Física Estadística - Tercer curso del Grado en Física · Gas ideal de Fermi-Dirac fuertemente...
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Física Estadística
Largo-Solana
Gases idealescuánticos Física Estadística
Tercer curso del Grado en Física
J. Largo & J.R. Solanalargoju at unican.es solanajr at unican.es
Departamento de Física AplicadaUniversidad de Cantabria
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Gases idealescuánticos
Introducción
Función de partición.Formulación discreta de laspropiedadestermodinámicas
Densidad de estadoscuánticos
Gas ideal de Fermi-Diracdébilmente degenerado
Gas ideal de Fermi-Diracfuertemente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Indice I
Gases ideales cuánticosIntroducciónFunción de partición. Formulación discreta de las pro-piedades termodinámicasDensidad de estados cuánticos. Formulación continuade las propiedades termodinámicasGas ideal de Fermi-Dirac débilmente degeneradoGas ideal de Fermi-Dirac fuertemente degeneradoGas ideal de Bose-Einstein débilmente degeneradoGas ideal de Bose-Einstein fuertemente degenerado.Condensación de Bose-Einstein
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Introducción
Función de partición.Formulación discreta de laspropiedadestermodinámicas
Densidad de estadoscuánticos
Gas ideal de Fermi-Diracdébilmente degenerado
Gas ideal de Fermi-Diracfuertemente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Introducción
• Hasta ahora hemos considerado que el número deestados disponibles es mucho mayor que el númerode partículas (aproximación clásica).
• La ocupación de los niveles esta restringida para laspartículas de spin semientero (fermiones) y no asípara las partículas de spin entero (bosones).
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Introducción
Función de partición.Formulación discreta de laspropiedadestermodinámicas
Densidad de estadoscuánticos
Gas ideal de Fermi-Diracdébilmente degenerado
Gas ideal de Fermi-Diracfuertemente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Gases ideales cuánticosFunción de partición
Formulación discreta
Para tratar los sistemas de fermiones o bosones nosinteresa trabajar en el colectivo macrocanónico.
Ξ(µ, V, T ) =∑j
∑k
Gjke(µNj−Uk)/kT
Gjk la multiplicidad o degeneración del macroestadosegún se trate de fermiones o bosones respectivamente.∏
i
gi!
Ni! (gi −Ni)!
∏i
(gi +Ni − 1)!
Ni! (gi − 1)!
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Función de partición.Formulación discreta de laspropiedadestermodinámicas
Densidad de estadoscuánticos
Gas ideal de Fermi-Diracdébilmente degenerado
Gas ideal de Fermi-Diracfuertemente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Gases ideales cuánticosFunción de partición
Si las partículas no interaccionan (son ideales), los es-tados cuánticos de j partículas se pueden expresar entérminos de estados cuánticos de partícula.
U(n0, n1, . . .) =∑l
nlεl
N =∑l
nl
Siendo l el índice que recorre los estados cuánticos departícula y nl la ocupación de ese estado. La idea es sus-tituir la doble suma sobre el número de partículas y sobreel número estados del sistema, por sumas a ocupacionesde estados cuánticos de partícula.
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Densidad de estadoscuánticos
Gas ideal de Fermi-Diracdébilmente degenerado
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Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Gases ideales cuánticosFunción de partición
Ξ(µ, V, T ) =∑n0
. . .∑nl
e(µN(n0,n1,...)−U(n0,n1,...))/kT
y entonces podemos factorizar
Ξ(µ, V, T ) =∑n0
. . .∑nl
e[µ(n0+n1+...)−n0ε0−n1ε1...]/kT =
=∑n0
e(µ−ε0)n0/kT∑n1
e(µ−ε1)n1/kT . . .∑nl
e(µ−εl)nl/kT
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Densidad de estadoscuánticos
Gas ideal de Fermi-Diracdébilmente degenerado
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Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Gases ideales cuánticosFunción de partición
Para un sistema de bosones
ΞBE =∑{nj}
e
∑jnj(µ−εj)/kT
=
=
∞∑n1=0
en1(µ−ε1)/kT∞∑
n2=0
en2(µ−ε2)/kT . . .
=∏j
[1− e(µ−εj)/kT
]−1
donde hemos hecho uso de la relación1/(1− x) =
∞∑n=0
xn, cuando |x| < 1.
