Flervariabelanalys med Maxima Staﬀan Lundbergstaff.lund/KOMPENDIER/kompendium_12.pdfalgebra,...

Flervariabelanalys med Maxima

Staffan Lundberg

Lulea tekniska universitet

Inst. for teknikvetenskap och matematik

2012

Innehall

1 Differentialkalkyl 2

1.1 Funktioner av flera variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Att plotta funktionsytor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Att plotta nivakurvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Partiella derivator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Tangentplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Hogre derivator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Kedjeregeln I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Kedjeregeln II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Linjara approximationer och differentierbarhet . . . . . . . . . . 17

1.8.1 Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8.2 Linearisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.3 Geometrisk tolkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Gradient och riktningsderivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9.1 Geometrisk tolkning av gradienten . . . . . . . . . . . . 27

1.10 Taylors formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Extremvarden 34

2.1 Lokala maxima och minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.1 Nodvandiga villkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.2 Tillrackliga villkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.3 Studium av Q(h, k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

iii

2.1.4 Om kvadratiska former och lokala extremvarden . . . . . 42

2.2 Storsta och minsta varde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Extremvardesproblem med bivillkor . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.1 Geometrisk tolkning av bivillkoret . . . . . . . . . . . . . 51

3 Integralkalkyl 58

3.1 Dubbelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.1 Nagra egenskaper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.2 Hur beraknar man dubbelintegraler? . . . . . . . . . . . 60

3.2 Variabelbyte i dubbelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.1 Att avbilda pa enklare omraden . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.2 Polara koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3 Trippelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3.1 Berakningsmetodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4 Variabelbyte i trippelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4.1 Cylindriska koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.4.2 Sfariska koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4 Vektoranalys 91

4.1 Faltbegreppet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.1 Grafisk representation av falt . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.1.2 Konservativa falt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.1.3 Extra: Faltekvationer i klassisk fysik . . . . . . . . . . . 101

4.2 Kurvintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


4.3 Arbete som en kurvintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


4.3.2 Kurvintegraler i konservativa falt . . . . . . . . . . . . . 108

4.4 Ytor pa parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.4.1 Arean av en buktig yta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4.2 Arean av funktionsytan z = f(x, y) . . . . . . . . . . . 116

4.4.3 Berakning av ytintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.5 Flodesintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


4.5.2 Vektoriella ytelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.6 Differentialoperatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.6.1 Divergens och rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.6.2 Vektoridentiteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.7 Vektoranalys i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.7.1 Greens sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.7.2 Speciella tillampningar av Greens sats . . . . . . . . . . 141

4.7.3 Tvadimensionella divergenssatsen . . . . . . . . . . . . . 142

4.8 Divergenssatsen (Gauss’ sats) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.8.1 Forsok till fysikalisk tolkning av Gauss’ sats . . . . . . . 145

4.9 Extra: Stokes’ sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Litteraturforteckning 155

Forord

I mitt forra kompendium ”Introduktion till Maxima”, behandlades det kraftfulladatoralgebrasystemet Maxima och dess tillampning inom envariabelanalys, linjaralgebra, komplexa tal och transformteori. I foreliggande kompendium skall vigora nagra strandhugg i flervariabelanalysen och med ett ett flertal exempelvisa hur man kan anvanda Maxima for problemlosning inom detta intressantaomrade.

Kompendiet ar tankt att anvandas i hogskoleingenjorernas matematikkurser,men kan givetvis anvandas i liknande matematikkurser pa hogskoleniva.

Kompendiets arende ar inte att ersatta befintlig kurslitteratur. Resonemangetar medvetet intuitivt och syftar till att ge direkt anvandbara kunskaper ochfardigheter snarare an att erbjuda en stringent behandling av de bakomliggan-de matematiska teorierna. Darfor utelamnas som regel bevis for de satser ochrakneregler som formuleras i kompendiet.

I forordet till mitt forra kompendium liknade jag kompendieforfattande med ettsorts sisyfosarbete. Alltid finns det detaljer att slipa pa. Darfor ar jag tacksamfor kommentarer och forslag till framtida uppdateringar.

Avslutningsvis riktar jag ett varmt tack till Professor Per Jonsson, Teknik ochsamhalle, Malmo hogskola, for vardefulla synpunkter, forslag till forbattringaroch uppmuntrande kommentarer.

Lulea i januari 2012.

Staffan Lundberg.

1

Kapitel 1

Differentialkalkyl

1.1 Funktioner av flera variabler

Om mot varje punkt (x, y) inom ett omrade D i planet svarar ett bestamt vardeav en variabel z, sags z vara en funktion av x, y definierad for alla punkter inomD. Man skriver

z = f(x, y).

Figur 1.1: Funktionsytan z = f(x, y).

2

1.2. ATT PLOTTA FUNKTIONSYTOR 3

1.2 Att plotta funktionsytor

Maxima erbjuder ett flertal plottningsrutiner for att visualisera funktioner avflera variabler.

Exempel 1.2.1. Plotta funktionsytan f(x, y) = 6− x− 2y.

(%i1) kill(all);

(%o0) done

(%i1) load(draw)$

(%i2) plan:6-x-2*y-z=0;

(%o2) − z − 2 y − x+ 6 = 0

(%i3) fimp:implicit(plan,x,0,6,y,0,3,z,0,6)$

(%i4) wxdraw3d(xlabel="x",ylabel="y",zlabel="z",fimp);

(%t4)(%o4)

Anmarkning. Kommandot wxdraw3d har manga tillval. Dessa gasgrundligt igenom i [3].

Exempel 1.2.2. Plotta paraboloiden z = 3(x2+y2) i omradet D : x2+y2 ≤ 2.

Omradet D beskriver vi lattare i polara koordinater

x = r cos θ

y = r sin θ

4 KAPITEL 1. DIFFERENTIALKALKYL

(%i4) kill(all);

(%o0) done

(%i1) x:r*cos(theta)$ y:r*sin(theta)$

(%i3) plot3d([x,y,3*(x^2+y^2)],[r,0,2],[theta,0,2*%pi],

[gnuplot_pm3d,false],

[gnuplot_preamble,"set hidden3d"]);

(%o3) false

Figur 1.2: Paraboloiden z = 3(x2 + y2).

Anmarkning. I ovanstaende exempeI anvander vi oss av kommandotplot3d. I [1] och [7] finns fina exempel pa hur Maxima samverkarmed grafikpaketet Gnuplot.

1.2.1 Att plotta nivakurvor

Om vi later planet z = C skara funktionsytan z = f(x, y) och projicerarskarningskurvan i xy-planet, far vi en kurva med ekvationen f(x, y) = C. Dennakurva benamns nivakurvan till funktionen f pa nivan C

Exempel 1.2.3. Plotta nivakurvor med 5 nivaer till

f(x, y) = 20 exp(−x2 − y2), 0 ≤ x ≤ 2, y − 3 ≤ y ≤ 3

1.2. ATT PLOTTA FUNKTIONSYTOR 5

(%i8) kill(all);

(%o0) done

(%i1) load(draw)$

(%i2) fexp:explicit(20*exp(-x^2-y^2),x,0,2,y,-3,3)$

(%i3) wxdraw3d(xtics=false,ytics=false,ztics=false,

axis_3d=true,contour_levels=5,contour=both,

surface_hide=true,fexp);

(%t3)(%o3)

(%i4) set_plot_option([gnuplot_preamble,

"set cntrparam levels 5"])$

(%i5) contour_plot(20*exp(-x^2-y^2),[x,0,2],

[y,-3,3],[grid,100,100]);

(%o5) false


Figur 1.3: Nivakurvor till z = 20 exp(−x2 − y2).

Anmarkning. I figuren pa s. 5 markerar vi ytans skarning med olikaplan, parallella med xy-planet. I Figur 1.3 visar de olika nivakurvornaprojicerade pa xy-planet. I [4] beskrivs utforligt hur nivakurvor plot-tas.

1.3 Partiella derivator

x

y

z

plane y D b

z D f .x; y/

b

a

a; b; f .a; b/

Figure 12-15

x

y

z

plane x D a

z D f .x; y/

ba

a; b; f .a; b/

Figure 12-16

Figur 1.4: Geometrisk tolkning av fx resp. fy.

1.3. PARTIELLA DERIVATOR 7

De partiella derivatorna fx respektive fy av en funktion f(x, y) definieras som

fx(x, y) = limh→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h

fy(x, y) = limk→0

f(x, y + k)− f(x, y)

k


Anmarkning. Alternativa beteckningar:

• f ′x,

•

∂f

∂x,

Exempel 1.3.1. Berakna∂f

∂xresp.

∂f

∂yom

f(x, y) = arctany

x,

g(x, y) = arctanexy

ex + ey.

Anmarkning. Vi anvander kommandot diff(f(x,y),x) respektivediff(f(x,y),y) for att derivera f med avseende pa x eller y.

1.4. TANGENTPLAN 9

(%i13) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=atan(y/x);

(%o1) f (x, y) := atan(y

x

)

(%i2) diff(f(x,y),x);

(%o2) − y

x2(y2

x2 + 1)

(%i3) radcan(%);

(%o3) − y

y2 + x2

(%i4) diff(f(x,y),y);

(%o4)1

x(y2

x2 + 1)

(%i5) radcan(%);

(%o5)x

y2 + x2

(%i6) g(x,y):=exp(x*y)/(exp(x)+exp(y));

(%o6) g (x, y) :=exp (x y)

exp (x) + exp (y)

(%i7) diff(g(x,y),x);

(%o7)y ex y

ey + ex− ex y+x

(ey + ex)2

(%i8) diff(g(x,y),y);

(%o8)x ex y

ey + ex− ex y+y

(ey + ex)2


x

y

z

tangent plane

plane x D a

plane y D b

T2

n

T1

P

Figure 12-17

Figur 1.5: Tangentplanet till ytan i punkten P .

1.4 Tangentplan

Betrakta funktionsytan z = f(x, y) nara punkten P = (a, b, f(a, b). Tangent-planet till ytan i punkten P har ekvationen

n ·PQ = 0

dar Q = (x, y, z) ar en godtycklig punkt pa planet.

Normalvektorn n ar vektorprodukten av ytans tangentvektorer T1 resp. T2:

n = T2 ×T1 =

=

01

fy(a, b)

×

10

fx(a, b)

=

fx(a, b)fy(a, b)−1

Exempel 1.4.1. Bestam tangentplanet till ytan

z = x2 − y2

i tangeringspunkten (1,2,-3).

1.4. TANGENTPLAN 11

(%i14) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=x^2-y^2;

(%o1) f (x, y) := x2 − y2

(%i2) fx:diff(f(x,y),x)$

(%i3) fy:diff(f(x,y),y)$

(%i4) load("vect1.mac")$

(%i5) T1:[1,0,fx]$

(%i6) T2:[0,1,fy]$

(%i7) n:cross(T2,T1)$

(%i8) P:[1,2,-3]$

(%i9) Q:[x,y,z]$

(%i10) PQ:Q-P;

(%o10) [x− 1, y − 2, z + 3]

(%i11) n:subst([x=1,y=2,z=-3],n);

(%o11) [2,−4,−1]

(%i12) plan:dot(n,PQ)=0;

(%o12) − z − 4 (y − 2) + 2 (x− 1)− 3 = 0

(%i13) expand(%);

(%o13) − z − 4 y + 2x+ 3 = 0

Anmarkning. I exemplet anvands paketet vect1.mac. I [6] kan manlasa mer om hur man anvander paketet.


1.5 Hogre derivator

Anta att fx(x, y) och fy(x, y) ar deriverbara. Beteckningar:

• fxx ,∂2f

∂x2, Dxxf ,

• fxy ,∂2f

∂x∂y, Dxyf ,

• fyx,∂2f

∂y∂x, Dyxf ,

• fyy ,∂2f

∂y2, Dyyf ,

Om fx(x, y), fy(x, y) och ar kontinuerliga och om fxy(x, y) existerar och arkontinuerlig, sa galler att aven fyx(x, y) existerar och

fxy(x, y) = fyx(x, y)

Det innebar att deriveringsordningar – under ovanstaende villkor – far omkastas.

Exempel 1.5.1. Bestam samtliga 1:a och 2:a ordningens partiella derivator avfunktionen

g(x, y) = ln(x2y)

1.5. HOGRE DERIVATOR 13

(%i7) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f:log(x^2*y);

(%o1) log(x2 y

)

(%i2) fx:diff(f,x);

(%o2)2

x

(%i3) fy:diff(f,y);

(%o3)1

y

(%i4) fxx:diff(f,x,2);

(%o4) − 2

x2

(%i5) fy:diff(f,y,2);

(%o5) − 1

y2

(%i6) fxy:diff(f,x,1,y,1);

(%o6) 0

(%i7) fyx:diff(f,y,1,x,1);

(%o7) 0

Exempel 1.5.2. Givet funktionen

f(x, y) = x2y3.

Bestam∂3f

∂x∂y2


(%i8) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f:x^2*y^3;

(%o1) x2 y3

(%i2) fxyy:diff(f,x,1,y,2);

(%o2) 12x y

1.6 Kedjeregeln I

f

x t

y t

Kedjeregeln(variant 1). Anta att z = f(x, y) ar kontinuerligt deriverbarm.a.p. x och y, dar x = x(t) och y = y(t) ar deriverbara funktioner av t.Da ar den sammansatta funktionen z = f(x(t), y(t)) deriverbar med

dz

dt=∂f

∂x· dxdt

+∂f

∂y· dydt

Exempel 1.6.1. Om z = x2y+3xy4, dar x = sin 2t och y = cos t, bestamdz

dtfor t = 0.

1.7. KEDJEREGELN II 15

(%i5) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=x^2*y+3*x*y^4;

(%o1) f (x, y) := x2 y + 3x y4

(%i2) [x,y]:[sin(2*t),cos(t)];

(%o2) [sin (2 t) , cos (t)]

(%i3) diff(f(x,y),t);

(%o3) − sin (t) sin (2 t)2 + 4cos (t) cos (2 t) sin (2 t) −12 cos (t)3 sin (t) sin (2 t) + 6 cos (t)4 cos (2 t)

(%i4) subst(t=0,%);

(%o4) 6

1.7 Kedjeregeln II

f

x

s

t

y

s

t

Kedjeregeln(variant 2). Anta att z = f(x, y) ar kontinuerligt deriverbarm.a.p. x och y, dar x = x(s, t) och y = y(s, t) ar deriverbara funktionerav s och t. Da ar den sammansatta funktionen z = f(x(s, t), y(s, t)) deriverbarmed

∂z

∂s=∂f

∂x· ∂x∂s

+∂f

∂y· ∂y∂s,

∂z

∂t=∂f

∂x· ∂x∂t

+∂f

∂y· ∂y∂t.


Exempel 1.7.1. Om z = f(x, y) = ex sin y, dar x = st2 och y = s2t, bestam∂z

∂soch

∂z

∂t.

(%i2) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=exp(x)*sin(y);

(%o1) f (x, y) := exp (x) sin (y)

(%i2) [x,y]:[s*t^2,s^2*t];

(%o2) [s t2, s2 t]

(%i3) diff(f(x,y),t);

(%o3) 2 s t es t2

sin(s2 t)+ s2 es t

2

cos(s2 t)

(%i4) diff(f(x,y),s);

(%o4) t2 es t2

sin(s2 t)+ 2 s t es t

2

cos(s2 t)

Exempel 1.7.2. Berakna

∂2

∂x∂yf(u, v), dar u = u(x, y), v = x(x, y).

1.8. LINJARA APPROXIMATIONER OCH DIFFERENTIERBARHET 17

(%i6) kill(all);

(%o0) done

(%i1) depends(f,[u,v]);

(%o1) [f (u, v)]

(%i2) depends([u,v],[x,y]);

(%o2) [u (x, y) , v (x, y)]

(%i3) derivabbrev:true;

(%o3) true

(%i4) fy:diff(f,y);

(%o4) (fv) (vy) + (fu) (uy)

(%i5) fxy:diff(fy,x);

(%o5) ((fvv) (vx) + (fuv) (ux)) (vy) + (fv) (vxy) +(uy) ((fuv) (vx) + (fuu) (ux)) + (fu) (uxy)

1.8 Linjara approximationer och differentierbarhet

1.8.1 Inledning

Funktionen

f(x, y) =

xy

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0),

ar deriverbar i varje punkt utanfor origo. Men eftersom funktionen ar noll langsaxlarna, ar f(x, y) deriverbar aven i origo:

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0.

Trots detta ar f diskontinuerlig i origo ,ty f(t, t) = 12 for alla t 6= 0, medan

f(0, 0) = 0.

