Fizika 1i 1ea - fizipedia.bme.hu
Transcript of Fizika 1i 1ea - fizipedia.bme.hu
Fizika 1i
Fizika Tsz3 h előadaacutes + 1 h gyakorlat
1előadaacutes
Mieacutert eacuteppen fizika
Fizikai kutataacutesok Alkalmazaacutesok
Szaacutemiacutetoacutegeacutepes haacuteloacutezat Internet (www )
Tranzisztor Feacutelvezető elektronika
Nemlin Egyenletek(aacuteramlaacutestan)
Szaacutemiacutetoacutegeacutep
GPS(atomoacutera rel elm) Helymeghataacuterozaacutes
40
Mieacutert eacuteppen fizika
CT (NMR)
Fizikai kutataacutesok Alkalmazaacutesok
Gyoacutegyaacuteszat raacutekdiagnosztika
Holograacutefia 3D keacutepalkotaacutes 3D TVbankkaacutertya stb
Anyagtudomaacuteny Uacutej anyagok DNS
Mieacutert eacuteppen fizika
Kaacuteosz elmeacutelet Modell
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert eacuterdekes
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert izgalmas a joumlvőKvantumszaacutemiacutetoacutegeacutep Nagy szaacutemolaacutesi sebesseacuteg
RSA koacuted feltoumlreacutese stb
Nanofizika Laacutethatatlan repuumllőgeacutepOumlntisztuloacute ruhaOumlngyoacutegyuloacute szaacutemiacutetoacutegeacutep
Robot kutyaYoutube robot dog boston dynamics httpsyoutubeM8YjvHYbZ9w
Mit kell tudni Matematik aacuteboacutel
Emleacutekeztet őI Vektorok
ar
br
ar
Vektorok oumlsszeadaacutesa
bavr +
b-r
cr
ar
ar
ar c
r
cbarrr ++
br
λ
abbarrrr +=+
br
br
br
br
br
Vektorgeometria
Vektor(ok) kivonaacutesa
ar
br ba =minus
vr
)b(-abarrrr +=minus
b-r
ar
br
)b(avr minus+
ar
br
barr minus a
r
br
abrr
minus
barr minus
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Mieacutert eacuteppen fizika
Fizikai kutataacutesok Alkalmazaacutesok
Szaacutemiacutetoacutegeacutepes haacuteloacutezat Internet (www )
Tranzisztor Feacutelvezető elektronika
Nemlin Egyenletek(aacuteramlaacutestan)
Szaacutemiacutetoacutegeacutep
GPS(atomoacutera rel elm) Helymeghataacuterozaacutes
40
Mieacutert eacuteppen fizika
CT (NMR)
Fizikai kutataacutesok Alkalmazaacutesok
Gyoacutegyaacuteszat raacutekdiagnosztika
Holograacutefia 3D keacutepalkotaacutes 3D TVbankkaacutertya stb
Anyagtudomaacuteny Uacutej anyagok DNS
Mieacutert eacuteppen fizika
Kaacuteosz elmeacutelet Modell
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert eacuterdekes
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert izgalmas a joumlvőKvantumszaacutemiacutetoacutegeacutep Nagy szaacutemolaacutesi sebesseacuteg
RSA koacuted feltoumlreacutese stb
Nanofizika Laacutethatatlan repuumllőgeacutepOumlntisztuloacute ruhaOumlngyoacutegyuloacute szaacutemiacutetoacutegeacutep
Robot kutyaYoutube robot dog boston dynamics httpsyoutubeM8YjvHYbZ9w
Mit kell tudni Matematik aacuteboacutel
Emleacutekeztet őI Vektorok
ar
br
ar
Vektorok oumlsszeadaacutesa
bavr +
b-r
cr
ar
ar
ar c
r
cbarrr ++
br
λ
abbarrrr +=+
br
br
br
br
br
Vektorgeometria
Vektor(ok) kivonaacutesa
ar
br ba =minus
vr
)b(-abarrrr +=minus
b-r
ar
br
)b(avr minus+
ar
br
barr minus a
r
br
abrr
minus
barr minus
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Mieacutert eacuteppen fizika
CT (NMR)
Fizikai kutataacutesok Alkalmazaacutesok
Gyoacutegyaacuteszat raacutekdiagnosztika
Holograacutefia 3D keacutepalkotaacutes 3D TVbankkaacutertya stb
