Fisika Matematika
-
Upload
novida-ismiazizah -
Category
Documents
-
view
100 -
download
20
description
Transcript of Fisika Matematika
![Page 1: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/1.jpg)
SUSIANA (120210102020)(5)PRETY ENGESTIANA (120210102058)(17)RAFIDATUL ANISA (120210102064)(20)SISCAWATI RIZKI L. (120210102085)(23)
![Page 2: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/2.jpg)
TRANSFORMASI INTEGRAL
![Page 3: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/3.jpg)
Dengan integrasi ini, suatu fungsi yang semula merupakan fungsi t akan berubah menjadi fungsi s, dimana
Transformasi ini akan mengubah fungsi waktu f(t) ke fungsi kompleks F(s)
Transformasi Laplace sebuah fungsi waktu didenisikan sebagai :
dtetfsFtf st
.)()()]([0
L
js
)]([ tfL
![Page 4: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/4.jpg)
Carilah transformasi laplace dari sebuah fungsi waktu, jika f(t)=1
![Page 5: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/5.jpg)
Diket : f(t)=1Ditanya : L[f(t)]Jawab :
ssFtf
ssFtf
es
es
sFtf
es
sFtf
dtesFtf
dttfesFtf
st
st
st
1)()]([
10)()]([
11)()]([
1)()]([
1)()]([
)()()]([
0
0
0
0
L
L
L
L
L
L
![Page 6: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/6.jpg)
Carilah transformasi laplace dari fungsi-fungsi berikut :
1.Jika2.Jika3.Jika
atetf )(atetf )(
tietf )(
![Page 7: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/7.jpg)
1.
atetf )(
assFtf
ase
ase
assFtf
eas
dtedteesFtf
dttfesFtf
asas
tastasatst
st
1)()]([
1.1
011
)()]([
1)()]([
)()()]([
0)()(
0
)(
0
)(
0
0
L
L
L
L
![Page 8: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/8.jpg)
2. atetf )(
assFtf
ase
ase
assFtf
eas
dtedteesFtf
dttfesFtf
asas
tastasatst
st
1)()]([
1.1
011
)()]([
1)()]([
)()()]([
0)()(
0
)(
0
)(
0
0
L
L
L
L
![Page 9: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/9.jpg)
3. tietf )(
issFtf
ise
ise
issFtf
eis
eis
sFtf
eis
dtedteesFtf
dttfesFtf
isis
tististist
st
1)()]([
1.1
011
)()]([
11)()]([
1)()]([
)()()]([
0
0)()(
0
)(
0
)(
0
0
L
L
L
L
L
![Page 10: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/10.jpg)
Carilah transformasi laplace dari Jawab :Berdasarkan hubungan EulerMaka :
ttf cos)(
)sin(cos.
bibeeeee
aiba
ibaiba
bibeibe
bibibe
bibibe
cos2
sincos
sincos
2cos
2cos
tietietmaka
ibeibeb
![Page 11: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/11.jpg)
0)()(
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(
00
00
)(
1
)(
1
2
1][cos
)(
1
)(
1
2
1][cos
2
1][cos
2
1][cos
2
1][cos
)()(2
1][cos
sisi
tistsi
tistsi
tisttist
tisttist
titi
esi
esi
t
eis
esi
t
dtedtet
dtedtet
dteedteet
eet
L
L
L
L
L
LLL
0)()(
)(
1
)(
1
isis e
ise
is
![Page 12: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/12.jpg)
Lanjutan
2222
22222222
)(
2
2
1][cos
)1(
2
2
12
2
12
2
1][cos
))((
)()(
2
111
2
1][cos
10
10
2
1][cos
s
s
s
st
s
s
si
s
sisisi
st
issi
siis
issit
issit
L
L
L
L
![Page 13: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/14.jpg)
gbfatbgtaf
dttgebdttfeatbgtaf
dttbgedttafetbgtaf
dttbgtafetbgtaf
stst
stst
st
LL L
L
L
L
)]()([
)()()]()([
)()()]()([
)()()]()([
0 0
0 0
0
![Page 15: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/15.jpg)
Carilah transformasi laplace dariJawab:
)31()( 2tetf
2
3131
2
103
1031
2
1
2
13
1131
2
13
13
131
.31.3131
)()(
2
2
