Fizika I. Jegyzet (Pápay Kálmán)
description
Transcript of Fizika I. Jegyzet (Pápay Kálmán)
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 1
Mérnöki fizika I.
Bevezető Az itt következő fizika jegyzet az Óbudai Egyetem gépész-, mechatronikai és biztonságtechnikai mérnök hallgatói számára készült. A jelenleg érvényes tanterv szerint fizikát egy féléven át heti 2 órában hallgatnak ezek a diákok. Ez mind terjedelmében, mind mélységében korlátozza a tanítható ismeretanyagot, melyet esetenként gyakorlati órák nélkül, ill. legfeljebb heti egy órás gyakorlatok keretében kell(ene) elmélyíteni. A tananyag összeállításakor ezért le kellett mondani a fizika néhány fontos, de részben időhiány miatt nem oktatható, részben más alapozó tárgyak keretében (pl. mechanika, géptan, anyagtechnológia, stb.) tanított anyagrészéről. Ennek megfelelően az itt következő anyagot szándékaink szerint az előadások otthoni feldolgozását segítő egyfajta fizika minimumnak kell tekinteni, amely a mérnökhallgatók számára a vizsgaanyag összefoglalásának is tekinthető.
TARTALOM Bevezető .................................................................................................................................................. 1
TARTALOM .............................................................................................................................................. 1
1. A FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJÁNAK ELEMEI ................................................................... 3
Nyugvó folyadékok .............................................................................................................................. 3
Áramló folyadékok .............................................................................................................................. 6
Az ideális folyadék stacionárius áramlása ....................................................................................... 7
A kontinuitási egyenlet. ............................................................................................................... 7
A Bernoulli egyenlet .................................................................................................................... 7
A Bernoulli-egyenlet alkalmazásán alapuló eszközök ................................................................. 8
Valódi folyadékok lamináris áramlása ............................................................................................ 9
Turbulens áramlások ..................................................................................................................... 10
2. A TERMODINAMIKA ALAPJAI ............................................................................................................. 11
Alapfogalmak és definíciók ................................................................................................................ 11
Gáztörvények..................................................................................................................................... 13
A Gay-Lussac törvények és a Boyle-Mariotte törvény .................................................................. 13
Az ideális gáz állapotegyenlete ..................................................................................................... 14
Az ideális gáz állapotjelzőinek értelmezése a kinetikus gázelmélet alapján ................................ 15
A valódi gázok állapotegyenlete: a van der Waals egyenlet ......................................................... 17
Az ideális gáz speciális állapotváltozásai (1) .................................................................................. 18
Az első főtétel .................................................................................................................................... 19
Az ideális gáz speciális állapotváltozásai (2) ................................................................................. 22
A Carnot-körfolyamat és a II. főtétel ................................................................................................. 24
A második főtétel matematikai megfogalmazása. Az entrópia. ....................................................... 28
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 2
Az entrópianövekedés tétele........................................................................................................ 29
Az entrópia statisztikus értelmezése ............................................................................................. 30
3. NYUGVÓ TÖLTÉSEK TERE (ELEKTROSZTATIKA) .................................................................................. 33
Az elektrosztatikus tér és vektorjellemzői. A tér szemléltetése erővonalakkal. ............................... 33
Munkavégzés az elektrosztatikus térben. Potenciál és feszültség. ................................................... 37
Az elektromos eltolási fluxus. Az elektrosztatika Gauss-tétele. ........................................................ 40
A Gauss tétel néhány alkalmazása .................................................................................................... 42
Vezetők erőtere ............................................................................................................................. 42
Töltött végtelen síklap erőtere ...................................................................................................... 43
Két síklap együttes tere. ................................................................................................................ 43
Kondenzátorok .............................................................................................................................. 44
4. TÖLTÉSEK MOZGÁSBAN, MÁGNESES ALAPJELENSÉGEK ................................................................... 47
Egyenáramok ..................................................................................................................................... 47
Kirchhoff törvényei ........................................................................................................................ 48
Az elektromos áram munkája és teljesítménye. .......................................................................... 50
Mágneses alapjelenségek. A stacionárius áram mágneses hatása. .................................................. 51
A mozgó töltésre ható erők. A mágneses indukcióvektor. ........................................................... 51
A mágneses fluxus ......................................................................................................................... 53
A gerjesztési törvény ..................................................................................................................... 53
Szolenoid mágneses tere. ......................................................................................................... 54
A mágneses tér térkitöltő anyagokban. A hiszterézis-görbe. ........................................................ 54
5. AZ ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ, VÁLTAKOZÓ ÁRAMOK .............................................................. 56
A mozgási indukció, a Neumann- törvény. ........................................................................................ 56
A nyugalmi indukció, Faraday indukciótörvénye .............................................................................. 57
Az önindukció ................................................................................................................................ 57
A kölcsönös indukció, a transzformátor ........................................................................................ 58
Szinuszos váltakozó feszültség előállítása ......................................................................................... 58
Váltakozóáramú mennyiségek és váltakozó áramú körök ................................................................ 59
Fázisviszonyok a váltakozó áramú körökben ............................................................................ 60
A váltakozó áram munkája és teljesítménye ............................................................................. 64
Komplex mennyiségek bevezetése ........................................................................................... 65
A komplex Ohm-törvény ............................................................................................................... 67
Váltakozó áramú körök impedanciájának számítása ................................................................ 68
Egyszerű váltakozó áramú körök számítása. A komplex Kirchhoff-törvények. ......................... 69
A soros RLC kör ...................................................................................................................... 69
A párhuzamos RLC kör ........................................................................................................... 70
Irodalom ................................................................................................................................................ 72
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 3
1. A FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJÁNAK ELEMEI
A folyadékokban az atomok (molekulák) egymáshoz képest viszonylag szabadon
mozoghatnak. Bár a szilárdtestekkel ellentétben a folyadékoknak nincs kristályszerkezetük,
ami a molekulákat egyensúlyi helyhez kötné, azonban számottevő kohéziós erők működnek
bennük. Ezek a kohéziós erők gáz halmazállapotban már gyakorlatilag nem játszanak
szerepet. Az anyag halmazállapot-változásai a szilárd → folyékony → gáznemű irányban
ezért mindig energiafelvétellel, ellenkező irányban energiafelszabadulással járnak.
Noha a továbbiakban elsősorban folyadékokkal foglalkozunk, a tárgyalt törvények jelentős
része - megszorításokkal – gázokra is érvényes. Gázok esetében mindig figyelembe kell
venni, hogy – szemben a folyadékokkal – sűrűségük tetszőleges határok között változhat, ami
a számításokat jelentősen befolyásolhatja.
Az ideális folyadék összenyomhatatlan, a folyadékrétegek súrlódásmentesen elcsúszhatnak
egymáson. Ilyen folyadék ugyan nincs, de az őket leíró egyenletek egyszerűek, és több-
kevesebb korrekcióval gyakran alkalmazhatók a valódi folyadékokra is.
A valódi folyadékok kismértékben összenyomhatók, amit a kompresszibilitással
jellemzünk:
A kompresszibilitás ideális folyadékok
esetében 0, de valódi folyadékok esetében is
általában nagyon kicsi, és nyomásfüggő.
A valódi folyadékok áramlásakor az
egymáson elcsúszó folyadékrétegek között
fellépő súrlódási erő τ nyírófeszültséget
ébreszt (1.1. ábra), amelynek nagysága a felületek sebességkülönbségétől és távolságától
függ:
ahol a súrlódási együtthatóval analóg mennyiség, az ún. dinamikai viszkozitás
(mértékegysége: Pas) Másképpen, az egymáson elcsúszó A nagyságú felületek között fellépő
súrlódási erő:
Gyakran használatos a kinematikai viszkozitás is: = / , ahol a folyadék sűrűsége.
Nyugvó folyadékok
Nyugvó folyadékokban érvényes Pascal törvénye, mely szerint a nyomás a folyadékban
minden irányban gyengítetlenül terjed.
1.1. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 4
Pascal törvényén alapul pl. a hidraulikus emelő, amely segítségével nagy
súlyokat tudunk viszonylag kis erővel mozgatni (1.2. ábra). Mivel a
nyomás a szerkezet két végén megegyezik, ezért az alkalmazandó erő a
keresztmetszettel arányosan csökken: F/A = G/B
Ugyanezen törvényen alapszik a gépkocsik hidraulikus
fékberendezéseinek működése is (1.3. ábra). A fékolaj gyakorlatilag
összenyomhatatlan, ezért a fékpedál lenyomásakor a fékpofák nagy erővel
nyomódnak a féktárcsához vagy a fékdobhoz. Ha rendszer nincs
megfelelően légtelenítve, akkor a pedál lenyomásakor a nyomás alig
emelkedik, mert csak a légbuborékok nyomódnak össze. A Pascal-törvény
gázokra nem érvényes.
1.3. ábra
A folyadékok belsejében hidrosztatikai nyomás lép fel: ez a folyadék súlyából származik.
Valamely h magasságú folyadékoszlop hidrosztatikai nyomása - a nyomás definíciója szerint:
Ez az összefüggés természetesen csak homogén, állandó sűrűségű folyadékokra alkalmazható. Pl. a légnyomás
számításánál figyelembe kell venni, hogy a levegő sűrűsége a tengerszint fölötti magasságal csökken. Az ennek
alapján levezetett nyomás – magasság függvény az ún. barometrikus magasságformula:
ahol és a levegő nyomása, ill. sűrűsége a tengerszinten.
A folyadékba merülő testek felületének elemeire
különböző mélységben más-más nyomás hat. Az
ennek következtében fellépő erő a felhajtó erő. Ha a
folyadékba merülő testet azonos alakú és térfogatú
folyadékkal helyettesítjük, nyilvánvalóan
nyugalomban kell maradnia. Ez azt jelenti, hogy a
„folyadék-testre” saját súlyával megegyező
nagyságú, de azzal ellentétes irányú erőnek is kell
hatnia (1.4.ábra). Ebből rögtön adódik Arkhimédesz
törvénye: minden folyadékba merülő testre
felhajtóerő hat, melynek nagysága a test által
kiszorított folyadék súlyával egyezik meg:
Ff = .
1.2. ábra
1.4. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 5
Ebből következően a testek elmerülnek, ha átlagsűrűségük nagyobb a folyadék sűrűségénél,
és úsznak, ha kisebb annál. Ha a test és a folyadék azonos sűrűségű, a test a folyadékban
lebegni fog. Valamely úszó test bemerülési mélységét úgy határozhatjuk meg, hogy
egyensúlyi egyenletet írunk fel rá, azaz keressük a G = Ff feltétel teljesülését.
A folyadékfelszín molekulái - szemben a folyadék belsejében lévő társaikkal - a folyadék
belseje felé mutató eredő kohéziós erőt éreznek, és ennek eredményeképpen egy rugalmas,
vékony határoló réteget alkotnak a folyadék felszínén. Általában érvényes a következő
definíciós formula:
.l
F
α neve felületi feszültség, amely a folyadék felületét határoló görbe egységnyi hosszára
merőleges irányban ható erő, mértékegysége N/m. (Ez az erő az, ami pl. a vízcseppeket gömb
alakúra húzza össze.)
Mivel a felületi feszültség a mindenkori folyadékfelszín nagyságát csökkenteni igyekszik,
ezért a felszín egységnyi területtel való csökkentéséhez szükséges munkaként (vagy
energiaként) is értelmezhető:
.A
W
A folyadék felszíne mindig a rá ható erők eredőjére merőleges. Edényekben azonban a
folyadék molekulái között mindig ható kohéziós erők mellett a szilárd fal és a folyadék-
molekulák között adhéziós erő is ébred (1.5.ábra). Az anyagi minőségtől függő végeredmény
szerint beszélünk ún. nedvesítő és nem nedvesítő folyadékokról.
1.5. ábra
Igen kicsiny átmérőjű csövekben a felületi feszültség a nedvesítő folyadékot felfelé húzza, a
nem nedvesítőt lejjebb nyomja. A fellépő erő az ún. kapilláris erő, a jelenség neve
kapillaritás. A kapilláris jelenségekkel az élet számtalan területén találkozunk: ez teszi
lehetővé, hogy nedves felületeket szárazra töröljünk, vagy hogy a növények a talajból
nedvességet szívjanak fel.
Manométerek A manométerek nyomásmérő eszközök. A legegyszerűbb nyomásmérő eszköz, amely atmoszférikus
nagyságrendű nyomások mérésére használható, egy mindkét végén nyitott U alakú cső. Ha a csőbe ismert
sűrűségű folyadékot töltünk, alapesetben a cső két szárában azonos magasságban áll a folyadék. Ha a cső két
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 6
nyílása más-más nyomású közeghez kapcsolódik, a folyadékszintek eltolódnak (1.6.ábra). A
magasságkülönbségből – a hidrosztatikai nyomás számításával – a nyomáskülönbség meghatározható:
p = P + ρgh.
Ha abszolút nyomásértékre van szükség, a cső egyik szárát légteleníteni kell, majd le kell zárni . Ezzel a
módszerrel határozta meg Torricelli a levegő nyomását úgy, hogy a lezárt csőbe higanyt töltött.
Az atmoszférikusnál sokkal nagyobb vagy sokkal kisebb nyomások mérésére más eszközöket kell használni.
Ilyen pl. a Bourdon-manométer, amely akár 2000-szeres atmoszférikus nyomást is képes mérni. Ennek lényege
egy hajlított és egyik végén lezárt fémcső. A külső nyomás hatására a fémcső fokozatosan kiegyenesedik,
mozgását egy hitelesített skála előtt mozgó mutatóra viszik át (1.7.ábra).
Áramló folyadékok
Az áramló ideális és a valódi folyadékok viselkedése markánsan különbözik, amit a súrlódás
okoz. Az ideális folyadékra vonatkozó mozgásegyenletek viszonylag egyszerűek, míg a
valódi folyadékok esetében az egyenletek megoldása általában komoly matematikai
apparátust igényel. Utóbbiak esetében ezért gyakran az ideális folyadékra vonatkozó
egyenletek korrigált alakját használják, amelyek természetesen csak a valóságot többé-
kevésbé közelítő megoldásokkal szolgálnak. Bonyolultabb esetekben - az egzakt megoldások
lehetőségének hiányában - terepasztalon végzett modellkísérleteket végeznek. A
mozgásegyenletek bizonyos sebességhatárok között gázokra is érvényesek.
Mind az ideális folyadékok, mind a valódi folyadékok esetében valamely folyadékelem
mozgása lehet tisztán transzlációs, ill. párosulhat forgással. Ennek megfelelően
beszélünk örvénymentes, ill. örvénylő áramlásról ideális folyadékok esetében, vagy
lamináris, ill. turbulens áramlásról valódi folyadékoknál.
Az áramlást leíró fő paraméterek minden esetben a sebesség, a nyomás és a sűrűség. Ha
ezek függetlenek az időtől, akkor az áramlást stacionáriusnak nevezzük.
Az áramlást vizuálisan az ún. áramvonalakkal jeleníthetjük meg. Ezek egyrészt a
folyadékrészecskék útját, másrészt sebességét képesek megjeleníteni: ha az áramvonalak
közelebb kerülnek egymáshoz, az a mozgás sebességének növekedését jelzi, a sebességvektor
1.6. ábra 1.7. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 7
irányát pedig az áramvonalakhoz húzott érintő mindenkori iránya adja. Az áramvonalak
összességének, (vagy akár csak egy csoportjának) burkolófelületét - vagyis az áramló
folyadékot (vagy annak csak egy részét) magában foglaló képzeletbeli csövet - áramlási
csőnek nevezzük. Ez a cső egy merev falu csővel azonos módon viselkedik, mert a benne
áramvonalak soha nem lépik át az áramcső falát.
Az ideális folyadék stacionárius áramlása
A kontinuitási egyenlet. Ha megvizsgáljuk a folyadék viselkedését egy áramlási cső két különböző keresztmetszetén,
akkor nyilvánvaló, hogy a folyadék összenyomhatatlansága miatt dt idő alatt mindkét
keresztmetszeten ugyanakkora folyadéktérfogat halad át. Azaz A1v1dt = A2v2dt, ahonnan az
A1 v1 = A2 v2
egyenlőség következik. Ez a kontinuitási egyenlet, amely szerint az áramlás sebessége a
keresztmetszettel fordítottan arányos.
A Bernoulli egyenlet
Az ideális folyadék stacionárius áramlásának leírásához a 1.8. ábrán vázolt, legáltalánosabb
esetet vizsgáljuk meg: ekkor a folyadék változó keresztmetszetű, nem vízszintes csőben
áramlik nyomáskülönbség hatására.
Mivel a folyadék összenyomhatatlan, az
A1 keresztmetszeten δt idő alatt átáramló
folyadéktérfogat megegyezik az A2
keresztmetszeten ugyanezen idő alatt
kilépő folyadéktérfogattal. Másrészt mivel
az áramlás stacionárius is, és a két
keresztmetszet közötti csőszakaszon az
áramlás paraméterei nem változnak, az
egész folyadéktömb elmozdításához
szükséges munkát a két keresztmetszet
között úgy számolhatjuk ki, hogy a dδt idő alatt áthaladó folyadékmennyiségre alkalmazzuk a
munkatételt:
A mozgatóerők munkája W = p1A1 v1δt – p2A2 v2δt , a gravitációs erő ellen végzett munka
pedig A2 v2δtgh2 – A1v1δtgh1, továbbá m = V felhasználásával az egyenlet a következő
alakra hozható:
½v12 + p1 +gh1 = ½v
2 + p2 + gh2,
vagy másképpen
½v2 + p +gh = konstans.
Ez a Bernoulli-egyenlet, amely a mechanikai energia megmaradási tételének megfelelője
folyadékokra.
Az egyenlet egyik azonnal belátható következménye, hogy - változatlan vagy alig változó
helyzeti energia esetén - az áramlás nyomása csökken, ha sebessége növekszik, és fordítva.
A Bernoulli-egyenlet átrendezhető úgy, hogy minden tagja hosszúság mértékegységű legyen:
Ebben az első két tag neve rendre sebességmagasság és nyomásmagasság.
1.8 ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 8
Vegyük észre, hogy az egyenlet levezetésekor eltekintettünk mind a súrlódási erőktől, mind a
sűrűség és a nyomás változásától a kiválasztott kereszmetszeten belül. Ezért az egyenlet
valódi (viszkózus) folyadékokra valamint gázok áramlására csak kellő óvatossággal
alkalmazható.
A Bernoulli-egyenlet alkalmazásán alapuló eszközök
A Venturi-cső
Az 1.9.ábrán vázolt Venturi cső az áramlás intenzitásának
meghatározására szolgál. Lényegében egy szűkítőt
tartalmazó vízszintes csődarab, amin a folyadékot
átvezetjük. A függőleges kivezetések manométerként
működnek. Az L és M helyekre felírva a Bernoulli-
egyenletet (mivel h1 = h2)
½v12 + p1 = ½v2
2 + p2 ,
ahonnan a nyomáskülönbség a két különböző
keresztmetszeten:
p1 – p2 = ½(v22 - v1
2).
Ha az L ill. M helyen a cső keresztmetszete A1 ill. A2 , akkor A1 v1 = A2 v2 miatt
p1 – p2 = ½v12 A
A
1
2
2
2 1
Ebből az áramlás sebessége, ill. intenzitása már számítható.
A Pitot-cső Az egyszerű Pitot-cső egy derékszögben meghajlított,
mindkét végén nyitott csődarab, amelyet az áramlásba
merítve az áramlás sebességét egyszerűen
meghatározhatjuk (1.10.ábra). A csövet vízszintes
áramlásba helyezve az ½v2 + p +gh = konstans alakú
Bernoulli-egyenlet ½v2 = gh alakúra egyszerűsödik,
ahonnan a sebességre a v = √ kifejezés adódik.
Az áramlás teljes nyomása általában két részből tevődik
össze: egy sztatikus komponensből, amelyet a folyadék
nyugalmi állapotban is kifejt, valamint egy dinamikus komponensből, amely a mozgás sebességétől függ. Az
ábrán látható manometer cső a sztatikus komponenst méri, a Pitot-cső azonban a teljes nyomást.
A Bernoulli-egyenletben a sztatikus
nyomás-komponens p +gh, (ez
vízszintes áramlás esetén p), a
dinamikus komponens pedig ½v2.
Vízszintes áramlás esetén tehát :
a teljes nyomás - a sztatikus nyomás =
½v2 + p - p = ½v
2, azaz
ástikus nyommás - sztateljes nyoρ
2v
A fenti eredmény alapján határozható
meg az ideális folyadék (és a gázok)
áramlási sebessége egy Pitot-cső és egy
sztatikus csőmanométer kombinációjának segítségével (1.11.ábra). A cső a p1 teljes nyomás és a p2 sztatikus
nyomás különbségét közvetlenül méri , és a sebességre skálázható. (A valóságban ugyan a sebesség a cső
1.9. ábra
1.11. ábra
1.10. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 9
átmérője mentén – a viszkozitás miatt – változik, de megmutatható, hogy ha a Pitot-cső nyitott vége az áramlási
cső tengelyétől a a sugár 0,7 részénél van elhelyezve, akkor az átlagos áramlási sebességet mutatja.)