Ovanstaende exempel visar, chockerande nog, att partiell deriverbarhet inte im-plicerar kontinuitet. For en funktion av en variabel, gallde (som bekant) att


deriverbarheten medforde kontinuitet. For en funktion av tva variabler, inserman att de partiella derivatorna i (a, b) bara ger information om f :s varden paett ”kors” genom (a, b). Vi behover en generalisering av begreppet deriverbar-het, sa att vi tar hansyn till funktionsvardena i en hel omgivning av den aktuellapunkten.

Sats 1.8.1. Lat f vara en funktion av x och y. Anta att ∂f∂x och ∂f

∂y existerar ien omgivning till punkten (a, b) och att de ar kontinuerliga i punkten. Da galleratt skillnaden

∆f =f(x, y)− f(a, b)

kan skrivas

∆f =f ′x(a, b)(x − a) + f ′y(a, b)(y − b)+

+η1(x− a) + η2(y − b)

dar η1 → 0 och η2 → 0 da (x, y) → (a, b).


1.8.2 Linearisering

Lineariseringen L(x, y) av f(x, y) i (a, b) ar

f(x, y) ≈ L(x, y) = (1)

= f(a, b) + f ′x(a, b)(x − a) + f ′y(a, b)(y − b).

(a,b)

(x,y)

f(a,b)

f(x,y)

∆y∆x

fy(a,b)∆y

fx(a,b)∆x

fx(a,b)∆x+

fy(a,b)∆y

x

y

z

Figur 1.6: Linearisering av f i punkten (a, b).

Lat f vara deriverbar i (a, b). Om

lim(h,k)→(0,0)

f(a+ h, b+ k)− L(a+ h, b+ k)√h2 + k2

= 0

ar f differentierbar i (a, b).

Uttrycket L(x, y) i ekvation (1) kallas ibland approximationen med tangentplantill f(x, y) i punkten (a, b).


Anmarkning. Att saga att f ar differentierbar ar ett satt att uttryckaatt

f ′x(a, b)(x − a) + f ′y(a, b)(y − b)

ar en bra approximation till ∆f . Observera att differentierbarhetmedfor kontinuitet. Uppenbarligen astadkommer differentierbarhetendetsamma som deriverbarheten gjorde i envariabelfallet.Uttrycket

f ′x dx+ f ′y dy

kallas differentialen av f och betecknas df .For en C1-funktion f(x1, x2, . . . , xn) fas analogt

df =∂f

∂x 1dx1 +

∂f

∂x 2dx2 + . . .+

∂f

∂xndxn .

Anmarkning. Sats 1.8.1 innebar att om f ′x resp. f ′y ar kontinuerliga,sa kan vi ”nara” (a, b) gora approximationen ∆f ≈ df .

1.8.3 Geometrisk tolkning

Vi antar att Sats 1.8.1 ar uppfylld. Vi betraktar punkten (a, b). ”Nara” den punk-ten kan vi som tidigare sagts gora approximationen ∆f ≈ df , utan att dra paoss ett alltfor ohanterligt fel. Geometriskt innebar detta att vi for punkter (x, y)”nara” (a, b) approximerar funktionsytan z = f(x, y) med (tangent-)planet

z = f(a, b) + f ′x(a, b)(x− a) + f ′y(a, b)(y − b).

Se for ovrigt Figur 1.6. Med differentialbegreppet har vi ett alternativt satt attbestamma tangentplanet till en funktionsyta, jamfort med proceduren i Avsnitt1.4.

Exempel 1.8.2. Bestam ekvationen for tangentplanet till halvsfaren

z =√

36− x2 − y2

i punkten (4, 4, 2).


--> kill(all);

(%i1) f(x,y):=sqrt(36-x^2-y^2);

(%o1) f (x, y) :=√

36− x2 − y2

(%i4) L:taylor(f(x,y),[x,y],[4,4],1);

(%o4)/T/ 2 + (−2 (x− 4)− 2 (y − 4)) + ...

(%i5) L:expand(%);

(%o5) − 2 y − 2x+ 18

(%i6) plan:f(4,4)+L;

(%o6) − 2 y − 2x+ 20

Anmarkning. Vi anvander kommandot taylor for att bestammalineariseringen L till funktionsytan i den givna punkten med x-koordinat a och y-koordinat b. Tangentplanets ekvation far vi som

z = f(a, b) + L.

Maxima svarar med hogerledet i ovanstaende uttryck. I vart exempelblir alltsa tangentplanets ekvation

z = −2x− 2y + 20.

Exempel 1.8.3.

(a) For en ideal gas galler sambandet

f(p, V, T ) =pV

T= konstant.

Bestam ett samband mellan dp, dV och dT . Bestam darefter ett sambandmellan dp och dT i en process med konstant volym.

(b) Bestam differentialen dg, om

g(x, y) = x2 + 3xy − y2.


--> kill(all);

(%i7) f(p,V,T):=p*V/T /* Uppgift (a) */;

(%o7) f (p, V, T ) :=p V

T

(%i9) df:diff(f(p,V,T));

(%o9)p del (V )

T− p V del (T )

T 2+V del (p)

T

(%i10) g(x,y):=x^2+3*x*y-y^2 /* Uppgift (b) */;

(%o10) g (x, y) := x2 + 3x y − y2

(%i11) dg:diff(g(x,y));

(%o11) (3x− 2 y) del (y) + (3 y + 2x) del (x)

Anmarkning.

• Uppgift (a): Eftersom f = konst, ar dess differential noll, vilketleder till foljande samband

df =V

Tdp+

p

TdV − pV

T 2dT = 0.

Vi anvander kommandot diff(f(p,V,T)) for att bestammadifferentialen.

• del(V) i Maximas utdata ar differentialen dV . Se vidare [2].

• For exempelvis en process med konstant volym (dV = 0), farvi

dT

T=

dp

p

1.9. GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA 23

1.9 Gradient och riktningsderivata

Gradienten till en funktion f(x, y) ar vektorn

grad f = ∇f =

(∂f

∂x,∂f

∂y

)

.

∇ ar en vektoroperator:

∇ =

(∂

∂x,∂

∂y

)

.

Exempel 1.9.1. Bestam gradienten till funktionerna

(a) f(x, y) = ex2 · cos y

(b) g(x, y) = x2y + 4y3

(%i7) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y):=exp(x^2)*cos(y);

(%o2) f (x, y) := exp(x2)cos (y)

(%i3) nabla(f(x,y),[x,y]);

(%o3) [2x ex2

cos (y) ,−ex2

sin (y)]

(%i4) g(x,y):=x^2*y+4*y^3;

(%o4) g (x, y) := x2 y + 4 y3

(%i5) nabla(g(x,y),[x,y]);

(%o5) [2x y, 12 y2 + x2]

Anmarkning. Vi laddar paketet vect1 (se [5]). Gradienten bestamsmed kommandot nabla.


Hur mater vi tillvaxten av en differentierbar funktion f(x) i en punkt a, langsen given rat linje x = a+ tu? Vi antar att u ar normerad, dvs |u| = 1.

Med riktningsderivatan av f(x)i punkten a, menas

f ′u(a) = lim

t→0

f(a+ tu)− f(a)

t

x

y

z

u.a;b/L

C

zD f .x;y/

T

.a;b; f .a;b//

Figure 12-23

I praktiken anvands foljande resultat:

Sats 1.9.2. Om f ar en differentierbar funktion och u en given riktning med|u| = 1, sa galler:

f ′u(a) = grad f(a) · u.

Exempel 1.9.3.

(a) Bestam derivatan avf(x, y) = x2y3

i punkten (1, 1) langs riktningen v = (1,√3).

(b) Bestam derivatan av

g(x, y) = ex2 · cos y

i punkten (1, 2) langs riktningen v = (3, 4).


(%i14) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y):=x^2*y^3;

(%o2) f (x, y) := x2 y3

(%i3) v:[1,sqrt(3)]$

(%i4) u:normalize(v)$

(%i5) rd:dot(nabla(f(x,y),[x,y]),u)$

(%i6) rd:subst([x=1,y=1],rd);

(%o6)3

3

2

2+ 1

(%i7) float(%);

(%o7) 3.598076211353316

(%i8) g(x,y):=exp(x^2)*cos(y);

(%o8) g (x, y) := exp(x2)cos (y)

(%i9) v2:[3,4]$

(%i10) u2:normalize(v2)$

(%i11) rd2:dot(nabla(g(x,y),[x,y]),u2)$

(%i12) rd2:subst([x=1,y=2],rd2);

(%o12)6 e cos (2)

5− 4 e sin (2)

5(%i13) float(%);

(%o13) − 3.334826598112032


Fran definitionen pa riktningsderivata ser vi:

f ′u(a) = grad f(a) · u

= |grad f(a)||u| cos θ= |grad f(a)| cos θ

Vi konstaterar: Riktningsderivatan ar som storst da θ = 0, dvs da u har sammariktning som gradienten. Vi formulerar:

grad f(a) pekar i riktningen som funktionen f tillvaxer snabbast i punkten a.

Exempel 1.9.4. Anta att

T (x, y, z) =z2

x2 + y2

beskriver temperaturen nagonstans i rummet. I vilken riktning vaxer tempera-turen snabbast i punkten (1,1,1), och hur stor ar denna okning per langdenhet?

(%i6) kill(all);

(%o0) done


(%i2) T(x,y,z):=z^2/(x^2+y^2);

(%o2) T (x, y, z) :=z2

x2 + y2

(%i3) gradT:nabla(T(x,y,z),[x,y,z]);

(%o3) [− 2x z2

(y2 + x2)2,− 2 y z2

(y2 + x2)2,

2 z

y2 + x2]

(%i4) gradT:subst([x=1,y=1,z=1],gradT);

(%o4) [−1

2,−1

2, 1]

(%i5) norm(gradT);

(%o5)

√3√2


1.9.1 Geometrisk tolkning av gradienten

Betrakta en punkt (a, b) pa nivakurvan

f(x, y) = K.

Lat x = x(t)y = y(t)

vara en parametrisering av denna kurva, med (x(t0), y(t0)) = (a, b). Da galleratt

f(x(t), y(t)) = K .

Med kedjeregeln far vi att (speciellt for t = t0):

grad f(a, b) · (x′(t0), y′(t0)) = 0

grad f(a, b) ar vinkelrat motnivakurvans tangent i (a, b). tangent i (a,b)

x

y

f(x,y)=K

(a,b)

grad f(a,b)

For nivaytorna f(x, y, z) = K galler analoga resultat, dvs grad f ar en normal-vektor till nivaytan. Tangentplanets ekvation i punkten P0 : (x0, y0, z0):

∇f(P0) ·−−→P0P = 0

dar P : (x, y, z) ar en godtycklig punkt i planet. Vektoroperatorn∇ =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)

erbjuder, som tidigare namnts, ett alternativt satt att formulera gradienten.

En funktionsyta z = f(x, y) kan uppfattas som nivaytan f(x, y)−z = 0. Vi kandarmed bestamma tangentplanet till en funktionsyta med en alternativ metod.

Exempel 1.9.5. Betrakta nivaytan

xz + yz5 + 2xy + 3 = 0. (2)

Bestam tangentplanet till nivaytan (2) i tangeringspunkten P0 = (−1, 2, 1).


(%i10) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y,z):=x*z+y*z^5+2*x*y+3;

(%o2) f (x, y, z) := x z + y z5 + 2x y + 3

(%i3) gradf:nabla(f(x,y,z),[x,y,z]);

(%o3) [z + 2 y, z5 + 2x, 5 y z4 + x]

(%i4) n:subst([x=-1,y=2,z=1],gradf);

(%o4) [5,−1, 9]

(%i5) P0:[-1,2,1]$ P:[x,y,z]$

(%i7) P0P:P-P0;

(%o7) [x+ 1, y − 2, z − 1]

(%i8) plan:dot(n,P0P)=0;

(%o8) 9 (z − 1)− y + 5 (x+ 1) + 2 = 0

(%i9) expand(%);

(%o9) 9 z − y + 5x− 2 = 0

Exempel 1.9.6. Bestam ekvationen for tangentplanet till ytan

z = e√1+2x+3y

i tangeringspunkten P0 = (0, 0, e).


(%i10) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y,z):=exp(sqrt(1+2*x+3*y))-z;

(%o2) f (x, y, z) := exp(√

1 + 2x+ 3 y)

− z


(%o3) [e√3 y+2x+1

√3 y + 2x+ 1

,3 e

√3 y+2x+1

2√3 y + 2x+ 1

,−1]

(%i4) n:subst([x=0,y=0,z=exp(1)],gradf);

(%o4) [e,3 e

2,−1]

(%i5) P0:[0,0,exp(1)]$ P:[x,y,z]$

(%i7) P0P:P-P0;

(%o7) [x, y, z − e]

(%i8) plan:dot(n,P0P)=0;

(%o8) − z +3 e y

2+ e x+ e = 0


1.10 Taylors formel

Antag att f(x, y) ar en differentierbarfunktion. Det betyder att nara punk-ten (a, b) galler foljande

(a+h,b+k)

(a,b)

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) + f ′x(a, b)h + f ′y(a, b) k +√

h2 + k2 ρ(h, k),

dar ρ(h, k) → 0 da (h, k) → (0, 0). Ofta ar vi nojda med denna ”tangent-plansapproximation”. Men om man vill gora en mer noggrann funktionsun-dersokning nara nagon given punkt, maste man ta hansyn till hur derivatorav hogre ordning inverkar. Detta astadkoms med Taylors formel.

Lat f(x, y) vara en Cn-funktion nara punkten (a, b). Da galler att:

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) + f ′x(a, b)h + f ′y(a, b)k+

+1

2

(f ′′xx(a, b)h

2 + 2f ′′xy(a, b)hk + f ′′yy(a, b)k2)+ . . .+Rn,

dar resttermen Rn ar begransad nara (a, b).

1.10. TAYLORS FORMEL 31

Med anvandning av differentialbeteckningar kan Taylors formel skrivas mer kom-primerat.

Om

∆f = f(a+ h, b+ k)− f(a, b),

df = f ′x(a, b)h+ f ′y(a, b)k,

dpf = (h∂

∂x+ k

∂

∂y)p f(a, b), p ∈ Z+

sa skrivs Taylorpolynomet av ordning (n− 1)

∆f = df +n−1∑

i=2

dif

i !

Exempel 1.10.1.Bestam Taylorpolynomet av ordning 2, P2(x, y), till funktionen

(a)f(x, y) = exy + x2 + 2xy3 + 3y

kring punkten (2,1). Berakna sedan med hjalp av P2(x, y) ett narmevardetill f(2.05, 0.97).

(b)

f(x, y) = e2x+y2

kring origo (dvs Maclaurinpolynomet av ordnIng 2).


(%i6) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=exp(x*y)+x^2+2*x*y^3+3*y;

(%o1) f (x, y) := exp (x y) + x2 + 2x y3 + 3 y

(%i2) P2:taylor(f(x,y),[x,y],[2,1],2)$

(%i3) P2:ratsimp(P2);

(%o3)

1

2

((4 e2 + 24

)y2 +

((6 e2 + 12

)x− 16 e2 − 42

)y+

+(e2 + 2

)x2 +

(−8 e2 − 8

)x+ 14 e2 + 24

)

(%i4) subst([x=2.05,y=0.97],P2)$

(%i5) float(%);

(%o5) 18.15875140659789

(%i9) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=exp(2*x+y*y);

(%o1) f (x, y) := exp (2x+ y y)

(%i2) P2:taylor(f(x,y),[x,y],[0,0],2)$

(%i3) P2:ratsimp(P2);

(%o3) y2 + 2x2 + 2x+ 1

1.10. TAYLORS FORMEL 33

Tva n-varden fordrar speciell uppmarksamhet.

• Specialfallet n = 2 ar speciellt viktigt och anvands vid undersokning avlokala extremvarden.

• Fallet n = 1 kanner vi igen som approximation med tangentplan.

Exempel 1.10.2. Berakna P2(x, y) for

f(x, y) = ln(1 + 2x+ 5y)

i punkten (a, b) = (0, 0).

Alternativ I For funktioner av en variabel galler:

ln(1 + x) ≈

≈ x− x2

2+x3

3− . . .+

(−1)n+1xn

n.

Vi ersatter x med 2x+ 5y i ovanstaende uttryck och far:

ln(1 + 2x+ 5y) ≈

≈ 2x+ 5y − (2x+ 5y)2

2+

+(2x+ 5y)3

3− . . . +

(−1)n+1(2x+ 5y)n

n.

Detta ger slutligen att P2(x, y) = 2x+ 5y − (2x+ 5y)2

2.

Alternativ II - Maxima

(%i4) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=log(1+2*x+5*y);

(%o1) f (x, y) := log (1 + 2x+ 5 y)

(%i2) P2:taylor(f(x,y),[x,y],[0,0],2);

(%o2)/T/ 5 y + 2x− 4x2 + 20 y x+ 25 y2

2+ ...