002
0
)2(
00
)2(
0
2
0
2
0
22
0
sse
sse
es
es
es
es
e
es
es
dtees
e
dteedteee
dttfesFf
t
t
t
ststststt
tst
st
tt
st
L
L
L
L
LLL
L
![Page 16: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/16.jpg)
Transformasi laplace dari suatu fungsi dapat dilihat sebagai berikut:
Jika
Tranformasi laplace dari integrasi suatu fungsi diatas adalah :Dengan mengingat
t
makadxxftf0
1 .)()(
'',
''
)(
vuuvuvmaka
vuuvuv
vduudvuvd
)(
)(
1
0
1
xfdu
dxxfu
misalt
s
ee
sv
dtedvst
st
st
1
0
)()()([ dtetfsFtf stL
![Page 17: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/17.jpg)
Maka
s
sFsFtf
dxxfes
sFtf
dxxfs
ee
sdxxfe
sdxxfsFtf
dxxfs
ee
sdxxfsFtf
dtedxxfdtetfsFtf
st
st
stst
t
stt
st
)()()]([
)(1
00)()]([
)(1
.)(1
.)()()]([
)(1
.)()()]([
)()()()]([
1
1
0
1
0
00
0
1
0
1
1
000
1
0 0 0
1
L
L
L
L
L
![Page 18: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/18.jpg)
Transformasi laplace dari suatu diferensiasi dapat dilihat sebagai berikut:
Jika maka transformasi laplacenya adalah :
Dengan mengingat
dt
tdftf
)()( 1
0
1
0
)()()()( dte
dt
tdfdtetfstf ststFL
'',
''
)(
vuuvuvmaka
vuuvuv
vduudvuvd
dt
tdfdu
tfu
misal
)(
)(
1
1
s
ee
sv
dtedvst
st
st
1
![Page 19: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/19.jpg)
Maka dapat diselesaikan
0
)(1
0)()()( dt
ste
dt
tdfdt
stetfsFtfL
)0()()(
)()0().(
)()0(
1)(
)(1)0(0)(
)(1).0().()(
)(.).()(
11
11
11
0
11
0
10
11
0
1
0
1
fssdt
tdf
dt
tdffssF
dt
tdff
ssF
dtdt
tdfe
ss
fsF
dtdt
tdfe
ss
ef
s
efsF
dtdt
tdf
s
e
s
etfsF
st
st
stst
FL
L
L
![Page 20: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/20.jpg)
Jadi transformasi laplace dari suatu diferensiasi adalah
Untuk turunan yang lebih tinggi : Jika
Jika
)0()()(
fssdt
tdf
FL
)0(')0()()()(
)( 1112
2
fsfsssdt
tfdtf FF
)0(")0(')0()()()(
)( 1112
13
31
3
fsffssssd
tfdtf FF
![Page 21: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/21.jpg)
Jika suatu fungsi f(t) mengalami pergeseran sebesar a ke arah sumbu -t positif, maka persamaan fungsinya akan berubah menjadi
Maka transformasi laplace dari fungsi yang tergeser adalah
Dengan mengganti peubah integrasinya dari t menjadi
Maka didapat :
)( atf
0
dta)ef(ta)f(t stL
dtd
dtd
at
0
)( at
![Page 22: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/22.jpg)
Maka persamaan diatas dapat diubah menjadi :
)()]([
)()]([
)()]([
)()]([
0
0
0
)(
sFeatf
defeatf
deefatf
defatf
as
sas
sas
as
L
L
L
L
![Page 23: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/23.jpg)
Jika suatu fungsi dalam skala yang lebih besar f(at), maka transformasi laplace dari bentuk ini adalah
dengan mengganti adtd
at
a
sF
adef
aatf
a
defdteatfatf
a
s
a
sst
)(1)(
1)]([
)()()]([
0
00
L
L
a
sst
a
ddt
![Page 24: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/24.jpg)
1
)(tf )]([)( tfsF L
t
ate
atte
tsin
s
1
2
1
s
as 1
2)(
1
as
22 s
tcos22 s
s
)(tf )]([)( tfsF L
atsinh 22 as
a
atcosh
nt 1
!ns
n
22 as
s
atnet 1)(
1 nas
)(t 1
![Page 25: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/25.jpg)
1. Buktikan bahwa transformasi laplace dari 2. Dengan menggunakan tabel transformasi
laplace, Tentukan transformasi laplace dari
22][sin
s
tL
tttf 3cos53sin2)(
![Page 26: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/26.jpg)
1. Berdasarkan hubungan euler
biibeibe
bibibe
bibibe
sin2
sincos
sincos
)sin(cos
.