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Densidad de estadoscuánticos
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Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado
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Gases ideales cuánticosFunción de partición
Para un sistema de fermiones
al sumar para cada nj hay que omitir los términos en quenj > 1 ya que no puede haber más de una partículaocupando el mismo estado cuántico:
ΞFD =∑{nj}
e
∑jnj(µ−εj)/kT
=∏j
[1 + e(µ−εj)/kT
]
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Gases ideales cuánticosFunción de partición
Resumen
La función de partición macrocanónica para un sistemade fermiones o bosones se puede poner como unproducto de factores correspondientes cada uno de ellosa un estado cuántico.De forma unificada
Ξ =∏j
[1± ze−βεj
]±1
• para bosones signo (-), para fermiones signo (+)
• z = exp(µ/kT ) es la fugacidad.
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Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Gases ideales cuánticosPropiedades termodinámicas
pV = kT ln Ξ = ±kT∑j
ln[1± ze−βεj
]
N = kT
(∂ ln Ξ
∂µ
)T,V
=∑j
ze−βεj
1± ze−βεj=∑j
n̄j
n̄j el número medio de partículas en el estado cuántico j.
U = kT 2
(∂ ln Ξ
∂T
)V,µ/T
=∑j
εjze−βεj
1± ze−βεj
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Gases ideales cuánticosPropiedades termodinámicas
Consideraciones sobre la fugacidad
• z da idea de la importancia de los efectos cuánticosen el sistema.
• si z es pequeño, z = exp(−α)� 1, tanto laestadística de Fermi-Dirac como la de Bose-Einsteinse reducen a la estadística clásica.
• Los efectos cuánticos se hacen importantes parabajas temperaturas y altas densidades. (En esascondiciones z será grande).
• nos centramos en los casos en que z no es pequeño(cuando los efectos cuánticos son importantes).
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Densidad de estados cuánticosFormulación continua
Conocido el nomedio de ocupación de los estados cuánti-cos:
n(ε) =ze−βε
1± ze−βε
Queremos conocer el número de estados cuánticos conenergía comprendida entre ε y ε + dε (y a partir de ello,la densidad de estados cuánticos).En un elemento de volumen del espacio µ, hay un nodeestados cuánticos:
gd3Vqd
3Vp
h3
donde g = 2s + 1 es la degeneración de un nivel deenergía para partículas de spin s.
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Densidad de estados cuánticosFormulación continua
Para partículas no relativistas ε = p2/2m
Considerando por separado el espacio de momentos,
d3Vp = p2senθdθdϕdp =1
2senθdθdϕ (2m)3/2 ε1/2dε
El número de estados cuánticos con energíacomprendida entre ε y ε+ dε es:
dg (ε) = 2πgV
(2m
h2
)3/2
ε1/2dε = D (ε) dε
donde D(ε) = dg(ε)/dε es la densidad de estadoscuánticos de partícula.
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Densidad de estados cuánticosFormulación continua
Utilizando las densidad de estados cuánticos,
N =
∫ ∞0
n (ε)D (ε) dε =
= 2πgV
(2m
h2
)3/2 ∫ ∞0
zε1/2e−βε
1± ze−βεdε
U =
∫ ∞0
εn (ε)D (ε) dε =
= 2πgV
(2m
h2
)3/2 ∫ ∞0
zε3/2e−βε
1± ze−βεdε
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Densidad de estados cuánticosFormulación continua
pV = ±kT∫ ∞
0ln[1± ze−βε
]D (ε) dε =
= ±2πkTgV
(2m
h2
)3/2 ∫ ∞0
ε1/2 ln[1± ze−βε
]dε
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Densidad de estados cuánticosFormulación continua
si realizamos una integración por partes:(¡hacer!)
pV =4
3πgV
(2m
h2
)3/2 ∫ ∞0
zε3/2e−βε
1± ze−βεdε =
=2
3
∫ ∞0
εn (ε)D (ε) dε =2
3U
Donde hemos tenido en cuenta que el número medio deocupación de un estado cuántico de energía ε es
n(ε) =ze−βε
1± ze−βε
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Planificación
Una vez establecida la formulación continua de las propie-dades termodinámicas:
1. Estudiaremos un gas ideal de Fermi-Dirac paravalores pequeños de z, es decir, cuando los efectoscuánticos son pequeños. En tal caso se dice que elgas es débilmente degenerado.