Kapitel 2

Extremvarden

2.1 Lokala maxima och minima

Lat P0 : (a, b) tillhora Df . En funktion f sags ha ett lokalt maximumi P0 om det finns en omgivning U omkring P0, sa att

f(x, y) ≤ f(a, b)

for alla x tillhorande Df och U .

Analoga resonemang for lokala minima.

2.1.1 Nodvandiga villkor

Pa samma satt som i envariabelfallet finns derivatan med som ett av tre s.k.nodvandiga villkor for lokala extremvarden. Vi behover en definition:

Om punkten (a, b) uppfyller

grad f(a, b) = 0,

kallas punkten stationar punkt.

34

2.1. LOKALA MAXIMA OCH MINIMA 35

Exempel 2.1.1. Bestam de stationara punkterna for

(a) f(x, y) = 2x3 − 6xy + 3y2,

(b) f(x, y) = −xy · e−(x2+y2)/2,

(c) f(x, y) = xy.

(%i1) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y):=2*x^3-6*x*y+3*y^2 /* UPPG (a) */;

(%o2) f (x, y) := 2x3 − 6x y + 3 y2

(%i3) gradf:nabla(f(x,y),[x,y]);

(%o3) [6x2 − 6 y, 6 y − 6x]

(%i4) ekv1:gradf[1]=0;

(%o4) 6x2 − 6 y = 0


(%o5) 6 y − 6x = 0

(%i6) solve([ekv1,ekv2],[x,y]);

(%o6) [[x = 1, y = 1], [x = 0, y = 0]]

36 KAPITEL 2. EXTREMVARDEN

(%i7) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y):=(-x)*y*exp(-(x^2+y^2)/2) /* UPPG (b) */;

(%o2) f (x, y) := (−x) y exp(

−(x2 + y2

)

2

)


(%o3) [x2 y e−y2−x2

2 − y e−y2−x2

2 , x y2 e−y2−x2

2 − x e−y2−x2

2 ]


(%o4) x2 y e−y2−x2

2 − y e−y2−x2

2 = 0


(%o5) x y2 e−y2−x2

2 − x e−y2−x2

2 = 0


(%o6) [[x = 0, y = 0], [x = 1, y = 1], [x = −1, y = 1], [x = 1, y =−1], [x = −1, y = −1]]


(%i7) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y):=x*y /* UPPG (c) */;

(%o2) f (x, y) := x y


(%o3) [y, x]


(%o4) y = 0


(%o5) x = 0


(%o6) [[x = 0, y = 0]]

Ur Exempel 2.1.1 (c) konstaterar vi: En stationar punkt behover inte ge ettlokalt extremvarde.

A andra sidan behover en lokal extrempunkt inte vara en stationar punkt (dvsom extrempunkterna ligger pa randen eller om derivatan ej existerar).

Varje lokal extrempunkt maste alltsa tillhora nagon av foljande kategorier:

• Stationara punkter,

• Punkter dar derivatan ej ar definierad,

• Randpunkter.


2.1.2 Tillrackliga villkor

Vi maste studera funktionen i den stationara punktens omedelbara narhet foratt kunna saga om denna punkt ger ett lokalt maximi- eller minimivarde.

Verktyg fran envariabelanalysen:

(a) Forstaderivatans teckenvaxlingar,

(b) Andraderivatans tecken.

Punkt (b) ager sin motsvarighet i Taylors formel, vilken forser oss med ettutmarkt verktyg for att studera funktioners uppforande i narheten av stationarapunkter.

Vi Taylorutvecklar f(x, y) kring den stationara punkten (a, b):

f(a+ h, b+ k)− f(a, b) = ∆f =

=1

2

(f ′′xx(a, b)h

2 + 2f ′′xy(a, b)hk + f ′′yy(a, b)k2)+Rn(h, k) =

=1

2Q(h, k) +Rn(h, k)

dar resttermen Rn ar begransad nara (a, b). Man kan i mer avancerade kurservisa, att den kvadratiska termen Q dominerar over resttermen ”nara” (a, b).

Anmarkning. Hogerledets tecken bestams darmed av tecknet paQ(h,k).

2.1.3 Studium av Q(h, k).

Vi satter

A = fxx(a, b), B = fxy(a, b), C = fyy(a, b).

Darefter kvadratkompletterar vi Q(h, k):

Q(h, k) = A ·[(

h+Bk

A

)2

+AC −B2

A2· k2]

.


Foljande sats formulerar vi. Beviset utelamnas.

Anta att f har kontinuerliga andraderivator nara punkten (a, b) ochatt grad f(a, b) = 0, dvs. punkten (a, b) ar en stationar punkt. Satt

A = fxx(a, b), B = fxy(a, b), C = fyy(a, b).

Bilda D = AC −B2.

1. Om D < 0 ar (a, b) en sadelpunkt.

2. Om D > 0 har f

(a) ett lokalt minimum i (a, b) om A > 0,

(b) ett lokalt maximum i (a, b) om A < 0.

Exempel 2.1.2. Bestam alla stationara punkter och deras karaktar da

f(x, y) = xye−x−2y


(%i21) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y):=x*y*exp(-x-2*y);

(%o2) f (x, y) := x y exp (−x− 2 y)


(%o3) [y e−2 y−x − x y e−2 y−x, x e−2 y−x − 2x y e−2 y−x]


(%o4) y e−2 y−x − x y e−2 y−x = 0


(%o5) x e−2 y−x − 2x y e−2 y−x = 0

(%i6) sp:solve([ekv1,ekv2],[x,y]);

(%o6) [[x = 0, y = 0], [x = 1, y =1

2]]

(%i7) fxx:diff(f(x,y),x,2);

(%o7) x y e−2 y−x − 2 y e−2 y−x

(%i8) fxy:diff(f(x,y),x,1,y,1);

(%o8) 2x y e−2 y−x − 2 y e−2 y−x − x e−2 y−x + e−2 y−x

(%i9) fyy:diff(f(x,y),y,2) /* Forts nasta sida */

(%o9) 4x y e−2 y−x − 4x e−2 y−x


(%i10) A:subst([x=0,y=0],fxx)$

(%i11) B:subst([x=0,y=0],fxy)$

(%i12) C:subst([x=0,y=0],fyy)$

(%i13) D:A*C-B^2$

(%i14) QF(a,d):=

block(

if (d<0) then print("Sadelpunkt")

else

if (d>0) and (a>0) then print("Lok min")

else

if (d>0) and (a<0) then print("Lok max")

)$

(%i15) QF(A,D)$

Sadelpunkt

(%i16) A:subst([x=1,y=1/2],fxx)$

-->

(%i17) B:subst([x=1,y=1/2],fxy)$

(%i18) C:subst([x=1,y=1/2],fyy)$

(%i19) D:A*C-B^2$

(%i20) QF(A,D)$

Lokmax

Anmarkning. Vi skriver en liten procedur QF for att automatiserabestamningen av den stationara punktens karaktar.


2.1.4 Om kvadratiska former och lokala extremvarden

Givet funktionen f : Rn 7→ R. Antag att a ar en stationar punkt: ∂f∂xj

(a) = 0

for j = 1, . . . , n. Da vet vi att tecknet hos ∆f = f(x) − f(a) ar avgorandefor att kunna bestamma om f(a) ar en lokal maximi- eller minimipunkt (elleringendera).

Lat hjk =∂2f

∂xj∂xk. Den symmetriska matrisen H = (hjk) kallas

Hessematrisen av f i punkten a.

Med denna definition kan Taylors formel skrivas

∆f = f(x)− f(a) =1

2zT H z+ R ,

dar zj = (xj − aj). Uppenbarligen bestams tecknet pa ∆f = f(x) − f(a) avden kvadratiska formen

Q(z) =1

2zT H z .

I den lite mer avancerade linjara algebran far man lara sig att det finns ettsamband mellan tecknet hos Q(z) och egenvarden till H. Vi sammanfattar:

Foljande samband galler mellan egenvarden och lokala extrempunk-ter:

• Anta att alla egenvarden till H ar positiva. Da ar Q(z) positivtdefinit, dvs f(a) ar en lokal minimipunkt.

• Anta att alla egenvarden till H ar negativa. Da ar Q(z) negativtdefinit, dvs f(a) ar en lokal maximipunkt.

• Anta att H har saval positiva som negativa egenvarden. Da arQ(z) indefinit, dvs f(a) ar en sadelpunkt.

Anmarkning. Om ett eller flera egenvarden till H ar noll, behovs ”knepiga”metoder for att avgora tecknet pa ∆f .


Exempel 2.1.3. Bestam och klassificera de stationara punkterna till

f(x, y) = 4x2 − 2xy + 3y2 + 3x− 2y + 1

(%i36) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y):=4*x^2-2*x*y+3*y^2+3*x-2*y+1;

(%o2) f (x, y) := 4x2 − 2x y + 3 y2 + 3x+ (−2) y + 1


(%o3) [−2 y + 8x+ 3, 6 y − 2x− 2]


(%o4) − 2 y + 8x+ 3 = 0


(%o5) 6 y − 2x− 2 = 0

(%i6) sp:solve([ekv1,ekv2],[x,y]);

(%o6) [[x = − 7

22, y =

5

22]]

(%i7) H:hessian(f(x,y),[x,y]);

(%o7)

(8 −2−2 6

)

(%i8) eigenvalues(ev(H,x=-7/22,y=5/22));

(%o8) [[7−√5,√5 + 7], [1, 1]]

Anmarkning. Eftersom samtliga egenvarden ar positiva foreligger ettlokalt minimum i stationara punkten (−7/22, 5/22).


Exempel 2.1.4. Bestam och klassificera de stationara punkterna till

f(x, y, z) = x2 − y2 + z2 + xy + xz + yz

(%i10) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y,z):=x^2-y^2+z^2+x*y+x*z+y*z;

(%o2) f (x, y, z) := x2 − y2 + z2 + x y + x z + y z


(%o3) [z + y + 2x, z − 2 y + x, 2 z + y + x]


(%o4) z + y + 2x = 0


(%o5) z − 2 y + x = 0


(%o6) 2 z + y + x = 0

(%i7) sp:solve([ekv1,ekv2,ekv3],[x,y,z]);

(%o7) [[x = 0, y = 0, z = 0]]

(%i8) H:hessian(f(x,y,z),[x,y,z]);

(%o8)

2 1 11 −2 11 1 2

(%i9) eigenvalues(ev(H,x=0,y=0,z=0));

(%o9) [[−√33− 1

2,

√33 + 1

2, 1], [1, 1, 1]]

Anmarkning. Eftersom saval positiva som negativa egenvardenforekommer ar punkten (0, 0, 0) en sadelpunkt.

2.2. STORSTA OCH MINSTA VARDE 45

2.2 Storsta och minsta varde

I manga tillampningar stoter man ofta pa problemet med att bestamma engiven funktions storsta eller minsta varde. Det kan underlatta om man, innankalkylerna startas, vet att det faktiskt existerar ett storsta eller minsta varde.Det finns en sats som ar anvandbar i detta sammanhang. Vi ger den utan bevis.

Sats 2.2.1. Anta att f ar kontinuerlig pa en sluten, begransad mangd. Da harf ett storsta och ett minsta varde pa mangden.

Anmarkning. En mangd M ar sluten om dess rand tillhor mangden.En mangd M ar begransad om det existerar ett tal K, sa att |x| ≤K, ∀x ∈ M.

Om nu f har sitt optimum i en punkt P , sa maste P tillhora nagon av foljandekategorier:

• Stationara punkter,

• Punkter dar derivatan ej ar definierad,

• Randpunkter.

Exempel 2.2.2. Berakna det storsta och minsta vardet av funktionen

f(x, y) = x2 − xy + y2 − x− y + 1

da (x, y) tillhor det slutna triangelomradet med horn i punkterna (0,−1), (0, 1), (2, 0).

Var losningsritual bestar i att ta reda pa ”misstankta” extrempunkter (som kangomma sig i ovanstaende kategorier), berakna motsvarande funktionsvarden ochslutligen rangordna dessa varden.


(%i25) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=x^2-x*y+y^2-x-y+1;

(%o1) f (x, y) := x2 − x y + y2 − x− y + 1



/* Vi kontrollerar stat. (inre) pkter */

(%o3) [−y + 2x− 1, 2 y − x− 1]


(%o4) − y + 2x− 1 = 0


(%o5) 2 y − x− 1 = 0


/* (1,1) ointressant. Tillhor ej mangden */

(%o6) [[x = 1, y = 1]]Kartlaggning av hornpunkterna

(%i7) F1:subst([x=2,y=0],f(x,y));

(%o7) 3

(%i8) F2:subst([x=0,y=-1],f(x,y));

(%o8) 3

(%i9) F3:subst([x=0,y=1],f(x,y));

(%o9) 1


Randundersokning– Rand x=0

(%i10) g1:subst([x=0],f(x,y));

(%o10) y2−y+1(%i11) dg1:diff(g1,y);

(%o11) 2 y − 1

(%i12) solve(dg1=0,y);

(%o12) [y =1

2]

(%i13) /* (0,1/2) misstankt extrempunkt */

F4:subst(y=1/2,g1);

(%o13)3

4Rand y = 1− x/2, 0 < x < 2

(%i14) g2:subst([y=1-x/2],f(x,y));

(%o14) x2 −(

1− x

2

)

x− x

2+(

1− x

2

)2

(%i15) dg2:diff(g2,x);

(%o15)7x

2− 5

2(%i16) solve(dg2=0,x);

/* x=5/7 misstankt pkt */

(%o16) [x =5

7]

(%i17) F5:subst(x=5/7,g2);

(%o17)3

28


Rand y = x/2− 1, 0 < x < 2

(%i18) g3:subst([y=x/2-1],f(x,y));

(%o18) x2 −(x

2− 1)

x− 3x

2+(x

2− 1)2

+ 2


(%o19)3x

2− 3

2(%i20) SP3:solve(dg3=0,x);

/*x=1 misstankt pkt */

(%o20) [x = 1]

(%i21) F6:subst(x=1,g3);

(%o21)9

4RANGORDNING

(%i22) L:[F1,F2,F3,F4,F5,F6];

(%o22) [3, 3, 1,3

4,3

28,9

4]

(%i23) sort(L);

(%o23) [3

28,3

4, 1,

9

4, 3, 3]

Vi konstaterar efter rangordningen, att fmin = 3/28 och fmax = 3.Utfor kalkylerna for hand som nyttig ovning.


Exempel 2.2.3. Berakna storsta och minsta vardet av funktionen f(x, y) =x2 − 3x+ y2 − 3y i omradet (x, y) : x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0.Rakna forst for hand, darefter med Maxima.

(%i20) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=x^2-3*x+y^2-3*y;

(%o1) f (x, y) := x2 − 3x+ y2 + (−3) y


Stationara (inre) punkter


(%o3) [2x− 3, 2 y − 3]


(%o4) 2x− 3 = 0


(%o5) 2 y − 3 = 0


(%o6) [[x =3

2, y =

3

2]]

(3/2, 3/2) ointressant.Hornpunkter

(%i7) F1:subst([x=2,y=0],f(x,y));

(%o7) − 2

(%i8) F2:subst([x=-2,y=0],f(x,y));

(%o8) 10


Rand y = 0,−2 < x < 2

(%i9) g1:subst([y=0],f(x,y));

(%o9) x2 − 3x


(%o10) 2x− 3

(%i11) solve(dg1=0,x);

(%o11) [x =3

2]

(3/2,0) misstankt pkt

(%i12) F3:subst(x=3/2,g1);

(%o12) − 9

4Cirkelrand x2 + y2 = 4, y > 0

(%i13) g2:subst([x=2*cos(t),y=2*sin(t)],f(x,y));

(%o13) 4 sin (t)2 − 6 sin (t) + 4 cos (t)2 − 6 cos (t)

(%i14) dg2:diff(g2,t);

(%o14) 6 sin (t)− 6 cos (t)

(%i15) solve(dg2=0,t);

(%o15) [sin (t) = cos (t)]t = π/4 misstankt

(%i16) F4:subst(t=%pi/4,g2);

(%o16) 4− 3 · 2 3

2

(%i17) F4:float(F4);

(%o17) − 4.485281374238571RANGORDNING

(%i18) L:[F1,F2,F3,F4];

(%o18) [−2, 10,−9

4,−4.485281374238571]

(%i19) sort(L);

(%o19) [−4.485281374238571,−9

4,−2, 10]

2.3. EXTREMVARDESPROBLEM MED BIVILLKOR 51

Rangordningen visar att fmin = 4− 6√2, fmax = 10.