bibaeibae
ibeaeibae
)(21
2sin
2sin
tietieii
tietietmaka
i
ibeibeb
![Page 27: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/27.jpg)
22
00
0
)(
0
)(
0 0
)()(
0
)()(
0
0 0
0
2
2
1][sin
)()(
))((
2
1][sin
11
2
1][sin
1111
2
1][sin
11
2
1
2
1][sin
2
1).(.
2
1][sin
)(2
1.sin][sin
)()]([
s
i
it
isis
isis
it
isisit
eis
eis
eis
eisi
t
eis
eisi
dtedtei
t
dteei
dteeeei
t
dteeei
dtett
dtetftf
tistististis
tsitsisttistti
sttitist
st
L
L
L
L
L
L
L
L
![Page 28: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/28.jpg)
2.
9
563cos53sin2)]([
9
5
9
63cos53sin2)]([
35
3
323cos53sin2)]([
523cos53sin2)]([
]3[cos5]3[sin23cos53sin2)]([
][cos
][sin
3cos53sin2)(
2
22
2222
2222
22
22
s
stttf
s
s
stttf
s
s
stttf
s
s
stttf
tttttfs
st
st
tttf
LL
LL
LL
LL
LLLL
L
L
![Page 29: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/29.jpg)
4
4
4
4
4
4
41
4]4[
]4
1[]4[
)0()]}([{]4[
)0()()]([
4
0.44
44
sss
s
s
s
s
se
es
se
fese
fssFtfdt
d
t
t
tt
L
L
LL
L
![Page 30: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/30.jpg)
Untuk merepresentasikan sinyal aperodik (dipandang sebagai sinyal periodik dengan periode tak hingga).
Untuk merepresentasikan sinyal aperodik (dipandang sebagai sinyal periodik dengan periode tak hingga).
Metode untuk mengubah gelombang dalam domain waktu menjadi domain frekuensi
Metode untuk mengubah gelombang dalam domain waktu menjadi domain frekuensi
![Page 31: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/31.jpg)
)(
dtetfF tj
Deret Fourier EksponensialDeret Fourier Eksponensial Transformasi FourierTransformasi Fourier
![Page 32: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/32.jpg)
Deret Eksponensial
tjn
T
T
tjn
tjn
T
T
tjn
edtetftf
edtetfT
tf
0
0
0
0
0
0
0
0
..)(2
1)(
.)(1
)(
0
2
2
2
20
00
2 dimana
T
![Page 33: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/33.jpg)
dtetfF
deFdedtetftf
tj
tjtjtj
)()(
)(2
1)(
2
1)(
)(menuju diperbesar 0T
d sehingga kecilsemakin maka diperbesar T 00
![Page 34: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/34.jpg)
SEHINGGA DIDAPAT :SEHINGGA DIDAPAT :
)()()(
)()(2
1)( 1
tfFdtetfF
FFdeFtf
tj
tj
![Page 35: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/35.jpg)
Diketahui grafik fungsi f(t) sebagai berikut, hitunglah transformasi Fourier dari F(ω):
5
0-1 1
f(t)
![Page 36: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/36.jpg)
sin10)(
sin10)(
sin25
)(
5)(
5)(
5)(
)()(
11
1
1
1
1
F
j
jF
jj
F
j
eeF
dteF
dteF
etfF
jj
tj
tj
tj
![Page 37: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/37.jpg)
1. KELINIERAN1. KELINIERAN
)()()()(: maka
)()(dan )()(:jika
2121
2211
BFAFtBftAfF
FtfFFtfF
2. PEMBALIKAN2. PEMBALIKAN
)()()()(