2. A continuación estudiaremos el gas de Fermi-Diracpara valores grandes de z, cuando los efectoscuánticos son importantes, en cuyo caso se dice queel gas es fuertemente degenerado.
3. Después haremos los mismos estudios para el gasde Bose-Einstein.
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La densidad de un gas ideal de Fermi-Dirac
ρ = 2πg
(2m
h2
)3/2 ∫ ∞0
zε1/2e−βε
1 + ze−βεdε =
g
Λ3I3/2 (z)
donde Λ es la longitud de onda térmica y:
In (z) =1
Γ (n)
∫ ∞0
xn−1
z−1ex + 1dx , 0 ≤ z ≤ ∞
donde x = βε y Γ(n) es la integral gamma.
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Si z < 1,
la integral In(z) puede resolverse desarrollando elintegrando en serie de potencias de z e integrandotérmino a término, con el resultado:
In (z) = fn (z) =
∞∑k=1
(−1)k−1 zk
kn; z < 1
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Entonces,ρ =
g
Λ3f3/2 (z)
p = kTg
Λ3f5/2 (z)
U =3
2kTV
g
Λ3f5/2 (z)
En el caso de un gas ideal de Fermi-Dirac débilmente de-generado, es decir z pequeño, las series fn(z) conver-gerán rápidamente y bastará considerar sólo los primerostérminos de las mismas.
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Para expresar las funciones termodinámicas entérminos de V ( o ρ) y T ,
necesitamos conocer z = z(T, ρ) y debemos invertir laserie ρ = g
Λ3f3/2 (z),
z =∞∑i=0
aiρi−1
z =ρΛ3
g+
1
23/2
(ρΛ3
g
)2
+
(1
4−
1
33/2
)(ρΛ3
g
)3
+. . .
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p
kT= ρ+
1
25/2
Λ3
gρ2 +
(1
8−
2
35/2
)Λ6
g2ρ3 + . . .
Esta ecuación es de la forma de un desarrollo del virialpara la presión, que puede escribirse en la forma:
p
kT= ρ+B2 (T ) ρ2 +B3 (T ) ρ3 + . . .
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• Los coeficientes del virial reflejan las desviacionesrespecto del comportamiento ideal debidas a lasinteracciones moleculares.
• Aunque no hay fuerzas intermoleculares, laspartículas experimentan una interacción efectivadebida a efectos cuánticos. Por eso aunque sonideales los coeficientes no se anulan.
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• En el caso de fermiones, la interacción es repulsivaya que B2(T ), es positivo y por tanto aumenta lapresión por encima de la de un gas ideal clásico bajolas mismas condiciones.
• B2(T ) es O(Λ3)los efectos cuánticos disminuyen amedida que disminuye la longitud de onda térmica.
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U =3
2NkT
[1 +
1
25/2
Λ3
gρ+
(1
8−
2
35/2
)Λ6
g2ρ2 + . . .
]=
=3
2pV
Todas las demás funciones termodinámicas pueden obte-nerse de estas expresiones.
Ejercicio propuesto
Obtener dichas propiedades termodinámicas.
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A bajas temperaturas y/o altas densidades,
z no es pequeño y los efectos cuánticos son importantes.
El número medio de partículas en un estado cuántico deenergía comprendida entre ε y ε+ dε, es
n (ε) =ze−βε
1 + ze−βε=
1
z−1eβε + 1=
1
eβ(ε−µ) + 1
Dado que el número de ocupación de un estado cuánticoen un sistema de fermiones es 0 o 1, representa tambiénla probabilidad de que un estado cuántico, de energía ε,esté ocupado.
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n (ε) =1
eβ(ε−µ) + 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2ε/µ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n(ε)
T/TF=0.1T/TF=0.01T/TF=0.001
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El potencial químico µ es, en general, función de la tem-peratura, y por tanto indicaremos el valor de µ a T = 0
por µ0. En el cero absoluto todos los estados cuánticospor debajo de µ0 están ocupados, cada uno de ellos poruna sola partícula, y por encima vacios, luego:
N =
∫ µ0
0n (ε)D (ε) dε =
= 2πg
(2m
h2
)3/2
V
∫ µ0
0ε1/2dε =
4πg
3
(2m
h2
)3/2
V µ3/20
de donde:
µ0 =h2
2m
(3
4πg
)2/3 (NV
)2/3
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µ0 se conoce como energía de Fermi εF
representa la energía por debajo de la cual, en el ceroabsoluto, todos los estados cuánticos se encuentranocupados por una y solo una partícula cada uno,mientras que por encima de esa energía todos losestados cuánticos se encuentran vacíos.
