Folien zu “Data Mining” von I. H. Witten und E. Frank...Unabhängige Stichproben •Falls die...
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Folien zu “Data Mining”von
I. H. Witten und E. Frank
übersetzt von N. Fuhr
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Zuverlässigkeit:Evaluierung des Gelernten
Aspekte: Training, Testen, Tuning Vorhersage der Qualität: Vertrauensintervalle Holdout, Kreuzvalidierung, Bootstrap Vergleich von Verfahren: der t-Test Schätzung von Wahrscheinlichkeiten:
Kostenfunktionen Kosten-basierte Maße Evaluierung nummerischer Vorhersagen Das Prinzip der minimalen Beschreibungslänge
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Evaluierung: der Schlüssel zum Erfolg
Wie gut sind die Vorhersagen des Gelernten? Fehler in den Trainingsdaten ist kein guter
Indikator für die Qualität bei neuen Daten Sonst wäre 1-NN der optimale Klassifikator!
Einfache Lösung, wenn ausreichend viele Lerndaten (mit Klassenzugehörigkeit) verfügbar: Aufteilung der Daten in Trainings- und Testmenge
Aber: meist nur begrenzte Lerndatenmenge verfügbar Ausgefeiltere Techniken müssen angewendet werden
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Aspekte der Evaluierung
Statistische Zuverlässigkeit von beobachteten Qualitätsunterschieden (→ Signifikanztests)
Wahl des Qualitätsmaßes: Anzahl korrekter Klassifikationen Genauigkeit der
Wahrscheinlichkeitsschätzungen Fehler in nummerischen Vorhersagen
Kosten für verschiedene Arten von Fehlern Für viele praktische Anwendungen sind die
Kosten relevant
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Training und Testen I Naheliegendes Qualitätsmaß für
Klassifikationsprobleme: Fehlerrate Erfolg: Die Klasse einer Instanz wird korrekt
vorhergesagt Fehler: Die Klasse wird falsch vorhergesagt Fehlerrate: Anteil der Fehler an den
Entscheidungen für eine Menge von Instanzen
Resubstitutions-Fehler: Fehlerrate auf den Trainingsdaten
Resubstitutions-Fehler ist extrem optimistisch!
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Training und Testen II Testmenge: unabhängige Instanzen, die nicht
zum Erlernen des Klassifikators benutzt wurden Annahme: Sowohl Trainings- als auch Testmenge
sind repräsentative Stichproben für das zugrundeliegende Problem
Test- und Trainingsmenge können sich grundsätzlich unterscheiden Beispiel: Klassifikator, der mit Kundendaten von
zwei verschiedenen Städten A und B entwickelt wurde Um die Qualität eines Klassifikators aus A für eine neue
Stadt zu schätzen, teste ihn mit Daten aus B
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Anmerkung zum Parameter-Tuning
Die Testdaten dürfen in keiner Weise zum Lernen des Klassifikators benutzt werden!
Einige Lernverfahren arbeiten mit 2 Stufen: Stufe 1: Aufbau der grundlegenden Struktur Stufe 2: Optimierung der Parameter
Die Testdaten dürfen nicht zum Parameter-Tuning benutzt werden!
Ordentliches Vorgehen arbeitet mit drei Mengen: Trainingsdaten, Validierungsdaten, Testdaten Validierungsdaten werden zur Parameteroptimierung
benutzt
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Optimale Ausnutzung der Daten
Nach der Evaluierung können alle Daten zum Lernen des endgültigen Klassifikators benutzt werden
Allgemein: je mehr Trainingsdaten, desto besser der Klassifikator (aber der Qualitätszuwachs nimmt ab)
Je umfangreicher die Testdaten, desto genauer die Schätzung der Fehlerrate
Holdout-Prozedur: Methode zum Aufteilen der Originaldaten in Lern- und TestdatenDilemma: idealerweise sollten sowohl Trainings- als
auch Testmenge möglichst groß sein!
