Aspetti generali della Fisica Atomica e della Fisica Nucleare collegati ai metodi di datazione e alle analisi non distruttive.

Premessa.

La maggior parte dei metodi di datazione utilizzati nell'Archeologia e nella Storia dellArte,

principalmente il metodo del C14

, che direttamente basato sulla legge di decadimento della

radioattivit di questo isotopo, e il metodo di datazione della termoluminescenza (TL), che si basa

sulla dose di radiazioni dovuta ai radioisotopi naturali (U235

,U238

,Th232

,K40

) assorbita dal campione

in esame, fanno ricorso al fenomeno della radioattivit. Inoltre, per comprendere appieno il

significato dellattributo non distruttivo assegnato ai metodi atomici o nucleari impiegati per

lanalisi dei Beni Culturali necessario avere chiari, pi in generale, alcuni elementi di base della

Fisica Atomica della Fisica Nucleare.

La tavola periodica degli elementi chimici.

Per introdurre il fenomeno della radioattivit possiamo prendere le mosse dalla situazione delle

conoscenze di Fisica Atomica a riguardo delle caratteristiche degli elementi chimici esistente al

momento della scoperta della radioattivit, attribuita a Becquerel, nel 1996. Ricordiamo che a

quellepoca era gi sviluppata, su base prevalentemente empirica, la chimica oggi definita

inorganica e la maggior parte degli elementi chimici oggi noti era stata gi identificata. Era nota, in

particolare, la ricorrenza periodica di specifiche propriet chimiche e fisiche degli elementi che

consentono di suddividere gli elementi in diverse classi. Per esempio: la classe degli alogenuri ( Fl,

Cl, Br,I ..), degli alcalini ( Li, Na, K,... ) , dei gas nobili ( He, Ne, Ar ...)

La tavola periodica degli elementi, o di Mendelyev dal nome del chimico russo ( 1834-1907 ) suo

estensore, fornisce una rappresentazione evidente della ricorrenza delle propriet degli elementi

che, infatti, appaiono nella tavola ordinati secondo colonne contenenti gli elementi di una stessa

classe con propriet analoghe. Si consideri, come caso particolarmente evidente, la colonna alla

estrema destra costituita dalla classe, gi citata, dei gas nobili, che hanno in comune le propriet di

avere la molecola monoatomica, di essere in forma gassosa alla temperatura ambiente, di non dare

luogo ad alcun composto con altri elementi. Un altro caso evidente rappresentato dalla classe degli

alogenuri, nella quale uno degli elementi, ad essa appartenente, pu combinarsi con uno degli

elementi alcalini per formare i pi comuni sali, come il cloruro di sodio, o sale da tavola, ( NaCl )o

con uno degli alcalini terrosi per formare, per esempio,il fluoruro di calcio ( CaFl ). Ancora a

proposito della classe dei gas nobili, si noti che latomo di elio (He ), che, in base alla attuali

conoscenze, sappiamo che ha numero atomico, Z, = 2 e, quindi, attiguo a lidrogeno (H) che ha

Z= 1, non si trova accanto allidrogeno ma, sorprendentemente, alla estrema destra nella prima riga

della tavola nel primo posto in alto nella colonna dei gas nobili.

La grande intelligenza e perspicacia di Mendelyev stata di avere trovato la collocazione corretta di

tutti gli elementi noti al suo tempo e di avere addirittura previsto che dovessero esistere caselle della

tabella, allora ancora vuote, per elementi che furono, in effetti, scoperti in seguito come, per

esempio, il germanio (Ge). Ci solamente sulla base della osservazione empirica della ricorrenza

delle propriet chimiche e fisiche dei diversi elementi.

Al giorno doggi, basandoci sui risultati della meccanica quantistica, di molti anni posteriore alla

tavola di Mendeleyev, semplice interpretare la periodicit delle propriet atomiche in base alla

descrizione della sequenza degli orbitali (o stati) atomici occupati dagli elettroni che sono contenuti

in un atomo di numero atomico via, via crescente. (Ricordiamo che il numero di elettroni di carica

negativa - esattamente lo stesso di quello dei protoni che hanno carica positiva : cio, Z e la

carica del protone e dellelettrone la stessa in valore assoluto cosich latomo neutro

elettricamente).

La meccanica quantistica prevede, in contrapposizione con la meccanica classica:

a) che i diversi orbitali stabili per i Z elettroni dellatomo sono ordinati in una sequenza definita, b) che ciascun orbitale contiene un determinato numero massimo di elettroni,

c) che ciascuno orbitale ha una caratteristica energia di legame.