:
)()( maka )( jika
FdeffFtfF
bukti
FtfFFtfF
j
t- dimana
![Page 38: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/38.jpg)
3. SIMETRIS3. SIMETRIS
detFf
deFtf
deFtf
fFtfF
tj
tj
tj
)()(2
:makakan dipertukar dan t jika
)()(2
)()(2
balik) asi(transform : bukti
)(2f(t)F maka )( jika
![Page 39: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/39.jpg)
4. PERGESERAN WAKTU4. PERGESERAN WAKTU
)(
)(
)()(
:
)(T)-f(tF maka )( jika
)(
Fe
daeafe
dteTtfTtfF
bukti
FeFtfF
Tj
ajTj
aTj
Tj
aTt
dtda
Ttamisal
:
![Page 40: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/40.jpg)
5. PERGESERAN FREKUENSI5. PERGESERAN FREKUENSI
)(
)(
)(
)()(
:
)()( maka )()( jika
)(
)(
11
tfe
daeaF
deF
deFtf
bukti
tfeFFtfFF
tj
ajt
taj
tj
tj
a
dwda
a
: dimana
![Page 41: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/41.jpg)
6. PENSKALAAN
6. PENSKALAAN
)(1
)(
)(
:
)(1
f(at)F maka )( jika
aj-
aj-
aF
a
a
df
dtfatfF
FtfF
bukti
aF
aFtfF
a
ddt
at
at
: dimana
![Page 42: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/42.jpg)
tjte tj sincos
Diperoleh hasil sebagai berikut:1.Transformasi fourier sinus2.Transformasi fourier cosinus
Diperoleh hasil sebagai berikut:1.Transformasi fourier sinus2.Transformasi fourier cosinus
Dari teorema integral Fourier disebutkan bahwa, jika f (t) ganjil atau genap, maka g() juga ganjil atau genap. Dengan menyisipkan :
![Page 43: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/43.jpg)
Jika f(t) adalah sebuah fungsi ganjil, dimana fs adalah pasangan transformasi dari gs maka berlaku:
0
0
sin)(2
)(
))(sin(2
)(
tdttfg
dtgtf
ss
ss
TRANSFORMASI FOURIER SINUS
![Page 44: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/44.jpg)
Jika f (x) adalah sebuah fungsi genap, dimana fs adalah pasangan transformasi dari gs maka berlaku:
tdttfg
tdgtf
cc
cc
cos)(2
)(
cos)(2
)(
0
0
TRANSFORMASI FOURIER COSINUS
![Page 45: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/45.jpg)
Carilah Transformasi Fourier cosinus dari :
x
xc xf01
0{)(
![Page 46: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/46.jpg)
0,sin)1
(2
)]0)[(sin1
(2
)]0sin)[(sin1
(2
sin)1
(2
cos12
cos)(2
)(
|0
0
0
t
tdt
tdttfg cc
![Page 47: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/47.jpg)
1. Diketahui grafik fungsi f(t) sebagai berikut, hitunglah transformasi Fourier dari F(ω):
5/4
0-1 1
f(t)
x
xc xf01
0{)(
2. Carilah Transformasi Fourier sinus dari :
![Page 48: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/48.jpg)
3. Carilah fs (t)bila diketahui :
0
2
1
0
sin)( tdttf s 2
21
10
![Page 49: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/49.jpg)
2
sin5)(
2
sin5)(
sin24
5)(
4
5)(
4
5)(
4
5)(
)()( 1.