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Vorhersage der Qualität
Angenommen, die Fehlerrate beträgt 25%. Wie nahe ist dieser Wert an der wahren Fehlerrate? Hängt von der Größe der Testmenge ab
Vorhersage ist wie der Wurf einer (unfairen!) Münze “Kopf” ist ein “Erfolg”, “Zahl” ist ein “Fehler”
In der Statistik wird eine Folge solcher unabhängiger Ereignisse als Bernoulli-Prozess bezeichnet Statistik-Theorie liefert Vertrauensintervalle für den
wahren zugrundeliegenden Fehleranteil
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Vertrauensintervalle Man kann sagen: p liegt innerhalb eines
bestimmten Intervalls mit einer gewissen vorgegebenen Konfidenz
Beispiel: S=750 Erfolge bei N=1000 Versuchen Geschätzte Erfolgsquote: 75% Wie nahe ist dies an der wahren
Erfolgswahrscheinlichkeit p? Antwort: mit 80%iger Wahrscheinlichkeit ist p∈[73.2,76.7]
Anderes Beispiel: S=75 und N=100 Geschätzte Erfolgsquote: 75% Mit 80%iger Konfidenz p∈[69.1,80.1]
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Mittelwert und Varianz Mittelwert und Varianz für einen Bernoulli-Prozess:
p, p(1–p) Erwartete Erfolgsquote f=S/N Mittelwert und Varianz für f : p, p(1–p)/N Für ausreichend große N folgt f einer
Normalverteilung c%-Vertrauensintervall [–z ≤ X ≤ z] für
Zufallsvariable mit Mittelwert 0:Pr[–z ≤ X ≤ z]=c
Mit einer symmetrischen Verteilung:Pr[–z ≤ X ≤ z]=1-2*Pr[X ≥ z]
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Vertrauensintervalle Vertrauensintervalle für die Normalverteilung mit
Mittelwert 0 und Varianz 1:
Also gilt z.B.:
Pr[–1.65 ≤ X ≤ 1.65]=90% Um diese Beziehung anzuwenden, müssen wir die
Zufallsvariable f so transformieren, dass sie Mittelwert 0 und Varianz 1 hat
0.2540%
0.8420%
1.2810%
1.655%
2.33
2.58
3.09
z
1%
0.5%
0.1%
Pr[X ≥ z]
–1 0 1 1.65
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Transformation von f• Transformierter Wert von f :
(d.h. subtrahiere den Mittelwert und dividiere durch die Standardabweichung)
• Resultierende Gleichung:
• Auflösen nach p :
f −p
p 1−p / N
Pr [−z≤f −p
p1−p /N≤z ]=c
p= f z2
2N±z f
N−
f 2
N
z2
4N2 /1z2
N
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Beispiele• f = 75%, N = 1000, c = 80% (so dass z = 1.28):
• f = 75%, N = 100, c = 80% (so dass z = 1.28):
• Anm.: Die Annahme einer Normalverteilung gilt nur für große N (d.h. N > 100)
• f = 75%, N = 10, c = 80% (so dass z = 1.28):
(nur grobe Näherung)
p∈[0.732 ,0.767]
p∈[0.691 ,0.801]
p∈[0.549 ,0.881]
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Holdout-Schätzung Was tun, wenn nur wenige Lerndaten zur Verfügung
stehen? Die holdout-Methode reserviert eine Teilmenge zum
Testen und nutzt den Rest zum Trainieren Meist: ein Drittel zum Testen, der Rest für das Training
Problem: die Stichproben sind evtl. nicht repräsentativ Beispiel: eine Klasse kommt in den Testdaten nicht vor
Fortgeschrittene Version nutzt Stratifikation Stellt sicher, dass jede Klasse mit annähernd gleicher
relativer Häufigkeit in beiden Teilmengen vorkommt
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Wiederholte holdout-Methode Holdout-Schätzung kann zuverlässiger gemacht
werden, indem der Prozess mit verschiedenen Teilstichproben wiederholt wird In jeder Iteration wird ein bestimmter Anteil der
Daten zufällig zum Trainieren ausgewählt (evtl. mit Stratifikation)
Die Fehlerquoten der verschiedenen Iterationen werden gemittelt, um eine Gesamt-Fehlerquote zu berechnen
Dies wird repeated holdout-Methode genannt Immer noch nicht optimal: die verschiedenen
Testmengen überlappen sich Können Überlappungen ganz vermieden werden?
