Kinematik

Fiz 1011

Ders 3

http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/

Bir Boyutlu Hareket

İki ve Üç Boyutta Hareket

Yerdeğiştirme, Hız ve Sürat

Serbest Düşen Cisimler

Yerdeğiştirme, Hız ve İvme

Vektörleri

Eğik Atış Hareketi

Düzgün Dairesel Hareket

Teğetsel ve Radyal İvme

Hareketli taneciğin uzayda geçtiği noktaları birleştiren

eğriye denir.

Yörünge :

Kinematik (Hareket Bilgisi)

Hareket : Sabit kabul edilen bir noktaya (referansa) veya sisteme

göre bir cismin yerinin zamanla değişmesine hareket denir.

Kinematik (Hareket Bilgisi)

Uzaydaki yeri sabit kabul edilen noktaya kıyas (referans) veya referans

noktası adı verilir.

Hareketi başlıca iki gruba ayırabiliriz.

Öteleme (translasyon) hareketi

veya paralel kayma hareketi. Dönme (rotasyon) hareketi veya

açısal hareket.

Bir Boyutlu Hareket (Doğrusal Hareket)

Şekildeki gibi bir otomobilin düz bir yolda sürüldüğünü düşünelim.

Hız ve Sürat

Şekildeki gibi bir otomobil A noktasından düz bir yolda B noktasına sonra A,

C, D ve E noktasına gittiğini düşünelim.

Ortalama Hız : Vektörel bir büyüklük

olup yerdeğiştirmenin zamana

oranıdır.

-son ilkort

x xxv

t t

tanv

Ortalama Sürat : Skaler bir büyüklük

olup yolun zamana oranıdır.

Yolv

t

v > 0 pozitif bir değerdir.

Hız ve Sürat Örnek : 3.1

x ekseni boyunca hareket eden belli bir parçacık için yerdeğiştirmenin

zamana göre değişimi şekilde görüldüğü gibidir.

a) 0 ile 2 s,

b) 0 ile 4 s,

c) 2 ile 4 s,

d) 4 ile 7 s,

e) 0 ile 8 s zaman aralıklarında ortalama hızı ve ortalama sürati bulunuz.

Otalama ve Ani Hız

Ani Hız : A noktasındaki ani hız, A noktasından

geçen teğet doğrusunun eğimidir.

dt

dx

t

xlimv

0t

tanv

Ortalama Hız : Vektörel bir büyüklük olup

yerdeğiştirmenin zamana oranıdır.

-son ilkort

x xxv

t t

tanv

Otalama ve Ani İvme

Ortalama İvme :Hız-zaman grafiğinde A

noktasından B noktasına çizilen doğrunun

eğimidir.

dt

dv

t

vlima

0t

tana

t

vv

t

va ilkson

ort

tana

Birim zamanda hızda meydana gelen değişmedir.

Ani İvme : A noktasındaki ani ivme, hız-zaman

grafiğinde A noktasından geçen teğet

doğrusunun eğimidir.

Sabit İvmeli Hareket a = sabit

İvme - Zaman grafiği

tav tavv is

tvx i1

2

tvx2

tav

21 xxx

Örnek : Serbest düşme, Yukarı düşey atış hareketi vb.

İvme-Zaman grafiğinin altındaki alan hızdaki

değişimi verir.

t

v a

t2

vvAlan si

Hız-Zaman grafiğinin altındaki alan konum

değişimini verir. Yamuğun ananıdır.

Gri üçgenin alanı :

Mavi dikdörtgenin alanı :

2i ta

2

1tvx

Hız - Zaman grafiği

Konum-Zaman grafiğinin eğimi hızı verir.

Konum - Zaman grafiği

t

xv

Sabit İvmeli Harekette Kinematik Denklemler

t t 0 t

0v v v Değerlerini yazarsak

0v v a t Zamanın fonksiyonu olarak hız.

2

0 0

1x x v t a t

2 Zamanın fonksiyonu olarak yerdeğiştirme

( )2 2

0 0v v 2 a x x Yerdeğiştirmenin fonksiyonu olarak hız.

Sabit İvmeli Hareket

Bir cisim yatay bir buz tabakası üzerinde itiliyor ve 5.00 s. sonra

25.0 m. uzakta duruyor. Cisme verilen ilk hızı hesaplayınız.

Örnek 3.2

Serbest Düşme Hareketi Sabit ivmeli harekete en iyi bilinen örneklerden biri

dünyanın yerçekimi etkisiyle serbest düşen cisimlerin

hareketidir.

