σ es sobre todos los radios de partículas; así, combinando las ecuaciones 4.17 y 4.18 se tiene que:

∑ −=

π)1( nAR (4.19)

Denotando la porosidad y radio viejos como n0 y R0, y la porosidad y radio nuevos como n

y R, puede escribirse que:

0

20

2

11nn

RR

−−

=∑∑ (4.20)

Si el mismo multiplicador de radio m, se usa para todas las partículas, entonces 0mRR = ,

lo que puede sustituirse en la ecuación 4.20 para obtener la ecuación 4.16. Así, dado un grupo de partículas con porosidad n0 dentro de un área A, la ecuación 3.48 es una expresión exacta del multiplicador del radio para todas las partículas, necesario para obtener la porosidad n. La ecuación 4.15 proviene de la aproximación de ∑ 2R de una distribución uniforme es

igual a ∑ 2R de un grupo de partículas del mismo tamaño ( R ). Esta aproximación se

expresa como: 222 RNRR ==∑ ∑ (4.21)

Lo que puede sustituirse en la ecuación 4.20 para obtener la expresión 4.15.

4.3.1.3. Procedimiento de realización del ensayo

Los parámetros que controlan la prueba biaxial, son los contenidos en la tabla 4.2:

121

Tabla 4.2. Parámetros que controlan el

Ensayo biaxial

PARÁMETRO DESCRIPCIÓN UNIDAD NOMBRE DE

LA VARIABLE FISH

βx Factor de reducción de la Rigidez de los muros laterales

- et2_knxfac

βy Factor de reducción de la Rigidez de los muros superior e inferior

- et2_ knyfac

σxt Esfuerzo de confinamiento especificado Pa et2_wsxx_req

σyt Esfuerzo vertical especificado Pa et2_wsyy_req Tolerancia del servo-muro - et2_ws_tol

vp Velocidad final del muro m/s p_vel

Np Total de ciclos para la aceleración de Los muros

- p_cyc

Sp Número de etapas para la aceleración De los muros

- p_stages

( y)lim Deformación vertical máxima del ensayo

- et2_weyy_req

Durante un ensayo biaxial, los cuatro muros carecen de fricción. La rigidez normal de los muros laterales se establece igual a βx veces el promedio de la rigidez normal de las partículas de la muestra. Las rigideces normales de los muros superior e inferior, se iguala a βy veces el promedio de la rigidez normal de las partículas de la muestra. La prueba comienza con la aplicación de los esfuerzos vertical y de confinamiento (σyt y σxt , respectivamente) a la muestra, activando el servo-mecanismo que controla las velocidades de los cuatro muros de confinamiento. El servo-comportamiento se controla mediante la tolerancia, , tal que la velocidad será cero cuando ≤∈− tt σσσ /)( . Luego

que se han aplicado los esfuerzos especificados a la muestra, se toman sus dimensiones, las cuales se establecen como dimensiones de referencia para ser usadas en el cálculo de esfuerzos y deformaciones durante la fase de carga.

122

Figura 4.4. Esquema de funcionamiento de la prueba biaxial

(Fuente: ITASCA, 2002)

Figura 4.5. Campo de desplazamientos al 15%

de deformación axial con el algoritmo de fishtank (Fuente: Elaboración propia)

La muestra se carga acercando los muros entre sí a la velocidad vp. Si ésta velocidad se aplicara en un solo paso, la gran aceleración produciría fuerzas inerciales que dañarían la muestra. Para eliminar estos efectos inerciales, la aceleración del muro se controla

Muro

σc

Ensamblaje de partículas

123

especificando valores apropiados de Np y Sp. La velocidad del muro se ajusta para alcanzar el valor final vp en una secuencia de Sp etapas de un total de Np ciclos. Durante la prueba biaxial, se monitorea el esfuerzo desviador, xyd σσσ −= , y la

deformación vertical y. La prueba termina cuando lim)( yy ∈<∈ .