2.3 Extremvardesproblem med bivillkor

Anta att f(x, y) ar kontinuerlig inomett omrade Df och att (a, b) ar en in-re punkt iDf . Sok det storsta och detminsta varde som f(x, y) kan anta paDf .

Ofta ar det omojligt att se de ingaende variablerna som fullstandigt oberoendeav varandra. Ett (eller flera) s.k. bivillkor maste uppfyllas. Dessa bivillkor arnormalt definierade som kurvan

g(x, y) = 0. (1)

Det galler att undersoka villkoren for att f(x, y) skall ha extremvarden da (x, y)varierar pa kurvan (1).

Exempel 2.3.1. Bestam det kortaste avstandet fran origo till punkterna pakurvan xy = 1, x > 0, y > 0.

Avstandet till origo ar d(x, y) =√

x2 + y2. Att optimera d ar helt ekvivalentmed att optimera den enklare funktionen

f(x, y) = d2(x, y) = x2 + y2 , (2)

under bivillkoret xy = 1.

I (2) ersatts y med 1/x, vilket ger envariabelfunktionen f(x, 1/x) = g(x) =x2 + 1/x2. Vi deriverar g och soker stationara punkter for x > 0.

Vi far en kandidat, namligen x = 1. Detta leder till funktionsvardet g(1) = 2,vilket i sin tur ger att sokta minimivardet ar dmin =

√

g(1) =√2.

Forsok nu att lata Maxima losa detta problem.

2.3.1 Geometrisk tolkning av bivillkoret

Vi vet att det ofta ter sig omojligt att explicit losa ut nagon av variablerna ursamband av typ (1). Det behovs andra hjalpmedel.


Vi betraktar problemet att optimera f(x, y) med definitionsmangden D underbivillkoret (1). Antag att optimum intraffar i en inre punkt (a, b) i D. Antagvidare att grad g(a, b) 6= 0. Da galler att vi kan parameterframstalla (1) nara(a, b) genom

x = x(t)y = y(t)


Detta leder till att den en-variabla funktionen

φ(t) = f(x(t), y(t))

har ett lokalt extremvarde for det t-varde t0 da (x(t0), y(t0)) = (a, b). Medandra ord: φ′(t0) = 0, d.v.s.

∇f(a, b) · r′(t0) = 0,

enligt kedjeregeln, dar

r(t) =

[x(t)y(t)

]

.

Men detta betyder: Vektorerna grad f(a, b) och tangentvektorn r′(t0) i tange-ringspunkten (a, b) till kurvan (1) ar ortogonala. Vi sammanfattar detta:

I den inre punkten (a,b), som ar en extrempunkt, galler att gradien-terna till f resp. g ar parallella, dvs

grad f(a, b) = λ grad g(a, b). (3)

Pa koordinatform blir (3):

∂f

∂x= λ

∂g

∂x,

∂f

∂y= λ

∂g

∂y.

(4)

Denna formulering av (3) gar under benamningen Lagranges multiplikatorme-tod.

I denna metod upptacker vi ytterligare en obekant, namligen multiplikatorn λ.

Man har tre ekvationer for att bestamma (a, b): Dels (4), dels (1).

I ett par exempel visar vi hur man loser denna typ av optimeringsproblem medhjalp av Maxima.


Exempel 2.3.2. (Se Exempel 2.3.1). Anvand Lagranges multiplikatormetod foratt bestamma det kortaste avstandet fran origo till punkterna pa kurvan

g(x, y) = xy − 1 = 0 , x > 0, y > 0. (5)

(%i14) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y):=x^2+y^2 /* Kvadratiska avstandet */;

(%o2) f (x, y) := x2 + y2

(%i3) g(x,y):=x*y-1;

(%o3) g (x, y) := x y − 1

(%i4) gradf:nabla(f(x,y),[x,y])$

(%i5) gradg:nabla(g(x,y),[x,y])$

(%i6) ekv1:gradf[1]-lambda*gradg[1]=0$


(%i8) ekv3:g(x,y)=0$

(%i9) sol:solve([ekv1,ekv2,ekv3],[x,y,lambda]);

(%o9) [[x = 1, y = 1, lambda = 2], [x = −1, y = −1, lambda =2], [x = −i, y = i, lambda = −2], [x = i, y = −i, lambda = −2]]

(%i10) d:sqrt(f(1,1));

(%o10)√2


Anmarkning. Vi far en kandidat (se (5)), eller hur? Funktionsvardetf(1, 1), vilket i sin tur ger att sokta minimivardet ar dmin =√

f(1, 1) =√2. Prova att losa problemet med papper och penna.

Vissa larobocker anvander den s.k. Lagrangefunktionen

L(x, y, λ) = f(x, y) + λ g(x, y)

och loser problemet genom att bestamma stationara punkter tillL(x, y, λ). I exemplet skulle Lagrangefunktionen definieras

L(x, y, λ) = x2 + y2 + λ(xy − 1) .


Exempel 2.3.3. Minimera funktionen

f(x, y) = 4− (0.5x2 + y2 − 0.3x)

m.a.p. bivillkoret g(x, y) = x2 + y2 = 1.

(%i12) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y):=4-(0.5*x^2+y^2-0.3*x);

(%o2) f (x, y) := 4−(0.5x2 + y2 + (−0.3) x

)

(%i3) g(x,y):=x^2+y^2-1;

(%o3) g (x, y) := x2 + y2 − 1

(%i4) gradf:nabla(f(x,y),[x,y])$

(%i5) gradg:nabla(g(x,y),[x,y])$



(%i8) ekv3:g(x,y)=0$

(%i9) sol:solve([ekv1,ekv2,ekv3],[x,y,lambda]);

rat : replaced0.3by3/10 = 0.3rat : replaced− 1.0by − 1/1 = −1.0

(%o9) [[x = −1, y = 0, lambda = −13

20], [x = 1, y = 0, lambda =

− 7

20], [x = − 3

10, y =

√91

10, lambda = −1], [x = − 3

10, y =

−√91

10, lambda = −1]]

(%i11) [f(-1,0),f(1,0),f(-3/10,sqrt(91)/10),f(-3/10,

-sqrt(91)/10)];

(%o11) [3.2, 3.8, 2.955, 2.955]


Vi undersoker f(−3/10,±√91/10)

resp. f(±1, 0), som ger att fmin =591/200 ≈ 2.955 som antas ipunkterna(−3/10,±

√91/10).

–1.5–0.500.511.5

x

–1.5–1–0.500.51 y

0

1

2

3

4

Kapitel 3

Integralkalkyl

3.1 Dubbelintegraler

Vi betraktar en sluten rektangel

R = (x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d .

Vi antar att z = f(x, y) ≥ 0 ar definierad pa R och var uppgift ar att bestammavolymen mellan ytan och xy-planet. Vi delar in R i ett andligt antal (mn)smarektanglar och vi valjer i var och en av dessa en punkt Pij = (x∗ij , y

∗ij).

Da borde rimligen f(Pij)∆xi∆yj approximativt motsvara volymen av ”prismat”i figuren. Ett narmevarde till den totala volymen V far vi genom att (dubbel-)summera prismornas volymer:

V ≈∑

i,j

f(Pij)∆xi∆yj.

Ju mindre delrektanglar vi valjer, desto battre borde approximationen bli. Mergenerellt kan detta uttryckas:

58

3.1. DUBBELINTEGRALER 59

Antag att f(x, y) ar definierad pa ett kompakt omrade R. Indela Ri n delomraden. Om f ar kontinuerlig pa R sa galler att

∑

i,j

f(Pij)∆xi∆yj →¨

R

f(x, y)dxdy

nar indelningens finhet gar mot noll. Gransvardet kallas dubbelinte-gralen av f over R.

3.1.1 Nagra egenskaper

Linearitet¨

D

(Lf +Mg) dxdy =

= L

¨

D

f dxdy +M

¨

D

g dxdy,

Olikheter bevaras

f ≤ g pa D ⇒¨

D

f dxdy ≤¨

D

g dxdy,

Triangelolikheten ∣∣∣∣∣∣

¨

D

f dxdy

∣∣∣∣∣∣

≤¨

D

|f |dxdy,

Additivitet

D1

⋂

D2 = ∅ ⇒¨

D1

⋃D2

f dxdy =

=

¨

D1

f dxdy +

¨

D2

f dxdy.

60 KAPITEL 3. INTEGRALKALKYL

3.1.2 Hur beraknar man dubbelintegraler?

Lat f(x, y) vara kontinuerlig pa det begransade omradet

D = (x, y) : a ≤ x ≤ b, c(x) ≤ y ≤ d(x)

ellerD = (x, y) : a(y) ≤ x ≤ b(y), c ≤ y ≤ d .

Da galler

¨

D

f(x, y) dxdy =

bˆ

a

d(x)ˆ

c(x)

f(x, y) dy

dx.

eller¨

D

f(x, y) dxdy =

dˆ

c

b(y)ˆ

a(y)

f(x, y) dx

dy.

Vi betraktar den ena av de tva varianterna: Fixt x och variabelt y. (For detaterstaende fallet gor vi analoga resonemang.)

Vi konstaterar attberakningsmetodiken ar iterativ:Dubbelintegralen reduceras till tvaenkelintegraler: Forst m.a.p. y, sedanm.a.p. x.

Mojligen kanner vi igen metodiken fran M0043M, dar vi gjorde en del volym-berakningar. Dessa integraler var egentligen inget annat an forkladda dubbelin-tegraler.


Exempel 3.1.1. Anta att D ar rektangeln

D = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 .

Berakna¨

D

(1 + x2 + y2)dxdy

pa tva satt.

(%i4) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=1+x^2+y^2;

(%o1) f (x, y) := 1 + x2 + y2

(%i2) integrate(integrate(f(x,y),x,0,1),y,0,2);

(%o2)16

3

(%i3) integrate(integrate(f(x,y),y,0,2),x,0,1);

(%o3)16

3


Exempel 3.1.2. Andra integrationsordningen i

2ˆ

0

2xˆ

x2

x3dy

dx.

och berakna darefter integralen. Se nedanstaende figur.

Figur 3.1: Linjen y = 2x samt parabeln y = x2.

(%i4) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=x^3;

(%o1) f (x, y) := x3

(%i2) assume(y>=0);

(%o2) [y >= 0]

(%i3) integrate(integrate(f(x,y),x,y/2,sqrt(y)),y,0,4);

(%o3)32

15


Exempel 3.1.3. Berakna volymen av den kropp som ligger under ytan z =1+ x3 och ovanfor omradet i xy-planet mellan kurvan y = 1− x2 och x-axeln.

Se vidstaende figur.

(%i2) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=x^3+1;

(%o1) f (x, y) := x3 + 1

(%i2) integrate(integrate(f(x,y),y,0,1-x^2),x,-1,1);

(%o2)4

3


Exempel 3.1.4. Berakna dubbelintegralen

1ˆ

0

1ˆ

y

sinx

xdx

dy.

Rita en figur over integrationsomradet.

(%i1) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y):=sin(x)/x;

(%o1) f (x, y) :=sin (x)

x

(%i2) integrate(integrate(f(x,y),y,0,x),x,0,1);

(%o2) 1− cos (1)

3.2. VARIABELBYTE I DUBBELINTEGRALER 65

3.2 Variabelbyte i dubbelintegraler

Fran envariabelkursen minns vi

bˆ

a

f(x) dx =

g(b)ˆ

g(a)

f(g(u)) g′(u) du.

Hur gor man variabelbyte i

¨

D

f(x, y) dxdy?

Anta att de nya variablerna , benamnda u och v, har foljande relation till degamla variablerna x, y:

x = x(u, v)y = y(u, v)

(1)

(u,v)

(x,y)

u

v y

x

DS

Sambandet (1) beskriver en avbildning fran uv-planet till xy-planet. Avbildning-en (1) antas vara bijektiv, dvs det rader en fullstandig en-entydig motsvarighetmellan elementen i mangderna S och D:

• varje punkt i S avbildas pa en punkt i D,

• varje punkt i D avbildas pa en punkt i S,

• skilda punkter i S avbildas pa skilda punkter i D.


u

v

y

x

(u,v) (u+∆u,v)

(u,v+∆v)

(x(u,v),y(u,v))

(x(u,v+∆v),y(u,v+∆v))

(x(u+∆u,v),y(u+∆u,v))

a

b

S

R

Betrakta en infinitesimal rektangel S i uv-planet.

Avbildningen (1) overfor rektangeln i uv-planet till den deformerade ”parallel-logrammen” R i xy-planet, vilken kan approximeras (∆x och ∆y ar sma) medparallellogrammen vars sidvektorer (tangentvektorer) ar

a = (x(u+∆u, v)− x(u, v), y(u +∆u, v)− y(u, v)) ≈

≈(∂x

∂u∆u,

∂y

∂u∆u

)

.

respektive

b ≈(∂x

∂v∆v,

∂y

∂v∆v

)

.

Arean A av R approximeras med arean av parallellogrammen:

A ≈ |a× b| =∣∣∣∣

∂x

∂u· ∂y∂v

− ∂x

∂v· ∂y∂u

∣∣∣∣∆u∆v,

Vi definierar:

Talet

∂(x, y)

∂(u, v)=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣

kallas funktionaldeterminanten eller Jacobianen.

Med denna definition konstaterar vi att

dA = ∆x∆y =

∣∣∣∣

∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣∆u∆v.


Anmarkning. Den linjara algebran lar oss att omradet i xy-planet de-formeras till ett omrade i uv-planet via en inverterbar linjar avbildning.Areaforandringen ar lika med beloppet av avbildningens determinant.

Vi sammanfattar

Om (1) ar en 1-1-avbildning sa att∂(x, y)

∂(u, v)6= 0, sa galler

¨

R

f(x, y) dxdy =

=

¨

S

f(x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∣

∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣du dv.

3.2.1 Att avbilda pa enklare omraden

Exempel 3.2.1. Berakna integralen

¨

D

x

x+ 2ydxdy,

dar omradet D ar omradet, begransat av linjerna 2x − y = 0, 2x − y = 2,x+ 2y = 1 och x+ 2y = 2.

D

2x-y=2

2x-y=0

x+2y=2

x+2y=1

x

y

1


Exemplet visar pa en ofta forekommande problemstallning: Man infor variableru och v pa formen

u = u(x, y)v = v(x, y)

(2)

Det ar i detta lage lampligt att anvanda foljande rakneregel:

Antag att (2) ar en (bijektiv) inverterbar avbildning med inversen (1).Da galler:

∂(x, y)

∂(u, v)=

1

∂(u, v)

∂(x, y)

Vi anvander variabelbytet u = 2x− y, v = x+ 2y. Vi far

∂(u, v)

∂(x, y)= · · · = 5, eller hur?

Detta leder till att∂(x, y)

∂(u, v)=

1

5,

varav¨

D

x

x+ 2ydxdy = · · ·

Vi later Maxima ge sig i kast med problemet. Men innan den manovern: Full-borda losningen pa egen hand som nyttig ovning.


(%i9) kill(all);

(%o0) done

(%i1) e1:u=2*x-y$

(%i2) e2:v=x+2*y$

(%i3) sol:solve([e1,e2],[x,y])$

(%i4) [x,y]:[rhs(sol[1][1]),rhs(sol[1][2])]$

(%i5) f:ev(x/(x+2*y),x=rhs(sol[1][1]),y=rhs(sol[1][2]))$

(%i6) J:jacobian([x,y],[u,v])$

(%i7) J:determinant(J);

(%o7)1

5

(%i8) integrate(integrate(f*J,u,0,2),v,1,2);

(%o8)4 log (2) + 2

25

Exempel 3.2.2. Berakna dubbelintegralen

I =

¨

D

(x4 − y4) dxdy,

dar D ar det omrade i xy-planet som begransas av kurvorna

x2 − y2 = 1 , x2 − y2 = 2 , xy = 1 , xy = 3.


Sattu = x2 − y2

v = xy(3)

Da kommer D i xy-planet (bijektivt) att svara mot

D′ = (u, v) : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 3.

Jacobianen

∂(u, v)

∂(x, y)=

∣∣∣∣

2x −2yy x

∣∣∣∣= 2(x2 + y2).

Avbildningen (3) uttrycker inversen till transformationen (u, v) 7→ (x, y). Men

∂(x, y)

∂(u, v)=

1

∂(u, v)

∂(x, y)

=1

2(x2 + y2).