E dovuto a queste regole quantistiche per il riempimento progressivo da parte degli elettroni di

questa serie discreta di stati legati dellatomo fino a raggiungere il numero Z che si determina

corrispondentemente lenergia di legame di ciascuno stato e, inoltre, che si giustificano, in base alla

sequenza degli stati elettronici esterni.le leggi di ricorrenza di alcune propriet chimiche e fisiche

delle diverse classi atomiche.

La sequenza degli orbitali stabili, pu essere ottenuta a partire da quella dalle shell elettroniche (in

Inglese shell=guscio), o livelli nella quale sono preliminarmente ripartiti gli elettroni atomici

secondo i possibili valori di energia di legame. Le shelles sono contrassegnate con le lettere K, L,

M.,N,O a partire dalla pi interna verso lesterno. A ognuna di esse associato il numero quantico

principale, n, che varia da 1 a 5.. Nel caso dellatomo di Idrogeno, esiste un solo elettrone nella

shell K. Lorbitale di tipo S e denominato: 1S lenergia di legame dello stato 1S di circa 13

elettron Volt. Latomo di elio contiene 2 elettroni. Perci esso contiene un secondo elettrone nello

stato 1S. Il numero massimo di elettroni di uno stato S, indipendentemente da quale sia la shell alla

quale appartiene 2. Ci comporta che, passando al Litio (Z=3), laggiunta di un terzo elettrone,

corrisponde al formarsi del secondo livello (L shell) con numero quantico principale n=2. Lo stato

quantico del primo elettrone nella shell L ancora di tipo S ed chiamato 2S. Se si aggiunge un

ulteriore elettrone per formare il boro (Z=4), lo stato 2S , a sua volta, completo e i seguenti

elettroni degli atomi via,via pi pesanti vanno a occupare il secondo stato, denominato 2P, previsto

per il livello L. Ciascuno stato P si completa con 6 elettroni (Si noti che non esiste lo stato 1P nella

shell K, ma il primo stato P appare nella shell L ). Dopo avere aggiunto la condizione di chiusura

con 6 elettroni, abbiamo un totale di 10 elettroni in corrispondenza. per Z= 10, del gas nobile Neon.

Ricordiamo che Elio e Neon , entrambi gas nobili, hanno propriet analoghe. Ci corrisponde con il

fatto che in entrambi i casi lorbitabile pi esterno (che lo stato 2S nel caso dellElio) chiuso. In

questa condizione latomo non possiede elettrone esterni che rendano possibile il formarsi di un

legame con un altro atomo e ci spiega qualitativamente le caratteristiche gi citate dei gas nobili.

In generale, le caratteristiche di un atomo, dipendono dalle propriet dello stato elettronico pi

esterno. I casi pi evidenti, oltre a quello che lo stato sia chiuso, sono che allatomo manchi solo un

elettrone per aversi la chiusura dello stato esterno (caso degli alogenuri) o, invece, esso abbia un

elettrone in esubero subito dopo la chiusura dello stato dellatomo precedente, cio con numero

atomico pari a Z-1 (caso degli alcalini). Allora, il formarsi dei sali per combinazione alcalino-

alogenuro, gi menzionato, si spiega qualitativamente, immaginando che lelettrone dellatomo

alcalino sia un gancio sporgente che si aggancia allasola costituita dal posto vuoto nellorbitale

dellalogenuro.

Come gi detto, a ciascuno degli orbitali elettronici dellatomo associato un valore, caratteristico

di energia di legame per lelettrone che dipende in modo pi che proporzionale da Z e ha il valore

massimo per lo stato pi interno, 1S , e decresce progressivamente spostandosi sugli stati via,via

pi esterni.

Iniziamo con il notare, allora, che occorre irraggiare un atomo, per esempio con radiazione

elettromagnetica, di energia fortemente crescente con il valore del numero atomico Z per provocare

lespulsione di un elettrone (fenomeno della ionizzazione). In uno stesso atomo, questa energia

molto maggiore per la shell K e ,immediatamente a seguire, per la shell L, di quella necessaria per

ionizzare uno stato elettronico esterno. La shell K, e poi la shell L, hanno dunque la massima

energia di legame.