Servo-mecanismo para el control de muros Este mecanismo controla la velocidad de los muros para mantener un esfuerzo especificado para el muro (σ(w)). El esfuerzo del muro proviene de las partículas del ensamblaje que están en contacto con él, y está dado por:

ld

FcN

w

w∑

=)(σ (4.22)

Donde )(wF corresponde a la fuerza ejercida por las partículas sobre el muro, l es la longitud del muro, d es el espesor del modelo, y la sumatoria se toma sobre todos los Nc contactos partícula-muro. Para ajustar la velocidad del muro de forma que se reduzca la diferencia entre el esfuerzo actual del muro y el esfuerzo que se desea para el muro, σ(t), se fija la velocidad del muro para que satisfaga: σσσ ∆=−= GGu tww )( )()()(

& (4.23) Donde G es el parámetro de ajuste. El máximo incremento en la fuerza del muro viene de su movimiento en una etapa de tiempo: tuKF w

nw ∆=∆ )()(

& (4.24)

124

Donde Kn es la suma de las rigideces de los contactos con el muro. El cambio en el esfuerzo del muro es:

ld

tuK wnw ∆

=∆)(

)( &σ (4.25)

Para garantizar la estabilidad del proceso, el valor absoluto del cambio en el esfuerzo del muro debería ser menor que el valor absoluto de la diferencia entre los esfuerzos medido y especificado. Esto se logra con el uso de un factor de relajación α, con el que cada vez se aproxima hacia arriba o hacia abajo del esfuerzo especificado:

σασ ∆<∆ )(w (4.26)

Sustituyendo las ecuaciones 4.23 y 4.25 en la ecuación 4.26 se obtiene:

σασ

∆<∆∆

ldtGKn (4.27)

Y el parámetro de estabilidad para el ajuste es:

tKldGn∆

≤α (4.28)

La velocidad del muro se ajusta antes de cada ciclo para satisfacer la ecuación 4.23, y el ajuste se acomoda para satisfacer la ecuación 4.28. 4.3.2. Desarrollo de bordes flexibles y sus procedimientos

de control y monitoreo de variables Para poder desarrollar simulaciones biaxiales con las que sea posible la formación de bandas de corte, es necesario contar con bordes laterales flexibles con los que se aplique una presión de confinamiento de manera análoga a como en una muestra real ésta presión es transmitida a la muestra mediante una membrana de látex. Adicionalmente, es

125

necesario establecer unos procedimientos de control y monitoreo que permitan obtener respuestas macromecánicas del ensamblaje granular como la deformación lateral promedio de la muestra. En el PFC2D, la aplicación de cargas de borde puede efectuarse a través de muros controlados con un servo-mecanismo o a través de partículas a las que se les puede fijar una velocidad o una fuerza aplicada por componentes. Durante el desarrollo de este trabajo se exploraron ambas posibilidades, y en total se llegó a programar nueve versiones de simulación biaxial: entre una versión y otra se cambiaron varias de las funciones de monitoreo y/o control, y en varias de ellas no se pudo ejecutar el algoritmo debido a que no se identificó el error de ejecución y simplemente se reemplazaban funciones.

4.3.2.1. Membrana fabricada usando control de velocidad Una vez se corrieron los ejemplos de biaxial del fishtank, se pudo observar la no formación de la banda de corte, y a partir de lo reportado por Matthew Evans (2002), se intentó la creación de una membrana similar a la que él implemento, con la diferencia que las partículas de borde tendrían libertad de desplazarse horizontalmente pero no rotar, de manera que la membrana fabricada permitiera la formación de la banda de corte y se garantizara una cierta estabilidad geométrica en el contorno. Partiendo del algoritmo con el que se contaba (el de fishtank), se procedió a desarrollar un algoritmo en donde las membranas laterales se crearan justo antes de empezar la fase de corte, reemplazando a los muros rígidos laterales. Así, luego de la fase de aplicación de esfuerzos iniciales, se generaban dos columnas de partículas con un radio de 0.5 veces el radio mínimo de las partículas de la muestra. Se trató en total de 130 partículas en cada columna, cuando la configuración de la muestra era gruesa. Al momento de su creación, se estableció un rango al que pertenecerían las partículas de membrana a la izquierda y otro para las de la derecha. El control de velocidad de estas partículas se hacía de manera análoga al del código original fishtank aplicado a los muros (es decir, se adaptaba el servo-mecanismo de control).

