Fisica Nuclear e Particulas Subnucleares - Capítulo 14 - S. S. Mizrahi & D. Galetti

Capítulo 14

Partículas subnucleares e el-ementares

14 Partículas subnucleares e elementares 114.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41514.2 Eletrodinâmica quântica (QED) e os diagramas de Feynman . . . . . . . . 41714.3 Hádrons, quarks e glúons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

14.3.1 Os hádrons e a interação forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42014.4 Propriedades dos mésons-π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

14.4.1 Determinação das massas dos mésons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42414.4.2 Os tempos de vida média dos píons, π0, π+ e π− . . . . . . . . . . . 42614.4.3 A produção de píons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42814.4.4 Estrutura do méson como par quark-antiquark . . . . . . . . . . . . . . 428

14.5 Propriedades dos bárions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43114.5.1 As massas dos bárions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43614.5.2 Os glúons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43814.5.3 Bárions e a interação fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43914.5.4 Por que o próton não decai? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44014.5.5 Onde estão os quarks? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

14.6 Os léptons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44214.6.1 Conservação do sabor, massa dos neutrinos e fenômeno da

“oscilação” do fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44514.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

A O grupo de permutações e a classificação das funções de onda 459

1

S. S. Mizrahi & D. Galetti

14.1 Introdução 415

A.0.1 O grupo de permutações S2 (trivial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459A.0.2 Construção dos estados de acordo com as simetrias . . . . . . . . . . 460A.0.3 Como construir os estados (1.24)-(1.27)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462A.0.4 As simetrias do grupo de permutações S3 (não trivial) . . . . . . . . 462A.0.5 Construção dos estados de acordo com as simetrias . . . . . . . . . . 466A.0.6 Resumo e caso de três partículas de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 469

B As massas dos hádrons 473B.0.7 Caso 1: m1 = m2 = m3, S = 1

2 ,32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

B.0.8 Caso 2: m1 = m2 6= m3, S = 32 , S12 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

B.0.9 Caso 3: m1 = m2 6= m3, S = 12 , S12 = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 475

14.1 IntroduçãoPresentemente há um consenso de que as partículas elementares, ou fundamentais, queconstituem a matéria podem ser classificadas em dois grandes grupos de férmions: osléptons e os quarks; por partícula elementar entende-se aquela que não é constituída deoutras partículas. Os campos de força também têm partículas associadas, os bósons,algumas têm massa de repouso (como os bósons veteriais da interação fraca) e out-ras não (o fóton da interação eletromagnética), embora elas sejam atraídas por camposgravitacionais. Este fenômeno encontra explicação dentro do Príncipio de Equivalênciamassa-energia. Cada lépton e cada quark tem sua antipartícula (cargas de sinal oposto,paridade intrínseca invertida, simetria temporal reversa); assim o o número total departículas elementares é duplicado. Naturalmente os léptons não se juntam para formaruma partícula composta, porém artificialmente criou-se em laborátório o positrônio1,que é um sistema constituído de um elétron e de um pósitron. Em 1965 o antidêuteronfoi observado2; em 1995, pela primeira vez, foi no CERN produzido o átomo de anti-

1O positrônio foi produzido experimentalmente por Martin Deutsch em 1951 no MIT (MassassuchetsInstitute of Technology).

O estado singleto, S = 0, é chamado parapositrôno e é denotado 1S0. Seu tempo de vida-média é de125 × 10−12 s e pode decair em um número par de fótons γ (2, 4, 6, ...), porém com rápido decréscimoda probabilidade. Preferencialmente, ele decai em dois γ com energia de 511 keV cada (no RCM). Para aemissão de quatro fótons a probabilidade é de apenas 1, 439 × 10−6. O cálculo teórico do tempo de vidamédia é

τpara =2~

mec2α5= 1, 244× 10−10 s.

O estado tripleto (S = 1) é chamado ortopositrônio e é denotado 3S1. No vácuo é tempo de vida médiaé de 142× 10−9s e o modo predominante de decaimento é de três fótons γ. Para um decaimento em cincofótons a probabilidade 1, 0× 10−6 . O tempo de vida média é

τ1 =9π~

4mec2α6 (π2 − 9)= 1, 386× 10−7 s.

O positrônio no estado 2S é metaestável, tendo um tempo de vida média de 1, 1 µs. Se o positrônioé criado em tal estado excitado então ele decairá em cascata até atingir o estado fundamental, quando adesintegração ocorrerá mais rapidamente.

2Em 1965 o antidêuteron foi observado, é um núcleo de antimatéria feito de um antipróton e de um


416 Capítulo 14. Partículas subnucleares e elementares

hidrogênio, por colisão3. Em 2010 também no CERN, foi produzido um átomo de an-tihidrogênio frio4. Todos os léptons podem ser detectados direta ou indiretamente (nocaso, os neutrinos e antineutrinos), porém os quarks não podem ser detectados comopartículas livres, não obstante, eles têm a capacidade em formar partículas compostasdetectáveis, chamadas hádrons, e as suas antipartículas também existem na natureza.Em resumo, as partículas de matéria detectáveis são os léptons e os hádrons.As forças que atuam entre as partículas elementares são de três tipos: eletromag-

nética, fraca (unificadas na chamada força eletrofraca, que atua essencialmente entreléptons, mas também entre léptons e quarks, e mais raramente entre quarks), a forte(que atua entre os quarks, e entre os hádrons como uma força residual ou força nuclear).Cada um das três fôrças tem partículas de campo próprias: na força eletromagnética(que atua entre partículas eletricamente carregadas) a partícula de campo é o fóton, quetem massa nula. Para a força fraca (relembrando que ela é responsável pelos decaimen-tos β+, β− e captura eletrônica) existem três partículas de campo massivas chamadasbósonsW+,W− e Z0 (o superscrito indica o sinal da carga elétrica que carregada ou aneutralidade), elas são trocadas nas interações entre os léptons, entre quarks e léptons,apenas entre quarks e também podem decair num par de léptons. Finalmente, a inter-ação forte se manifesta pela troca entre quarks de partículas de campo de massa nulachamadas glúons, e que existem em oito diferentes estados. Diferentemente do fóton,os gluons carregam um certo tipo de carga chamada cor, de fato carregam duas, umacarga e uma anticarga, mas de diferentes estados. A carga cor existe em três diferentesestados (r, g, b) e há três anticargas (r, g, b).Tanto os léptons como os quarks têm spin 1/2, portanto são férmions; as partículas

de campo têm spin nulo ou inteiro, portanto são bósons. Na Tabela 14.1 encontramos

antinêutron. Esta meta foi alcançada simultaneamente por duas equipes: uma liderada Antonino Zichichi,que usou o Síncrotron de Prórons do CERN, e a outra equipe foi liderada por Leon Lederman, que usou amáquina AGS (Alternating Gradient Synchrotron), um acelerador localizado no Brookhaven National Labo-ratory, Nova York.

3In 1995, o primeiro átomo de antihidrogênio foi produzido pela equipe liderada por Walter Oelert noCERN. O experimento foi feito no equipamento LEAR (Low Energy Antiproton Ring), onde um feixe deantiprótons, produzidos em um acelerador de partículas, foi direcionado sobre átomos de Xenônio. Quandoum antipróton fica próximo de um núcleo de Xenônio, há uma certa probabilidade de que um par elétron-pósitron seja produzido. E também há uma probabilidade de que o pósitron seja capturado pelo antiprótonpara assim formar um átomo de antihidrogênio. A probabilidade para esta produção por um antihidrogênio ébastante baixa, cerca de 10−19. Mais informações em http://en.wikipedia.org/wiki/Antihydrogen.

4Em Novembro 2010, pela primeira vez, antihidrogênio frio foi produzido e confinado magneticamentepor 1/6 de segundo no aparato chamado ALPHA (Antihydrogen Laser Physics Apparatus) por uma equipede pesquisadores do CERN. Em 2011 o antihidrogênio foi mantido na armadilha magnética por um tempo daordem de 15 minutos. Uma meta importante na pesquisa do antihidrogênio foi reportada em 7 de março de2012, os pesquisadores da ALPHA exploraram a estrutura interna do hidrogênio modificando o equipamentopara fazer incidir radiação de microonda ressonante nos anti átomos armadilhados. O estudo das propriedadesdo antihidrogênio pôde lançar luz no problema de assimetria de bárions, ou por que há mais matéria do queantimatéria no universo.


14.2 Eletrodinâmica quântica (QED) e os diagramas de Feynman 417

um sumário do exposto.

Tabela 14.1: Classificação das partículas elementares em função da sua estatísticaPartículas elementares (spin 1/2) Partículas de campo (spin 0 ou inteiro) massas (GeV )Estatística de Fermi-Dirac Estatística de Bose-Einstein

léptons (interação fraca e EM) fóton (spin 1) 0quarks (interação forte, fraca e EM) glúon (spin 0) 0

- bóson W±(spin 1) 80, 425- bóson Z0(spin 1) 91, 187

Os quarks que não se revelam como partículas livres, mas apenas como aglomera-dos; os hádrons se subdividem em duas categorias, os bárions, constituídos de estadosligados de 3 quarks ou 3 anti-quarks, e os mésons, que constituem estados ligados deum quark e um antiquark. Distintamente do nêutron e do antinêutron (bárions) que são,de fato, partículas diferentes, entre os mésons há o π0 que têm a propriedade de tambémser sua própria antipartícula.

14.2 Eletrodinâmica quântica (QED) e os diagramas deFeynman

A teoria que explica os fenômenos eletromagnéticos entre partículas elementares, nú-cleos e átomos é denominada eletrodinâmica quântica, e quando nos referirmos a elairemos usar a sigla QED, que vem do inglês, Quantum Electrodynamics. A teoriaQED deve seu desenvolvimento a muitos físicos que fizeram importantes contribuições,mas em primeiro plano destacam-se Pauli,Weisskopf, Bethe, Tomonaga, Schwinger,Feynman e Dyson. Feynman e Dyson contribuiram também na construção de um con-junto de regras para representar na forma de diagramas expressões matemáticas quesão os termos seriais presentes no cálculo de probabilidades de transição em teoria deperturbação (os elementos de matriz de transição são escritos como séries infinitas, deobjetos chamados propagadores). Esta abordagem permite uma descrição pictórica,porém formalmente rigorosa, dos fenômenos físicos envolvidos, e seguindo as regraspré-estabelecidas. O método diagramático tornou-se paradigma em física, estendendo-se para cálculos perturbativos na teoria de muitos corpos (mesmo em tratamentos não-relativísticos) e na teoria de campos em geral – interação entre quarks e glúons, entreléptons e bósonsW±, Z0. É importante frisar que cálculos perturbativos em QED tam-bém podem ser feitos sem o uso de diagramas, de acordo com o método de Schwinger,levando aos mesmos resultados. Uma possível vantagem do método Feynman-Dyson,sobre o de Schwinger ou de Tomonaga, (por isso sua maior popularidade) é de possibili-tar uma interpretação menos hermética dos processos, permitindo uma percepção física,ou “visualização”, dos termos que estão sendo calculados.Veja a Figura 14.1 Esses di-agramas são bastante úteis para o cálculo de probabilidades de transição e de seçõesde choque dos processos investigados. O sucesso da QED pode ser verificada através



Figura 14.1: Diagramas de Feynman-Dyson da QED, envolvendo elétrons e fótons.


14.2 Eletrodinâmica quântica (QED) e os diagramas de Feynman 419

dos números apresentados na Tabela 14.2 e na Figura 14.2. Os cálculos teóricos têm acapacidade de reproduzir, com alta precisão, os valores experimentais medidos.

Propriedade medida Valor experimental Cálculo teóricoSeparação de níveis no 11H2 2S1/2 −2 2P1/2 (MHz)

————1057,862(10)

————1057,873(20)

Momento de Dipolo MagnéticoElétron: magnetón de Bohr (e~/2mec)

Múon: magnetón muônico³e~/2mµc

´ ————————1,001159652193(10)1,001165923(8)

——————1,0011596523071,0011659200

Separação de níveisno positrônio (e+−e−)1 3S1− 11S02 3S1− 13S1

GHz————203,3887(7)8,6196(28)

GHz——203,3818,6252

Taxa de transição no e+ − e−

1 3S1→ 3γ (s−1)1 1S0→ 2γ (s−1)

s−1

7,0314(70)×1067,994(11)×109

s−1

7,0388×1067,985×109

Tabela 14.2: O sucesso da QED é verificado na comparação entre os valores medidos e oscalculados.

Figura 14.2: Diagramas de Feynman para os primeiros cinco termos perturbativos no cálculo domomento de dipolo magnético do elétron

Os cinco primeiros termos do cálculo perturbativo para o momento de dipolo mag-



nético do elétron são dados na expressão abaixo em unidades do magneton de Bohr,

µ =

½1 + 0, 5

³απ

´− 0, 328478966

³απ

´2+ 1, 1765

³απ

´3− 0, 8

³απ

´4+ ...

¾µB

= 1, 001159652307 + ...µBlembrando que α = e2/~c ≈ (137)−1 é a constante de estrutura fina.