Valódi folyadékok lamináris áramlása
A laminárisan áramló folyadék rétegei között súrlódási erő lép fel, ami az
egyenlettel számítható. Ha az áramlás stacionárius, a Δp = p1 – p2 nyomáskülönbségből
származó mozgató erő és a súrlódási erő egyforma nagyságú (és ellentétes irányú): Fm+Fs=0.
Kör keresztmetszetű, R sugarú, l hosszúságú csőben az áramlást egymásban elcsúszó
koncentrikus folyadékhengerekkel modellezhetjük (1.12. ábra).
1.12. ábra
A tengelytől r távolságban ebből a
alakú, szétválasztható differenciálegyenlet adódik, melyet integrálva a
parabolikus függvényt kapjuk az áramlás sebességeloszlására a csövön belül, amit az 1.13.
ábra szemléltet. Az áramlás sebessége a cső tengelyében a legnagyobb, a cső falánál pedig
zérus.
A fenti eredmény birtokában egyszerűen eljuthatunk az
áramlási intenzitást leíró Hagen-Poiseuille törvényhez.
Egy kiválasztott r sugarú, dr vastagságú
hengergyűrűben azonos sebességgel áramlik a
folyadék. A hengergyűrű dr vastagságú, körgyűrű
alakú keresztmetszetén tehát időegység alatt
folyadéktérfogat halad át. Innen
1.13. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 10
∫
A teljes keresztmetszetre elvégezve az integrálást megkapjuk az áramlási intenzitást a lhosszúságú csőre:
Ez a Hagen-Poiseuille törvény. Látható, hogy az áramlási intenzitás fenntartásához annál
nagyobb nyomáskülönbség szükséges, minél hosszabb és szűkebb keresztmetszetű a
csővezeték, továbbá minél nagyobb az áramló folyadék viszkozitása.
Lamináris áramlásoknál - egyszerűsége miatt - gyakran használják a Bernoulli-egyenlet
korrigált alakját, amely a súrlódásból származó veszteségeket is figyelembe veszi. Csőben
áramló folyadékokra:
Az utolsó tag az ún. veszteségmagasság , ahol az arányossági tényező
. Itt az
ellenállási tényező, amelyet a csőhossz és a csőátmérő hányadosával kell megszorozni.
Turbulens áramlások
Egy áramlásban a turbulencia különböző áramlási sebességeknél jelenhet meg. Az áramlás
jellegéről a dimenzió nélküli Reynolds-szám tájékoztat:
ahol D a csőátmérő, ρ a folyadék sűrűsége, η a viszkozitása és v az áramlás sebessége. Ha a
Reynolds-szám kisebb, mint 1100, az áramlás biztosan lamináris, ha nagyobb, mint 2200,
akkor biztosan turbulens. A közbenső tartományban az áramlás nem stabil.
.8
4
l
pRI
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 11
2. A TERMODINAMIKA ALAPJAI
Alapfogalmak és definíciók
A termodinamika törvényei általánosan érvényesek, de az egyszerűség kedvéért a
következőkben vizsgált rendszerekről feltételezzük, hogy környezetükkel csak mechanikai és
hőcserélő kapcsolatban vannak. Ha ezen túl a rendszer állandó térfogatú és hőszigetelt, akkor
zárt rendszernek nevezzük.
A rendszert leíró paramétereket két csoportba soroljuk. Az extenzív paraméterek (xi)
additívek, azaz két rendszer egyesítésekor összeadódnak. Ilyen pl. a térfogat, vagy a tömeg.
Az intenzív paraméterek (yi) két rendszer egyesítésekor kiegyenlítődnek. A nyomás és a
hőmérséklet intenzív paraméter.
A vizsgált rendszerek állapotát, ill. állapotváltozásait
alkalmasan megválasztott extenzív-intenzív
paraméterpárokkal egyértelműen jellemezhetjük, de csak
akkor, ha feltételezzük, hogy az állapotváltozások
egyensúlyi állapotok sorozatán keresztül, tehát csak igen
lassan játszódnak le. Az ilyen folyamatokat
kvázisztatikus állapotváltozásoknak nevezzük. Ezek az
állapotváltozások jól szemléltethetők pl. a p-V diagramon.
A diagram görbéjének minden pontja a rendszer egy
közbenső állapotát jellemzi, maga a görbe pedig az egész
állapotváltozást. Ha a görbe önmagában záródik,
körfolyamatról beszélünk (2.1 ábra), ha nem, akkor
nyitott folyamatról.
Ha az állapotváltozás gyors, a rendszer különböző
pontjain más-más lehet a leíró paraméterek értéke, így a
folyamat a diagramon nem ábrázolható, és leírásával az ún. nem egyensúlyi termodinamika
foglalkozik.
Valamely rendszer A állapotából a B-be vezető folyamat reverzibilis, ha a rendszert a B
állapotából az A-ba valamilyen módon vissza lehet vezetni úgy, hogy végeredményben a
rendszeren kívüli testeken semmiféle változás sem marad vissza - ellenkező esetben a
folyamat irreverzibilis. Ha egy folyamat reverzibilis, akkor teszőleges szakasza is az.
A kvázisztatikus – tehát idealizált körülmények között végbemenő - állapotváltozások
reverzibilisek: valamelyik intenzív paraméter pozitív vagy negatív irányú bármilyen kicsiny
megváltoztatásával a rendszer egyensúlyi állapotából egy másik egyensúlyi állapotába
hozható. A valóságban lejátszódó folyamatok azonban szigorúan véve szinte mindig
irreverzibilisek.
A tapasztalat szerint a termodinamikai rendszerek állapotát a p nyomás, V térfogat és T
hőmérséklet egyértelműen jellemzi. Ezen mennyiségek egy reverzibilis körfolyamat végén
rendre kiinduló értékeiket veszik fel, hiszen a rendszer is kiinduló állapotába jutott vissza.
(Maga a körfolyamat akkor reverzibilis, ha tetszőleges szakasza reverzibilis.) A szóban forgó
mennyiségek ezen közös tulajdonságát emeljük ki, amikor a termodinamikai állapotjelző
fogalmát általánosan definiáljuk: Valamely fizikai mennyiséget állapotjelzőnek tekintünk,
ha összmegváltozása valamely reverzibilis körfolyamat során zérus:
2.1 ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 12
0.ΣΔy ill.0ΣΔx ii
Ha figyelembe vesszük, hogy kvázisztatikus állapotváltozás esetén xi és yi bármilyen
kicsiny megváltozásokat jelenthet, a definíció vonalintegrállal kifejezett alakjához jutunk:
∮ ∮
Ez egyben a matematikából ismerten azt is jelenti, hogy az állapotjelzők
megváltozásai mindig teljes differenciálok, és fordítva, ha egy fizikai mennyiség
megváltozása teljes differenciál, akkor az állapotjelző. A továbbiakban ezért az
állapotjelzők elemi megváltozását d betűvel, a nem állapotjelzőkét megkülönböztetésképpen
-val jelöljük (pl. dxi, dp, Q, W, stb.).
Ha a már ismert (p, V, T) állapotjelzők mellé a fenti definíciónak eleget tevő újabbakat
találunk, ezek az előzőekkel egyenértékűen jellemzik a termodinamikai rendszert. Az
állapotjelzők között azonban matematikai formában is megfogalmazhatók összefüggések, ún.
állapotegyenletek állnak fenn, ezért meghatározott számú állapotjelző rögzítésével a többi
értéke is determinálva van adott rendszer esetében.
Az általunk vizsgálandó rendszerek anyaga többnyire gáz halmazállapotú. A tárgyalást tovább
egyszerűsítendő bevezetjük az ideális gáz fogalmát: ennek molekuláit pontszerűnek tekintjük,
melyek között semmilyen kölcsönhatás nincs. Ebből következik, hogy a gázmolekulák
mozgása véletlenszerű.
A gáz által végzett, vagy a gázon végzett munka a
mechanikai munka definíciója alapján
pdVpAdsFdsW
alakban írható fel. A 2.2 ábrán. a p nyomású gáz
valamely A keresztmetszetű dugattyút ds úton elmozdít,
és eközben térfogatát dV-vel növeli. Általában két
különböző térfogatú állapot között az ún. térfogati
munka:
2
1
V
V
pdVW
A továbbiakban a munkát akkor tekintjük pozitívnak, ha a gáz végzi. A definícióból
következik, hogy a térfogati munka a p-V diagramon az állapotváltozás görbéje alatti területtel
egyezik meg.
A hő és a munka ún. transzportmennyiségek: a rendszerbe ezek révén juttathatunk vagy
vonhatunk ki energiát. Mértékegységük a joule (J). Fontos azonban leszögezni, hogy maga a
hő, vagy a munka nem energia, és nem a rendszer állapotjelzője. Ehhez elég pl. egy
reverzibilis körfolyamat munkáját megvizsgálni: az egy ciklus alatt végzett munka nem zérus,
mert a körfolyamat végére a bezárt területnek megfelelő eredő munkát kapunk. (Később látni
fogjuk, hogy az I. főtétel miatt ez a hőre ugyanígy érvényes.)
Ha valamely m tömegű test (vagy anyagmennyiség) hőmérséklete dt-vel megváltozik, a test
által felvett hőmennyiség δQ=cmdt, feltéve, hogy halmazállapotváltozás vagy kémiai
átalakulás nem ment végbe. A c arányossági tényezőt fajhőnek nevezzük ez az egységnyi
tömegű anyag 1 0C-kal való felmelegítéséhez szükséges hőmennyiség. Gázoknál különbséget
teszünk állandó nyomáson (cp) és állandó térfogaton (cv) mért fajhő között. A kétféle fajhő
viszonyának jellemzésére a v
p
c
c hányados használatos.
2.2 ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 13
Ha a fajhő definíciójában egységnyi tömegű anyagon mólnyi mennyiséget értünk, mólhőről
beszélünk: C = Mc a mólhő, ahol M a móltömeg M
mn pedig az ún. mólszám, a szóban
forgó anyagmennyiség mólokban kifejezve. Végül, egy m tömegű test hőkapacitásán a K =
mc, azaz a test 1 0C-kal való felmelegítéséhez szükséges hőmennyiséget értjük.
A hőmérsékletet alapmennyiségnek tekintjük, fizikai magyarázatára később kerítünk sort. Az idők folyamán
több empirikus hőmérsékleti skálát is definiáltak, melyek alappontjai különböznek. A Celsius-féle hőmérsékleti
skála (1742) alappontjai a normál légköri nyomáson (101,3 kPa) olvadó tiszta jég és a forrásban levő víz
gőzének hőmérséklete: 0 0C, ill. 100
0C. A Celsius-skála alappontjainak a Réaumur-skálán (1730) 0
0R és 80
0R,
a Fahrenheit-skálán (1714) pedig 32 0F és 212
0F felel meg. A skálák közti átszámítás:
n 0C = 0,8n
0R = (1,8n + 32)
0F.
A fizikában a W. Thomson (Lord Kelvin) által már 1852-ben javasolt termodinamikai hőmérsékleti skála
használatos, melynek alappontja, az abszolút zérus fok, -273,14 C, osztása pedig a Celsius skáláéval megegyező.
Az abszolút hőmérséklet fogalmát később részletesen tárgyalni fogjuk. Az abszolút hőmérsékletet Kelvinben (K)
adjuk meg.
Gáztörvények
A Gay-Lussac törvények és a Boyle-Mariotte törvény Az állandó nyomáson melegített gáz térfogatváltozására Gay-Lussac (1802-ben) a következő
törvényt találta:
,10 tVV
ahol a térfogati hőtágulási tényező minden gáznál közelítőleg ugyanaz: C, 016273
1
V0 a t = 0 0C-hoz tartozó térfogatot jelenti a megadott
állandó nyomáson. Ezek szerint a gázok 0 0C-ról 1
0C-ra
melegítve a 0 0C-hoz tartozó térfogatuk 1/273-ad részével
terjednek ki.
A térfogat-hőmérséklet függvényt különböző nyomások
mellett ábrázolva a 2.3. ábrán látható egyenessereget
kapjuk. Az egyenesek mind a t = -273 0C pontban
metszenék az abszcissza-tengelyt, ha a Gay-Lussac
törvény igaz lenne ilyen alacsony hőmérsékleten. A
valódi gázok azonban már ennél jóval magasabb
hőmérsékleten cseppfolyósodnak, ezért ettől kezdve a
Gay-Lussac törvény már nem alkalmazható rájuk.
Az állandó térfogaton melegített gáz nyomásváltozását leíró második Gay-Lussac
törvény szintén lineáris összefüggés:
,1 '
0
tpp
ahol ` megegyezik a hőtágulási tényezővel. A p0
az adott állandó térfogaton a 0 0C-hoz tartozó
nyomás 10C-kal való felmelegítésnél a gáz nyomása
ennek a p0 nyomásnak 1/273-ad részével növekszik
meg. A nyomást különböző térfogatok mellett a
hőmérséklet függvényében ábrázolva a 2.4. ábrán
látható egyenessereget kapjuk. Az egyenesek ezúttal
is a t = -273 0C hőmérsékleten metszenék egymást, 2.4. ábra
2.3. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 14
ha a cseppfolyósodás nem következne be.
A Boyle-Mariotte törvény állandó hőmérsékleten teremt kapcsolatot a gáz nyomása és
térfogata között:
,llandóápV
azaz állandó hőmérsékleten a gáz nyomásának és térfogatának szorzata állandó. (Ez az
empirikus törvény egyébként a két Gay-Lussac törvényből egyszerűen levezethető .)
Az ideális gáz állapotegyenlete
A fentebb tárgyalt empirikus törvények legnagyobb hátránya, hogy csak speciális
állapotváltozásokra igazak: valamelyik állapotjelző állandóságát feltételezik. A
következőkben kapcsolatot teremtünk az ideális gáz két tetszőleges állapota között.
A 2.5. ábra 0 kiinduló és 1 végállapota közé beiktattuk a
2 közbenső állapotot úgy, hogy a t1=t2 feltétel
teljesüljön. Ily módon lehetővé vált a kiinduló és a
végállapot közötti kapcsolat megteremtése a már ismert
speciális törvények felhasználásával.
Ha a 0 állapotot úgy rögzítjük, hogy p0 = 101300 Pa (a
normál légköri nyomás), t0 = 0 0C legyen, akkor Gay-
Lussac második törvénye értelmében:
p2 = p0(1 + t).
.
Másrészt a Boyle-Mariotte törvény szerint
p1V1 = p2V2
továbbá V0 = V2, ill. t2 = t1 = t miatt
.10011 tβVpVp
Figyelembe véve, hogy 1
27316,, kapjuk:
.
16,27316,273
0011 Vp
t
Vp
A T = 273,16 + t abszolút hőmérséklet bevezetésével
CT
Vp
T
Vp
0
00
1
11 vagy pV = CT,
ahol adott tömegű és anyagi minőségű gáznál C a gáz tömegével arányos állandó: C=mR
(hiszen azonos körülmények között pl. kétszer akkora tömegű gáz nyomásának meg kell
duplázódnia). Ezzel az állapotegyenlet a
pV = mRT
alakot ölti, ahol R neve specifikus gázállandó, mértékegysége J/kgK, értéke minden gázra
más.
Az állapotegyenlet úgy is átalakítható, hogy minden gázra azonos értékű, univerzális állandót
tartalmazzon. Mivel bármilyen (kémiailag homogén és ideálisnak tekinthető) gáz 1 móljának
a térfogata 0 0C-on és normál légköri nyomáson 22,41 liter, ezért az ideális gáz tömegét
moláris tömegben kifejezve a gázállandó minden gázra azonos értékű lesz:
2.5. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 15
TnRMRTM
mpV M
ahol n az anyagmennyiség mólokban kifejezett számértéke, az ún. mólszám, és RM = MR a
minden anyagra azonos értékű univerzális vagy moláris gázállandó, értéke 8,314 J/molK.
Tehát az állapotegyenlet n mól ideális gázra:
TnRpV M
Az állapotegyenlet három megismert alakja természetesen egyenértékű, a feladat és a
felhasználó dönti el, melyiket célszerű használni.
Az ideális gáz állapotjelzőinek értelmezése a kinetikus gázelmélet alapján
Legyen a V térfogatú edénybe zárt, állandó hőmérsékletű ideális gázban összesen N számú,
egyenként tömegű molekula.
A gáz tömege m = N, sűrűsége:
.V
N
V
m
A molekulák erőhatás hiányában - a nehézségi erőtől most eltekintünk - a falon történő
két egymást követő ütközés között egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. Mivel a
gázban egy irány sem kitüntetett, ez a mozgás teljesen rendezetlen. Jelöljük a molekulák
átlagsebességét v -vel, és rendeljük ezt az átlagsebességet minden molekulához.
A 2.6. ábra szerinti derékszögű hasáb alakú edényben a molekulák hatodrésze fog az A
felületű oldallap felé haladni . A v sebességgel haladó molekulák közül t idő alatt csak az
ábrán vonalkázott térfogatában tartózkodó gázmolekulák fogják elérni az oldallapot, ezek
száma tvAV
N
6
1lesz.
A fallal való rugalmas és
merőleges ütközésnél mindegyik
molekula impulzusa v -ról (- v )-
ra, azaz (-2 v )-lal változik meg. A
fal tehát az FΔt =ΔI impulzustétel
alapján egy-egy molekulától 2 v
impulzust vesz fel, a t idő alatt
beleütköző molekuláktól pedig összesen
vtvAV
NI 2)
6
1(
impulzust. F = I/t miatt
,tA
I
A
Fp
ill. I értékének behelyettesítésével az ideális gáz nyomására végül a
2
3
1v
V
Np
2.6. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 16
kifejezés adódik, ahol 2v az összes előforduló sebességek négyzetének számtani középértékét
jelenti.
Ez az egyenlet 2
3
1vNpV alakba átírva a Boyle-Mariotte törvénnyel azonos, mivel az
egyenlet jobb oldalán csak állandók szerepelnek. Modellünk tehát helyesnek bizonyult: a
gázok nyomása egy edényben a molekuláknak az edény falán történő impulzuscseréjével
magyarázható.
Vizsgáljuk meg most az abszolút hőmérsékletet.
A fenti összefüggést a pV = mRT állapotegyenlettel összehasonlítva:
,3
1 2
RTNmRTvN
ahonnan
.2
3
2
1 2 RTv
Valamely molekula tömegét az M móltömeg és az L Loschmidt (Avogadro) szám
hányadosaként is kifejezhetjük: .L
M
Ezt felhasználva:
.2
3
2
3
2
3T
L
RT
L
MRRT M
Az L
RM az anyagi minőségtől független, univerzális állandó, a Boltzmann állandó:
.1038,1 23
K
J
L
Rk M
Ezekkel a jelölésekkel:
kTv2
3
2
1 2
Ezek szerint az ideális gáz molekuláinak átlagos mozgási energiája arányos a gáz abszolút
hőmérsékletével, és független a gáz anyagi minőségétől.
Abszolút zérus hőmérsékleten eszerint minden egyes molekula sebessége zérus lenne, ami
azonban a kvantummechanika eredményei alapján lehetetlen.
Levezetésünkben az ideális gáz minden molekuláját szabad tömegpontnak tekintettük,
amelynek helyzetét 3 független koordináta (x, y, z) határozza meg, és egyúttal a mozgási
energia is 3, egymástól független négyzetes tag összegeként fejezhető ki:
Erre való tekintettel azt mondjuk, hogy a tömegpontnak 3 szabadsági foka van. Mivel a
gázban az x, y, z irányok teljesen egyenértékűek, nyilvánvalóan
.2
1 222
zyxk vvvE
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 17
3
2222 v
vvv zyx ,
és így
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2 2 v v v kTx y zz .
Azaz: mindegyik szabadsági fokra átlagban ½ kT energia jut. Boltzmann statisztikai
meggondolásokkal kimutatta, hogy ez az eredmény így általánosítható:
Hőegyensúlyban lévő, T abszolút hőmérsékletű rendszerben minden szabadsági fokra -
térbeli és időbeli átlagban – ugyanakkora, kTE2
1 energia jut. Ez az energia egyenletes
eloszlásának tétele, az ekvipartició-tétel.
A valódi gázok állapotegyenlete: a van der Waals egyenlet
A van der Waals egyenlet a legegyszerűbb egyenlet, amelyet a valódi gázok leírására
használhatunk. Az ideális gáz állapotegyenletéhez korrekciós kifejezéseket adunk, amelyek a
valódi gázok tulajdonságait veszik figyelembe. Kiindulásképpen először fejezzük ki a
nyomást az egyenletből, majd osszuk végig az egyenletet a gáz tömegével:
.
m
V
RTp
A v=V/m hányadost fajtérfogatnak nevezzük. A gázmolekulák nem pontszerűek, ezért a
fajtérfogatot egy b korrekciós taggal csökkentjük. Ha figyelembe vesszük, hogy a fal
közelében a molekulák lelassulnak a kohéziós erők miatt, akkor a nyomást is korrigálnunk
kell: ez a korrekciós tag a molekulák sűrűségével egyenesen, átlagos távolságukkal
fordítottan arányos. Ezért a korrekciónak a sűrűség négyzetével egyenesen arányosnak kell
lennie. Azaz v=1/ρ miatt
,2
2
v
a
bv
RTa
bm
V
RTp
ahonnan a van der Waals egyenletet átrendezéssel kapjuk:
.2
RTbvv
ap
Ha ábrázoljuk az izotermákat a p-V diagramon, a 2.7. ábrán látható, tipikusan harmadfokú
görbesereget kapunk a következő tulajdonságokkal:
1/ a T2 izotermánál minden p értékhez csak egy v tartozik
2/ a T1 izotermánál előfordul, hogy valamely p értéknek három V érték felel meg
3/ a fenti két típusú görbesereget egymástól a TK „kritikus izoterma” választja el, amelynek a
K pontban inflexiós pontja van.