Corrispondentemente, quando un elettrone di uno stato esterno cade nella vacanza lasciata libera

nella shell K per effetto della ionizzazione, lenergia della radiazione X emessa dallatomo

massima. Se lelettrone proviene da uno degli stati 2P della shell L ( una regola di selezione della

meccanica quantistica proibisce la transizione 2S 1S ), si ha lemissione di una delle righe di

fluorescenza X caratteristica, K1 o 2, a seconda dello stato di partenza. Se lelettrone che rimpiazza lelettrone mancante alla shell K proviene da uno degli stati della shell M, si ha una delle

righe X della serie K che hanno energia maggiore. In generale, lenergia della radiazione X

emessa pari alla differenza delle energie di legame fra stato elettronico interno di arrivo e stato

esterno di partenza. Quindi, lenergia delle righe K maggiore poich lenergia di legame degli

stati della shell, di partenza, M minore di quella degli stati della shell L.

Lanalisi della composizione di un dato campione basata sulla misura della energia delle righe X

dovute a transizioni agli stati elettronici delle shell K e L denominata analisi XRF (X-ray

fluorescence = fluorescenza X.).

Lenergia della radiazione di fluorescenza X aumenta pi che linearmente con il valore di Z

dellatomo emettitore. Per esempio la riga K1 ha unenergia di 7.5 Kev per il rame (Z= 29), di 22

Kev per largento (Z= 47 ), di 75 Kev per il piombo (Z=82). Lo spettro di emissione X prodotto dai

diversi elementi chimici nel campione in analisi detto a righe (o a linee) poich le energie dei

raggi X caratteristici emessi dagli atomi hanno un valore determinato con estrema precisione (o

definizione) corrispondente alla differenza delle energie di legame fra 2 stati atomici. I valori

dellenergia delle righe K e K e delle righe L caratteristici dei singoli atomi, sono stati misurati per tutti gli atomi. Ci consente di individuare qualitativamente la composizione elementare (da

elemento chimico) del campione in analisi, in pratica, senza ambiguit. Infatti, non esistono

sovrapposizioni dei valori di energia fra le righe K di due atomi diversi. Si verificano, invece,

alcuni casi di sovrapposizione per lenergia di una delle righe L emessa da un elemento pesante e

lenergia di una riga K emessa da un elemento leggero, ma le informazioni aggiuntive che si hanno sulla natura del campione permettono di solito di identificare di quali elementi si tratti.

Se, in generale, i fenomeni di transizione elettronica riguardano gli stati elettronici esterni che ,

come gi notato, hanno bassi valori di energia di legame, essi sono caratterizzati da assorbimento e

emissione di radiazione a bassa energia. Questo il caso del metodo di analisi, largamente utilizzato

nei laboratori, denominato di spettroscopia atomica ottica, che pu essere di emissione o di

assorbimento a seconda che lanalisi sia basata sulla misura delle energie (o delle lunghezze

donda) della radiazione emessa dagli atomi o della radiazione assorbita. La radiazione

elettromagnetica dello spettro visibile o della zone immediatamente vicine ha energia dellordine

dellelettron-volt.. La spettroscopia ottica rappresenta un metodo di analisi distruttiva poich si

richiede il prelievo di un piccolo campione dalloggetto in analisi., eventualmente la sua diluizione

o un opportuno trattamento chimico e, di solito, la sua evaporazione.

Precisazioni sul significato dellattributo non distruttiva assegnato alla analisi XRF.

Si consideri anzi tutto che non distruttiva nel caso delle analisi di Beni Culturali deve essere inteso

in una accezione fortemente restrittiva. Cio: che lanalisi non arrechi alcun tipo di

danneggiamento. Un danneggiamento del campione dovuto al metodo di analisi deve essere inteso

come una possibile modifica della composizione chimica e dipende dal fatto che nellanalisi siano

coinvolti gli stati elettronici pi esterni dellatomo che, infatti, sono quelli che partecipano alla

formazione del legame chimico fra diversi atomi. Questo effetto escluso quando lanalisi

eseguita con radiazione di energia sufficientemente alta perch sia possibile ionizzare gli stati

elettronici interni dellatomo che non hanno alcun ruolo nel formare il legame chimico. Da ci

traiamo la fondamentale giustificazione per il fatto che lanalisi XRF non distruttiva .Inoltre,

questo argomento valido, a maggior ragione, se lanalisi basata su reazioni nucleari poich non

vi alcuna correlazione fra i livelli energetici del nucleo gli orbitali elettronici.

Il motivo ulteriore per il quale le analisi XRF e quelle nucleari sono da considerarsi non distruttive

(o non invasive ) che il segnale elettrico prodotto nel rivelatore dal quanto di radiazione di elevata

energia emesso da un singolo atomo, o nucleo, possiede unampiezza sufficiente perch si abbia un

segnale effettivamente rivelabile. Ci corrisponde a eseguire una misura,un atomo per volta,su un

numero di atomi sufficientemente grande per raggiungere una adeguata consistenza statistica.