14.3 Hádrons, quarks e glúonsOs quarks (assim como os antiquarks) interagem entre si por meio das interações eletro-magnética, forte e fraca. Na interação forte eles trocam entre si glúons, que são aspartículas de campo. Os quarks são os constituintes de partículas subnucleares massivaschamadas hádrons (como o próton, o nêutron, os mésons π, etc.) Os hádrons se subdivi-dem em dois grupos distintintos: os bárions, constituídos de três quarks (ou antiquarkspara antibárions) e os mésons, constituídos por um par quark-antiquark. A teoria quetrata da interação forte, envolvendo quarks e glúons é chamada cromodinâmica quân-tica, sendo conhecida pela sigla QCD (do inglês, Quantum ChromoDynamics), pois nainteração entre quarks e glúons, ocorre uma mudança no grau de liberdade específicochamado cor que é um tipo de carga que existe em três diferentes estados (são três difer-entes tipos de carga e suas respectivas anticargas). Diferentemente dos fótons, a teoriaQCD permite que os glúons interajam entre si; veja a Figura 14.3. Como nunca foramdetectados quarks livres, considera-se que eles estão espacialmente confinados; em con-sequência disso admite-se que a intensidade da força que os mantém coesos aumentacom a distância, e a curtíssimas distâncias eles são livres. Por exemplo, fornecendo bas-tante energia para ocasionar o rompimento de um par quark-antiquark, que constitui umméson, mais um excedente apreciável para as suas energias cinéticas – o que permitiriadetectá-los como partículas livres – constata-se que o excesso de energia transforma-seimediatamente em um novo par quark-antiquark.

14.3.1 Os hádrons e a interação forte

De acordo com a QCD, os quarks existem em seis diferentes tipos, chamados sabores(existem também os antisabores para os antiquarks) de massas diferentes um do outro.Um quark de dado sabor também carrega uma carga cor5 (anticor para os antiquarks).Os glúons também carregam o grau de liberdade cor, porém não apenas uma mas duascargas, uma cor e uma anticor.De forma genérica, a “função de onda” de um hádron pode ser expressa como o

5Daí o porquê do prefixo cromo na designação cromodinâmica quântica, pois em grego cromo significa cor.A carga cor nada tem a ver com as “cores da luz”, é apenas um nome atribuído, por conveniência, ao númeroquântico inventado para a descrição da estrutura dos hádrons. O motivo dessa escolha de denominação ficaráesclarecido quando as propriedades das partículas compostas e dos quarks forem discutidas


14.3 Hádrons, quarks e glúons 421

Figura 14.3: Diagramas de Feynman com quarks e glúons.



produto das funções de onda envolvendo os diversos graus de liberdade,

Ψ =¡ψespacial ⊗ ψspin

¢⊗¡ψsabor ⊗ ψisospin

¢⊗ ψcor.

A função de onda espacial ψespacial representa o grau de liberdade de momentumangular orbital e ψspin representa o spin do quark. Os seis estados de sabor rotulamseis tipos de quarks: up (u), down (d), strange (s), charm (c), bottom (b), top (t). Assim,podemos nos referir ao quark u, quark d, etc., ou simplesmente u, d, s, c, b, t. A desig-nação dos antiquarks se diferencia dos quarks por um traço acima das letras, u, d, s, c,b, t. Diferentemente da força eletromagnética, que depende de uma carga elétrica ape-nas (digamos, a positiva) e sua anticarga (negativa), a força forte, que mantém os quarkscoesos, se manifesta por meio de três diferentes cargas – cores –, rotuladas pelas letrasR, G, B para vermelho (Red), verde (Green) e azul (Blue), (essas são as cores básicasdo espectro de cores, e qualquer outra cor pode ser obtida a partir de uma mistura ad-equada dessas três), e suas anticargas, simbolizadas por R, G, B. Cada quark carregaum tipo de carga apenas e um antiquark carrega uma única anticarga. Adicionalmente,os quarks carregam uma carga elétrica, que pode ter sinal positivo ou negativo, porém,diferentemente das partículas subnucleares compostas a sua carga elétrica pode ser fra-cionária, apresentando-se em fração da carga fundamental: Qq = −2/3 e, −1/3 e,1/3 e, 2/3 e. , Também podem ser formados multipletos de isospin: para um dado valorde isospin I , as partículas formam ummultipleto com I3 = −I,−I+1, ..., I−1, I para2I + 1 partículas de diferentes cargas. Por exemplo, o par p e n forma um dubleto deisospin, I = 1/2, com I3 = 1/2 para o próton e I3 = −1/2 para o nêutron, enquanto oméson π constitui um tripleto com I = 1 e I3 = +1, 0,−1 para o π+, π0 e π−. Veja aTabela 14.3, para as cargas e massas dos quarks.

Sabor Q (e) I Iz massa (livre) massa (bárions) massa (mésons )u (up) 2

312

12 1,5 - 3,3 363 310

d (down) −1312 −12 3,5 - 6,0 363 310

s (strange) −13 0 0 70 - 130 538 483c (charm) 2

3 0 0 (1,18 - 1,34)×103 1 500 1 500b (bottom) −13 0 0 (4,13 - 4,37)×103 4 700 4 700t (top) 2

3 0 0 (174, 2± 2, 1)×103 > 23 000 > 23 000

Tabela 14.3:Cargas e massas dos diferentes sabores de quarks. Todas as massas em unidadesMeV/c

2. Na terceira e quarta colunas são dados os valores do isospin e sua projeção.

Iremos descrever a estrutura daqueles hádrons que possuem as menores massas.Para isto vamos considerar apenas os quarks menos massivos, de sabores u e d, e quepossuem cargas elétricas Qu = 2/3 e e Qd = −1/3 e (e os antiquarks Qu = −2/3e, Qd = 1/3 e). Quanto ao grau de liberdade spin, todos os quarks e os antiquarkstêm spin Sq = 1/2; se um quark tem projeção de spin ±1/2, o seu antiquark tem aprojeção de spin ∓1/2. Em seu estado fundamental todos os hádrons têm momentumangular orbital L = 0 =⇒ L = 0, e a paridade intrínseca dos quarks é positiva (+)enquanto que para os antiquarks ela é negativa (−). Assim, pode-se atribuir aos hádrons


14.3 Hádrons, quarks e glúons 423

a notação espectroscópica usual: para s + l = j =⇒ |s− l| ≤ j ≤ s + l e a paridadetotal é P = Pint(−)l e escrevemos jP ou seja,

j 0 1 1 0 1 2 22s+1lj

1S03S1

1P13P0

3P13P2

1D2 .(14.1)

No caso dos núcleons e dos mésons π as propriedades estão dadas na Tabela 14.4.

s mS jP Q

p 12

12

12

++1

n 12

12

12

+0

p 12 −12

12

− −1n 1

2 −1212

−0

π+ 0 0 0− +1π− 0 0 0− −1π0 0 0 0− 0

Tabela 14.4: Propriedades dos nucleóns e dos mésons π.

No que diz respeito às antipartículas, após a descoberta do pósitron em 1932, foibem mais tarde, em 1955, que os físicos Emilio Segrè, Owen Chamberlain, ClydeWiegand e Tom Ypsilantis descobriram o antipróton (Segrè e Chamberlain ganharamo PNF-1959); eles fizeram colidir um feixe prótons de 6, 2 GeV , produzidos pelo acel-erador de prótons Bevatron (na universidade da Califórnia em Berkeley), sobre umaplaca de cobre. Logo depois, em 1956, também nos Estados Unidos, os físicosWilliamWenzell, Bruce Cork, Glenn Lambertson eOreste Piccioni (nenhum deles ganhou oprêmio Nobel) descobriram o antinêutron fazendo colidir um feixe de antiprótons (pro-duzidos no mesmo acelerador Bevatron) sobre um alvo de prótons6,

p+ p −→ n+ n

ep+ n −→ n+ n+ π−.

Os mésons-π foram descobertos em 1947 por Cecil F. Powell7, Giuseppe P. S. Oc-chialini e Cesar M. Lattes, a partir da observação de traços produzidos pelos raios cós-micos e de seu subproduto em emulsões fotográficas. Dois anos mais mais tarde Lattese e Eugene Gardner produzem, com o uso do acelerador Bevatron de Berkeley, e detec-tam em emulsões fotográficas os mésons-π. Algumas das propriedades dos núcleons edos mésons-π, e de suas antipartículas, estão sumarizadas no quadro abaixo, onde CPsignifica efetuar as operações de conjugação de carga (troca do sinal da carga elétrica)e troca de paridade:

6Para ler mais sobre antimatéria veja o site http://livefromcern.web.cern.ch/livefromcern/antimatter/history/AM-history01-b.html

7Powell recebeu o Prêmio Nobel em Física de 1950. Veja mais em http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1950/powell-bio.html



p→ uud→ Qp= +1 =⇒

⎧⎨⎩ o momento magnético e o spinapontam no mesmo sentidoµp= 2, 79 µN , τ > 1031 a, π = +1

n→ udd→ Qn= 0 =⇒

⎧⎨⎩ o momento magnético e o spinapontam em sentidos opostosµn= −1, 91 µN , τ = 885, 7 s, π = +1

p→ CP (uud)→ uud −→ Qp= −1, π = −1, µp= −2, 79 µN

n→ CP (udd)→ udd→ Qn= 0 =⇒

⎧⎨⎩ momento magnético e spinapontam no mesmo sentidoµn= +1, 9 µN , π = −1

===================================================π+→ ud→ Qπ+= +1; π = −1

π−→ CP¡ud¢→ ud→ Qπ−= −1 =⇒

½π−≡ π+

π+≡ π−uma é antipartículada outra, τ = 2, 6× 10−8 s

π0→¡dd+ uu

¢→ Qπ0= 0 =⇒

½π0 é sua própria antipartículaCP

¡dd+ uu

¢= dd+ uu

τ = 8, 4× 10−17 s

Tabela 14.5: Composição em quarks de núcleons e mésons.

Os hádrons podem ser representados como uma superposição de estados quânticosde três quarks (bárions) ou de dois quarks (mésons).

14.4 Propriedades dos mésons-πVamos apresentar um pouco de fenomelogia da física dos mésons e mais adiante dis-cutiremos a sua estrutura em termos do modelo a quarks. O méson π0 não possui an-tipartícula, ou pode-se dizer que ele é a sua própria antipartícula. Entretanto, os mésonsπ+ e π− são, um a antíparticula do outro, e não há sentido em dizer qual deles é matériae qual é antimatéria.

14.4.1 Determinação das massas dos mésons

Mésons π− e π+. A massa do méson π− pode ser determinada a partir das energiasdos raios-X emitidos após ser capturado por um átomo, inicalmente o π− se fixa emuma “órbita” exterior do átomo e em seguida ele decai em cascata para órbitas maisinternas, e finalmente ele acaba capturado pelo núcleo, sendo absorvido por um prótonque resultará em um nêutron π− + p → n e a energia adicional em excesso deixará onúcleo em um estado excitado.


14.4 Propriedades dos mésons-π 425

Relembrando, os níveis de energia no átomo hidrogenóide são dados por

Een = −

¡mec

2¢Z2

2 (137)2 n2, n = 1, 2, 3, ..., (14.2)

no caso em que umméson π− estiver substituindo um elétron, de maneira análoga à Eq.(14.2), os níveis de energia são dados por

Eπ−

n = −¡mπ−c

2¢Z2

2 (137)2n2

, (14.3)

que difere da expressão (14.2) apenas pela massa do méson-π que substitui a do elétron.Em materiais que contém os elementos enxofre e titânio, 15P e 22Ti, as energias dosraios-X emitidos nas transições n = 4→ 3 e n = 5→ 4 são muito bem determinadas

∆Eπ−

P (4 → 3) = 40, 4892± 0, 0003 keV∆Eπ−

Ti (5 → 4) = 40, 3861± 0, 0004 keV .

No caso da transição no titânio tem-se

∆Eπ−

Ti = −¡mπ−c

2¢(22)

2

2 (137)2

µ1

25− 1

16

¶,

e o valor da massa é calculada como

mπ− = 2× 40, 3861×µ137× 2066

¶2keV/c2 = 139, 212MeV/c2.

No caso do enxofre o cálculo resulta

mπ− = 2× 40, 4892×µ137× 1215√7

¶2keV/c2 = 138, 96MeV/c2.

Porém, mais precisamente, o valor experimental – com o devido êrro – aceito para amassa do π− émπ− = 139, 570MeV/c2.Esse método para estimar a massa do π− não pode ser aplicado para o cálculo da

massa do méson π+ pois este não pode “orbitar” um núcleo atômico. Neste caso aestimativa da massa é feita indiretamente: considera-se o decaimento por interação fraca

π+ → µ+ + νµ (no referencial do méson π+),

pelo princípio da conservação da energia tem-se a equação

mπ+c2 = Eµ+ +Eν = mµ+c

2 + Tµ+ + cpν ,

(a massa do neutrino é muito pequena em relação à massa do múon e pode ser de-sprezada) e pelo princípio de conservação do momentum linear pν = −pµ+ . Medindo



o valor do momentum linear pµ+ calcula-se Tµ+ , e assim deduz-se o valor da diferençade massas ¡

mπ+ −mµ+¢c2.

Levando-se em conta que medições independentes e de alta precisão da massa do léptonµ+ foram feitas e usando esse valor aceito, encontra-se que

mπ+ = 139, 566MeV/c2.

que é muito próximo do valor da massa mπ− . Assim admite–se que ambos os mésonsdevem ter exatamente a mesma massa,mπ± = 139, 57018± 0, 00035MeV/c2.A massa do píon π0. A massa do píon nêutro π0 pode ser obtida a partir da reação

π− + p→ n+ π0 −→½

π0 → 2γn→ p+ e− + νe

.

O π− tem a sua velocidade reduzida e depois é capturado pelo próton no repouso. Peloprincípio de conservação da energia tem-se

mπ−c2 +mpc

2 =pc2p2n +m2

nc4 +

qc2p2π0 +m2

π0c4,

e visto que o momentum linear é conservado temos

0 = pπ0 + pn =⇒ pπ0 = pn.