126

Resultados: El procedimiento corrió, pero al generar un control en la velocidad de las partículas, ocurría que las partículas de la membrana se “intentaban” dentro de las partículas de la muestra. Además, debido a que las variables de estado que se pueden obtener de una partícula cualquiera son: velocidades traslacionales y rotacional, posición, momento y fuerza de desbalance35, al obtener las fuerzas de desbalance de las partículas de la membrana en su componente horizontal, no se obtenía realmente la presión de confinamiento de la muestra, por lo que los resultados no eran reales. Adicionalmente, los tiempos de ejecución se cuadruplicaban por el incremento en un 53% en el número de partículas. La indentación no es un comportamiento mecánico nada similar al de una membrana. En la figura 4.6 se muestra el campo de desplazamientos obtenido con un 15% de deformación axial para una muestra de configuración gruesa. Sin embargo, en el campo de desplazamientos al interior de la muestra se notan dos patrones de desplazamientos opuestos en la muestra, aunque no es clara la formación de la banda de corte. Es muy importante anotar que en el modelo fishtank durante el ensayo biaxial siempre se está comprimiendo la muestra axial y lateralmente, lo cual se reprodujo exactamente en este algoritmo y que debe ser la causa de la no formación de la banda de corte pues realmente en este caso no habría un esfuerzo desviador. Otro aspecto relevante es que con el control de las partículas externas si es posible reproducir una membrana aunque no en las condiciones la primera membrana propuesta, pero sí con esa configuración gruesa de partículas y con la misma relación de esbeltez h/w = 2.

35 La fuerza de desbalance corresponde a la fuerza resultante que actúa sobre la partícula.

127

(a)

(b)

Figura 4.6. Resultados de una prueba biaxial usando confinamiento con columnas de

partículas a velocidad controlada (a) Campo de desplazamientos al 15% de deformación axial; (b) Configuración final y cadenas de fuerza (Fuerza máxima = 1.271e5 Pa)

Finalmente, para evitar indentación debería crearse una membrana conformada por partículas que pertenezcan a la misma muestra, a las que se les debe controlar a través de una fuerza aplicada, para superar los problemas reportados en este estilo de ensayo.

4.3.2.2. Membrana fabricada usando control de fuerza Con la experiencia anterior, y luego de encontrar que una simulación con configuración gruesa duraba tres días mientras que una configuración fina duraba seis días en un computador cuya velocidad de proceso era de 500 MHz y 128 MB en RAM, por una parte se empezó a funcionar con un procesador más veloz (2.8 GHz) y con más memoria (1GB en RAM). También se buscó la manera de no incrementar el número de partículas de la muestra, esto es, controlar las partículas más externas lateralmente que pertenecieran a la muestra misma, pero la gran dificultad consistiría en generar una manera de controlar partículas cuya identificación para control se desconocía en principio. Dado el número de procedimientos asociados al control de la nueva membrana, y a la constante necesidad de ajustes y reprogramación, los archivos de funciones se dividieron

128

en dos: genspc.fis y membrana.fis. El primer archivo contiene los archivos tomados del ambiente biaxial de fishcall, con los ajustes correspondientes; el segundo contiene todas las funciones relacionadas con la membrana. Algoritmo de creación e inicio de la membrana (ini_memb): Fish cuenta con una serie de funciones que operan sobre un elemento. La identificación del elemento (sea muro, bola o cluster) se hace a través de su correspondiente apuntador, pero el apuntador se puede obtener vía lista de contactos con una entidad o vía número de identificación (que normalmente en el código está asociado a una variable bid en el caso de bolas). Para controlar las membranas se necesita listar de alguna manera las bolas que la conforman, pero, crear listas dinámicas no es una posibilidad dentro del lenguaje fish, y no se pueden hacer tampoco arreglos de apuntadores. La solución es crear un arreglo de enteros suficientemente grande que contenga los identificadores de las bolas de cada una de las membranas (nmem1(),nmem2()), y contar con variables que indiquen la cantidad de bolas que pertenecen a una membrana determinada (nb_memb1, nb_memb2). Obtención de los identificadores de la membrana (lst_memb) Este procedimiento consiste en: a partir de la lista de contactos de cada uno de los muros laterales, obtener los identificadores de la membrana y asignarlos al arreglo correspondiente; a medida que se van obteniendo los identificadores, la fuerza de contacto entre la respectiva bola y el muro se almacena en otro arreglo de listado paralelo, y simultáneamente se recupera y almacena la posición de la partícula en la muestra. Sabiendo que el listado de contactos de un muro no tiene un orden geométrico, se procede a ordenar los identificadores de la partícula de acuerdo a la posición de ella (de arriba hacia abajo). Hasta éste momento no se han obtenido todas las bolas externas, pues pueden existir bolas que también sean externas pero no toquen el muro. Para introducir en el listado de identificadores de membrana, se creó una función que busca la siguiente partícula en contacto en la parte inferior de la membrana, y otras