/ˆ ˆ. 2m s gg 9 81 j j

Örnek : 3.3

/ˆ ˆ. 2m sg g j 9 81 j

Bir Lira’lık bir para Pisa’daki eğik kulenin

tepesinden serbest bırakılır.

Paranın 1.00 s, 2.00 s ve 3.25 s deki konum ve

hızlarını bulunuz?

Yeryüzünde Düşey Hareketler Örnek : 3.4

5,00 m/s sabit bir hızla yukarı doğru çıkmakta olan sıcak hava balonu

yerden 40,0 m yükseklikte iken bir kum torbası bırakmıştır.

a) Kum torbası bırakıldıktan 0,250 s ve 1,00 s sonra

yerden kaç metre yüksekte olduğunu ve o anki hızını

bulunuz?

b) Torba bırakıldıktan kaç saniye sonra yere düşecektir?

c) Yere çarpmadan hemen önce hızının büyüklüğü ne

olacaktır?

d) Kum torbası yere çarptığı anda balon kaç metre

yüksekliğe ulaşmış olacaktır? (Balonun hızının sabit

olduğunu varsayınız)

e) Balondaki kişiye göre safranın uzaklığı zamana göre

nasıl değişir, grafiğini çizerek gösterin.

Yeryüzünde Düşey Hareketler Örnek : 3.6

1865 de Jules Verne, 220 m uzunluğundaki bir top içerisine yerleştirilen bir kapsülü

10,97 km/s hıza ulaşacak şekilde fırlatarak insanları aya göndermeyi önerdi.

Fırlatma esnasında uzay yolculuğu yapacak kişinin gerçek olmayacak kadar büyük

olan ivmesi nedir? Bu değeri 9,81 m/s2 ile karşılaştırınız.

(Serway, s52 / 21).

Örnek : 3.7

Uzunluğu 8,00 m olan bir otobüs 72,0 km/h hızla gitmekte iken uzunluğu 17,0 m

olan ve 54,0 km/h hızla yol alan bir tırı yetişip onu geçiyor.

a) Geçiş süresini,

b) Bu süre içinde her bir aracın aldığı yolu bulunuz.

İki ve Üç Boyutlu Hareketler

Noktasal bir cismin A noktasından B noktasına t

sürede gittiğini varsayalım.

Yerdeğiştirme : B Ar r r

Ortalama Hız : ort

B A

B A

r rr

t t tv

Ani Hız :

t 0

r drlim

t dtv

ˆ ˆ ˆ dr d d d

dt dt dt dt

x y zv i + j k

ˆ ˆ ˆ r x i y j z k

d

dtx

xv

y

d

dt

yv

d

dtz

zv

Konum ve Hız Vektörleri

P noktasında bulunan noktasal bir cismin konumu

İki ve Üç Boyutlu Hareketler

Ortalama İvme : ort

B A

B A

at t t

v vv

Ani İvme :

İvme Vektörü

İvme bir boyutlu harekette olduğu gibi parçacığın hızının nasıl değiştiğini

tanımlar. Hız (iki veya üç boyutlu) bir vektör olacağından ivme hızın hem

büyüklüğündeki (süratini, şiddetini) hem de yönündeki değişiklikleri

gösterecektir.

Şekilde virajlı (eğri) bir yolda hareket eden arabanın (cismin) t sürede A

noktasında B noktasına geldiğini düşünelim.

t 0

da lim

t dt

v v

İki ve Üç Boyutlu Hareketler İvmenin Paralel ve Teğet Bileşenleri

Yola paralel (teğet) bileşen cismin hıznın şiddetinin değiştirir yönünde bir

değişim yapamaz.

Yola dik (radyal) bileşen cismin hızının şiddetinde bir değişim yapamaz

sadece yönünü değiştirebilir.

Dairesel Hareket

Dairesel yolda

hızlanan hareket

Dairesel yolda

yavaşlayan hareket

Düzgün Dairesel

hareket

a a a

2 2

Eğik Atış Hareketi (Sabit İvmeli Hareket)

Sabit ivmeli bir hareket olup ivme negatif y yönündedir. z ve x

doğrultularında ivmenin olmayışı hareketi (hız vektörünün

içine alan) düzlem içine sınırlandırır. Bu nedenle hareket iki

boyutlu olarak ele alınabilir.