Anyagtudomaacuteny Uacutej anyagok DNS
Mieacutert eacuteppen fizika
Kaacuteosz elmeacutelet Modell
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert eacuterdekes
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert izgalmas a joumlvőKvantumszaacutemiacutetoacutegeacutep Nagy szaacutemolaacutesi sebesseacuteg
RSA koacuted feltoumlreacutese stb
Nanofizika Laacutethatatlan repuumllőgeacutepOumlntisztuloacute ruhaOumlngyoacutegyuloacute szaacutemiacutetoacutegeacutep
Robot kutyaYoutube robot dog boston dynamics httpsyoutubeM8YjvHYbZ9w
Mit kell tudni Matematik aacuteboacutel
Emleacutekeztet őI Vektorok
ar
br
ar
Vektorok oumlsszeadaacutesa
bavr +
b-r
cr
ar
ar
ar c
r
cbarrr ++
br
λ
abbarrrr +=+
br
br
br
br
br
Vektorgeometria
Vektor(ok) kivonaacutesa
ar
br ba =minus
vr
)b(-abarrrr +=minus
b-r
ar
br
)b(avr minus+
ar
br
barr minus a
r
br
abrr
minus
barr minus
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Mieacutert eacuteppen fizika
Kaacuteosz elmeacutelet Modell
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert eacuterdekes
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert izgalmas a joumlvőKvantumszaacutemiacutetoacutegeacutep Nagy szaacutemolaacutesi sebesseacuteg
RSA koacuted feltoumlreacutese stb
Nanofizika Laacutethatatlan repuumllőgeacutepOumlntisztuloacute ruhaOumlngyoacutegyuloacute szaacutemiacutetoacutegeacutep
Robot kutyaYoutube robot dog boston dynamics httpsyoutubeM8YjvHYbZ9w
Mit kell tudni Matematik aacuteboacutel
Emleacutekeztet őI Vektorok
ar
br
ar
Vektorok oumlsszeadaacutesa
bavr +
b-r
cr
ar
ar
ar c
r
cbarrr ++
br
λ
abbarrrr +=+
br
br
br
br
br
Vektorgeometria
Vektor(ok) kivonaacutesa
ar
br ba =minus
vr
)b(-abarrrr +=minus
b-r
ar
br
)b(avr minus+
ar
br
barr minus a
r
br
abrr
minus
barr minus
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert eacuterdekes
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert izgalmas a joumlvőKvantumszaacutemiacutetoacutegeacutep Nagy szaacutemolaacutesi sebesseacuteg
RSA koacuted feltoumlreacutese stb
Nanofizika Laacutethatatlan repuumllőgeacutepOumlntisztuloacute ruhaOumlngyoacutegyuloacute szaacutemiacutetoacutegeacutep
Robot kutyaYoutube robot dog boston dynamics httpsyoutubeM8YjvHYbZ9w
Mit kell tudni Matematik aacuteboacutel
Emleacutekeztet őI Vektorok
ar
br
ar
Vektorok oumlsszeadaacutesa
bavr +
b-r
cr
ar
ar
ar c
r
cbarrr ++
br
λ
abbarrrr +=+
br
br
br
br
br
Vektorgeometria
Vektor(ok) kivonaacutesa
ar
br ba =minus
vr
)b(-abarrrr +=minus
b-r
ar
br
)b(avr minus+
ar
br
barr minus a
r
br
abrr
minus
barr minus
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Mieacutert eacuteppen fizika
Mert izgalmas a joumlvőKvantumszaacutemiacutetoacutegeacutep Nagy szaacutemolaacutesi sebesseacuteg
RSA koacuted feltoumlreacutese stb
Nanofizika Laacutethatatlan repuumllőgeacutepOumlntisztuloacute ruhaOumlngyoacutegyuloacute szaacutemiacutetoacutegeacutep
Robot kutyaYoutube robot dog boston dynamics httpsyoutubeM8YjvHYbZ9w
Mit kell tudni Matematik aacuteboacutel
Emleacutekeztet őI Vektorok
ar
br
ar
Vektorok oumlsszeadaacutesa
bavr +
b-r
cr
ar
ar
ar c
r
cbarrr ++
br
λ
abbarrrr +=+
br
br
br
br
br
Vektorgeometria