Míg az elméleti kritikus izoterma és az e felettiek a megfelelő kísérleti izotermákkal
kvalitatíve teljesen megegyeznek, addig a TK alatti elméleti izotermákon fekvő S alakú
görbület értelmezhetetlen. Erre az esetre az ún. Maxwell szabály érvényes: ha a
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 18
szélsőértékhelyeket tartalmazó görbületet úgy helyettesítjük egy vízszintes szakasszal, hogy a
2.12. ábrán a két sávozott terület egymással egyenlő legyen, akkor az így módosított
izotermák már fizikailag értelmezhetők.
A kritikus hőmérséklet alatt gáz helyett gőzről, a
Maxwell-féle területen belül pedig telített gőzről
beszélünk. A megfelelő izoterma vízszintes szakasza a
tapasztalat szerint a folyadék + telített gőzből álló
rendszer viselkedését írja le. A rendszer tehát itt
kétfázisúvá válik.
Az izoterma vízszintes szakasza után a rendszer
térfogatának további csökkenését csak igen nagy
nyomások alkalmazásával érhetjük el: az izotermának ez a
szakasza már folyadékokra vonatkozik, tehát a p tengely
és a kritikus izoterma, ill. a kétfázisú tartomány bal oldali
határgörbéje között a rendszer ismét egyfázisú, folyadék
halmazállapotú.
A tapasztalat szerint minden gázhoz tartozik egy kritikus hőmérséklet, amelynél magasabb
hőmérsékleten a gáz bármilyen nagy nyomással sem cseppfolyósítható a kritikus hőmérséklet
felett az anyag nem lehet folyékony halmazállapotban. A kritikus hőmérséklet fölött a
rendszer gáz halmazállapotú, és minél magasabb a hőmérséklete, annál inkább alkalmazható
rá az ideális gázokra vonatkozó állapotegyenlet.
A kétfázisú tartomány jobb oldali határgörbéje és a kritikus izoterma közötti tartományban a
rendszer telítetlen gőz formájában van jelen. Magában a kritikus állapotban nincsen
semmiféle különbség a folyadék és a gőz között (tehát pl. határfelület sincsen, a felületi
feszültség és a párolgási hő is zérus).
Az ideális gáz speciális állapotváltozásai (1)
Az izotermikus állapotváltozásoknál (T = állandó) az adott m tömegű ideális gáz
állapotegyenlete a
pV = állandó (= mRT)
Boyle-Mariotte törvénnyé egyszerűsödik, amelynek a p - V
diagramon hiperbola felel meg (2.8. ábra). A gáz által
végzett W munka könnyen kiszámítható: p = mRT/V
felhasználásával
2
1
2
1
.2
1
1
2V
V
V
V p
pnmRT
V
VnmRT
V
dVmRTpdVW
Korábbi megállapodásunk értelmében W tágulásnál pozitív,
összenyomásnál (a gázon munkát végzünk) negatív.
2.8. ábra
2.7. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 19
Az izochor állapotváltozásoknál (V = állandó) az állapotegyenlet a Gay-Lussac féle második
törvényre egyszerűsödik:
.TkonstansTV
mRp
Ha a gáz állandó V térfogaton a (p1, T1)
állapotból a (p2, T2) állapotba jut (2.9. ábra), a
térfogat állandósága miatt munkavégzés nincsen
(W = 0).
Az izobár állapotváltozásoknál (p = állandó) az
állapotegyenlet a Gay-Lussac féle első törvénybe
megy át:
T
p
mRTkonstansV
Ha a gáz állandó p nyomáson a (V1, T1)
állapotból a (V2, T2) állapotba (2.10. ábra)
kerül, a nyomás állandósága miatt a térfogati
munka egyszerűen számolható:
W = p (V2 - V1).
Az első főtétel
Az első főtétel a mechanikai energia megmaradási tételének kiterjesztése a hőcserét is
magában foglaló folyamatokra.
A főtételt először az ún. termodinamikai gépekre mondjuk ki. Ezek működésük közben egy
(vagy több) hőtartályból hőt vesznek fel, ill. egy vagy több hőtartálynak hőt adnak le,
miközben munkát végeznek. A gyakorlatban ezek a
gépek ciklikusan működnek, azaz állandóan
ugyanazok a folyamatok ismétlődnek működésük
során, a bennük lezajló állapotváltozások képe
körfolyamat a p - V diagramon (2.11. ábra). Mivel
valamely állapotváltozás során az 1-es és 2-es állapot
között a rendszer munkavégzését a
2
1
pdVW
formula szerint számoljuk, és körfolyamat esetén a
kezdeti és a végső állapot egybeesik, ezért egy
2.9. ábra
2.10. ábra
2.11. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 20
termodinamikai gép egy ciklus alatt végzett munkáját a
∮ ∮
kifejezés értéke adja meg, amely a körfolyamat görbéje által bezárt terület nagyságával
arányos. Az energiatétel miatt a felvett és leadott hőmennyiségek algebrai összegének meg
kell egyeznie az összes munkavégzéssel, azaz
∮ ∮
Ez a termodinamika I. főtételének matematikai megfogalmazása körfolyamatokra.
Másképpen: nem építhető elsőfajú perpetuum mobile, azaz olyan ciklikusan működő hőerőgép,
amely hőfelvétel nélkül munkát képes végezni.
A kijelentés nyitott folyamatokra nyilván nem igaz. Pl. a nagy nyomású gázpalackból
kieresztett gáz jó darabon képes egy dugattyút tolni maga előtt egy munkahengerben, anélkül,
hogy közben környezetéből hőt venne fel. Nyitott folyamatokra, ill. valamely körfolyamat
elemi szakaszára tehát általában Q W . Ahhoz, hogy a főtételt ilyen állapotváltozásokra is
kiterjeszthessük, az W elemi munkához hozzáadunk egy szintén munka dimenziójú, fiktív
U mennyiségnek az elemi megváltozását úgy, hogy a
Q = W + U
egyenlőség teljesüljön. Az U mennyiség összmegváltozásának egy körfolyamatra nézve
zérusnak kell lennie, különben az I. főtétellel ellentmondásba kerülünk:
∮ ∮ ∮
ahol tehát szükségképpen ∮ vagyis U eleget
tesz az állapotjelző definíciójának.
U fizikai jelentését a Gay-Lussac kísérlet segítségével
tisztázhatjuk (2.12. ábra). Itt egy hőszigetelt, folyadékot
tartalmazó edénybe helyezett fordított U alakú tartály
két szára közül A-ban nagy nyomású (ideálisnak
tekinthető) gáz van, az A-tól K csappal elválasztott B
edényben pedig vákuum. A csap nyitása és a gáz egy
részének B-be történő lassú átáramlása után létrejön egy
új egyensúlyi állapot, amelyben a gáz térfogata és
nyomása más lesz, hőmérséklete azonban a mérések
szerint nem változik. A vákuummal szemben nincs
munkavégzés, tehát Q = W = 0. Mivel a kezdeti és a
végső állapotban a térfogat és a nyomás különböző volt,
ezért U nem függhet sem a nyomástól, sem a térfogattól, csak az abszolút hőmérséklettől: U =
U(T). Az abszolút hőmérséklet azonban – mint korábban láttuk - a gáz molekuláinak átlagos
mozgási energiájára jellemző, ezért U is erre jellemző fizikai mennyiség, amelyet ezért a gáz
belső energiájának fogunk nevezni.
Ezek után az első főtételt nyitott folyamatokra a következőképpen fogalmazhatjuk meg:
A rendszerrel közölt hőmennyiség egy része a rendszer belső energiáját növeli, másik
része árán a rendszer (tágulási) munkát végez:
2.12. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 21
Q = dU + W.
Vagy tetszőleges nyitott folyamatra:
Annak megállapítása, hogyan függ az ideális gáz belső energiája az állapotjelzőktől, az első
főtétel és a Gay-Lussac kisérlet alapján már lehetséges. Tegyük fel, hogy az m tömegű
gázzal állandó térfogaton (dV = 0) kis Q hőmennyiséget közlünk. Az első főtétel szerint
Q = dU + pdV = dU
mivel Q = cvmdT , ezért
dU = cvmdT , ill. .vmcdT
dU
Az ideális gázok cv fajhőjét tág határok között állandónak tekinthetjük. Így a belső energia
U = mcvT + U0 alakú lesz, ahol az U0 integrációs állandó az ún. zéruspont-energia, azaz a
gáz belső energiája az abszolút nulla fokon. Ez az U0 állandó a klasszikus termodinamikában
zérusnak választható, mert az energiatételben és alkalmazásaiban csak energiakülönbségek
lépnek fel, s így U0 kiesik.
Ha a gázzal állandó nyomáson (dp = 0) közlünk Q hőmennyiséget, az első főtétel szerint
Q = dU + pdV + (Vdp - Vdp) = dU + d(pV) - Vdp = d(U + pV).
Az egyenlet jobb oldalán egy fizikai mennyiség teljes differenciálja áll, aminek alapján egy
újabb állapotjelzőt definiálhatunk, a H entalpiát:
pVUH
Az entalpia a rendszer belső energiájának és a pV szorzatnak összege, maga is energia-
jellegű mennyiség. Mivel állandó nyomáson Q = cp mdT = dH ezért az entalpiaváltozás
dH = cp mdT.
Az entalpia segítségével az I. főtételt újabb alakba írhatjuk:
Q = dU + d(pV) - Vdp = dH - Vdp.
Integrálás után:
,2
1
,
1212
p
p
WIIVdpHHQ
ahol a
2
1
p
p
Vdp'W
mennyiséget a rendszer által végzett technikai munkának nevezik. Eszerint:
.WUUdVpUUQV
V
1212
2
1
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 22
A rendszerrel közölt hőmennyiség egyik része a rendszer entalpiáját növeli, a másik része
pedig mint technikai munka hasznosítható:
Q = dH + W’.
A technikai munka fogalma a különböző hőerőgépek tárgyalásánál játszik fontos szerepet,
mert ezekben a hasznosítható munka általában a technikai munkával egyezik meg.
A gázállandó és a fajhők kapcsolata
Az entalpia és a belső energia különbsége:
I - U = mcpT - mcvT = m(cp - cV) T = pV.
A pV = mRT állapotegyenlet felhasználásával Rcc vp , ill. a mólhőkre: Mvp RCC .
Az ideális gáz kétféle fajhőjének különbsége az R specifikus gázállandóval, a kétféle
mólhő különbsége az RM univerzális gázállandóval egyenlő.
Az ideális gáz speciális állapotváltozásai (2)
Az adiabatikus állapotváltozásoknál definíció szerint a rendszer és környezete között
hőkicserélődés nincs (Q = 0), azaz a rendszer vagy tökéletesen hőszigetelt, vagy az
állapotváltozás olyan gyors, hogy számottevő hőmennyiség felvételére vagy leadására nincs
idő (pl. a szifonpatronba zárt széndioxid gyors kitágulása adiabatikusnak tekinthető).
Az első főtételt alkalmazva látjuk, hogy adiabatikus kompresszió esetén a gázon végzett W
munka teljes egészében a gáz belső energiáját növeli:
-W = U2 - U1 = mcv (T2 - T1)
azaz a gáz felmelegszik. Adiabatikus tágulásnál a gáz a munkát a belső energia rovására
végzi, a gáz tehát lehűl. Az adiabatikus állapotváltozás bármelyik kis szakaszára fennáll az
első főtétel: dU + pdV = 0.
dU = mcv dT és p = mRT/V = m(cp - cv) T/V miatt
.0V
dVTccmdTmc vpv
A tömeggel és cv-vel való osztás, valamint a κ= cp / cv fajhőviszony bevezetése után ez a
differenciálegyenlet azonnal integrálható:
,1 állandónVnT
azaz
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 23
TV -1
= áll.
Két további összefüggést kapunk, ha ebbe az egyenletbe behelyettesítjük a V-nek, ill. a másik
esetben a T-nek a pV = mRT állapotegyenletből kifejezett értékét, és az állandókat a
konstansba belefoglaljuk:
konstansT
p
1
, ill. pV = állandó.
A fenti összefüggésnek a p - V diagramon
az ún. adiabaták felelnek meg. Az
izotermákkal összehasonlítva rögtön
kitűnik, hogy az adiabata ugyanabban a P
pontban meredekebb, mint az izoterma
(2.13. ábra).
Az adiabatikus folyamatok, ill. az ezekre
vonatkozó összefüggések módot nyújtanak a =
cp/cv fajhőviszony mérésére. Egy igen pontos
módszer a hangsebesség mérésén alapszik. A
hanghullámok miatt a gázban fellépő sűrűség- és
nyomásingadozások olyan gyorsak, hogy a
változások adiabatikusnak tekinthetők. Az ennek
figyelembevétgelével levezethető Laplace-féle
összefüggés szerint a hang sebessége (ideális) gázokban
,RTp
c
és így c mérése útján meghatározható.
Politrop állapotváltozásoknak hívjuk az olyan, a fentieknél általánosabb változásokat,
amelyek során a rendszer által felvett Q hőmennyiség arányos a dT hőmérsékletváltozással:
Q = cn mdT.
ahol cn az ún. politropikus fajhő. Az első főtétel alapján kimutatható, hogy politrop
állapotváltozásoknál az adiabatikus egyenletek a helyett az
nv
np
cc
ccn
politrop-kitevővel érvényesek, azaz pl.
pVn = állandó.
A gyakorlatban fontos esetekben n értéke általában 1 és közé esik.
2.13. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 24
A Carnot-körfolyamat és a II. főtétel
A hőerőgépek működését Carnot (1824) és Clausius
munkássága alapján tárgyaljuk. A Carnot-gép
működési sémáját a 2.14. ábra mutatja be. A modell
szerint a gép a T1 hőmérsékletű kazánból felvett Q1 hő
felhasználásával W munkát végez, majd a fel nem
használt Q2 hőt a hűtőnek adja le. A gép praktikus
okokból ciklikus működésű. Ha gondoskodunk arról,
hogy a gépben lezajló állapotváltozások kvázisztatikusak legyenek, a gép reverzibilis
működésű lesz.
A Carnot-géppel kapcsolatosan a következő előfeltevésekkel élünk:
1. a gép reverzibilis, benne kvázisztatikus állapotváltozások zajlanak
2. üzemanyaga ideális gáz
3. a gép két hőtartállyal (kazán és hűtő) áll kapcsolatban: a hőtartályokról feltételezzük,
hogy hőmérsékletüket az elvont vagy felvett hők észrevehetően nem befolyásolják.
4. ciklusonként 2 izotermikus és 2 adiabatikus állapotváltozás megy végbe.
Ez a gép természetesen idealizált, de a benne zajló
folyamatok jól számíthatók. Először meghatározzuk a
Carnot-gép hatásfokát, majd a konstrukció
változtatásával próbáljuk az eredményeket
általánosítani.
A Carnot-gép működését a p-V diagramon ábrázolva a
Carnot-körfolyamathoz jutunk (2.15. ábra).
A körfolyamat A-B szakaszán a gáz izotermikusan
tágul, és W1 munkát végez. Ehhez Q1 hőt vesz fel a T1
hőmérsékletű hőtartályból. A végzett munka:
Ezután a gázt a környezettől tökéletesen elszigeteljük (hőszigeteljük), és hagyjuk addig
adiabatikusan kiterjedni, amíg T2 T1 hőmérsékletre hűl. Az adiabatikus tágulásnál a gáz
munkája W2 = mcv (T1 - T2) .
A C-D szakaszon a gázt az alacsonyabb T2 hőmérsékletű hőtartállyal hozzuk érintkezésbe, és
izotermikusan összenyomjuk VD térfogatra. Az izotermikus kompresszió során a gáz lead a
hőtartálynak Q2 hőmennnyiséget, és W3 munkát végez:
.V
VnmRT
V
VnmRTWQ
D
C
C
D 2232
Az utolsó lépésben a környezettől ismét elszigetelt gázt adiabatikus összenyomással a kezdeti
állapotba visszük vissza, miközben a gáz munkája W4 = -mcv (T1 - T2) lesz.
2.14. ábra
2.15. ábra
.111
A
B
V
VnmRTWQ
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 25
A körfolyamat során a gáz által végzett összes munka az izotermikus munkák összege lesz,
mivel a két adiabatikus szakaszon végzett munkák azonos nagyságúak, de ellentétes
előjelűek. Az izotermikus szakaszok munkavégzéseinek összeadásánál vegyük figyelembe,
hogy az AD és BC adiabatikus szakaszok mentén TV-1
= állandó, azaz
T1VA-1
= T2VD-1
ill. T1VB-1
= T2VC-1
ahonnan D
C
A
B
V
V
V
V , és így a gáz teljes munkája egy ciklus alatt:
.)( 2121
A
B
V
VnTTmRQQW
Összefoglalva, a Carnot-körfolyamat végeredménye: a gáz a T1 hőmérsékletű hőtartályból
("kazánból") felvesz Q1 hőt, a T2 hőmérsékletű hőtartálynak ("hűtőnek") lead Q2 hőt, és
összesen W hasznos munkát végez.
A Carnot-gép termikus hatásfoka az I. főtétel figyelembevételével:
.11
2
1
21
1 T
T
T
TT
Q
W
Az hatásfok tehát csak a két hőtartály hőmérsékletétől függ, és annál nagyobb, minél
magasabb a "kazán" T1, és minél alacsonyabb a "hűtő" T2 hőmérséklete az = 1 = 100%
érték csak T2 = 0 K esetén lenne elérhető. Eredményünk úgy is megfogalmazható, hogy a
"kazánból" felvett Q1 hőmennyiségnek csak egy tört része, Q1, alakul át munkává, a másik
része, (1-) Q1, a "hűtőbe" jut.
A körfolyamat során végzett eredő munka a p - V diagramon a körfolyamat görbéje által
bezárt területként jelenik meg.
A Carnot körfolyamatot a megfordított
irányban (ADCBA) is vezethetjük. Ilyenkor
az előbbi hőmennyiségeknek és
munkáknak csak az előjele változik meg,
ill. a "felvett" és "leadott" szavak
felcserélődnek. A fordított Carnot-
körfolyamatnál tehát a gáz a hűtőből
felvesz Q2, a kazánnak lead Q1
hőmennyiséget, és a külső erők a gázon W munkát végeznek. Ez az inverz körfolyamat két
további géptípus, a hőszivattyú és a hűtőgép modelljének tekinthető.
A hőszivattyú arra szolgál, hogy munkavégzés és a hőnek a hidegebb (T2) környezettől (pl.
külső levegő, víz) való elvonása árán hőt juttasson egy magasabb (T1) hőmérsékletű helyre,
pl. terembe (2.16. ábra). A hőszivattyú jósági tényezője ideális esetben:
21
11
TT
T
W
Qhsz
Ha tehát pl. 20
0C-os (T1 = 293 K) helyiséget a 0
0C-os (T2 = 273 K) külső levegőből való hőelvonással,
elektromos kompresszorral működtetett hőszivattyúval fűtenénk, ideális esetben a nyert Q1 hőmennyiség
293/20 = 15-ször nagyobb lenne a befektetett W munkánál, vagy az ennek megfelelő teljesítményű
2.16. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 26
villanykályha által leadott hőmennyiségnél. A valóságban működő hőszivattyúk jósági tényezője azonban
lényegesen kisebb, 3-5 közötti érték.
A hűtőgép feladata, hogy egy tartályt a környezeténél (T1) alacsonyabb T2 hőmérsékleten
tartson, vagyis – bizonyos W munka befektetésével – vonja el a tartálytól azt a Q2
hőmennyiséget, amelyet az a környezettől felvesz. Mivel most a tartálytól elvont
hőmennyiség a hasznos, a hűtőgép jósági tényezője ideális esetben:
.21
22
TT
T
W
Qhg
Ha hőerőgépeink a Carnot-körfolyamat szerint működnének, 100 0C-os kazán és 0
0C-os hűtő
esetén is csak %25373/100 hatásfokkal dolgoznának. Ezért a következőkben
megvizsgáljuk, hogy előfeltevéseink módosításával hogyan javíthatnánk a hatásfokot.
a/ Irreverzibilis működésű gépek. Elképzelhető-e, hogy egy irreverzibilis gép hatásfoka
nagyobb legyen, mint egy azonos felépítésű reverzibilis gépé? Tegyük fel, hogy gépünk
dugattyúja súrlódással mozog a munkahengerben. Ekkor a súrlódás útján keletkezett hő az
izotermikus szakaszokon visszakerül a hőtartályokba úgy, hogy a gáz által a T1 tartályból
végeredményben felvett Q1 hőmennyiség kisebb a súrlódásmentes esetben felvett Q1-nél, a
T2 tartálynak leadott Q
2 hőmennyiség viszont nagyobb Q2-nél. Ily módon a súrlódásos
(irreverzibilis) körfolyamat hatásfoka:
1
2
1
21
1
21 1Q
Q
Q
Q
kisebb a reverzibilis esetre számolt
1
2
1
21
1
21 1Q
Q
Q
Q
értéknél. Tehát – amint az várható is volt – az irreverzibilis gépek hatásfoka a reverzibilis
gépek hatásfokánál csak kisebb lehet!
b/ Tetszőleges reverzibilis gép hatásfoka. A gépet reprezentáló általános körfolyamatot a
2.17. ábrán vázoltuk.