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Kreuzvalidierung
Kreuzvalidierung vermeidet überlappende Testmengen Teile Daten in k Teilmengen gleicher Größe auf Benutze reihum jede Teilmenge zum Testen, den
Rest jeweils zum Trainieren
Wird k-fache Kreuzvalidierung genannt Oft sind die Teilmengen stratifiziert, bevor die
Kreuzvalidierung durchgeführt wird Die Fehlerquoten werden gemittelt, um die
Gesamt-Fehlerrate zu berechnen
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Mehr zu Kreuzvalidierung Standard-Methode zur Evaluierung: stratifizierte 10-
fache Kreuzvalidierung Warum 10?
Umfangreiche Experimente haben gezeigt, dass dies die beste Wahl ist, um zuverlässige Schätzungen zu bekommen
Ferner gibt es theoretische Begründungen hierzu
Stratifikation reduziert die Varianz der Schätzungen Noch besser: wiederholte stratifizierte
Kreuzvalidierung Z.B.: 10-fache Kreuzvalidierung wird 10-mal wiederholt
und die Ergebnisse gemittelt (reduziert die Varianz)
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Leave-One-Out Kreuzvalidierung
Leave-One-Out:spezielle Form der Kreuzvalidierung: Anzahl der Durchführungen = Anzahl der
Trainingsinstanzen D.h., für n Trainingsinstanzen wird der
Klassifikator n-mal gelernt
Nutzt die Daten optimal aus Keine zufällige Stichprobenauswahl! Aber: großer Rechenaufwand
(Ausnahmen: NN, Support Vector Machine)
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Leave-One-Out-KV und Stratifikation
Nachteil von Leave-One-Out-KV: Stratifikation ist nicht möglich Verfahren garantiert eine nicht-stratifizierte
Stichprobe, da die Testmenge nur eine einzige Instanz enthält!
Extrembeispiel: Datenmenge, in der zwei Klassen gleich häufig auftreten Einfacher Lerner sagt jeweils die Mehrheitsklasse
voraus 50% Genauigkeit auf frischen Daten Leave-One-Out-KV würde aber 100% Fehlerquote
liefern
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Die Bootstrap-MethodeKV zieht Stichproben ohne Ersetzung
Eine Instanz, die einmal ausgewählt wurde, kann nicht nochmals für eine spezielle Trainings- oder Testmenge ausgewählt werden
Bootstrap zieht Stichproben mit Ersetzen, um die Trainingsmenge zu bildenZiehe n-mal mit Ersetzung aus einer Datenmenge
mit n Instanzen, um eine Stichprobe mit n Instanzen zu bilden
Benutze diese Daten als TrainingsmengeDie Instanzen aus der ursprünglichen
Datenmenge, die nicht in der Trainingsmenge vorkommen, werden als Testmenge verwendet
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Der 0.632-Bootstrap
• Verfahren wird auch 0.632-Bootstrap genannt– Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Instanz
beim einmaligen Ziehen nicht ausgewählt wird, ist 1–1/n– Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass die
Instanz in den Testdaten landet:
– Somit wird die Trainingsmenge ungefähr 63.2% aller Instanzen enthalten
1−1n
n
≈e−1=0.368
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Schätzung der Fehlerquote beim Bootstrap
Die Fehlerschätzung aus den Testdaten ist sehr pessimistisch Trainiert wurde auf nur ~63% aller Instanzen
Daher wird die Fehlerquote mit dem Resubstitutions-Fehler verrechnet:
Der Resubstitutions-Fehler bekommt ein geringeres Gewicht als der Fehler auf den Testdaten
Der Vorgang wird mehrfach wiederholt und der Mittelwert der Fehlerraten berechnet
err=0.632⋅etest instances0.368⋅etraining instances
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Mehr zu Bootstrap
Wahrscheinlich die beste Methode, um die Qualität bei sehr kleinen Datenmengen zu schätzen
Allerdings gibt es einige Probleme Betrachte die zufällige Datenmenge von vorhin
Ein perfekter Lerner erzielt 0% Resubstitutionsfehler und ~50% Fehler auf den Testdaten
Bootstrap-Schätzung für diesen Klassifikator:
Tatsächlich erwarteter Fehler: 50%err=0.632⋅500.368⋅0=31.6
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Vergleich von Data-Mining-Verfahren
Häufige Frage: Welches von zwei Lernverfahren ist besser?