Vektor(ok) kivonaacutesa
ar
br ba =minus
vr
)b(-abarrrr +=minus
b-r
ar
br
)b(avr minus+
ar
br
barr minus a
r
br
abrr
minus
barr minus
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Robot kutyaYoutube robot dog boston dynamics httpsyoutubeM8YjvHYbZ9w
Mit kell tudni Matematik aacuteboacutel
Emleacutekeztet őI Vektorok
ar
br
ar
Vektorok oumlsszeadaacutesa
bavr +
b-r
cr
ar
ar
ar c
r
cbarrr ++
br
λ
abbarrrr +=+
br
br
br
br
br
Vektorgeometria
Vektor(ok) kivonaacutesa
ar
br ba =minus
vr
)b(-abarrrr +=minus
b-r
ar
br
)b(avr minus+
ar
br
barr minus a
r
br
abrr
minus
barr minus
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Mit kell tudni Matematik aacuteboacutel
Emleacutekeztet őI Vektorok
ar
br
ar
Vektorok oumlsszeadaacutesa
bavr +
b-r
cr
ar
ar
ar c
r
cbarrr ++
br
λ
abbarrrr +=+
br
br
br
br
br
Vektorgeometria
Vektor(ok) kivonaacutesa
ar
br ba =minus
vr
)b(-abarrrr +=minus
b-r
ar
br
)b(avr minus+
ar
br
barr minus a
r
br
abrr
minus
barr minus
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Emleacutekeztet őI Vektorok
ar
br
ar
Vektorok oumlsszeadaacutesa
bavr +
b-r
cr
ar
ar
ar c
r
cbarrr ++
br
λ
abbarrrr +=+
br
br
br
br
br
Vektorgeometria
Vektor(ok) kivonaacutesa
ar
br ba =minus
vr
)b(-abarrrr +=minus
b-r
ar
br
)b(avr minus+
ar
br
barr minus a
r
br
abrr
minus
barr minus
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Vektor(ok) kivonaacutesa
ar
br ba =minus
vr
)b(-abarrrr +=minus
b-r
ar
br
)b(avr minus+
ar
br
barr minus a
r
br
abrr
minus
barr minus
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Konponensek eacutes egyseacutegvektorok
x
y
ir
jr
rr
xr
yr
2
y
2
x rrrr +==r
Θ
x
y
r
rtan =Θ
Descartes koordinaacutetaacutek xr yramp
Polaacuter koordinaacutetaacutek r amp Θ
Θsdot= cosrrx
Θsdot= sinrry
jrirr yx
rrr +=
1ji ==rr
)rr(r yx=r
)r(r Θ=r
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Elemi vektoralgebra
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =+
rr
dj)b(ai)b(aba yyxx
rrrrr =+++=+
xd yd
cj)b(ai)b(aba yyxxrrrrr =minus+minus=minus
xc yc
j)cb(ai)cb(acba yyyxxx
rrrrr +++++++=+++
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Skalaacuterszorzat ϕsdot=sdot cosbabarrrr
ar
br
ϕ
Def
1jjii =sdot=sdotrrrr
eacutes 0ji =sdotrr
jaiaa yx
rrr += jbibb yx
rrr+= ba =sdot
rr
yyxx bababa +=sdotrr
ba
bacos rr
rr
sdotsdot=ϕ
Peacutelda munka
sFWrr
sdot=
zzba+
Szuperpoziacutecioacute
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Vektoriaacutelis szorzat
γsdot=times sinbabarrrr
kjirrr
=times ikjrrr
=timeseacutes
jikrrr
=timeseacutes de 0kkjjii =times=times=timesrrrrrr
Jobbkeacutez-szabaacutely
Peacutelda forgatoacutenyomateacutek
FrMrrr
times=
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Vektoriaacutelis szorzat kiszaacutemiacutetaacutesa
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx ==times
rrr
rr
( ) ( ) ( ) kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr
sdotminus+sdotminus+sdotminus=times
Szuperpoziacutecioacute
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
II Trigonometria
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
αα=α cossin2)2sin(
βαminusβα=β+α sinsincoscos)cos(+
αminusα=α 22 sincos)2cos(
βαminusβ+α=β+α
tgtg1
tgtg)(tg