Ha a p – V síkot izotermákból és adiabatákból
alkotott sűrű hálózattal beborítjuk, akkor az adott
körfolyamatot összekapcsolt Carnot-körfolyamatok
láncával közelítettük. Mivel ekkor a belső (adiabatikus)
szakaszok a kétszeri, ellentétes irányú körülfutás miatt
végeredményben nem számítanak, az eredeti zárt görbét az
ABA’B’ … C’D’CD … zárt törtvonal görbével
helyettesíthetjük. A hálózat fokozatos sűrítésével
elérhetjük, hogy egyes izotermaszakaszokon felvett vagy
leadott hőmennyiségek egyre kevésbé különböznek a 2.17. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 27
megfelelő eredeti görbeszakaszokon felvett, ill. leadott hőmennyiségektől. A Carnot-géptől
eltérő működésű reverzibilis gépek termikus hatásfokát ezek szerint szintén a Carnot-
körfolyamatnál már megismert formula szerint számíthatjuk. Jó közelítéssel
max1
min2max1
T
TT
ahol T1max a legmelegebb, T2min a leghidegebb hőtartály hőmérséklete az összetevő Carnot-
gépek sorozatában. Láthatóan sem a részfolyamatok, sem a hőtartályok számának növelése
nem vezetett a hatásfok javulásához.
c/ Hőerőgép egy hőtartállyal és más üzemanyaggal. Eddigi eredményeink legalább két
hőtartállyal és ideális gázzal működő hőerőgépekre vonatkoznak. Láttuk, ezek körében a
Carnot-gép optimális hatásfokú. Ennél jobb hatásfokkal működő gépet most már csak az egy
hőtartállyal, ill. nem ideális gázzal működő gépek körében kereshetünk. Gondolatkísérletünk
blokksémáját a 2.18. ábra szemlélteti. A T1 és T2 hőmérsékletű hőtartályok között két
reverzibilis Carnot-gépet működtetünk:
az üzemanyagként ideális gázt
felhasználó A gép hatásfoka
A
T T
T
1 2
1
a valamilyen más üzemanyagot
felhasználó B gép hatásfoka legyen ennél
nagyobb: B A.
Működtessük most az A gépet
hűtőgépként, a B gépet pedig hőerőgépként. A T1 hőmérsékletű hőtartályból akkor nem fogy
hő, ha az A hűtőgép ugyanakkora Q1 hőmennyiséget ad le oda, mint amekkorát a B hőerőgép
felvesz onnan. A hűtőgép működtetéséhez WA munkára van szükség, az A gépnek a T2
hőmérsékletű hőtartályból tehát Q1 – WA hőt kell felvennie, és működése közben a B gép
ugyanoda Q1 – WB hőt ad le. Egy ciklus után a T1 hőmérsékletű hőtartályban végeredményben
ugyanannyi hő van, mint a ciklus megkezdése előtt volt, és hő csak a T2 hőmérsékletű
hőtartályból fogyott, mivel B A miatt WB WA, tehát ebbe a hőtartályba minden ciklusban
kevesebb hő jut, mint amennyit az A gép onnen felvesz.
Ezután a WB(WA) munkából WA-t felhasználnánk arra, hogy az A hűtőgépet működtessük, a
megmaradó WB – WA munkát pedig hasznos munkavégzésre fordíthatnánk. A folyamat
egyedüli eredménye az lenne, hogy kombinált két gépünk WB – WA munkát végez, és a T2
hőtartályból energia fogy. Ez a gép egy hőtartállyal működne (a T1 hőmérsékletű hőtartály
tetszőleges kicsiny lehet), és megépítéséhez végeredményben az szükséges, hogy találjunk két
olyan üzemanyagot, melyre nézve a Carnot-gép hatásfoka különbözik. Egy ilyen berendezés
vagy gép az első főtétellel nincs ellentétben, tehát nem (elsőfajú) perpetuum mobile, de az
emberiség számára ugyanolyan hasznos lenne, mert az óceánok, a talaj, vagy a légkör
kimeríthetetlen hőkészletét munkává alakítaná át, és így „ingyen” termelne munkát ezért az
ilyen gépet Oswald találóan másodfajú perpetuum mobilének nevezte el. A tapasztalat
azonban azt mutatta, hogy másodfajú örökmozgó szerkesztése nem lehetséges ez a második
főtétel egyik megfogalmazása.
2.18. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 28
Másképpen: nem találunk két olyan anyagot, melyre nézve a Carnot-körfolyamat termikus
hatásfoka különböző, tehát nem lehet olyan gépet szerkeszteni, amely egy hőtartályból
hőmennyiséget von el, és azt egyéb változások bekövetkezése nélkül munkává alakítja át.
Itt az „egyéb változások bekövetkezése nélkül” kikötés igen lényeges, mert pl. a gáz
izotermikus tágulásnál a hőtartályból felvett hőmennyiséget teljes egészében átalakítja ugyan
munkává, de ezen kívül más változás is fellép, ti. a gáz térfogata megnövekszik.
Az első főtétel nem mond semmit arról, hogy valamilyen folyamat a valóságban egy meghatározott irányban,
vagy pedig éppen a megfordított irányban megy-e végbe. Igy pl. a h magasságból leejtett m tömegű kőnek a
talajba való rugalmatlan ütközésénél a kő és környezete felmelegszik, összesen az mgh energiával egyenértékű
hőmennyiség fejlődik. Az energiatétel érvényes, de ugyanígy érvényes lenne a tétel a megfordított folyamatnál
is, ha t.i. a talajon nyugvó kő lehűlés árán a magasba emelkednék, de ilyesmit sohasem észlelünk: a fordított
folyamat lejátszódását a második főtétel tiltja, hiszen itt is egyetlen hőtartályból (a kőből elvont hő árán
nyernénk munkát (a kő felemelkedése során).
A II. főtételnek a valóságos folyamatok irányára vonatkozó állítása különösen a Clausius-féle
megfogalmazásából tűnik ki (1850): Hő nem juthat hidegebb testről melegebbre
„magától”, azaz anélkül, hogy egyidejűleg más változások ne történnének. Ez a megszorítás
itt is nagyon fontos, mert például a hőszivattyúnál hő jut ugyan a hidegebb hőtartályról a
melegebbre, de eközben egyrészt külső erők munkát végeznek, másrészt a melegebb
hőtartályra nem csupán a hidegebbtől elvont hőmennyiség kerül, hanem még a végzett
munkával egyenértékű hőmennyiség is.
A második főtétel matematikai megfogalmazása. Az entrópia.
Az előzőek szerint a Carnot-körfolyamat termikus hatásfoka:
1
21
1
21
T
TT
Q
,
attól függően, hogy a körfolyamat irreverzibilis ( jel) vagy reverzibilis (= jel). Ebből
következik, hogy
02
2
1
1 T
Q
T
Q
vagyis a Q/T hányadosoknak, az ún. redukált hőmennyiségeknek az összege nem lehet pozitív.
A fenti eredmény bármely körfolyamatra általánosítható. Az előző fejezetben egy
tetszőlegesen választott reverzibilis körfolyamatot n db összekapcsolt Carnot-körfolyamattal
közelítettünk (lásd 2.17. ábra). Mármost az egyes reverzibilis Carnot-körfolyamatokra
érvényes fenti egyenletek összegezésével kapjuk, figyelembe véve, hogy 2n az összes
hőtartályok száma:
n
ii
i .T
Q2
1
0
A hálózat sűrítésével, határesetben, az összegzés integrálásba megy át:
∮
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 29
Ha az adott körfolyamat irreverzibilis, azaz bármilyen kis irreverzibilis szakaszt tartalmaz,
akkor egyenlőségjel helyett a jel érvényes. Az így nyert, ún. Clausius-féle egyenlőtlenség a
második főtétel körfolyamatokra vonatkozó alakja:
∮
Tetszőleges körfolyamatra a redukált hőmennyiségek algebrai összege legfeljebb zérus lehet.
Az egyenlőség csak reverzibilis körfolyamatokra áll fenn.
Az állapotjelzők dxi = 0, ill. dyi = 0 definíciójára emlékezve, a Clausius-
egyenlőtlenség reverzibilis körfolyamatokra érvényes alakjában a T
Q mennyiséget egy S
állapotjelző dS differenciális megváltozásaként foghatjuk fel, hiszen összmegváltozása egy
reverzibilis körfolyamat során zérus. Ez az állapotjelző az entrópia, amelynek megváltozása,
miközben a rendszer valamely A állapotból reverzibilis módon B állapotba jut:
.)()(
B
A
rev
T
QASBS
Az entrópia mértékegysége: K
JS .
Reverzibilis adiabatikus folyamatoknál (Qrev = 0) az entrópia állandó marad. Az ilyen
folyamatokat izentropikus folyamatoknak is hívják.
Az A és B állapotok között a valóságban végbemenő folyamatok szigorúan véve mindig
irreverzibilisek, ezért az entrópiakülönbség meghatározásánál nem jöhetnek tekintetbe.
Gondolatban azonban mindig lehet találni olyan, az A-ból B-be vezető reverzibilis
(kvázisztatikus) folyamatot, amely az entrópiakülönbség kiszámítására felhasználható.
Az entrópianövekedés tétele
Jusson a rendszer az A állapotból valamilyen, a
valóságban végbemenő irreverzibilis
folyamattal a B állapotba, majd ebből egy
reverzibilisnek feltételezett folyamattal vissza
az A állapotba (2.19. ábra). Az így létrejött
irreverzibilis körfolyamatra a Clausius-féle
egyenlőtlenség szerint:
B
A
A
BT
Qrev
T
Qirrev .0
A baloldal második tagja az entrópia definíciójánál fogva SA - SB, és így
2.19. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 30
B
AAB
T
QirrevSS
azaz irreverzibilis folyamatoknál az entrópia növekedése mindig nagyobb, mint a redukált
hőmennyiségek összege (integrálja). Zárt rendszer esetén - ilyenné egészíthető ki általában
egy nem zárt rendszer is a vele kölcsönhatásban álló testek hozzáadásával - Q = 0 miatt az
utóbbi egyenlőtlenség jobb oldala zérus, vagyis
AB SS > 0
Zárt rendszerben a valóságban önmagától (spontán) végbemenő irreverzibilis
folyamatoknál a rendszer entrópiája növekszik (az ideális határesetnek megfelelő reverzibilis
folyamatoknál az entrópia nem változik) ez az entrópia növekedésének tétele, a második
főtétel egyik legfontosabb alakja.
Zárt rendszerben eszerint csak addig lehetségesek spontán végbemenő állapotváltozások,
amíg az entrópia maximális nem lesz ha egy zárt rendszer entrópiája maximális, a rendszer
egyensúlyban van. Az entrópia növekedésének tétele a természetben lejátszódó folyamatok
irányát szabja meg, amennyiben zárt rendszereknél kizárja az olyan spontán végbemenő
irreveruibilis folyamatokat, amelyek entrópiacsökkenéssel járnának.
Az entrópia statisztikus értelmezése
Végezzük el a következő gondolatkísérletet: fallal kettéválasztott doboz egyik felébe 100
gázmolekulát helyezünk. Ha kivesszük az elválasztó falat, a molekulák – az ideális gáz
definíciójának megfelelően – véletlenszerű mozgásuk során átjutnak a doboz eddig üres
felébe is.
Próbáljuk meghatározni, hogyan oszlik el a 100 molekula a rendszer egyensúlyi állapotában!
A 2.20. ábra mutatja be, hogy a rendszer molekuláinak különböző konfigurációi hányféle
módon valósulhatnak meg. A doboz két felébe beírt számok a szóban forgó konfigurációt
(makroállapotot), az alatta levő számok a kombinatorikailag lehetséges megvalósulási
lehetőségek (mikroállapotok) számát jelentik.
2.20. ábra
Bevezetjük egy meghatározott makroállapot termodinamikai valószínűségének (W) fogalmát,
melyet a makroállapothoz tartozó mikroállapotok számával definiálunk.
Ugyanezen állapot matematikai valószínűsége, mint a "kedvező és lehetséges esetek hányadosa", a
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 31
termodinamikai valószínűség és az összes mikroállapot számának hányadosa volna. A termodinamikában
azonban az előbbi valószínűség bevezetése bizonyult célszerűnek, amelynél tehát a lehetséges esetek számával
való osztás elmarad.
Látható, hogy a kiinduló állapot (100/0) termodinamikai valószínűsége a legkisebb (1), és a
legnagyobb, (
) valószínűség az 50/50 megoszlású állapothoz tartozik. Ennek alapján
nagy biztonsággal kijelenthető, hogy a rendszer egyensúlyi állapota igen nagy
valószínűséggel a molekulák 50/50 arányú eloszlása környékén áll majd be.
Mivel a molekulák rendszertelenül mozognak, az egyenlő megoszlásnak megfelelő,
molekuláris szempontból legrendezetlenebb állapot sokkal valószínűbb egy olyan,
"rendezettebb" állapotnál, amelynél pl. valamennyi molekula az edény egyik felében van.
A fentiek szerint például az edény egyik felébe zárt gáz molekulái a válaszfal eltávolítása után
csakhamar az egész edényt gyakorlatilag egyenletesen betöltik - a rendszer egy kisebb
valószínűségű rendezett állapotból egyre rendezetlenebb állapotba megy át, tehát a
termodinamikai valószínűség növekszik. Mivel az említett gondolatkísérlet során a rendszer
entrópiája is növekszik, feltételezhető, hogy valamely állapot S entrópiája és az állapot W
valószínűsége között összefüggés van. Valóban, amint azt Boltzmann kimutatta, az entrópia
arányos az állapot termodinamikai valószínűségének logaritmusával:
S= k lnW. (k = 1,3810-23
J/K, a Boltzmann állandó)
Ez a Boltzmann-féle egyenlet, amely összekapcsolja a fenomenológiai termodinamikát a
molekuláris, ill. statisztikus elmélettel, és amelynek alapján valamely 1 állapotból a 2-be való
átmenetnél az entrópiaváltozás így is számítható:
1
212 ln
W
WkSS
ahol W2/W1 a két állapot termodinamikai valószínűségének hányadosa (amely egyenlő a
matematikai valószínűségek W2/W1 hányadosával).
Az entrópiának szemléletes, statisztikai jelentést adó Boltzmann-egyenlet alapján a
második főtételnek - az entrópia növekedése elvének - mélyebb jelentése:
Zárt rendszer irreverzibilis állapotváltozásai során a rendszer egyre valószínűbb, azaz
rendezetlenebb állapotba jut, az egyensúly a legnagyobb valószínűségű állapotnak felel
meg, és ott a rendszer entrópiája maximális.
Eszerint a második főtétel valószínűségi, statisztikai jelegű törvény, amelynek éppúgy, mint
magának az entrópiának is, csak igen sok részecskéből álló rendszernél van értelme. Az
entrópia növekedése nem abszolút jellegű, hanem csak a folyamatok legvalószínűbb
lefolyását fejezi ki. Eltérések e statisztikai jellegű törvénytől előfordulhatnak, de a
makroszkopikusan észlelhető eltérések általában rendkívül ritkák.
Tekintsünk erre egy példát: álljon a rendszer két, egymással érintkező 1g tömegű rézgolyóból, az egyik
hőmérséklete legyen 27 0C, a másiké 28
0C. A rendszernek ezt az állapotát jelöljük 1-gyel, azt az állapotot pedig,
amely akkor áll fenn, miután a melegebb golyóról a hidegebbre Q = 10-7
J hőmennyiség átment, 2-vel. Ez a
hőmennyiség olyan kicsiny, hogy a golyók hőmérsékletváltozása ( 3 10-6
fok )az entrópia számolásánál
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 32
elhanyagolható. Így a rendszer entrópiájának megváltozása:
K
J
KKSSS 12
-7-7
12 101,1 301
J10
300
J10
Az állapotvalószínűségek aránya tehát:
és ez olyan elképzelhetetlenül nagy szám, hogy az 1 → 2 irreverzibilis állapotváltozás megfordítottja - J10-7
hőmennyiségnek a hidegebb testről a melegebbre való átmenetele - gyakorlatilag sohasem észlelhető.
A fentiekből láthatóan az irreverzibilitás mélyebb értelme abban áll, hogy az 1 állapotból a 2-be vezető
irreverzibilis folyamatnál a 2 állapot valószínűsége az 1-nél olyan sokszor nagyobb (az irreverzibilitás mértékéül
választható W2/W1 = eS/k
viszonyszám olyan nagy), hogy az irreverzibilis folyamat megfordítottjának spontán
bekövetkezése rendkívül kis valószínűségű, vagyis gyakorlatilag valószínűtlennek tekinthető.
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 33
3. NYUGVÓ TÖLTÉSEK TERE (ELEKTROSZTATIKA)
Az elektromos és a mágneses jelenségek általában töltések közötti kölcsönhatásokra
vezethetők vissza. E kölcsönhatások véges sebességgel jutnak el a kölcsönhatásban lévő egyik
objektumtól a másikig. A töltések elektromos és mágneses erőteret egyaránt létrehozhatnak.
A fizikai tulajdonságokkal bíró erőterek (mezők) a töltések közötti kölcsönhatások közvetítői.
Ebben a fejezetben a nyugvó töltések elektromos terének tulajdonságait vizsgáljuk. A nyugvó
töltések időben változatlan, sztatikus teret hoznak létre. (A mozgó töltésnek mágneses erőtere
is van, ennek leírásával a későbbiekben foglalkozunk.) Az elektromos és a mágneses
jelenségek megértése szempontjából alapvetően fontos az elektromos tér fogalmának és
tulajdonságainak tisztázása, amit az elektrosztatikus tér vizsgálata során fogunk megejteni.
Az elektrosztatikus tér és vektorjellemzői. A tér szemléltetése erővonalakkal. Az elektrosztatika alapjelenségei már az ókorban ismeretesek voltak, de ezek helyes
értelmezése az atomfizika kialakulását követően vált lehetővé. Az anyagot felépítő atomok
pozitív töltésű atommagból és ezt körülvevő negatív elektronokból állnak. Az elektromos
töltés az anyagi részecskék alapvető, tőlük el nem választható tulajdonsága. A töltés
kvantumos jellegű, vagyis létezik egy legkisebb, ún. elemi töltés, és minden töltésmennyiség,
amellyel valamely test vagy részecske rendelkezik, ennek egész számú többszöröse. Ezen
elemi töltés az elektron töltése, amely megállapodás szerint negatív (e = 1,6 * 10 -19
C.) Az
atommagban lévő proton töltése ugyanakkora, de pozitív. Ha az atomban a protonok és az
elektronok száma megegyezik, akkor a töltések hatása kifelé közömbösíti egymást, vagyis az
atom elektromos szempontból semleges. A kémiából ismeretes, hogy az atom elektronjai a
magtól való átlagos távolságaik szerint ún. elektronhéjakba sorolhatók. Az elemek számos
fizikai és kémiai tulajdonságát a legkülső héjon lévő elektronok (a vegyérték- vagy
valenciaelektronok) határozzák meg. Ha valamely semleges atom elektront ad le vagy vesz
fel, akkor a töltések egyensúlya megbomlik, és pozitív vagy negatív ion keletkezik. Általában
tehát a testek elektromos állapotát elektrontöbblettel, ill. elektronhiánnyal értelmezhetjük, és a
töltés nagyságát a többlet elektronok, ill. a hiányzó elektronok össztöltése adja. Az azonos
előjelű töltések taszítják, az ellenkező előjelűek vonzzák egymást.
Érvényes a töltésmegmaradás törvénye: zárt rendszerben az elektromos töltések algebrai
összege változatlan.
Ha valamely q töltést hordozó test vagy részecske méretét elhanyagolhatóan kicsinynek
tekintjük, akkor az általa hordozott töltést ponttöltésnek nevezzük. Ha a töltés egy test
felületén oszlik el, akkor a
felületi töltéssűrűséggel, ha a test egész térfogatában
oszlik el, akkor a
térfogati töltéssűrűséggel jellemezzük.
Ha valamely töltéssel rendelkező A testet fémhuzallal összekötünk egy semleges
(többletöltés nélküli) B testtel , akkor ez utóbbinak is töltése lesz. A fémhuzalon töltések
mennek át az A testről a B testre. A fémhuzal - amely szabad elektronokkal rendelkezik -
elősegíti a testek közötti töltések cseréjét. Az ilyen tulajdonságú anyagokat vezetőknek
nevezzük, szemben a szigetelőkkel, amelyek ilyen tulajdonsággal nem rendelkeznek, bennük a
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 34
töltések helyhez kötöttek. A félvezetők olyan anyagok, amelyek bizonyos körülmények között
vezetési tulajdonságokat mutatnak, máskor pedig szigetelőként viselkednek.
Tapasztalat szerint két ponttöltés között kölcsönösen fellépő erő nagysága egyenesen arányos
a töltések nagyságával és fordítottan arányos a köztük lévő távolság négyzetével. Az erő
iránya a két töltést összekötő egyenesbe esik:
,r
qqk 0
rF2
21
ahol q1 és q2 a töltések nagysága (előjellel figyelembe véve), r a köztük lévő távolság, és r0
az erő irányát meghatározó egységvektor, amely a két töltést összekötő egyenesszakaszon
azon töltés felé irányul, amelyre ható erőt értelmezni kívánjuk. A k arányossági tényező a
mértékrendszertől függő pozitív mennyiség, értéke vákuumban 9*109 Nm
2/C
2. Ez Coulomb
törvénye.
