Folytonos jelek Fourier transzformációja

Folytonos jelek Fourier Folytonos jelek Fourier transzformációjatranszformációja

• Milyen jelekre alkalmazható a Fourier Milyen jelekre alkalmazható a Fourier transzformáció?transzformáció?– Nem csak véges időtartamú jelekre Nem csak véges időtartamú jelekre

alkalmazható, a feltétel:alkalmazható, a feltétel:•Véges energia van a rendszerbenVéges energia van a rendszerben

•Ebben az esetben a hibajel energiatartalma Ebben az esetben a hibajel energiatartalma nullanulla

dttx2

02

dtte

dejXtxte tj

21

Folytonos jelek Fourier Folytonos jelek Fourier transzformációjatranszformációja

• Dirichlet feltételekDirichlet feltételek– A folytonos helyeken:A folytonos helyeken:

– Szakadási-helyeken:Szakadási-helyeken:

– A szakadási-helyeken a Fourier transzformáció A szakadási-helyeken a Fourier transzformáció sem konvergál a függvényhez (Gibbs jelenség)sem konvergál a függvényhez (Gibbs jelenség)

dejXtx tj

21

dejX tj

21 a jobb és baloldali határérték

átlagértéket adja

Példák a Fourier Példák a Fourier transzformáció alkalmazásáratranszformáció alkalmazására

Dirac delta függvény

1

dtetjX tj ttx

det tj

21

Szintetizáló egyenlet (t)-re

0tttx 00

tjtj edtettjX

dett ttj 0

21

0


0 atuetx at

00

dtedteedtetuejX tjatjattjat

jae

jajX tja

11

0

Szimmetrikus aszimmetrikus

22

1

a

jX a

arctgjX

Exponenciális függvény


Négyszög impulzus az időtérben

A két szélesség szorzata állandó határozatlansági reláció!!!

121

1

TsindtejX

T

T

tj

dttxX 0

djXx21

0

Itt 120 TdttxX

területdjXx

21

21

01Itt


Gauss függvény 02

aetx at

aaajta

a

ja

a

j

a

tjta

tjat

ea

edte

dte

dteejX

44

0

2

2

0

22

22

222

2

24222

422222

22

lnalna

lnaaln

t

A két szélesség szorzata állandó határozatlansági reláció!!!

Periodikus jelek Fourier Periodikus jelek Fourier transzformáltjatranszformáltja

0 jXTegyük fel

tjtjtj ededejXtx 0

21

21

21

0

Periodikus jel

020 tje

k

kk

tjkk kajXeatx 020

Általánosabban


00 jX

tjtj eetcostx 00

21

21

0

„vonalas spektrum”


Mintavevő periodikus jelsorozat

n

nTttx

2

2

10

T

T

tjkk T

dtetxatx

n Tk

TjX

22

t –ben periodikus jelneka frekvenciában periodikus jelfelel meg. Inverz összefüggés aperiódikusokban

A folytonos Fourier A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságaitranszformáció tulajdonságai1) Linearitás

jbYjaXtbytax

2) Időbeli eltolás jXettx tj 00

tdetxetdetxdtettxjX tjtjttjtj 000

Az amplitúdó nem változik jXjXejXe tjtj 00

Fázis: lineáris eltolás 00 tjXjXe tj

A folytonos Fourier A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságaitranszformáció tulajdonságai

Konjugált szimmetria

jXjXrealtx

jXjX

jXjX

páros

páratlan

jXRejXRe

jXImjXIm

páros

páratlan

A folytonos Fourier A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságaitranszformáció tulajdonságaiIdőskála megváltoztatása

ajX

aatx

1 Időbeni összenyomásfrekvenciában széthúzás

x(t) valós és páros

jXtxa 1

txtx jXjXjX Valós és páros

x(t) valós és páratlan

txtx jXjXjX Képzetes és páratlan

A FT konvolúciós A FT konvolúciós tulajdonságtulajdonság

jXjHjYtxthty

Inverz Fourier transzformáció Y(j)-ra

dejXdeh tjj

21

ddejXeh tjj

21

ddejXh tj

21

tydtxh

A FT konvolúciós A FT konvolúciós tulajdonságtulajdonság

Következmények a frekvencia válaszra

tx h(t) txthty

Impulzus válasz

jXjHjY

Frekvencia válasz

Egy folytonos lineáris invariáns rendszer frekvencia válasza az impulzus válasz Fourier transzformáltja