+
1cossin 22 =α+α
HF )2(tg =α
)3cos( =α
2
cos =
α
Joacute tudni helliphellip
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
MATEMATIKA BEVEZETŐ1 Differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Mieacutert hasznos a differenciaacutelszaacutemiacutetaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg Pillanatnyi sebesseacuteg
Sebesseacuteg = uacutetidő
Peacutelda
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Uacutet-idő meacutereacutese diszkreacutet pontokban
s
t
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes a 4 s koumlzoumltt
t=1s
s=7m
Mekkora az aacutetlagsebesseacuteg a 3 eacutes az 5 s koumlzoumltt
s=16m
t=2s
Geometriai jelenteacutesα
A sebesseacuteg a viacutezszintessel bezaacutert szoumlg tangenseacuteta meredekseacuteget mutatja meg
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Az uacutet eacutes idő koumlzoumltt ismert a fuumlggveacutenykapcsolat
peacutelda
x(t2)
x(t1)
t1 t2
A sebesseacuteg meacuteg mindig aacutetlagsebesseacuteg (a szelő meredekseacutege)a kifejezeacutes a differenciahaacutenyados
Ha t2 nagyon megkoumlzeliacuteti t1-et (t2 = t1 + Δt eacutes Δt rarr 0 )
a differenciahaacutenyados hataacutereacuterteacuteke a differenciaacutelhaacutenyados a derivaacutelt
amely megmutatjaa pillanatnyi sebesseacuteget (az eacuterintőmeredekseacutegeacutet) t1-ben
x
t
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
dt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
A differenciaacutelaacutes (derivaacutelaacutes) alkalmazaacutesa
Hataacuterozzuk meg az y=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutegeacutet x=3 pontban
f(x)=x2
Keacutepezzuumlk a fuumlggveacuteny derivaacuteltfuumlggveacutenyeacutet vagy derivaacuteltjaacutet
f(x)=x2 frsquo(x)=2x
Helyettesiacutetsuumlk be az eacuterinteacutesi pont x koordinaacutetaacutejaacutet
frsquo(x=3)=2bull3=6
Az f(x)=x2 fuumlggveacuteny grafikonjaacutenak meredekseacutege az x=3 helyen 6
tgα=6
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Derivaacutelaacutesi szabaacutelyok
( ) xx ee =prime
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Oumlsszetett fuumlggveacuteny
Oumlsszetett fuumlggveacuteny derivaacutelaacutesa
(f(g(x)))rsquo=frsquo(g(x))bullgrsquo(x)
Peacutelda
(sin(3x2))rsquo=cos(3x2)bull6x
f(g(x))
f=sin(x) g=3x2
f(g(x))=sin(3x2)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Maacutesodik derivaacuteltf(x)=5x3
frsquo(x)=53x2=15x2
frsquorsquo(x)=152x=30x
Peacutelda
Alkalmazaacutes (pl)
x(t)=5t3
F=ma F kiszaacutemiacutethatoacute
xX(t)
1 D mozgaacutes
0
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Szeacutelsőeacuterteacutek meghataacuterozaacutesa
Peacutelda f(x)=2x3-21x2+60x+3
Hol van az f(x) fv szeacutelsőeacuterteacuteke
f(x) fuumlggveacuteny szeacutelsőeacuterteacuteke ott talaacutelhatoacute ahol frsquo(x)=0
frsquo(x)=6x2-42x+60
6x2-42x+60=0 x1=5 x2=2
Minimum vagy maximum
frsquo(x)=6x2-42x+60 frsquorsquo(x)=12x-42
frdquo(5)=18 frdquo(2)=-18Minimum Maximum
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Szokaacutesos jeloumlleacutes azidő szerinti derivaacuteltra
xdt
dxv amp==
xdt
xdv
dt
dva
2
2ampampamp ====
3D-benr
dt
rdv ampr
rr ==
rdt