A töltések közötti erő nagysága megváltozik akkor, ha vákuum helyett szigetelőt
(dielektrikumot) alkalmazunk. A k arányossági tényezőt általánosan a
4
1k
kifejezésből számíthatjuk, ahol a töltések közötti teret kitöltő anyagra jellemző
dielektromos állandó. A vákuum dielektromos állandója
C2m
2. A különféle
szigetelőanyagoknak a vákuumra vonatkoztatott r relatív dielektromos állandóját szokás
megadni: r= 0.
Ha a vizsgált töltéselrendezés több
ponttöltésből áll, érvényesül a
szuperpozíció-elv: úgy tekinthetjük, hogy a
töltések külön-külön fejtik ki hatásukat egy
adott töltésre, és ezen erők vektori összege
adja a töltésre ható eredő erőt (3.1.ábra):
N
1ikiFF ik.
A szuperpozíció elvével kiegészített
Coulomb-törvény nagyszámú töltésből álló
rendszerek leírásához már nehézkesnek
bizonyul. Ezért a következőkben bevezetjük a tér vagy mező fogalmát, ami az összes
elektromos és mágneses jelenséget leíró átfogó elmélet létrejöttét lehetővé tette. Ezután a
töltések közti kölcsönhatást két lépésben írjuk le: minden elektromosan töltött test erőteret
(mezőt) hoz létre maga körül, mely erőtér (mező) akkor is létezik, ha más töltéssel nem
rendelkező testek hiányában hatását nem észleljük. Ha viszont az erőtér valamely pontjába
töltést helyezünk, akkor arra erő hat, amely erőhatást a térnek tulajdonítjuk. Tehát nem a
töltések hatnak közvetlenül egymásra, hanem az erőhatás az általuk gerjesztett erőterek
közvetítésével jön létre. Ilyen értelemben egy adott töltésre ható erő értelmezésénél a másik
töltésnek nincs jelentősége, csupán annak a térnek, amelyet ő gerjesztett. Az elektromos erőtér
vagy elektromos mező a gravitációs térhez hasonlóan vektortér. Ez azt jelenti, hogy a tér
minden pontjához hozzárendelünk egy vektormennyiséget, mint térjellemzőt úgy, hogy az
erőhatást az
F = qE(r)
3.1. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 35
összefüggés írja le. Az így értelmezett és E-vel jelölt vektormennyiség a térerősség, amely az
erőtér pontjaihoz rendelt fizikai mennyiség, és E(r) vektor-vektor függvény alakjában adható
meg. Tehát az E(r) elektromos térerősség definíciója:
Az erőtérre jellemző vektormennyiség, amelyet az erőtér valamely P pontjában elhelyezett
próbatöltésre ható erőnek és a töltésnek a hányadosa ad meg. Iránya a pozitív töltésre ható
erő irányába mutat. Mértékegysége: [E] = N/C = V/m.
A térerősség számértéke – másképpen - az egységnyi próbatöltésre ható erő nagyságával
egyenlő.
Az erőtér vagy mező ugyanolyan fizikai realitás, mint a bennünket környező objektumok, de
mivel érzékszerveinkre közvetlenül nem hat, szemléltetésére, ábrázolására szemléltető-
eszközökre van szükségünk. Faraday óta ezek az erővonalak, amelyeket úgy veszünk fel,
hogy az erőtér minden pontjában az E térerősség-vektor a görbe érintőjének irányába essen.
Az elektrosztatikus tér erővonalai pozitív töltésből kiinduló és negatív töltésen végződő
térbeli görbék. Az erővonalak értelemszerűen egymást nem metszhetik, mert ez azt jelentené,
hogy a térerősséget a metszéspontban többféle iránya is van. A térerősség nagyságát az
erővonalak sűrűségével - amelyen az erővonalakra merőleges egységnyi felületen felvett
erővonalak számát értjük - szemléltetjük.
Ha valamely q ponttöltés erőterének különböző pontjaiba a pozitív qp próbatöltést
elhelyezzük, arra különböző nagyságú, de mindenütt a q-ból kiinduló sugárirányú (radiális)
erő hat. Egyrészt Coulomb törvénye szerint: 0rF
2r
qqk
p , másrészt F = qE(r), így
a próbatöltés helyén a térerősség .2
0r
FE
r
qk
qp
Az erővonalak a q töltésből kiinduló sugárirányú egyenesek, amelyeken elhelyezett nyíl a
térerősség irányát mutatja.
3.2. ábra
A 3.2./a és /b ábrán egy pozitív és egy negatív ponttöltés erőterét szemléltetjük. A térerősség
r2-tel arányosan csökken, és a q ponttöltés köré írt egy-egy r sugarú gömbfelület minden
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 36
pontjában azonos nagyságú. A ponttöltés erőtere tehát gömbszimmetriát mutat.
Tekintsünk most két, egymás közelébe helyezett pontszerű töltést ( 3.3. ábra). A tetszőleges
P pontban lévő qp töltésre F1 ill. F2 erő hat. A szuperpozíció elvének megfelelően ezek
vektori összegére érvényesül: F = F1 + F2
A térerősség tehát a F pontban
;22 EEFFF
E 11
ppp qqq
vagyis a két ponttöltés tere összetevődik,
szuperponálódik. Az elmondottak
értelemszerűen általánosíthatók véges számú
ponttöltés halmazára is:
.1
21
0
ii rEE
N
i i
iN
i r
qk
A 3.4. ábra azt szemlélteti, hogy az
erővonalak - a térerősség definíciójának
megfelelően - pozitív töltésből kiinduló és negatív töltésen végződő, egymást nem metsző
görbék. Egyetlen pontszerű töltés esetén is helyes ez a megállapítás, u.i. ilyenkor azt
feltételezzük, hogy más testek a ponttöltéstől igen nagy távolságra vannak. Sztatikus tér
esetén a térerősség (és az erővonalak is) függetlenek az időtől.
3.4. ábra
Ha a ponttöltések sokasága egy térfogatban, egy felületen, ill. egy vonalon folytonos eloszlásúnak tekinthető,
akkor a ponttöltések halmazára alkalmazott összefüggést integrálnunk kell. Térbeli töltéseloszlás esetén a dV
elemi térfogatban lévő dq töltés P pontbeli hatását a dE vektor írja le:
ahol a 3.5. ábrának megfelelően r a P pontba mutató helyvektor nagyságát, az r0 egységvektor pedig annak
irányát jelenti! A dq töltések összhatása a P pontban:
.22
00rrE
r
dVk
r
dqk
;r
dqkd 0
rE2
3.3. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 37
Hasonlóképpen, felületi, ill. vonali töltéseloszlás esetén
;22 00rrE
r
dAk
r
dqk
illetve
;22 00rrE
r
dlk
r
dqk
ahol a felületi, pedig a vonalmenti
töltéssűrűséget jelöli.
Általános esetben ezen integrálok megoldása
bonyolult feladat. Sok esetben azonban
egyszerűbbé válnak, ha a tér különböző szerkezeti
tulajdonságait is (pl. a térszimmetriát)
felhasználjuk.
Az elektromos erőteret akkor
mondjuk homogénnak, ha minden
pontjában a térerősség nagysága is
és iránya is azonos, vagyis
E=konstans. A homogén erőtér
egymással párhuzamos, egyenletes
sűrűségű erővonalakkal ábrázolható
(3.6. ábra).
Egy töltés erőterében megváltozik a
térerősség, ha különböző
dielektromos állandójú térkitöltő anyagokat alkalmazunk. Az erőtér jellemzésére bevezettek
egy olyan térjellemzőt, amely független a teret kitöltő anyagtól. Ez a térjellemző a D
elektromos eltolási vektor. Definíció szerint:
D = E.
Vagyis az elektromos eltolási vektor a dielektromos állandó és a térerősség szorzataként
értelmezett vektormennyiség. Mértékegysége: [D] = C/m2 = As/m
2 .
Munkavégzés az elektrosztatikus térben. Potenciál és feszültség.
Az erőtérben a töltés mozgatása munkavégzéssel jár. A q töltésre ható F erő a sztatikus tér
minden pontjában állandó és qE-vel egyenlő, mivel E nem függ az időtől. Ez az állandó
nagyságú erő az erővonalak irányában a próbatöltés egyenletesen gyorsuló mozgását
eredményezi. Ha a pozitív qp próbatöltést gyorsulásmentesen akarjuk ugyanezen a pályán
mozgatni, akkor az erőtér ellenében - F erőt kell kifejteni. Mechanikából ismeretesen a - F
erő által végzett munka dr elmozdulás esetén: dW = - F dr.
Ha a töltést tetszőleges görbe mentén visszük A-ból B-be, akkor a munka a következő
vonalintegrállal számítható ki:
,d dsEqqWs
rE
ahol Es = E cos vagyis a térerősségnek a ds pályaelem-vektor irányába eső komponense.
Tekintsük a q pontszerű töltés erőterét és ebben mozgassuk a pozitív qp próbatöltést a tér
A pontjából B pontjába tetszőleges görbén. Elegendő sűrű felosztást véve, a görbe vonal
tetszőlegesen megközelíthető O középpontú körívekkel és sugárirányú egyenes szakaszokkal
(3.7. ábra). Legyen az A pont rA, a B pont rB távolságra a q töltés helyétől. A próbatöltés A
3.5. ábra
3.6. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 38
pontból B pontba viteléhez szükséges munkát úgy
számíthatjuk ki, hogy az egyes útszakaszokon végzett
munkákat összeadjuk, hiszen a munka
skalármennyiség. Az AA1 köríven végzett munka
zérussal egyenlő, mert az E térerősség-vektor minden
pontban merőleges a görbe érintőjére. Ugyanez
vonatkozik az A2A3 és az A4A5 szakaszokra. Az A1A2
szakaszon végzett munka a
2
1
2
2
1
1d
A
A
p
A
A
pdr
rkqqqW rE
integrállal egyenlő, mivel a ponttöltés erőterében a térerősség az 0rE
24
1
r
q
függvénnyel
adható meg. (Megjegyezzük, hogy a végeredményben nem szerepel az r0 vektor, mivel r
0 és
dr megegyező irányúak, és így r0
dr = dr.) Az összes sugárirányú szakaszon a végzett
munkát ugyanezen függvény megfelelő határok között számított integrálja adja meg. Tehát a
teljes munkavégzés
AB
p
B
A
prr
kqqdrr
kqqW111
2
A végzett munka láthatóan független az úttól, nagyságát csak a pálya kezdő- és végpontjának
helyzete határozza meg, azaz (a gravitációs térhez hasonlóan) az elektrosztatikus tér
konzervatív erőtér. A szuperpozíció-elv érvényessége miatt az eredmény tetszőleges
ponttöltések rendszerére is általánosítható: az elektrosztatikus térben adott két pont között
mozgatva a töltést a végzett munka ugyanakkora, bármilyen alakú is a két pontot összekötő
görbe, amelyen a töltés mozog.
Az előzőekből következik, hogy a zárt görbe mentén
végzett munka zérus. A 3.8. ábrának megfelelően WAB
abszolút értékben megegyezik WBA-val, de ellenkező
előjelű. Ezért
∮ ∮ ∮ .
Ha a qp próbatöltést egységnyinek választjuk, akkor az egyenletünkben csupán csak a térre
jellemző mennyiségek szerepelnek, és egy ún. téregyenletet kapunk:
∮
Elektrosztatikus térben az elektromos térerősség bármely zárt görbe menti integrálja zérus. Fizikai tartalma: a zárt görbe mentén végzett munka zérus.
Az a tény, hogy elektrosztatikus térben a töltés mozgatásakor végzett munka független az
úttól, lehetővé teszi az erőtérnek egy skalármennyiséggel való leírását, amelyet potenciálnak
nevezünk. Ha elektrosztatikus térben töltést mozgatunk a tér egy A pontjából valamely B
pontjába, a végzett munka mindig ugyanakkora lesz, a mozgás pályájától függetlenül.
Egységnyi töltést mozgatva, a munka az A és a B pontokhoz rendelt (A), ill. (B)
skalármennyiségek különbségeként írható fel:
3.7. ábra
3.8. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 39
).()(d ABB
A
rE
A (r) skalár-vektor függvény az elektromos potenciál, az elektrosztatikus erőtér skalár
jellemzője. A fenti összefüggésben a potenciál megváltozása, a potenciálkülönbség szerepel.
Az eredmény szempontjából tehát tetszőlegesen választhatunk egy pontot, amelyhez
viszonyítva megadjuk a függvény (A), ill. (B) értékét. Jelöljük ezt a pontot P0-val és legyen
ezen pontban a függvényérték zérus: (P0) = 0. Az ily módon választott P0 pontot zérus
potenciálú helynek nevezzük.
Ezzel az erőtér bármely P pontjában a potenciál értéke:
P
P
P0
d)( rE
Az elektrosztatikus potenciál az erőtér skalár jellemzője, amely az erőtér valamely P
pontjában a pozitív egységnyi töltés potenciális energiáját adja meg: vagyis egyenlő azzal a
munkával, amelyet az elektrosztatikus erők ellenében kell végeznünk, míg a pozitív
egységnyi töltést a P0 zérus potenciálú helyről a P pontba visszük.
A zérus potenciálú pontot elméleti számításoknál gyakran a végtelenben választjuk, máskor
(pl. áramkörök esetében) a földfelszín valamely pontját jelöljük ki.
Az erőtér A és B pontja közti potenciálkülönbséget feszültségnek nevezzük:
).()(d ABUB
A
AB rE
Mértékegysége [U]= [] = J/C = V.
Az erőtér két pontja között mérhető feszültség azzal a munkával egyenlő, amely a pozitív
egységnyi töltésnek az egyik pontból a másikba való eljuttatásához szükséges.
Általában az erőtérnek több
olyan pontja van, amelyben a
potenciál értéke megegyezik.
Ezen pontok összessége
(mértani helye) egy felületet
alkot, amelyet nívófelületnek,
vagy ekvipotenciális felületnek
nevezünk. Az ekvipotenciális
felületekkel ugyanolyan jól
szemléltethetjük az erőteret,
mint az erővonalakkal. A
potenciál értelmezéséből
következik, hogy a kétféle 3.9. ábra
ábrázolási mód között kapcsolat van: mivel egy ekvipotenciális felületen nincs munkavégzés,
ezért a térerősség mindig merőleges rá. És mivel a térerősségvektorok az erővonalak
érintővektorai, ezért az erővonalak is merőlegesen esnek be az ekvipotenciális felületekre. A
3.9. ábra ezt szemlélteti a pozitív, ill. negatív ponttöltés erőtere esetében.
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 40
Az elektromos eltolási fluxus. Az elektrosztatika Gauss-tétele.
Az elektromos fluxus fogalmának bevezetéséhez az egyszerűség kedvéért induljunk ki ismét a
homogén erőtérből (3.10. ábra). A párhuzamos erővonalak sűrűsége legyen most D
számértékével egyenlő. Ha a D vonalakra merőlegesen egy A felületet veszünk fel, akkor
azon DA vonal halad át. Ha ezen kiinduló helyzetből
elforgatjuk az A felületet, akkor az
őt metsző vonalak száma egyre
csökken, majd 90o-kal való
elforgatás esetén zérus lesz. A D
vektorral és az A felülettel tehát
értelmezhetünk egy
skalármennyiséget, amely
szemléletesen a felületen áthaladó
erővonalak, vagy D- vonalak
számát adja meg. Ezen mennyiséget
elektromos eltolási fluxusnak nevezzük és -vel jelöljük. Mivel értéke függ a felület D-
vonalakhoz viszonyított helyzetétől, ezért bevezetünk egy a felülethez rendelt A = A no ún.
felületvektort, amely merőleges a felületre (no a normális irányú egységvektor), a nagysága
pedig megegyezik a felület nagyságával. Ezzel a fluxus
DA = DAcos
alakban írható. A fluxus tehát az A és a D vektorok skalárszorzatával értelmezhető. A fluxus
mértékegysége: .2
2Asm
m
AsAD
Most általánosítjuk a fluxus fogalmát inhomogén
erőtérre és tetszőleges görbült felületre (3.11.
ábra). Mivel a felület pontjaiban D nagysága is
és iránya is különböző, a fent értelmezett módon
a fluxus csak olyan kicsi dA felületelemre írható
fel, amelyen D állandónak tekinthető. A dA
vektor tehát merőleges a felületelemre és
nagysága annak területével egyenlő. Így a
felületelemre a D vektor fluxusa DdA. Az
egész A felületre értelmezett fluxus:
.dADd nAD
Az elektromos eltolási fluxus a D vektornak valamely A felületen értelmezett integráljával
egyenlő.
3.10. ábra
3.11. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 41
3.12. ábra
Tekintsük ismét a ponttöltés erőterét. A gömbszimmetriát figyelembe véve számítsuk ki a
fluxust egy r sugarú gömbfelületre (3.12/a ábra). A D vektor nagysága a felület minden
pontjában ugyanakkora, az iránya a dA vektorral megegyező. Tehát
∮ ∮
Mivel D EQ
r
4 2 , ezt behelyettesítve a
∮
eredményt kapjuk. A D vektor fluxusa a töltést körülvevő gömbfelületre egyenlő a felület
belsejében lévő Q töltéssel. A számításból látszik, hogy minden, az előzővel koncentrikus
gömbfelületre a fluxus ugyanakkora lesz, az eredmény független r-től. Továbbá könnyen
belátható az is, hogy a töltést magában foglaló tetszőleges alakú zárt felületen is ugyanakkora
a fluxus. A 3.12b ábrán felvettünk egy A1 gömbfelületet és egy ezt körülvevő tetszőleges A2
zárt felületet. Mivel a két felület közötti térrészben töltések nincsenek, amelyeken az
erővonalak kezdődnének vagy végződnének, ezért ezen térfogatba belépő és kilépő vonalak
száma megegyezik.
A leírtak általánosíthatók arra az esetre, amikor a teret ponttöltések halmaza, vagy valamilyen
folytonos eloszlású töltés hozza létre. Az elmondottakat a Gauss-tételben foglalhatjuk össze:
∮ ∑
vagy térfogati töltéseloszlást feltételezve:
∮ ∫
Tetszőleges zárt felületre vonatkoztatott elektromos eltolási fluxus egyenlő a zárt felület
belsejében lévő töltések (algebrai) összegével.
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 42
A tételt felírhatjuk az E térerősség fluxusával is:
∮
∑
Gauss tétele segítségével ismert szimmetriájú terek esetén a térjellemzők sokkal egyszerűbben
határozhatók meg. A Gauss-tétel az elektrosztatikus tér alapegyenlete (a II. Maxwell-
egyenlet). Téregyenlet, amelyben az jut kifejezésre, hogy az elektrosztatikus tér forrásai a
töltések.
A Gauss tétel néhány alkalmazása
Vezetők erőtere
A fémes vezetők nagyszámú “szabad” elektront tartalmaznak, amelyek az anyagban szabadon
mozoghatnak, de nem hagyhatják el a fém felületét. A vezetőre kapcsolt feszültség az
elektronokat folytonos mozgásba hozza, ilyen esetben elektromos áramról beszélünk. Ezzel az
esettel külön fejezetben foglalkozunk. Az elektrosztatika a nyugvó töltések problémáival
foglalkozik, tehát olyan viszonyokkal, amikor az elektronok csak addig változtatják helyüket,
amíg a viszonylagos nyugalmi állapot feltételei létre nem jönnek. Vezető esetében az
elektronok úgy rendeződnek el, hogy a vezető belsejében zérus elektromos teret hozzanak
létre. Ha ez nem így lenne, akkor bármilyen kis térerősség mozgásba hozná a szabad
elektronokat. A többlet-töltés a vezető felületén egy-két atomi réteg mélységben helyezkedik
el, ahol nagy erők akadályozzák a kilépésüket. Egyensúly esetén csak a felületen
helyezkedhetnek el, mert egyébként teret hoznának létre a fém belsejében.
Vizsgáljuk meg a teret közvetlenül a vezető külső felületén. A térerősségnek merőlegesnek
kell lennie a felületre, mert érintőleges komponense nem lehet. (Ha lenne, akkor a felületen
mozgatná a töltést.) Ez viszont azt jelenti, hogy a potenciálnak érintőirányú megváltozása
nincs, vagyis a felület minden pontjában a potenciál ugyanakkora. A fém belsejében a zérus
térerősség miatt ugyanez a helyzet. Azaz: a vezető felülete ekvipotenciális felület, a fém
belseje ekvipotenciális tartomány.
Az elmondottak alapján gondoljuk
meg, mit mondhatunk egy üreges
vezető belsejében az erőtérről?
Vegyünk fel a vezető anyagának
belsejében egy tetszőlegesen zárt
felületet (3.13. ábra). Ebben az
előzőek értelmében nincs tér, és
nincsenek töltések. Mivel abból
indultunk ki, hogy az üreg nem
tartalmaz töltést, ebből az
következik, hogy az üreges vezető
belső felületén sem lehetnek töltések.
Az üreg belsejében tehát nincs erőtér.
