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• MISCELÂNEA:• Aulas Canceladas: 22 OUT (CBEB) & 12 NOV (LAOP)
• Atividade de Estudo Dirigido e/ou Lista de Exercícios
• Cálculos no MathCAD: MathCAD-Treino.xmcd
• RESUMO:• Guia de ondas tipo Slab simétrico
• Abordagem por Óptica Eletromagnética• Equivalência entre Óptica Eletromagnética e Geométrica
• Velocidade de Fase (vp) versus Velocidade de Grupo (vg)• Visão Pictorial do Guiamento• Propagação da Luz em Guias de Ondas:
• Propriedades dos Modos: Caso Geral e Slab Simétrico• Confinamento Óptico• Influência do Contraste de Índices em Guias de Ondas
FF-289 – Introdução à FotônicaParte II: Aula 02 – 08 OUT 2018
Equações de Maxwell Óptica Eletromagnética
J = E
Fonte: Wikipedia
Equação de Onda (Helmholtz)
-
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DH
BE
B
D
J
0
0
0
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0
0
0
2
22
2
22
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2
2
2
te,Similarmen
homogêneo eescalar
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2
22 0
Onda plana em meio dielétrico(homogêneo e isotrópico)
Guia Slab Simétrico - Óptica Eletromagnética
Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 9, Wiley (2002)
-
-
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ii
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Modo óptico em guia slab (homogêneo e isotrópico)
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-
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zxyzxy EEHHHE ,,,, :TM :TE ;
Dois conjuntos de soluções independentes
d/2
d/2
Condições de Contorno
Condições de contorno para interfaces dielétricas
Condição para modo guiado (energia finita): lim E,H = 0x ±
21
21
2211
2211
0
0
tt
tt
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-
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B
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Guia Slab – Solução Guiada TE
-
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Solução Genérica:
Solução Guiada Adequada:
(A Solução Genérica também leva à mesma solução, porém, após
muito mais trabalho)
22
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Usarei Ey para encontrar todos os campos
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22
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C
B
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dd
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dC
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sin
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cossin
sincos
cossin
sincos
cossin
sincos
cossin
sincos
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I
II
III
IV
I+III
(IV-II)/
I-III
(IV+II)/
Modo com simetria par (C = 0):Modo com simetria ímpar (B = 0):
-
2
2
d
d
tan
tanEquaçãoCaracterística
Guia Slab Simétrico – Solução Guiada TE
Guia Slab Simétrico – Modos Guiados
d/2
d/2
Elements of Photonics, K. Iizuka, Volume II, Wiley Interscience, 2002.
22
20
2221
20
2
2
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2 ,
22 ,
2 ,
nknk
dxDe
dxdxCxB
dxAe
xE
dx
dx
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-
--
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Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)
xExH
dxed
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dxed
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dxed
dxdx
dxed
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yx
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dx
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sin
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Modo com simetria par:
2
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1
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Hzz x even0, even0,( )
Ey x even1, even1,( )
Hzz x even1, even1,( )
3 106-
3- 106-
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Guia Slab Simétrico – Solução Guiada TE
-2
dtanModo com simetria ímpar:
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dxdx
dxed
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dxed
dxdx
dxed
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yx
dx
dx
z
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dx
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cos
cos
sin
sin
sin
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-
-
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-
--
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2 106
1 106
0 1 106
2 106
1
0.5
0
0.5
11
1-
Ey x odd0, odd0,( )
Hzz x odd0, odd0,( )
Ey x odd1, odd1,( )
Hzz x odd1, odd1,( )
3 106-
3- 106-
h-
2
h
2
x
Guia Slab Simétrico – Solução Guiada TE
Guia Slab Simétrico – Animação Paramétrica
Aproximação Gaussiana
n1 n2
n1 n2
12
Guia Slab Simétrico - Equivalência entre Óptica Eletromagnética e Geométrica
NOTA: O método geométrico não é, de fato, totalmente baseado na ópticageométrica – a fase r associada à reflexão decorre de análisebaseada na óptica eletromagnética.
Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)
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cos
210
222 11
-
m
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Condição de Ressonância Transversal
TE
TM
---
-
-
-
21
22
21
21
222222
21
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22
121
20
21
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2
2
1m
112
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210 ; 122
TE Modo
n
nn
n
n
nk
knkknkk
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k
cccc
c
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...,,sin
sinsintan
Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)
-
-
cc
2
21
Guia Slab Simétrico – Eletromagnética vs Geométrica
Representação gráfica mostra, simultaneamente, a projeção vetorial dos vetores de onda e do caminho óptico.
Exemplo genérico:
25
5
22
1
11 LL
LLk/
212
11 sinsinsinsin LkLkL
242
11 coscoscoscos LkLkL
27
Comentário: representação de Vetor de Ondas
---
-
-
-
21
22
21
21
222222
21
20
22
121
20
22101
2
2
1m
112
:queLembrar
210 ; 122
TE Modo
n
nn
n
n
nk
knknkk
mmd
k
cccc
c
sincossinsin
sin
sinsin
...,,sin
sinsintan
Guia Slab Simétrico – Eletromagnética vs Geométrica
-
-
-
-
-
-
---
--
-
-
2
2
1
2
2
22
22
22
2
1122 2
222
20
2221
20
2
22
20
21
20
21
20
2
21
22
21
1
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dd
d
d
d
d
d
nknknknk
nk
n
nn
dk
d
tan
tansin
cos
cos
sin
tan
tan
sintantan
Solução Par (m é par) Solução Ímpar(m é ímpar)
-
-
cc
2
21
Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)
2
02
1
01
2
2
0
1
1
0
11
1
;
...2,1,0;
22sin2
cos
nc
cn
cc
mmc
nd
mdk
c
nk
kk
r
r
z
-
Velocidade de Fase: vf = /Índice Efetivo: neff = c0/vf = /k0 = n1cos()
neff = n1
neff = n2
Velocidade de Grupo: vg = /Índice de Grupo: ng = c0/vg
β: constante de propagação do modo
Diagrama de Dispersão“tradicional” ( vs β)
1
Modo TE
Guia Slab Simétrico – Eletromagnética vs Geométrica
Velocidade de Fase (vp) & Velocidade de Grupo (vg)
Velocidade de fase: veloc. de uma frente de onda com fase constante: E(z,t) = E0 cos(t −z);
(t −z) = 0 = cte d0 = dt − dz = 0
vp = dz/dt = / = c/neff
Velocidade de grupo: velocidade da propagação do envelope (envoltória) de um pacote de ondas.
E(z,t) = E0[cos(1t −1z)+cos(2t −2z)]
= E0{cos[( +)t −( + )z] + cos[( −)t −( − )z]}
= 2E0 cos(.t −.z) cos(.t −.z)
vg = /
FONTE: Optical Filter Design and Analysis, C. K. Madsen And J. H.Zhao, John Wiley & Sons, Inc., 1999
vg = d/d = (d /d )-1
= [d (neff /c)/d ] -1
= c / (neff + dneff/d )
= c / {neff + (2c/)[(dneff/d)/(d/d)]}
= c / (neff − dneff/d ) = c / ng
Visão Pictorial do Guiamento
Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 10, Wiley (2002)
Hz
Hx
Ey
TE
TM
Slab
Canal (3D)
Coffee Break
20
Propriedades Gerais dos Modos
Cada autovalor (constante de propagação; k0.neff) corresponde a um mododistinto, com sua respectiva distribuição espacial de campos e polarização.
Valores discretizados de correspondem a modos guiados (k0n1 > > k0n2),enquanto que valores contínuos de correspondem a modos de radiação(0 < < k0n2).
