Las turbinas de viento como

la que se muestran en esta

figura, pueden generar una

energía considerable que

no perjudica el ambiente y

es renovable. Estas fuentes

de energía representan

20 por ciento de las

necesidades energéticas de

Dinamarca. Los conceptos

de aceleración rotacional,

velocidad angular,

desplazamiento angular,

inercia rotacional y otros

temas estudiados en este

capítulo son útiles para

describir la operación de las

turbinas de viento.

{Foto © vol. 29 PhotoDisc!

Getty.)

221

Figura 11.1 El

desplazamiento angular

6 se indica por la porción sombreada del disco. El

desplazamiento angular es el mismo de C a D que de A

a B para un cuerpo rígido.

2. 9a, a)

3.

4.

5.

Se ha considerado únicamente el movimiento traslacional, en el que la posición de un objeto cambia a lo largo de una línea recta. Pero es posible que un objeto se mueva en una trayecto-ria curva o que tenga un movimiento rotacional. Por ejemplo, las ruedas, ejes, poleas, girós-copos y muchos otros dispositivos mecánicos, giran sobre su eje sin que haya movimiento traslacional. La generación y transmisión de potencia casi siempre depende de algún tipo de movimiento rotacional. Es esencial que usted sea capaz de predecir y controlar este tipo de movimiento. Los conceptos y fórmulas que se presentan en este capítulo serán útiles para que adquiera estas habilidades esenciales.

El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si el punto A en el disco giratorio de la figura 11.1 gira sobre su eje hasta el punto el desplazamiento angular se denota por el ángulo 8. Hay varias formas de medir este ángulo. Ya nos hemos familiarizado con las uni-dades de grados y revoluciones, las cuales están relacionadas de acuerdo con la definición

1 rev = 360°

Ninguna de estas unidades es útil para describir la rotación de cuerpos rígidos. Una medida más fácil de aplicar el desplazamiento angular es el radián (rad). Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco 5 es igual en longitud al radio (véase la figura 11.2). Es más común que el radián se defina por la siguiente ecuación:

(11.1)

(a) (b) (c)

Figura 11 .2 Medida del desplazamiento angular y una comparación de unidades.

222

donde s es la longitud de arco de un círculo descrito por el ángulo 6. Puesto que el cociente s entre R es la razón de dos distancias, el radián es una cantidad sin unidades.

El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra consi-derando un arco de longitud 5 igual al perímetro o circunferencia de un círculo 2it R. Dicho ángulo en radianes se obtiene a partir de la ecuación (11.1)

2it K0 = — — = 2tt rad

Así tenemos,

de donde se observa que

1 rev = 360° = 2 i t rad

360°1 rad = ----- = 57.3°

2t t

Un extremo de una cuerda se ata a una cubeta de agua y el otro extremo se enrolla muchas veces alrededor de un carrete circular de 12 cm de radio. ¿Cuántas revoluciones del carrete se requiere para levantar la cubeta a una distancia vertical de 5 m?

La distancia vertical de elevación debe ser igual a la longitud de la cuerda envuelta alrededor del carrete de modo que la longitud de arco s = 5 m. Primero se calcula la rota-ción en radianes necesarios para una longitud de arco de 5 m. Recuerde establecer el modo de radianes en su calculadora (normalmente está en modo de grados). Más adelante una conversión de este ángulo a revoluciones dará la respuesta buscada.

Apartir de la ecuación (11.1), obtenemos

s 5 m

R 0.12 m= 41.7 rad

Recordemos que 1 rev = 2 t t rad, se hace la conversión para hallar el ángulo en revoluciones.

, 1 rev ,= 41.7 rad( i ------ 7 I = 6.63 rev

y2ir rady

Por tanto, aproximadamente seis revoluciones dos tercios levantarán la cubeta 5 m.

jf" Un asiento en el perímetro de una rueda de la fortuna en la feria experimenta un despla-zamiento angular de 37°. Si el radio de la rueda es 20 m, ¿qué longitud de arco describe el asiento?