Anm.: Dies ist anwendungsabhängig! Naheliegende Methode: Vergleich der 10fach-
KV-Schätzungen Problem: Varianz in der Schätzung Varianz kann durch wiederholte KV reduziert
werden Aber: Wir wissen immer noch nicht, ob die
Ergebnisse statistisch signifikant sind
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Signifikanztests
Signifikanztests sagen uns, wie sicher wir sein können, dass ein Unterschied wirklich existiert
Nullhypothese: es gibt keinen “wirklichen” Unterschied
Alternative Hypothese: Es gibt einen UnterschiedEin Signifikanztest misst, wieviel Evidenz es dafür
gibt, die Nullhypothese zu verwerfenBeispiel: Wir benutzen 10fache KVFrage: ist die Differenz bei den Mittelwerten der
zwei 10KV-Schätzer signifikant?
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Paarweiser t-Test Der Student- oder t-Test sagt aus, ob die
Mittelwerte zweier Stichproben signifikant differieren
Nehme individuelle Stichproben bei der Kreuzvalidierung
Benutzung von paarweisem t-Test, da die einzelnen Stichprobenelemente paarweise auftreten Dieselbe KV wird zweimal angewendet
William GossetBorn: 1876 in Canterbury; Died: 1937 in Beaconsfield, EnglandObtained a post as a chemist in the Guinness brewery in Dublin in 1899. Invented the t-test to handle small samples for quality control in brewing. Wrote under the name "Student".
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Verteilung der Mittelwerte• x1 x2 … xk und y1 y2 … yk sind die 2k Stichprobenwerte für
k-fache KV• mx und my sind die Mittelwerte• Mit ausreichend vielen Werten ist der Mittelwert der
unabhängigen Stichprobenwerte normalverteilt• Schätzungen für die Varianzen der Mittelwerte sind
σx2/k und σy
2/k • Wenn µx und µy die wahren Mittelwerte sind, dann sind
annähernd normalverteilt mit Mittelwert 0 und Varianz 1
mx−μx
σ x2/k
my−μy
σ y2 /k
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Die Student-Verteilung
Bei kleinen Stichproben (k < 100) folgt der Mittelwert der Student-Verteilung mit k–1 Freiheitsgraden
Vertrauensintervalle:
0.8820%
1.3810%
1.835%
2.82
3.25
4.30
z
1%
0.5%
0.1%
Pr[X ≥ z]
0.8420%
1.2810%
1.655%
2.33
2.58
3.09
z
1%
0.5%
0.1%
Pr[X ≥ z]
9 Freiheitsgrade Normalverteilung
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Verteilung der Differenzen
• Sei md = mx – my
• Die Differenzen der Mittelwerte (md) folgen ebenfalls der Student-Verteilung mit k–1 Freiheitsgraden
• Sei σd2 die Varianz der Differenzen
• Die standardisierte Version von md wird t-Statistik genannt:
• Wir benutzen t zur Durchführung des t-Tests
t=md
σd2/k
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Test-Durchführung
• Lege ein Signifikanzniveau α fest • Wenn die Differenz signifikant ist auf dem α% Niveau,
dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich ein Unterschied vorliegt (100-α)%
• Dividiere das Signifikanz-Niveau durch zwei, da der Test zweiseitig ist• D.h. Die wahre Differenz ist entweder +ve oder – ve
• Schlage den Wert für z nach, der zu α/2 gehört
• Falls t ≤ –z oder t ≥ z, dann ist der Unterschied signifikant• D.h., die Nullhypothese kann verworfen werden
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Unabhängige Stichproben• Falls die KV-Schätzungen zu verschiedenen
Randomisierungen gehören, sind sie nicht verbunden, sondern unabhängig
• (oder wir benutzen k -fache KV für ein Verfahren und j -fache KV für das andere)
• Dann müssen wir den t-Test für unabhängige Stichproben mit min(k , j ) – 1 Freiheitsgraden anwenden
• Die t -Statistik wird dann zu:
t=md
σd2/k
t=mx−my
σ x2
k
σ y2
j
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Interpretation des Ergebnisses
All unsere KV-Schätzer basieren auf der gleichen Datenmenge
Die Stichproben sind nicht unabhängig Besser wäre es, für jeden der k
Schätzwerte eine andere Datenmenge zu benutzen, um die Qualität für andere Datenbestände vorhersagen zu können
Oder: Benutze heuristischen Test, z.B. korrigierten t-Test mit neu gebildeten Stichproben
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Vorhersage von Wahrscheinlichkeiten
• Bisheriges Qualitätsmaß: Erfolgsquote• Wird auch als 0-1 loss function bezeichnet :
• Die meisten Klassifikatoren liefern Klassen-Wahrscheinlichkeiten
• Bei manchen Anwendungen möchte man die Genauigkeit der Wahrscheinlichkeitsschätzungen messen
• 0-1 loss ist nicht das passende Maß hierfür
∑i
{0 if prediction is correct1 if prediction is incorrect
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Quadratische Verlustfunktion
• p1 … pk sind die Wahrscheinlichkeitsschätzungen für eine Instanz
• c ist der Klassenindex der aktuellen Instanz• ac=1, sonst a1 … ak = 0
• Quadratischer Fehler ist:
• Wir wollen minimieren:
• Man kann zeigen, dass dies minimal ist wenn jeweils pj = pj*,
der wahren Wahrscheinlichkeit
∑j
p j−a j 2=∑
j≠cp j
21−pc 2
E [∑j
p j−a j 2
]
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Informationelle Verlustfunktion
Die informationelle Verlustfunktion ist –log(pc),wobei c den Index der aktuellen Klasse bezeichnet
Anzahl der erforderlichen Bits, um die aktuelle Klasse mitzuteilen
Seien p1* … pk
* die wahren Klassenwahrscheinlichkeiten
Dann ist der Erwartungswert der Verlustfunktion:
Rechtfertigung: minimal wenn pj = pj*
Problem: Klassen mit Häufigkeit 0
−p1 log2p1−. ..−pk log2pk
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Diskussion• Welche Verlustfunktion wählen?