Considerando il numero grandissimo di atomi presenti in un campione, anche se microscopico, il

numero di atomi ionizzati nellanalisi costituisce una minima percentuale.Ma importante notare

che questo numero statisticamente significativo anche se si adoperano valori di intensit per la

radiazione incidente di alta energia cos bassi da rendere trascurabili gli effetti, in linea di principio

dannosi, dovuti agli effetti di ionizzazione degli orbitali a bassa energia di legame prodotta nella

stessa analisi,.

Nel caso della spettroscopia ottica, gi citata, lintensit luminosa dovuta alla emissione di un

singolo atomo troppo flebile e, quindi, necessario misurare le emissioni emesse

contemporaneamente da un gran numero di atomi del campione. Ci ottenibile utilizzando elevate

intensit per la radiazione incidente e lavorando su un campione precedentemente vaporizzato per

minimizzare gli effetti di auto-assorbimento che impediscono alla radiazione luminosa di propagarsi

in un mezzo denso.

A proposito dellauto-assorbimento, si consideri che le radiazioni X possono penetrare in profondit

nel campione in analisi, ( per un metallo lo spessore analizzabile vale circa 10 micron come valore

medio). A loro volta, le radiazioni X emesse, di alta energia, possono fuoriuscire dal campione da

uno spessore dello stesso ordine senza che sia necessaria alcuna preparazione del campione stesso.

Si noti, infine che,in generale, le analisi XRF sono eseguibili in loco con apparecchiatura portatile.

Nozioni generali sulla radioattivit

Lanno della scoperta della radioattivit (1896) pu a buona ragione essere considerato quello della

nascita della Fisica Nucleare. Senza dubbio si trattato, infatti, della prima evidenza sperimentale

di un fenomeno nucleare, identificato negli anni seguenti come dovuto al decadimento dei nuclei

atomici instabili. Pi correttamente, lanno di nascita della Fisica Nucleare dovrebbe essere

considerato il 1911, anno nel quale Rutherford esegu lesperienza cruciale che ha provato

lesistenza del nucleo atomico. Come ben noto, lesperienza di Rutherford consistette nella misura

sperimentale del fenomeno della deviazione subita nellattraversare un sottile foglio doro dalle

particelle emesse dal Radio 226 (isolato dal minerale uranifero da madame Curie) . La grandezza osservata sperimentalmente della deviazione della traiettoria di questi proiettili si spiega solo con

lipotesi che al centro dellatomo esista un nucleo positivo, di dimensioni trascurabili rispetto al

volume atomico, che racchiude lintera carica positiva, che oggi sappiamo essere quella costituita

da Z protoni. Latomo circondato dalla nube di Z elettroni, a distanza grandissima rispetto il

raggio del nucleo. Latomo ha carica totale nulla, ma la disposizione delle cariche corrispondente

alla configurazione di un volume puntiforme positivo fortemente repulsivo per le particelle , anche esse positive, spiega correttamente la deviazione da esse subita. Si noti che laltro modello

alternativo dellatomo, proposto da Thomson, era basato su una distribuzione di cariche positive e

negative uniformemente mescolata allinterno del volume dellatomo. Questo modello non sarebbe

compatibile con il fenomeno della deviazione delle misurato da Rutherford. Anche per illustrare le nozioni generali riferite alla radioattivit, possiamo prendere le mosse dalla

tabella di Mendeleyev e ricercare in essa la posizione occupata dagli atomi radioattivi naturali.

Notiamo subito, per,che per ottenere la trasformazione da questa nella attuale tabella dei nuclei

che contiene gli atomi stabili e quelli instabili- cio, quelli radioattivi naturali e artificiali- dovremo

introdurre la nozione di isotopo. Gli isotopi furono scoperti nel 1934 da Soddy e, forse,

definitivamente questa potrebbe essere considerata la data di nascita della Fisica Nucleare,nel senso

che la scoperta degli isotopi ha reso possibile la sistemazione nella nuova tavola di tutti i nuclei

esistenti (non pi detta degli elementi) molto pi numerosi degli atomi conosciuti al tempo di

Mendeleyev.

Partiamo dalla osservazione della tavola degli elementi, esistente nel 1896, per ricercare che

posizione vi occupano gli atomi radioattivi naturali, includendo fra essi quelli identificati negli anni

seguenti la scoperta della radioattivit, ma prima della scoperta fondamentale del neutrone, che ha

reso possibile la produzione dei nuclei radioattivi artificiali.