Med Maxima far vi

(%i1) kill(all);

(%o0) done

(%i1) e1:u=x^2-y^2$

(%i2) e2:v=x*y$

(%i3) sol:solve([e1,e2],[x,y])$

(%i4) [x,y]:[rhs(sol[1][1]),rhs(sol[1][2])]$

(%i5) f:ev(x^4-y^4,x=rhs(sol[1][1]),y=rhs(sol[1][2]))$

(%i6) J:jacobian([x,y],[u,v])$

(%i7) J:determinant(J)$

(%i8) integrate(integrate(f*J,u,1,2),v,1,3);

(%o8)3

2


Vi anvander som regel inte den inversa avbildningen utan later Max-ima rakna utgaende fran relationen (1). Observera att beloppet avJacobianen forekommer i integralen efter variabelbytet.Som tidigare sagts, ar det viktigt att inte forsumma det egnaraknandet.


3.2.2 Polara koordinater

Polara koordinater infors genom

x = r cos θy = r sin θ

Funktionaldeterminanten (Jacobianen)

∂(x, y)

∂(r, θ)=

∣∣∣∣

cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣= r.

Vi far till sist¨

D

f(x, y) dxdy =

¨

D′

f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ.

Anmarkning. Polara koordinater ar anvandbara om integranden/in-tegrationsomradet lattare kan uttryckas i polara koordinater an i kar-tesiska koordinater.


Exempel 3.2.3. Berakna volymen av det omrade, som begransas av xy-planetoch paraboloiden z = 1− x2 − y2.

Paraboloiden skar xy-planet langs kurvan (satt z = 0) 0 = 1− x2 − y2, dvs encirkel. Sokt volym:

V =

¨

E

(1− x2 − y2) dxdy.

Med Maxima blir resultatet

(%i7) kill(all);

(%o0) done

(%i1) [x,y]:[r*cos(theta),r*sin(theta)]$

(%i2) J:jacobian([x,y],[r,theta])$

(%i3) J:trigsimp(determinant(J));

(%o3) r

(%i4) f(x,y):=1-x^2-y^2$

(%i5) f:ev(f(x,y),x=r*cos(theta),y=r*sin(theta))$

(%i6) integrate(integrate(f*J,r,0,1),theta,0,2*%pi);

(%o6)π

2


Exempel 3.2.4. Bestam arean av cirkelskivan

x2 + (y − 1)2 ≤ 1

E

x

y

r=2 sinθ

θ

Anmarkning. Arean kan beraknas som en dubbelintegral:

A(E) =

¨

E

1 · dxdy.

Vi maste uttrycka cirkelns ekvation i polara koordinater.


Cirkelperiferin uttrycks i polara koordinater

r2 cos2 θ + (r sin θ − 1)2 = 1 ⇔ r(r − 2 sin θ) = 0

A =

¨

E

1 dxdy =

¨

E′

r dr dθ = . . .

(%i7) kill(all);

(%o0) done




(%o3) r

(%i4) f(x,y):=1$


(%i6) integrate(integrate(f*J,r,0,2*sin(theta)),theta,0,%pi);

(%o6) π

Exempel 3.2.5. Berakna¨

R

y dA,

dar R ar omradet i forsta kvadrantensom ligger utanfor cirkeln r = 2 ochinnanfor kardioiden r = 2(1 + cos θ).


(%i1) kill(all);

(%o0) done




(%o3) r

(%i4) f(x,y):=y$


(%i6) integrate(integrate(f*J,r,2,2*(1+cos(theta))),

theta,0,%pi/2);

(%o6)22

3

3.3. TRIPPELINTEGRALER 77

3.3 Trippelintegraler

Antag att Ω ar ett omrade i xyz-rummet, och att f(x, y, z) ar en reell funktion.Det finns ingen enkel geometrisk tolkning av en trippelintegral. Daremot kanden utan vidare tolkas fysikaliskt. Antag exempelvis att f(x, y, z) ar densiteten ipunkten (x, y, z). Da tolkas trippelintegralen av f over Ω som den totala massanav omradet Ω.

3.3.1 Berakningsmetodik

Raknereglerna for dubbelintegraler galler ocksa for trippelintegraler (efter nodvandigamodifieringar). Antag att Ω definieras enligt

Ω =

(x, y, z) : φ(x, y)︸︷︷︸

gul yta

≤ z ≤ ψ(x, y)︸︷︷︸

bla yta

, (x, y) ∈ D

,

dar D ar projektionen av Ω pa xy-planet (grona omradet).


Exempel 3.3.1. Berakna˚

Ω

(x2y + yz2) dV,

dar Ω : (x, y, z) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3, 1 ≤ z ≤ 2.

(%i1) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y,z):=x^2*y+y*z^2;

(%o1) f (x, y, z) := x2 y + y z2

(%i2) integrate(integrate(integrate(f(x,y,z),x,-1,1),

y,0,3),z,1,2);

(%o2) 24

Exempel 3.3.2. Lat Q vara soliden begransad av planen x = 0, y = 0, z =0, x+ y + z = 1, x+ y + z/2 = 1. Bestam volymen av Q.

Anmarkning. Volymen kan beraknas som en trippelintegral:

V (Q) =

˚

Q

1 · dxdy dz.


Vi far

V (Q) =

˚

Q

1 · dxdy dz = . . .

(%i1) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y,z):=1;

(%o1) f (x, y, z) := 1

(%i2) integrate(integrate(integrate(f(x,y,z),z,1-x-y,

2*(1-x-y)),y,0,1-x),x,0,1);

(%o2)1

6

Exempel 3.3.3. Bestam volymen av omradet R begransat av planet z = 3−2yoch paraboloiden z = x2 + y2.

Omradet D i xy-planet fas som skarningen mellan paraboloid och plan:

x2 + y2(= z) = 3− 2y.


Kvadratkomplettering ger x2 + (y + 1)2 = 4, dvs. en cirkel med centrum i(0,−1), radie 2. Vi far

V (R) =

˚

R

1 · dxdy dz =

=

¨

D

3−2yˆ

x2+y2

dz

dxdy = . . .

(%i10) kill(all);

(%o0) done

(%i1) f(x,y,z):=1;

(%o1) f (x, y, z) := 1

(%i2) Iz:integrate(f(x,y,z),z,x^2+y^2,3-2*y);

(%o2) − y2 − 2 y − x2 + 3

(%i3) define(g(x,y),%);

(%o3) g (x, y) := −y2 − 2 y − x2 + 3

(%i4) /* Polara koordinater */

[x,y]:[r*cos(theta),-1+r*sin(theta)]$



(%o6) r

(%i7) g:ev(g(x,y),x=r*cos(theta),y=-1+r*sin(theta))$

(%i8) I:integrate(integrate(g*J,r,0,2),theta,0,2*%pi);

(%o8) 8π


Anmarkning. Exemplet ar ine trivialt. Forsok att losa det med papperoch penna. Anvand kartesiska koordinater samt ett symmetriresone-mang.

Exempel 3.3.4. Lat T vara en inhomogen solid i form av en tetraeder, be-gransad av planen x+ y+ z = 1, och de tre koordinatplanen x = 0, y = 0 samtz = 0.

Berakna tetraederns massam(T ), om densiteten ar proportionell mot avstandetfran xy-planet.

Figur 3.2: Tetraedern T .

Ur texten far vi att densiteten ρ(x, y, z) = kz, k > 0. Det rodmarkeradeomradet D i xy-planet ar triangulart.

m(T ) =

˚

T

kz dV =

=

¨

D

1−x−yˆ

0

kz dz

dxdy = . . .


(%i1) kill(all);

(%o0) done

(%i1) assume(k>0);

(%o1) [k > 0]

(%i2) f(x,y,z):=k*z;

(%o2) f (x, y, z) := k z

(%i3) integrate(integrate(integrate(f(x,y,z),x,0,1-y-z),

z,0,1-y),y,0,1);

(%o3)k

24

3.4 Variabelbyte i trippelintegraler

Lat T vara en bijektiv transformation som avbildar ett omrade R′ i uvw-rummettill ett annat omrade R i xyz-rummet med ekvationerna

x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w).

Jacobianen ar 3× 3-determinanten

∂(x, y, z)

∂(u, v, w)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w

∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3.4. VARIABELBYTE I TRIPPELINTEGRALER 83

Fran den linjara algebran vet vi att arean av T (R′) ar |detA| multiplicerad medR, dar T ar en linjar avbildning med tillhorande matris A.

Figur 3.3: Linjar avbildning T .

Denna ide kan vi tillampa pa vart variabelbyte.

Ett typiskt variabelbyte i en trippelintegral kan namligen beskrivas som somen differentierbar 1-1-avbildning1 f : R3 7→ R

3. Den lokala volymsforstoringenunder variabelbytet f ges av absolutbeloppet av Jacobianen. Vi sammanfattar:

˚

D

f(x, y, z) dV =

=

˚

D′

g(u, v, w)

∣∣∣∣

∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

∣∣∣∣dudv dw,

darg(u, v, w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)).

1Det finns en klassisk sats i analysen (Inversa Funktionssatsen) som sager, att om Jacobi-anen ar 6= 0 sa ar avbildningen (lokalt) inverterbar.


Exempel 3.4.1. Bestam volymen av ellipsoiden

x2

a2+y2

b2+z2

c2≤ 1

med hjalp av variabelbytet

x = au, y = bv, z = cw.

(%i9) kill(all);

(%o0) done

(%i1) assume(a>0)$ assume(b>0)$ assume(c>0)$

(%i4) [x,y,z]:[a*u,b*v,c*w]

/*

Ellipsoiden transformeras till enhetsklotet

*/$

(%i5) J:jacobian([x,y,z],[u,v,w])$

(%i6) J:determinant(J);

(%o6) a b c

(%i7) f(x,y,z):=1$

(%i8) integrate(integrate(integrate(f(x,y,z)*J,u),v),w);

(%o8) a b c u v w

Maximas svar ar litet konstigt och skall tolkas sa:

˚

K

abcdudv dw = abc · Volym(K),

dar K ar enhetsklotet, vars volym ar 4π/3. Sokta volymen ar4

3πabc.


3.4.1 Cylindriska koordinater

Med hjalp av speciella koordinatsystem kan man ofta forenkla integraler somar besvarliga att hantera i kartesiska koordinater. Cylindriska koordinater aranvandbara nar integrationsomradet innefattar cirklar (i xy-planet) och nar zkan uttryckas som en funktion av x och y, som inte ar alltfor komplicerad.Cylindriska koordinater erhalls fran kartesiska koordinater genom att ersatta x-och y-koordinaterna med polara koordinater r och θ och lamna z-koordinatenoforandrad.

Transformation:

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z.

Figur 3.4: Cylindriska koordinater.


Jacobi-matrisen

J =

cos θ −r sin θ 0sin θ r cos θ 00 0 1

Jacobianen blir

det(J) = r.

˚

R

f(P ) dV =

˚

R′

f(r, θ, z) r dr dθ dz.

Exempel 3.4.2. Bestam massan M av den inhomogena cylindern T med radieR och hojd h, vars densitet λ(x, y, z) varierar med avstandet till cylinderns axel.

Densitet: λ(x, y, z) = k√

x2 + y2.

Cylindriska koordinater:

M =

˚

T

k√

x2 + y2 dxdy dz = . . .

Utfor kalkylerna pa egen hand, garna med papper och penna.


(%i10) kill(all);

(%o0) done

(%i1) assume(R>0)$ assume(h>0)$ assume(k>0)$

(%i4) [x,y,z]:[r*cos(theta),r*sin(theta),s]$

(%i5) J:jacobian([x,y,z],[r,theta,z])$


(%o6) r

(%i7) f(x,y,z):=k*sqrt(x^2+y^2)$

(%i8) f:ev(f(x,y,z),x=r*cos(theta),y=r*sin(theta),z=z)$

(%i9) integrate(integrate(integrate(f*J,r,0,R),

theta,0,2*%pi),z,0,h);

(%o9)2π hk R3

3


3.4.2 Sfariska koordinater

Sfariska (ibland benamnda rymdpolara) koordinater bestar av tva koordinatersom beskriver vinklar och en koordinat som beskriver avstandet fran origo till enpunkt P i rymden. Detta variabelbyte ar anvandbart nar integrationsomradetinnefattar nagon typ av sfarisk geometri (klot, sfarer, koner etc).

Transformation:

x = ρ sinφ cos θ, y = ρ sinφ sin θ, z = ρ cosφ.

Figur 3.5: Sfariska koordinater.


Jacobimatrisen:

J =

sinφ cos θ ρ cosφ cos θ −ρ sinφ sin θsinφ sin θ ρ cosφ sin θ ρ sinφ cos θcosφ −ρ sinφ 0

Jacobianen:

det(J) = ρ2 sinφ.

˚

R

f(P ) dV =

˚

R′

f(ρ, φ, θ) ρ2 sinφdρdφdθ.

Exempel 3.4.3. Bestam massan M av det inhomogena klotet T med radie 1,vars densitet λ(x, y, z) varierar med kvadratiska avstandet till klotets medel-punkt.

Densitet: λ(x, y, z) = k(x2 + y2 + z2).

Sfariska koordinater:

M =

˚

T

k(x2 + y2 + z2) dxdy dz = . . . (Ovning.)


(%i8) kill(all);

(%o0) done

(%i1) assume(k>0)$

(%i2) [x,y,z]:[rho*sin(phi)*cos(theta),

rho*sin(phi)*sin(theta),rho*cos(phi)]$

(%i3) J:jacobian([x,y,z],[rho,phi,theta])$


(%o4) sin (φ) ρ2

(%i5) f(x,y,z):=k*(x^2+y^2+z^2)$

(%i6) f:ev(f(x,y,z),x=rho*sin(phi)*cos(theta),

y=rho*sin(phi)*sin(theta),z=rho*cos(phi))$

(%i7) integrate(integrate(integrate(f*J,rho,0,1),theta,

0,2*%pi),phi,0,%pi);

(%o7)4π k

5

Kapitel 4

Vektoranalys

4.1 Faltbegreppet

For att beskriva diverse fysikaliska fenomen i rummet R3 behovs ett koordinat-system. Dessa fysikaliska fenomen (exempelvis hastigheten i en vatskestromningeller temperaturen hos en kropp) ar i sig oberoende av valet av koordinatsystem.Vi behover nu en matematisk begreppsapparat, som uppvisar samma invariansvid byte mellan olika koordinatsystem. Vektoranalysen ar just vad vi behover foratt kunna beskriva och bygga matematiska modeller av olika fysikaliska feno-men.

Som grund for denna matematiska formalism lag den polsk-tyske matematikernHermann Grassmans (1809-1877) arbeten, vilka den amerikanske fysikern J.W.Gibbs (1839-1903), samt den brittiske fysikern Oliver Heaviside (1850-1925)vidareutvecklade.

Figur 4.1: Grassmann, Gibbs och Heaviside.

91

92 KAPITEL 4. VEKTORANALYS

Ur Nationalencyklopedin1 hamtar vi foljande definition:

Vektoranalys, sammanfattande benamning pa matematisk analys i fle-ra dimensioner som behandlar vektorers forandring. Grundlaggande arbegreppet vektorfalt; det uppstar genom att varje punkt i ett omradei rummet och tiden tilldelas en vektor. Det ar vektorns beroende avtiden och laget som studeras i vektoranalysen.

Vektoranalysen soker losa problemet hur vektorer och skalarer varierar fran punkttill punkt i rummet. Dess grundbegrepp ar faltbegreppet.

Ett falt ar en funktion, definierad pa (nagon delmangd av) rummet. Faltetbenamns skalart falt, om faltet associerar reella tal med punkter r i rummet.Faltet benamnsvektorfalt, om faltet tillordnar vektorer till punkter r i rummet.

Exempel 4.1.1. Har foljer nagra exempel pa falt, saval skalara som vektoriella.

Skalara falt Temperaturfordelningen i en kropp, densiteten hos en vatska.

Vektorfalt Faltstyrkan kring elektriska laddningar, magnetfaltet fran en elekt-risk strom.

Anmarkning. I detta kapitel anvands genomgaende foljande beteck-ningar for standardbasen i R3:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

1http://www.ne.se/jsp/search/article.jsp

?i art id=340685 Nationalencyklopedin 2000-11-10

4.1. FALTBEGREPPET 93

4.1.1 Grafisk representation av falt

Ett skalart falt f kan beskrivas med sina nivaytor f = konst. Om faltet ar enpotential, kallas nivaytorna for ekvipotentialytor. Se Fig. 4.2 nedan.

Figur 4.2: Graf over ekvipotentialytor.

Ett vektorfalt kan beskrivas genom att man ritar ut faltvektorernaA(Pk) i nagotlampligt valt punktgitter Pi, enligt Fig. (4.3) nedan.

Figur 4.3: Graf over faltet fran en dipol.


Ett annat satt att askadliggora vektorfalt ar med faltlinjer. En faltlinje till vek-torfaltet ar en kurva, vars tangentvektor i varje punkt P pa kurvan ar parallellmed faltvektorn A(P ). Se Fig. 4.4 nedan.

Figur 4.4: Graf over faltlinje.

