Flexion élastique

Flexion élastique

• Soit une poutre soumise à un effort de flexion positif

• À une section donnée de la poutre, on constate que les fibres composant la partie supérieure sont comprimés alors que les fibres de la partie inférieure sont tendues

Flexion élastique• La déformation et la contrainte sont montrées ci-

dessous :

• Les forces internes engendrées par le moment sonten équilibre (T=C) et la somme des moments internes égale le moment agissant sur la section

Relations entre et M

(1) maxx

y

c

(2) x xE

on multiplie (1) par E des 2 côtés

(3) max( ) ( )x

yE E

c

Avec (2), on obtient :

(4) maxx

y

c

(1) maxx

y

c

(2) x xE

on multiplie (1) par E des 2 côtés

(3) max( ) ( )x

yE E

c

Avec (2), on obtient :

(4) maxx

y

c

max et c sont des constantes, alors

(7) 2 2max d où dA=IM y A yc

On peut donc écrire :

(8)maxoumI Mc

Mc I

et x

My

I

Le moment est égal à la somme (intégrale) des contraintes x

l’aire (forces internes= A ) x le bras de levier de cette force

par rapport à l’axe neutre (y)

(5) dxM y A

Si on remplace x par (4), on obtient

(6)maxd

yM y A

c

Avec le module élastique I

Sc

, on peut écrire

(9)max ou encore M= S

M

S

Relations entre et M

c = axe neutre

Soit L, la longueur non-déformée de la section, pour de petites déformations : L DE

L’arc JK, situé à une distance y au-dessus de l’axe neutre, a subi un raccourcissement. On peut écrire

L JK et ( )L y .

La déformation subie par L est L L ou encore :

( )y y

La déformation longitudinale x sur l’axe JK est obtenue en divisant par la longueur initiale de

l’arc JK qui était égale à L (avant l’application du moment).

maxpar analogiex

y y c

L

La relation entre la courbure 1

et le moment est établie comme suit (domaine élastique) :

max max

1et

c Mc ME E

I EI

où EI est appelée la rigidité flexionnelle