La ricerca d come risultato che non esistono in natura elementi stabili con numero atomico Z

maggiore di 83, corrispondente al bismuto (Bi).Lunica eccezione di elemento naturale instabile con

numero atomico minore di 83 il tecnezio ( Z = 43).

Per gli elementi naturali il valore massimo di Z 92 (Uranio: U), per Z maggiore di 83, si hanno

solo elementi radioattivi. Ricordiamo che la radioattivit coincide con il fenomeno della instabilit

nucleare cio con il fenomeno per cui alcuni atomi, per il momento limitandoci a quelli naturali,

sono instabili e tendono a trasformarsi ,o a decadere, in un atomo con il nucleo stabile, dando luogo

a un processo di decadimento nel quale ,a seconda dei casi, si ha lemissione di un particella , di

un elettrone positivo, di un elettrone negativo, (decadimenti ) o, infine, caso meno noto, nel processo di decadimento nel quale si ha la cattura di un elettrone dellatomo stesso ( e.c. = electron

capture). Tutti i processi di decadimento hanno in comune che lo stato finale nucleo residuo +

particella emessa- ha massa totale inferiore a quella del nucleo instabile emettitore. Questa

condizione necessaria ma non sufficiente per dar luogo a un nucleo radioattivo e porta

immediatamente a ricavare lenergia che si libera nel decadimento dalla formula famosa E = mc2

nella quale la variazione m rappresenta la differenza fra massa iniziale del nucleo e somma delle

masse del sistema finale. Si noti che nella maggior parte dei casi il nucleo residuo prodotto dal

decadimento ( nucleo finale )si forma in uno stato eccitato e che la diseccitazione avviene mediante

emissione di raggi con ulteriore diminuzione della massa del nucleo finale. Il fenomeno della instabilit nucleare si spiega facendo ricorso alla descrizione della struttura del

nucleo, cos come determinata dopo la scoperta del neutrone.

Un nucleo composto da Z protoni e N neutroni. Le propriet chimiche dellatomo dipendono solo

da Z al quale corrisponde il simbolo chimico ( H, He, Li, ecc. ) in corrispondenza dei diversi numeri

N per ciascun elemento con lo stesso Z si hanno gli isotopi . Il nome deriva dal Greco (stesso posto

) e fa riferimento al fatto che tutti gli isotopi con lo stesso Z figurerebbero nella stessa posizione

nella tavola di Mendeleyev in quanto hanno le stesse propriet chimiche. Il simbolo dellisotopo

quello chimico, che corrisponde al valore di Z dellelemento, associato al numero di massa A, Per

es,: C14

, Pb 208

, U235

.

Lesistenza dei neutroni nel nucleo si spiega qualitativamente con lattribuire a essi la funzione di

tenere insieme il nucleo controbilanciando la repulsione elettrica esercitata reciprocamente dai

protoni. Leffetto totale di tale repulsione, che la causa della instabilit, aumenta come Z2

,

la

conseguenza che il numero di neutroni per ottenere un nucleo stabile aumenta progressivamente

con Z in maniera pi che proporzionale. Per gli elementi leggeri , cio per Z 20, gli isotopi stabili hanno un valore di N praticamente eguale a Z; poi il numero di neutroni in eccesso diviene sempre

maggiore. Per lelemento stabile pi pesante esistente in natura, il bismuto, si ha: Z = 83, N= 126

(!). Se Z aumenta oltre 83, non esiste pi la possibilit di ottenere un nucleo stabile , cio non si

realizza la possibilit che lattrazione dovuta alle forze nucleari fra i nucleoni, aumentata

dalleccesso di neutroni, compensi stabilmente la repulsione Coulombiana dovuta ai protoni.

L elemento con Z = 92 (Uranio) ha due isotopi con tempo di dimezzamento confrontabile con let

della terra. Essi sono U235

che ha N= 143 e U 238

,che ha N=146. Inoltre, lelemento con Z=90

(Torio) ha lisotopo,con N= 142 (Th232

), con un tempo di dimezzamento dellordine di 10 10

anni.

Th232

, U235

e U238

sono gli isotopi capostipite delle serie radioattive naturali 4n, 4n+3, 4n+2 . Tutti

gli isotopi radioattivi naturali fanno parte di una delle 3 serie che terminano, rispettivamente, con gli

isotopi stabili Pb 208

, Pb207

,Pb206

. Lunico isotopo radioattivo naturale che non appartiene a una

delle serie radioattive ed presente in natura perch ha un tempo di dimezzamento maggiore di 109

anni il K40

.