• temperatura de Fermi TF = εF/k
• el momento de Fermi pF = (2mεF )1/2.
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La temperatura de Fermi de un sistema es tantomayor cuanto mayor es la densidad numérica. Portanto:
• Si el sistema se encuentra a bajas temperaturas y/oaltas densidades, se cumplirá T/TF � 1 y elsistema será fuertemente degenerado, es decir, losefectos cuánticos serán muy importantes.
• Si T/TF � 1, el sistema será débilmentedegenerado y los efectos cuánticos serán pocoimportantes.
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En el límite del cero absoluto,
U0 =
∫ µ0
0εD (ε) dε = 2πgV
(2m
h2
)3/2 ∫ µ0
0ε3/2dε =
=3
5Nµ0 =
3
5NεF
que es la energía del punto cero de un gas deFermi-Dirac.
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• Implica que la contribución de las partículas en elestado fundamental a la capacidad calorífica escero, no (3/2)k.
• Solamente contribuyen a la capacidad caloríficaaquellas partículas que se encuentran por encimadel nivel de Fermi.
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La presión en el cero absoluto
p0V =2
3
∫ µ0
0εD (ε) dε =
2
5NεF
Esta “presión del punto cero” es muy elevada y se tratade una presión de origen cuántico, no de origen térmicocomo la presión ordinaria.
• A partir de estas expresiones se pueden obtenerotras funciones termodinámicas para el gas ideal deFermi-Dirac en el cero absoluto.
• En particular, la entropía en el cero absoluto esS0 = 0.
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Desarrollo a bajas temperaturas
Si T > 0, pero T/TF � 1, se realiza un desarrollo enserie de potencias de T/TF .Siendo los términos deorden cero las correspondientes propiedades en el ceroabsoluto.
Para fermiones, las funciones termodinámicasN ,U y pV
N =
∫ ∞0
n (ε)D (ε) dε U =
∫ ∞0
εn (ε)D (ε) dε
pV =2
3
∫ ∞0
εn (ε)D (ε) dε
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Función de partición.Formulación discreta de laspropiedadestermodinámicas
Densidad de estadoscuánticos
Gas ideal de Fermi-Diracdébilmente degenerado
Gas ideal de Fermi-Diracfuertemente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Gas ideal de Fermi-Diracfuertemente degenerado
Pfodemos unificar las expresiones en una única forma
I =
∫ ∞0
n (ε)h (ε) dε =
∫ ∞0
h (ε) dε
e(ε−µ)/kT + 1
conh (ε) = D (ε) si (I = N)
h (ε) = εD (ε) si (I = U)
h (ε) =2
3εD (ε) si (I = pV )
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Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Gas ideal de Fermi-Diracfuertemente degenerado
Si llamamos:I0 =
∫ µ
0h (ε) dε
entonces podemos poner:
∆I =
∫ ∞0
[1
e(ε−µ)/kT + 1−Θ
(µ− εkT
)]h(ε)dε =
= kT
∫ ∞−µ/kT
[1
ex + 1−Θ (−x)
]h (µ+ kTx) dx
donde x = (ε− µ)/kT y:
Θ (x) =
{0 si x < 0
1 si x > 0
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Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Gas ideal de Fermi-Diracfuertemente degenerado
A continuación obtendremos que
I = I0 +π2
6h′ (µ) (kT )2 +
7π4
360h′′′ (µ) (kT )4 + . . .
Aunque adelantamos el resultado final...
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Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
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∆I = kT
∫ ∞−µ/kT
[1
ex + 1−Θ (−x)
]h (µ+ kTx) dx
• Si ε < µ y T → 0, es decir, si x� 0, el términoentre corchetes tiende exponencialmente a cero y elintegrando tiende a cero, podemos extender el límiteinferior de integración hasta −∞.