Dado que el desplazamiento angular se definió en función de los radianes, los gra-dos deben convertirse a radianes. La longitud de arco puede entonces determinarse al resolver la ecuación (11.1) para s.

9 = (37°)277 rad

360°= 0.646 rad

La longitud de arco está dada por

s = R6 = (20 m)(0.646 rad)

s = 12.9 m

La unidad radián desaparece porque representa una relación de longitud a longitud (m/m = 1).

A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le llama velocidad angular. Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo 9 en un tiempo t, su velocidad angular media está dada por

9co = — Velocidad angular

El símbolo co (letra griega omega) se usa para denotar la velocidad angular. Cuando una barra aparece sobre el símbolo, indica que la velocidad angular es un valor medio. Aun cuando la velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto (rpm) o revoluciones por segundo (rev/s), en la mayoría de los problemas físicos es necesario utilizar radianes por segundo para adaptarse a la opción básica del desplazamiento angular 9 en radianes. Tenga en mente que la velocidad angular puede estar en el sentido de las manecillas del reloj o con-trasentido; es decir, tiene dirección. Debemos elegir una dirección positiva para la rotación y sustituir los signos que concuerden con esa elección.

Puesto que la velocidad de rotación en gran número de problemas técnicos se expresa en términos revoluciones por minuto o revoluciones por segundo, es conveniente hallar una ex-presión para la conversión a radianes por segundo. Si la frecuencia de revoluciones en rev/s se denota por medio del símbolo /, la velocidad angular en rad/s está dada por

tu = 2tTf

Si la frecuencia está en rpm en vez de rev/s, el factor de conversión es (2-77-/60).

: La rueda de una bicicleta tiene de radio de 33 cm y gira 40 revoluciones en 1 min. ¿Qué distancia lineal recorrerá la bicicleta en 30 s?

Primero se convertirá la velocidad angular de la rueda a radianes por segundo. Luego podemos usar la definición de velocidad media para calcular la longitud de arco .y descrita por un punto en el borde de la rueda. Esta distancia será la misma que la recorrida por la bicicleta a lo largo de una trayectoria horizontal.

Primero se convierte la frecuencia de rpm a rev/s.

(40 re v \ f 1 m in\/ = -— — - 7Z— = 0.667 rev/s

\ 1 min / V 60 s J

Sustituyendo esta frecuencia en la ecuación (11.3) se obtiene la velocidad angular.

a — 2rrf = (2-tt rad)(0.667 rev/s) = 4.19 rad/s

Ahora bien, se vuelve a escribir la ecuación (11.1) y la ecuación (11.2), con lo cual se obtiene

s = 9R y 9 = cot

Esto significa que la distancia i es

s = (cot)R = (4.19 rad/s)(30 s)(0.33 m)

5 = 41.5 m

Es importante observar que la velocidad angular descrita por la ecuación (11.2) represen-ta un valor medio (o un valor constante). La misma distinción se debe hacer entre la veloci-dad angular instantánea y la media tal como se estudió en el capítulo 6 para las velocidades instantáneas y medias.

Al igual que el movimiento rectilíneo, el movimiento rotacional puede ser uniforme o ace-lerado. La velocidad de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un mo-mento de torsión resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia de un valor inicial co a un valor final w en un tiempo t, la aceleración angular es

COf — OÚQ

a = ----------t

La letra griega a {alfa) denota la aceleración angular. Una forma más útil de esta ecuación es

cof = co0 + at (H.4)

Al comparar la ecuación (11.4) con la ecuación (6.4) para la aceleración lineal se verá que sus formas son idénticas si establecemos analogías entre los parámetros angulares y li-neales.