Portanto, podemos escrever a equação de conservação da energia como

(mπ− −mπ0) c2 = Tn + Tπ0 + (mn −mp) c

2.

Visto que o nêutron tem um tempo de vida média longo, sua energia cinética Tn podeser estimada com precisão. Quanto ao méson π0, o valor da energia cinética Tπ0 éobtido usando o resultado da medição das energias dos raios γ no decaimento π0 → 2γ.Finalmente, como as massas mπ− e (mn −mp) são conhecidas, a determinação damassa do π0 torna-se imediata

mπ0 = 134, 9766± 0, 0006MeV/c2.

14.4.2 Os tempos de vida média dos píons, π0, π+ e π−

O tempo de vida média do π0 é medido a partir do processo de fotoprodução em umnúcleo pesado

γ + AZX → A

ZX∗ → π0 + A

ZX → 2γ + AZX

obtendo-se o valor τπ0 = 8, 4 × 10−17s. Os modos de decaimento do π0 com maiorprobabilidade são

π0 → 2γ =⇒ em 98, 823% dos casos

π0 → γ + e+ + e− =⇒ em 1, 174% dos casos.



O tempo de vida média dos mésons π+ e π− é estimado usando um feixe dessaspartículas. Mede-se o fluxo de mésons a diferentes distâncias da fonte que os produzem.Como os mésons π+ e π− decaem durante seu tempo de vôo, o fluxo ao longo do feixediminui com a distância percorrida. Quanto mais distante da origem do feixe estiverposicionado o detector (um único detector é deslocado ao longo da direção do feixe)menor será o número de mésons contados por unidade de tempo e por unidade de áreado detector. Constata-se que o decaimento segue uma lei exponencial

Nπ± (x) = Nπ±(0)e−x/vτ 0± (14.4)

onde Nπ±(0) é o número dos píons no local de sua produção, v é a sua velocidade eτ 0± é o seu tempo de vida média no RL, que, por atingir velocidades relativísticas, tema seguinte relação com o tempo próprio τ± da partícula

τ 0± =τ±q

1− (v/c)2.

Definindo a quantidade

B± =

q1− (v/c)2

vτ±, (14.5)

cuja dimensão é de inverso de comprimento, temos Nπ±(x) = Nπ±(0)e−B±x. Calcu-

lando o logaritmo de ambos os membros da Eq. (14.4) resulta

lnNπ±(x) = lnNπ±(0)−B±x, (14.6)

assim pode-se traçar, a partir de dados experimentais, o gráfico de lnNπ±(x) con-tra x, que será constituído de retas paralelas para diferentes valores iniciais Nπ±(0).Conhecendo-se a energia do feixe e a massa do píon calcula-se o momentum linear, queé pπ± = 311, 89MeV/c. E para aquela energia verifica-se que o valor numérico do co-eficiente angular das retas é B+ = B− = 0, 0575m

−1, que passamos a escrever comoB, excluindo os subscritos. Logo, da Eq. (14.5) obtém-se

1

τπ±=

Bvq1− (v/c)2

=B

mπ±

⎛⎝ mπ±vq1− (v/c)2

⎞⎠ =B

mπ±pπ± ,

o que permite determinar o tempo de vida média no referencial do méson-π±,

τπ± =1

c

mπ±c2

(B)(pπ±c)=

1

3× 108 m s−1139, 566MeV

0, 0575m−1 × 311, 89MeV' 2, 6×10−8 s.

Os canais de decaimento do píon π+ O méson π+ decai em léptons por interaçãofraca pelos seguintes modos



π+ → µ+ + νµ (≈ 100%)→ e+ + νe (1, 23× 10−4)→ µ+ + νµ + γ (2, 00× 10−4)→ e+ + νe + γ (1, 61× 10−7)→ e+ + νe + π0 (1, 036× 10−8),

os valores entre parêntesis são as razões de ramificação (branching ratios).

14.4.3 A produção de píons

Aprodução de píons ocorre na colisão p+ núcleo e na colisão entre bárions, verificando-se conservação do número bariônico e da carga coulombiana,

p+ p → p+ p+ π0

→ p+ n+ π+

p+ n → p+ p+ π−

→ p+ n+ π0.

Em colisões envolvendo energia cinética relativa de 600 MeV , há produção de doismésons π:

p+ p → p+ p+ π+ + π−

→ p+ p+ 2π0

→ p+ n+ π0 + π+

n+ n+ 2π+

Mésons são também produzidos por fotoprodução,

γ + p → n+ π+

→ p+ π0.

14.4.4 Estrutura do méson como par quark-antiquark

Na QCD os mésons são formados por um par quark-antiquark, em particular, os mésonsπ têm em sua constituição apenas os quarks de sabores u e d. Costuma-se usar a notaçãode Dirac de bras e kets para descrever os estados de sabor dos quarks e das partículascompostas

¯π+®=¯ud®;¯π−®= |udi ;

¯π0®=

1√2

¡|uui−

¯dd®¢

, (14.7)



o que forma um tripleto de isospin, I = 1, pois há apenas três estados de carga elétrica,I3 = +1, 0,−1, respectivamente. Em notação espectroscópica (2S+1Lj), o estado con-junto que representa o momentum angular orbital L = 0 e o estado singleto de spinS = 0 é dado por ¯

1S0®= |L = 0i⊗ 1√

2(|↑q↓qi− |↓q↑qi) , (14.8)

os subscritos q e q simbolizam quark e antiquark e as setas verticais representam osestados de spin (nos autoestados do operador σz) dos quarks, portanto os estados dosmésons (excetuando-se o estado de cor) são dados por

¡ψespacialψspin

¢⊗¡ψsaborψisospin

¢=

⎧⎨⎩ |π+i|π−i¯π0®⎫⎬⎭ =

¯1S0

®⊗

⎧⎨⎩¯ud®

|udi1√2

¡|uui+−

¯dd®¢

⎫⎬⎭ .

(14.9)Os méson η e η0 constituem estados singleto de isospin, I = 0, mas contém termoadicional de quark s,½

|ηi|η0i

¾=¯1S0

®⊗(

1√6

¡|uui+

¯dd®− 2 |ssi

¢1√3

¡|uui+

¯dd®+ |ssi

¢ ), (14.10)

cada um é a sua própria antipartícula. Considerando o estado tripleto de spin¯3S1

®é possível construir outras estruturas para um par quark-antiquark; ou seja, há maismésons, o tripleto de isospin dos mésons ρ assim como os singletos, que são os mésonω e φ. Eles são escritos como

¡ψespacialψspin

¢⊗¡ψsaborψisospin

¢=

⎧⎨⎩ |ρ+i|ρ−i¯ρ0®⎫⎬⎭ =

¯3S1

®⊗

⎧⎨⎩¯ud®

|udi1√2

¡|uui−

¯dd®¢

⎫⎬⎭(14.11)

e os mésons correspondentes aos mésons η e η0 mas no setor Jπ = 1− são½|ωi|φi

¾=¯3S1®⊗

1√6

¡¯dd®+ |uui− 2 |ssi

¢1√3

¡¯dd®+ |uui+ |ssi

¢.

(14.12)

Para escrever os estados (14.11)-(14.12), em analogia ao estado (14.8), a notação para aparte espacial e de spin é compactada,¯

3S1®= |L = 0i⊗ 1√

2(|↑q↓qi+ |↓q↑qi) .

Considerando um quark de maior massa, o quark s (número quântico de estranhezaS = −1 e carga Qs = −1/3 para o sabor s, e S = +1 e carga Qs = 1/3 para o an-tiquark com antisabor s), pode-se escrever os estados dos chamados mésons estranhos,conforme sumarizado nas Tabelas 14.6 e 14.7.



Estado de sabor jP = 0−, 1S0 IG jP = 1−, 3S1 IG S¯ud®

π+(140) 1− ρ+(770) 1+

1√2

¡¯dd®− |uui

¢π0(135) 1− ρ0(770) 1+

|udi π−(140) 1− ρ−(770) 1+

1√6

¡¯dd®+ |uui− 2 |ssi

¢η (549) 0+ ω (783) 0− 0

1√3

¡|uui+

¯dd®+ |ssi

¢η0 (958) 0+ ϕ (1020) 0− 0

Tabela 14.6: Mésons constituídos de quarks e antiquarks de sabores u e d.Os números entreparêntesis são as massas em unidades MeV/c2. Na terceira e quinta colunas estão dados os

valores do isospin e o sobrescrito é a paridadeG = (−1)I+l+s.

Estado de sabor jP = 0−, 1S0 IG jP = 1−, 3S1 IG S

|usi K+(494) 12 K∗+(892) 1

2 +1|usi K−(494) 1

2 K∗−(892) 12 −1

|dsi K0(498) 12 K∗0(892) 1

2 +1¯ds®

K0(498) 12 K∗0(892) 1

2 −1

Tabela 14.7: Mésons compostos de quarks e antiquarks de sabores u, d e s. Entre parêntesisestão as massas em unidades MeV/c2.

Na última coluna das Tabelas 14.6 e 14.7 está dado o número de estranheza S do parquark-antiquark, calculado como

S = (número de antiquarks s)− (número de quarks s)Os mésons K são também chamados káons e todos têm um tempo de vida média emtorno de 1, 24 × 10−8 s. Os 9 mésons jP = 0− têm estado de spin singleto e sãochamados mésons pseudo-escalares; os 9 mésons jP = 1− têm estado tripleto e sãochamados mésons vetoriais. Cada conjunto é chamado noneto (noneto – 1S0 e noneto– 3S1).Quanto ao grau de liberdade, ou carga, cor, para os mésons o estado é simétrico e

escreve-se como (aqui também em notação de Dirac)

|ψcori =1√3

£¯RR

®+¯BB

®+¯GG

®¤,


14.5 Propriedades dos bárions 431

todos os mésons são “incolores” pois admite-se que cada termo da superposição, númeroquântico cor (R, B, G) é neutralizado pelo número quântico anticor (R, B, G).Os físicos Andrei Dmitrievich Sakharov (Prêmio Nobel da Paz de 1975) e Yakov

Borisovich Zel’dovich8 propuseram, em semelhança à interação hiperfina da físicaatômica, uma fórmula semiempírica bastante simples para reproduzir as massas dosmésons, com dependência na interação spin-spin entre o par quark-antiquark,

MS = µ1 + µ2 +Ahs1 · s2iµ1µ2

(14.13)

= µ1 + µ2 +AS (S + 1)− 3/2

µ1µ2, (14.14)

consideramos s1 = s2 = 1/2, µ1 e µ2 são as massas dos quark e antiquark, e

A = 160 (2µu)2 MeV/c2

é uma constante onde µu é a massa do quark u no méson (veja a Tabela 14.2). Na Tabela14.8 apresentamos as massas dos mésons calculados de acordo com a fórmula (14.13)assim como os valores experimentais, verificando-se uma razoável concordância entreambos.

s1 · s2 S Méson massa calculada massa experimental−3/4 0 π (u, d) 140 140+1/4 1 ρ (u, d) 780 776−3/4 0 K (u, s) 485 496+1/4 1 K∗ (u, s) 896 892

Tabela 14.8: Massas dos mésons em unidadesMeV/c2. Comparação entre os valores cal-culados com a Eq. (14.13) e os valores experimentais. Na segunda coluna está dado o valor dospin total S.

14.5 Propriedades dos bárionsOs bárions são partículas constituídas de três quarks e os antibárions contém três anti-quarks. Vamos considerar os bárions de menor massa, aqueles constituídos por quarksde sabores u, d e s. A estabilidade do próton permite classificá-lo como o estado funda-mental dos bárions. Considerando o grau de liberdade de sabor e de spin e somando ostermos obtidos a partir uma permutação cíclica dos quarks em cada um dos estados da

8Anedota corrente: o cosmólogo inglês Stephen W. Hawking conta que, ao encontrar Zel’dovich pelaprimeira ele lhe disse : "...antes de conhecê-lo, eu acreditava que Zel’dovich era um ‘autor coletivo’ como [ogrupo de matemáticos] Bourbaki.".



superposição, o estado simétrico do próton é escrito como9

|pi =£|ψpsabori⊗

¯ψpspin

®¤simetrização

=

∙1√2(|udi− |dui |ui)⊗ 1√

2(|↑↓i− |↓↑i |↑i)

¸simetrização

=1√18[2 |d↓u↑u↑i− |u↓u↑d↑i− |u↓d↑u↑i

+2 |u↑d↓u↑i− |d↑u↓u↑i− |u↑u↓d↑i+2 |u↑u↑d↓i− |u↑d↑u↓i− |d↑u↑u↓i] . (14.15)

que é um estado invariante pela troca de qualquer par de quarks e a projeção do spintotal sobre o eixo z é 1/2 (ou ↑). Trocando os sentidos das setas que representam osestados de spin dos quark, (↑)¿ (↓), resulta um estado de protón com projeção do spintotal−1/2 no eixo z (ou ↓). O segundo bárion de maior estabilidade é o nêutron que temum tempo de vida média de cerca de 885 s no estado livre, e possui um tempo de vidamédia “infinita” nos núcleos que se encontram no “vale de estabilidade” na tabela denuclídeos. Quanto aos graus de liberdade de sabor e de spin, assim como com o próton,o nêutron deve também ser simétrico, sendo invariante pela troca de um par qualquer dequarks. O estado do nêutron é obtido a partir do estado do próton, bastando para issofazer a troca (u)¿ (d) em (14.15)

|ni =£|ψnsabori⊗

¯ψnspin

®¤simetrização = [ u¿ d no estado |pi] . (14.16)

O próton e o nêutron são parte de um multipleto de isospin I = 1/2, com I3 =1/2,−1/2 para o próton e o nêutron respectivamente. A grosso modo pode-se con-siderar que existe uma única partícula, o núcleon, que pode estar em dois diferentesestados. Os estados dos antinúcleons são escritos como½

|pi|ni

¾= substituir u¿ u e d¿ d e ↑ (↓) por ↓ (↑) em

½|pi|ni

¾.