rdv
dt
vda
2
2ampampr
r
amprr
r====
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Taylor-sor
)ax(2
)a(f)ax)(a(f)a(ff(x) 2 +minus
primeprime+minusprime+=
2
x1)xcos(
2+minus=
3
xx)xsin(
3+minus=
2
xx1e
2x +++=
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
2 Integraacutelszaacutemiacutetaacutes
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
CEacuteL
Goumlrbe alatti teruumllet meghataacuterozaacutesa
x1 x2 x1 x2
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Peacutelda
F F
s t
W=Fs I=Ftv
ts=vt
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Alsoacute-felső koumlzeliacutető oumlsszeg
Mineacutel finomabb a beosztaacutes az alsoacute eacutes a felső koumlzeliacutető oumlsszeg eacuterteacuteke annaacutel inkaacutebb megkoumlzeliacuteti egymaacutest
s(f) S(f)s(f) lt S(f)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
IntegraacutelHa a beosztaacutes minden hataacuteron tuacutel finomodik akkor
s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
ba
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Az integraacutel kiszaacutemiacutetaacutesaNewton-Leibniz teacutetel
Ha leacutetezik F(x) uacutegy hogy
F(x) az f(x)fuumlggveacuteny primitiacutev fuumlggveacutenye
Frsquo(x)=f(x)
A primitiacutev fuumlggveacuteny segiacutetseacutegeacutevel a hataacuterozott integraacutel kiszaacutemiacutethatoacute
int= dx)x(f)x(F
(Hataacuterozatlan integraacutel)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Peacuteldaf(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x33
Ellenőrzeacutes
(F(x))rsquo=f(x)
=(2)33-(1)33=73=233
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Integraacutelaacutesi szabaacutelyok ndash Primitiacutev fuumlggveacuteny
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Primitiacutev fuumlggveacuteny meghataacuterozaacutesa
intsin5(x)cos(x)dxPeacuteldaintsin(3x+5)dx
intsin(x5)x4dx
H F
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Parciaacutelis integraacutelaacutes
Peacutelda
Peacutelda2 H F
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Peacuteldaacutek
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Kinematika
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
A kinematika alapjai A toumlmegpont helyeacutenek megadaacutesa az id ő fuumlggveacutenyeacuteben
Toumlmegpont helyzete )(trr
Elmozdulaacutes )()( 12 trtrrrrr minus=∆
Megtett uacutet rΔs
i
isum=r
Kinematika rarr toumlmegpont helyzete rarr pl tenisz challange
Apophis kisbolygoacute
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Legegyszer űbb modell 1 D - mozgaacutes
0 x(t) x
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Definiacutecioacutek
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
dx
t
txttxtv
t=
∆minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
xsd [m] pontosabban keacutesőbb t [s]
Meacuterteacutekegyseacuteg ms
Elmozdulaacutes sumint ==minusi
ii
t
t
12 Δtvv(t)dt)x(t)x(t
2
1
Poziacutecioacute += 0x)t(x
v = 72 kmh = 20 ms
elmozdulaacutes
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Legegyszer űbb mozgaacutes egyenesvonaluacute egyenletes mozgaacutes
v = const
tx-x(t)
v o=
tvxx(t) o sdot+=
ts
v = tvs sdot=
x
t
xo
x(t)
