Nama : Debie Mukti Rahayu

NIM : 1205035012

Prodi : Pendidikan Fisika

Kelas : 2012 Pagi

Kpd Yth.

Bapak Dr. Riskan Qadar, M.Si

Assalamualaikum Wr. Wb.

Sehubungan dengan tugas penurunan rumus fisika kuantum yang bapak tawarkan kepada

kami, saya atas nama Debie Mukti Rahayu ingin mencoba menjawab soal yang bapak

berikan, yaitu sebagai berikut:

1.

a) Jika z sangat besar, persimpangan yang terjadi hanya sedikit dibawah Zn=nπ/2

dengan nilai n adalah ganjil.

𝐸𝑛 + 𝑉0 ≅𝑛2𝜋2ℏ2

2𝑚(2𝑎)

b) Jika Z0 menurun, maka terdapat lebih sedikit keadaan yang terikat (Z0< π/2). Yang

perlu diperhatikan adalah selalu terdapat satu keadaan yang terikat meskipun Z0

bernilai sangat rendah.

𝜓 𝑥 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 (𝑥 < −𝑎)

𝜓 𝑥 = 𝐶𝑠𝑖𝑛 𝑙𝑥 + 𝐷𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 (−𝑎 < 𝑥 < 𝑎)

Untuk 𝜓 𝑥 pada –a :

𝐴𝑒𝑖𝑘𝑎 + 𝐵𝑒𝑖𝑘𝑎 = −𝐶𝑠𝑖𝑛 𝑙𝑎 + 𝐷𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑎 … … …… . . (1)

Untuk 𝑑𝜓

𝑑𝑥 pada –𝑎 :

𝑖𝑘 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑎 − 𝐵𝑒𝑖𝑘𝑎 = 𝑙 𝐶 cos 𝑙𝑎 + 𝐷 sin(𝑙𝑎) … … …… (2)

Untuk 𝜓 𝑥 pada +a :

𝐶 sin 𝑙𝑎 + 𝐷 cos 𝑙𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 … … … … … … … (3)

Untuk 𝑑𝜓

𝑑𝑥 pada –𝑎 :

𝑙 𝐶 cos 𝑙𝑎 − 𝐷 sin(𝑙𝑎) = 𝑖𝑘𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 … … … … . (4)

Persamaan (3) dikalikan dengan sin la, maka diperoleh:

𝐶 sin2 𝑙𝑎 + 𝐷 sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 … … … 5

Nama : Debie Mukti Rahayu

NIM : 1205035012

Prodi : Pendidikan Fisika

Kelas : 2012 Pagi

𝐷 sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 − 𝐶 𝑠𝑖𝑛2𝑙𝑎

𝐷 =𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 − 𝐶𝑠𝑖𝑛2𝑙𝑎

sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 … … … …… . (6)

Persamaan (4) dikalikan dengan 1

𝑙cos 𝑙𝑎, maka diperoleh:

𝐶 cos2 𝑙𝑎 − 𝐷 sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 =𝑖𝑘

𝑙𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎 … … . . (7)

Disubstitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (7):

𝐶 cos2 𝑙𝑎 − 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 − 𝐶𝑠𝑖𝑛2𝑙𝑎

sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 =

𝑖𝑘

𝑙𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎

𝐶 cos2 𝑙𝑎 − 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 + 𝐶 sin2 𝑙𝑎 =𝑖𝑘

𝑙𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎

𝐶(cos2 𝑙𝑎 + sin2 𝑙𝑎) =𝑖𝑘

𝑙𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎 + 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎

Karena cos2x + sin

2x = 1, maka:

𝐶 =𝑖𝑘

𝑙𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎 + 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 …… … . . (8)

Persamaan (3) dikalikan dengan cos la, diperoleh:

𝐶 sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 + 𝐷 cos2 𝑙𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎 … … . 9

𝐶 sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎 − 𝐷𝑐𝑜𝑠2𝑙𝑎

𝐶 =𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎 − 𝐷 cos2 𝑙𝑎

sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎… … … … (10)

Persamaan (4) dikalikan dengan 1

𝑙sin 𝑙𝑎, maka:

𝐶 sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 − 𝐷 sin2 𝑙𝑎 =𝑖𝑘

𝑙𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 … . . (11)