Külső töltés tere nem hatol be
vezetővel körülvett üregbe.
Hasonló meggondolással belátható, ha földelt zárt vezetővel körülveszünk valamely
elektromosan töltött testet, akkor ezen belső töltés nem hozhat létre külső teret. Ezt a
jelenséget nevezzük árnyékolásnak. Az elmondottaknak fontos gyakorlati jelentősége van.
3.13. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 43
Töltött végtelen síklap erőtere Az erőtér leírásához az szükséges, hogy az erőtér tetszőleges pontjában ismerjük D értékét.
Ennek ismeretében ki tudjuk számítani a térerősséget és a potenciált is. Legyen a síklap
pozitív töltésű. A töltéseloszlást a felületi töltéssűrűséggel adjuk meg (3.14. ábra).
3.14. ábra
Ha más töltéssel rendelkező testek igen távol vannak a síktól, akkor szimmetria-
meggondolások alapján azt kell feltételezni, hogy a térerősség iránya mindenütt merőleges a
síkra. Gauss tétele tetszőleges zárt felületre vonatkozik, ezért most célszerű a szimmetriához
alkalmazkodva a síkkal párhuzamos lapú derékszögű hasábot felvenni. A hasáb mindegyik, a
síkra merőleges felületén a fluxus zérus lesz. A D vonalakra merőleges jobb és bal oldali A
felületen viszont = DA és mindkettő pozitív előjelű. A zárt felület belsejében lévő töltés
A-val egyenlő. Így Gauss tétele szerint
2 DA = A azaz
D
2
Tehát a síklap mindkét oldalán ugyanolyan erősségű, homogén erőtér van.
Két síklap együttes tere.
Az előző pozitív töltésű síklappal párhuzamosan vegyünk fel egy másik (ugyancsak végtelen
nagynak tekinthető) síkot, amelyen a töltéssűrűség ugyanakkora, de ellenkező előjelű (3.15.
ábra).
Itt gyakorlatilag a síkkondenzátor
modelljéről van szó. A zárt felületet az
előző feladatnak megfelelően célszerű
ismét felvenni. Ha olyan hasábot veszünk
fel, amely csak az egyik síkot foglalja
magában (3.15/a ábra), akkor DA = A,
mivel a síkok között megegyező, rajtuk
kívül pedig ellentétes a D vektorok
iránya. (Az ábrán a folytonos vonal a
pozitív töltésű sík, a szaggatott vonal a
negatív töltésű sík D vonalait mutatja).
Tehát D = , vagyis kétszer olyan erős
teret nyerünk a két lemez között, mint egy
sík esetén. Ha a hasábot úgy vesszük fel,
3.15. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 44
hogy mind a két síkot magában foglalja (3.15/b ábra), akkor a zárt felület belsejében lévő
összes töltés zérus, tehát a fluxus is zérus. Ez azt jelenti, hogy a síkokon kívül nincs tér.
Mindezt egyébként a szuperpozíció elve alapján is könnyen beláthatjuk.
Kondenzátorok
A kondenzátorok két, egymástól elszigetelt fémfelületből (fegyverzetből) álló elrendezések,
amelyek a töltéseket a fegyverzeteken tárolják.
Ha a síkkondenzátort egyenáramú áramforrásra kapcsoljuk (3.16. ábra), akkor az áramforrás
Ug feszültségének hatására rövid ideig tartó töltésáramlás indul meg az összekötő
vezetékekben. (A fegyverzetek között nem mozoghatnak töltések). A kondenzátornak az
áramforrás pozitív pólusához csatlakozó fegyverzetén elektronhiány, a másik fegyverzetén
ugyanakkora elektrontöbblet lép fel.
A töltések a fegyverzetek között elektromos teret hoznak létre, amely erőtér elég nagy és elég
közel álló felületek esetén homogén. A fegyverzetek között mérhető feszültség a töltéssel
arányosan növekszik és gátolja a további töltések felvitelét. A töltődési folyamat akkor
fejeződik be, ha a kondenzátor U feszültsége egyenlő az áramforrás Ug feszültségével.
Ha a 3.16. ábrán látható zárt felülettel körülvesszük az
egyik fegyverzetet (felülete A és Q töltés van rajta),
akkor ezen zárt felületre a D fluxusa
∮ ∮
mivel a fegyverzeteken kívül nincs erőtér, belül
viszont homogén, Gauss tétele szerint DA = Q.
Felhasználva a D = E és az EU
d összefüggéseket
kapjuk:
.Ud
AQ
Az A
d kifejezés adott (sík)kondenzátor esetén a kondenzátorra jellemző állandó, a
kondenzátor kapacitása (jele C). Így kapjuk a kondenzátorok alapegyenletét:
Q = CU
A kondenzátoron lévő töltés egyenesen arányos a fegyverzetek között mérhető feszültséggel.
Az alapegyenletet ugyan síkkondenzátorra vezettük le, de végső formájában más geometriai
elrendezésű kondenzátorra igaz. A C kapacitás minden esetben a kondenzátorra jellemző
mennyiség, amely számértékében azt mutatja meg, hogy egységnyi feszültség hatására
mekkora a fegyverzeteken felhalmozott töltés. (A kapacitást töltésbefogadó képességnek is
nevezik). A kapacitás mértékegysége:
.faradFV
As
U
QC
3.16. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 45
a/ Sorba kapcsolt kondenzátorok
A két sorba kapcsolt kondenzátoron (3.17/ a. ábra) a töltésmegosztás (influencia) miatt
megegyezik a töltés. Ha a kapacitásuk különböző, akkor a rajtuk eső feszültség nem lesz
egyenlő:
UQ
Cill U
Q
C1
1
2
2
.
A kondenzátorokra eső feszültségek összege az áramforrás feszültségével lesz egyenlő, ha a
töltési folyamat befejeződött: U = U1 + U2. Behelyettesítve U1 és U2 előbbi kifejezését:
21
111
CCC
3.17. ábra
Az CQ
U 1 jelölés az eredő kapacitás reciprokát jelenti, vagyis annak a kondenzátornak a
kapacitását, amelyen az áramforrás U feszültsége ugyanakkora Q töltést létesít, mint a C1
és C2 kapacitású kondenzátorokon. A leírtak általánosíthatók véges számú sorba kapcsolt
kondenzátor esetére is. Legyen a kondenzátorok száma n . Az eredő kapacitás reciproka:
1 1
1C Ckk
n
b/ Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok
A két párhuzamosan kapcsolt kondenzátoron (3.17 b/ ábra) megegyezik a feszültség,
mindkettő az áramforrás feszültségével egyenlő. Ha a kapacitásuk különböző, akkor a
kondenzátorok töltése sem egyenlő. A Q1 és Q2 töltések összege megegyezik a töltési
folyamatban a fő ágban áramló Q össztöltéssel: Q = Q1 + Q2. Mivel Q1 = C1U és Q2 = C2U,
behelyettesítés után
és így C = C1 + C2.
,21
CCU
Q
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 46
Általánosítva n darab párhuzamosan kapcsolt kondenzátorra:
C Ckk
n
1
A kondenzátorok a technika számos területén alkalmazott elektromos eszközök. A
leggyakrabban alkalmazott típusok a sík-, a gömb-, ill. a hengerkondenzátorok. A
fegyverzetek közt a leggyakrabban alkalmazott szigetelők anyaga: levegő, csillám, papír,
kerámia, olaj, stiroflex. A kondenzátorok csak bizonyos feszültségre tölthetők fel, mert egy
meghatározott feszültséget (próbafeszültség) túllépve “átütés” következik be, és a
szigetelőanyag megrongálódása miatt használhatatlanná válnak.
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 47
4. TÖLTÉSEK MOZGÁSBAN, MÁGNESES ALAPJELENSÉGEK
Egyenáramok
A különböző töltésű testek között fennálló potenciálkülönbség hatására az összekötő
vezetékben a szabad elektronok egyirányú mozgása, áramlása jön létre. Ha egy vezetőben
állandó töltésáramlást akarunk létrehozni, akkor állandó nagyságú potenciálkülönbség
fenntartásáról kell gondoskodni. Ezt a célt szolgálják a feszültségforrások. Az elektromos
töltések áramlása a folyadékáramláshoz hasonló jelenség. A feszültség (potenciálkülönbség) a
nyomáskülönbségnek megfelelő mennyiség.
A töltésáramlás a vezető keresztmetszetén t idő alatt átáramló Q töltéssel jellemezhető.
A töltés és az idő hányadosával értelmezett fizikai mennyiséget áramerősségnek vagy
áramintenzitásnak nevezzük.
Ha Q egyenesen arányos t-vel, akkor az I áramerősség nem függ az időtől. Az olyan
áramot, amelynél I állandó, stacionárius vagy egyenáramnak nevezzük. Az áramerősség
azonban általában függvénye az időnek: I = I(t). Az áramerősség általános definíciója a
fentiek alapján:
dt
dQ
t
QI
t 0lim
Az áramerősség a töltés idő szerinti deriváltja. Az I áramerősség az SI mértékrendszerben
alapmennyiség, mértékegysége: I = A (amper)=1 C/s.
A töltésáramlás irányát egy vezetőben (áramkörben) megállapodás szerint a pozitív töltés
mozgásának irányával adjuk meg, A kapcsolási rajzokon az
áramforrás feszültségét és az áramerősséget nyíllal szokás
jelölni, jóllehet nem vektormennyiségek. Az irány a
potenciálesés, ill. a pozitív töltésáramlás irányát tünteti fel.
Megállapodás szerint a feszültség iránya az áramforrás
pozitív pólusától a negatív pólusa felé mutat az áramirány
szintén a pozitív pólustól - a fogyasztón át - a negatív pólus
felé veendő fel, ami az elektronok mozgásirányával
ellentétes (4.1. ábra).
4.1. ábra
A vezetőre kapcsolt U feszültség és az I áramerősség között a mérések szerint
R
UI vagy GUI
összefüggés áll fenn, amelyet Ohm törvényeként ismerünk: a homogén és állandó
hőmérsékletű vezetőben folyó áram erőssége egyenesen arányos a vezető két végpontja
közötti feszültséggel.
G és R a vezetőre jellemző (az áramerősségtől és a feszültségtől független) mennyiségek: R
az ellenállás (rezisztencia), G a vezetés (konduktancia). A vezetés az ellenállás reciproka.
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 48
Mértékegységeik: RV
A (ohm), ill. G S
1
(siemens).
Kísérleti (és elméletileg is értelmezhető) eredmények azt mutatják, hogy a vezetők ellenállása
(állandó hőmérsékleten) egyenesen arányos az hosszúsággal és fordítottan arányos az A
keresztmetszettel:
RA
,
ahol a arányossági tényező a vezető anyagától függő fajlagos ellenállás. A fajlagos
ellenállás reciprokát fajlagos vezetésnek nevezzük:
1
.
A fajlagos ellenállás és a fajlagos vezetés a legfontosabb anyagállandók közé tartozik. A jó
vezetők fajlagos ellenállása 104 m nagyságrendű. Általában a 10
8 m-nél nagyobb fajlagos
ellenállású anyag már szigetelőnek tekinthető.
A vezetők ellenállása a tapasztalat szerint függ a hőmérséklettől. A fémek ellenállása a
hőmérséklet növekedésével nő a széné, a félvezetőké és az elektrolitoké pedig általában
csökken. A tiszta fémek és néhány ötvözet ellenállása az abszolút zérus fok közelében
ugrásszerűen lecsökken, gyakorlatilag zérussá válik. Ezt a jelenséget szupravezetésnek
nevezzük.
Kirchhoff törvényei
Az áramkörök általában valamilyen rendszer szerint kapcsolt áramforrásokból és
ellenállásokból állnak. Az áramforrások együttesen határozzák meg az egyes ellenállásokon
folyó áramot és rajtuk eső feszültséget. Az áramköri problémák megoldásában többek között
Kirchhoff törvényei nyújtanak segítséget.
Az áramkörben csomópont ott keletkezik, ahol
több vezeték galvanikus kapcsolatban van (több
összefutó vezeték forrasztási pontja). A
csomópontot képező vezetékekben különböző
irányú és nagyságú áramok folyhatnak. A 4.2.
ábrán látható A csomópontba I1, I3 és I5 áram
folyik befelé, ugyanakkor I2 és I4 áram kifelé. Az
áramlás folytonossága megkívánja, hogy adott t idő
alatt a befelé és kifelé áramló töltések mennyisége
megegyezzék. Ha az áramerősségeket az áram
irányának megfelelően előjeles mennyiségnek
tekintjük, akkor algebrai összegük zérus:
I1 - I2 + I3 - I4 + I5 = 0.
Kirchhoff I. törvénye általánosan, a csomópontot képező n darab vezetékre: .01
n
kk
I
Stacionárius áram esetén bármely csomópontban az áramerősségek algebrai összege zérus.
4.2. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 49
A 4.3. ábra egy összetett áramkör hálózat egyik
áramkörét mutatja, amely az A, B, C és D
csomópontokon keresztül csatlakozik a többi
áramkörhöz. A hurok valamely hálózatnak olyan
zárt része, amely egyszeri és egyirányú
körüljárással határolható el a többi áramkörtől.
A hurok nem azonos a soros áramkörrel, mert a
hurokban lévő ellenállásokon nem feltétlenül
egyirányú áramok folynak.) Tegyük fel, hogy a
hurokban lévő ellenállásokon az ábrán bejelölt
áramok folynak. Az ellenállásokon átfolyó áram
IkRk feszültségesést hoz létre, amelynek iránya
megegyezik az áramiránnyal. A
feszültségforrások U1 és U2 feszültségét a polaritásnak megfelelően vesszük fel (pozitív
pólustól a negatív felé.) Ha a tetszés szerint választott körüljárásnak megfelelően (az ábrán
pozitív körüljárás van feltüntetve) algebrailag összegezzük a feszültségeket, zérust kell
kapnunk eredményül.
I1R1 + U1 - I2R2 - I3R3 - I4R4 - U2 = 0.
Másként felírva:
I1R1 - I2R2 - I3R3 - I4R4 = U2 - U1.
Az egyenlet bal oldalán az ellenállásokon eső feszültségek algebrai összege szerepel, a
jobb oldalon pedig a két áramforrás eredő feszültsége. (Vegyük észre, hogy az ellenállásokon
keresztül a telepek azonos pólusai vannak összekötve!) Kirchhoff II. törvényét tehát
általánosan úgy fogalmazhatjuk meg, hogy egy hurokban a fogyasztókon (ellenállásokon) eső
feszültségek összege egyenlő az áramforrások feszültségeinek összegével. n elemet
tartalmazó áramhurokra:
.01
n
kk
U
Stacionárius áram esetén bármely hurokban a feszültségesések algebrai összege zérus.
Ellenállások kapcsolása.
A kondenzátorok kapcsolásához hasonlóan két
alapesetből indulhatunk ki: soros és párhuzamos
kapcsolásból. Kirchhoff törvényeinek felhasználásával
ki tudjuk számítani az eredő ellenállást, amely két
vagy több ellenállást helyettesíthet oly módon, hogy ez
az eredő ellenállás az áramforrás változatlan
feszültsége mellett ugyanannyi áramot vesz fel, mint a
helyettesített eredeti kapcsolás ellenállásai együttesen.
a/ Soros kapcsolás: a 4.4. ábrán két sorba
kapcsolt ellenállást láthatunk. Az áramkörben nincs
elágazás, tehát mindkettőn ugyanaz az I áram folyik
keresztül. Az ellenállásokon eső feszültségek Ohm
törvénye alapján: U1 = IR1 és U2 = IR2 .
4.3. ábra
4.4. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 50
Kirchhoff II. törvényét alkalmazva: U = IR1 + IR2 = I (R1 + R2) így az eredő ellenállás
RU
IR Re 1 2
Sorba kapcsolt ellenállások eredőjét úgy kapjuk meg, hogy az
ellenállásokat összeadjuk.
n
kke RR
1
b/ Párhuzamos kapcsolás: a 4.5. ábrán két párhuzamosan kapcsolt
ellenállást láthatunk. Párhuzamos kapcsolást csomópont
kialakításával hozunk létre. A két ellenálláson általában különböző
áramok folynak, viszont a rajtuk eső feszültség megegyezik. Ohm
törvénye alapján:
IU
Rés I
U
R1
1
2
2
Kirchhoff I. törvényét alkalmazva az A csomópontra:
,11
21
21
RRUIII ahonnan
1 1 1
1 2R
I
U R Re
Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjének reciprokát úgy kapjuk meg, hogy az ellenállások reciprokait
összeadjuk.
.11
1
n
kke
RR
Ha egy hálózat vegyesen tartalmaz sorosan és párhuzamosan kapcsolt ellenállásokat, akkor az eredőszámítást
több lépésben végezzük. Ehhez azonban mindig el kell dönteni, hogy mely ellenállások vannak sorosan, ill.
párhuzamosan kapcsolva.
Az elektromos áram munkája és teljesítménye.
Az elektromos áram értelmezésénél láttuk, hogy az áramforrás feszültségének hatására
a vezetőben elektromos tér alakul ki, amely a szabad töltéseket mozgásba hozza. A töltések
mozgatásakor az erőtér munkát végez az áramforrásban felhalmozott energia rovására.
Ha egy R ellenállású fogyasztóra U állandó nagyságú feszültséget kapcsolunk, akkor
abban egyenáram fog folyni. Az elektromos erőtér munkája a feszültség definíciója alapján
W = QU. Mivel az egyenáram t idő alatt az áramkörben Q = It töltést szállít, az I erősségű
stacionárius áram t idő alatt végzett munkája az U feszültség alatt álló fogyasztóban:
A munka mértékegysége: W= J = Ws (wattszekundum).
A stacionárius áram teljesítménye, a teljesítmény definíciója alapján:
A fogyasztó ellenállásával kifejezve:
4.5. ábra
WU
Rt RI t ill P
U
RI R
2
2
2
2.
.UItW
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 51
A teljesítmény mértékegysége: Ws
JP
Mágneses alapjelenségek. A stacionárius áram mágneses hatása.
A megfigyelések szerint bizonyos természetben is megtalálható vasércek (magnetit)
vasdarabkákat magukhoz vonzanak, ill. hatásukra egyes fémek (Fe, Ni, Co) hasonló mágneses
tulajdonságot mutatnak. Ezen mesterséges mágnesek a mágneses tulajdonságukat hosszabb-
rövidebb ideig megtartják. Tartós mágnesezettséget mutatnak az acélötvözetek (permanens
mágnesek).
Mivel egy mágnesrúd az erőhatás szempontjából úgy viselkedik, mint a pozitív és negatív
töltéspárból álló ún. dipólus, ezért célszerű volt a különnemű (északi és déli) mágneses
pólusok feltételezése. A mágneses és az elektromos dipólus között azonban alapvető
különbség van. Amíg az elektromos dipólus „kettétörésével” a pozitív és negatív töltések
szétválaszthatóak, addig a mágnesrúd széttördelésével mindig újabb dipólus(oka)t kapunk,
minden darabkának lesz északi és déli pólusa egyaránt. Ez egyben azt jelenti, hogy a
szétválasztható elektromos töltéseknek megfelelő valódi mágneses töltések ( monopólusok)
nincsenek. Az anyagok mágneses tulajdonságának mélyebb magyarázatával itt nem
foglalkozhatunk. Csak annyit jegyzünk meg, hogy a lágyvas vagy az acélrúd elemi, azonosan
mágnesezett területek (domének) sokaságából áll, amelyek a rúd mágnesezetlen állapotában
teljesen rendezetlenül helyezkednek el és egymás hatását lerontják. Külső mágneses hatásra
viszont az elemi mágnesek rendeződnek és az anyag ezáltal mágneses tulajdonságot mutat.
Az elektromosság és a mágnesesség közötti kapcsolat felismerése akkor vált lehetővé, amikor
a galvánelemek feltalálásával tartós töltésáramlást tudtak létrehozni. Oersted kísérletében
kimutatta, hogy az árammal átjárt vezető közelébe helyezett mágnestű ugyanúgy kitérést
mutat, mint egy mágnesrúd közelében. Az áram irányának megváltoztatásával a mágnestű
ellentétes irányban tér ki. A stacionárius elektromos áram tehát mágneses teret létesít. A
kísérletek azt mutatják, hogy ez a tér a permanens mágnesekkel egyenértékű és időben
állandó, sztatikus tér.
A vezetőben (vagy a szabadon) mozgó töltésnek tehát elektromos terén kívül mágneses tere is
van, míg a nyugvó töltés csak elektromos teret gerjeszt. A két sztatikus tér hatás és leírás
szempontjából elkülöníthető egymástól, de az elektromos és mágneses erő lényegileg egy és
ugyanazon fizikai jelenségnek, a részecskék elektromágneses kölcsönhatásának
megnyilvánulása.
A mozgó töltésre ható erők. A mágneses indukcióvektor.
Az 4.6. ábrán látható nagy keresztmetszetű elektromágneses homogén mágneses terébe v
sebességgel érkezzék valamely Q ponttöltés. A v sebességvektor és az erővonalak iránya
által bezárt szöget jelöljük -val. A tapasztalat azt mutatja, hogy a mágneses tér a töltést
eltéríti mozgásirányától, tehát erőt fejt ki a töltésre. Az erő egyaránt merőleges a töltés
sebességére, és a teret az adott helyen jellemző vektor irányára. A töltésre ható ún. Lorentz-
erő a kísérletek szerint a következőképpen számítható:
F = Q [v x B]
Itt B a mágneses indukcióvektor, mely az erőtér valamely pontjában a teret ábrázoló erővonal
érintőjének irányába mutat, ugyanúgy, mint az elektrosztatikus térben az E vagy a D vektor.