129

funciones que permiten abrir el espacio en el arreglo para introducir dentro de el los identificadores nuevos conservando el orden descendente del arreglo. También se manipula la información adicional de fuerza, siempre amarrada al arreglo de identificadores. Debe anotarse que inicialmente este procedimiento no funcionó bien pues el listado de contactos con el muro reportaba una partícula que no se encontraba realmente en contacto con él, así que se generaba una incongruencia geométrica. Al graficar todas las bolas de las membranas con sus identificadores y posiciones reales y verificar sus listados de contactos, se descubrió que el PFC2D no actualiza bien los listados de contactos, de manera que fue necesario implementar un chequeo de bolas cercanas a partir de coordenadas para corregir el listado de identificadores. Asignación inicial de la fuerza en las partículas de la membrana Para garantizar la estabilidad inicial de la muestra en reposo, debe verificarse que la resultante de fuerzas de las partículas de la membrana sea cero. Si antes del inicio de la fase de corte se supone que la muestra está en equilibrio, basta con aplicar a cada una de las bolas de la membrana una fuerza en el sentido de compresión que garantice su equilibrio, así:

cres

wcont

cap fff ±= )( (4.29)

Donde:

capf = Fuerza a aplicar en la partícula de contorno )(w

contf = Fuerza de contacto con el muro cresf = Fuerza resultante en la partícula de contorno cuando existe el muro

Al aplicar esa fuerza en cada una de las partículas de las membranas, debe resultar en una fuerza de desbalance nula para ellas, y observarse completamente estática la muestra. Al intentar correr ese código, resultó en un desplazamiento lateral de la muestra (figura 4.7). Luego de obtener ese resultado se revisó la magnitud de la fuerza en cada uno de los muros: era diferente en un orden de magnitud de 10-9. Esa pequeña diferencia era capaz de mover la muestra que se creía en equilibrio.

130

Figura 4.7. Desplazamiento lateral de la muestra por desbalance de fuerza entre las membranas

Con esto, se hizo el planteamiento de calcular las fuerzas como antes pero corregir la asignación de manera que el muy pequeño excedente de fuerza se aplicara a una de las partículas, que fue la más superior de cualquiera de las membranas, pero la muestra se comportó como aparece en la figura 4.8.

Figura 4.8. Destrucción de la muestra por aplicación del desbalance de fuerza a una partícula

Movimiento de la muestra

131

Finalmente, se decidió trabajar no a partir de las fuerzas calculadas, sino en una primera etapa hacer el cálculo de fuerzas para cada partícula de la membrana, luego obtener su porcentaje correspondiente con respecto a la suma de fuerzas en esa membrana. A cada membrana se le asignó un valor corregido de suma de fuerza así:

0≠=+ ∑∑ δd

dapi

iap ff si ∑∑ <

ddapi

iap ff (4.30)

entonces ( ) ( ) 2/2/ ∑∑∑∑ −=∧−=

idapcorrd

dapi

iapcorri

iap ffff δδ (4.31)

El dominio i en las sumatorias de fuerza aplicada sobre partículas corresponde a la membrana izquierda y el d a la derecha. El signo de δ da la dirección del excedente de fuerza36. De esta manera se garantiza que los esfuerzos en ambas membranas son exactamente iguales, y la muestra mantiene su equilibrio. Simulación de una condición de presión uniformemente Distribuida en las membranas – proceso de homogenización de fuerzas Debido a que el estado inicial de esfuerzos se obtuvo mediante compresión de la muestra por desplazamiento de los cuatro muros originales, las fuerzas en las partículas de la membrana son muy diferentes en varios órdenes de magnitud. El manejo de la membrana durante la fase de corte implica que las partículas de la membrana puedan desplazarse e internarse en la muestra por la compresión de la misma, así que es necesario por una parte conseguir que la fuerza aplicada sea proporcional al área “externa” de cada partícula, y por otra, estar actualizando el listado de las membranas. Para pasar de unas fuerzas de muy diferente orden de magnitud a otras proporcionales a la altura de las partículas37, es necesario homogenizar la magnitud de las fuerzas de una manera que no ocasione distorsión en la muestra por efectos inerciales. Esto es,