Os modos de propagação (guiados ou de radiação) são ortogonais entre si:
ij: Delta de Kroenecker
Campos normalizados
Alguns modos podem ser degenerados, ou seja, podem ter o mesmoautovalor , mas apresentar diferentes distribuições espaciais e/oupolarizações de campos.
O conjunto de todos os modos de propagação (guiados + de radiação) deum sistema (guia de onda) formam uma base completa, isto é, qualquerdistribuição contínua de campo eletromagnético pode ser descrita por meiodo somatório ponderado dos modos que formam essa base.
ij
Area
ji dAzyxzyx ,,H,,E*
21
é chamado de coeficiente de decaimento do campo evanescente(fora do núcleo).
(1/) é chamado de comprimento característico do decaimento docampo – é uma figura-de-mérito que permite estimar a região deinfluência dos campos evanescentes.
O guia de onda Slab Simétrico não apresenta ponto-de-corte para omodo guiado de menor ordem (válido para ambas as polarizações),ou seja, haverá sempre ao menos um modo guiado, qualquer queseja o conjunto de parâmetros físicos.
Considerando-se a propagação óptica na direção z, a componentede fluxo de potência óptica (vetor de Poynting) é reativa (imaginária)na direção x (evanescente) e real na direção z (propagante).
Propriedades do Slab Simétrico
HES
22
Guia Slab Simétrico – Modos de Propagação Modos de Propagação (Radiação/Guiados): toda e qualquer solução
do sistema de equações diferenciais (equação de onda) associado, considerando-se as condições de contorno impostas.
Modos de Radiação: Número infinito de soluções
contínuo (0 < < k0n2):
(Exemplo Caso TE)
Modos Guiados: Número finito de soluções
discreto (k0n1 > > k0n2):
(Exemplo Caso TE)
-
-
--
2 ,
22 ,
2 ,
2
2
0
dxDe
dxdxCxB
dxAe
xE
dx
dx
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sincos,
-
-
2 ,
22 ,
2 ,
0
dxxFxE
dxdxDxC
dxxBxA
xE y
sincos
sincos
sincos
,
22
20
2221
20
222
20 nknknk --- ;;
0
0
222
222
0
0
0
0
222
222
222
222
0
0
0
0
0
0
222200
222200
002222
002222
IV- IIIII I
2220
2220
00
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
C
B
A
ddd
ddd
C
B
A
ddd
ddd
ddd
ddd
nk
nknknk
FB
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D
F
E
D
C
B
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dddd
dddd
dddd
dddd
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f
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sincossin
cossincos
sincossin
cossincos
sincossin
cossincos
:Par Simetria com Solução
cossincossin
sincossincos
cossincossin
sincossincos
-
-
-
-
-
--
--
-
-
-
2222
22222
2222
22222
2 ,
22 ,
2 ,
1
2 ,
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2 ,
0
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dD
dC
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dC
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Dd
Cd
Bd
A
dD
dC
dB
dA
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dxdxDxC
dxxBxA
jxH
dxxFxE
dxdxDxC
dxxBxA
xE zy
cossincossin
sincossincos
cossincossin
sincossincos
cossin
cossin
cossin
sincos
sincos
sincos
,,
Apenas duas equações linearmente independentes24
0 2 106
4 106