Avendo introdotto nella descrizione degli atomi gli isotopi, possiamo descrivere la tavola dei nuclei

che sostituisce quella di Mendeleyev nella quale non esistono gli isotopi.

In questa carta per ciascun valore di Z, riportato sulla coordinata Y, figurano gli isotopi in

corrispondenza dei diversi valori di N, riportati sulla coordinata X. Gli isotopi stabili per gli

elementi leggeri hanno valore di N prossimo a quello di Z, mentre per gli elementi

progressivamente pi pesanti ,come gi detto, il valore di N degli isotopi stabili aumenta rispetto a

quello di Z, Quindi se rappresentiamo nel piano N-Z i punti rappresentativi degli elementi stabili

naturali otteniamo che essi si dispongono su una curva che ha un andamento secondo la diagonale (

cio, con Z=N) allinizio, per seguire una curva progressivamente pi bassa (cio: con N>Z ) fino i

punti finali rappresentativi degli isotopi stabili del piombo.

Possiamo aggiungere agli isotopi naturali stabili e a quelli, poco numerosi, instabili la grande

quantit di isotopi instabili artificiali che si generano nelle reazioni nucleari artificiali ottenute con

acceleratori di ioni o con reattori nucleari che producono neutroni.Gli isotopi instabili si allineano in

alla quota determinata del valore di Z dellelemento: a sinistra del valore, o dei valori, di N che

corrispondono a nuclei stabili; gli isotopi caratterizzati da un difetto di neutroni. a destra quelli

caratterizzati da un eccesso di neutroni. I primi decadono con emissione + nella quale un protone si trasforma in un neutrone o, molto pi frequentemente, si ha il fenomeno della cattura elettronica

nel quale avviene la stessa trasformazione. Gli isotopi di destra, cio con eccesso di neutroni, danno

luogo al decadimento nel quale un neutrone si trasforma in un protone. Si noti che in entrambi i casi, il decadimento avviene fra due isotopi isobari, cio con lo stesso numero di massa A. Infatti in

un decadimento il numero di nuleoni- protoni+neutroni resta invariato. Il decadimento , invece, d luogo a una diminuzione di Z pari a 2 e di A pari a 4.

Il numero di isotopi artificiali prodotti negli ultimi 50 anni raggiunge quasi 3000 (!) cio supera di

gran lunga quello dei naturali stabili e instabili.

Notiamo, infine, che due isotopi dello stesso elemento hanno delle piccole differenze nellemissione

ottica dei quali non trattiamo. Inoltre, lequivalenza di comportamento chimico per due diversi

isotopi verificata a meno di effetti del secondo ordine che non sempre sono trascurabili. Per

esempio, nel processo di sintesi clorofiliana nel quale si formano i vegetali utilizzando la CO2

dellatmosfera si ha una riduzione percentuale di C13

e C14

e questo fenomeno non pu essere

trascurato senza commettere un grande errore nel metodo di datazione con C14

Elementi di Statistica

Vogliamo in ultimo occuparci dellaspetto molto importante delle misure di conteggio: cio

dellerrore statistico che contenuto inevitabilmente nel risultato che con un opportuno contatore si

ottiene per la misura del numero di radiazioni emesse da un isotopo radioattivo in un determinato

intervallo di tempo. Notiamo immediatamente che qualsiasi misura sperimentale contiene sempre

un errore e che, in genere, il valore dellerrore dipende sia dalla imprecisione dello strumento di

misura o del metodo di misura, sia dal fatto che la quantit che misuriamo ha una sua intrinseca

dispersione di valori (Immaginiamo, per esempio, di misurare laltezza di un gran numero di

individui. La dispersione dei valori misurati dipende certamente dalla variazione dellaltezza nella

popolazione e, di solito secondariamente in questo caso, dalla possibile imprecisione del metodo di

misura).

Per renderci conto di come si tratti il problema dellerrore in una misura di conteggio, prendiamo

per confronto una misura che si riferisca al numero, n, di monete che danno testa nel lancio di 100

monete sul tavolo. La stretta analogia fra decadimento nucleare e lancio delle monete risiede nel

fatta che in entrambi i casi abbiamo una situazione che si definisce binaria per gli eventi in misura:

ciosi ha, rispettivamente, che un atomo decade o non decade nel tempo di misura e che il lancio di

una moneta d testa o croce. E la misura consiste semplicemente nel misurare il numero di eventi.