36 Para que la muestra esté comprimida, las fuerzas del borde izquierdo deben ser positivas (a la derecha) y las del borde derecho deben ser negativas. 37 Realmente proporcionales a su altura relativa externa

132

gradualmente, reducir la magnitud de la fuerza aplicada a las partículas “más cargadas” y esa reducción asignarla a las partículas “menos cargadas”. La reducción debe corresponder a un porcentaje muy pequeño con respecto a la magnitud de la fuerza que no es otro que la desviación estándar de los porcentajes de de fuerza en la membrana correspondiente. La fuerza a aplicar en cada ciclo a cada partícula de la membrana corresponde al porcentaje de fuerza corregido por la fuerza total de la membrana respectiva. Así, en cada ciclo de homogenización de fuerzas de contorno:

i) se halla el promedio y la desviación estándar de los porcentajes de fuerza ii) se calcula una variable normalizada Z del porcentaje de fuerza iii) Z para cada partícula es comparada contra el promedio de Z iv) Si Z > Zprom entonces el porcentaje de la correspondiente partícula es reducido

en una proporción igual a la desviación estándar del porcentaje de fuerza, si no es así, para la partícula en cuestión el porcentaje de fuerza es adicionado con una proporción de la suma de las reducciones porcentuales de fuerza a las partículas “excedidas” en fuerza.

Los ciclos de “homogenización” de fuerzas terminan cuando la desviación estándar de los porcentajes de fuerza en ambas membranas es menor que la desviación estándar de la altura relativa de las partículas. Cabe anotar que para garantizar el confinamiento de la muestra durante la etapa de homogenización, la velocidad de todas las partículas externas laterales se fija en cero. Definición de altura relativa externa El concepto de presión uniforme o carga uniformemente distribuida lleva a que para cada partícula de la membrana, la fuerza debe ser proporcional al perímetro de ella que corresponde al exterior de la muestra, por simplicidad en los cálculos, no se tomó la longitud curva expuesta sino una altura expuesta, por ejemplo para el caso de una partícula k que pertenece al contorno izquierdo de la muestra, su altura externa es la que se muestra en la figura 4.9. Si para mantener el equilibrio de la muestra deben continuar

133

usándose porcentajes para la asignación de fuerza en cada partícula, el porcentaje de fuerza a asignar se establece como la proporción de la altura externa de cada partícula de borde con relación a la altura actual de la muestra.

Figura 4.9. Definición de altura externa de una partícula. Como las partículas de los bordes pueden desplazarse entre ellas, durante la carga axial, algunas partículas se ubicarán en el interior de la muestra debido a su compresión, entonces el algoritmo de borde flexible contempló que en cada 2 ciclos de cálculo se actualice el listado de partículas externas y su altura relativa. Así se garantiza una distribución uniforme de la fuerza a lo largo de los bordes laterales. Control de los bordes en la fase de carga A pesar de haber mantenido su posición en la etapa de homogenización de fuerzas, algunas veces las partículas de un borde pierden el equilibrio y el contacto con la muestra (figura 4.10). Es por esto que en cada ciclo, junto con la asignación de la fuerza, debe chequearse la fuerza de desbalance, fijar la velocidad de la partícula en cero en el caso en que haya perdido contactos y a la vez asignarle una corrección a la fuerza para que en ese ciclo alcance el equilibrio, y en el siguiente vuelva a estar en contacto con la muestra. Las reacciones desequilibrantes de la muestra se atribuyen a efectos inerciales que se generan al interior del ensamblaje granular.