Agora podemos perguntar: não existiria uma partícula com três quarks de mesmosabor, |uuui? A resposta é sim, ela existe! É a ressonância ∆++(1232) (descobertaem 1951 como a ressonância píon-próton, o nome Delta foi proposto por Murray Gell-Mann), que tem duas unidades de carga elétrica, seu estado de spin é jP = 3

2

+, e suamassa é de cerca de 1232 Mev/c2. Esta partícula causou uma crise na classificaçãodas partículas pela seguinte razão: os spins dos três quarks devem ser alinhados poisj = 3/2, mas como os quarks são férmions, esta proposta significa que o princípiode exclusão de Pauli é violado, por permitir que três partículas idênticas estejam nomesmo estado. A fim de evitar a violação deste princípio foi proposto um grau de

9Construímos um estado simétrico para o próton, que é um férmion, porém levando em conta todos osseus graus liberdade. Poém, como ele deve ser representado por um estado antissimétrico, torna-se necessáriointroduzir um grau de liberdade adicional em (14.15), como será visto mais adiante.



liberdade adicional para os quarks, o número quântico cor10, que pode estar em trêsdiferentes estados, mutuamente exclusivos. Os três estados rotulados pelas letras R(de red, vermelho), G (de green, verde) e B (de blue, azul). Há também os estados deanticor, R (anti-red), G (anti-green) e B (anti-blue), para acomodar os anti-quarks. Umaregra estabelecida é a seguinte: todas as partículas observadas devem ser incolores, ouseja elas só podem existir em um estado cuja combinação de quarks leva a uma ausênciade cor. Por exemplo, RGB, RGB para os bárions e, lembrando, RR, GG, BB para osmésons. Para os bárions, o estado de cor deve ser totalmente antissimétrico e incolor.

|ψcori =1√6[|RGBi+ |BRGi+ |GBRi− |RBGi− |BGRi− |GRBi] . (14.17)

No caso da partícula ∆++(1232), ela pode ser representada, parcialmente, pelosgraus de liberdade sabor e cor de seus quarks como

(ψsabor ⊗ ψcor) =1√6|uuui⊗ [|RGBi+ |BRGi+ |GBRi

− |RBGi− |BGRi− |GRBi]

=1√6[|uRuGuBi+ |uBuRuGi+ |uGuBuRi (14.18)

− |uRuBuGi− |uBuGuRi− |uGuRuBi]

No contexto da teoria QCD, por causa do princípio da ausência de cor, não são obser-vadas na natureza partículas do tipo uu, uu, dd, uuu, uuuu.De fato, existem quatro partículas (ressonâncias) da família ∆; além da ∆++ há as

partículas ∆+, ∆0 e ∆−, todas com spin S = 3/2 ou em notação especstroscópica,jP = 3

2

+. As partículas∆ são produzidas em colisões do tipo πN (píon-núcleon)

π+ + p −→∆++ −→ π+ + pπ− + p −→∆0 −→ π− + pπ+ + n −→∆+ −→ π+ + nπ− + n −→∆− −→ π− + n,

e têm tempo de vida média muito pequeno (τ = 5, 58± 0, 09 × 10−24 s), por isso sãoconsideradas como ressonâncias. Na Fig. 14.4 vê-se as ressonâncias no espallhamentoπ+p, As partículas ∆ formam um multipleto de isospin I = 3/2, com componentesI3 = 3/3, 1/2,−1/2,−3/2 para ∆++, ∆+, ∆0 e ∆−, respectivamente. Os estados depróton e de nêutron também contêm o grau de liberdade cor, por isso estados (14.15) e(14.16) devem ser multiplicados por (14.17).

10A ideia original, que partiu dos dos físicos Moo-Young Han and Yoichiro Nambu, foi que os quarkinteragiam entre si por portarem uma carga que pode ser de três diferentes tipos, batizadas com as letrasiniciais de três cores no idioma inglês, red, green, blue, e as partículas de campo que os quarks trocam entresi seriam os glúons.



Figura 14.4: Seção de choque total para os espalhamentos π+p e π−p e produção das ressonân-cias∆++ e∆0.



Figura 14.5: Diagrama típico colisão de hádrons, π+p com a ressonância∆++ intermediária

Em suma, para os hádrons envolvendo os quarks u e d temos a seguinte classificação

Estados Partícula jP

fundamental p n 12

+

excitados ∆++ ∆+ ∆0 ∆− 32

+

Até aqui só discutimos estados com momentum angular L = 0, porém estados comL = 1, 2, 3, ... também podem ser considerados.Podemos representar processos de colisão e formação de partículas por diagramas

de Feynman, a colisãoπ+ + p −→ ∆++ −→ π+ + p

é um caso emblemático que em termos de quarks é escrito como

ud+ uud −→ uuu −→ ud+ uud,

e pectoricamente é mostrado na Figura 14.5 verifica-se que o número quântico sabor éconservado. Em resumo,

Nas interações fortes o número de quarks (q) menos o númerode antiquarks (q) é conservado para cada sabor.Nas interações fracas, isto não é mais verdade,o número de q menos o número de q é conservado

para todos os sabores envolvidos.Agora podemos perguntar quais novos bárions surgem quando juntamos aos quarks

u e d um quark de outro sabor, como o quark s, que possui massa maior? Isto está



sumarizado na Tabela 14.9.

Estados jp = 12

+ M( jp=12

+) jp = 3

2

+ M( jp=32

+) S

|uuui —— —— ∆++(1230) 1239 0|uudi p(938) 939 ∆+(1231) 1239 0|uddi n(940) 939 ∆0(1232) 1239 0|dddi —— —— ∆−(1234) 1239 0

1√2(|udsi− |dusi) Λ0(1116) 1114 —— —— −1|uusi Σ+(1189) 1179 Σ∗+(1383) 1381 −1

1√2(|udsi+ |dusi) Σ0(1192) 1179 Σ∗0(1384) 1381 −1|ddsi Σ−(1197) 1179 Σ∗−(1387) 1381 −1|ussi Ξ0(1315) 1327 Ξ0(1532) 1529 −2|dssi Ξ−(1321) 1327 Ξ−(1535) 1529 −2|sssi —— —— Ω−(1672) 1682 −3

Tabela 14.9: Bárions com os três quarks de menor massa, classificados de acordo com o setor jp

e o número quântico de estranheza S na última coluna. Entre parêntesis são dadas as massasexperimentais em Mev/c2. jp=1

2

+forma o octeto e jp=3

2

+forma o decupleto. Na terceira e

quinta colunas estão dadas as massas calculadas a partir da fórmula de massa Eq. (14.19), emMev/c2.

Há 8 bárions do setor jP = 12

+ (um octeto) e 10 do setor jP = 32

+(um decupleto).Nota-se que sempre que um quark-s substitui um quark-u ou um quark-d, a massa dobárion aumenta. Um decaimento típico é apresentado na Figura 14.6. Além dos saboresu, d, s, podemos também introduzir partículas que contêm quarks dos demais sabores c(charm), b (bottom), t (top), porém isto está além do escopo deste estudo introdutório.

14.5.1 As massas dos bárions

Da mesma forma que no caso dos mésons, para os bárions também existe uma fórmulade massa empírica que é escrita como

M (barion) = µ1 + µ2 + µ3 +Bs

∙hs1 · s2iµ1µ2

+hs2 · s3iµ2µ3

+hs1 · s3iµ1µ3

¸, (14.19)

onde µk corresponde à massa de cada quark que compõe um bárion, sk corresponde aovetor spin de cada quark, com a condição j = S = s1 + s2 + s3 (pois o momentumangular orbital é considerado nulo, L = 0), e

S2 = s21 + s22 + s23 + 2 (s1 · s2 + s2 · s3 + s1 · s3)ou

hs1 · s2 + s2 · s3 + s1 · s3i =1

2

∙S (S + 1)− 9

4

¸.



Figura 14.6: Figura 10.6. Decaimento típico.

À constante Bs é atribuído o valor 200 µ2u MeV/c2, o qual fornece o melhor ajustepara os valores experimentais das massas dos bárions, onde µu é a massa do quark desabor u. Em particular, no caso em que os três quarks têm a mesma massa a Eq. (14.19)reduz-se a

Mj (barion) = 3µ1 +200 µ2u2µ21

∙S (S + 1)− 9

4

¸MeV/c2, (j = S), (14.20)

onde consideramos s1 = s2 = s3 = 1/2, logo

M1/2 = 3µ1 −150µ2uµ21

, M3/2 = 3µ1 +150µ2uµ21

.

No caso do bárion que possui dois quarks de mesma massa, diferente porém damassa do terceiro quark, µ1 = µ2 6= µ3, a expressão de sua massa é escrita como

Mj (barion) = 2µ1 + µ3 +200 µ2uµ1

∙hs1 · s2i

µ+1

µ3

Ds3 · S12

E¸MeV/c2, (14.21)

onde S12 = s1 + s2. Um cálculo direto dá (veja o Apêndice B para o detalhe doscálculos.)

M3/2 = 2µ1 + µ3 +100 µ2uµ1

µ1

2µ1+1

µ3

¶£MeV/c2

¤



Figura 14.7: O gluon pode troacar a cor de dois quark, porém não muda o sabor.

eM1/2 = 2µ1 + µ3 −

100 µ2uµ1

µ1

2µ1+1

µ3

¶£MeV/c2

¤.

Calcule as massas apresentadas na terceira e quinta colunas da Tabela 14.9, a partir dafórmula de massa Eq. (14.19) (problema 6).

14.5.2 Os glúons

Diferentemente do fóton, que não carrega carga coulombiana, as partículas de campo dainteração forte, os glúons, carregam duas cargas, uma cor e uma anticor, que são porémde diferentes cores, caso contrário, elas se cancelariam e a carga de cor resultante serianula. Os glúons podem existir em oito diferentes superposições de estados de cor, quesão classificadas de acordo com as três cargas R, G, B e anticargas R, G, e B,

|g1i =¡¯RB

®+¯BR

®¢/√2 |g5i = −i

¡¯RG

®−¯GR

®¢/√2

|g2i = −i¡¯RB

®−¯BR

®¢/√2 |g6i =

¡¯BG

®+¯GB

®¢/√2

|g3i =¡¯RR

®−¯BB

®¢/√2 |g7i = −i

¡¯BG

®−¯GB

®¢/√2

|g4i =¡¯RG

®+¯GR

®¢/√2 |g8i =

¡¯RR

®+¯BB

®− 2

¯GG

®¢/√6

Tabela 14.10: Estados dos glúons.

Na interação forte entre dois quarks, na troca de um glúon, pode haver troca do es-tado cor dos quarks, fenômeno que não ocorre quando há troca de um fóton na interaçãoeletromagnética.



Figura 14.8: Força nuclear, troca de um píon via interação forte entre dois quarks, um em cadabárion.

14.5.3 Bárions e a interação fraca

Os quarks mudam de sabor quando interagem via interação fraca, este fenômeno é em-blematizado pela matriz de Cabbibo-Kobayashi-Maskawa (Makoto Kobayashi e Toshi-hide Maskawa receberam o PNF-2008 juntamente com Yoichiro Nambu)11. Qualquerquark (u, c, t) pode se transformar num quark (d, s, b) pela absorção ou emissão de umbóson W . Este mecanismo é responsável pelo decaimento β, por exemplo, no cason −→ p+ e− + νe,

u(neutron) −→ d(proton) + W− (boson)↓

e− + νe.

A matriz CKM pode ser escrita com elementos de transição obtidos apartir dos dadosexperimentais

CKM =

⎛⎝ |Vud| |Vus| |Vub||Vcd| |Vcs| |Vcb||Vtd| |Vts| |Vtb|

⎞⎠ ≈⎛⎝ 0, 9743 0, 2253 0, 00350, 2252 0, 9734 0, 04100, 0086 0, 0403 0, 9992

⎞⎠com detCKW = 0, 895 4

11O italiano Nicola Cabbibo ficou muito amargurado por não ter sido agraciado com o prêmio Nobel deFísica, juntamente com Kobayashi e Maskawa, no ano seguinte ele morreu, provavelmente devido à mágoa.



Calcula-se também

Autovetores e autovalores⎛⎝ 0, 691 040, 703 250, 167 05

⎞⎠↔ 1, 204 4

==================⎛⎝ 0, 182 263, 302 3× 10−2−0, 982 70

⎞⎠↔ 0, 996 25

==================⎛⎝ 0, 699 26−0, 709 27

8, 921 7× 10−2

⎞⎠↔ 0, 746 22.

e à primeira vista, esses números (determinante, autovetores e autovalores) não sugeremnenhuma interpretação física significativa em termos de simetria.