6 106
8 106
10
0
10
tan d
2
0,( )
-
0,( )
Modos de Radiação Slab Simétrico – Simetria Par
22
0,
0,
2220
2220
00
2sin
2cos
2cos
2sin
2sin
2cos
2sin
2sin
2cos
2cos
2sin
2cos
2cos
2sin
2sin
2cos
0
0
-
-
-
-
-
dd
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Cdddd
B
Cdddd
A
Cd
Cd
B
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dd
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s
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seff
:Par Simetria com Solução
nf 2.5 nc 1.5 0 1.55 106-
d 1.1 106-
2 106
1 106
0 1 106
2 106
1
0.5
0
0.5
1
Ey_rad x 0,( )
Ey_rad x 1.2,( )
Ey_rad x 1.4,( )
Ey_guided x even0, even0,( )
Ey_guided x even1, even1,( )
d-
2
d
2
x
Modos de Radiaçãoneff = 0, 1.2 e 1.4 (aleatoriamente
escolhidos)
n1 n2
-
-
-
-
-
2 ,
22222222
22 ,
2 ,
22222222
dxxdddd
xdddd
dxdx
dxxdddd
xdddd
sinsincoscossincossinsincoscos
cos
sinsincoscossincossinsincoscos
25
(Exemplo Caso TE)
Modos Guiados (Simetria Par)
Índice Efetivo (neff) & Índice de Grupo (ng)
5 107
1 106
1.5 106
2 106
2.5 106
1.4
1.42
1.44
1.46
1.48
nf
nc
neff_even 0,( )
neff_odd 0,( )
neff_even 1,( )
neff_odd 1,( )
endstart
5 107
1 106
1.5 106
2 106
2.5 106
1.4
1.45
1.5
1.541
nc
ng_even 0,( )
ng_odd 0,( )
ng_even 1,( )
ng_odd 1,( )
endstart
TE0
TE1
TE2TE3
TE0
TE1
TE2
TE3
Parâmetrosd = 4 mn1 = nf = 1.5n2 = nc = 1.4
neff
ng
n1
n2
n1
n2
26
27
Cálculo numérico/semi-analítico de ng = neff - .(dneff /d)
--
22lim0
effeffeffnnn
d
dNumérico (genérico):
Uso direto de no MathCAD deve ser usado “comcautela”, pois não dá bons resultados em todos os casos.
d
d effn
Comentários sobre Cálculo do Índice de Grupo
Semi-Analítico (soluções específicas): ng = neff - .(dneff /d)
27
Slab Simétrico, modo TE, de simetria par, sem dispersão material:
eff
eff
eff
n
n
nk
nkn
2
22
2
212
0
221
0
2
d
d.
d
d
d
2
.d
d
d
d
d
d
d
-
-
-
cte e 21
nn
-
-
--
-
--
--
-
-
--
--
----
--
--
----
211
2
11
11
d
d
1.
22
tan12
2
2
d
d
1.
2
d
d2
d
d2
tan12
d
1.
2d
d2
tand
1.
22
tan 2
; ;2
tan
22
2
22
21
2
23222
21
2
2322
21
2
22
21
2
322322
21
2
2
22
21
2
22
21
2
0
222
21
20
22
20
2221
20
dd
nnddnn
nn
nn
nndd
nnd
nndk
nnknknkd
dn
d
kn
nn
nnn
eff
eff
eff
eff
eff
effg.2
.
2
d
d.
d
d2
02
22
- ng neff
Cálculo do Índice de GrupoCálculo semi-analítico de ng = neff - .(dneff/d): só em soluções específicas
Semi-analítico: pois expressão analítica depende de solução numérica prévia de ou
0 5 107-
1 106-
1.5 106-
2 106-
1.48
1.5
1.52
1.54
ng_even λλ 0, ( )
ng_even λλ 1, ( )
ng_analit_TEeven λλ κsol_even λλ 0, ( ), 0, ( )
ng_analit_TEeven λλ κsol_even λλ 1, ( ), 1, ( )
λλ
0 5 107-
1 106-
1.5 106-
2 106-
1.48
1.5
1.52
1.54
ng_even λλ 0, ( )
ng_even λλ 1, ( )
ng_analit_TEeven λλ κsol_even λλ 0, ( ), 0, ( )
ng_analit_TEeven λλ κsol_even λλ 1, ( ), 1, ( )
λλ
0 5 107-
1 106-
1.5 106-
2 106-
1.48
1.5
1.52
1.54
ng_even λλ 0, ( )
ng_even λλ 1, ( )
ng_analit_TEeven λλ κsol_even λλ 0, ( ), 0, ( )
ng_analit_TEeven λλ κsol_even λλ 1, ( ), 1, ( )
λλ
ng = neff - .(dneff /d)
= 10-6 m
= 3 10-7 m
= 10-7 m
Cálculo do Índice de Grupo
Modo fundamental (ordem 0) & segundomodo (ordem 2).