11
1
1
1
1
F
j
jF
jj
F
j
eeF
dteF
dteF
etfF
jj
tj
tj
tj
![Page 50: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/50.jpg)
)cos1)(1
(2
)1)[(cos1
(2
)]0cos)[(cos1
(2
cos)1
(2
sin12
sin)(2
)( 2.
|0
0
0
t
tdt
tdttfg ss
![Page 51: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/51.jpg)
3. Ruas kanan dan kiri dikalikan dengan agar diperoleh gs ():
2
0
22
21
20
sin)(2
tdttf s
2
21
10
)(sg
22
21
20 2
21
10
![Page 52: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/52.jpg)
)2cos2cos1(2
)2cos2cos2cos1(2
)cos2(cos4
)1(cos2
)cos2(cos4
)0cos(cos2
)cos2
(2
)cos1
(2
sin2
22
sin22
sin)(2
)(
||2
1
1
0
2
1
1
0
0
ttt
tttt
ttt
tt
ttt
tt
tt
tt
tdtd
tdgtf ss
![Page 53: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/53.jpg)
OlehPrety Engestiana
12021010205817
![Page 54: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/54.jpg)
Merupakan salah satu sifat transformasi yang digunakan untuk mencari fungsi f(t) dari perkalian fungsi-fungsi F(s).
Bentuk persamaan umum konvolusi, yaitu:
)()()( 21
0
21 sFsFdftft
![Page 55: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/55.jpg)
Misalnya diketahui fungsi dan Kemudian di transformasikan ke fungsi t, menjadi
Variabel t diganti σ dan τ, menjadi:
Dimisalkan σ+ τ =t, diperoleh σ =t-τ dan dσ=dt, ketika σ=0, maka t= τ; ketika σ= ∞,maka t= ∞, shg
)(1 sF )(2 sF
dttfedttfesFsF stst )()()()( 2
0
1
0
21
dfedfesFsF ss )()()()( 2
0
1
0
21
0 0
21)(
21 )()()()( ddffesFsF s
0
2121 )()()()(
t
st ddtftfesFsF
![Page 56: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/56.jpg)
dtdftfesFsFt
tst
0
21
0
21 )()()()(
0
2121 )()()()(
t
st ddtftfesFsF
![Page 57: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/57.jpg)
dapat diketahui bahwa integral berikut adalah konvolusi.[note:variabel dapat disesuaikan dgn soal]
dftfLsFsF
dtdftfesFsF
dtdftfesFsF
t
tst
t
tst
0
2121
0 0
2121
0
21
0
21
)()()(
)()()(
)()()()(
)()()( 21
0
21 sFsFdftft
![Page 58: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/58.jpg)
1. Gunakan konvolusi untuk menyelesaikan transformasi balik dari
2. Tentukanlah ketikadan
1
62 s
)()( 21 sFsF xexf 31 )(
xexf 22 )(
![Page 59: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/59.jpg)
1. diketahui:
Ditanya: Jawab:
Diperoleh ;Ditransformasi laplace invers menjadi
;, lalu masukkan ke bentuk
persamaan umum konvolusi.
1
6)(
2
ssF
?...)(1 sFL
)1(
1
)1(
16
)1)(1(
6
1
6 112
1
ssL
ssL
sL
)1(
1)(1
ssF
)1(
1)(2
ssF xexf )(1
xexf )(2
)()()( 21
0
21 sFsFdxxtfxft
![Page 60: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/60.jpg)
Menjadi:
Jadi transformasi laplace invers dari fungsi menggunakan konvolusi adalah
tt
tttt
tt
txt
txt
txxt
txtx
txtxxx
ees
L
eeee
eee
eedxeedxee
dxeeedxeeee
tftfsFsFLs
L
331
6
2
6
2
6
2
1
26
226
2666
666
)()(6)()(61
6
21
.20.2.2
0
2
0
2
0
00
)(
21211
21
1
6)(
2
ssF
tt ee
sL 33
1
62
1
![Page 61: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/61.jpg)
2. Diketahui :
Ditanya:Jawab:
Jadi, nilai
xx exfexf 22
31 )(;)(
?...)()( 21 sFsF
tttttx
xxt
txt
t txtxxtx
t
eeeeeedxeesFsF
dxeeedxeesFsF
dxxtfxftftfsFsF
2320
2
0
221
0 0
223)(2321
0
212121
)1()()(
)()(
)()()()()()(
tt eesFsF 2321 )()(
![Page 62: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/62.jpg)
1. Gunakan konvolusi untuk menentukan transformasi Laplace invers dari fungsi–fungsi berikut:a. b.
c.