14.5.4 Por que o próton não decai?

Existe certeza em afirmar que não podemos quebrar um próton para observar seus con-stituintes, os quarks. Porém, a pergunta que já foi aventada é: por que ele não poderiadecair em léptons, em semelhança ao píon carregado, que decai em um múon e em umneutrino? ou como um kaon carregado, que pode decair em um múon e em um neu-trino? Apesar do próton ter cerca de duas vezes a massa do kaon e sete vezes a massado pion, ele parece ser bastante estável.Se os prótons forem partículas que decaem, tal decaimente deve portanto ser muito

raro. Frederick Reines, Clyde L. Cowan, e Maurice Goldhaber usaram seu detetor deneutrinos para tentar encontrar evidências do decaimento do próton. Eles concluíramque o tempo de vida média do próton deveria ser superior a 1021 anos. Na décadade 1970 os físicos teóricos Howard Georgi e Sheldon Glashow estimaram a vida mé-dia do próton em mais de 1030 anos. Portanto observando uma amostra de 1030 pró-tons durante um ano, espera-se que um deles irá decair. Para detectar evento tão raroé necessário blindar o detector de forma a impedir (ou diminuir a probabilidade) queuma partícula cósmica ou que um núcleo radioativo o acione, o que seria uma detecçãofalsa. Portanto, para diminuir este tipo de efeito indesejável torna-se necessário colocaro detector a grande profundidade da superfície terrestre, a fim de usar a blindagem nat-ural da Terra contra os raios cósmicos, ao menos, os menos energéticos. Na década de1980 vários grupos de físicos, em diversos países, desenvolveram projetos experimen-tais nesta linha. O maior destes experimentos foi montado numa mina de sal no estadode Ohio, EUA. Outros foram feitos em (1) uma mina no Japão, (2) uma mina de pratano estado de Utah, EUA, (3) uma mina de ouro na Índia, (4) uma mina de ferro no es-tado de Minnesota, EUA, e (5) em dois túneis situados na fronteira franco-italiana. De



Figura 14.9: Localização geográfica da mina na região de Kamioka onde está situado o detetorde neutrinos, o Super-Kamiokande. KEK é um reator nuclear, situado a cerca de 100 km deKamioka, alguns dos neutrinos gerados por este reator são passíveis de serem detectados peloSuper-Kamiokande.

todos estes experimentos concluiu-se que o tempo de vida média do próton deve sermaior que 1032 anos.Na ilha de Kamioka, a 200 km ao norte de Tóquio, foi construído o maior detector

subterrâneo de neutrinos, o chamado Super-Kamiokande, veja a Figura 14.9.O detetor de antineutrinos, detecta de fato pósitrons, ele consiste de um tanque de

forma cilíndrica de 40m de altura por 40m de diâmetro, preenchido de água puríssima,e nas paredes do tanque estão instaladas milhares de válvulas que detectam a radiaçãoCerenkov causada pelo pósitron emitido na reação νe+p −→ n+e+. Adicionalmente,o Super-Kamiokande é capaz de acusar um eventual decaimento do próton, p −→ n+e−+νe, pela radiação Cerenkov produzida pelo elétron movendo-se na água. O detectorentrou em operação em 1996, porém até o momento não foram encontradas evidênciasdo decaimento do próton. Uma pergunta que fica: Por que o próton, sendo uma partículacomposta, é tão estável?

14.5.5 Onde estão os quarks?

Se os hádrons são constituídos de quarks, esperar-se-ia detectar quarks livres, ou sejapartículas elementares que não estejam ligadas a outras congêneres. Os quarks têmuma propriedade bastante singular, eles têm carga coulombiana fracionária, portantose se puder detectar alguma partícula com carga de um terço ou dois terços da carga



do elétron, esta seria provavelmente o procurado quark. Partículas de carga fracionáriaforam procuradas nas emulsões expostas aos raios cósmicos e nos débris das colisõesde partículas nos aceleradores. Todavia, nenhuma carga fracionária foi detectada.Em 1966 os físicos Giacomo Morpurgo e Gaetano Gallinaro reportaram um ex-

perimento que fizeram para procurar quarks livres. Eles colocaram um grãozinho degrafite em um campo magnético. Como o grafite atua como um imã, ele flutuou noar, eles então ligaram um campo elétrico fazendo com que o grãozinho mudasse deposição. Quanto mais intenso o campo elétrico para mais longe se desloca o grão. Emseguida, eles usaram uma fonte radioativa para adicionar um elétron ao grão, e medi-ram a sua nova posição. Por uma sequência de medições eles poderiam constatar seo grão adquiriu uma carga fracionária. Porém, repetindo inúmeras vezes as mediçõesnenhuma carga fracionária foi acusada. Onze anos mais tarde, Morpurgo, Gallinaroe Mauro Marinelli, fizeram um experimento envolvendo pequenos cilindros de ferro.Novamente, nenhuma carga fracionária foi medida.Na Califórnia, um grupo de físicos liderado porWilliam Fairbanks procurou quarks

livres em bolinhas de nióbio supercondutoras. Eles também usaram a técnica de levi-tação magnética e de campos elétricos para medir a carga elétrica das bolas. Con-stataram que duas das oito bolas usadas pareciam ter adquirido uma carga fracionária.Em 1981 o grupo de Fairbanks fez mais medições e encontrou mais cargas fracionárias,embora o grupo de Morpurgo não tivesse encontrado. Como isto se explicaria? Umpossibilidade aventada foi que talvez os quarks livres existiriam apenas em certos ma-teriais, e assim os experimentos de Morpurgo e de Fairbanks não seriam contraditórios.Porém a maioria dos físicos de partículas não acredita na existência de quarks livres.

14.6 Os léptonsAté a presente sata (2012) conhecem-se doze léptons: o elétron (e−), o múon (µ−) e otau (τ−), (todos têm uma unidade de carga elétrica negativa, de valor 1, 6 × 10−19C),com seus respectivos neutrinos, νe, νµ, ντ (sem carga elétrica) e as respectivas an-tipartículas, os antiléptons, (e+, µ+, τ+, νe, νµ, ντ ). Os léptons interagem entre si etambém com os quarks através das forças eletromagnética e fraca, mas não por interaçãoforte. A força gravitacional atua sobre o elétron mas não se conhece seu efeito sobre omúon e o tau, tampouco sua atuação sobre os neutrinos tem evidência experimental.


14.6 Os léptons 443

Propriedades lépton quarkInterage por intermédioda força EM? sim sim

Carga elétrica(1, 6× 10−19C) +1,−1, 0 −23 ,−

13 ,13 ,23

Interage por intermédioda força fraca? sim sim

Interage por intermédioda força gravitacional?

sim para e−, supostoque sim para µ e τ

Sim para quarksu e d, suposto quesim para os demais

Interage por intermédioda força forte? não sim

Pode ser isoladocomo partícula livre? sim não

Tabela 14.11: Diferenças essenciais entre léptons e quarks.

Existem três gerações (tipos) de léptons, assim chamados pois foram descobertosem diferentes épocas; o elétron foi descoberto em 1897 por J. J. Thomson, o múon foidescoberto em 1938 em emulsões nos raios cósmicos (foram usadas placas fotográfi-cas especiais para fixar e enxergar o traço de sua trajetória), por Sth H. Neddermeyer eCarl D. Anderson (na época aluno de doutorado), que inicialmente pensaram tratar-sedo “méson de Yukawa”. Porém devido à sua massa bem menor que aquela previstapor Yukawa entendeu-se que era uma partícula nova. Finalmente, o lépton tau foi de-scoberto em laboratório em 1975 na Universidade de Stanford, por Martin L. Perl ecolaboradores.

Geração 1 2 3Nome elétron múon tauSímbolo e (e±) µ(µ±) τ(τ±)Massas (emMeV/c2) 0, 511 105, 66 1776, 8Tempo de vida média (em s) estável 2, 20× 10−6 2, 91× 10−15

Tabela 14.12: Tabela comparativa entre os léptons pesados



Lépton Antiléptoncarregado nêutro carregado nêutro massa do neutrino

e− νe| z Le=+1

e+ νe| z Le=−1

< 4, 35 eV/c2

µ− νµ| z Lµ=+1

µ+ νµ| z Lµ=−1

< 0, 17MeV/c2

τ− ντ| z Lτ=+1

τ+ ντ| z Lτ=−1

< 18, 2MeV/c2

Tabela 14.13: Tabela comparativa entre os léptons leves.

Como os decaimentosµ± 9 γe±

τ± 9 γe±

τ± 9 γµ±

nunca foram observados, foi atribuído um número quântico leptônico, ou, sabor, Le, LµeLτ , que se conserva em todos os decaimentos e reações por interação fraca. Considere-se o principal modo de decaimento do µ−,

µ−|zLµ=+1

−→ e− + νµ + νe| z Lµ=1;Le=1−1=0

+1 = +1 + 1− 1há conservação do número leptônico, e o mesmo ocorre nas demais interações fracas.O τ− decai como

τ− −→½

e− + ντ + νeµ− + ντ + νµ

20% das vezes em cada tipo de reação, e em 60% das vezes há produção de mésons,como por exemplo,

τ− −→½

ντ + π−

ντ + π− + π− + π+

(os pions não possuem sabor leptônico).Os léptons µ−, µ+ τ−, e τ+ são produzidos a partir de colisões de elétrons com

pósitrons,

e− + e+ −→ µ− + µ+,

e− + e+ −→ τ− + τ+,

mas como nunca foram observadas reações do tipo

e− + e+ 9 e− + µ+

oue− + e+ 9 τ− + µ+,



considera-se (é uma lei) que o sabor para cada geração de lépton deve se conservar.Nas interações de neutrinos com hádrons, observa-se

νµ + p −→ νµ + hádronsµ− + hádrons

mas não se observou,

νµ + p 9 νe + hádronsνµ + p 9 e− + hádrons.

Após a descoberta do τ− em 1975, houvia a expectativa de descoberta de mais léptons,no entanto, nenhum outro apareceu nos experimentos realizados até a presente data.

14.6.1 Conservação do sabor, massa dos neutrinos e fenômeno da“oscilação” do fluxo

Há certas evidências de que os neutrinos em seus vôos livres não conservam o sabor, aprincipal delas provém de medidas do fluxo de neutrinos νe solares, que atingem a Terracontinuamente. Na reação de fusão nuclear (que mantém o sol ativo e irradiando) essesneutrinos são produzidos em uma diversidade de processos. Por exemplo, na reação defusão

p+ p −→ 21H + e+ + νe + 0, 42MeV

e no decaimento do boro,

85B −→ 8

4Be+ e+ + νe + 14, 6MeV .

Para mais detalhes veja a Figura 14.10Um fato surpreendente é que apenas 40% do fluxo de neutrinos solares esperados

atinge a Terra. Então supõe-se que na sua viagem até a Terra os neutrinos νe se transfor-mam em neutrinos νµ; e portanto, os detetores construídos para acusar a existência dosneutrinos νe não os contabilizariam. A hipótese mais aceita para explicar este enigma éde que na mudança de neutrinos νe para νµ (ou ντ ) o fluxo de νe variaria, ao longo dadireção de emissão, seria de forma oscilante, e o tempo característico dessa oscilaçãodependeria da massa dos neutrinos. Se essa hipótese tiver fundamento, torna-se possívelestimá-las.A hipótese da não-conservação do sabor dos neutrinos está fundamentada na possi-

bilidade de que cada um dos neutrinos observados (νe, νµ, ντ ) ser uma superposição detrês autoestados de massa. Para o neutrino do elétron o seu estado de massa, na notaçãode Dirac, escreve-se

|νei = Ue1 |m1i+ Ue2 |m2i+ Ue3 |m3i ,

onde |mii, i = 1, 2, 3, são os autoestados de massa, com a condição de normalização



Figura 14.10: As reações no Sol que produzem neutrinos.

hνi|νji = δij . Em particular vamos considerar os seguintes estados,

|νei = cos θ |m1i+ sin θ |m2i (14.22)|νµi = − sin θ |m1i+ cos θ |m2i (14.23)|ντ i = |m3i , (14.24)

onde os neutrinos detectados νe e νµ seriam uma superposição de dois estados de massae θ é o chamado ângulo de mistura. Como se daria a evolução temporal de |νei e |νµi,uma vez que os neutrinos são partículas fermiônicas (têm spin 1/2) relativísticas commassasmi?Em vez de apresentar uma dedução rigorosa que faz uso da teoria de campos quân-

tica ou da equação de Dirac para os férmions de spin 1/2, o que está além do escopodo presente texto, vamos fazer uso de um formalismo menos rigoroso, porém cujo re-sultado final coincide com aquele que é obtido usando a teoria quântica de campos. Aexpressão da energia relativística para partículas livres é E2i = c2p2 + m2

i c4, note-se

que a energia varia dependendo, além do momentum linear, do valor da massa mi dapartícula. Seguindo a receita de Schrödinger, fazemos a correspondência E → i~∂/∂t,e como a partícula é livre, não é necessário fazer a correspondência p→ −i~∂/∂x, us-amos a representação dos momenta, o que deixa o momentum linear p como um númeroreal usual. A equação da onda escreve-se (é a transformada de Fourier da equação deKlein-Gordon encontarda nos livros texto)

−~2 d2φi (p, t)

dt2= E2i φi (p, t) , (14.25)

cuja solução geral pode ser escrita como uma superposição de duas soluções linearmente



independentes,φi (p, t) = φi,+ (p, t) + φi,− (p, t) , (14.26)

ondeφi,+ (p, t) = Ai(p)e

−iωi,pt, φi,− (p, t) = Bi(p)eiωi,pt, (14.27)

comωi,p =

Ei

~; Ei =

qc2p2 +m2

i c4.