134

Figura 4.10. Pérdida de control en una membrana y destrucción de la muestra Resultados Se logró ejecutar la simulación biaxial con una muestra de configuración gruesa, pero el confinamiento no mantuvo bien la densidad de la muestra. La muestra falló pero sin una banda de corte (figura 4.11)

(a)

(b)

Figura 4.11. (a) Configuración final y cadenas de fuerza al 25% de deformación axial (b) Desplazamientos acumulados de los centros de las partículas

135

CONCLUSIONES

• Para reproducir en una simulación biaxial la formación de la banda de corte, se

requiere una respuesta del material que incluya algún tipo de resistencia a la rotación o la inclusión de algún amortiguamiento en los contactos, como ocurre en el modelo de dinámica de contactos o en el de elementos discretos modificado

• El cómo se aplique la carga lateral puede implicar la no aparición de la banda de

corte. Es así como quizás debido a que el esfuerzo de confinamiento inicial se llevó a cabo con muros rígidos, la banda de corte no se formó.

• Las simulaciones efectuadas con el DEM mostraron ser altamente inestables. Un

procedimiento puede funcionar bien con unos parámetros pero al cambiarlos es posible que ni siquiera “corra” el procedimiento que ya había sido probado.

• La carga inicial de la muestra con desplazamiento controlado de los bordes rígidos

muestra una distribución “uniforme” de las cadenas de fuerza pero genera fuerzas inerciales al interior ella.

• La respuesta del ensamblaje granular es función de la rigidez y fricción en los

contactos y del modelo constitutivo de contacto que se emplee. Debe estudiarse el efecto de diferente rigidez en las partículas con un mismo modelo de contacto.

136

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A-1

ANEXO A

EXPLICACIÓN DE LA NOTACIÓN USADA En éste anexo se incluye una explicación de la notación usada en los capítulos 2 y 3, para quien no esté familiarizado con la Mecánica del Medio Continuo.

1. REPRESENTACIÓN TENSORIAL DE LOS ESFUERZOS EN UN PUNTO

Figura A.1: Componentes de los esfuerzos en un punto1

Cada componente de los esfuerzos en el cubo de la figura A.1, está representado en el tensor σ como:

=

=

333231

232221

131211

σσσσσσσσσ

σσσσσσσσσ

σ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij (A.1)

numerando los ejes coordenados (x,y,z) como (1,2,3), y tomando i y j cualquier valor entre 1 y 3, el tensor σij representa los componentes de los esfuerzos.

2. CONVENCIÓN DE SUMA DE EINSTEIN

El sistema de ecuaciones (A.2) puede representarse como una ecuación mediante el uso de un índice mudo k para obtener la expresión (A.3).

1 Tomado de: Lizcano, diapositivas de clase de Mecánica de Suelos Avanzada, 2000.

A-2

2221212

2121111

xaxayxaxay

+=+=

(A.2)

∑==

2

1i ikik xay k = (1,2) (A.3)

Al usar la convención de suma de Einstein, la sumatoria desaparece, y el sistema (A.2) se expresa como: ikik xay = (A.4)

En donde la repetición del índice i, indica la suma de componentes.

3. DELTA DE KRONECKER

El delta de kronecker se define como:

≠=

=jiji

ij 01

δ (A.5)

4. SÍMBOLO DE PERMUTACIÓN

El símbolo de permutación se define como:

−=011

ijke i,j,k = (1,2,3) (A.6)

En donde la permutación par se representa en la figura A.2 con signo positivo, empezando en cualquier número, y la permutación impar se representa con signo negativo, también empezando en cualquier número.

Permutación par Permutación impar En cualquier otro caso

A-3

Figura A.2. Explicación del símbolo de permutación

3 1

2

+ 1

2

- 3

Permutación par 1 2 3 2 3 1 3 1 2

Permutación impar 1 3 2 3 2 1 2 1 3

B-1

ANEXO B

DETALLES DEL CÓDIGO PARA PRUEBAS BIAXIALES

1. REQUERIMIENTOS DE INSTALACIÓN

Para las corridas de pruebas biaxiales se requiere colocar en una carpeta en C:\ con un nombre que carezca de espacios (el PFC2D no reconoce nombres de carpetas con espacio), y luego, grabar en esa misma carpeta los archivos: _btwa.dvr (contiene la secuencia de funciones para hacer la prueba biaxial) AGUM_10a.dvr (parámetros de la muestra y de la prueba) Agumina.dvr (secuencia de funciones para generación de la muestra) Fishcall.fis Genspc8a. fis (Funciones de generación de la muestra y de placas de carga) Membrana.fis (Funciones para la membrana) Es deseable un procesador veloz, 2.8 GHz y una memoria en RAM de 512Mb o superior.