Sappiamo che ogni volta sar approssimativamente n=50, se ripetiamo,infatti, il lancio un numero

elevato di volte, ci aspettiamo che il suo valore medio in effetti sia molto prossimo a 50. Ma ci

evidente che la variazione nel numero di teste, ottenuto in ogni lancio non dipende da un errore nel

modo di eseguire il lancio, ma intrinsecamente dipendente dal fatto che levento (testa) ha di

ripetibile in ogni lancio la probabilit di verificarsi che, ovviamente se le monete non sono truccate,

costante e del 50 % . Si pu dimostrare che, indicando con m il valore medio di n, per il valore

medio della differenza, nm, (che in seguito chiameremo deviazione standard, ) teoricamente si

ha : = )1(* Pm m, nel caso di 100 monete, 50, P la probabilit che si verifichi levento

testa, cio, ancora nel caso delle monete non truccate, 50%. Quindi la dispersione teorica del

numero di teste, espressa come valore di , : = 25 = 5

Si noti che i nuclei di un isotopo radioattivo hanno una probabilit costante!- di decadere durante il

tempo di misura, t, che dato dal prodotto t x P. P, questa volta, la probabilit di decadimento

per unit di tempo, cio: P=1/ dove la vita media dellisotopo considerato. Essendo

normalmente il tempo di misura molto pi piccolo della vita media, si pu porre di solito P 0.

Allora si ha: = m che pu essere in pratica approssimato in: n .

Si noti attentamente che n non il numero di decadimenti che sono effettivamente avvenuti nel

tempo t ma il numero da noi misurato che di solito moto pi piccolo perch lefficienza di

conteggio di solito molto minore di 1. In analogia con le monete abbiamo, infatti, che ci che

conta, dal punto di vista dellerrore statistico, non il numero di monete che abbiamo lanciato ma,

quello delle monete che eventualmente, se il tavolo piccolo, rimasto sul tavolo ed quello

effettivamente contato.

La regola della radice quadrata, cos facilmente memorizzabile ha come fondamentale conseguenza

che lerrore relativo di origine statistica nella misura di n semplicemente: /n = 1 / n . Ci

fornisce immediatamente che se abbiamo nella misura di conteggio, per esempio, n = 100, lerrore

statistico relativo del 10%, se n = 1000, esso 3.3%, ecc. Si noti attentamente che ci rappresenta il limite minimo invalicabile per lerrore della misura di conteggio e che ad esso vanno

aggiunti gli eventuali errori sperimentali. Come regola generale, si ha che gli errori indipendenti di

una misura si sommano quadraticamente; cio il valore finale dellerrore, espresso ancora come

deviazione standard , vale = 2i dove la somma estesa a tutti i contributi, i ,allerrore

finale imputabili a ogni possibile causa, ognuno dei quali deve essere valutato separatamente.

Quindi, se, per esempio, esiste una causa che produce un errore del 10% ,anche estendendo il

tempo di misura in modo che n sia molto maggiore di 100, non si otterr, in pratica, alcun

miglioramento della precisione proprio a causa della regola della somma quadratica per gli errori.

Ricordiamo, infine, che nel linguaggio comune i termini precisione e accuratezza sono considerati

sinonimi. Nella teoria degli errori, invece, la precisione indica la dispersione dei dati ,ed misurata

dal valore di , mentre laccuratezza misurata dalla differenza dal valore vero ( supposto noto ) del valore medio ottenuto nella misura e, di solito, dipende da un errore sistematico nel metodo di

misura.

Si noti attentamente che quando, come nel caso di un decadimento nucleare o del lancio delle

monete, si misura il numero di ripetizioni di un evento che ha probabilit di accadere costante e

nota, si pu calcolare a priori il valore di tenendo conto della natura statistica del fenomeno. In tutti gli altri casi, in generale, occorre conoscere la legge di distribuzione specifica della misura

considerata che permetta di prevedere a priori il valore della deviazione standard. Se ci non

possibile, la deviazione standard ricavabile, a posteriori, dallinsieme stesso delle misure ottenute.

Questi argomenti sono piuttosto complicati. Nel tentativo di renderli un poco pi

semplici,svolgiamo lesempio di applicazione di una trattazione statistica in termini elementari ma

rigorosi alla produzione di un albero di mele. Vogliamo,cio,ricavare i parametri che caratterizzino

la produzione di mele al fine ,per esempio, di un confronto significativo fra diverse piante.