A FT konvolúciós A FT konvolúciós tulajdonságtulajdonságPélda:

tjetx 0 H(j) txthty

020 tjeAz előzőek szerint

02 jHjY

tjtj

tj

ejHdejH

dejYty

0002

21

21

A folytonos Fourier A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságaitranszformáció tulajdonságai

Differenciál operátor dttdx

ty Lineáris invariáns rendszerek esetében

dedtd

jXdejXdtd

dttdx

ty tjtj

21

21

dejXjdttdx

ty tj

21

jXjHjXjjY

jjH Erősíti a magas-frekvenciájú jeleket, /2 fáziseltolás

Az ideális aluláteresztő szűrő Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus válaszaimpulzus válasza

tcsinth

ttsin

deth

cc

ctjc

c21

Nem kauzális rendszer!

ccdjHh

22

21

0

sin

csin Def.

Az ideális aluláteresztő szűrő Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus válaszaimpulzus válasza

Mi a rendszer válasza az egységugrás függvényre tvégtelen

t

dtthts

10

jHdtths

Sorbakapcsolt szűrőkSorbakapcsolt szűrők

jHjH 21

jHjH 2

1

Élesebb frekvenciaszelektivitás

Az ideális aluláteresztő szűrő Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus alkalmazása és a impulzus alkalmazása és a

konvolúciókonvolúció

?ttsin

ttsin

84

konvolúció

szorzás

jXjY

txty

)t(htx

Konvolúció alkalmazásaKonvolúció alkalmazása

)t(htx

?ee btat 22

ba

eab

eb

ea

ba

11

4

222

44

2tba

ab

eba

Gauss fv. szorozva Gauss fv=Gauss fv

Gauss fv. konvolúciója Gauss fv=Gauss fv


0 atuetx at

00

dtedteedtetuejX tjatjattjat

jae

jajX tja

11

0

Szimmetrikus aszimmetrikus

22

1

a

jX a

arctgjX

Exponenciális függvény

Konvolúció alkalmazásaKonvolúció alkalmazása

tuetx t2 tueth t

txthty

jjjjjXjHjY

21

11

21

11

tueetuetuety tttt 22

Inverz Fouriertranszformáció

racionális törtfüggvények felbontása

Lineáris konstans együtthatós Lineáris konstans együtthatós differenciálegyenlettel leírható lineáris differenciálegyenlettel leírható lineáris

invariáns rendszerekinvariáns rendszerek

m

kk

k

k

N

kk

k

k dttxd

bdttyd

a00

Differenciálási szabály alkalmazásának jXj

dttxd k

k

k

Mindkét oldal Fourier transzformációja

m

k

kk

N

k

kk jXjbjYja

00

jX

ja

jbjY N

k

kk

m

k

kk

0

0 jXjHjY

Lineáris konstans együtthatós Lineáris konstans együtthatós differenciálegyenlettel leírható lineáris differenciálegyenlettel leírható lineáris

invariáns rendszerekinvariáns rendszerek

jX

ja

jbjY N

k

kk

m

k

kk

0

0 jXjHjY

racionális törtfüggvény a j-nak

parciális törtekre való bontás után meg lehet határozni thHa X(j) is racionális, akkor Y(j) is racionális lesz

Parseval tételParseval tétel

djXdttx22

21

A teljes energia az időtartományban

A teljes energia a frekvencia tartományban

221

jX spektrális energia sűrűség

Folytonos jelek Fourier transzformációja

Documents

Transcript of Folytonos jelek Fourier transzformációja