eAi(p), Bi(p) são coeficientes que, de forma genérica, podem depender do momentumlinear. Note que não estamos levando em conta a o grau de liberdade spin, pois ele nãoé necessário no presente contexto. Mas, notamos que a solução (14.26) é uma super-posição de um neutrino que avança no tempo (Ai(p)e

−iωi,pt) e de um que “retrocede”(antineutrino, Bi(p)e

iωi,pt) mas queremos uma solução de uma partícula que evolui,t > 0, portanto iremos considerar Bi(p) = 0.Note-se também que podemos escrever a Eq. (14.25) comoµ

−i~ ddt+Ei

¶µi~

d

dt+Ei

¶φi (p, t) = 0, (14.28)

onde no lado esquerdo reconhecemos o produto de dois operadores de Schrödinger, umpara partículas que avançam no tempo,

Λ = −i~ ddt+Ei,p,

e outro,Λ† = i~

d

dt+Ei,p,

para aquelas que retrocedem no tempo, ou, a grosso modo, representando a evoluçãodos antineutrinos12. Embora φi (p, t) (na Eq.(14.26)) seja solução da Eq. (14.28),cada uma das componentes em (14.27) não é solução, mas, separadamente, cada uma ésolução dos operadores Λ e Λ†, respectivamente

Λφi,+ (p, t) = 0 e Λ†φi,− (p, t) = 0, (14.30)

12Como tentativa, poderíamos introduzir o grau de liberdade spin escrevendo o operadores

Λ = −i~1 ddt+ cp · σ + 1mc2 (14.29)

Λ† = i~1d

dt+ cp · σ + 1mc2

de forma que

ΛΛ† = ~21d2

dt2+ cp · σ + 1mc2

2

= ~2d2

dt2+ p2 +m2c2 c2 1 + 2mc3p · σ,

que porém não reproduz a Eq. de Klein-Gordon. Então a solução tentativa deve ser abandonada. Diracencontrou a equação correta, conhecida como equação de Dirac para o elétron, ela incorpora matrizes dedimensões 4× 4. De fato é uma equação que descreve qualquer férmion massivo com spin s = 1/2.



mas,Λφi,− (p, t) 6= 0 e Λ†φi,+ (p, t) 6= 0.

Como os operadores de Schrödinger comutam entre si (hΛ, Λ†

i= 0), temos

ΛΛ†¡φi,+ (p, t) + φi,− (p, t)

¢=

= Λ†hΛφi,+ (p, t)

i+ Λ

hΛ†φi,− (p, t)

i= 0,

portanto vamos considerar apenas a solução da equação para os neutrinos

Λφi,+ (p, t) =

µ−i~ d

dt+ Ei,p

¶φi,+ (p, t) = 0

Admitindo que as massas apresentam um espectro discreto, vamos usar a notação deDirac e “enganchar” à função φi,+ (p, t) os autoestados de massa representados pelasmatrizes coluna

|m1i =

⎛⎝ 100

⎞⎠ , |m2i =

⎛⎝ 010

⎞⎠ , |m3i =

⎛⎝ 001

⎞⎠ . (14.31)

portanto o estado do neutrino é escrito como

φi,+ (p, t)→ Ai(p)e−iωi,pt |mii .

Note-se que derivando em relação ao tempo, obtemos a equação de Schrödinger

−i~ ddt|ψ (p, t)i =

3Xi=1

Ai(p)e−iωi,ptEi,p |mii = Hp

3Xi=1

Ai(p)e−iωi,pt |mii

= Hp |ψ (p, t)i ,

cujo Hamiltoniano é diagonal na representação matricial

Hp |mii = Ei,p |mii ; e Hp =

⎛⎝ E1,p 0 00 E2,p 00 0 E3,p

⎞⎠ .

Para t = 0 o estado de um neutrino de sabor e momentum linear bem definidos é dadopor ¯

ψj (p, 0)®=

3Xi=1

A(j)i (p) |mii

onde j = 1, 2, 3 pode ser e, µ ou τ , respectivamente, e sua evolução temporal é dadacomo ¯

ψj (p, t)®=

3Xi=1

A(j)i (p)e

−iEi,pt/~ |mii .



Vê-se que em (14.22)-(14.24) os neutrinos νe e νµ são supostos terem o mesmo mo-mentum p e os coeficientes são independentes do momentum, representados por umúnico parâmetro apenas, θ, o ângulo de mistura. Para um fluxo inicial de neutrinos dostipos νe e νµ, com o decorrer do tempo os estados iniciais (14.22) e (14.23) evoluemcomo

|ψe (p, t)i = cos θ e−iE1,pt/~ |m1i+ sin θ e−iE2,pt/~ |m2i (14.32)

e ¯ψµ (p, t)

®= − sin θ e−iE1,pt/~ |m1i+ cos θ e−iE2,pt/~ |m2i . (14.33)

Agora pergunta-se, qual é a probabilidade de que o neutrino νe se transforme no neu-trino νµ durante a sua evolução? Para isso temos que calcular

Pe→µ(t) =¯ψµ (p, t) |ψe (p, 0)

®¯2= sin2 2θ sin2

µE2,p −E1,p

2~t

¶. (14.34)

que é uma função oscilante no tempo, ver as Figuras 14.11, 14.12 e 14.13. A probabili-dade máxima depende do ângulo de mistura θ, e o valor máximo é sin2 2θ = 1. Há doistempos especiais: quando Pe→µ(tmax) = sin

2 2θ e quando se torna Pe→µ(tmin) = 0,

tmax =π~

(E2,p −E1,p),

e

tmin =2π~

E2,p −E1,p.

Na aproximação pÀ mic, temos

E2,p −E1,p ≈¡m22 −m2

1

¢c3

2p,

o que define um tempo característico,

τ c =2~

|E2,p −E1,p|=

4~p|m2

2 −m21| c3

≈ 4~E|m2

2 −m21| c4

,

que depende da diferença do quadrado das massas dos neutrinos assim como de suaenergia (E ≈ cp). Chamando ∆m2 =

¯m22 −m2

1

¯, a probabilidade (14.34) escreve-se

Pe→µ(t) = sin2 2θ sin2 (t/τ c); porém como não são medidos intervalos de tempo mas

distâncias, é mais conveniente escrever a probabilidade em termos da distância L entre



o ponto onde o neutrino foi criado e o local da sua detecção13

Pe→µ(t) = sin2 2θ sin2

µ1, 27

∆m2 [eV ] L [m]

E [MeV ]

¶,

E é expressa em MeV , a quantidade ∆m2 é estimada em (eV )2 e a distância L dafonte ao detector é medida em metros. De fato, os dados experimentais sugerem umaoscilação com atenuação da amplitude, isto pode ser levado em conta no formalismo,veja a parte d do Problema 14.11.Caso as massas dos neutrinos forem nulas ou iguais,m1 = m2, oscilações não serão observadas. Porém, se m1 6= m2, um fluxo inicialde neutrinos νe chegará à posição do detector com intensidade diminuída, ou se foremdetetados neutrinos νµ, poderemos determinar o ângulo θ e a diferença do quadrado dasmassas ∆m2. As massas dos neutrinos com sabor e e µ dependem das massas m1 em2, como

mνe =qm21 cos

2 θ +m22 sin

2 θ, (14.35)

mνµ =

qm21 sin

2 θ +m22 cos

2 θ, (14.36)veja o Problema 14.12.Experimentalmente verifica-se que, sin2 2θeµ = 0, 87±0, 03,∆m2

µe = (7, 59± 0, 20)×10−5 eV 2 o que permite dterminar as massas dos neutrinos. No caso da transormaçãode neutrinos νµ em neutrinos ντ tem-se sin2 2θµτ > 0, 92, ∆m2

τµ = (2, 43± 0, 13)×10−3 eV 2; sin2 2θeµ < 0, 15.

14.7 Problemas1. Conhecidas as massas dos hádrons, considere as reações abaixo,

π− + p −→ K0 + Λ

K− + p −→ π0 +Σ0

K− + p −→ K0 + Ξ0

p+ p −→ K+ +Σ+ + n

Ξ− + p −→ Λ+ Λ

13Detalhes da conta:

Pe→µ(t) = sin2 2θ sin21

4e2e2

~cc4∆m2 L

E= sin2 2θ sin2

1

789MeV fm

c4∆m2 L

E

= sin2 2θ sin2109

789

∆m2 [eV ] L [m]

E [eV ]= sin2 2θ sin2

109 × 10−6789

∆m2 [eV ] L [m]

10−6 ×E [eV ]

= sin2 2θ sin2 1, 27∆m2 [eV ] L [m]

E [MeV ].

lembrando que e2 = 1, 44MeV fm e e2/~c −1 = 137.


14.7 Problemas 451

Figura 14.11: Dados experimentais do Super-Kamiokande, sugerindo a ocorrência de oscilação.



14.7 Problemas 453

Figura 14.14: Neutrinos que saem do Sol após sua produção nos decaimentos β dos processosde fusão termonuclear.



Figura 14.15: Desenho pictórico, mostrando a produção de neutrinos atmosféricos e sua incidên-cia sobre o detetor Super-Kamiokande, localizado no Japão.


14.7 Problemas 455

(a) Calcule o valor de Q =P

j Tfinj −

Pj T

inj de cada uma delas

(b) Escreva a composição em quarks de cada uma das partículas envolvidas nasreações(c) Verifique se as leis de conservação de: carga elétrica, sabor, estranheza e de

número bariônico se verificam(d) Desenhe o diagrama de fluxo de quarks das reações.

2. Das reações abaixo quais as permitidas e as não permidas. Explique as razões,

(a)K− + p −→ K0 + n(b) π+ + p −→ K+ +Σ+

(c) π− + p −→ K+ +Σ0 + π−

(d) π− + p −→ K− +Σ+

(e) K0 + p −→ K− + p+ π+

(f) p+ p −→ π+ + π+ + π− + π−

(g) π+ + p −→ K0 +Σ0 + π+ +K+ + K0

(h)K− + p −→ Σ+ + n+ π−

(i) π− + p −→ Σ+ +Σ− +K0 + p+ Σ+ + n(j) π− + p −→ Σ− +Σ0 + p

por convenção a carga elétrica de Σ+ é +1, sendo portanto a antipartícula de Σ−.

3. Os estados bariônicos (não estranhos) de menor massa são

Carga elétrica−1 0 +1 +2

núcleons n p∆-bárions ∆− ∆0 ∆+ ∆++

(a) Quais são os constituintes de quarks de cada um dos estados?(b) Suponhamos que os quarks estão no estado de momentum angular relativo zero,

qual a dificuldade fundamental aparece estar associada com os estados∆, que têm j =3/2? Como isso se resolve?(c) Os estados∆0 e Λ (número de estranheza s = −1) ambos decaem para o próton

e para o méson-π−. Explique por que a vida média de∆0 é 10−23 s enquanto que paraΛ é de 2.6× 10−10 s

4. (a) Escreva o modelo a quark do méson π que tem jp = 0−.(b) Descreva o modelo a quark e o número quântico de estranheza de outros mésons

com jp = 0−, que podem ser construídos com os quarks de sabores u, d e s.(c) Como surgem os mésons com jp = 1− neste modelo? (tripleto)

5. O méson ρ tem estranheza S = 0, jp = 1− e uma massa de 770MeV .(a) Qual o principal modo de decaimento de ρ+ você esperaria?



(b) Por que o ρ0 não pode decair como π0π0?

6. Calcule as massas dos bárions da Tabela 14.9.

7. Além da propriedade sabor (são seis os sabores: u, d, s, c, b, t) é atribuída aosquark uma propriedade adicional chamada cor (são três as cores: R,G,B; há tambémtrês anticores, R, G, B). Assim temos, uR, uG, uB , etc. A força entre os quarks podeser modelada como uma força de troca, mediada pela troca de partículas sem massa e despin-1 chamadas glúons. O campo que liga os quarks é um campo de cores, assim, a cortem um papel essencial no modelo a quark de partículas. A cor está para a interaçãoforte entre os quarks, assim como a carga elétrica está para a interação eletromag-nética entre os elétrons. Veja a Figura

8. Usando as fórmulas fenomenológicas Eqs. (14.20) e (14.21) para as massas dobárions calcule as massas do octeto e decupleto, colunas 5 e 6 da Tabela 14.9. Os es-tados de três férmions (spin 1/2) são deduzidos no Apêndice A, Eqs. (A.101) a (A.108).

9. As reações

e+ + e− −→ µ+ + e−

e+ + e− −→ τ+ + e−

νµ + p −→ νe + hádronsνµ + p −→ e− + hádrons

nunca foram observadas nos experimentos realizados, a qual conclusão isto leva?

10. Na reação de fusão

p+ p −→ 2H + e+ + νe + 0, 42MeV

qual é o maior valor possível do momentum linear do elétron (em unidadesMeV/c)?E do neutrino?

11. Considere o par de neutrinos νe−νµ, devido à observação de oscilação no fluxoao longo de sua trajetória supõe-se que suas massas não são bem definidas, seu realestado é de uma superposição de autoestados de massa

|νei = cos θ |m1i+ eiφ sin θ |m2i|νµi = −e−iφ sin θ |m1i+ cos θ |m2i|ντ i = |m3i

Para o hamiltoniano de energia

H =

⎛⎝ E1 0 00 E2 00 0 E3

⎞⎠ (14.37)


14.7 Problemas 457

onde Ei =pc2p2 +m2

i c4, calcule:

(a) Os estados evoluídos temporalmente, |νeit = U(t) |νei e |νµit = U(t) |νµi,com U(t) = e−iHt/~ :(b) A probabilidade de transição Pe→µ(t) = |hνµ|U(t) |νei|2.(c) Para quais valores de θ e φ Pe→µ(t) torna-se máxima? E em quais tempos?(d) Some à matriz energia (14.37) uma outra matriz,

Γ =

⎛⎝ −iγ 0 00 −iγ 00 0 0

⎞⎠tal que o novo operador de evolução temporal seja U(t) = e−iHt/~ com H = H + Γ.