v(t)
t
v
t
tvs sdot=
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
GPS
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Egy egyszer ű feladat
A B
s
Aacutetlagsebesseacuteg (laacutettuk)
Average velocity Average speed
12
12 )()(tt
txtx
idő
elmozdulaacutes
minusminus=
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Egy paradoxon Achilleus eacutes a tekn ősbeacuteka
Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet mert mire odaeacuter ahol a teknősbeacutekavolt eredetileg addig a teknős előbbre jutott eacutes iacutegy tovaacutebb hellip
x(t)
tt
Megoldaacutes Achilleus nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet amiacuteg nem eacuteri utol a teknősbeacutekaacutet
Hol a hiba
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Hosszuacutesaacuteg eacutes id őegys eacutegA maacutesodperc A maacutesodpercet eredetileg az aacutetlagosNap-nap segiacutetseacutegeacutevel lehetett meghataacuterozni annak 186400-ad reacutesze
Atomoacutera nagy pontossaacuteg1ms eacutev vagy jobb
A meacuteter 1 meacuteter a Foumlld keruumlleteacutenek (a Paacuterizson aacutetmenő deacutelkoumlrnek)140000000-od reacutesze rarr ősmeacuteter
A maacutesodperc az alapaacutellapotuacuteceacutezium-133 atom keacutet hiperfinomenergiaszintje koumlzoumltti aacutetmenetnek megfelelő sugaacuterzaacutes 9192631770 perioacutedusaacutenak időtartama
1 meacuteter Kr86 narancssaacuterga spektrumvonalaacutenak 165076373 - szorosa
Pontosabb definiacutecioacute jegyzet
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
v ne const rArr v = v(t)
Gyorsulaacutes
12
12
-tt
))-v(tv(t
Δt
Δva
aacutetl==Def aacutetlagos gyorsulaacutes
2s
m
t1 t2
∆v
∆t
α
v(t2)
v(t1)
t
aaacutetl = tgαv(t)
Def pillanatnyi gyorsulaacutes
dt
dv
Δt
tvttvta
t=minus∆+=
rarr∆
)()()( lim
0
0
i
ii vta)t(v +∆=sum
0
i
ii xtv)t(x +∆=sum
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Mozgaacutes aacutelland oacute gyorsulaacutessal
a = const
t
v(t)-va o=
tavv(t)o
sdot+=
v(t)
t
a gt 0 v(t)
t
vo
a lt 0
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
int intint ++prime
=+=
primett
xtvddaxdvtx0
00
0
0
0
)()()( ττττττ
t
vo
∆v=at
tvo sdot
2at21
Elmozdulaacutes eacutes poziacutecioacutev
t
2
21
attvso
+sdot=Elmozdulaacutes
( ) 2
21
attvxtxoo
+sdot+=
Laacutettuk
Poziacutecioacute
v1
t
v2
a = const
a
vvt
vvs
22
2
1
2
221 minus=+=
v
t
a = constv0 = 0
a
vvtats
2221 2
2 ===
t
vv
t
a = const v1 = v0
v2 = 0
t
v
v0
a
vtvtas
2221 2
002 ===
Feladatmegoldaacuteshoz hasznos formulaacutek
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Szabadeseacutes
g = 981 ms2 asymp 10 ms2
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Mintapeacuteldaacutek hellip
2 ea 2D eacutes 3D mozgaacutes + koordinaacutetarendszerek
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
2D eacutes 3D mozgaacutes
Aacutetlagsebesseacuteg (vektor) t
rv
aacutetl ∆∆=r
r
idő
elmozdulaacutesv
aacutetl=
r
Aacutetlagsebesseacuteg
oumlssz
oumlsszaacutetl t
sv =
Pillanatnyi sebesseacutegdt
rdtv
rr =)(
Mivel t
udrrdrr =
tur
eacuterintő iraacutenyuacute egyseacutegvektor
dt
udru
dt
drtv t
t
rrr +=)(
tvr
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
x
y
rr
rer
ϕer
rerrrr =