– Beide belohnen gute Schätzungen– Quadratische Verlustfunktion berücksichtigt alle
Schätzungen von Klassenwahrscheinlichkeiten für eine Instanz
– Informationelle Verlustfunktion betrachtet nur die Wahrscheinlichkeitsschätzung für die tatsächliche Klasse
– Quadratischer Verlust ist beschränkt: er kann nicht größer als 2 werden
– Informationeller Verlust kann beliebig groß werden
• Informationeller Verlust ist verwandt mit dem MDL-Prinzip [später]
1∑j
p j2
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Berücksichtigung der Kosten
Bei praktischen Anwendungen führen verschiedene Arten von Fehlern oft zu unterschiedlichen Kosten
Beispiele: Aufspüren von Terroristen
“Kein Terrorist” korrekt bei 99.99% aller Fälle
Kredit-Entscheidungen Erkennen von Ölflecken Fehlerdiagnosen Werbesendungen Spam-Filter
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Berücksichtigung der Kosten
Die Fall-Matrix:
Es kann noch weitere Arten von Kosten geben!Z.B.: Kosten zum Sammeln der Trainingsdaten
Actual class
True negativeFalse positiveNo
False negativeTrue positiveYes
NoYes
Predicted class
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Steigerungsdiagramm In der Praxis sind die Kosten oft unbekannt Entscheidungen werden gefällt, indem
verschiedene mögliche Szenarien verglichen werden
Beispiel: Werbesendung an 1.000.000 Haushalte• Versand an alle: 0.1% antworten (1000)• Data mining Tool identifiziert Teilmenge von 100,000
Aussichtsreichen, 0.4% davon antworten (400)40% der Antworten für 10% der Kosten kann sich lohnen
• Identifiziere Teilmenge von 400,000 Aussichtsreichen, 0.2% davon antworten (800)
Ein Steigerungsdiagramm erlaubt den visuellen Vergleich
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Generierung eines Steigerungsdiagramms
Sortiere Instanzen nach der geschätzten Erfolgswahrscheinlichkeit :
x-Achse: Stichprobengrößey-Achse: Anzahl Erfolgsfälle
………
Yes0.884
No0.933
Yes0.932
Yes0.951
Actual classPredicted probability
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Eine hypothetisches Steigerungsdiagramm
40% der Antworten für 10% der Kosten
80% der Antwortenfür 40% der Kosten
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ROC-Kurven ROC-Kurven sind ähnlich zu
Steigerungsdiagrammen Steht für “receiver operating characteristic” Wird in der Signaltheorie benutzt, um den Tradeoff
zwischen Erfolgsquote und Fehlerrate in einem verrauschten Übertragungskanal darzustellen
Unterschiede zu Steigerungsdiagramm: y-Achse zeigt den Prozentsatz positiver Elemente in
der Stichprobe im Gegensatz zur deren absoluter Anzahl
x –Achse zeigt den Prozentsatz von falschen positiven in der Stichprobeim Gegensatz zur Stichprobengröße
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Beispiel einer ROC-Kurve
Gezackte Kurve: eine Testdatenmenge Gestrichelte Kurve: Resultat von Kreuzvalidierung
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Kreuzvalidierung und ROC-Kurven
Einfache Methode zur Erstellung einer ROC-Kurve mittels Kreuzvalidierung: Sammle Wahrscheinlichkeiten für die Instanzen in
den Testmengen Sortiere Instanzen nach Wahrscheinlichkeiten
Methode ist in WEKA implementiert Es gibt aber noch andere Möglichkeiten
Die im Buch beschriebene Methode generiert eine ROC-Kurve für jede Testmenge und mittelt dann
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ROC-Kurven für zwei Verfahren
Für eine kleine, ausgewählte Menge, benutze Methode A Für größere Mengen, benutze Methode B Dazwischen: wähle zwischen A und B mit geeigneten Wahrscheinlichkeiten
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Die konvexe Hülle
Für zwei Verfahren kann man jeden Punkt auf der konvexen Hülle errreichen!
TP und FP-Quoten für Verfahren 1: t1 und f1
TP und FP-Quoten für Verfahren 2: t2 und f2
Wenn Methode 1 für 100×q % der Fälle benutzt wird und Methode 2 für den Rest, dann TP-Rate für das kombinierte Verfahren:
q × t1+(1-q) × t2
FP-Rate für das kombinierte Verfahren:q × f2+(1-q) × f2
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Kosten-sensitives LernenDie meisten Lernverfahren unterstützen kein
Kosten-sensitives LernenSie generieren denselben Klassifikator unabhängig
davon, welche Kosten den einzelnen Klassen zugeordnet werden
Beispiel: Standard-Lerner für EntscheidungsbäumeEinfache Methoden für Kosten-sensitives Lernen:
Resampling der Instanzen entsprechend den Kosten Gewichtung der Instanzen entsprechend den Kosten
Einige Verfahren können Kosten berücksichtigen, indem sie bestimmte Parameter variieren, z.B. naiver Bayes
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Maße im Information Retrieval
Anteil der gefundenen Dokumente, die relevant sind: Precision=TP/(TP+FP)
Anteil der relevanten Dokumente, die gefunden wurden: Recall =TP/(TP+FN)
Precision/Recall-Kurven sind meist ähnlich zu hyperbolischen Kurven
Globale Maße: Mittelwert der Precision bei 20%, 50% und 80% Recall (three-point average recall)
F-Maß=(2×Recall×Precision)/(Recall+Precision)
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Zusammenfassung der Maße
ErklärungAchsenDomäne
TP/(TP+FN)TP/(TP+FP)
RecallPrecision
Information retrieval
Recall-Precision- Kurve
TP/(TP+FN)FP/(FP+TN)
TP-QuoteFP-Quote
SignaltheorieROC-Kurve
TP(TP+FP)/(TP+FP+TN+FN)
TP Größe d. Teilm.