Calcule Pe→µ(t) =¯hνµ| U(t) |νei

¯2e interprete e discuta o seu resultado.

12. Mostre que as massas dos neutrinos νe e νµ são dadas em termos das massas deν1 e ν2, como

mνe =qm2ν1cos2 θ +m2

ν2sin2 θ,

mνµ =qm2ν1sin2 θ +m2

ν2cos2 θ.

Dica: Considere um operador de massa como sendo m = −i¡~/c2

¢∂/∂t e calcule

o valor esperado de m2 nos estados (14.32) e (14.33) para o momentum linear p = 0.


Apêndice AO grupo de permutações e aclassificação das funções deonda

A.0.1 O grupo de permutações S2 (trivial)

Uma função de onda não-simetrizada para duas partículas é escrita como

ψm1m2(1, 2) (A.1)

onde (m1,m2) caracteriza os estados quânticos das partículas e (1, 2) é a especifi-cação das partículas; esse conjunto poderia ser dado pelas coordenadas das partículas,(r1, r2). A função de onda (??) diz que a partícula 1 encontra-se no estado quânticocaracterizado pelo(s) número(s) quântico(s) m1 e a partícula 2 “está no estado” m2.etir o anterior?Mas ocorre que, na descrição quântica, as partículas não são distingüíveis; no caso dasduas partículas qualquer uma delas tem probabilidade de estar em qualquer um dos es-tados quânticos (m1,m2). Como escrever as diversas possíveis funções de ondas paraas duas partículas de forma que sejam todas caracterizadas pela indistingüibilidade?Isto é feito através do uso do grupo de permutações S2, que permite obter as funçõesde onda e classificá-las de acordo com certas simetrias.O grupo de permutações para 2 partículas é constituído de dois elementos,

I, P12, (A.2)

onde I é o elemento identidade e P12 significa trocar o estado quântico das partículas,ou seja, coloque a partícula 1 no estado da partícula 2, e a 2 no estado da 1, em síntese,

Iψm1m2(1, 2) = ψm1m2

(1, 2) (A.3)P12ψm1m2

(1, 2) = ψm1m2(2, 1) . (A.4)

Porém, é mais conveniente, do ponto de vista operacional, que os operadores (??)permutem os estados (m1,m2) e não as coordenadas das partículas, ou seja,

Iψm1m2(1, 2) = ψm1m2

(1, 2) (A.5)P12ψm1m2

(1, 2) = ψm2m1(1, 2) , (A.6)

459


460 Appendix: O grupo de permutações e a classificação das funções de onda

mantendo-se o significado ou valor posicional das partículas, o que é convenientequando se usa a noção de Dirac,

I |m1m2i = |m1m2i (A.7)P12 |m1m2i = |m2m1i (A.8)

onde, no ket |m1m2i, entende-se que a partícula 1está no estadom1 e a partícula 2 estáno estado m2. No caso do ket |m2m1i, a partícula 1 está no estado m2 e a partícula 2está no estado m1. O ordenamento posicional das partículas não muda sob a ação dosoperadores de permutação.Os operadores (??) formam um grupo, cuja tabela de multiplicação (um elemento da

primeira coluna multiplicando um elemento da primeira linha) é (chamando P12 = P )

I PI I PP P I

, (A.9)

e, dai, verifica-se que eles comutam entre si, ou seja, [P, I] = 0.Define-se o operador

B = I + P (A.10)que comuta com P , logo I, P,B é um conjunto compatível de operadores e verifica-se que a equação

B2 − 2B = 0 (A.11)cujas raízes são os autovalores das equações, Bψ(i)m1m2

(1, 2) = biψ(i)m1m2

(1, 2), comb1 = 0 e b2 = 2. Como os autovalores de P são, respectivamente, p1 = −1 e p2 = 1,obseervamos que os autovalores classificam os estados de acordo com as simetrias. Acho que seria bom dize

que autovalores estamoslando.bi pi Simetrias

0 −1 A2 1 S

, (A.12)

onde A e S significam antissimétrico e simétrico, respectivamente.

A.0.2 Construção dos estados de acordo com as simetrias

Autolavor b1 = 0 No caso em que b1 = 0, temos

P |ψi = − |ψi . (A.13)Escrevendo para |ψi o estado mais geral

|ψi = a |m1m2i+ b |m2m1i , (A.14)é necessário determinar o conjunto de coeficientes a, b, com a condição de normal-ização |a|2 + |b|2 = 1. Da equação (A.13) obtém-se

a = −b = 1√2

(A.15)


461

logo,

|ψAi =1√2(|m1m2i− |m2m1i) (A.16)

que é uma função antissimétrica.

Autovalor b2 = 2 No caso em que b2 = 2, temos

P |ψi = |ψi , (A.17)

que implica

a = b =1√2, (A.18)

e que leva ao estado simétrico

|ψSi =1√2(|m1m2i+ |m2m1i) . (A.19)

A base para spin j = 1/2. Para dois valores possíveis, 1/2,−1/2 ou ↑, ↓ paraos rótulos, teremos, de acordo com a notação (m1,m2), o seguinte conjunto de estados:(↓, ↓), (↓, ↑), (↑, ↓) e (↑, ↑). Um sistema físico que seja descrito por tal conjunto deestados pode ser construído, por exemplo, a partir de duas partículas de spin j = 1/2,cujo estado de spin total é dado por

|J Mji =1X

Mj=−1(1/2m1 1/2m2|J Mj) |1/2m1i1 |1/2m2i2 (A.20)

com J = 0, 1, sendo (1/2m1 1/2m2|J Mj) o coeficiente de Clebsh-Gordan commj = ±1/2. Daí, vemos que¯

ψ(1)S

E= |↓↓i (A.21)¯

ψ(2)S

E= |↑↑i (A.22)¯

ψ(3)S

E=

1√2(|↓↑i+ |↑↓i) (A.23)

|ψAi =1√2(|↓↑i− |↑↓i) , (A.24)

foram um conjunto de três estados simétricos e um antissimétrico. Mas os estados



(A.21) e (A.22) podem ser combinados para se obter a assim chamada base de Bell¯ψ(+)S

E=

1√2(|↓↓i+ |↑↑i) (A.25)¯

ψ(−)S

E=

1√2(|↓↓i− |↑↑i) (A.26)¯

ψ(0)S

E=

1√2(|↓↑i+ |↑↓i) =

¯ψ(3)S

E(A.27)

|ψAi =1√2(|↓↑i− |↑↓i) . (A.28)

A.0.3 Como construir os estados (1.24)-(1.27)?

Partindo do estado inicial |↓↓i, como construir os demais estados (A.25)-(A.28)? Verifica-se imediatamente que é suficiente o uso dos operadores I e σx, ou seja, o operadoridentidade e operador de Pauli para o spin, que satisfazem as propriedades I |xi = |xie σx |xi = |1− xi, com x ∈ 0, 1, a saber, Os produtos nas expressõ

não são o produto direto?¯ψ(+)S

E=

1√2(I1 ⊗ I2 + σx,1 ⊗ σx,2) |↓↓i , (A.29)

¯ψ(−)S

E=

1√2(I1 ⊗ I2 − σx,1 ⊗ σx,2) |↓↓i , (A.30)¯

ψ(0)S

E=

1√2(I1 ⊗ σx,2 + σx,1 ⊗ I2) |↓↓i , (A.31)

|ψAi =1√2(I1 ⊗ σx,2 − σx,1 ⊗ I2) |↓↓i . (A.32)

Qual é o operador hamiltoniano que gera a transformação do estado |↓↓i, para cada um Operador hamiltoniano?dos quatro estados (A.29)-(A.32) ?

A.0.4 As simetrias do grupo de permutações S3 (não trivial)

Uma função de onda não-simetrizada para três partículas é escrita como

ψm1m2m3(1, 2, 3) , (A.33)

onde o cunjunto (m1,m2,m3) caracteriza os estados quânticos das partículas e osmúmeros (1, 2, 3) especificam as coordenadas das partículas, (r1, r2, r3). A função deonda (A.33) diz que a partícula 1 encontra-se no estado quântico caracterizado pelo(s)número(s) quântico(s)m1, a partícula 2 “está no estado”m2 e a partícula 3 “está no es-tado” m3. Vamos fazer uso do grupo de permutações S3 para escrever as funções deonda para três partículas indistingüíveis e classificá-las de acordo com certas simetrias.O grupo S3 é constituído de seis elementos,

I, P12, P23, P31, P123, P132, (A.34)


463

onde I é o elemento identidade, P12, significa coloque a partícula 1 no lugar da partícula2, e a 2 no lugar da 1; o mesmo raciocínio vale para os elementosP23, eP31. O elementoP123 (P132) diz: no lugar da partícula 3 (2) coloque a 2 (3), no lugar da 2 (3) coloque a1 e no lugar da 1 coloque a 3 (2). Assim, teremos explicitamente,

Iψm1m2m3(1, 2, 3) = ψm1m2m3

(1, 2, 3) (A.35)P12ψm1m2m3

(1, 2, 3) = ψm1m2m3(2, 1, 3) (A.36)

P23ψm1m2m3(1, 2, 3) = ψm1m2m3

(1, 3, 2) (A.37)P31ψm1m2m3

(1, 2, 3) = ψm1m2m3(3, 2, 1) (A.38)

P123ψm1m2m3(1, 2, 3) = ψm1m2m3

(3, 1, 2) (A.39)P132ψm1m2m3

(1, 2, 3) = ψm1m2m3(2, 3, 1) , (A.40)

onde no lado direito da equação (A.39), por exemplo, lê-se: a partícula 3 está no estadom1, a partícula 1 está no estado m2 e a partícula 2 está no estado m3. Mas vamosver que é mais conveniente, do ponto de vista operacional, que os operadores (A.34)permutem os estados (m1,m2,m3) e não as coordenadas das partículas:

Iψm1m2m3(1, 2, 3) = ψm1m2m3

(1, 2, 3) (A.41)P12ψm1m2m3

(1, 2, 3) = ψm2m1m3(1, 2, 3) (A.42)

P23ψm1m2m3(1, 2, 3) = ψm1m3m2

(1, 2, 3) (A.43)P31ψm1m2m3

(1, 2, 3) = ψm3m2m1(1, 2, 3) (A.44)

P123ψm1m2m3(1, 2, 3) = ψm3m1m2

(1, 2, 3) (A.45)P132ψm1m2m3

(1, 2, 3) = ψm2m3m1(1, 2, 3) . (A.46)

Desta forma, guarda-se o significado do valor posicional das partículas, o que é conve-niente na notação de Dirac,

I |m1m2m3i = |m1m2m3i (A.47)P12 |m1m2m3i = |m2m1m3i (A.48)P23 |m1m2m3i = |m1m3m2i (A.49)P31 |m1m2m3i = |m3m2m1i (A.50)P123 |m1m2m3i = |m3m1m2i (A.51)P132 |m1m2m3i = |m2m3m1i , (A.52)

onde, no ket |m1m2m3i, entende-se que a partícula 1está no estado m1, a partícula2 está no estado m2 e a partícula 3 está no estado m3; no caso do ket |m3m1m2i, apartícula 1 está no estado m3, a partícula 2 está no estado m1 e a partícula 3 está noestadom2. O significado posicional das partículas não muda sob a ação dos operadoresde permutação.Os operadores (A.34) formam um grupo, cujas tabela de multiplicação (um elemento



da primeira coluna multiplicando um elemento da primeira linha) é

I P12 P23 P31 P123 P132I I P12 P23 P31 P123 P132P12 P12 I P123 P132 P23 P31P23 P23 P132 I P123 P31 P12P31 P31 P123 P132 I P12 P23P123 P123 P31 P12 P23 P132 IP132 P132 P23 P31 P12 I P123

(A.53)

As regras de comutação, não triviais, entre os elementos são

[P12, P23] = P123 − P132[P12, P31] = −P123 + P132[P12, P123] = P23 − P31[P12, P132] = −P23 + P31[P23, P31] = P123 − P132[P23, P123] = −P12 + P31[P23, P132] = P12 − P31[P31, P123] = P12 − P23[P31, P123] = −P12 + P23

[P123, P123] = 0.

Agora, para determinar o conjunto de funções e classificá-las de acordo com suassimetrias, vamos seguir o método proposto por P. A. M. Dirac em seu texto clássico,Principles of Quantum Mechanics: definem-se os operadores

X1 = I (A.54)

X2 =1

3(P12 + P23 + P31) (A.55)

X3 =1

2(P123 + P132) (A.56)

que comutam entre si, [Xi,Xj ] = 0 e que também comutam com todos os Pα, ou seja,[Xi, Pα] = 0. Verificamos então que as ações de X2 e X3 em um estado |m1m2m3isão dadas por

X2 |m1m2m3i =1

3(|m2m1m3i+ |m1m3m2i+ |m3m2m1i) (A.57)

X3 |m1m2m3i =1

2(|m3m1m2i+ |m2m3m1i) . (A.58)

Podemos escrever também uma tabela de multiplicação para os operadores Xi (um


465

elemento da primeira coluna multiplicando um elemento da primeira linha),

X1 X2 X3

X1 X1 X2 X3

X2 X213 (X1 + 2X3) X2

X3 X3 X212 (X1 +X3) .