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 52
Az erő nagysága F = Q v B sin , iránya a töltés haladási irányára és a mágneses indukcióra
egyaránt merőleges. A fentiek alapján a mágneses indukciót a töltésekre kifejtett erőhatásával
definiálhatjuk.
4.6. ábra
Vizsgáljuk meg most a mágneses tér hatását egy áramhurokra is (4.7.ábra). A mágneses térbe
helyezett áramhurokra – akár az iránytűre – forgatónyomaték hat. A hurokban folyó áramot I-
vel, az áramhurok felületét A-val jelölve, a mágneses indukciót a nyomatékhatás alapján a
következő formulával definiáljuk:
IA
MB max
ahol maxM a hurokra ható maximális forgatónyomaték. Másképpen: a B mágneses indukció
nagysága egyenlő az egységnyi árammal átjárt egységnyi felületű áramhurokra ható
maximális forgatónyomaték nagyságával. Mértékegysége: Nm/Am2 = Vs/ m
2 = T.
Az A felülethez egy felületvektort rendelhetünk: az A vektort, a felület normálvektorát,
melynek irányát az áram irányában forgatott jobb csavar haladási iránya adja meg.
A mágneses térbe helyezett áramhurok felületvektora egyensúlyi helyzetben a mágneses
indukció irányába áll be.
A mágneses indukcióra kétféle definíciót
adtunk, az egyik az erőhatáson, a másik a
nyomatékhatáson alapszik. Lényegileg a
kettő nem különbözik egymástól, hiszen
mindkettő a mozgó töltés és a mágneses tér
kölcsönhatásából következik. Az áramhurok
a mágneses tér vizsgálatában ugyanazt a
szerepet tölti be, mint az elektrosztatikus
térnél a próbatöltés. Mindkét esetben arra
kell ügyelni, hogy saját terükkel
gyakorlatilag ne módosítsák a vizsgálandó
teret. Ezért a próbatöltésnek pontszerűnek és
kis töltésűnek, az áramhuroknak viszont kis
felületűnek és gyenge árammal átjártnak kell
lennie. Az áramhurokkal (vagy nevezhetjük
próbahuroknak is) feltérképezhetjük a
mágneses teret. 4.7. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 53
Az elektrosztatikus tér analógiájára a mágneses térben is értelmezhetjük a térerősséget: a
mágneses térerősség H a mágneses indukció és a mágneses permeabilitás hányadosával
értelmezett vektormennyiség: H = B/. Mértékegysége: Vs/m2
Am/Vs = A/m.
A a térkitöltő anyagra jellemző arányossági tényező, neve mágneses permeabilitás. Az SI
mértékrendszerben a vákuum permeabilitása: o = 4 10-7
Vs/Am, az ehhez viszonyított
relatív permeabilitással szorozva kapjuk az anyag tényleges permeabilitását:
= r o.
mindenkori értéke azonban függ az anyag mágnesezettségi állapotától is.
Vákuumban és homogén térkitöltő közegben a H vektor és a B vektor azonos irányúak.
A mágneses fluxus
A mágneses fluxust - az elektromos eltolási fluxussal analóg módon -, a B mágneses
indukció felületi integráljaként definiáljuk:
ABd
Mértékegysége 1 Vs = 1 Wb (weber).
Ha az erőtér ábrázolásánál az indukcióvonalakra merőleges felületegységen annyi erővonalat
veszünk fel, amennyi ott az indukció számértéke, akkor szemléletesen a fluxus tetszőleges A
felületre a felületen áthaladó indukcióvonalak számával lesz egyenlő. Az elemi fluxust a BdA
skalár szorzat definiálja.
Az elektrosztatika Gauss-tételénél láttuk, hogy az eltolási vektor zárt felületre vett fluxusa a
felület belsejében található töltések algebrai összegével egyenlő. A mágneses tér azonban –
szemben az elektrosztatikus térrel – dipólusok tere: a kétfajta mágneses töltés
szétválaszthatatlan. Ebből következően a mágneses erővonalak önmagukba visszatérő görbék,
így a Gauss-tétel értelemszerű alkalmazásából az következik, hogy egy tetszőlegesen
választott zárt felületre számított fluxusnak mindig zérusnak kell lennie:
∮
azaz a ki- és belépő erővonalak száma nem különbözhet. Ezt egyenértékű azzal a
megfogalmazással, hogy a mágneses tér forrásmentes, vagyis mágneses monopólusok
nincsenek.
A gerjesztési törvény
Ez a törvény az elektrosztatika Gauss tételéhez hasonló jelentőségű összefüggés, segítségével
a mágneses térerősséget - a tér szimmetriatulajdonságait is felhasználva – általában más
eljárásoknál egyszerűbben meghatározhatjuk. A törvény igazolásától itt eltekintünk, de
használhatóságát példán fogjuk szemléltetni. A gerjesztési törvény általános megfogalmazása
a következő:
Tetszés szerinti áramok mágneses terében a mágneses térerősségnek bármely S zárt görbe
mentén képezett integrálja egyenlő a görbe által határolt felületen áthaladó áramok
algebrai összegével, másképpen a gerjesztéssel (4.8. ábra).
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 54
∮ ∑
Olyan zárt görbére, amely az áramvezetőt nem hurkolja
körül, a mágneses térerősség vonalintegrálja
értelemszerűen zérus lesz.
A gerjesztési törvény szemléletes jelentése az, hogy a
mágneses tér forrásai az áramok. (Vö. a Gauss tétellel,
mely szerint az elektromos tér forrásai a töltések.)
Szolenoid mágneses tere. A 4.9. ábra N menetszámú, hosszú tekercset
D mutat, amelyben I = konstans gerjesztő
áram folyik. A tekercsben kialakult mágneses
tér erővonalai (a végektől eltekintve)
párhuzamosak (az erővonalak nem metszhetik
egymást), vagyis az erőtér homogén. A
mágneses tér a tekercs sűrű csévélése esetén a
tekercs belsejére korlátozódik, vagyis kívül a
térerősség zérusnak vehető.
A tér jellegéhez alkalmazkodva, az ábrán
berajzolt zárt görbét célszerű most felvenni.
Erre a görbére alkalmazzuk a gerjesztési
törvényt:
∮ ∮ , mivel csak a tekercs belsejében nem zérus az integrál értéke, és a görbe által határolt felületen átfolyó áramok
összege, vagyis a gerjesztés: NI.
A gerjesztési törvény szerint tehát a tekercsben a mágneses térerősség:
HNI
A mágneses tér térkitöltő anyagokban. A hiszterézis-görbe.
A térkitöltő anyagok módosítják a mágneses teret, az anyagokat külső mágneses térbe
helyezve különböző mágneses tulajdonságokat mutatnak.
A diamágneses anyagok relatív permeabilitása r < 1, azaz a külső térrel ellentétes mágneses
rendeződés lép fel az anyagban, de r csak kevéssé tér el az 1-től. Ezek az anyagok csak külső
mágneses térben mutatnak mágneses tulajdonságokat, és permeabilitásuk nem függ a külső tér
változásaitól. Ilyen anyagok pl. a réz, alumínium, ólom, bizmut, arany, higany, kén stb.
4.8. ábra
4.9. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 55
A paramágneses anyagok esetében r > 1, de az eltérés ebben az esetben sem jelentős, azaz
a mágneses rendeződés mértéke jelentéktelen.
A ferromágneses anyagoknál (pl.
vas, kobalt, nikkel) r >> 1, azaz a
külső tér hatására jelentősen megnő
az anyag mágneses rendezettsége. A
permeabilitás a külső tér nagyságától
is függ, ahogy az a 4.10. ábráról is
leolvasható. Az ábra a ferrománeses
anyagok mágnesezettségének
változását ábrázolja a külső tér
függvényében. Látszik, hogy a
kezdetben gyorsan mágneseződő
anyag mágnesezési görbéje, az ún
hiszterézisgörbe, fokozatosan
ellaposodik, ahogy az anyagban a
mágneses rendezettség szinte teljessé
válik. Ez a rendezettség aztán a külső
tér megszüntével sem tűnik el teljesen,
a visszamaradt Br remanens indukció anyagról anyagra más-más értékű. A remanencia
megszüntetése csak egy ellentétes irányú, Hc nagyságú térrel, - ez az ún. koercitív erő –
lehetséges. Minél nagyobb a koercitív erő, annál több munkát igényel a ferromágneses anyag
átmágnesezése. Ez a munka az anyagban hővé alakul, tehát veszteséget jelent. Ez a
hiszterézisveszteség, ami a hiszterézishurok területével arányos. Ha a veszteség kicsiny, lágy
máneses anyagról (lásd lágyvas) beszélünk, ha nagy, akkor kemény mágneses anyagról.
A ferromágneses anyagok mágneses tulajdonságaiért részben az atomszerkezetük (az ún.
kompenzálatlan spinű elektronokat tartalmazó alhéjak), részben pedig kristályszerkezetük
felel.
A hiszterézisgörbe alakját az ún. Weiss-
féle doménelmélet magyarázta meg.
Eszerint a ferromágneses anyagokban
apró, azonos mágnesezettségű
tartományokat, más néven doméneket
találunk, melyek külső tér hiányában
egymás hatását lerontják. Amikor
azonban az anyag külső térbe kerül, az
annak megfelelő irányítottságú domének
fala eltolódik a többi rovására (4.11.
ábra), és a megváltozott állapot a tér
kikapcsolása után is fennmarad. Az
ellenkező irányú mágneses térben megint csak az annak megfelelő irányú domének kezdenek
növekedni, amíg az egész anyagban dominánsakká nem válnak.
4.10. ábra
4.11. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 56
5. AZ ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ, VÁLTAKOZÓ ÁRAMOK
Az előző fejezetekben azt láttuk, hogy a nyugvó töltések, ill. a térben vagy a vezetőben
állandó sebességgel mozgó töltések időben változatlan tereket hoznak létre. A téregyenletek
vagy csak elektromos, vagy csak mágneses mennyiségeket tartalmaznak, azaz a sztatikus
elektromos és a sztatikus mágneses tér független egymástól.
Ebben a fejezetben az elektromos és a mágneses tér kapcsolatával, kölcsönhatásával
foglalkozunk. Ez a kölcsönhatás csak akkor figyelhető meg, ha a terek nem sztatikusak, azaz
akár az elektromos, akár a mágneses tér időben változó. Ilyen esetben az addig függetlennek
tűnő terek hirtelen egymástól szét nem választható elektromos és mágneses tulajdonságokat
mutató, ún. elektromágneses térként viselkednek.
A mozgási indukció, a Neumann- törvény.
Az elektromágneses indukciónak ez a fajtája akkor áll elő, ha állandó mágneses térben vezetőt
mozgatunk. Mozgassunk egy B indukciójú homogén mágneses térben egy ℓ hosszúságú
vezetőt állandó v sebességgel az 5.1. ábra szerinti elrendezésben. Ilyenkor a vezetővel együtt
mozgó szabad elektronokra a mágneses tér erőt fejt ki (Lorentz-erő):
],[ q BvF
ami az elektronok negatív
töltése miatt az ábrán
feltüntetett irányba mutat, és az
elektronokat a vezető egyik
végébe hajtja. A töltésáramlás
a vezetőben azonban hamar
megszűnik, mivel a
szétválasztott töltések között
fellépő QE elektromos
vonzóerő gyorsan növekedik.
Az egyensúlyi állapotban a két
erő egyenlő, így:
.BvE
Az indukált térerősség csak a vezető mozgásának idejére áll fenn, és úgy viselkedik, mint egy
feszültségforrás:
. U
B]d[vEdl
A kapott összefüggés a Neumann törvény.
Esetünkben a tér homogenitása miatt U = vBlsin, ahol a v és B vektorok által bezárt szög.
Mivel az ábra szerint a sebesség és a mágneses indukció merőlegesek egymásra, ezért az
indukált feszültség U = vBl nagyságú lesz.
5.1.ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 57
A nyugalmi indukció, Faraday indukciótörvénye
A nyugalmi elektromágneses indukció jelensége nyugalomban levő vezető és időben változó
mágneses tér esetén lép fel. Ha egy zárt vezetőt változó mágneses térbe helyezünk, akkor a
vezető által határolt felületen mérhető mágneses fluxus változásának sebességével arányos
feszültség fog indukálódni a vezetőben:
.dt
dΦ- U
Ez Faraday törvénye, mely szerint valamely zárt vezetőben indukált feszültség arányos a
vezető által határolt felületen átmenő indukciófluxus időegységre eső megváltozásával.
A képletben szereplő negatív előjel az ún. Lenz-szabályra utal: az indukált feszültség iránya
mindig olyan, hogy az általa indított áram mágneses terével akadályozza az indukáló hatást.
Faraday törvénye a Neumann-törvényből levezethető. Mivel az indukált feszültséget csak a
fluxusváltozásból számítja, ezért mind nyugalmi, mind mozgási indukció esetében
használható.
Az önindukció
Ez a jelenség a nyugalmi
indukció egyik speciális
esete, amikor egy
feszültség alatt álló
tekercsben az áramerősség
megváltozása hozza létre
az (ön)indukciós
feszültséget (5.2. ábra). Az
ábrázolt kapcsolásban az R
ellenállás segítségével
szabályozhatjuk az
áramerősséget az N menetszámú, A keresztmetszetű, hosszúságú tekercsben. Légmagos
tekercsben (szolenoidban) a tekercs fluxusát jó közelítéssel az egy menetre számolt fluxus N-
szeresének vehetjük: = N BA. Mivel B = H , továbbá a tekercsben H= NI/, ezért a
tekercs fluxusa
I L IA
μNΦ 2
alakba írható, ahol a tekercs geometriájára jellemző állandókat és a permeabilitást egyetlen
együtthatóba szokás foglalni, az L önindukciós tényezőbe (induktivitásba). Az induktivitás
mértékegysége a henry: 1 H = 1 Vs/A. Az induktivitás nagymértékben megnövekszik, ha a
tekercsbe vasmagot helyezünk. Mivel a ferromágneses anyagok permeabilitása nem
tekinthető állandónak, ezért L sem az.
Ha a tekercsben folyó áram erőssége változik, akkor Faraday törvénye értelmében
dt
diL
dt
dΦU ,
5.2. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 58
tehát az önindukciós feszültség nagysága egyenesen arányos az időegységre eső
áramerősségváltozással. Irányát a Lenz-szabály határozza meg.
A kölcsönös indukció, a transzformátor
Ez a jelenség közös
fluxussal csatolt tekercsek
esetén lép fel. Az 5.3. ábra
két, L1, ill. L2 induktivitású
tekercset ábrázol, szorosan
egymás mellé tekercselve.
Ha a tekercsek sűrűn
csévéltek, akkor ugyanazok
az erővonalak haladnak át
rajtuk. (A csatolás még
szorosabbá tehető, ha a két
tekercset ugyanarra a magra
tekercseljük.)
Kapcsoljunk most az ábra szerint feszültséget az egyik tekercsre, miközben a másik kapcsait
nyitva hagyjuk. Ekkor - ha az első tekercsben megváltozik az áramerősség – mindkét tekercs
fluxusváltozását az első tekercs árama határozza meg. Az első tekercsben természetesen
önindukciós feszültség lép fel, míg a második kapcsain a Faraday-törvény szerint
dt
diNμN
dt
dΦ
2u 11
22
2
A
feszültség indukálódik, mivel a második tekercs fluxusát az első tekercsben keletkező
térerősség határozza meg. Az együtthatókat az M kölcsönös indukciós együtthatóba foglalva,
a kölcsönös indukció során keletkezett feszültségre a következő kifejezést kapjuk:
dt
diMu 1
2 .
A kölcsönös indukció elvén működnek a transzformátorok, ahol a tekercsek szoros csatolását
közös, általában zárt vasmagon keresztül biztosítják. A primerkör váltakozó áramú gerjesztése
következtében a szekunder tekercsben feszültség indukálódik. A transzformátor terheletlen
állapotában a szekunder tekercsben áram nem folyik.
Szinuszos váltakozó feszültség előállítása
A váltakozó feszültség előállításának csak a fizikai alapjaival foglalkozunk azon sematikus
generátormodell alapján, melyet az 5.4. ábrán vázoltunk. Itt homogén mágneses térben
vezetőkeret forog állandó szögsebességgel. A vezetőkeret kivezetései csúszógyűrűkhöz
(Cs) csatlakoznak, amelyekről álló szénkeféken (Sz) keresztül jut a feszültség az A-B
kapcsokra. Az a/ ábra azt a fázishelyzetet mutatja, amikor a mágneses tér indukcióvonalai (a
rajzon X ) merőlegesek a vezetőkeret A=D felületére. Ekkor a B indukcióvektor és az A
felületvektor megegyező irányúak. A b/ ábra az = t általános fázishelyzetet mutatja az
előbbihez ( =0) viszonyítva. A vezetőkeret forgása következtében változik a tekercs fluxusa
is: = BAcos .
5.3. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 59
5.4. ábra
Figyelembe véve az = t összefüggést, a tekercsfluxus az idő függvényében = BAcost
alakba írható. Az indukciótörvény alapján az indukált feszültséget a fluxus deriválásával
kapjuk meg:
.sindt
dU tBA
Φ
Az A-B kapcsokon tehát szinuszosan váltakozó feszültség jelenik meg, amelynek maximális
értéke Um = BA. Ezzel a feszültség változása az idő függvényében a következő általánosan
használt alakba írható:
U = Um sin t.
A képletben szereplő a váltakozó feszültség körfrekvenciája, amely az f frekvenciával, ill. a
T periódusidővel is kifejezhető: = 2f = 2/T.
Váltakozóáramú mennyiségek és váltakozó áramú körök
A váltakozó mennyiségeknek gyakori, de mégis speciális fajtája az, amely szinusz
függvénnyel irható le. (Ilyen például az elektromos hálózat is, amelynél a frekvencia f=50
Hz.) Általában váltakozó feszültségnek, ill. áramnak nevezünk minden olyan feszültséget és
áramot, amely periodikus függvénnyel írható le. A periódushossz kifejezhető a T =1/f
periódusidővel, vagy az annak megfelelő T=2 fázisszöggel. Egy, a fenti
követelményeknek megfelelő i = i(t) függvényt mutat az 5.5. ábra.
5.5. ábra
A váltakozó áram vagy feszültség megadását első ránézésre éppen az nehezíti, hogy minden
pillanatban más értéket vesz fel. Ezért vált szükségessé a feszültség középértékének
definiálása. Ilyenkor mindig valamely időbeli középértékről van szó, amellyel a váltakozó
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 60
feszültség függvényét helyettesíthetjük. (Pl. a váltakozó áramú ampermérő vagy voltmérő
nem követi az áramerősség vagy feszültség ingadozását, hanem meghatározott, állandó
értéket mutat.) A leggyakrabban használt középérték az effektív érték.
Az effektív értéket a függvény négyzetének egy periódusra vett átlagértékéből számítjuk:
,)(0
22
T
effdttiTI
azaz
.)(1
0
2dtti
TI
T
eff
Ez az integrálközépérték az áram munkájával van összefüggésben. Ha az Ieff2T kifejezést
megszorozzuk R-rel, akkor az áramnak az R ellenálláson T idő alatt végzett munkáját kapjuk:
.2RTIW
eff
Ennek alapján a váltakozó áram effektív értéke megfelel annak az egyenáramnak, amely
valamely R ellenálláson T idő alatt ugyanannyi munkát végez.
Mivel a gyakorlatban az effektív érték használata a leggyakoribb, az eff indexet
általában nem írjuk ki. A továbbiakban az Ieff = I jelölést alkalmazzuk. A fenti definíciók
értelemszerűen alkalmazhatók a feszültségre és egyéb váltakozó mennyiségekre is.
Alkalmazásképpen álljon itt az i = Im sint függvénnyel leírt szinuszos áram effektív értékének számítása:
.sin1
0
222 dttIT
IT
m
A 2
212 tcostsin
linearizáló formulát felhasználva
,2
2cos2
2
00
2
2 mTT
mI
dttdtT
II
mert a második integrál zérust ad eredményül, mivel a cos 2t függvény T/2 szerint periodikus. Így
.2
mI
I
A szinuszos váltakozó áram effektív értéke tehát a maximális érték 2 -ed része.
A hazánkban rendszeresített hálózati feszültség szinuszos, frekvenciája 50 Hz, effektív értéke U =230 V.
Fázisviszonyok a váltakozó áramú körökben
A váltakozó áramú körök leggyakoribb kapcsolási elemei az R ohmos ellenállás, az L
induktivitású tekercs és a C kapacitással megadott kondenzátor. A három kapcsolási elem az
egyenáramú áramkörökhöz hasonlóan lehet sorba, párhuzamosan vagy vegyesen kapcsolva.
A tekercs és a kondenzátor az ohmos ellenálláshoz hasonlóan a töltésáramlással szemben
ellenállást jelent, de ezen kívül fáziseltolást is eredményez a rajta átfolyó áram és a kapcsán
mérhető feszültség között.