MarketingSteigerungsdiagramm
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Evaluierung nummerischer Vorhersagen
• Gleiche Strategien: unabhängige Testmenge, Kreuzvalidierung, Signifikanztests, usw.
• Unterschied: Fehlermaße• Tatsächliche Werte: a1 a2 …an
• Vorhergesagte Werte: p1 p2 … pn
• Populärstes Maß: mittlerer quadratischer Fehler
– Einfache mathematische Manipulation
p1−a1 2. ..pn−an2
n
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Andere MaßeDie Wurzel aus dem mittleren quadratischen Fehler
:
Der mittlere absolute Fehler ist weniger sensitiv gegenüber Ausreißern als der mittlere quadratische Fehler:
Manchmal ist der relative Fehler angemessener (z.B. 10% für einen Fehler von 50 beim Vorhersagewert 500)
∣p1−a1∣. ..∣pn−an∣
n
p1−a1 2...pn−an 2
n
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Verbesserung des Mittelwerts
Wie stark verbessert sich ein Verfahren, wenn es den Mittelwert korrekt vorhersagt?
Der relative quadratische Fehler ist ( ):
Der relative absolute Fehler ist:
p1−a1 2. ..pn−an2
a−a12. ..a−an 2
a ist der Mittelwert
∣p1−a1∣. ..∣pn−an∣
∣a−a1∣...∣a−an∣
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KorrelationskoeffizientMisst die statistische Korrelation zwischen den
Vorhersagewerten und den tatsächlichen Werten
Skalierungs-unabhängig, zwischen –1 und +1Gute Qualität drückt sich in größeren Werten aus!
SPA
SP SA
SPA=
∑i
pi−p ai−a
n−1SP=
∑i
pi−p 2
n−1SA=
∑i
ai−a 2
n−1
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Welches Maß verwenden?
Am besten alle betrachten Oft ist es egal Beispiel:
0.910.890.880.88Korrelationskoeffizient
30.4%34.8%40.1%43.1%Relativer absoluter Fehler
35.8%39.4%57.2%42.2%Wurzel d. rel. quadr. Fehlers
29.233.438.541.3Mittlere absoluter Fehler
57.463.391.767.8Wurzel d. quadr. Fehlers
DCBA
D am besten C zweiter A, B hängt vom Standpunkt ab
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Das MDL-Prinzip
MDL steht für minimum description lengthDie Beschreibungslänge ist definiert als:
Speicherplatz zur Beschreibung einer Theorie+
Speicherplatz zur Beschreibung der Fehler der Theorie
In unserem Fall ist die Theorie der Klassifikator und die Fehler die auf den Trainingsdaten
Gesucht: Klassifikator mit minimaler MDLMDL-Prinzip ist ein Kriterium zur Modellauswahl
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Modellauswahl-Kriterien Modellauswahl-Kriterien versuchen, einen guten
Kompromiss zu finden zwischen:• Der Komplexität eines Modells• Seiner Vorhersagequalität auf den Trainingsdaten
Idee: Ein gutes Modell ist ein einfaches Modell, das eine hohe Genauigkeit auf den vorhandenen Daten erzielt
Auch bekannt als Occam’s Razor :die beste Theorie ist die kleinste,die alle Fakten beschreibt
William of Ockham, born in the village of Ockham in Surrey (England) about 1285, was the most influential philosopher of the 14th century and a controversial theologian.