Numérico pontosSemi-analítico linhas
Conclusão:O método numérico é uma ótima
aproximação, e pouco exigente do valorde ; sugere-se usar / 10-3.
--
22d
dlim
0
effeffeffnnn
dn
d
knn
eff
effg.2
.2
0
Solução para o Slab Simétrico – modo TE de Simetria Par, semdispersão material:
21
22
11
nn
nn
nn
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
-
--
--
-
--
--
----
-
--
------
1d
d
d
d
21
d
d
11
d
d
d
d
.
2
d
d11
2
1
.
2
d
d
d
d
.
2
d
d1
.
21
2
d
d
d
d
d
d
.
2
d
d1
2
1.
2
d
d
d
d
d
d2
d
d2
tan12
d
1.
2d
d2
tand1
.
22
tan
; ;2
22
21
22
11
2
22
21
22
11
22
21
222
122
21
2
22
11
2
22
21
22
1122
21
22
11
2
2
22
21
2
322322
21
22
11
222
2
22
21
2
22
21
2
222
21
20
22
20
2221
200
nn
nn
nn
d
nn
nn
nn
nnd
nnn
nn
nnnd
nnn
nn
nd
nn
nnn
nn
ndd
nnd
nnd
nnknknkk
Cálculo do Índice de GrupoCálculo semi-analítico de ng = neff - .(dneff/d) para o Slab Simétrico,modo TE, de simetria par, com dispersão material:
-
-
-
--
-
-
-
-
-
-
-
--
--
22
21
22
11
2
0
111
1
22
21
22
11
1
2
0
11
11
2
0
112
22
11
2
212
0
221
0
d
d
d
d
.2
2
.2
.
d
d1
d
d
d
d
d
d
21
1
d
d1
d
d
d
d
d
d1
2
d
d.
d
d1
d
d
d
2
.d
d
d
d
d
d
d
nn
nn
nn
dd
d
k
nn
n
n
nn
nn
nn
dk
nn
n
n
k
nn
n
nn
n
n
nk
nkn
eff
eff
eff
eff
effeff
eff
eff
--
-
1d
d
d
d
21
d
d22
21
22
11
nn
nn
nn
d
Cálculo do Índice de GrupoCálculo semi-analítico de ng = neff - .(dneff/d) para o Slab Simétrico,modo TE, de simetria par, com dispersão material:
21
22
11
nn
nn
nn
-
-
- -
22
21
22
112
0
111
d
d
d
d
.2
2
.2
.
d
d1
d
d
nn
nn
nn
dd
d
k
nn
n
n
eff
eff
-
---
-
-
-
-
-
-
--- -
22
21
11,122,2
2
0
11,1
2
0
22
21
22
11
2
0
11
2
0
22
21
22
11
2
0
111
.2
2
.2
.1
d
d
d
d
.2
2
d
d
.2
.1
d
d
d
d
.2
2
.2
.