2. SUBRUTINAS EMPLEADAS PARA EL CONTROL DE MEMBRANAS CON FUERZA

cr_memid Crea e inicializa dos arreglos que contienen los identificadores de c/u de las membranas. Supone un número máximo de 150 partículas en c/membrana. Igualmente crea dos arreglos que convendrán las fuerzas a aplicar en la membrana (fmem1(150,3) y fmem2(150,3)).

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De esos arreglos, nmem1,2(n,1) contiene los identificadores de las partículas que constituyen el borde externo, y nmem1,2(n,2) contiene el identificador de la siguiente partícula que esté debajo de la partícula nmem1,2(n,1). En cuanto a los arreglos fmem, en el primer índice, es decir, fmem(n,1) corresponde a la fuerza en x aplicada a la correspondiente partícula externa, fmem(n,2) corresponde a la fuerza aplicada anterior(o a la fuerza aplicada inicialmente por el muro de confinamiento a esa partícula), y fmem(n,3) corresponde a la resultante en X de la partícula. crchk Es la función que crea los arreglos chy1(150,3) y chy2(150,3) que sirven para guardar las alturas “expuestas” de las partículas que conforman las membranas izquierda y derecha, respectivamente. En cuanto a los índices, se partió que para el cálculo de la altura externa de una partícula corresponde a la diferencia de dos posiciones relativas, una superior y otra inferior de la partícula, que dependen de si la muestra es externa respecto a la partícula de arriba y/o a la de abajo. El primer subíndice corresponde a la posición superior expuesta, el segundo a la inferior y el tercero a la diferencia. cr_rcor Corresponde a un arreglo de valores constantes que se usan en la función sig_abajo para buscar la bola adyacente externa inferior a una bola con identificador conocido. ext_int Crea un arreglo extin(150,2) de booleanos para indicar en las membranas 1 y 2 (que hacen referencia a los subíndices de ese arreglo) cuales partículas son “externas” dentro de la membrana.

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lim_extin llena con ceros el arreglo extin. ini_memb obtiene las particulas en contacto con un muro determinado y les asigna un valor de fuerza en un arreglo para iniciar la membrana pero conservando el equilibrio de la muestra. lista_muro lista los contactos con los muros de confinamiento para obtener los identificadores de las respectivas bolas en contacto. (se usa en ini_memb) ver_piv verifica que las bolas externas en contacto con el muro superior se encuentren en la lista de la membrana y si no están, las incluye. (se usa en ini_memb) chk_num chequea que el número de partículas en cada membrana (nb_memb1 y nb_memb2) sea correcto. deparr Depura los arreglos nmem1,2 para que solo contengan partículas externas, corrigiendo errores de programa en la actualización de listados de contactos. (se usa en ini_memb)

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ordenarr ordena de posición superior a inferior los arreglos nmem1,2. (se usa en ini_memb) cr_ar_sgte crea unos arreglos para obtener los identificadores siguientes de las bolas con base en sus contactos. Los arreglos son ba(5,2), conx(5) y cony(5). Corresponden a posiciones e identificadores para seleccionar la bola siguiente que está debajo de una bola con identificador conocido. Esos arreglos se usan en sig_bid. lim_ar_sgte inicializa los arreglos son ba(5,2), conx(5) y cony(5). Esos arreglos se usan cada vez que se llama sig_bid y deben ser limpiados constantemente. sig_bid obtiene el identificador de la bola en contacto que está abajo y es la mas externa de una bola con identificador conocido. Utiliza una serie de subrutinas de listado y decisión. agn_arr1 asignación de los arreglos ba(), conx() y cony(), que se usan en sig_bid. agn_arr2 asignación de numero de contactos de cada bola en ba(n,2), se usa en sig_bid. cnd_sgte da condiciones para selección de bola siguiente, se usa en sig_bid.