• La función n(ε) tiende rápidamente a cero parax > 0 y se hace rápidamente igual a la unidad parax < 0. En ambos casos el integrando se anula.
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Desarrollamos el integrando en un entorno de x = 0
h (µ+ kTx) =
∞∑m=0
(kT )m h(m) (µ)xm
m!
donde h(m)(µ) = dmh(µ+ kTx)/dxm|x=0.
∆I =
∞∑m=0
(kT )m+1 h(m) (µ)
m!Lm
donde:
Lm =
∫ ∞−∞
[1
ex + 1−Θ (−x)
]xmdx
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Si llamamos:
l (x) =1
ex + 1−Θ (−x)
para x > 0 se verifica:
l (−x) =1
e−x + 1− 1 = −
1
ex + 1= −l (x)
de modo que l(x) es una función impar de x, por lo que laintegral se va a anular para valores pares de m, mientrasque para valores impares la integral es simétrica
Lm = 2
∫ ∞0
xm
ex + 1dx = 2
(1− 2−m
)m!ζ (m+ 1)
donde ζ(m+ 1) es la función zeta de Riemann.
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Para m impar
∆I = 2
∞∑m=0
(kT )m+1 h(m) (µ)(1− 2−m
)ζ (m+ 1)
I = I0 +π2
6h′ (µ) (kT )2 +
7π4
360h′′′ (µ) (kT )4 + . . .
como habíamos adelantado.
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Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
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Desarrollo del número de partículas, h(ε) = D(ε)
I0 =
∫ µ
0h (ε) dε =
4πg
3
(2m
h2
)3/2
V µ3/2
h′ (µ) = πgV
(2m
h2
)3/2
µ−1/2
N =4πg
3
(2m
h2
)3/2
V µ3/2
[1 +
π2
8
(kT )2
µ2+ . . .
]
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Desarrollo del potencial químico µ
µ3/20 = µ3/2
[1 +
π2
8
(kT
µ
)2
+ . . .
]
≈ µ3/2
[1 +
π2
8
(kT
µ0
)2
+ . . .
]de donde:
µ = µ0
[1−
π2
12
(T
TF
)2
+ . . .
]
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Desarrollo de la energía interna U
h(ε) = εD(ε)
I = I0 +π2
6h′ (µ) (kT )2 +
7π4
360h′′′ (µ) (kT )4 + . . .
U =4πg
5
(2m
h2
)3/2
V µ5/2
[1 +
5π2
8
(kT
µ
)2
+ ...
]
U = U0
[1 +
5π2
12
(T
TF
)2
+ ...
]
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La capacidad calorífica del gas de fermiones
CV =π2NkT
2 (µ0/k)=π2
2Nk
T
TF
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n (ε) =ze−βε
1± ze−βε
Tomando el signo “-” como corresponde a bosones
N =
∫ ∞0
n (ε)D (ε) dε
U =
∫ ∞0
εn (ε)D (ε) dε
pV = −kT∫ ∞
0ln[1− ze−βε
]D (ε) dε
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Para ciertos valores de z el integrando se haceinfinito y la integral diverge.
• El valor más bajo de z para el cual se presentadivergencia será z = eβε0 , donde ε0 es la energíadel nivel fundamental (si tomamos ε0 = 0, ladivergencia se presentará en z = 1 y los valorespermitidos de z serán 0 ≤ z < 1, es decir µ < 0).
• La contribución del nivel fundamental al número departículas sale de la integral como
gn(ε0) = gz
1− z
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ρ = 2πg
(2m
h2
)3/2 ∫ ∞ε>0
zε1/2e−βε
1− ze−βεdε+
gz
V (1− z)
En el límite termodinámico, el último término se anula
ρ =g
Λ3J3/2 (z)
donde:
Jn (z) =1
Γ (n)
∫ ∞0
xn−1
z−1ex − 1dx , 0 ≤ z < 1
siendo x = βε y Γ(n) la integral gamma.
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Como z < 1, la integral puede resolverse desarrollandoel integrando en serie de potencias de z
Jn (z) = gn (z) =1
Γ (n)
∞∑k=1
zk
kn
∫ ∞0
yn−1e−ydy =
=
∞∑k=1
zk
knz < 1
donde y = kx.ρ =
g
Λ3g3/2 (z)
p = kTg
Λ3g5/2 (z)
U =3
2kTV
g
Λ3g5/2 (z)
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Todo es completamente análogo al gas de Fermi-Dirac dé-bilmente degenerado, excepto por el signo.
p
kT= ρ−
1
25/2
Λ3
gρ2 +
(1
8−
2
35/2
)Λ6
g2ρ3 − . . .