Először megvizsgáljuk a három kapcsolási elemnek a váltakozó áramra gyakorolt hatását.
a) Tiszta ohmos ellenállás (5.6. ábra): ha tUu m sin , akkor Kirchhoff huroktörvénye
szerint 0 iRu . Az i áramerősség az u(t) függvény behelyettesítésével tR
Ui m sin
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 61
5.6. ábra
Az Um/R hányados Ohm törvénye alapján az áramerősség Im maximális értékét adja meg. Ezt
figyelembe véve
tIi m sin
Összehasonlítva az u(t) és i(t) függvényeket látható, hogy tiszta ohmos ellenállás esetén az
áramerősség azonos fázisban változik a feszültséggel (5.7.ábra).
5.7. ábra
b) Tekercs áramköre, tiszta induktív ellenállás:Az L induktivitású ideális (ohmos ellenállása
zérus) tekercsre koszinuszos feszültséget kapcsolunk (5.8. ábra).
.cos tUum
5.8. ábra
A feszültség hatására frekvenciájú, időben váltakozó áram folyik az áramkörben,
amely a tekercsben dt
diLu feszültséget indukál. A huroktörvény szerint:
.0dt
diLu
Ezt a szétválasztható differenciálegyenletet integrálva megkapjuk az i= i( t) függvényt:
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 62
.sin CtL
Ui m
A t=0; i=0 kezdeti feltétel felhasználásával C=0. Az Lω
mU
kifejezés az áramerősség
maximális értékét adja.
Ohm törvénye alapján a nevezőben szereplő L ellenállás-jellegű mennyiség, amelyet XL-lel
jelölünk, és a tekercs induktív reaktanciájának nevezzük: .LXL
Az induktív reaktancia frekvenciafüggő, vagyis ugyanazon tekercsnek különböző frekvenciájú
váltakozó árammal szemben más az ellenállása.
A koszinuszosan váltakozó feszültség hatására az ideális tekercs áramkörében szinuszos
áram folyik, amely /2 fázisszöggel késik a feszültséghez képest:
2cossin
tItIi mm .
Az áram és feszültség közötti fázisviszonyt az 5.9. ábra szemlélteti. A tekercs
fáziskésleltető hatása az önindukció jelensége miatt lép fel.
5.9. ábra
A tárgyalt eset ideális tekercsre vonatkozik, amelynek csak induktív ellenállása van.
Gyakorlatilag ilyennek tekinthető az a valóságos tekercs is, amelyre fennáll, hogy R<< XL.
Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor a tekercs áramkésleltető hatása kisebb mértékű, és a
fáziseltolás szöge 0 < < /2 határok között van. Az ilyen tekercset a számításokban sorba
kapcsolt tiszta induktív és ohmos ellenállással vehetjük figyelembe.
c) Kondenzátor áramköre, a tiszta kapacitív ellenállás: Az 5.10. ábrán látható C kapacitású
kondenzátorra tUu mm sin szinuszosan váltakozó feszültséget kapcsoltunk.
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 63
5.10. ábra
A váltakozó feszültség hatására a kondenzátor félperiódusonként feltöltődik és kisül, majd
ellentétes polaritással ismét feltöltődik és kisül. A kondenzátoron a töltés valamely t
időpillanatban legyen Q, feszültsége u. A kondenzátorok alapegyenlete (Q=CU) szerint:
C
qu . Az áramkörben a feszültségek összege a huroktörvény szerint:
,0C
qsinωiUm
ahonnan .sin tCUqm
Mivel az áramerősség
dt
dqi , ezért
tUCi m cos .
A CUm kifejezés az áramerősség maximális értékét adja: Im=CUm.
Ohm törvénye alapján a kondenzátor kapacitív ellenállása, vagyis a kapacitív reaktancia:
Cω1X c , amely az induktív reaktanciához hasonlóan frekvenciafüggő. A szinuszosan
váltakozó feszültség hatására a kondenzátor áramkörében tehát
2sincos
tItIi mm
áram folyik, amely a feszültséghez viszonyítva /2 fázisszöggel, azaz T/4 periódussal siet.
Az 5.11.ábra szemlélteti a feszültség és az áram fázisviszonyát.
5.11. ábra
Mindez az ideális kondenzátorra igaz, amelynek fegyverzetei között vákuum vagy tökéletes
szigetelő van, és amely ezáltal egyenárammal szemben végtelen nagy ellenállást jelent. A
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 64
valóságos kondenzátort párhuzamosan kapcsolt tiszta kapacitív és ohmos ellenállással
vehetjük figyelembe. Ebben az esetben a fáziseltolás szöge 0 < < /2.
A váltakozó áram munkája és teljesítménye Az áramforrásból és fogyasztókból álló zárt váltakozó áramú körben, mint láttuk,
általában fáziseltolás van a tápláló feszültség és az áramkörben folyó áram között. Például
egy elektromos motor, mint fogyasztó, ohmos és induktív ellenállást jelent, és így soros R-L
áramkörnek tekinthető. Az általa mechanikai munka formájában hasznosított elektromos
energia nagymértékben függ attól is, hogy milyen fázisviszonyok alakulnak ki az
áramkörében. A feszültség- és áramfüggvények fáziseltolást feltételezve :
u(t) = Um sin t; i(t) = Im sin (t + ).
A pillanatnyi teljesítményt az áramerősség és a feszültség szorzataként kapjuk:
p(t) = u(t) i(t) = Um Im sin t sin (t+).
A sin sin = 2
1 (cos (-) – cos(+)) azonosság felhasználásával:
p(t) = u(t) i(t) =2
1Um Im (cos(-)-cos (2t+)).
Mivel 2
mUU , illetve
2
mII , továbbá cos(- ) = cos, így a teljesítményfüggvény:
tUIUItp 2coscos .
A váltakozó áramú teljesítmény tehát két komponensből tevődik össze: a
cosUIPh hatásos teljesítményből, amely nem függ t-től, és az tUI 2cos
teljesítmény komponensből, amely az áram és a feszültség frekvenciájának kétszereséveI (2)
változik (5.12. ábra). A hatásos teljesítményre szuperponálódik a váltakozó
teljesítménykomponens. A hatásos teljesítmény mértékegysége: [Ph] = W (watt).
5.12. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 65
A váltakozó áram dt idő alatt végzett munkája a teljesítmény dt
dWp definíciója alapján:
dttpdW . A T periódus alatt végzett munka tehát a
T
dttpW0
integrállal számítható, amely grafikusan a p(t) görbe alatti területtel szemléltethető. A
területre előjeles számot kapunk. Fizikailag a pozitív munka a fogyasztó által felvett munka,
mivel a fogyasztónál az áramerősség és a feszültség iránya (és így előjele is) megegyezik. A
negatív munka az áramforrás által leadott munka, mivel az áramforráson az áramerősség a
kapocsfeszültséggel ellentétes irányú. Ha elvégezzük el az integrálást:
T T
dttUIdtUIW0 0
2coscos
az első integrál értéke: PTTcosUI , a második integrál eredménye zérus, mivel az
integranduszban T/2 szerint periodikus függvény szerepel. Munkát tehát csak a hatásos
teljesítmény végez, az elnevezés is ebből adódik. Ennek alapján a hatásos teljesítmény úgy
értelmezhető, mint a váltakozó teljesítmény időbeli középértéke:
.1
0
T
hdttp
TP
A hatásos teljesítmény értéke az áramerősség és a feszültség effektív értékein kívül függ még
cos -től, amelyet teljesítménytényezőnek hívunk.
A p=p(t) függvény 2 frekvenciával váltakozó komponensét meddő teljesítménynek
nevezzük, mivel T periódus alatt végzett munkája mindig zérus. Megmutatható, hogy ezen
komponens amplitúdója Pm=UI sin, az időtől független meddő teljesítmény.
A hatásos és meddő teljesítményen kívül használatos még az ún. látszólagos teljesítmény,
amelyet az áramerősség és a feszültség effektív értékeinek szorzataként értelmezünk.
Mértékegysége: VA.
Komplex mennyiségek bevezetése Szinuszos áramú hálózatokban az áramerősségek és feszültségek szinuszosan változnak. Az
ilyen jeleket szinusz- és koszinusz függvényekkel egyaránt leírhatjuk, csupán a t = 0
időpillanat megváltozásától függ, hogy melyik függvényt alkalmazzuk. Ezen időfüggvények
általánosan a következő alakba írhatók:
u(t) = Um sin(ωt+1); i(t) = Im sin(ωt+2),
ahol 1 és 2 a feszültség, ill. az áramerősség kezdő fázisszöge. Az áram és feszültség közötti
fáziseltolási szöget a = 1 - 2 fázisok különbségeként értelmezzük. Általában a t = 0
időpont megfelelő megválasztásával az egyik mennyiség kezdőfázisa zérusnak vehető.
A fenti időfüggvényekkel számolva az áramkörökre felírt Kirchhoff egyenletek
differenciálegyenletekhez vezetnek. Pl. az 5.13. ábrán látható soros RLC körre a következő
egyenlet írható fel:
,sin1 tUidt
CRi
dt
diL
m
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 66
5.13. ábra
ahol a baloldalon rendre a tekercsen, az ohmos ellenálláson és a kondenzátoron eső UL , UR és
UC feszültségek szerepelnek. Az dt
dqi definíció figyelembevételével a differenciálegyenlet
tUC
q
dt
dqR
dt
qdL m sin
2
2
alakban írható, ami egy másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet.
Szinuszos hálózatoknál ezen egyenlet megoldása helyett lényegesen egyszerűbb út, ha
komplex időfüggvények bevezetésével a problémát komplex algebrai egyenletek megoldására
vezetjük vissza. E célból az 1 tcosUtu m valós időfüggvényhez az
tjj
m
tj
m eeUeUt 11
u (1)
egyenlettel megadott komplex időfüggvényt rendeljük. Ha ugyanis trigonometrikus alakba
átírjuk a komplex függvényt, vagyis
11
sincos tjtUtm
u ,
akkor a valós rész a kiindulásként felvett koszinuszos feszültséget adja. Ha szinuszos
feszültségből indulunk ki, akkor annak a komplex függvény képzetes része felel meg. A
komplex időfüggvényeknél tehát vagy a valós, vagy a képzetes résznek tulajdonítunk fizikai
realitást. A komplex áramerősség hasonlóképpen
tjj
m
tj
meeIeIt 22
i (2)
alakban írható fel.
A komplex időfüggvények komplex abszolút értéke a feszültség, ill. az áramerősség komplex
amplitúdója:
. . , 21 j
m
j
meIilleU
mmIU
Mivel szinuszos mennyiségekről van szó, 2 -vel osztva az effektív értéket kapjuk. A
komplex effektív értékeket a feszültség és áramerősség effektív értékével kifejezve: 21 . ,
jjIeillUe IU
Az (1) és (2) kifejezéseket az Um , ill. Im komplex amplitúdókkal a következő alakba írhatjuk:
)1(1
tjtjj
meeeU
mUtu (3)
)2(2
tjtjj
meeeI
mIti (4)
Az Um , ill. Im komplex mennyiségek a komplex számsíkon egy-egy vektorral ábrázolhatók,
melyeket ω szögsebességgel pozitív irányba körbeforgatva, az (1) és (2) egyenlettel megadott
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 67
időfüggvényeket írják le. Az 5.14a. ábrán a t = 0 időpillanatban ábrázoltuk a komplex
vektorokat. Ekkor
. . , 1mm
ItiUtu illése tj
5.14. ábra
Az 5.14b. ábra egy negyed periódussal későbbi fázishelyzetet mutat, amikor
mm Iti Utu jjjeej
Tj
ill.,vagyis,24
Tehát a j-vel való szorzás a vektoroknak 900-kal való elforgatását jelenti. Egy hálózat
vektorábrájának elkészítésénél a t=0 időpillanatot tetszőlegesen választhatjuk meg. Ez azt
jelenti, hogy egy áram vagy feszültség fázisszögét szabadon választhatjuk, de ezzel a hálózat
valamennyi áramának és feszültségének a fázisszögét rögzítettük.
A komplex Ohm-törvény
Ha az egyenáramú Ohm-törvénybe a feszültséget és az áramerősséget komplex
mennyiségként helyettesítjük be, az Ohm törvény komplex alakját kapjuk:
)(j
j
m
j
m
tjj
m
tjj
m eeI
eU
eeI
eeU21
2
1
2
1
I
U
ti
tuZ
A Z impedancia az Um és Im komplex amplitúdók hányadosával egyenlő, amely viszont a
komplex effektív értékek hányadosával egyezik meg:
. vagyis IZU ,I
UZ
I
U
I
U
m
m (5)
A fenti összefüggés az Ohm-törvény váltakozó áramokra általánosított alakja, amely a
komplex effektív értékek és a komplex impedancia közötti összefüggést adja meg az
egyenáramú köröknél megismert formában.
Visszatérve az impedanciára, a
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 68
)21(
I
U
jeZ
összefüggésben az I
U hányados a komplex impedancia Z abszolút értéke, a 21 pedig az
ún. impedanciaszög, amely a feszültség és az áramerősség közötti fáziseltolás szögének felel
meg. Tehát a komplex impedancia általánosan: jZeZ
alakba írható. Az impedancia időtől független komplex szám.
Váltakozó áramú körök impedanciájának számítása
a.) Tiszta ohmos ellenállás: az R paraméterrel megadott ellenállásra váltakozó feszültséget
kapcsolva, az áramkörben folyó áram a feszültséggel fázisban van, tehát 1 - 2 =0
,I
U
I
U )21(Re
j
Z
vagyis az impedancia valós szám.
b.) Tiszta induktív ellenállás: L induktivitású tekercsre váltakozó feszültséget kapcsolva, az
áramerősség 2
fázisszöggel késik a feszültséghez képest, tehát 1 - 2 =π/2, így
.I
U
I
U2)21(
j
jee
Z
A feszültség és az áramerősség effektív értékének hányadosa az XL induktív reaktanciát adja
meg, 2
j
e viszont j-vel egyenlő. Így
LjX
LZ
vagyis az impedancia tiszta képzetes szám.
c.) Tiszta kapacitív ellenállás: C kapacitású kondenzátorra váltakozó feszültséget kapcsolva,
az áramerősség 2
fázisszöggel siet a feszültséghez képest, tehát 1 - 2 =-π/2, és
.I
U
I
U2)21(
j
jee
Z
Az I
U hányados az XC kapacitív reaktanciával egyenlő, 2
j
e
viszont –j alakban írható. Tehát
,C
jXC
Z
vagyis az impedancia tiszta képzetes szám.
Ohmos és reaktív ellenállásokat tartalmazó áramköröknél az eredő impedancia valós és
képzetes részt is tartalmazó komplex szám. Az impedancia valós része az R ohmos ellenállás,
a képzetes része az X reaktancia. A komplex impedancia általánosan tehát a következő
alakban írható fel: .jXR Z
Az impedancia abszolút értéke ilyenkor:
.22 XRZ
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 69
Az impedancia szöge:
.R
Xarctg
A komplex impedancia reciprokát admittanciának nevezzük, és Y-nal jelöljük.
.jBG Z
1Y
A G valós rész a hatásos vezetőképesség, a B képzetes rész pedig az ún. szuszceptancia.
Az admittancia abszolút értéke:
Az admittancia szöge:
.G
Barctg
y
Az admittancia értelmezéséből következik, hogy az abszolút értéke az impedancia abszolút
értékének reciproka, az arkusza pedig az impedancia fázisszögének –1-szerese. Ugyanis
.11
ajj
jYee
ZZe
Y
Az előzőekben tárgyalt speciális esetekre felírva az admittanciákat:
,1
RG
RY
,
1L L
L
jBjX
Y
.1
C C
C
jBjX
Y
Egyszerű váltakozó áramú körök számítása. A komplex Kirchhoff-törvények.
A soros RLC kör
Az 5.15. ábrán vázolt ún. soros RLC körre Kirchhoff huroktörvényét most értelemszerűen
komplex mennyiségekkel kell felírnunk:
n
kU1
0k
Azaz: váltakozó áramú körökben
bármely áramhurokban a komplex feszültségek összege zérus. A soros körre tehát:
0 CLR UUUU ;
ill.
0 CL XjXjR IIIU .
5.15. ábra
Az áramerősséggel való osztás és az egyenlet rendezése után az eredő impedancia :
;CL
XXjR Z
22
CL XXRZ
.Y 22 BG
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 70
Az impedancia szöge pedig:
R
XXarctg CL
A impedanciaszög előjele az XL és XC
reaktív ellenállások nagyságától függ. Az
5.16. ábrán XL > XC esetre ábrázoltuk az
impedanciát, ekkor >0. Mivel az
impedanciaszög a feszültség és az
áramerősség közötti fáziseltolási szöget adja
meg, = 1-2, ezért ebben az esetben 2 <
1, vagyis az áram késik a feszültséghez
képest (az áramkör induktív jellegű).
Ellenkező esetben (XL < XC) kapacitív
jellegű az áramkör, vagyis 2 > 1.
Speciális eset adódik akkor, ha XL = XC .
Ekkor UL=UC, Z = R és = 0, vagyis az áramkör tiszta ohmos ellenállásként viselkedik. A
két reaktív elemen ekkor a feszültség minden pillanatban megegyezik és többszöröse lehet a
tápfeszültségnek. Mivel a két feszültség ellentétes, ezért összegük bármely pillanatban zérus,
és az áramforrás összes feszültsége az ellenállásra esik. Ezt az esetet feszültségrezonanciának
nevezzük. Az áramkörben rezonancia esetén maximális áram folyik. A feltételből következik,
hogy a rezonanciafrekvencia:
LCr
1 ill.
LCf r
2
1 .
A feszültség és az áramerősség viszonyát az ún. feszültség-áram vektorábrán szemléltethetjük
(5.17. ábra). Mivel időfüggvények pillanatnyi fázishelyzetének ábrázolásáról van szó, ezért a
t időpillanatot tetszőlegesen választhatjuk meg. Soros áramkörök esetén ezt célszerű úgy
megválasztani, hogy az I komplex áramvektor
éppen a valós tengelyre essék. Soros
áramköröknél azért célszerű az áramvektort
alapul venni, mert az összes elemen ugyanaz az
áram folyik keresztül, viszont a feszültségek
nagyságban is, fázisban is eltérnek. Az ábra azt
az esetet mutatja, amikor CL XX , tehát
CL UU . A komplex feszültségvektorok
összegzése alapján megkapjuk az áramforrás U
feszültségét, amely fázissal megelőzi az I
vektort. Az ábrázolt áramkör tehát induktív
jellegű, mert az áramerősség késik az áramforrás
feszültségéhez képest fázisszöggel.
A párhuzamos RLC kör
Kirchhoff csomóponti törvénye most komplex alakban érvényes:
n
k 1
0kI , azaz
váltakozó áramú körökben bármely csomópontban a komplex áramerősségek összege zérus.
5.16. ábra
5.17. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 71
Alkalmazzuk a csomóponti törvényt a párhuzamosan kapcsolt R, L, C elemekből álló
áramkörre (5.18. ábra). Az U feszültséghez képest fázisban eltolt áramok folynak az egyes
ágakban.
;0CLR
IIII
ahol
,GUIR
,
LBjUI
L
.
CBjUI
C
Behelyettesítés, majd a feszültséggel való
egyszerűsítés után az eredő admittancia:
.LC
BBjG Y
Az admittancia abszolút értéke:
.22
LCBBGY
Az admittancia szöge: .G
BBarctg LC
y
Az 5.19. ábra az XL > XC azaz BL < BC esetet
szemlélteti. Mivel most a >0, ezért a fázisszög
negatív (2 > 1), tehát az áramerősség siet a
feszültséghez képest. (Az áramkör kapacitív jellegű,
de hasonlóan a soros áramkörhöz, itt is további két
eset, a 2 < 1 és a 2 = 1 lehetséges).
Az admittancia ismeretében a Z impedanciát már
egyszerűen megkapjuk, mivel abszolút értéke
YZ
1 , fázisszöge pedig a .
Ennél az áramkörnél is megvalósulhat az az eset, hogy I és U fázisban vannak, vagyis tiszta
ohmos ellenállásként mutatkozik az áramkör. Ezt az esetet áramrezonanciának nevezzük,
mivel a reaktív ellenállásokon az áramerősségek megegyeznek. A tekercs és a kondenzátor
által képezett hurokban lényegesen nagyobb áramok folyhatnak, mint a főágban, de ellentétes
fázisuk miatt minden pillanatban az eredőjük zérus. A rezonancia feltétele ugyanaz, mint a
soros RLC körnél:
CL XX , ill. ,CL
II
,1
LCr ill. .
2
1
LCf
r
Az áramkör impedanciája rezonancia esetén tiszta
ohmos.
Az 5.20. ábrán látható feszültség-áram vektorábra is
arra az esetre vonatkozik, amikor CL XX . A
kondenzátor-ágban nagyobb áram folyik, mint a
tekercs-ágban, az admittanciaszög pozitív, tehát a
csomópontba befolyó I áramerősség vektora az U
vektor előtt fázisszöggel siet.
5.18. ábra
5.19. ábra
5.20. ábra
Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 72
Irodalom
Fizika I.-II. főiskolai jegyzet , BDGMF , 1978.
Budó: Kísérleti fizika I.-II. , Tankönyvkiadó, 1975.
Feynman: Mai fizika , Műszaki Könyvkiadó, 1970.
Duncan: Physics, Advanced Level Textbook, John Murray, 1987.