Eğik Atış Hareketi Yatayla açısı yapacak şekilde m kütleli bir cisim vo başlangıç

hızıyla fırlatılan bir cismi ele alalım.

ˆ ˆ ˆa a a g x yi j j

Cisme uygulanan ivme g yerçekim ivmesidir. Oda –j yönündedir.

ˆ ˆr x i y j ˆ ˆ x yv v i v j

Eğik Atış Hareketi Örnek : 3.5

Bir kayak sporcusu, kayak pistini yatay 25.0 m/s lik bir hızla terkeder.

İnişinde 35º eğimi bir düzleme inmekte olduğuna göre, pisti terk ettiği

nokta ile eğik düzleme değdiği nokta arasındaki mesafe nedir?

Eğik Atış Hareketi Örnek : 3.6

Bir gemi rıhtıma 45.0 cm/s süratle yaklaşıyorken, kıyıdaki fenerin

tepesinden gemiye yatayla 60.0º ve 15.0 m/s hızla bir paket atılacaktır.

Fener gemi güvertesinden 8.75 m daha yüksektedir. Bu paketin

gemiye düşmesi için gemi fenere hangi uzaklıkta iken paket

atılmalıdır?

Dairesel Hareket

Dairesel yolda

hızlanan hareket

Dairesel yolda

yavaşlayan hareket

Düzgün Dairesel

hareket

a a a

2 2

Düzgün Dairesel Hareket

(a) (AOB) üçgeni ve (b) de hız vektörlerinin oluşturduğu üçgen benzerdir.

Benzerlik oranlarından

rad

sa

t R t

v v B

s

R

v

v

s

Rv v

radt 0

a limt

v

rad

t 0 t 0

s s dsa lim lim

R t R t R dt

v v v

2

radaR

v

Düzgün Olamayan Dairesel Hareket Bu harekette cisme ait hızın şiddeti değişmektedir.

Düşey doğrultuda bir ipin ucuna bağlı m kütleli bir cismin döndürülmesi

durumunda yapacağı harekete ilişkin ivme ve hızın değişimleri görülmektedir.

2

radaR

v

tan

d da

dt dtr r

v w

Dairesel Hareket Örnek : 3.7 – Sallanan Top

0.50 m uzunluğunda bir ipin ucuna bağlanan m kütleli bir top,

şekildeki gibi, yerçekiminin etkisi altında düşey bir daire çevresinde

salınmaktadır. İp düşeyle 20º ’lik açı yaptığı zaman, top 1.50 m/s ‘lik

hıza sahip olduğu bilindiğine göre topun sahip olduğu ivmeyi ve iple

yaptığı açıyı bulunuz?

Problemler Durgun suda 15.0 km/h hızla giden bir motor, 3.00 km/h akıntısı olan bir nehirde,

a) Akıntıya karşı,

b) Akıntı yönünde

40.0 km mesafeyi ne kadar zamanda gider?

1.

2. Bir cisim yerden 60,0 m yükseklikten 20,0 m/s’lik hızla, düşey olarak aşağıya doğru

atılıyor. Cismin;

a) Atıldıktan 1 saniye sonra yerden yüksekliğini,

b) Yere çarpma hızını, bulunuz.

Uzunluğu 8,00 m olan bir otobüs 72,0 km/h hızla gitmekte iken uzunluğu 17,0 m olan

ve 54,0 km/h hızla yol alan bir tırı yetişip onu geçiyor.

a) Geçiş süresini,

b) Bu süre içinde her bir aracın aldığı yolu bulunuz.

3.

Bir jet, uçak gemisine 140 mi/saat (63,0 m/s) hızla 2,00 s’de iniyor.

a) Jet 2,00 s sonra duruyorsa ivmesi nedir?

b) Jet yavaşlarken yerdeğiştirmesi nedir?

4.

Bir şoför, yolu kapatan bir ağaç gördüğü anda frene basar ve -5,60 m/s2’lik ivme ile

4,20 s’de 62,4 m’lik fren izi bırakarak ağaca çarpar. Otomobilin ağaca çarpış hızını

bulunuz?

5.

3. 5. 6. 7. 8.

9. Gittiği yol s=27t+5t2 (m) denklemi

ile verilen bir hareketlinin, (DF.62/3)

a) Hızını ve ivmesini bulunuz?

b) t=5,00 s yede hızının ve ivmesinin şiddeti nedir?