Ovviamente, il primo dato significativo da ottenere la produzione totale di mele ottenuta; cio

semplicemente il peso totale, P, della produzione. Subito dopo, contando il numero n di mele,

otteniamo il valore medio, Pm = P/n , per il peso delle mele. Questa media, cos ottenuta, detta

media aritmetica, essa si ottiene dalla somma dei singoli valori attribuendo a ciascuno di essi lo

stesso peso statistico. Per misurare,ora, la dispersione nel peso delle mele, conviene fare riferimento

allo scarto, Pi - Pm , fra il peso Pi della generica iesima mela e il peso medio. Se per adesso

vogliamo valutare quale la dispersione media in termini di scarto medio = i iP -Pm/n

Si ottiene: )( mi iPP / n = 0. Questo risultato, intuitivo, dipende direttamente dal fatto che

abbiamo scelto la media aritmetica per il peso medio, pertanto non possiamo fare riferimento a

questa procedura per avere una misura della dispersione del peso delle mele.

Dobbiamo fare invece ricorso allo scarto quadratico medio detto anche varianza che definito

come la media del quadrato dello scarto, cio: varianza =i (Pi Pm)2/n. Infine, poniamo per la

deviazione standard:

= i iP - Pm)2/n

che rappresenta,come si potrebbe dimostrare, lespressione utilizzabile per la deviazione standard

precedentemente definita genericamente come scarto medio, nellapprossimazione che n >> 1.

A questo punto per potere proseguire nella descrizione statistica rigorosa della produzione di mele,

dobbiamo confrontare la distribuzione dei pesi delle mele con una distribuzione normale .

E al di l degli scopi di questi appunti, trattare con esattezza ci che si intende per distribuzione

normale detta anche Gaussiana o curva a campana -. Ci limitiamo a ricordare che la dispersione

dei valori ottenuti per una misura ( nel caso nostro: il peso delle mele del nostro albero) nel caso

pi frequente ,perci detto anche normale, governata da una legge di distribuzione, che ha la

forma gi detta a campana e della quale non diamo la formula matematica, che ha come unico

parametro la deviazione standard. Questa curva assume una forma universale se la distribuzione

delle misure espressa in funzione del rapporto dello scarto della misura dal valore medio, o

centrale, con il valore di . La propriet della distribuzione di Gauss in pratica si pu ricavare dividendo linsieme dei valori

dello scarto dal valore medio, espressi in unit di , in un numero finito di classi di larghezza

costante- per esempio, /2 o /4 e ricavando da un apposita tabella numerica pubblicata in tutti i libri di statistica quale sia la percentuale di misure dellinsieme che devono cadere, seguendo la

legge di distribuzione, allinterno di ogni classe.

In questo modo la legge espressa sotto

forma di un istogramma composto da

elementi rettangolari che hanno per base

la larghezza, in unit di ,prescelta per

le classi ( per es.: /2 ) e per altezza il valore che corrisponde al fatto che larea

del rettangolo base x altezza- indica la

frazione di misure contenute nella classe

stessa. In questo modo si ottiene che

larea totale dellistogramma,

considerando in teoria tutte le classi di

misure incluse anche quelle

infinitamente lontane dal valore centrale,

vale 1. Con ci intendendosi che la

probabilit che una misura fornisca un

valore qualsiasi, comprendendo anche

quelli pi improbabili, evidentemente

1.

In particolare,la distribuzione di Gauss

ha come risultato che circa il 70% delle

misure compreso fra i valori relativi di

scarto + e e il 97% delle misure con

scarto incluso fra 2. In pratica, per completare il nostro

esercizio sulle mele, sufficiente scegliere 8 classi ciascuna di larghezza /2 corrispondenti a un

intervallo di scarti dal valore medio centrale da -2 a + 2 , che include in pratica tutti i valori di scarto per i pesi possibili; successivamente si contano le mele contenute in ogni classe e si divide

ciascun numero di contenuto per il valore del numero totale di mele prodotte dallalbero. Se il

nostro melo ha una distribuzione di pesi delle mele normale, questi numeri cos ottenuti debbono

adattarsi ragionevolmente bene alle probabilit di occorrenza per ciascuna classe descritte dalla

distribuzione di Gauss.

Si ricorda che noi abbiamo applicato queste considerazioni statistiche alle misure con il C14

. E

fondamentale tenere presente che in quel caso, ricorrendo il caso di una misura di decadimento

radioattivo, il valore di pu essere noto a priori dalle considerazioni statistiche sul numero di conteggi e da eventuali cause di errore del metodo di misura, anche esse note a priori. Pertanto, non

necessario ripeter una misura un elevato numero di volte, come invece necessario nel caso della

pesata delle mele. Non esiste,infatti, una teoria che dia la possibilit di prevedere il valore di per

il nostro albero; tuttavia, come abbiamo visto, necessario conoscere il valore di per eseguire il

confronto con la curva di distribuzione normale, pertanto il valore di deve essere determinato sperimentalmente.