Disubstitusikan persamaan (10) ke dalam persamaan (11):

𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎 − 𝐷 cos2 𝑙𝑎

sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 − 𝐷 sin2 𝑙𝑎 =

𝑖𝑘

𝑙𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎

𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎 − 𝐷 cos2 𝑙𝑎 − 𝐷 sin2 𝑙𝑎 =𝑖𝑘

𝑙𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎

𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎 −𝑖𝑘

𝑙𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 = 𝐷 cos2 𝑙𝑎 + 𝐷 sin2 𝑙𝑎

𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 (cos 𝑙𝑎 −𝑖𝑘

𝑙sin 𝑙𝑎) = 𝐷(cos2 𝑙𝑎 + 𝐷 sin2 𝑙𝑎)

Karena cos2x + sin

2x = 1, maka:

𝐷 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 (cos 𝑙𝑎 −𝑖𝑘

𝑙sin 𝑙𝑎) … … … … (12)

Disubstitusikan persamaan (10) dan (12) ke dalam persamaan (1), maka diperoleh:

𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 + 𝐵𝑒𝑖𝑘𝑎 = −𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 +𝑖𝑘

𝑙cos 𝑙𝑎 sin 𝑙𝑎 + 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 𝑙𝑎 −

𝑖𝑘

𝑙sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎

= 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos2 𝑙𝑎 −𝑖𝑘

𝑙sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 − sin2 𝑙𝑎 −

𝑖𝑘

𝑙sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎

𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 + 𝐵𝑒𝑖𝑘𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos(2𝑙𝑎) −𝑖𝑘

𝑙sin(2𝑙𝑎) … … … (13)

Nama : Debie Mukti Rahayu

NIM : 1205035012

Prodi : Pendidikan Fisika

Kelas : 2012 Pagi

Disubstitusikan persamaan (10) dan (12) ke dalam persamaan (2), maka:

𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 − 𝐵𝑒𝑖𝑘𝑎 = −𝑖𝑙

𝑘𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 +

𝑖𝑘

𝑙cos 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 + cos 𝑙𝑎 −

𝑖𝑘

𝑙sin 𝑙𝑎 sin 𝑙𝑎

= −𝑖𝑙

𝑘𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 +

𝑖𝑘

𝑙cos2 𝑙𝑎 + sin 𝑙𝑎 cos 𝑙𝑎 −

𝑖𝑘

𝑙sin2 𝑙𝑎

= −𝑖𝑙

𝑘𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 sin 2𝑙𝑎 +

𝑖𝑘

𝑙cos 2𝑙𝑎

𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 − 𝐵𝑒𝑖𝑘𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 2𝑙𝑎 −𝑖𝑙

𝑘sin(2𝑙𝑎) … … … … (14)

𝐵𝑒𝑖𝑘𝑎 = −𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 2𝑙𝑎 −𝑖𝑙

𝑘sin 2𝑙𝑎 + 𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 … … . . (15)

Disubstitusikan persamaan (15) kedalam persamaan (13), maka:

𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 − 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 2𝑙𝑎 −𝑖𝑙

𝑘sin 2𝑙𝑎 + 𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos(2𝑙𝑎) −

𝑖𝑘

𝑙sin(2𝑙𝑎)

2𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos(2𝑙𝑎) −𝑖𝑘

𝑙sin(2𝑙𝑎) + 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos 2𝑙𝑎 −

𝑖𝑙

𝑘sin 2𝑙𝑎

2𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cos(2𝑙𝑎) −𝑖𝑘

𝑙sin(2𝑙𝑎) + cos 2𝑙𝑎 −

𝑖𝑙

𝑘sin 2𝑙𝑎

2𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 2 cos 2𝑙𝑎 − 𝑖 𝑘

𝑙+

𝑙

𝑘 sin 2𝑙𝑎

𝐹 =𝑒−2𝑖𝑘𝑎 𝐴

cos 2𝑙𝑎 −𝑖 sin 2𝑙𝑎

2𝑘𝑙(𝑘2 + 𝑙2)

… … … … (16)