(A.59)

Agora define-se um novo operador, em termo dos Xi,

B = I +X2 +X3 (A.60)

e verifica-se que [B,Xi] = 0, ao mesmo tempo que

B2 =11

6I + 4X2 +

19

6X3 (A.61)

B3 =19

4I + 13X2 +

37

4X3. (A.62)

Substituindo (de (A.60))X3 = B −X2 − I em (A.61) obtemos,

X2 =6

5B2 − 19

5B +

8

5I (A.63)

eX3 = B −X2 − I = −6

5B2 +

24

5B − 13

5I, (A.64)

que, por sua vez, substituídos em (A.62) permitem escrever uma equação do terceirograu em B,

B3 − 92B2 + 5B − 3

2= 0, (A.65)

onde o operador unidade I é substituído pelo seu autovalor 1. A equação (A.65) éuma equação de números, e não mais de operadores, cujas raízes fornecem os possíveisautovalores da equação

B¯ψbi®= bi

¯ψbi®, (A.66)

de ondeb1 = 3, b2 = 1, b3 =

1

2. (A.67)

Como I,B,X2X3comutam entre si, eles formam um conjunto compatível de oper-adores, i.e., estão associados a “bons números quânticos”. Além disso, como todos osPα comutam com I,B,X2X3, podemos juntar um deles ao conjunto, por exemplo,P23 que será chamado P (P23 ≡ P ), e o conjunto fica (omitindo o operador identidadeI , por ser trivial),

B,X2X3, P. (A.68)De (A.55) temos

3X2 − P = P 0, (A.69)com

P 0 ≡ P12 + P31, (A.70)



e verifica-se que

[P, P 0] = 0, PP 0 = P 0P = 2X3, P + P 0 = 3X2. (A.71)

Para cada autovalor bi existem autovalores x(i)2 , x

(i)3 e p(i), para X2X3 e P , respectiva-

mente, o que permite escrever a seguinte tabela de autovalores

bi x(i)1 x

(i)2 x

(i)3 p(i) p0(i) Simetrias

3 1 1 1 1 2 S1 1 −1 1 −1 −2 A1/2 1 0 −1/2 1 −1 α1/2 1 0 −1/2 −1 1 β

(A.72)

Agora vamos determinar os autoestados para cada conjunto de autovalores bi, x(i)1 , x(i)2 , x

(i)3 , p(i).

A.0.5 Construção dos estados de acordo com as simetrias

Autovalor b1 = 3 Da segunda linha da tabela (A.72), temos

X2 |ψi = X3 |ψi = P |ψi = |ψi . (A.73)

Escrevendo para |ψi o estado mais geral,

|ψi = a |m1m2m3i+ b |m2m1m3i+ c |m1m3m2i+ d |m3m2m1i+f |m3m1m2i+ g |m2m3m1i , (A.74)

é necessário determinar o conjunto de coeficientes a, b, c, d, f, g. Da equaçãoX2 |ψi =|ψi obtém-se

b+ c+ d = 3a

a+ g + f = 3b

f + a+ g = 3c

g + f + a = 3d

c+ d+ b = 3f

d+ b+ c = 3g. (A.75)

DeX3 |ψi = |ψi obtém-se

f + g = 2a

c+ d = 2b

b+ d = 2c

b+ c = 2d

a+ g = 2f

a+ f = 2g. (A.76)


467

Finalmente, de P |ψi = |ψi obtém-se

a = c

b = g

d = f. (A.77)

Resolvendo as equações (A.75), (A.76) e (A.77), e impondo a condição de normaliza-ção, |a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2 + |f |2 + |g|2 = 1, obtém-se

a = b = c = d = f = g =1√6,

o que corresponde a uma função totalmente simetrizada

|ψSi =1√6(|m1m2m3i+ |m2m1m3i+ |m1m3m2i+ |m3m2m1i

+ |m3m1m2i+ |m2m3m1i) , (A.78)

Autovalor b2 = 1 Da terceira linha da tabela (A.72) temos

X3 |ψi = |ψi , X2 |ψi = P |ψi = − |ψi . (A.79)

Repetindo os mesmos passos que no caso anterior, de X2 |ψi = − |ψi,

b+ c+ d = −3aa+ g + f = −3bf + a+ g = −3cg + f + a = −3dc+ d+ b = −3fd+ b+ c = −3g, (A.80)

deX3 |ψi = |ψi os valores de (A.76) se repetem e de P |ψi = − |ψi seguem

c = −af = −dg = −b. (A.81)

Decorre então que

a = f = g =1√6e b = c = d = − 1√

6, (A.82)

sendo então a função de onda resultante totalmente antissimetrizada

|ψAi =1√6(|m1m2m3i− |m2m1m3i− |m1m3m2i− |m3m2m1i

+ |m3m1m2i+ |m2m3m1i) , (A.83)



duas partículas, 1/2 é o spin da terceira partícula, S (|S12 − 1/2| ≤ S ≤ S12 + 1/2)é o spin total das três partículas e Ms é a sua projeção no eixo z. Se S12 = 0 entãoS = 1/2, mas se S12 = 1, então S = 1/2, 3/2(a) Como primeira possibilidade temosm1 = m2 = m3 =↑ (em vez de escrevermos

1/2, 1/2, 1/2 ). Logo, das seis funções, de (A.95) a (A.100), só a primeira existe,¯ψ(1)S

E= |↑↑↑i = |1 3/2 3/2i , (A.101)

enquanto que a última forma |S12 S MSi é uma notação mais abreviada para |(1/2 1/2)S121/2 SMSi,com possíveis valores S12 = 0, 1, e como

¯12 − S12

¯≤ S ≤ 1

2 + S12, portantoS = 1/2, 3/2.(b) Param1 = m2 = m3 =↓ (em vez de escrever −1/2,−1/2,−1/2 ), novamente

apenas a função simétrica (A.95) existe¯ψ(2)S

E= |↓↓↓i = |1 3/2 − 3/2i ; (A.102)

as demais são nulas.(c) Agora, param1 = m2 =↑ em3 =↓, temos as seguintes funções¯

ψ(3)S

E=

1√3(|↑↑↓i+ |↑↓↑i+ |↓↑↑i) = |1 3/2 1/2i ; (A.103)

as funções |ψAi =¯ψα2

®=¯ψβ2

E= 0 não existem, ficando uma função apenas de Detalhar, não é claro por

cada simetria, α e β,¯ψ(1)α1

E=

1√6(|↑↑↓i+ |↑↓↑i− 2 |↓↑↑i) = |1 1/2 1/2i (A.104)

(estado invariante pela troca dos spins 2 e 3) e¯ψ(1)β1

E=

1√2(|↑↑↓i− |↑↓↑i) = |↑i⊗

µ1√2(|↑↓i− |↓↑i)

¶= |0 1/2 1/2i . (A.105)

(d) Param1 = m2 =↓ em3 =↑, existem as seguintes funções¯ψ(4)S

E=

1√3(|↓↓↑i+ |↓↑↓i+ |↑↓↓i) = |1 3/2 − 1/2i , (A.106)

¯ψ(2)α1

E=

1√6(|↓↓↑i+ |↓↑↓i− 2 |↑↓↓i) = |1 1/2 − 1/2i (A.107)¯

ψ(2)β1

E=

1√2(|↓↓↑i− |↓↑↓i) = |0 1/2 − 1/2i . (A.108)

Como última observação, note-se que as funções de onda simétricas podem combinar-se em superposições do tipo¯

ψ(+)S

E=

1√2(|↑↑↑i+ |↓↓↓i) =⇒ 1√

2(|1 3/2 3/2i+ |1 3/2 − 3/2i) (A.109)


471

e ¯ψ(−)S

E=

1√2(|↑↑↑i− |↓↓↓i) =⇒ 1√

2(|1 3/2 3/2i− |1 3/2 − 3/2i) , (A.110)

que são conhecidos como estados GHZ14.

14Sigla de três autores, Greenberger, Horne e Zeilinger, que usaram esses estados em estudos emaran-hameno de estados em informação quântica.


Apêndice BAs massas dos hádrons

A fim de evitar confusão, alertamos o leitor que neste apêndice usa-se a letra m paraas massas, não é o número quântico projeção do spin na direção z como no apêndiceA. Na fórmula semiempírica de massa

M = m1 +m2 +m3 +Bs

∙hs1 · s2im1m2

+hs2 · s3im2m3

+hs3 · s1im1m3

¸(B.1)

os número quânticos s1 = s2 = s3 = 1/2 e Bs = m2u

¡200MeV/c2

¢. O spin total é

S = s1 + s2 + s3

e considerando o valor esperado do seu quadradoDS2E=D(s1)

2E+D(s2)

2E+D(s3)

2E+ 2 (hs1 · s2i+ hs2 · s3i+ hs3 · s1i)

calculado no estado escolhido ad hoc

|(s1s2)S12, s3, S Msi (B.2)obtém-se,

S (S + 1) = 3s1 (s1 + 1) + 2 (hs1 · s2i+ hs2 · s3i+ hs3 · s1i) .O valor médio dos produtos escalares dos spins são escritos como,

hs1 · s2i+ hs2 · s3i+ hs3 · s1i =1

2[S (S + 1)− 3s1 (s1 + 1)]

=1

2

∙S (S + 1)− 9

4

¸,

com dois valores para o spin total, S = 1/2, 3/2. resultado este que pode ser usadono caso de três massas iguais, o que ocorre no caso dos quarks u e d, mu = md, nopróton, no nêutron e nas ressonâncias∆.No caso de um bárion constituído de quarks com duas massas iguais e uma difer-

ente,m1 = m2 6= m3, a massa (B.1) escreve-se

MS = 2m1 +m3 +Bs

m1

∙1

m1hs1 · s2i+

1

m3h(s1 + s2) · s3i

¸. (B.3)

Agora, como S12 = s1 + s2, S12 = 0, 1, logo

S12 = 0 =⇒ S =1

2

S12 = 1 =⇒ S =1

2,3

2,

473


474 Appendix: As massas dos hádrons

e reescrevendo o estado (B.2) como |S12 S Msi (omitimos s1, s2 e s3, uma vez quesão iguais), temos ¯

01

2Ms

À=⇒ dois estados¯

11

2Ms


13

2Ms

À=⇒ quatro estados.

O termo entre colchetes em (B.3) pode ser reescrito como o valor médio no estado|S12 S Msi

1

m1hs1 · s2i+

1

m3h(s1 + s2) · s3i =

1

m1hs1 · s2i+

1

m3

DS12 · s3

E=

1

2m1

µS12 (S12 + 1)−

3

2

¶+

1

2m3

µS (S + 1)− S12 (S12 + 1)−

3

4

¶(B.4)

B.0.7 Caso 1: m1 = m2 = m3, S = 12, 32

Temos

MS = 3m1 +Bs

m21

[hs1 · s2i+ hs2 · s3i+ hs3 · s1i]

= 3m1 +Bs

2m21

∙S (S + 1)− 9

4

¸logo,

M1/2 = 3m1 −3Bs

4m21

, M3/2 = 3m1 +3Bs

4m21

.

B.0.8 Caso 2: m1 = m2 6= m3, S = 32, S12 = 1

Neste caso há 4 estados ¯13

2Ms

À=⇒ quatro estados.

e a Eq. (B.4) escreve-se

1

m1hs1 · s2i+

1

m3

DS12 · s3

E=

1

2m1

µ2− 3

2

¶+

1

2m3

µ15

4− 2− 3

4

¶=1

2

µ1

2m1+

1

m3

¶. (B.5)


475

B.0.9 Caso 3: m1 = m2 6= m3, S = 12, S12 = 0, 1

Neste caso há 4 estados, ¯01

2Ms


11

2Ms

À=⇒ dois estados,

logo escrevemos1

m1hs1 · s2i+

1

m3

DS12 · s3

Ecalcula-se média aritmética

1

2

∙¿01

2Ms

¯ µ1

m1s1 · s2 +

1

m3S12 · s3

¶ ¯01

2Ms

À+

¿11

2Ms

¯ µ1

m1s1 · s2 +

1

m3S12 · s3

¶ ¯11

2Ms

À¸substituindo com os autovalores

1

2

∙¿01

2Ms

¯1

2m1

µS12 (S12 + 1)−

3

2

¶+

1

2m3

µS (S + 1)− S12 (S12 + 1)−

3

4

¶ ¯01

2Ms

À+

¿11

2Ms

¯1

2m1

µS12 (S12 + 1)−

3

2

¶+

1

2m3

µS (S + 1)− S12 (S12 + 1)−

3

4

¶ ¯11

2Ms

À¸substituindo os números quânticos dos estados,

1

2

∙¿01

2Ms

¯ µ1

2m1

µ−32

¶+

1

2m3

µ1

2

µ1

2+ 1

¶− 34

¶¶ ¯01

2Ms

À+

¿11

2Ms

¯ µ1

2m1

µ(1 + 1)− 3

2

¶+

1

2m3

µ1

2

µ1

2+ 1

¶− (1 + 1)− 3

4

¶¶ ¯11

2Ms

À¸= −1

2

µ1

2m1+

1

m3

¶.

Voltando à Eq. (B.3) obtemos

M3/2 = 2m1 +m3 +Bs

2m1

µ1

2m1+

1

m3

¶e

M1/2 = 2m1 +m3 −Bs

2m1

µ1

2m1+

1

m3

¶.


Fisica Nuclear e Particulas Subnucleares - Capítulo 14 - S. S. Mizrahi & D. Galetti

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