2. Buktikanlah transformasi Laplace invers dari fungsi adalah
2)(
1
as
9
92 ss
221 )(;)( xxfxxf
ab
eetf
btat
)())((
1)(
bsassF
![Page 63: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/63.jpg)
1a. Diketahui:ditanya: jawab: ;maka
inversnya Masukkan ke bentuk pers. Umum konvolusi
Menjadi,
2)(
1)(
assF
?...)(1 sFL
)(
1
)(
1
)(
1)(
2 asasassF
)(
1)()( 21 as
sFsF
atetftf )()( 21
t
dxxtfxftfsFL0
211 )()()()(
![Page 64: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/64.jpg)
Jadi, transformasi Laplace invers dari fungsi
dengan menggunakan konvolusi adalah
at
attatt
at
tat
txaaat
taxatax
txtaax
t
tesFL
texedxe
dxeedxee
dxeeedxee
dxxtfxftfsFL
)(
]0[][1
)()()()(
1
0
0
0
0
0
)(
00
)(
0
211
2)(
1)(
assF
attesFL )(1
![Page 65: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/65.jpg)
1b. Diketahui: Ditanya: Jawab: Dengan melihat tabel sifat transformasi laplace
L15,yaitu
dengan ;maka diperoleh
)9(
9)(
2
sssF
?...)(1 sFL
39
92
a
a
xaxtfsFL 3cos1cos1)()(1
![Page 66: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/66.jpg)
1c. Diketahui: ditanya:jawab:
Kemudian, masukkan fungsi-sungsi di atas ke dalam bentuk umum persamaan konvolusi, menjadi...
221 )(;)( xxfxxf
?...)()()( 211 xfxfsFL
2222
1
2)()(
)(
xxttxtxtf
xxf
![Page 67: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/67.jpg)
Jadi,
44444444
4433222
0
4
0
3
0
22
0
3
0
2
0
2
0
322
0
22
0
2121
12
1
1212
386
43
2
2
04
1
4
10
3
1
3
120
2
1
2
1
4
1
3
12
2
1
2
2)2(
)()()()(
tttttttt
ttttt
xxtxt
dxxdxxtxdxt
dxxtxxtdxxxttx
dxxtfxfxfxf
ttt
ttt
tt
t
421 12
1)()( txfxf
![Page 68: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/68.jpg)
2. diketahui:
ditanya: buktikan hasil dari Jawab:diperoleh
Dan transformasi laplace inversnya adalah
Masukkan ke dalam bentuk persamaan umum konvolusi, berikut:
))((
1)(
bsassF
ab
eetfsFL
btat
)()(1
t
dxxtfxfsFLtf0
111 )()()()(
)(
1)(;
)(
1)( 21 bs
sFas
sF
btat etfetf )(;)( 21
![Page 69: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/69.jpg)
Jadi, transformasi Laplace invers dari fungsi
dengan menggunakan konvolusi adalah .
TERBUKTI..!
Jadi, transformasi Laplace invers dari fungsi
dengan menggunakan konvolusi adalah .