Ahora que hemos introducido el concepto de velocidades angulares inicial y final, pode-mos expresar la velocidad angular media en términos de sus valores inicial y final:

COf + COq

co =2

Al sustituir esta igualdad para co en la ecuación (11.2) se obtiene una expresión más útil para el desplazamiento angular:

/ co* + co0\e = m = — jt (H.5)

Esta ecuación es similar a una ecuación deducida para el movimiento rectilíneo. En realidad,las ecuaciones para la aceleración angular tienen la misma forma básica que las que se obtu-vieron en el capítulo 6 para la aceleración lineal si establecemos las siguientes analogías:

(m) 8 (rad)

v (m/s) w (rad/s)

a (m/s2) <-»■ a (rad/s2)

El tiempo, desde luego, es el mismo para ambos tipos de movimiento y se mide en segundos. La tabla 11.1 ilustra las similitudes entre el movimiento rotacional y el rectilíneo.

Aceleración lineal constante

Aceleración angular constante

(1) * -

(2) v0 +

(3) i- = v0f + —

9 =Ü.1: T

1 9 = a>nt -1— a t

(4) — 2 = -----

(5) 2 — Vq 2 = o)5

Al aplicar estas fórmulas, debemos tener cuidado de elegir las unidades apropiadas para cada cantidad. También es importante seleccionar una dirección (en el sentido del avance de las manecillas del reloj o contrario a éste) como positiva y conservarla en forma consistente para asignar los signos apropiados a cada cantidad.

W Un volante aumenta su velocidad de rotación de 6 a 12 rev/s en 8 s. Determine la acelera-ción angular en radianes por segundo al cuadrado.

Cuando se aplican las ecuaciones para la aceleración angular uniforme, las únicas unidades angulares aceptables son los radianes. Primero debemos cambiar las unidades para las velocidades angulares final e inicial. Luego se organizan los datos dados, se elige una ecuación adecuada y se resuelve para la aceleración angular.

Las velocidades angulares son:

( 2 t t r a d \í 6 rev \

f 2 t t radA /12 rev \= 2 = \~Trev^ / \ s J = rad/s

Ahora bien, podemos resolver para a usando la definición de aceleración angular.

Dados: &>0 = 37.7 rad/s; cof = 75.4 rad/s; t = 8 s Encuentre: a = ?

Seleccionemos la ecuación (2) de la tabla 11.1 como la ecuación que contiene a y no 8. Al resolver para a obtenemos

wf ~ wo 75.4 rad/s — 37.7 rad/sa = —-------- = -------------- ----------------

t 8 s

a = 4.71 rad/s2

ÍP fü n a rueda de esmeril que gira inicialmente a 6 rad/s recibe una aceleración-constante de 2 rad/s2 durante 3 s. Determine su desplazamiento angular y su velocidad angular final.

Organice los datos dados, seleccione la ecuación apropiada y resuelva para obtener los valores desconocidos.

Dados: = 6 rad/s: a = 2 rad/s2: t = 3 s Encuentre: 8 = 1

La ecuación (3) contiene a y no cof. El desplazamiento angular es

,2

f

= cúqí + at~

0 = (6rad/s)(3 s) + —(2 rad/s2)(3 s)2 = 27.0 rad

La velocidad angular final cof se obtiene a partir de la ecuación (2)

cúf = cú0 + a t

= 6 rad/s + (2 rad/s2)(3 s)

= 12.0 rad/s

11.4

y = 0

^1

-II3 r /

V 7,v 1

\ v - -\ t

El eje de rotación de un cuerpo rígido que gira se puede definir como la línea de partículas que permanecen estacionarias durante la rotación. Se puede tratar de una línea a través del cuerpo, como en el caso de un trompo, o puede ser una línea a través del espacio, como un aro en rotación. En cualquier caso, nuestra experiencia nos dice que cuanto más lejos está la partícula del eje de rotación, mayor es su velocidad tangencial. Este hecho se expresó en el capítulo 10 mediante la fórmula

v = 27rfR

donde/es la frecuencia de rotación. Ahora deduzcamos una relación similar en términos de velocidad angular. La partícula de la figura 11.3 gira a través de un arco .9 que se describe como

5 = dR

a partir de la ecuación (11.1). Si la distancia es recorrida en un tiempo t, la velocidad tangen-cial de la partícula está dada por

s_ _ QR

t tv =

Puesto que 6 /t = co, la velocidad tangencial se puede expresar como una función de la velo-cidad angular.