Exempel 4.1.2. Bestam differentialekvationerna (och darmed faltlinjerna) till

vektorfaltet v =

[−yx

]

. Askadliggor vektorfaltet.

Anta att faltlinjen Γ parameterframstalls enligt

r = r(t).

Linjens tangentvektor ar parallell med faltvektorn i varje punkt pa Γ:

dr

dt= λv(r(t)).

eller

dx

dt= λ(−y)

dy

dt= λx

(1)


Systemet (1), av ordinara differentialekvationer, kan skrivas (vi eliminerar λ):

dy

dx= −x

y,

som ar en separabel ekvation. Losningarna, dvs faltlinjerna, ar koncentriskacirklar med centrum i origo (kontrollera).

(%i1) kill(all);

(%o0) done

(%i1) load(draw)$

(%i2) koord:setify(makelist(k,k,-4,4))$

(%i3) pkt_2d:listify(cartesian_product(koord,koord))$

(%i4) falt(x,y):=vector([x,y],[-y,x]/5)$

(%i5) vektorer:makelist(falt(k[1],k[2]),k,pkt_2d)$

(%i6) apply(wxdraw2d,append([color=blue,

head_length = 0.1,unit_vectors = true],vektorer))$

(%t6)


Anmarkning. Gitterpunkterna genereras med listify med tillvaletcartesian product. For mer information om kommandona setify

och listify jamte tillval, hanvisas till [2].Vi anpassar faltvektorernas langder genom att multiplicera vektorn[-y,x] med 1/5.

4.1.2 Konservativa falt

Ett vektorfalt F sags vara ett potentialfalt (konservativt falt, gradientfalt), omF kan skrivas

F = gradΦ.

Φ kallas en potential till F.

Anmarkning. Foljande fragestallningar ar vasentliga i sammanhang-et:

• Hur vet vi nar ett falt F ar konservativt?

• Om F ar konservativt, hur bestammer vi potentialen Φ?

Anta att F = (P (x, y), Q(x, y)) ar ett konservativt plant kraftfalt. Da gallerenligt ovanstaende:

F = (P,Q) = (∂Φ

∂x,∂Φ

∂y).

Lat oss derivera P med avseende pa y:

Py =∂

∂y

(∂Φ

∂x

)

=∂2Φ

∂y∂x=

∂2Φ

∂x∂y=

∂

∂x

(∂Φ

∂y

)

= Qx.


Var kalkyl visar pa en viktig egenskap hos ett potentialfalt. Lat oss formuleradenna egenskap lite mer precist:

Antag att F = (P,Q) ar tva ganger kontinuerligt deriverbart vek-torfalt i ett enkelt sammanhangande omrade V ⊂ R

2.Om F ar ett potentialfalt sa galler

∂P

∂y=∂Q

∂x. (2)

For fallet med F = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) resonerar vi pa liknandesatt.

Anmarkning. Ett omrade V ar sammanhangande om tva godtyckligapunkter i V kan forbindas med en slat kurva som helt ligger i V .Ett omrade V ar enkelt sammanhangande om V ”saknar hal”, dvsatt slutna kurvor i V ej omsluter nagra punkter, som inte tillhor V .

Exempel 4.1.3. Antag att F = (x,−y). Visa att F ar konservativt och bestamen potential till F.


(%i7) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F(x,y):=[x,-y]$

(%i3) scalefactors([x,y]);

(%o3) done

(%i4) potential(F(x,y));

(%o4) − y2 − x2

2(%i5) define(phi(x,y),%);

(%o5) phi (x, y) := −y2 − x2

2

(%i6) nabla(phi(x,y),[x,y]) /* Kontroll */;

(%o6) [x,−y]

Anmarkning. Vi visar att F ar konservativt genom att bestammaen potential φ(x, y). Om vi enbart vill verifiera att vektorfaltet arkonservativt, racker det att studera (2) ovan. Gor det som ovning.Anvand Maxima.For att gora en lang historia kort, anvands kommandotscalefactors inom vektoranalysen. Skalfaktorer ar nodvandiga narman ska uttrycka (funktions-)sambandet mellan cartesiska koordinat-system och andra linjara eller kroklinjiga koordinatsystem.


Exempel 4.1.4. Antag att F = (yz, xz, xy − 2z). Ar F konservativt? Bestami sa fall en potential till F.

(%i7) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F(x,y,z):=[y*z,x*z,x*y-2*z]$

(%i3) scalefactors([x,y,z]);

(%o3) done

(%i4) potential(F(x,y,z));

(%o4) x y z − z2

(%i5) define(phi(x,y,z),%);

(%o5) phi (x, y, z) := x y z − z2

(%i6) nabla(phi(x,y,z),[x,y,z]);

(%o6) [y z, x z, x y − 2 z]


Exempel 4.1.5. Visa att vektorfaltet

F(x, y, z) = (6xy + z3, 3x2 − z, 3xz2 − y)

ar ett gradientfalt2, dvs. bestam en funktion Φ, sa att F = gradΦ.

(%i1) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F(x,y,z):=[6*x*y+z^3,3*x^2-z,3*x*z^2-y]$

(%i3) scalefactors([x,y,z]);

(%o3) done

(%i4) potential(F(x,y,z));

(%o4) x z3 − y z + 3x2 y

(%i5) define(phi(x,y,z),%);

(%o5) φ (x, y, z) := x z3 − y z + 3x2 y

(%i6) nabla(phi(x,y,z),[x,y,z]) /* Kontroll */;

(%o6) [z3 + 6x y, 3x2 − z, 3x z2 − y]

2Benamningarna gradientfalt, potentialfalt och konservativt falt ar synonymer.


4.1.3 Extra: Faltekvationer i klassisk fysik

Om r ar ortsvektorn (radius vector) i R2 eller R3, och om c ar en konstant, sakallas ett vektorfalt pa formen

F(r) =c

|r|3 r

ett ”inverse-square”- falt. Faltets styrka ar omvant proportionell mot kvadratenpa avstandet, darav benamningen ”inverse-square”- falt.

Gravitationsfaltet och det elektrostatiska faltet ar tva viktiga ”inverse-square”-falt i den klassiska fysiken.

Exempel 4.1.6. Coulombs lag sager, att en testladdning q som befinner sig ipunkten med ortsvektor r, paverkas av en kraft F fran en laddning Q i origo:

F(r) =qQ

4πǫ0|r|3r

Figur 4.5: Coulombs lag.

Anmarkning. ”Inverse-square”- falt ar konservativa overallt i R2 ellerR3 utom i origo.


4.2 Kurvintegraler

Figur 4.6: Parameterframstalld kurva C.

Vi betraktar den plana kurvan C med parameterframstallningen

r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b.

Kurvintegralen av f over C betecknas

ˆ

C

f(x, y) dS.

Vi gor analoga resonemang for kurvor i R3.

Anmarkning. Antag att f(x, y, z) ar densiteten (massen-het/langdenhet) av en trad placerad langs C. Da ar kurvintegralenen modell for att bestamma tradens totala massa.

4.2. KURVINTEGRALER 103


Med hjalp av begreppet baglangd, som vi studerade i M0043M, kunde en pa-rametriserad kurvas langd bestammas. Vi anvander en likartad metodik for attevaluera en kurvintegral:

ˆ

C

f(x, y, z) dS =

=

bˆ

a

f(x(t), y(t), z(t))√

(x)2 + (y)2 + (z)2 dt =

=

bˆ

a

f(r(t)) |r|dt.

Exempel 4.2.1. En tunn trad ar placerad langs spiralkurvan

C : r(t) = (cos t, sin t, 3t), 0 ≤ t ≤ π/2.

Densiteten ar proportionell mot kvadraten pa avstandet till origo, med propor-tionalitetskonstant K. Berakna tradens massa.

Figur 4.7: Spiralkurvan C.


(%i8) kill(all);

(%o0) done


(%i2) r(x,y,z):=[cos(t),sin(t),3*t]$

(%i3) assume(K>0);

(%o3) [K > 0]

(%i4) rho(x,y,z):=K*(x^2+y^2+z^2);

(%o4) rho (x, y, z) := K(x2 + y2 + z2

)

(%i5) Rho:ev(rho(x,y,z),x=cos(t),y=sin(t),z=3*t)$

(%i6) dr:diff(r(x,y,z),t);

(%o6) [−sin (t) , cos (t) , 3]

(%i7) integrate(Rho*norm(dr),t,0,%pi/2);

(%o7)

√10(3π3 + 4π

)K

8

Anmarkning. Da man beraknar

ˆ

C

f(x, y, z) dS

med berakningsformeln, har valet av parameterframstallning av kur-van C ingen betydelse. Orienteringen av C har inte heller nagon be-tydelse, eftersom f(x, y, z) ar ett s.k. skalarfalt.

4.2. KURVINTEGRALER 105

Exempel 4.2.2. Anta att en tunn, halvcirkelformad trad har ekvationen

y =√

25− x2,

och att dess (mass-)densitet ar

δ(x, y) = 15 − y.

Bestam tradens massa.

(%i8) kill(all);

(%o0) done


(%i2) r(x,y):=[5*cos(t),5*sin(t)]$

(%i3) rho(x,y):=15-y;

(%o3) rho (x, y) := 15− y

(%i4) Rho:ev(rho(x,y),x=5*cos(t),y=5*sin(t))$

(%i5) dr:diff(r(x,y),t);

(%o5) [−5 sin (t) , 5 cos (t)]

(%i6) integrate(Rho*norm(dr),t,0,%pi);

(%o6) 5 (15π − 10)


4.3 Arbete som en kurvintegral

Figur 4.8: Partikelrorelse under inverkan av en kraft.

I mekaniska tillampningar arbetar man ofta med olika typer av falt. Antag att enpartikel ror sig langs en kurva C (i R2 eller R3) under inverkan av ett kraftfaltF. Vi vill berakna det arbete som utrattas av kraftfaltet.

Om F ar ett kontinuerligt vektorfalt och C ar en slat, parameterframstalldkurva(i R2 eller R

3) med enhetstangentvektor T , definierar man det totalaarbetet langs C ar

W =

ˆ

C

F · T dS. (3)


Vi anvander foljande metodik for att evaluera kurvintegralen (3): Vi uttrycker

T som derivatanr

|r| . Baglangden dS = |r|dt. Detta ger

W =

ˆ

C

F · T dS =

t1ˆ

t0

F(r(t)) · rdt.

Da kan (3) alternativt kan uttryckas som

W =

ˆ

C

F · dr, (4)

dar dr tolkas som vektorn

dr = (dx,dy) eller dr = (dx,dy,dz).

4.3. ARBETE SOM EN KURVINTEGRAL 107

Exempel 4.3.1. En partikel, som paverkas av kraftfaltet

F(x, y) = (x3y, x− y),

ror sig langs parabeln y = x2 fran (-2,4) till (1,1). Berakna det arbete, somkraftfaltet utrattar.

(%i8) kill(all);

(%o0) done


(%i2) r(x,y):=[t,t^2]$

(%i3) f(x,y):=[x^3*y,x-y];

(%o3) f (x, y) := [x3 y, x− y]

(%i4) F:ev(f(x,y),x=t,y=t^2)$


(%o5) [1, 2 t]

(%i6) integrate(dot(F,dr),t,-2,1);

(%o6) 3


Anmarkning. Da man beraknar

W =

ˆ

C

F · dr,

har orienteringen av C betydelse.

4.3.2 Kurvintegraler i konservativa falt

Som regel ar kurvintegralen (4) beroende av kurvan C. Emellertid finns det ettviktigt undantag fran denna egenskap. Det visar sig att (4) ibland ar oberoendeav vag. Detta intraffar da F ar ett konservtivt kraftfalt.

Exempel 4.3.2. Kraftfaltet

F(x, y) = (y, x)

ar konservativt med potential Φ(x, y) = xy. Berakna arbetet

W =

ˆ

C

F · dr,

da C ar:

• det rata linjestycket y = x med startpunkt i (0,0) och andpunkt i (1,1),

• parabeln y = x2 med startpunkt i (0,0) och andpunkt i (1,1),

• kurvan y = x3 med startpunkt i (0,0) och andpunkt i (1,1).

4.3. ARBETE SOM EN KURVINTEGRAL 109

(%i15) kill(all);

(%o0) done


(%i2) /* PUNKT 1 */ r1(x,y):=[t,t]$

(%i3) f(x,y):=[y,x];

(%o3) f (x, y) := [y, x]

(%i4) F:ev(f(x,y),x=t,y=t)$

(%i5) dr:diff(r1(x,y),t);

(%o5) [1, 1]

(%i6) integrate(dot(F,dr),t,0,1);

(%o6) 1

(%i7) /*PUNKT 2*/ r2(x,y):=[t,t^2]$

(%i8) F:ev(f(x,y),x=t,y=t^2)$


(%o9) [1, 2 t]


(%o10) 1

(%i11) /* PUNKT 3 */ r3(x,y):=[t,t^3]$

(%i12) F:ev(f(x,y),x=t,y=t^3)$


(%o13) [1, 3 t2]


(%o14) 1


Anmarkning. Exemplet visar pa foljande struktur: Lat F vara ettkontinuerligt deriverbart vektorfalt definierat pa ett oppet, sam-manhangande omrade V . Foljande utsagor ar ekvivalenta:

• F ar ett potentialfalt (konservativt falt) med potential Φ,

•

˛

C

F · dr = 0 for varje sluten kurva C i V ,

•

ˆ

C

F · dr = Φ(B)− Φ(A).

Den sista punkten visar pa en viktig egenskap, namligen att integralenendast beror pa kurvans startpunkt A och andpunkt B. Integralen aroberoende av vag.

Exempel 4.3.3. Givet kraftfaltet

F(x, y) = (y2, 2xy).

Berakna

W =

ˆ

C

F · dr,

da C ar en kurva med startpunkt i (1,1) och andpunkt i (-1,-1).

Anmarkning. Kraftfaltet ar konservativt med potential φ(x, y) =xy2. Darfor har integrationsvagen ingen betydelse, enbart potential-differensen.Vi later Maxima verifiera detta genom att exempelvis integrera overcirkelbagen x2 + y2 = 2, med startpunkt i (1,1) och andpunkt i (-1,-1).

4.4. YTOR PA PARAMETERFORM 111

(%i11) kill(all);

(%o0) done


(%i2) r(x,y):=[sqrt(2)*cos(t),sqrt(2)*sin(t)]$

(%i3) f(x,y):=[y^2,2*x*y];

(%o3) f (x, y) := [y2, 2x y]

(%i4) F:ev(f(x,y),x=sqrt(2)*cos(t),y=sqrt(2)*sin(t))$


(%o5) [−√2 sin (t) ,

√2 cos (t)]

(%i6) integrate(dot(F,dr),t,%pi/4,3*%pi/4);

(%o6) − 2

(%i7) /* POTENTIALDIFFERENS */ scalefactors([x,y]);

(%o7) done

(%i8) potential(f(x,y));

(%o8) x y2

(%i9) define(phi(x,y),%);

(%o9) phi (x, y) := x y2

(%i10) ev(phi(-1,-1)-phi(1,1));

(%o10) − 2

4.4 Ytor pa parameterform

En yta S har normalt tva sidor och man kan astadkomma en orientering av ytanmed hjalp av en (enhets-)normalvektor till S. I likhet med kurvor, kan avenytor parameterframstallas:

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).


Antag att vi betraktar en parameterframstalld yta. Speciellt intresserar oss

Figur 4.9: Yta pa parameterform.

punkten P0 : (x0, y0, z0) = r(u0, v0). Om v = v0 fixeras, betyder detta attr(u, v0) genererar en graf, v = konst. Analogt, om u = u0 fixeras, betyderdetta att r(u0, v) genererar en graf, u = konst.

Vi inser att vektorn∂r

∂u

∣∣∣∣(u0,v0)

ar tangentvektor till v = konst. respektive

vektorn∂r

∂v

∣∣∣∣(u0,v0)

ar tangentvektor till u = konst. i punkten P0.

Figur 4.10: Tangentvektorer.


For en parameterframstalld yta S : r = r(u, v) dar∂r

∂u× ∂r

∂v6= 0, definieras

den utatriktade enhetsnormalvektorn eller utatnormalen som

∂r

∂u× ∂r

∂v∣∣∣∣

∂r

∂u× ∂r

∂v

∣∣∣∣

.

Exempel 4.4.1. Bestam en ekvation for tangentplanet till den parameter-framstallda ytan

r(u, v) = (uv, u, v2),

i den punkt dar u = 2 och v = 1.