d
d1
d
d
nn
nnnnnn
dknnn
d
d
knnn
nn
nn
nn
dk
nn
d
d
knnn
nn
nn
nn
dd
d
k
nn
nn
nnn
ggg
eff
effg
eff
effg
eff
effeff
effg
Cálculo do Índice de GrupoCálculo semi-analítico de ng = neff - .(dneff/d) para o Slab Simétrico,modo TE, de simetria par, com dispersão material:
21
22
11
nn
nn
nn
�� = ���� +1
����
�
��
���
2 + ��+
��
��� ��
� − ���
2
2 + ��− 1 ���
�����
−��
��� ��
� − ���
2
2 + �����
�����
�� = ���� +1
����
�
��
���
2 + ��+
��
�� + ��2
2 + ��− 1 ���
�����
−��
�� + ��2
2 + �����
�����
�� = ���� +1
����
�
��
���
2 + ��− 1 −
��
�� + ��2
2 + �����
�����
−��
�� + ��2
2 + �����
�����
-
-
-
-
-
-
-
22
21
22
2
0
112
221
2
0
11
2
0
22
21
22
11
2
0
11
2
0
d
d
.2
2
d
d
.2
21
d
d
.2
.1
d
d
d
d
.2
2
d
d
.2
.1
nn
nn
dk
nn
dnnk
nn
d
d
knnn
nn
nn
nn
dk
nn
d
d
knnn
eff
effg
eff
effg
ng neff
Cálculo do Índice de GrupoCálculo semi-analítico de ng = neff - .(dneff/d) para o Slab Simétrico,modo TE, de simetria par, com dispersão material:
Dispersão material normal (dn1,2/d < 0)
21
22
11
nn
nn
nn
d/2
d/2
Confinamento Óptico
-
-
-
- dxxHxE
dxxHxE
dx
dx
P
P
xy
d
d xy
d
d
total
nucleo
2/
2/
2/
2/
S
S
TE modo
nH
nS
w
h y
x nS = sílica
nH = nS + 0,01 w = 8 m h = 4 m 0 = 1,55 m
Influência do Contraste de Índices em Guias de Ondas
Simulações realizadas no BeamPROP: Imaginary-DistanceBeam Propagation Method (ID-BPM)
• Guia com baixo contraste de índices:• Plataforma sílica-dopada – sílica• Baixo Contraste de Índices de Refração• Campo transversal minoritário desprezível
FracoConf_TE_Major FracoConf_TE_Minor,( ) FracoConf_TE_Major i FracoConf_TE_Minor
, ContornoFracoConf,
Campo Elétrico Transversal (Modo Quasi-TE)
FracoConf_TE_Major FracoConf_TE_Minor,( ) FracoConf_TE_Major i FracoConf_TE_Minor
, ContornoFracoConf,
Campo Elétrico Transversal (Modo Quasi-TE) - zoom
nH
nS
w
h y
x
nS = 1,46 SH = 11.6858 A = 0.939816 B = 0.00810416 1 = 1.1071 w = 450 nm h = 250 nm 0 = 1,55 m
nH2 = SH + A/2 +B1
2/(2-12)
• Guia com alto contraste de índices:• Plataforma silício – sílica• Alto Contraste de Índices de Refração• Campo transversal minoritário não desprezível
Simulações realizadas no BeamPROP: Imaginary-DistanceBeam Propagation Method (ID-BPM)
Influência do Contraste de Índices em Guias de Ondas
ForteConf_TE_Major ForteConf_TE_Minor,( ) ForteConf_TE_Major i ForteConf_TE_Minor
, ContornoForteConf,
Campo Elétrico Transversal (Modo Quasi-TE)
ForteConf_TE_Major ForteConf_TE_Minor,( ) ForteConf_TE_Major i ForteConf_TE_Minor
, ContornoForteConf,
Campo Elétrico Transversal (Modo Quasi-TE) - zoom
Campo Elétrico Transversal (Modo Quasi-TM)
ForteConf_TM_Minor ForteConf_TM_Major,( ) ForteConf_TM_Major i ForteConf_TM_Minor
, ContornoForteConf,
ForteConf_TM_Minor ForteConf_TM_Major,( ) ForteConf_TM_Major i ForteConf_TM_Minor
, ContornoForteConf,
Campo Elétrico Transversal (Modo Quasi-TM) - zoom
Avisos Finais
• Próxima Aula (15 OUT):
• Interferometria: • Interferência• Coerência da luz• Interferômetros• Cavidades Ressonantes Ópticas
• etc.