U =3
2pV =
=3
2NkT
[1−
1
25/2
Λ3
gρ+
(1
8−
2
35/2
)Λ6
g2ρ2 − . . .
]A partir de estas expresiones pueden obtenerse otras
funciones termodinámicas.
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Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado: Condensación de Bose-Einstein
Gas ideal de Bose-Einstein fuertemente degenerado
Si z ≈ 1, no podremos despreciar la contribución delnivel fundamental.
ρ =g
Λ3g3/2 (z) +
gz
V (1− z)
El número medio de partículas en el estado fundamental:
N0 = gn (ε0) =gz
1− z
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Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado: Condensación de Bose-Einstein
• La función g3/2(z) es una función acotada, positivay monótonamente creciente de z en el rango0 ≤ z < 1. Para z = 1 (el valor límite):
g3/2 (1) =
∞∑k=1
1
k3/2= ζ
(32
)= 2.612 . . .
ζ(n) =∑∞k=1 1/kn es la función zeta de Riemann.
• El segundo término solamente es no nulo en el límitetermodinámico (V →∞) cuando z ≈ 1− a/V
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Al objeto de determinar la ecuación de estado,debemos determinar z en función de ρ y T .
ρ =g
Λ3g3/2 (1) +
g
a
a =gΛ3
ρΛ3 − gg3/2 (1)
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Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado: Condensación de Bose-Einstein
Tendremos, dos situaciones:
• Si ρΛ3/g > g3/2(1), quiere decir que existe unacontribución del estado fundamental y por tantoz = 1− a
V, en el límite termodinámico z = 1.
• Si ρΛ3/g < g3/2(1) quiere decir que z < 1 ya queg3/2(z) es creciente y por tanto el valor de z es lasolución de g g3/2(z) = ρΛ3
El punto ρΛ3/g = g3/2(1) es un punto especial ya quemarca el límite entre ambas situaciones.Vamos a estudiar su significado físico.
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Consideramos g3/2(z) = ρΛ3/g función de latemperatura a una densidad dada
A temperaturas lo bastante bajas como para queρΛ3/g > g3/2(1), z = 1− a/VEl número medio de partículas en el estado fundamentalserá:
N0 =gz
1− z=gV
a=V
Λ3
[ρΛ3 − gg3/2 (1)
]
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Definiendo una temperatura T0 en la forma:
ρΛ30
g=ρ
g
(h2
2πmkT0
)3/2
= g3/2 (1)
Podemos reescribir:
N0
N= 1−
(T
T0
)3/2
; T < T0
Para temperaturas mayores que T0, el valor de z no estaráen la proximidad de z = 1 . Entonces es finito y, en ellímite termodinámico:
N0
N=
1
N
gz
1− z= 0 T > T0
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Figura: Fracción de partículas en su estado fundamental enfunción de la temperatura.
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Condensación de Bose - Einstein
• Cuando T > T0, la fracción de moléculas en elestado fundamental es prácticamente cero.
• Cuando T < T0, y la población del estadofundamental aumenta a medida que disminuye latemperatura hasta que a T = 0 todas las moléculasestán en su estado fundamental.
• Esta transición a T0 es análoga a una transición defase ordinaria y se denomina condensación deBose-Einstein.
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Si se mantiene fija la temperatura y se varía ladensidad.
Definiendo una densidad crítica,
ρ0Λ3
g= g3/2 (1)
por debajo de la cual la probabilidad de ocupación delestado fundamental es prácticamente cero y por encimaes finita, obtenemos:
N0
N= 1−
ρ0
ρ; ρ > ρ0
= 0 ; ρ < ρ0
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Las propiedades de la condensación deBose-Einstein
p = kTg
Λ3g5/2 (z)
Su dependencia con la densidad a una temperaturadada,
p
kT=
g
Λ3g5/2 (z) ; ρ < ρ0
=g
Λ3g5/2 (1) ; ρ > ρ0
donde g5/2(1) = ζ(5/2) = 1, 341 . . ..