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Eleganz vs. Fehler
Theorie 1: sehr einfache, elegante Theorie die die Daten beinahe perfekt beschreibt
Theorie 2: deutlich komplexere Theorie, die die Daten fehlerfrei reproduziert
Theorie 1 ist zu bevorzugen Klassisches Beispiel: Keplers drei Gesetze zu der
Planetenbewegung Weniger genau als Kopernikus’ letzte Verfeinerung der
Ptolemäischen Theorie der Epizyklen
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MDL und KomprimierungDas MDL-Prinzip hängt mit der Datenkomprimierung
zusammen:Die beste Theorie ist diejenige, die die Daten am stärksten
komprimiertD.h. um eine Datenmenge zu komprimieren, generieren wir
ein Modell und speichern dann das Modell und seine Fehler
Dazu müssen wir berechnen(a) die Größe des Modells, und(b) den Speicherplatz für die Fehler
(b) einfach: benutze den Informationsverlust(a) erfordert eine Methode zur Codierung des Modells
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MDL und Bayes’ Theorem
L[T]=“Länge” einer Theorie L[E|T]=Codierung der Trainingsmenge in Bezug auf
die Theorie Beschreibungslänge= L[T] + L[E|T] Bayes’ Theorem schätzt die a-posteriori
Wahrscheinlichkeit einer Theorie bei gegebenen Daten:
Äquivalent zu:
Pr [ T∣E ]=Pr [E∣T ]Pr [T ]
Pr [E ]
−log Pr [T ∣E ]=−log Pr [ E∣T ]−log Pr [T ]log Pr [ E ]
konstant
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MDL und MAP
MAP steht für maximum a posteriori probability Finden der MAP-Theorie korrespondiert zum Finden der
MDL Theorie Schwierigkeit bei der Anwendung des MAP-Prinzips:
Bestimmung der a-priori-Wahrscheinlichkeit Pr[T] der Theorie
Korrespondiert zum schwierigen Teil bei der Anwendung des MDL-Prinzips: Codierungsschema für die Theorie
D.h. wenn wir vorher wissen, dass eine bestimmte Theorie wahrscheinlicher ist, dann benötigen wir weniger Bits, um sie zu codieren
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Diskussion des MDL-Prinzips
Vorteil: nutzt die Trainigsdaten voll aus bei der Auswahl eines Modells
Nachteil 1: passendes Codierungsschema/a-priori-Wahrscheinlichkeiten sind entscheidend
Nachteil 2: es gibt keine Garantie, dass die MDL-Theorie den erwarteten Fehler minimiert
Anmerkung: Occam’s Razor ist ein Axiom! Epicurus’ Prinzip der multiplen Erklärungen:
behalte alle Theorien, die konsistent mit den Daten sind
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Bayes’sche Modell-Mittelung Basiert auf Epicurus’ Prinzip: alle Theorien werden zur
Vorhersage genutzt, entsprechend P[T|E] Sei I eine neue Instanz, deren Klasse vorhergesagt
werden soll Sei C die Zufallsvariable für die Klasse Dann schätzt BMM die Wahrscheinlichkeit von C unter
Berücksichtigung von I den Trainingsdaten E den möglichen Theorien Tj
Pr [ C∣I ,E ]=∑j
Pr [C∣I ,T j ]Pr [T j∣E ]
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MDL und Clustering Beschreibungslänge einer Theorie:
Benötigte Bits zur Codierung der Cluster z.B. Zentroiden
Beschreibungslänge der Daten bei gegebener Theorie: codiere Clusterzugehörigkeit und relative Position im Cluster z.B. Distanz zum Zentroiden
Funktioniert, wenn das Codierungsschema für kleine Zahlen weniger Bits benötigt als für große
Bei nominalen Attributen müssen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für jedes Cluster codiert werden