11 .3 Relación entre velocidad angular y

velocidad tangencial.

v = coR

Este resultado también proviene de la ecuación (11.3), en la cual la velocidad angular se ex-presa como una función de la frecuencia de revolución.

W Un eje de tracción tiene una velocidad angular de 60 rad/s. ¿A qué distancia del eje deben colocarse unos contrapesos para que éstos tengan una velocidad tangencial de 12 m/s?

Al despejar R en la ecuación (11.6), obtenemos

v 12 m/sR = — = ---------- = 0.200 m

60 rad/s

Consideremos de nuevo una partícula que se mueve en un círculo de radio R y suponga-mos que la velocidad tangencial cambia de cierto valor inicial vo al valor final vf en un tiempo t. La aceleración tangencial aT de dicha partícula está dada por

vf ~ v0 aT = ---------

Debido a la estrecha relación entre la velocidad tangencial y la angular, como quedó represen-tado en la ecuación (11.6), podemos expresar también la aceleración tangencial en función de un cambio en la velocidad angular.

wfR — o¡)0R cúf — a>0ciT = —------------= —---------R

t t

o bien

aT = aR

donde a representa la aceleración angular.

227

Figura 1 1 .4 Relación

entre las aceleraciones

tangencial y centrípeta.

Debemos ser cuidadosos en distinguir entre la aceleración tangencial, como quedó defi-nida en la ecuación (11.7), y la aceleración centrípeta definida por

(11.8)v

a = — c R

La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad tangencial, mientras que la aceleración centrípeta representa tan sólo un cambio en la dirección del movimiento. La distinción se muestra gráficamente en la figura 11.4. La aceleración resultante puede determi-narse calculando el vector suma de las aceleraciones tangencial y centrípeta.

y Calcule la aceleración resultante de una partícula que se mueve en un círculo de radio 0.5 m en el instante en que su velocidad angular es 3 rad/s y su aceleración angular es 4 rad/s2.

Trazaremos un esquema similar a aquel de la figura 11.4, luego determinaremos la velocidad tangencial v como el producto coR. La aceleración centrípeta a entonces se determinará a partir de la ecuación (11.8). La aceleración tangencial aT está dada por la ecuación (11.7). La resultante de estos vectores perpendiculares darán la aceleración angular neta.

Dado que R = 0.5 m y a> — 3 rad/s, obtenemos

v = coR = (3 rad/s)(0.5 m) = 1.50 m/s

La aceleración centrípeta a partir de la ecuación (11.8), es, por tanto,

v

~R

(1.50 m/s)2 ,= 4.50 m/s2

(0.5 m)

Ahora bien, de la ecuación (11.7), la aceleración tangencial es

aT = aR = (4 rad/s2)(0.5 m); aT = 2.00 m/s2

Por último, la magnitud de la aceleración resultante se obtiene del teorema de Pitágoras.

a = V a2T + a- = V(2.00 m/s2)2 + (4.50 m/s2)2

a = 4.92 m/s2

La dirección de la aceleración, si lo desea puede obtenerse a partir de sus componentes en la forma usual.

Hemos visto que una partícula que se mueve en un círculo de radio R tiene una rapidez lineal dada por

v = coR

Si la partícula tiene una masa m, tendrá una energía cinética que se obtiene por

K = ~mv2 = - mco2R2 2 2

Un cuerpo rígido como el de la figura 11.5 se puede considerar formado por muchas partí-culas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación O. La energía