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desc_sgte descarta bolas hasta obtener la siguiente (nxt_bid), se usa en sig_bid. agn_sgte Asigna a los arreglos nmem1,2 los valores siguientes de identificadores, usando sig_bid. Es llamado en ini_memb. cr_archk crea el arreglo tmp(30,3) de ayuda para chequeo inicial de los bordes. lim_archk limpia tmp(30,3). pivot Encuentra pivot1 y pivot2 que son los identificadores de las partículas más externas en contacto con el muro superior. asg_tmp Se usa para completar los listados de partículas externas nmem1,2, con las partículas que no están en contacto con el muro. Se usa en ini_memb. Asigna datos a un arreglo temporal de n x 3, donde la columna 1 corresponde a la posicion en el arreglo de referencia, despues de la cual se debe abrir espacio,la columna 2 corresponde a la posicion del arreglo de referencia donde se debe comenzar a asignar un nuevo valor, y la columna 3 es el numero de datos que hay que asignar.

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abr_esp A partir del arreglo temporal, se abre el espacio en nmem1,2 y asigna identificadores de las bolas que no estaban inicialmente en el listado. Se usa en ini_memb. ajust_array Ajusta los arreglos nmem1,2 para que solo contengan partículas externas. Se usa en ini_memb. xavmem Calcula la posición promedio en x de una membrana vertical xstdmem Calcula la desviación estándar de las posiciones en x de una membrana vertical. lim_chy limpia los arreglos chy1,2 calc_alt calcula el porcentaje de altura expuesta de cada bola en una membrana con respecto a la altura de la muestra. En ese proceso se debe usar siempre pues el medio de ponderación de la fuerza para mantener el confinamiento en la membrana una vez se haya homogenizado la fuerza. También asigna el arreglo extin(150,2) que es un arreglo de booleanos que indica con 1 las partículas externas y con 0 las internas.

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calc_Dfza1 Calcula la diferencia entre las fuerzas aplicadas en las membranas. calc_Dfza2 Calcula la diferencia entre las fuerzas fuera de balance en x de los bordes (membranas) aplica_fza aplica la fuerza externa calculada en fmem1(ik,1) a cada una de las partículas de la membrana. deh Calcula la desviación estándar de la altura de las partículas cr_arr_iso crea arreglos para ser usados en el proceso de homogenización de fuerzas: pfza(150,2) ; para los porcentajes de fza membrana 1 y 2 respectivamente fnorm(150,2); para la variable normalizada y el % quitado a las bolas "desviadas" bdesv(150) ; para indicar cuales son las "bolas desviadas" en términos de fuerza hdesv(150,2); para guardar la desv de los porcentajes de altura, cuya desviación estándar define el fin del proceso de homogenización ctos(149,2) ; para verificar la existencia de contactos en las membranas lim_arr_iso limpia los arreglos: bdesv, pfza, fnorm y desv.

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calc_p_fza Calcula el porcentaje inicial de fuerzas para cada partícula luego de quitar los muros de confinamiento lateral pv = 1 ; variable que indica que es la "primera vez" que se calcula el % de fza. calc_prom_de Calcula el promedio y la desviación estandar de los porcentajes de fuerza para cada membrana. Estos porcentajes son el inicio para el proceso de homogenización. calc_norm Calcula una variable normalizada de los porcentajes de fuerza el arreglo fnorm(*,1) es la vble normalizada, y fnorm(*,2) es el valor de porcentaje de fuerza que se quita a la bolas desviadas. calc_bdesv obtiene cuales son las bolas con porcentaje de fuerza superior al permitido para reducirles ese porcentaje y repartirlo entre las otras bolas. pf_ajust Ajusta los porcentajes de fuerza en el proceso de homogenización sig_abajo hace lo mismo que sig_bid pero utilizando la instrucción ball_near2(x,y)

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chk_contact chequea que dos bolas esten en contacto realmente. INPUT: bid1, bid2, OUTPUT: contact = 1 si existe, 0 no estan en contacto finmem Verifica que una bola corresponda al fin de la lista de membrana por estar en contacto con el muro inferior. INPUT: bid1, OUTPUT: fl1 = es el fin, 0 = no es el fin lst_memb lista los arreglos nmem1() y nmem2() una vez se ha iniciado el ensayo biaxial

ANEXO C

MEDIO MAGNÉTICO DE LOS

CÓDIGOS DESARROLLADOS