Figur 4.11: Ytan r(u, v) = (uv, u, v2)


(%i12) kill(all);

(%o0) done


(%i2) r(u,v):=[u*v,u,v^2]$

(%i3) dru:diff(r(u,v),u);

(%o3) [v, 1, 0]

(%i4) drv:diff(r(u,v),v);

(%o4) [u, 0, 2 v]

(%i5) n:cross(dru,drv);

(%o5) [2 v,−2 v2,−u]

(%i6) P0:[2,2,1]$

(%i7) P:[x,y,z]$

(%i8) P0P:P-P0;

(%o8) [x− 2, y − 2, z − 1]

(%i9) N:ev(n,u=2,v=1);

(%o9) [2,−2,−2]

(%i10) plan:dot(N,P0P)=0;

(%o10) − 2 (z − 1)− 2 (y − 2) + 2 (x− 2) = 0

(%i11) expand(%);

(%o11) − 2 z − 2 y + 2x+ 2 = 0


4.4.1 Arean av en buktig yta

Betrakta en ytas parameterframstallning

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Vi noterar att ytelementet dS ar

dS =

∣∣∣∣

∂r

∂u× ∂r

∂v

∣∣∣∣dudv.

Detta leder till att arean A av ytan S kan skrivas:

A =

¨

S

∣∣∣∣

∂r

∂u× ∂r

∂v

∣∣∣∣dudv.

Exempel 4.4.2. Bestam arean av en sfar med radie R.

Anmarkning. Sfarens parameterframstallning:

r(φ, θ) = R(sinφ cos θ, sinφ sin θ, cosφ).


(%i8) kill(all);

(%o0) done


(%i2) assume(R>0);

(%o2) [R > 0]

(%i3) r(phi,theta):=[R*sin(phi)*cos(theta),

R*sin(phi)*sin(theta),R*cos(phi)]$

(%i4) dr_phi:diff(r(phi,theta),phi);

(%o4) [cos (φ) cos (θ) R, cos (φ) sin (θ) R,−sin (φ) R]

(%i5) dr_theta:diff(r(phi,theta),theta);

(%o5) [−sin (φ) sin (θ) R, sin (φ) cos (θ) R, 0]

(%i6) n:cross(dr_phi,dr_theta)$

(%i7) integrate(integrate(norm(n),phi,0,%pi),theta,0,2*%pi);

(%o7) 4π R2

4.4.2 Arean av funktionsytan z = f(x, y)

En funktionsyta z = f(x, y) kan parameterframstallas med

r(u, v) = (u, v, f(u, v)).

Vi deriverar:

∂r

∂u= (1, 0, fu) = (1, 0, fx),

∂r

∂v= (0, 1, fv) = (0, 1, fy).


Vektorprodukten ger oss normalvektorn:

∂r

∂u× ∂r

∂v= . . . =

(

−∂f∂x

,−∂f∂y, 1

)

.

Arean A av funktionsytan z = f(x, y) kan saledes bestammas med integralen

A =

¨

S

√

1 +

(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

dxdy.

Exempel 4.4.3. Bestam arean av konen

z =√

x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1.

Anmarkning. Konens parameterframstallning:

r(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r) 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π.


(%i7) kill(all);

(%o0) done


(%i2) r(R,theta):=[R*cos(theta),R*sin(theta),R]$

(%i3) dr_theta:diff(r(R,theta),theta);

(%o3) [−sin (θ) R, cos (θ) R, 0]

(%i4) dr_R:diff(r(R,theta),R);

(%o4) [cos (θ) , sin (θ) , 1]

(%i5) n:cross(dr_theta,dr_R)$

(%i6) integrate(integrate(norm(n),R,0,1),theta,0,2*%pi);

(%o6)√2π

4.4.3 Berakning av ytintegraler

Beroende pa hur ytan representeras, sa finns det olika metoder for att evalu-era en ytintegral. Foljande rakneregel inrymmer metodiken for att berakna enytintegral, da S ar parameterframstalld.

Lat S vara en slat yta med parameterframstallningen

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Om f(x, y, z) ar kontinuerlig over S, galler¨

S

f(x, y, z) dS =

=

¨

D

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

∣∣∣∣

∂r

∂u× ∂r

∂v

∣∣∣∣dudv.

Exempel 4.4.4. Berakna ytintegralen¨

S

x2 dS,

da S utgors av enhetssfaren.


(%i10) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y,z):=x^2;

(%o2) f (x, y, z) := x2

(%i3) r(phi,theta):=[sin(phi)*cos(theta),

sin(phi)*sin(theta),cos(phi)]$


(%o4) [cos (φ) cos (θ) , cos (φ) sin (θ) ,−sin (φ)]


(%o5) [−sin (φ) sin (θ) , sin (φ) cos (θ) , 0]


(%i7) f:ev(f(x,y,z),x=sin(phi)*cos(theta),

y=sin(phi)*sin(theta),z=cos(phi));

(%o7) sin (φ)2 cos (θ)2

(%i8) integrate(integrate(f*norm(n),phi,0,%pi),

theta,0,2*%pi);

(%o8)4π

3

Exempel 4.4.5. Beraknaˆ

S

xz dS,

da S ar forsta oktanten av enhetssfaren.


(%i10) kill(all);

(%o0) done


(%i2) f(x,y,z):=x*z;

(%o2) f (x, y, z) := x z








(%i7) f:ev(f(x,y,z),x=sin(phi)*cos(theta),


(%o7) cos (φ) sin (φ) cos (θ)

(%i8) integrate(integrate(f*norm(n),phi,0,%pi/2),

theta,0,%pi/2);

(%o8)1

3

4.5. FLODESINTEGRALER 121

4.5 Flodesintegraler

Vi har tidigare behandlat ytintegraler av skalarfalt. Nu gar vi vidare och skallbehandla ytintegraler av vektorfalt.

Figur 4.12: Ytintegraler av vektorfalt.

Nar en yta beskrivs med en parameterframstallning

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (5)

genererar (5) en naturlig orientering av ytan. Vi har tidigare definierat den s.k.utatnormalen, som medfor en positiv orientering av ytan. Lat oss nu betraktaden orienterade parameterytan

S : r = r(u, v) dar (u, v) ∈ D.

Figur 4.13: Flodet genom ytan.

Antag att en vatska strommar genom ytan. Vatskeflodet beskrivs av det konti-nuerliga hastighetsfaltet v(r). Hur stort ar flodet (m3/s) genom ytan?

Vi later n beteckna ytans positiva enhetsnormalvektor. Skalarprodukten v · nar v:s komponent langs n.


Flodet av v over den orienterade ytan S ar

¨

S

v · n dS eller

¨

S

v · dS. (6)

Integralen (6) kallas ibland en normalytintegral.


Vi anvander foljande metodik for att evaluera ytintegralen (6): Vi uttrycker nsom

n =

∂r

∂u× ∂r

∂v∣∣∣∣

∂r

∂u× ∂r

∂v

∣∣∣∣

.

Areaelementet

dS =

∣∣∣∣

∂r

∂u× ∂r

∂v

∣∣∣∣dudv.

Vi sammanfattar: Lat S vara en slat yta med parameterframstallningen

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

dar (u, v) varierar over ett omrade D i uv-planet. Om v ar kontinuerlig over S,och n ar en utatriktad enhetsnormalvektor, galler

¨

S

v · n dS =

¨

D

v ·(∂r

∂u× ∂r

∂v

)

dudv.

4.5.2 Vektoriella ytelement

For att berakna integraler av typen (6), behover vi teckna det vektoriella ytele-mentet dS = ndS.

Nivayta Om f(x, y, z) = K, ar det vektoriella ytelementet

dS = ± ∇f∂f/∂z

dxdy.


Funktionsyta Om z = f(x, y), ar det vektoriella ytelementet

dS = ±(∂f

∂x,∂f

∂y,−1

)

dxdy.

Parameterframstalld yta Om r = r(u, v), ar det vektoriella ytelementet

dS = ±(∂r

∂u× ∂r

∂v

)

dudv.

Exempel 4.5.1. Berakna flodet av faltet F =

y−x4

ut ur S, definierat som

den del av funktionsytan z = 1− x2 − y2 som ligger i forsta oktanten.

Figur 4.14: Funktionsytan z = 1− x2 − y2.

Vi parameterframstaller ytan:

r(x, y) =

xy

f(x, y)

Det vektoriella ytelementet dS =

(

−∂f∂x,−∂f

∂y, 1

)

dxdy. Observera

normalriktningen!!

dS =

2x2y1

dxdy.


(%i9) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F(x,y,z):=[y,-x,4];

(%o2) F (x, y, z) := [y,−x, 4]

(%i3) r(x,y):=[x,y,1-x^2-y^2]$

(%i4) dr_x:diff(r(x,y),x);

(%o4) [1, 0,−2x]

(%i5) dr_y:diff(r(x,y),y);

(%o5) [0, 1,−2 y]

(%i6) n:cross(dr_x,dr_y);

(%o6) [2x, 2 y, 1]

(%i7) dot(F(x,y,z),n);

(%o7) 4

Anmarkning. Eftersom F · n = 4, blir resultatet

¨

D

F · dS = 4×A(D) = π.

Omradet D ar en fjardedel av enhetsdisken, eller hur?


Exempel 4.5.2. Berakna flodet av faltet F =

zyx

over enhetssfaren x2 +

y2 + z2 = 1.

Vi parameterframstaller sfaren:

x = sinφ cos θy = sinφ sin θz = cosφ

Det vektoriella ytelementet for en parameterframstalld yta:

dS =∂r

∂φ× ∂r

∂θdφdθ =

sin2 φ cos θsin2 φ sin θsinφ cosφ

dφdθ.


(%i9) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F(x,y,z):=[z,y,x];

(%o2) F (x, y, z) := [z, y, x]








(%i7) f:ev(F(x,y,z),x=sin(phi)*cos(theta),


(%o7) [cos (φ) , sin (φ) sin (θ) , sin (φ) cos (θ)]

(%i8) integrate(integrate(dot(f,n),phi,0,%pi),

theta,0,2*%pi);

(%o8)4π

3



¨

S

F · ndS,

da

F =

x+ yzx

och S ar triangelytan

2x+ 2y + z = 4 , x, y, z ≥ 0

med normalriktning bort fran origo.

Figur 4.15: Nivaytan 2x+ 2y + z − 4 = 0.


Anmarkning. Nivaytan f(x, y, z) = 2x+2y+ z− 4 = 0 medfor attytelementet dS tecknas

dS =|n|n · k dA =

|∇f |∇f · k dA =

|∇f |∂f

∂z

dA.

Det vektoriella ytelementet dS blir da:

dS =∇f

∂f/∂zdxdy =

221

dxdy.

(%i8) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:[x+y,z,x];

(%o2) [y + x, z, x]

(%i3) G(x,y,z):=2*x+2*y+z;

(%o3) G(x, y, z) := 2x+ 2 y + z

(%i4) n:nabla(G(x,y,z),[x,y,z]);

(%o4) [2, 2, 1]

(%i5) e_z:[0,0,1];

(%o5) [0, 0, 1]

(%i6) dot(F,n/dot(n,e_z)) /* Kontroll */;

(%o6) 2 z + 2 (y + x) + x

(%i7) integrate(integrate(dot(ev(F,z=4-2*x-2*y),

n/dot(n,e_z)),y,0,2-x),x,0,2);

(%o7) 12


Exempel 4.5.4. Hastighetsfaltet i en vatskestromning ges av vektorn v =(z, 0, x2 + 2z). Beakna den vatskevolym som per tidsenhet strommar ut fran

omradet, begransat av xy-planet och paraboloiden z =1− x2 − y2

2.

Anmarkning. Det sokta flodet bestar av tva termer:

¨

S1

v · dS+

¨

S2

v · dS,

dar S1 ar paraboloiden z =1− x2 − y2

2, z > 0, med normalvektor

riktad snett uppat, medan S2 ar enhetsskivan x2 + y2 ≤ 1, z = 0,med nedatriktad normalvektor n = −k.

Kalkylen bestar av tva delar: Dels ytintegralen over S1, dels ytintegralen overS2.


Ytan S1

(%i1) kill(all);

(%o0) done


(%i2) V(x,y,z):=[z,0,x^2+2*z] /* YTINTEGRAL S1 */;

(%o2) V (x, y, z) := [z, 0, x2 + 2 z]

(%i3) R(x,y):=[x,y,(1-x^2-y^2)/2]$

(%i4) dR_x:diff(R(x,y),x)$

(%i5) dR_y:diff(R(x,y),y)$

(%i6) n:cross(dR_x,dR_y)$

(%i7) v:ev(V(x,y,z),z=(1-x^2-y^2)/2)$

(%i8) define(g(x,y),dot(v,n));

(%o8) g (x, y) := −y2 + x(−y2 − x2 + 1

)

2+ 1




(%i12) g:ev(g(x,y),x=r*cos(theta),y=r*sin(theta))$

(%i13) integrate(integrate(g*J,r,0,1),theta,0,2*%pi);

(%o13)3π

4


Ytan S2

(%i1) kill(all);

(%o0) done


(%i2) V(x,y,z):=[0,0,x^2] /* YTINTEGRAL S2 (z=0) */;

(%o2) V (x, y, z) := [0, 0, x2]

(%i3) e_z:[0,0,1];

(%o3) [0, 0, 1]

(%i4) n:-e_z$

(%i5) define(g(x,y),dot(V(x,y,z),n));

(%o5) g (x, y) := −x2




(%i9) g:ev(g(x,y),x=r*cos(theta),y=r*sin(theta))$

(%i10) integrate(integrate(g*J,r,0,1),theta,0,2*%pi);

(%o10) − π

4

Anmarkning. Det totala flodet blir slutligen

¨

S1

v · dS+

¨

S2

v · dS =3π

4− π

4=π

2.


4.6 Differentialoperatorer

Man brukar i vektoranalytiska sammanhang ofta arbeta med tre standardope-rationer pa skalar- respektive vektorfalt. Den forsta operationen ar valbekant:Gradienten av skalarfaltet f(x, y, z) ar vektorfaltet

∇f =∂f

∂xi+

∂f

∂yj+

∂f

∂zk.

I fallet med tva variabler:

∇f =∂f

∂xi+

∂f

∂yj.

Anmarkning. Symbolen (operatorn) ∇ (uttalas ”nabla”), definierassom:

∇ =∂

∂xi+

∂

∂yj+

∂

∂zk.

Symbolen ∇ kan vi darmed uppfatta som en ”vektor”, en vektorielldifferentialoperator.

4.6.1 Divergens och rotation

Antag attF(x, y) = P (x, y)i +Q(x, y)j.

Divergensen av vektorfaltet F(x, y) ar skalarfaltet

divF =∂P

∂x+∂Q

∂y.

For vektorfalt i R3 galler analogt:

divF =∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z.

Antag att

F(x, y, z) = P (x, y, z)i +Q(x, y, z)j +R(x, y, z)k.

Rotationen av vektorfaltet F(x, y, z) ar vektorfaltet

rotF =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)

i+

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)

j+

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

k.

4.6. DIFFERENTIALOPERATORER 133

Anmarkning. Om v ar hastighetsfaltet for en fluid (vatska eller gas),mater divv benagenheten hos fluiden att divergera fran en punkt.Rotationen av ett vektorfalt uttrycker dess formaga att virvla runt.

(%i11) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:[P,Q,R];

(%o2) [P,Q,R]

(%i3) depends(F,[x,y,z]);

(%o3) [P (x, y, z) ,Q(x, y, z) ,R(x, y, z)]

(%i4) express (div(F)) /* DIVERGENS */;

(%o4)d

d zR+

d

d yQ+

d

dxP

(%i5) express(curl(F)) /* ROTATION */;

(%o5) [d

d yR− d

d zQ,

d

d zP − d

dxR,

d

d xQ− d

d yP ]

Anmarkning. Minnesregler for gradient, divergens och rotation:

grad f = ∇f,divF = ∇ · F,rotF = ∇× F.


Exempel 4.6.1. Berakna divF om

(a)F = x2i+ (sin(x) + 2y)j+ (exy + z3)k,

(b)F = ex cos y i− ex sin y j

(%i1) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:[x^2,sin(x)+2*y,exp(x*y)+z^3];

(%o2) [x2, 2 y + sin (x) , z3 + ex y]

(%i3) div_F:ev(express(div(F)),diff);

(%o3) 3 z2 + 2x+ 2

(%i4) F:[exp(x)*cos(y),-exp(x)*sin(y),0] /* PLANT FALT */;

(%o4) [ex cos (y) ,−ex sin (y) , 0]


(%o5) 0

Anmarkning. Om divF = 0 talar vi om inkompressibla vektorfalt.


Exempel 4.6.2. Berakna rotF om

(a)F = y2i+ xy2z j+ yz2k,

(b)F = x2i+ y2j+ z2k.