10. Maksimum frenlenme ivmesi 2,50 m/s2 olan bir

tren 54,0 km/h hızla gitmektedir. Trenin makinisti, duracağı

istasyona en az kaç metre kala fren yapmalıdır? (DF.63/12)

11. 10,0 m/s’lik bir başlangıç hızı ile bir kuyuya

atılan 100 gr’lık bir taşın 3,00 saniye sonra suya vurduğu

tespit edildiğine göre kuyunun derinliği kaç metredir?

(DF.64/24)

Problemler 1865 de Jules Verne, 220 m uzunluğundaki bir top içerisine yerleştirilen bir kapsülü

10,97 km/s hıza ulaşacak şekilde fırlatarak insanları aya göndermeyi önerdi. Fırlatma

esnasında uzay yolculuğu yapacak kişinin gerçek olmayacak kadar büyük olan ivmesi

nedir? Bu değeri 9,81 m/s2 ile karşılaştırınız.

1.20 km yüksekte 600 km/h hızla yatay uçmakta olan uçaktan yerdeki bir noktaya

yardım paketi atılacaktır. Pilotun yardım paketini bırakacağı anda hedef

doğrultusunun düşeyle yapacağı açı ne olmalıdır?

6.

7.

Başlangıçta orjinde yerleştirilmiş bulunan bir parçacık, a=3.00 j m/s2 lik bir ivmeyle ve

vi=5.00 i m/s lik bir ilk hıza sahiptir.

a) Herhangi bir t anındaki konum vektörü ve hızı,

b) t=2 s deki parçacığın koordinatı, hızı ve hızının büyüklüğünü bulunuz?

8.

Garip bir gezegende bulunan bir astronot, ilk hızı 9.00 m/s iken 15.0 m lik maksimum

yatay bir uzaklığa sıçrayabilmektedir. Bu gezegende 1.00 kg kütleli bir cismi 1.00 m

yükseklikten serbest bırakırsak kaç saniyede yere düşer?

9.

Bir gemi rıhtıma 45.0 cm/s süratle yaklaşıyorken,

kıyıdaki fenerin tepesinden gemiye yatayla 60.0º ve 15.0

m/s hızla bir paket atılacaktır. Fener gemi güvertesinden

8.75 m daha yüksektedir. Bu paketin gemiye düşmesi

için gemi fenere hangi uzaklıkta iken paket atılmalıdır?

10.

11. Bir kayak sporcusu, kayak pistini yatay 25.0 m/s lik bir hızla terkeder. İnişinde 35o eğimi bir düzleme inmekte olduğuna göre, pisti terk ettiği nokta ile eğik düzleme

değdiği nokta arasındaki mesafe nedir?

Başlangıçta orjinde yerleşmiş bulunan bir parçacık, a = 3.00 j m/s2 lik bir ivmeyle

ve vi = 5.00 i m/s lik bir ilk hıza sahiptir.

a) Herhangi bir t zamanındaki konum vektörünü ve hızı nedir?

b) Parçacığın t = 2.00 s deki koordinatlarını ve hızının büyüklüğünü (süratini)

bulunuz?

Bir barda, müşteri, yeniden doldurulmak üzere boş bir bira bardağını tezgah

üzerinde kaydırır. Barmen bir an dalar ve bardak tezgahın kenarından kayarak

tabandan 1.40 m uzakta döşemeye çarpar. Tezgahın yüksekliği 0.86 m ise,

a) Bardak tezgahı hangi hızla terkeder?

b) Tam döşemeye çarpmadan önce bardağın hızının dorultusu nedir?

Namlu hızı 1000 m/s olan bir top bir dağın yamacı üzerinde bir çığ başlatma için

kulanılmaktadır. Hedef toptan yatay olarak 2000 m ve yukarıya doğru 800 m

uzaktadır. Top hangi açıyla ateşlenmelidir?

12.

13.

14.

11. Bir ipin ucuna bağlı 2,00 kg kütleli bir cisim şekildeki gibi 1,20 m yarıçaplı dairesel

bir yörüngede döndürülmektedir. Cismin A ve B noktalarındaki hızın şiddeti

vi=1,50 m/s ve dairenin merkezi yerden 1,50 m yukarıda olduğu bilinmektedir.

a) A noktasında

b) B noktasında cisim serbest bırakılırsa taşın yere düştüğü noktanın O noktasına

olan uzaklığı (menzili) nedir?

c) A ve B noktalarında cisim bırakılmadan önce taşın ivmesi nedir?