𝑇−1 = 𝐴

𝐹

2

= cos(2𝑙𝑎) − 𝑖sin 2𝑙𝑎

2𝑘𝑙(𝑘2 + 𝑙2)

2

= cos2 2𝑙𝑎 +sin2 2𝑙𝑎

2𝑙𝑘 2 𝑘2 + 𝑙2 2

Karena cos2 2𝑙𝑎 = 1 − sin2 2𝑙𝑎 , maka:

𝑇−1 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 2𝑙𝑎 +sin2 2𝑙𝑎

2𝑙𝑘 2 𝑘2 + 𝑙2 2

𝑇−1 = 1 + 𝑠𝑖𝑛2(2𝑙𝑎) 𝑘2 + 𝑙2 2

2𝑙𝑘 2− 1

Karena 1

2𝑘𝑙 2 𝑘4 + 2𝑘2𝑙2 + 𝑙4 − 4𝑘2𝑙2 =

1

2𝑘𝑙 2 𝑘4 − 2𝑘2𝑙2 + 𝑙4 =

𝑘2−𝑙2 2

2𝑘𝑙 2 , maka:

𝑇−1 = 1 + 𝑘2 − 𝑙2 2

2𝑘𝑙 2sin2 2𝑙𝑎 … … … 17

Karena 𝑘 = 2𝑚𝐸

ℏ , 𝑙 =

2𝑚(𝐸+𝑉0)

ℏ, maka:

2𝑙𝑎 =2𝑎

ℏ 2𝑚 𝐸 + 𝑉0 … …… … 18

Dan

𝑘2 − 𝑙2 = −2𝑚𝑉0

ℏ2… … … … …… . (19)

Nama : Debie Mukti Rahayu

NIM : 1205035012

Prodi : Pendidikan Fisika

Kelas : 2012 Pagi

𝑘2 − 𝑙2 2

2𝑘𝑙 2=

2𝑚ℏ2

2

𝑉02

4 2𝑚ℏ2

2

𝐸(𝐸 + 𝑉0)

=𝑉0

2

4𝐸(𝐸 + 𝑉0)… …… (20)

Disubstitusikan persamaan (18) dan (20) ke dalam persamaan (17), diperoleh:

𝑇−1 = 1 +𝑉0

2

4𝐸(𝐸 + 𝑉0)sin2

2𝑎

ℏ 2𝑚 𝐸 + 𝑉0

𝑇 = 1 +𝑉0

2

4𝐸 𝐸 + 𝑉0 sin2

2𝑎

ℏ 2𝑚 𝐸 + 𝑉0

−1

2. E<V0

𝜓 =

𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥 (𝑥 < −𝑎)

𝐶𝑒𝜅𝑥 + 𝐷𝑒−𝜅𝑥 (−𝑎 < 𝑥 < 𝑎)

𝐹𝑒𝑖𝜅𝑥 (𝑥 > 𝑎)

𝑘 = 2𝑚𝐸

ℏ; 𝜅 =

2𝑚(𝑉0 − 𝐸)

ℏ

Untuk 𝜓 pada – 𝑎 : 𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 + 𝐵𝑒𝑖𝑘𝑎 = 𝐶𝑒−𝜅𝑎 + 𝐷𝑒𝜅𝑎

Untuk 𝜓′ pada – 𝑎 : 𝑖𝑘(𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 + 𝐵𝑒𝑖𝑘𝑎 ) = 𝜅(𝐶𝑒−𝜅𝑎 + 𝐷𝑒𝜅𝑎 )

2𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 = 1 − 𝑖𝜅

𝑘 𝐶𝑒−𝜅𝑎 + 1 + 𝑖

𝜅

𝑘 𝐷𝑒𝜅𝑎

Untuk 𝜓 pada + 𝑎 : 𝐶𝑒𝜅𝑎 + 𝐷𝑒−𝜅𝑎 = 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎

Untuk 𝜓′ pada + 𝑎 : 𝜅(𝐶𝑒−𝜅𝑎 + 𝐷𝑒𝜅𝑎 ) = 𝑖𝑘𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎

2𝐶𝑒𝜅𝑎 = 1 +𝑖𝑘

𝜅 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎

2𝐷𝑒−𝜅𝑎 = 1 −𝑖𝑘

𝜅 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎

2𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑎 = 1 −𝑖𝜅

𝑘 1 +

𝑖𝑘

𝜅 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎

𝑒−2𝜅𝑎

2+ 1 +

𝑖𝜅

𝑘 1 −

𝑖𝑘

𝜅 𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎

𝑒2𝜅𝑎

2

=𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎

2 1 + 𝑖

𝑘

𝜅−

𝜅

𝑘 + 1 𝑒−2𝜅𝑎 + 1 + 𝑖

𝜅

𝑘−

𝑘

𝜅 + 1 𝑒2𝜅𝑎

=𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎

2 2 𝑒−2𝜅𝑎 + 𝑒2𝜅𝑎 + 𝑖

𝜅2 − 𝑘2

𝑘𝜅(𝑒2𝜅𝑎 − 𝑒−2𝜅𝑎 )

Karena sinh 𝑥 ≡𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2 , cosh 𝑥 ≡

𝑒𝑥 +𝑒−𝑥

2 , maka:

=𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎

2 4 cosh 2𝜅𝑎 + 𝑖

(𝜅2 − 𝑘2)

𝑘𝜅2sinh(2𝜅𝑎)

= 2𝐹𝑒𝑖𝑘𝑎 cosh 2𝜅𝑎 + 𝑖(𝜅2 − 𝑘2)

2𝑘𝜅sinh(2𝜅𝑎)

𝑇−1 = 𝐴

𝐹

2

= cosh2( 2𝜅𝑎) + 𝜅2 − 𝑘2 2

2𝜅𝑘 2sinh2 2𝜅𝑎

Karena cosh2=1+sinh

2, maka:

𝑇−1 = 1 + 1 + 𝜅2 − 𝑘2 2

2𝜅𝑘 2sinh2 2𝜅𝑎

Nama : Debie Mukti Rahayu

NIM : 1205035012

Prodi : Pendidikan Fisika

Kelas : 2012 Pagi

𝑇−1 = 1 +𝑉0

2

4𝐸(𝑉0 − 𝐸)sinh2

2𝑎

ℏ 2𝑚 𝑉0 − 𝐸

𝑇 = 1 +𝑉0

2

4𝐸(𝑉0 − 𝐸)sinh2

2𝑎

ℏ 2𝑚 𝑉0 − 𝐸

−1

3. 𝛾 =1

ℏ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥 =

1

ℏ 2𝑚(𝑉0 − 𝐸)𝑑𝑥 =

2𝑎

ℏ 2𝑚(𝑉0 − 𝐸)

2𝑎

0

𝑇 = 1 +𝑉0

2

4𝐸(𝑉0 − 𝐸)sinh2

2𝑎

ℏ 2𝑚 𝑉0 − 𝐸

−1

𝑇 =1

1 +𝑉0

2

4𝐸(𝑉0 − 𝐸)sinh2

2𝑎ℏ

2𝑚 𝑉0 − 𝐸

𝑇 =1

1 +𝑉0

2

4𝐸(𝑉0 − 𝐸)sinh2 𝛾

Pada aproksimasi WKB diasumsikan jika probabilitas tunnelingnya kecil, pada kasus

tersebut: sinh 𝛾 =1

2(𝑒𝛾 − 𝑒−𝛾) ≈

1

2𝑒𝛾 dan sinh2 𝛾 ≈

1

4𝑒2𝛾 , maka diperoleh

persamaan sebagai berikut:

𝑇 =1

1 +𝑉0

2

4𝐸(𝑉0 − 𝐸)sinh2 𝛾

𝑇 ≈1

1 +𝑉0

2

4𝐸 𝑉0 − 𝐸

14 𝑒2𝛾

𝑇 ≈1

1 +𝑉0

2

16𝐸 𝑉0 − 𝐸 𝑒2𝛾

𝑇 ≈16𝐸 𝑉0 − 𝐸

𝑉02𝑒2𝛾

𝑇 ≈ 16𝐸 𝑉0 − 𝐸

𝑉02 𝑒−2𝛾

Demikian penurunan rumus yang saya lampirkan. Atas perhatian bapak, saya ucapkan

terima kasih.

Wassalamualaikum Wr. Wb.