TERBUKTI..!ab
eetf
ba
ee
ba
ee
ba
e
ba
ee
ba
eedxee
dxeeedxee
dxxtfxfsFLtf
btat
btbtatbt
tbabt
batbabt
txbabt
txbabt
tbxbtax
txtbax
t
)(
1
)()()()(
)(0)()(
0
)(
0
)(
00
)(
0
111
))((
1)(
bsassF
ab
eetf
btat
)(
![Page 70: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/70.jpg)
![Page 71: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/71.jpg)
Konvolusi digunakan dalam transformasi laplace dengan menggunakan sifat apabila dalam fungsi y terdapat perkalian dari dua fungsi [ G(p)H(p) ]. Persamaan konvolusi dapat ditentukan dengan mngambil contoh persamaan sebagai berikut,
0,'" '00 yytfCyByAy
![Page 72: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/72.jpg)
pFfLCYBpYYAp 2
pFCBppAY 2
pFCBpAp
Y
2
1
![Page 73: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/73.jpg)
CBpAp
pT
2
1
![Page 74: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/74.jpg)
T(p) tersebut dapat disebut juga fungsi transfer dan juga dapat ditulis sebagai berikut,
bpappT
1
![Page 75: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/75.jpg)
Contoh Soal
Selesaikan persamaan differensial berikut menggunakan konvolusi integral!
0,23 '00
'" yyeyyy t
![Page 76: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/76.jpg)
Jawab:teyyy 23 '"
teLyyyL 23 '"
teLYpYYp 232
teLppY 232
teLpp
Y
23
12
![Page 77: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/77.jpg)
teLpp
Y
21
1
tbtat
eLab
eeLY
ttt
eLee
LY
12
2
ttt
eLee
LY
1
2
![Page 78: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/78.jpg)
ttt eLeeLY 2
Dimana persamaan konvolusi ialah
t
gy0
tt
tt
eeth
daneegMaka 2,
dth
Sehingga,
![Page 79: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/79.jpg)
dthgyt
0
deeey tt
0
2
t
tt eey0
d
deeyt
t 10
eey t t0
![Page 80: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/80.jpg)
00 eetey tt
10 tt etey
1 tt eteyttt eetey 2
![Page 81: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/81.jpg)
.1 0,65 '00
3'" yyeyyy t
.2 0,43 '00
2'" yyeyyy t
![Page 82: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/82.jpg)
JAWABAN
.1teyyy 3'" 65
teLyyyL 3'" 65
teLYpYYp 32 65
teLppY 32 65
teLpp
Y 32 65
1
![Page 83: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/83.jpg)
teLpp
Y 32 65
1
teLpp
Y 3
23
1
tbtat
eLab
eeLY 3
ttt
eLee
LY 323
32
![Page 84: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/84.jpg)
ttt
eLee
LY 323
1
ttt eLeeLY 323
Dimana persamaan konvolusi ialah
dthgyt
0
333
23,
tt eeth
daneegMaka
![Page 85: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/85.jpg)
Sehingga,
deeey tt
33
0
23
t
tt eey0
33 d
deeyt
t 10
3
t
t deey0
3 1
eey t3 t0
![Page 86: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/86.jpg)
03 0 eetey tt
103 tt etey
13 tt etey
ttt eetey 323
![Page 87: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/87.jpg)
.2 teyyy 2'" 43
teLyyyL 2'" 43
teLYpYYp 22 43
teLppY 22 43
teLpp
Y 22 43
1
teLpp
Y 2
14
1
![Page 88: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/88.jpg)
tbtat
eLab
eeLY 2
ttt
eLee
LY 24
41
ttt
eLee
LY 24
5
ttt
eLee
LY 24
5
![Page 89: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/89.jpg)
Dimana persamaan konvolusi ialah
ttt
eLee
LY 24
55
dthgyt
0
222
4
55,
teteth
danee
gMaka
Sehingga,
![Page 90: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/90.jpg)
deee
y tt
22
0
4
55
deeey tt
22
0
4
5
1
deeyt
tt 0
2232
5
1
deeeyt
t 0
232
5
1
deeeyt
t 0
232
5
1
![Page 91: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/91.jpg)
t
t eeey0
232
2
1
3
1
5
1
00232
2
1
3
1
2
1
3
1
5
1eeeeey ttt
2
1
3
1
2
1
3
1
5
1 232 tt eeey
6
3
6
2
2
1
3
1
5
1 232 ttt eeey
![Page 92: Fisika Matematika](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/55cf9448550346f57ba0e62d/html5/thumbnails/92.jpg)
6
5
2
1
3
1
5
1 232 ttt eeey
ttt eeey 24
30
5
10
1
15
1