(%i6) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F1:[y^2,x*y^2*z,y*z^2];

(%o2) [y2, x y2 z, y z2]

(%i3) rot_F1:ev(express(curl(F1)),diff);

(%o3) [z2 − x y2, 0, y2 z − 2 y]

(%i4) F2:[x^2,y^2,z^2];

(%o4) [x2, y2, z2]

(%i5) rot_F2:ev(express(curl(F2)),diff);

(%o5) [0, 0, 0]

Anmarkning. Om ∇× F = 0 talar vi om virvelfria vektorfalt.


4.6.2 Vektoridentiteter

Det finns mangder av identiteter i vektoranalysen, exempelvis

• rot(∇f) = ∇×∇f = 0,

• div(∇f) = ∇ · ∇f = ∇2f = ∆f .

∆ = ∇2 kallas den skalara Laplaceoperatorn.

Kommentar punkt 1 ovan: Eftersom for ett potentialfalt (konservativt falt)galler att F = ∇f , betyder detta att rotationen av ett konservativt vektorfaltar 0. Detta ar en generalisering av det vi tidigare har stott pa, namligen att omF = P i+Qj ar konservativt, sa galler att

∂Q

∂x− ∂P

∂y= 0.

Eftersom

∇× F =

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

k,

foljer identiteten som en konsekvens av detta. Avslutningsvis later vi Maximaverifiera ovanstaende identiteter.


(%i12) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:[P,Q,R];

(%o2) [P,Q,R]

(%i3) depends(F,[x,y,z]);

(%o3) [P (x, y, z) ,Q(x, y, z) ,R(x, y, z)]

(%i4) gradF:express(grad(F));

(%o4) [d

dx[P,Q,R],

d

d y[P,Q,R],

d

d z[P,Q,R]]

(%i5) express(curl(gradF));

(%o5) [0, 0, 0]

(%i9) express(div(gradF));

(%o9)d2

d z2[P,Q,R] +

d2

d y2[P,Q,R] +

d2

dx2[P,Q,R]

(%i10) express(laplacian(F));

(%o10)d2

d z2[P,Q,R] +

d2

d y2[P,Q,R] +

d2

dx2[P,Q,R]


4.7 Vektoranalys i planet

Manga fysikaliska fenomen, exempelvis vatskestromning i tunna skikt, later sigbeskrivas av plana vektorfalt pa formen F = F(r) = (P (x, y), Q(x, y)).

For ett omrade D med rand C ar randkurvan positivt orienterad om omradetD ligger till vanster om kurvan. Se figur.

Figur 4.16: Positivt orienterad randkurva C.

4.7.1 Greens sats

Vi skall harnast presentera en rakneregel, kallad Greens sats, som uttrycker endubbelintegral over ett plant omrade i termer av en kurvintegral langs omradetsrand.

Lat R vara ett enkelt sammanhangande omrade i R2, vars rand utgorsav en styckvis slat, positivt orienterad sluten kurva C. Om P och Qar tva C1-funktioner pa R, galler

˛

C

F · dr =˛

C

P dx+Q dy =

=

¨

R

rotF · kdA =

¨

R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dA.

4.7. VEKTORANALYS I PLANET 139

Exempel 4.7.1. Anvand Greens sats for att berakna

˛

C

x2y dx+ xdy

langs den positivt orienterade trian-gulara randen C med horn i origo,(1,0) och (1,2).

(%i1) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:[x^2*y,x,0] /* PLANT VEKTORFALT */;

(%o2) [x2 y, x, 0]

(%i3) e_z:[0,0,1];

(%o3) [0, 0, 1]

(%i4) rot_F:ev(express(curl(F)),diff);

(%o4) [0, 0, 1 − x2]

(%i5) I:integrate(integrate(dot(rot_F,e_z),y,0,2*x),x,0,1);

(%o5)1

2


Anmarkning. Forsok att berakna kurvintegralen utan att anvandaGreens sats. Parameterframstall de tre delranderna och rakna pa.

Exempel 4.7.2. Givet vektorfaltet

F(x, y) =1

x2 + y2

[−yx

]

Visa att˛

C

F · dr = 0

for varje omrade D som ej innehaller origo.

(%i7) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:1/(x^2+y^2)*[-y,x,0] /* PLANT VEKTORFALT */;

(%o2) [− y

y2 + x2,

x

y2 + x2, 0]

(%i3) e_z:[0,0,1];

(%o3) [0, 0, 1]

(%i4) rot_F:radcan(ev(express(curl(F)),diff));

(%o4) [0, 0, 0]

(%i5) I:integrate(integrate(dot(rot_F,e_z),y),x);

(%o5) 0

Anmarkning. Verifiera att vektorfaltet i Exempel 4.7.2 ar ett gradi-entfalt.


4.7.2 Speciella tillampningar av Greens sats

Antag att D och C uppfyller forutsattningarna for Greens sats. Da galler

(Arean av D) =1

2

˛

C

−y dx+ xdy.

Exempel 4.7.3. Berakna arean av ellipsen x2/a2 + y2/b2 ≤ 1.

(%i11) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:1/2*[-y,x,0] /* PLANT VEKTORFALT */;

(%o2) [−y2,x

2, 0]

(%i3) e_z:[0,0,1];

(%o3) [0, 0, 1]

(%i4) rot_F:radcan(ev(express(curl(F)),diff));

(%o4) [0, 0, 1]

(%i5) assume(a>0)$ assume(b>0)$

(%i7) [x,y]:[a*r*cos(theta),b*r*sin(theta)]$



(%i10) I:integrate(integrate(dot(rot_F,e_z)*J,r,0,1),

theta,0,2*%pi);

(%o10) π a b


4.7.3 Tvadimensionella divergenssatsen

Figur 4.17: Flode ut ur omradet D, omslutet av Γ.

Lat det plana vektorfaltet v(x, y) =

[PQ

]

representera vatskerorelsen i en

tredimensionell stromning, som ej beror pa djupet z. Γ : r(t), a ≤ t ≤ b, ar enstromlinje3 till vatskestromningen, med enhetsnormalvektor n (utatriktad).

Normalkurvintegralen

ˆ

Γ

v · nds ger den nettovolym som per tidsenhet passerar

over Γ. Lat oss tillsluta Γ och studera fallet med flode ut ur omradet D, omslutet

av Γ. Vi betraktar den (slutna) kurvintegralen

˛

Γ

v · n ds. Eftersom

n ds =1

|r′(t)|

[y′(t)−x′(t)

]

|r′(t)|dt =[

dy−dx

]

,

far vi med Greens sats:˛

Γ

v · n ds =

˛

Γ

[PQ

]

·[

dy−dx

]

=

˛

Γ

(−Q) dx+ P dy =

=

¨

D

(∂P

∂x+∂Q

∂y

)

dxdy =

=

¨

D

div v dxdy.

Denna form av Greens sats kallas ibland den tvadimensionella divergenssatsen.

3jfr faltlinjer


Exempel 4.7.4. Lat v = (x, y) och D : (x, y) : x2 + y2 ≤ 1. Anvand dentvadimensionella divergenssatsen for att fysikaliskt tolka detta vatskeflode.

(%i8) kill(all);

(%o0) done


(%i2) V:[x,y,0] /* PLANT VEKTORFALT */;

(%o2) [x, y, 0]

(%i3) div_V:ev(express(div(V)),diff);

(%o3) 2




(%i7) I:integrate(integrate(div_V*J,r,0,1),

theta,0,2*%pi);

(%o7) 2π


Anmarkning. Om integralen

˛

C

v · dS

ar positiv, strommar mer vatska ut ur omradet D an vad somstrommar in i detsamma. Med andra ord ar nettoflodet positivt. Dettaar en indikation pa att det existerar en s.k. kalla i omradet.Skulle integralen vara negativ, innebar det att det finns en s.k. sankai omradet. I vart exempel fick integralen vardet 2π, dvs. nettoflodetar riktat bort fran omradet.Funktionen divv kallas i hydrodynamiska sammanhang forkalltatheten (dvs. ett matt pa producerad vatskemangd per volyms-och tidsenhet).Extra: Askadliggor hastighetsfaltet. Se Avsnitt 4.1.1.

4.8. DIVERGENSSATSEN (GAUSS’ SATS) 145

4.8 Divergenssatsen (Gauss’ sats)

Vi har tidigare studerat floden genom ytor. I detta avsnitt skall vi studera flodenover begransningsytor av begransade, slutna kroppar (s.k. kompakta omraden).Lat oss formulera divergenssatsen.

Antag att V ar ett kompakt, enkelt sammanhangande rymdomrade,omslutet av en orienterbar yta S med enhetsnormalvektor N , riktadutat. Antag vidare att F ar ett kontinuerligt deriverbart vektorfalt.Da galler att

"

S

F · N dS =

˚

V

divF dV

Divergenssatsen sager foljande:

Flodet av ett vektorfalt over en sluten yta, orienterad med utatriktad normalar lika med trippelintegralen av divergensen over det kompakta omrade somomsluts av ytan.

4.8.1 Forsok till fysikalisk tolkning av Gauss’ sats

Antag att F(r) ar hastighetsfaltet i en homogen vatska. Gauss’ sats

"

S

F·N dS =

˚

V

divF dV

kan tolkas som

divF = limV→0

1

V

"

SF · N dS

Detta innebar att vi kan tolka divergensen i en punkt P som flodet av F perenhetsvolym over en infinitesimal yta S som omsluter P . Divergensen kan up-penbarligen tolkas som en flodesdensitet, vilket vi namnde i foregaende avsnitt.


Exempel 4.8.1. Berakna flodet av F =

xyz

ut ur ”konservburken” x2+y2 =

a2, −h ≤ z ≤ h.

Figur 4.18: Cylindern x2 + y2 = a2, −h ≤ z ≤ h.

Divergenssatsen gor problemet ytterst enkelt att losa. Forutsattningarna fordivergenssatsen ar uppfyllda. Vi har att divF = 3.

"

SF · N dS =

˚

V

divF dV =

=

˚

V

3 dV = 3× Vcyl = 3 · πa2 · 2h = 6πa2h.

Vi later Maxima utfora kalkylerna.


(%i9) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:[x,y,z];

(%o2) [x, y, z]


(%o3) 3

(%i4) [x,y,z]:[r*cos(theta),r*sin(theta),z]$



(%i7) assume(h>0)$ assume(a>0)$

(%i9) I:integrate(integrate(integrate(div_F*J,r,0,a),

theta,0,2*%pi),z,-h,h);

(%o9) 6π a2 h

I nedanstaende exempel ar inte divergenssatsens forutsattningar uppfyllda.

Exempel 4.8.2. Berakna¨

S

F · N dS

da F =

y−x4

och S ar delen av ytan

z = 1− (x2 + y2), som ligger i forsta oktanten.

Problemet kan inte genast losas med divergenssatsen, eftersom S inte ar till-sluten. Detta ordnas med ett enkelt knep: Vi tillsluter genom att inkluderabottenytan T = (x, y, z) : x2 + y2 = 1, z = 0. Vi far da

¨

S

F · N dS =

˚

V

divF dV −¨

T

F · N dS.


Vi strukturerar kalkylen i tva delar: Dels divergensintegralen, dels ytintegralenover T (z = 0).

(%i1) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:[y,-x,4] /* DIVERGENSINTEGRALEN */;

(%o2) [y,−x, 4]


(%o3) 0

(%i4) [x,y,z]:[r*cos(theta),r*sin(theta),z]$



(%i7) I:integrate(integrate(integrate(div_F*J,r,0,a),

theta,0,2*%pi),z,-h,h);

(%o7) 0


(%i11) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:[y,-x,4] /* YTINTEGRAL (z=0) */;

(%o2) [y,−x, 4]

(%i3) e_z:[0,0,1]$

(%i4) n:-e_z$

(%i5) define(f(x,y),dot(F,n));

(%o5) f (x, y) := −4




(%i9) f:ev(f(x,y),x=r*cos(theta),y=r*sin(theta));

(%o9) − 4

(%i10) I:integrate(integrate(f*J,r,0,1),theta,0,%pi/2);

(%o10) − π

Anmarkning. Vi sammanfattar kalkylerna:

¨

S

F · N dS =

˚

V

divF dV −¨

T

F · N dS =

= 0− (−π) = π.


4.9 Extra: Stokes’ sats

I avsnitt 4.7.1 Diskuterade vi Greens sats i planet. I detta avsnitt skall vi gene-ralisera Greens sats till tre dimensioner.

Vi betraktar en slat, orienterad yta S i rummet med positivt riktad enhetsnor-malvektor n. Ytan innesluts av en styckvis slat, positivt orienterad randkurvaC. Vi antar vidare att F(r) ar ett kontinuerligt deriverbart vektorfalt.

Figur 4.19: Orienterad yta S.

Lat oss formulera Stokes’ sats:

Med ovan angivna forutsattningar galler

˛

C

F · dr =¨

S

rotF · ndS.

4.9. EXTRA: STOKES’ SATS 151


˛

C

xy dx+ yz dy + zxdz,

runt triangelytan T med horn i (1, 0, 0),(0, 1, 0) och (0, 0, 1), orienterad medurssett fran punkten (1, 1, 1).

Anmarkning. Triangeln ligger i planet x+ y + z = 1 (kontrollera!).Inat-enhetsnormalvektorn

N = − 1√3

111


(%i10) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:[x*y,y*z,z*x];

(%o2) [x y, y z, x z]


(%o3) [−y,−z,−x]

(%i4) plan(x,y,z):=x+y+z-1 /* NIVAYTA f(x,y,z)=0 */;

(%o4) plan (x, y, z) := x+ y + z − 1

(%i5) n:-nabla(plan(x,y,z),[x,y,z]);

(%o5) [−1,−1,−1]

(%i6) n_e:n/norm(n) /* INATNORMAL */ $

(%i7) define(f(x,y),dot(rot_F,n_e))$

(%i8) f:expand(ev(f(x,y),z=1-x-y));

(%o8)1√3

(%i9) ytintegral:integrate(integrate(f*norm(n),y,0,1-x),

x,0,1)

/*

SE AVSN 4.4.2

*/;

(%o9)1

2

4.9. EXTRA: STOKES’ SATS 153

Anmarkning. Stokes’ sats ger efterhand att

¨

T

rotF · dS =1√3

¨

T

dS.

Arean av triangelytan T beraknas med teknik, redovisad i Avsnitt4.4.2.


˛

C

(−y3 dx+ x3 dy − z3 dz),

dar C ar skarningskurvan mellan cylindern x2+y2 = 1 och planet 2x+2y+z =3, genomlopt sa att dess projektion pa xy-planet ar moturs orienterad.

Figur 4.20: Skarning mellan cylindern x2 + y2 = 1 och planet 2x+2y+ z = 3.


Anmarkning. Planet 2x+2y+z = 3 har enhetsnormalvektorn (kon-trollera!)

N =1

3

221

(%i13) kill(all);

(%o0) done


(%i2) F:[-y^3,x^3,-z^3];

(%o2) [−y3, x3,−z3]


(%o3) [0, 0, 3 y2 + 3x2]

(%i4) plan(x,y,z):=2*x+2*y+z-3 /* NIVAYTA f(x,y,z)=0 */;

(%o4) plan (x, y, z) := 2x+ 2 y + z − 3

(%i5) n:nabla(plan(x,y,z),[x,y,z])$

(%i6) n_e:n/norm(n) /* UTATNORMAL */$

(%i7) define(f(x,y),dot(rot_F,n_e));

(%o7) f (x, y) :=3 y2 + 3x2

3





(%i12) I:integrate(integrate(f*J,r,0,1),theta,0,2*%pi);

(%o12)π

2

Litteraturforteckning

[1] Examples of the Maxima Gnuplot interface. http://maxima.sourceforge.

net/maxima-gnuplot.html, 2011.

[2] R. Dodier. Maxima 5.25.0 manual. http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima.html, 2011.

[3] W. Haager. Grafiken mit Maxima. www.austromath.at/daten/maxima/

zusatz/Grafiken_mit_Maxima.pdf, 2011.

[4] P. Jonsson. Matematik med datoralgebrasystem. Studentlitteratur, 1:1edition, 2008. ISBN: 978-91-44-05250-2.

[5] S. Kifowit. Maxima Info & Worksheets. http://prairiestate.edu/

skifowit/classes/max.htm, 2011.

[6] S. Lundberg. Introduktion till Maxima. Lulea tekniska universitet, 2011.

[7] M. R. Riotorto. A maxima-Gnuplot interface. http://riotorto.users.

sourceforge.net/gnuplot/index.html, 2012.

155

Flervariabelanalys med Maxima Staﬀan Lundbergstaff.lund/KOMPENDIER/kompendium_12.pdfalgebra,...

Documents

Transcript of Flervariabelanalys med Maxima Staﬀan Lundbergstaff.lund/KOMPENDIER/kompendium_12.pdfalgebra,...