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Figura: Isotermas presión-volumen para un gas ideal deBose-Einstein.
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• Las líneas horizontales representan la región en lacual el sistema es una mezcla de dos fases. Lospuntos A y B corresponden a las dos fases enequilibrio: la fase condensada (A) y la fase diluida(B). La fase diluida tiene un volumen específico v0, yla fase condensada tiene un volumen específico 0 yambas coexisten a la misma presión.
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La presión de vapor,
p0 (T ) = gkT
Λ3g5/2 (1)
derivando con T y comparando con la ecuación de Clausius-Clapeyron:
dp
dT=
∆Hcond
T∆V
vemos que la entalpía de cambio de fase es:
∆Hcond =5
2NkT
g5/2 (1)
g3/2 (1)
y por lo tanto es una transición de primer orden.
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Resumen
• La condensación de Bose-Einstein es una transiciónde fase de primer orden en la que la fasecondensada no tiene volumen, por lo que el sistematiene una densidad macroscópica uniforme.
• La interpretación física es que la condensaciónocurre en el espacio de momentos en lugar delespacio de coordenadas.
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La energía interna,
a una densidad dada vendrá dada por:
U =3
2kTg
V
Λ3g5/2 (z) ; T > T0
=3
2kTg
V
Λ3g5/2 (1) ; T < T0
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La capacidad calorífica a volumen constante
CV =
(∂U
∂T
)V,N
Para realizar la derivada hay que tener en cuenta que:
d(Λ3)
dT= −
3
2
Λ3
T
y que la función gn(z) tiene la propiedad:
dgn (z)
dz=
1
zgn−1 (z)
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[∂g5/2 (z)
∂T
]V,N
=
[∂g5/2 (z)
∂z
]V,N
(∂z
∂T
)V,N
=1
zg3/2 (z)
(∂z
∂T
)V,N[
∂g3/2 (z)
∂T
]V,N
=1
zg1/2 (z)
(∂z
∂T
)V,N
y como
ρ =g
Λ3g3/2 (z)
[∂g3/2 (z)
∂T
]V,N
=
∂(ρΛ3
/g)
∂T
V,N
= −3
2
1
T
ρΛ3
g
de modo que, igualando los resultados
(∂z
∂T
)V,N
= −3
2
1
T
ρΛ3
g
z
g1/2 (z)
CV
Nk=
15
4
g5/2 (z)
g3/2 (z)−
9
4
g3/2 (z)
g1/2 (z); T > T0
Física Estadística
Largo-Solana
Gases idealescuánticos
Introducción
Función de partición.Formulación discreta de laspropiedadestermodinámicas
Densidad de estadoscuánticos
Gas ideal de Fermi-Diracdébilmente degenerado
Gas ideal de Fermi-Diracfuertemente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteindébilmente degenerado
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado.Condensación deBose-Einstein
Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado: Condensación de Bose-Einstein
Mientras que, si T < T0,z = 1, (∂z/∂T )V,N = 0, y teniendo en cuenta que
g3/2(1) =ρΛ3
0
g=
Λ30
Λ3
ρΛ3
g=
(T
T0
)3/2 ρΛ3
g
resulta en definitiva:
CV
Nk=
15
4
g
ρΛ3g5/2 (1) =
15
4
g5/2 (1)
g3/2 (1)
(T
T0
)3/2
; T < T0
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Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado: Condensación de Bose-Einstein
z puede determinarse numéricamente con
ρ =g
Λ3g3/2 (z) +
gz
V (1− z)
y el resultado se muestra en la Figura, donde CV se re-presenta en función de T . No hay discontinuidad de CVen T0, pero hay una discontinuidad en su pendiente endicho punto.
Figura: (a) Capacidad calorífica de un gas ideal deBose-Einstein. (b) Capacidad calorífica experimental dellíquido helio a la presión de vapor saturante.
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Gas ideal de Bose-Einsteinfuertemente degenerado: Condensación de Bose-Einstein
• La condensación de Bose-Einstein tiene lugarincluso aunque las partículas no interaccionen entresí, porque se trata de un fenómeno puramentecuántico.
• Los resultados obtenidos, se parecencualitativamente a la transición de fase He-I↔He-IIdel helio líquido He-4 aunque esta es una “transiciónlambda”.