vr
rrererr amprr
ampampr +=
ϕϕeer
rampamp
r =r
eerampamp
r ϕϕ minus=
)(ter
r
)(teϕ
r
)( dtter
+r
redr
)( dtte +ϕ
r
ϕedr
rvr
tvr
ϕϕererrvr
ramp
rampamp
rr +==
ϕϕϕ ϕϕϕ ererererervarr
ampramp
rampamp
rampampamp
ramp
rampampamp
rr ++++==
( ) ( ) ϕϕϕϕ errerrar
rampampampamp
rampampamp
r ++minus= 22
rvr
tvr
ϕd
Polaacuterkoordinaacutetaacutek r ϕ
ϕ
(siacutekbeli)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
00
)()( rdvtrt
rrr += int ττA toumlmegpont helyzete
A toumlmegpont aacuteltal megtett uacutet ττ dvst
int=0
)(
A toumlmegpont gyorsulaacutesa ( )ttt
uvuvuvdt
d
dt
vda amp
rramp
rr
r +===
R
v
dt
du
R
vdt
u
dut
t
t =rArr= r
nR
vuva t
rramp
r2
+=
(egyszerűen)
ta
cpa
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
cpar (t)v
r
tar
R
ar
tcp aaarrr +=
cpar
tar
ahol t
vlima
0tt ∆
∆=rarr∆
22
tcpaaa +=
v ne const
cpar
(t)vr
tar
R
ar
v csoumlkken 0 at lang
0 at rangv noumlvekszik
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Egy speciaacutelis eset consta =r
2
21
tatvr(t)roo
sdot+sdot+= rrrrtav(t)v
osdot+= rrr
2
21
tatvxx(t)xxoo
+sdot+=
tav(t)vxoxxsdot+=
2
21
tatvyy(t)yyoo
+sdot+=
tav(t)v yoyy sdot+=
Viacutezszintes mozgaacutes
Fuumlggőleges mozgaacutes
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Hajiacutetaacutes
ovr
oxvr
oyvr
s
Θvvooxcos=
Θvv ooy sin=
g
vt oy2=
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
fuumlggőleges mozgaacutes
2
21
tatvyy(t)yoyo
++=
0== fo yy
2
21
0 tatvyoy
+=
g
Θv
a
vt o
y
oy sin22=minus=
Θtvtvx(t)ooxcos==
g
ΘvΘvΘtvtv o
ooox
sin2coscoss sdot===
Θ
viacutezszintes elmozdulaacutes
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
A nagy Bertha eacutes tsi
vo = 1700 ms
θ = 55deg
s =
h =
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Egy joacute strateacutegia a h oacutegolyoacutecsataacutehoz avagy hogyan lehet a laacutenyokat (fiuacutekat) hoacutegolyoacuteval eltalaacutelni
( )απα minus= sinsin
Θ)(g
vs o 2sin
2
=
Tudjuk (alg)
( ) ( )βπ 2sin2sin)2sin( =minus= ΘΘ
Θminus=2πβ
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Egy uacutejabb p eacutelda avagy mieacutert eacutepiacutetetteacutek a vaacuterakat hegytetőre
1 megoldaacutes ax ay
2 megoldaacutes y(x)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Ciklois goumlrbe
x(t) =
y(t) =
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Koordinaacuteta rendszerek
Descartes-feacutele koordinaacuteta rendszer
)( zyxkzjyixr =++=rrrr
Henger koordinaacuteta rendszer
)( zrr ϕ=r
x y
z
rr
ϕz
ρ
kzjyixvrramp
ramp
ramp
rampr ++==
kzjyixavrrampamp
rampamp
rampamp
rampr
ampampr ++===
kzerrrr += ρρ
kzeevrramp
ramp
ramp
rampr ++== ϕρ ϕρρ
kzeeavrrampamp
rrrampr
ampampr ++=== ϕρ ()()
Siacutekbeli polaacuter
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Goumlmbi koordinaacutetarendszer
x y
rr
ϕ
θ
z
)( θϕrr =r
rerrrr =
rer
ϕer
θer
θϕ θϕθ ererervrr
rampramp
ramp
rampr ++== sin
FHavr === rampr
ampampr
Segiacutetseacuteg kjΘiΘer
rrrr)cos(sinsincossin Θ++= ϕϕ
jierrr ϕϕϕ cossin +minus=
kΘjΘiΘeΘ
rrrrsinsincoscoscos minus+= ϕϕ
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)
Kinematika rarr dinamika
Kepler toumlrveacutenyek
Nap
1
Nap
2
Nap
2a3
3
2
consta
T =
A1
A2
A1 = A2
(Tycho de Brahe)